Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 3rd

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

3rd Lecture / 3. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


Math: Requirements & Recommendations / Mathe: Voraussetzungen & Empfehlungen

Analysis / Analysis

Vector Analysis / Vektoranalysis

Algebra / Algebra

Differential Geometry / Differentialgeometrie

Differential Equations / Differentialgleichungen

Special Functions / Spezielle Funktionen

Integral Transforms / Integraltransformationen

Prof. Dr. rer. nat. Karl-Jörg Langenberg

Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &

II

⇒


Different Coordinate Systems / Verschiedene Koordinatensysteme

● Cartesian (Rectangular) Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem

● Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem

● Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem

What is the benefit of the Use of a Problem Matched Coordinate Systems ? /

Was ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenKoordinatensystemen ?

(Easier) Solution of the Problem under Concern! / (Einfachere) Lösung des betrachteten Problems?


Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)

( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( )

x y z

x y zx y z

x y z

R R R

x y z

R R R R R R R

R e R e R e

e e e

Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem

Vectorial Vector Components / Vektorielle Vektorkomponenten

( ) ( , , )

( ) ( , , )

( ) ( , , )

xx x x

yy y y

zz z z

R x y z x

R x y z y

R x y z z

R R e e

R R e e

R R e e

Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten

( , , )

( , , )

( , , )

x

y

z

R x y z x

R x y z y

R x y z z

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren

, ,

| | | | | | 1

x y z

x y z x y z

e e e

e e e e e e

Coordinates / Koordinaten , , ; , ,x y z x y z

y

z

x

xxe

yye

zzeR


Field Vector / Feldvektor


x

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale

Einheitsvektoren

, ,

| | | | | | 1

x y z

x y z

x y z

e e e

e e e

e e e

Coordinates / Koordinaten

, ,x y z

= A ( , , ) A ( , , ) A ( , , )

x y z

x y zx y zx y z x y z x y z

A R A R A R A R

e e e

y

z

xxe

yye

zzeR

A R

xe ye

ze

xyz

Limits / Grenzen

Arbitrary Vector Field / Beliebiges Vektorfeld

: Perpendicular / Senkrecht


Notation and Field Quantities / Notation und Feldgrößen

3

1 2 31

1 2 3

3 Vector Components /3 Vektorkomponenten

, , , ,

= E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )

= E ( , , , )

= E ( , , , )

i i

i i

x y z

x y zx y z

x xi

x x

t t t t

x y z t x y z t x y z t

x x x t

x x x t

E R E R E R E R

e e e

e

e

9 Dyadic Components /9 dyadische Komponenten

, , , ,

, , ,

, , ,

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

+ ( , , , ) (

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

xx xy xzx x x y x z

yx yyy x

t t t t

t t t

t t t


x y z t x

R R R R

R R R

R R R

e e e e e e

e e

3 3

1 2 31 j 1

1 2 3

, , , ) ( , , , )

+ ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , )

( , , , )

i j i j

i j i j

yzy y y z

zx zy zzz x z y z z

x x x xi

x x x x

y z t x y z t


x x x t

x x x t

e e e e

e e e e e e

e e

e e

Vector / Vektor: Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

Dyad / Dyade: Permittivity Dyad / Permittivitätsdyade

with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention

Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.

1 2 3{ , , } { , , }x y z x x x 1 2 3{ , , } { , , }x y z x x xmit mit



( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

r z

r zr z

r z

R R R

r z

R R R R R R R

R e R e R e

e e

Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem


( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

rr r r

zz z z

R r r

R z z

R R e e

R R 0

R R e e

Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten

( , , ) ( )

( , , ) 0

( , , )

r r

z z

R r z r

R r z

R r z z

e

e


( ), ( ),

( ) ( ) | ( ) | | ( ) | | | 1

r z

r z r z

e e e

e e e e e e

Coordinates / Koordinaten , , ; 0 , 0 2 ,r z r z

y

z

x

rr e

zzeR


Field Vector / FeldvektorCylindrical Coordinate

System / Zylinderkoordinatensystem

= A ( , , ) ( , , ) ( , , )

r z

r zr zr z A r z A r z

A R A R A R A R

e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale

Einheitsvektoren

( ), ( ),

( ) ( )

