Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

10th Lecture / 10. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode

eQ

Solution of Boundary Value Problems (BVP) / Lösung von Randwertproblemen (RWP)

Lord Kelvin 1848: Method of Images / Spiegelungsmethode

e 0

e ( )

PEC / IEL

R

eQ

e 0

e ( )

PEC / IEL

R

e ( )

PEC / IEL

ReQ

e 0

e ( )

PEC / IEL

R

ee 0

Linienladung parallelvor geerdetem Zylinder

Punktladung vor geerdeter Kugel

Punktladung vor geerdeter Ebene

Punktladung vor geerdeter Ecke



Medium

nB(oundary)

-Ebene bei 0

Plane at 0

xy zS

xy z

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel

( ) 0,

( )

S

R

R R

n×E R 0

z

y

x

eQ

B e: ( ) 0

( )

S

R R

n×E R 0B e: ( ) 0

( )

S

R R

n×E R 0

e

e

known / bekannt!

,

Q

E unknown / unbekannt!

R

e e( ) ( )Q R R R e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R

0z

Boundary Value Problem (BVP) – Randwertproblem (RWP)


B e: ( ) 0

( )

S

R R

n×E R 0

Method of Images / Spiegelungsmethode

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

B e: ( ) 0

( )

S

R R

n×E R 0

ee

0

1 1( )

4

Q

RR R R R

e

e 0

1 10

( ) 4

0 0

Qz

z

R R R R R




B e: ( ) 0

( )

S

R R

n×E R 0

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel

( ) 0,

( )

S

R

R R

n×E R 0

z

y

x

eQ

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel

( ) 0,

( )

S

R

R R

n×E R 0

z

y

x

eQ

eQ

R R

R

Problem / Problem: Solution / Lösung:

Image Charge /

Spiegelladung


ES Fields – Method of Images / ES Felder – Spiegelungsmethode

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel

( ) 0,

( )

S

R

R R

n×E R 0

z

y

x

eQ

eQ

R

R

Solution by Applying the Method of Images / Lösung durch Anwendung der

Spiegelungsmethode

Image Charge /

Spiegelladung

e

e 0

1 10

( ) 4

0 0

Qz

z

R R R R R

e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R

0 0 with

mit z zz z R e R R e




e

e 0

1 10

( ) 4

0 0

Qz

z

R R R R R

e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R0 0

with

mit z zz z R e R R e

e

e3 3

0

0

e3 3

( ) ( )

04

0 0

( ) ( )

04

0 0

Qz

z

Qz

z

E R R

R R R R

R R R R

D R E R

R R R R

R R R R




Medium

nB(oundary)S

e ( )

,

x yx y

x y

R

R e e

z

y y –– –– – ––

PEC / IEL

Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)

Field Lines of E /

Feldlinien von E

Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode

muss man die folgende Integralgleichung für die induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen

2e ee

00

( )1( ) d 0

4z

Q

R

RR R

R R R R

Unknown / Unbekannt

x

x

e 0

f(

or

f r0

ü)

z R

+eQ




B

known

bekan( )

ntS R

D R

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

z

y

x

–– –– – ––

+

PEC / IEL

Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)

Field Lines of E /

Feldlinien von E

If D is known from the Method of Images / Falls D über die Spiegelungsmethode bekannt ist

B

B

e

e3 3

e3 3

0

( ) ( )

04

4

for

für

S

S

z

z

Qz

Q

R

R

R n D R

R R R Rn

R R R R

R R R Re

R R R R

ηe(R) is Defined by the Normal Component of D / ηe(R) ist definiert über die Normalkomponente

von D

!

eQ




Be

e3 3

0

e 0 03 / 2 3 / 22 22 2 2 2

0 00

e 0 03 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2

0 0

e 0

2 2 20

( ) ( )

4

4

4

2

S

z z

z

z

Q

Q z z z z

x y z z x y z z

Q z z

x y z x y z

Q z

x y z

RR n D R

e R R e R R

R R R R

3 / 2

e 03 / 22 2

02

Q z

r z

B

e 0e 3 / 22 2

0

( ) ( )2S

Q z

r z

RR n D R



Medium

nB(oundary)S

e ( )