( ) ( ) 1

r z

r z

r z

e e e

e e e

e e e

Coordinates / Koordinaten

, ,r z

y

z

x

rr e

zzeR

A R

( )r e

ze

e

00 2r

z

Limits / Grenzen





( ) ( ) ( )

= ( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( )

( , )

R

R R

R

R R

R

R

R R R R R R R

R e R e

R e

e

Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem


( ) ( , , ) ( , ) ( , )

( ) ( , , ) ( , )

( ) ( , , ) ( )

RR R RR R R

R R

R R

R R e e

R R e 0

R R e 0

Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten ( , , ), ( , , ), ( , , )RR R R R R R


, ,

| | | | | | 1

R

R R

e e e

e e e e e e

Coordinates / Koordinaten , , ; 0 , 0 ;0 2R R

y

z

x

R

,RR e


Field Vector / Feldvektor


,

= A ( , , ) , ( , , ) , ( , , )

R

R R

t

R A R A R

A R A R A R A R

e e e


, , , ,

, ,

| , | | , | | | 1

R

R

R

e e e

e e e

e e e

Coordinates /

Koordinaten, ,R

y

z

x

R

,RR e

A R

e

,R e

, e


Limits /Grenzen


000 2

R


Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /

Kartesischen Koordinatensystemen: Koordinatenflächen, Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement

xeye

ze

( , , )P x y z

const.z

const.y

const.x

xzdS

xydS

yzdS


Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Zylinderkoordinatensystem: Koordinatenflächen,

Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement

r e

( ) eze

const.z

const.

const.r

rzdS

xydS

zdS

d rdr

( , , )P r z


Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /

Kugelkoordinatensystem: Koordinatenflächen, Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement

const. const.R

, e

( ) e

,R e

rdS

dS

rdS

sin d R

sinR

d R

( , , )P R


Metric Coefficients and Vector Differential Line Elements / Metrische Koeffizienten und vektorielle differentielle Linienelemente


1, 1, 1x y zh h h



1, , 1r zh h r h 1, , sinRh h R h R

d

d

d

d

d

d

d

d

d

r

rr

r

z

zz

z

R

h r

r

R

h

r

R

h z

z

dR s

e

e

dR s

e

e

dR s

e

e

d

d

d

d

d

d

d

d

sin d

R

RR

R

R

h R

R

R

h

R

R

h

R

dR s

e

e

dR s

e

e

dR s

e

e

d

d

d

d

d

d

d

d

d

x

xx

x

y

yy

y

z

zz

z

R

h x

x

R

h y

y

R

h z

z

dR s

e

e

dR s

e

e

dR n

e

e


Metric Coefficients and Differential Volume and Surface Elements / Metrische Koeffizienten und differentielle Volumen- und Flächenelemente


1, 1, 1x y zh h h



1, , 1r zh h r h 1, , sinRh h R h R

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

r z

r z

z

zz

r

rz

r zz r

r

rr

z

V h r h h z

h h h r y

r r z

S

h h z

r y z

S

h h r z

r z

S

h h r

r r

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

2

2

d d d d

d d d

sin d d d

d

( ) d d

sin d d

d

( ) d d

sin d d

d

( ) d d

d d

R

R

R

r

RR

R

RR

V h Rh h

h h h R

R R

S

h h

R

S

h h R

R R

S

h h R

R R

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

x y z

x y z

yz

y zy z

x

xz

x zz x

y

xy

x yx y

z

V h xh y h z

h h h x y z

z x z

S

h h y z

y z

S

h h x z

x z

S

h h x y

x y

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e


Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten

Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten

Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten

x

y

z

cos

sin

r

r

z

sin cos

sin sin

cos

R

R

R

2 2

arctan

x y

y

xz

r

z

sin

cos

R

R

2 2 2

2 2

arctan

arctan

x y z

x y

zy

x

2 2

arctan

r z

r

z

R

Transformation Table / Umrechnungstabelle

z

y

x

R

Coordinates of Different Coordinate Systems /

Koordinaten verschiedenen Koordinatensystemen


cos sin cosx r R

1. Formulate x as a function of the cylinder and spherical coordinates. / Formuliere x als Funktion der Zylinder- und Kugelkoordinaten.

2. Formulate r as a function of the Cartesian and spherical coordinates. / Formuliere r als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten.

3. Formulate as a function of the cylinder coordinates. / Formuliere als Funktion der Zylinderkoordinaten.

2 2 sinr x y R

2 2 2 2 2 2

1

( cos ) ( sin ) cos sinx y r r r r

2 2x y2 2x y

Examples / Beispiele


Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten

Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten

Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten

x y zx y zA A A A e e e r zr zA A A A e e e RRA A A A = e e e

x

y

z

A

A

A

cos sin

sin cos

r

r

z

A A

A A

A

sin cos cos cos sin

sin sin cos sin cos

cos sin

R

R

R

A A A

A A A

A A

cos sin

sin cos

x y

x y

z

A A

A A

A

r

z

A

A

A

sin cos

cos sin

R

R

A A

A

A A

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos

x y z

x y z

x y

A A A

A A A

A A

sin cos

cos sin

r z

r z

A A

A A

A

RA

A

A

Transformation Table / Umrechnungstabelle

Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen

Koordinatensystemen


Example: Coordinate Transformation of the Position Vector / Beispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor

, ,, , , , zx y

x y zR x y zR x y z R x y z

x y z R e e e

Position Vector in the Cartesian Coordinate System / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem

( , , , , , ) cos sin( , , , , , ) sin cos( , , , , , )

r x y z x y

x y z x y

z x y z z

R r z R R R R RR r z R R R R RR r z R R R R

( , , ) ( , , ) cos( , , ) ( , , ) sin( , , ) ( , , )

x

y

z

R r z x r z rR r z y r z rR r z z r z z

, ,, , , ,

cos sinzx y

x y zR r zR r z R r z

r r z

R e e e

Transformation of the Coordinates / Transformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate System as

a Function of Cylinder Coordinates / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als

Funktion der Zylinderkoordinaten

Transformation of the Scalar Vector Components / Transformation der skalaren Vektorkomponenten

2 2

1

cos cos sin sin

(cos sin )

cos sin sin cos 0

r

z z

R r r

r r

R r r

R R

( )r z

r zR R

r z R e e

Position Vector in the Cylinder Coordinate System /

Ortsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem

( , , , , , )

, , ( ) , , ( ) , ,

r z

r zr z

r y R R R

R r y R r y R r y

R

e e e

?Position Vector in the Cylinder Coordinate

System / Ortsvektor im Zylinderkoordinatensystem


Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)

( ) ( ) ( )S t C t S t

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t E R dR B R dS J R dS

Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz

Time Dependent Surface /Zeitabhängige Fläche

Time Dependent Contour /Zeitabhängige Kontur


Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)

Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz

( ) ( )C t S t dR

( , )tE R

dR

( , )tE R dR

[m] Closed Contour Integral / Geschlossenes Kurvenintegral

[V/m] Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

[m] Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement

[V]Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR

dRdR s

Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentiellesLinienelement

Tangential Unit Vector / Tangentialer

Einheitsvektor

Scalar Differential Line Element / Skalares differentielles

Linienelement

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )

dC t S t S t S tt t t

t E R dR B R dS J R dS


Different Products / Verschiedene Produkte

C A BScalar Product / Skalarprodukt

C AB

C A×BVector Product / Vektorprodukt

Dyadic Product / Dyadisches Produkt


Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)

cos ( , )

cosAB

ABAB

A B A B A B

cos ABB

AB

A

B

cos ABA

ABEnclosed Angle / Eingeschlossener

Winkel

cos

cosBA

AB

BA

AB

A B B A

cos cosAB AB

cos

arccos

AB

AB

A B

A B

A B

A B



1 00

0 1 0

10 0

( ) ( )

+

+

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A

A B e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

x x y y z zB A B A B

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

3

1

( ) ( )

( ) ( )

i i


x x y y z z

x x x x x xx x x x x x

x x x x x x

x xi

A A A B B B

A B A B A B

A A A B B B

A B A B A B

A B

A B e e e e e e

e e e e e e

x y z e e e


1

0

0

x x

x y

x z

e e

e e

e e

0

1

0

y x

y y

y z

e e

e e

e e

0

0

1

z x

z y

z z

e e

e e

e e

1

2

3

x x

y x

z x

Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten



3 3

1 1

3 3

1 1

3 3

1 1

( ) ( )

or/oder

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i j i j

ij

i j

xi


x xx xi j

x xx xi j

x x x xi j

x x x x

x x ij

B

A A A B B B

A B

A B

A B

A B

A B

A B e e e e e e

e e

e e

e e

e e

i j

x j

x xj j

i i

x ij x

A

A B

x x

A B

A B

1

0iji j

i j

Kronecker Delta / Kronecker-Delta

with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention

Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.