,

x yx y

x y

R

R e e

z

y y

–– –– – ––

PEC / IEL

Induced Electrostatic Surface Charge Density /

Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)

Field Lines of E /

Feldlinien von E

x

x +eQ

B

e 0e 3 / 22 2

0

( ) ( )2S

Q z

r z

RR n D R

100 Hz




Be

e 03 / 22 2

0

( ) ( )

2

S

Q z

r z

RR n D R

Total Electric Charge at the xy Plane at z=0 / Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0

2tot e 0e 3 / 22 2

0 0 0

2e 0

3 / 22 20 00

2

e 0 3 / 22 20 0

e 0 2 2 00

0

e

d d2

d d2

d

1 1

r

r

r

Q zQ r r

r z

Q zr r

r z

rQ z r

r z

Q zzr z

Q

3 / 2 2 22 2

1xdx

x ax a

tote eQ Q


ES Fields – Method of Images – Applications / ES Felder – Spiegelungsmethode – Anwendungen

Earth / Erde

Singular Point / Singulärer Punkt

Ionosphere / Ionosphäre

Vertical Stream / Vertikalstrom

Dipole Layer / Dipolschicht


ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)

Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables – Example / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen –

Beispiel

2 2

e2 2( , ) 0x y

x y

x

y e 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen!


2 2 2

e2 2 2( , , ) 0x y z

x y z


Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen

Laplace Equation / Laplace-Gleichung

2 2

e2 2( , ) 0x y

x y

3-D / 3D

2-D / 2D

2 2

e e2 2( , ) ( , ) 0x y x y

x y

Elliptic Partial Differential Equation / Elliptische partielle Differentialgleichunge ( , , ) 0x y z

Laplace Equation in Cartesian Coordinates / Laplace-Gleichung in Kartesischen Koordinaten

Function of Three Variables / Funktion von drei Variablen

Function of Two Variables / Funktion von zwei Variablen





2 2

e e2 2( , ) ( , ) 0x y x y

x y

e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y

Solution Strategy:

Reduce the Partial Differential Equation (PDE) to an Ordinary Differential Equation (ODE) and Find

a Solution of the PDE by Solving the ODE

Lösungsstrategie:

Reduziere die partielle Differentialgleichung (PDG) auf eine gewöhnliche (ordinäre)

Differentialgleichung (GDG) und finde eine Lösung der PDG durch Lösung der GDG

Ansatz of Separation / Separationsansatz

Function of two Variables: x and y /Funktion von zwei Variablen: x und y Function of x only /

Nur eine Funktion von x

Function of y only /Nur eine Funktion von y

Product of two Functions /Produkt aus zwei Funktionen





2 2

e e2 2( , ) ( , ) 0x y x y

x y

e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y Ansatz of Separation / Separationsansatz

2 2 2 2

e e2 2 2 2

2 2

2 2

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

d d( ) ( ) ( ) ( )

d d

x y x y X x Y y X x Y yx y x y

Y y X x X x Y yx y

Inserted in the Above Laplace Equation Yields / Eingesetzt in die obere Laplace-Gleichung ergibt




2 2 2 2

e e2 2 2 2

d d( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

d dx y x y Y y X x X x Y y

x y x y

2 2 2 2

2 2 2 2

1 d d 1 d 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )d d d dY y X x X x Y y X x Y y

X x Y y X x Y yx y x y

2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 2

Function of Function ofFunktion von Funktion v

/ / o

n

0

1 d 1 d( ) ( ) 0

( ) ( )d d

1 d 1 d( ) ( )

( ) ( )d d

x yx y

X x Y yX x Y yx y

X x Y yX x Y yx y

2 2 0 Separation Condition / Separationsbedingung

1

( ) ( )X x Y y




2 2 2k

Separation Condition / Separationsbedingung

We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG

22

2

22

2

d( ) ( )

d

d( ) ( )

d

X x k X xx

Y y k Y yy

With / Mit

2 2 0

Solutions of these Equations are / Lösungen dieser Gleichungen sind

or /( ) cos( ) sin( )

oder

or /( ) cosh( ) sinh( )

oder

X x kx kx

Y y ky ky

For k = 0 these Solutions Degenerate to / Für k = 0 diese Lösungen degenerieren zu

or /( ) const.

oder

or /( ) const.