Magnitude of a Vector / Betrag eines Vektors

1 00

0 1 0

10 0

(A A A ) (A A A )

A A A A A A

+ A A A A A A

+ A A A A A A




z x z y z zz x z y z z

A A A

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

1

2

2 2 2

A A A A A A

A A A

A

x x y y z z

x y z

3 3

1 1

2

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i

x xx xi j

x xx x

x x x x

x

A B

A A

A A

A

A A A

e e

e e

e e


Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector / Beispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstärkevektor

( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )

x y zx y z

x y z

x y z x y z x y z x y zx y z

R e e ee e e


( , ) ( , , , )

E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z

t x y z t


E R E

e e e

Electric Field Strength Vector / Elektrische Feldstärkevektor

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

x y z

x y zx y z

x y zx y z

x y z

RR

Re e e

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z

R R R

e e e e e e

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

E E E

E E E

x y zx y z

x y z

x y zx y z

x y z

EE

Ee e e

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

E E E E E E

E E E


x y z

x y z x y z x y z

E E E

e e e e e e

Position Vector / Ortsvektor

Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)

Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / Betrag des elektrische Feldstärkevektors

(Stärke)

Position Unit Vector (Direction) / Ortseinheitsvektor (Richtung)

Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische Feldstärkeeinheitsvektor (Richtung)


Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (1)

sin ( , )

sin

AB

AB

AB

C

AB

S

C A×B

A B A B

AB

A

B

C

ABS

and /

und C A C B

Surface / Fläche



A×B B×A

0

0

( ) ( )

+

+

yz

z x

y x




z x z y zz x z y

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A

ee

e e

e e

A×B e e e × e e e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e

0

( ) ( ) ( )

z z z

y z z y z x x z x y y xx x y z

B

A B A B A B A B A B A B

e ×e

e e e e

A×A 0

x y z e e e


x x

x y z

x z y

y x z

y y

y z x

z x y

z y x

z z

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0



( )

+ ( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z x y

x y z x y

x y z x y

y z z y x

z x x z y

x y y x z

A A A

B B B

A A A A A

B B B B B

A B A B

A B A B

A B A B

e e e

A×B

e e e e e

e

e

e

Add the first two Columns / Addiere die beiden ersten Spalten

Sarrus Law /Regel von Sarrus

[Pierre Frédéric Sarrus, 1831]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus


Dyadic Product / Dyadisches Produkt

3 3

1 1

3 3

1 1

i ji j

i ji j

i ji j

i j i j

i j i j

x xx xi j

x xx xi j

x xx x

x x x x

x x x x

x xi jD

A B

A B

A B

A B

D

AB e e

e e

e e

e e

e e

D

BA AB

D ε E

B μ H

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 05/06 - Lecture 4 / Vorlesung 4 32

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder


Electrostatic Field Problem – Example: Parallel Plate Capacitor / Elektrostatisches Feldproblem – Beispiel: Paralleler

Plattenkondensator

Scalar Field: Electrostatic Potential /Skalarfeld: Elektrostatisches Potenzial

Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische Feldstärke


e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( )

×E R 0

D R R

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen

Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen

e

( ) ::( )

( ) :

E RD RR

Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen


e

e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

Q

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( ) ×E R 0

D R R

Integral Form / Integralform



0( ) ( )D R E R

0 r( ) ( ) D R E R

Vacuum / Vakuum

Electric Field Constant / Elektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)Permittivity of Free Space / Permittivität des Freiraumes

Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen Fällen

Permittivity / Permittivität

2

3e

( ) [V/m Newton /Coulomb = N/C][As/ m ]( )

( ) [As/m ]

E RD RR

Differential Form /

Differentialform

rMaterial

1.006

Paper / Papier 2...4

Wet Earth / Nasse Erde 5...15

Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13

Seawater / Seewasser 70

Air / Luft


(2)e

12

(1)e

212

1 N

4 R

Q Q

RF R

Coulomb’s Law / Coulombsches GesetzCharles Augustin de Coulomb (1736 – 1806)

ES Fields – Electric Points Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law /

ES Felder – Elektrische Punktladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches Gesetz

(1)e

(2)e

Force /( ) [N]

Kraft

Electric Point Charge /[As]

Elektrische Punktladung

Electric Point Charge /[As]

Elektrische PunktLadung

Distance /[m]

Abstand

Distance Unit Vector /[1]

Abstandseinheitsvektor

Pe

Q

Q

R

RF

R

rmittivity of Free-Space /[As/Vm]

Permittivität des Freiraumes

12R

(2)eQ

(1)eQ

12R

1R

R R

RR

= mR R R R

(2)

12

(1)

1

ee224

QQ

RR RF

2 2 2

2 2 2,

x y z

x y zR

x y z

R x y z

x y z

x y z

e

R e e e

R R

e e eR

1R2R

12 2 1 R R R


(1)e

(2) 2e

N/C or V/m4

Q

Q R

RR

FE R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische Feldstärke: Kraft pro Einheitsladung


ES Fields – Electric Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law / ES Felder – Elektrische Ladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches

Gesetz

(2)e

(1)e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische Feldstärke

Force /( ) [N]

Kraft

Electric Charge /[As]

Elektrische Ladung

Electric Test Charge /[As]

Elektrische Testladung

Distance /[m]

Abstand

Distance

Q

Q

R

R

R

E

F

Unit Vector /[1]


Permittivity of Free-Space /[As/Vm]

Permittivität des Freiraumes

R

R(2)eQ

(1)eQ

R

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

Move … / Bewege...

Radial Field / Radialfeld

(2)eQ

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

(1)e

)

2

(2e

4

Q

Q

R

EF R

R

R


e2

e V/m44 RR

R

Q Q

R RE R

R R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische Feldstärke: Kraft pro Einheitsladung


ES Fields – Electric Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law / ES Felder – Elektrische Ladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches

Gesetz

e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische Feldstärke

Electric Charge /[As]

Elektrische Ladung

Distance /[m]

Abstand

Distance Unit Vector /[1]


Permittivity of Free-Space /

Permitt

Q

R

R

R

E

[As/Vm]ivität des Freiraumes

ReQ

R

Radial Field / Radialfeld

2

e

e

4

4

R

Q

R

Q

R RE

R


e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( )

×E R 0

D R R

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

Method of Gauss’ Electric Law /Methode des Gaußschen elektrischen Gesetzes



e

( ) ::( )

( ) :

E RD RR

Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen


Source Distribution / Quellverteilung

se

s

0( )

0

V

V

RR

R

sV

e ( ) 0 R

Source Volume / Quellvolumen

C S Integration Contour / Integrationskontur

( ) 0C S

E R dR

( )E R

ES Fields – Method of Electric Gauss’ Law / ES-Felder – Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes


Source Distribution / Quellverteilung

se

s

0( )

0

V

V

RR

R

d

nD

S

R

D R dS D R n

sV

e ( ) 0 R

e ( ) 0 R

Source Volume /Quellvolumen

V

Integration Volume / Integrationsvolumen

e ( ) 0 Re

e

( ) ( )de S V VV

Q

D R dS R

Total Electric Charge in V /

Elektrische Gesamtladung in V

( )

e

( ) d

Total electric charge inside thevolume with the cl

Summation of all = Contributions /Summation aller = -Beiträge

( ) ( )d

eS VDn

nn

S V V

QS

VDD

V

R

D R n

n Dn D

D R dS R

osed surface /Gesamte elektrische Ladung im Volumen mit der geschlossenen Oberfläche

S V

V S V

ee

Flux of through in /Fluss von durch in

S Q VS Q V

DD



S V

Integration Volume / Integrationsvolumen

e

e

( ) ( )d

S V V

V

Q

D R dS R

ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law /

Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes


0 source- free / quellenfrei

( ) 0 Source / Quelle

0 Sink / SenkeS V

D R dS

e ( ) R

SS 1S 2S

2n1n

1 1

2 2

1

2

e

( ) d

( ) d

( ) d

S SSS V

S V

S V

S

S

S

Q

D R n

D R n

D R n

Sn


sVSource Volume / Quellvolumen

S V Integration