oder

X x x

Y y y

22

2

22

2

d( ) ( )

d

d( ) ( )

d

X x X xx

Y y Y yy




We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG

22

2

22

2

d( ) ( )

d

d( ) ( )

d

X x k X xx

Y y k Y yy

2 2

2 2

2

( )

( ) cos( )

d d( ) cos( )

d dd

sin( )d

cos( )

X x

X x kx

X x kxx x

k kxx

k kx

2 2

2 2

2

( )

( ) cosh( )

d d( ) cosh( )

d d

d sinh( )

d

cosh( )

Y y

Y y ky

Y y kyy y

k kyy

k y

dcos( ) sin( )

dd

sin( ) cos( )d

kx k kxx

kx k kxx

22

2

22

2

dcos( ) cos( )

d

dsin( ) sin( )

d

kx k kxx

kx k kxx

dcosh( ) sinh( )

dd

sinh( ) cosh( )d

kx k kxx

kx k kxx

22

2

22

2

dcosh( ) cosh( )

d

dsinh( ) sinh( )

d

kx k kxx

kx k kxx




2 20 0 0 ( )

const. cos( ) cosh( ) cosh( ) cos( )

cos( ) sinh( ) cosh( ) sin( )

sin( ) cosh( ) sinh( ) cos( )

sin( ) sinh( ) sinh( ) sin( )

cos( ) e e cos( )

cos( ) e e cos(

ky k x

ky k x

k k k k jk

kx ky k x k y

y kx ky k x k y

x kx ky k x k y

xy kx ky k x k y

kx k y

kx

)

sin( ) e e sin( )

sin( ) e e sin( )

ky k x

ky k x

k y

kx k y

kx k y

Solutions of the 2-D Laplace Equation in the Cartesian Coordinate System / Lösungen der 2D-Laplace-Gleichung im Kartesischen Koordinatensystem

e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y


ES Fields – Separation of Variables / ES Felder – Separation der Variablen (...)

e ( , ) ( ) ( ) cos( )cosh( )x y X x Y y kx ky

e ( , ) 0x y


ES Fields – Separation of Variables – Example / ES Felder – Separation der Variablen – Beispiel (...)

e ( , ) 0x y

e ( , ) ( ) ( ) cos( )cosh( )x y X x Y y kx ky



e ( , ) ( ) ( ) sin( )sinh( )x y X x Y y kx ky

e ( , ) 0x y



e ( , ) 0x y

e ( , ) ( ) ( ) sin( )sinh( )x y X x Y y kx ky



e ( , ) 0x y



e ( , ) 0x y


ES Fields – Separation of Variables – Superposition of Modes / ES Felder – Separation der Variablen – Superposition von

Moden (...)

For Example, Consider the Solution / Betrachte beispielsweise die Lösung

e e 0( , ) sin( ) sinh( )x y k x k y

This Functions is Zero for / Diese Funktion ist gleich null für

Superposition of Modes to Ensure Boundary Conditions /Superposition von Moden zur Erfüllung von Randbedingungen:

Each solution of the Laplace equation – eigen solution, mode – obtained by the separation of variables displays lines (surfaces) of vanishing potential. At these lines (surfaces)

we could place a Dirichlet boundary with Φe(x,y) = 0 V /

Jede Lösung der Laplace-Gleichung – Eigenlösung, Mode –, die man über die Methode der Separation bestimmt, weist Linien (Flächen) mit dem Null-Potential auf.

Auf diesen Linien (Flächen) kann man eine Dirichlet-Rand mit Φe(x,y) = 0 V platzieren.

e

because /0 sinh( ) sinh(0) 0

weil( , ) 0

because /,... 1,0,1,... sin( ) sin 0

weil

y ky

x yn

x n kx nk



2 2

e2 2

0( , ) 0

0

x ax y

y bx y

x

ye 0U

e 0 V e 0 V

e 0 V

b

a

then it follows / dann folgt

e e 0( , ) sin sinhn n

x y x ya a

We Set / Wir setzen:

nk

a

e e 0( , ) sin( ) sinh( )x y k x k y

e

0

( , ) 0 at / bei

0

x

x y x a

y

e 0 at / bei :U y b

e e 0 0( , ) sin sinhn n

x y b x b Ua a

but / aber


ES Fields – Separation of Variables – Superposition of Modes / ES Felder – Separation der Variablen – Superposition von

Moden (...)

e1

( , ) sin sinhnn

n nx y A x y

a a



2 2

e2 2

0( , ) 0

0

x ax y

y bx y

x

ye 0U

e 0 V e 0 V

e 0 V

?!

e1

( , ) sin sinhnn

n nx y A x y

a a

nA

Adjust die Coefficients An, n = 1,2,…,∞ in Order to Ensure the

Inhomogeneous Dirichlet Boundary Condition Φe(x,b) = U0 at the Top Boundary. /

Die Koeffizienten An, n = 1,2,…,∞ sind so zu bestimmen, dass die inhomogene

Dirichlet-Randbedingung Φe(x,b) = U0 am oberen Rand erfüllt wird.

b

a



1. Determine / Bestimme

e1

( , ) sin sinhnn

n nx y A x y

a a

e ( , )y b

x y

e1

( , ) sin sinhnn

n nx y b A x b

a a

2. Multiply Both Sides with / Multipliziere beide Seiten mit sin

mx

a

e10 0

1 0

( , )sin d sin sinh sin d

sinh sin sin d

a a

nnx x

a

nn x

m n n mx b x x A x b x x

a a a a

n n mA b x x x

a a a

Adjust die Coefficients An, n = 1,2,…,∞ in Order to Ensure the

Inhomogeneous Dirichlet Boundary Condition Φe(x,b) = U0 at the Top Boundary. /

Die Koeffizienten An, n = 1,2,…,∞ sind so zu bestimmen, dass die inhomogene

Dirichlet-Randbedingung Φe(x,b) = U0 am oberen Rand erfüllt wird.



3. It Follows for m = n /Es folgt für m = n

0

sin sin d 20

2

a

x

nm

an mn m

x x xa a

n m

a

e10 0

2

( , )sin d sinh sin sin d

nm

a a

nnx x

a

m n n mx b x x A b x x x

a a a a

1

0nmn m

n m

Kronecker Delta /Kronecker-Delta

e0

2( , )sin d

sinh

a

nx

nA x b x x

n aa b

a

Orthogonal “Eigen”functions /Orthogonale „Eigen“funktionen

e0

( , )sin d sinh2

sinh2

a

nn mx

n

n a nx b x x A b

a a

a nA b

a



e0

2( , )sin d

sinh

a

nx

nA x b x x

n aa b

a

e 0( , )x b U

00

0

0

2sin d

sinh

2sin d

sinh

a

nx

a

x

nA U x x

n aa b

a

U nx x

n aa b

a

00

1

sin d cos

cos cos(0)

1 cos

aa

xx

n a nx x x

a n a

a na

n a

an

n



0

0

0

0

2sin d

sinh

21 cos

sinh

21 cos

sinh

a

nx

U nA x x

n aa b

a

U an

n na b

a

Un

nn b

a

1 1,3,5,...

cos1 2, 4,6

nn

n

0

sin d 1 cosa

x

n ax x n

a n

04 11,3,5,...

sinh

0 2,4,6,...

n

Un

nnbA

a

n

2 1,3,5,...1 cos

0 2, 4,6

nn

n



e1

( , ) sin sinhnn

n nx y A x y

a a

04 11,3,5,...

sinh

0 2,4,6,...

n

Un

nnbA

a

n

0e

1odd /

ungerade

sinh4 1

( , ) sinsinhn

ny

U nax y x

nn ab

a

Solution / Lösung

Infinite Series / Unendliche Reihe

Complete Solution / Komplette Lösung

with the Coefficients / mit den Koeffizienten



nth Mode / n-ter Mode nth Mode / n-ter ModeModes /Moden

Modes /Moden



nth Mode / n-ter Mode nth Mode / n-ter ModeModes /Moden

Modes /Moden



Modes /Moden

31

1n Modes /

Moden

31

1n


ES Fields – Capacitance Attenuator / ES Felder – „Kapazitätsabschwächer“

0y

0y

y

http://web.mit.edu/6.013_book/www/Videos/5.5.1.rm ( )u t

e 0Q

R ( )Ru t( )i t( ) ( )Ru t u t

Movie / Film:

http://web.mit.edu/6.013_book/www/Videos/5.5.1.rm



0m

1odd /

ungerade

8 1

sinhn

wC

nn b

a

e

0

0 0 0

0 e00

( , )

( , )

( , ) d

( , ) d

A V

A V

ayx y

a

xy

Q t

t

w E x y x

w x y xy

D R dS

E R dS

Induced Charge on the Output Electrode by Gauss' Integral Law with an Integration Surface Enclosing the Electrode. Width of the Electrode in the z Direction: w /

x

y

z

e m ( )Q C u t

Ladung ist negativauf der unteren Platte

( )u t

e 0Q

R ( )Ru t( )i t( ) ( )Ru t u t

( ) ( )Ru t u t



0e

10odd /

ungerade 0

0

1odd /

ungerade 0

0

sinh4 1

( , ) sinsinh

dsinh

d4 1sin

sinh

cosh4 1

sinh

ny

y

n

y

ny

U nax y x

ny y n ab

a

ny

y aU nx

nn ab

a

n ny

U a ann

ba

1odd /

ungerade 0

1

0 0

1 1odd / odd /

ungerade ungerade

sin

cosh 04 41 1sin sin

sinh sinh

n

y

n n

nx

a

nU Un n na x x

n nn a n a ab b

a a

dsinh cosh

d

n n ny y

y a a a

e 0 e00

( , ) da

xy

Q w x y xy



e10

odd /ungerade

4 ( ) 1( , ) sin

sinhny

u t nx y x

ny a ab

a

e 0 e0

0

( , ) da

xy

Q w x y xy

00

0

1

2

sin d cos

cos ( 1)

cos 1

2

aa

xx

a

x

n a nx x x

a n a

a na

n a

an

n

a

n

e 0 01

odd /ungerade

0 01

odd /ungerade

01

odd /ungerade

0

4 ( ) 1sin d

sinh

4 ( ) 1sin d

sinh

4 ( ) 1 2

sinh

8 ( ) 1

sinh

a

xn

a

xn

n

u t nQ w x x

na ab

a

u t nw x x

na ab

a

u t aw

na nb

a

u tw

nn b

a

m

1odd /

ungerade

01

odd /ungerade

8 1( )

sinh

n

n

C

w u tn

n ba

0e m m

1odd /

ungerade

8 1( ),

sinhn

wQ C u t C

nn b

a



0e m m

1odd /

ungerade

8 1( ),

sinhn

wQ C u t C

nn b

a

e m( ) d d

( ) ( ) ( )d d

Ru ti t Q t C u t

R t t

m 0

m 0

( ) cos( )

cos( ); R

R

U

R R

u t RC U t

U t U RC U

md

( ) ( ) ( )dRu t R i t R C u t

t

0( ) sin( )u t U t

m

m 0

m 0

d( ) ( )

dd

sin( )d

cos( )

Ru t R C u tt

R C U tt

R C U t

Frequency Dependent! /Frequenzabhängig!

m 0

m 0

( ) cos( )

cos( ); R

R

U

R R

u t RC U t

U t U RC U

Signal Generator /Signalgenerator

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R Ru t u t u t u t u t



1odd /

ungerade

1

2 sinh

R

n

UbU

n na

elim sinh

2

bn

a

b

a

bn

a

eb

R aU

U

1 1 1odd / odd / odd /

ungerade ungerade ungerade

1 1 1e

ee2

2

bn

R abb

nnn n naa

U

U nn

n

nur der 1. Term bleibt übrig

ln ln e

b

aRU b

U a

m 0

00

1odd /

ungerade

00

1odd /

ungerade

00

1odd /

ungerade

8 1 2

2sinh

8 12

2 sinh

16 1

2 sinh

R

n

n

nU

U RC U

wR U

nn b

a

wR U

nn b

a

wR U

nn b

a

limb

a

limb

a Untersuchen für

limb

a d.h., für lineare Abhängigkeit



eb

R aU

U

ln ln e

b

aRU b

U a

limb

a d.h., für lineare Abhängigkeit


End of the 10th Lecture /Ende der 10. Vorlesung

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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06/07 - Lecture 10 / Vorlesung 10 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT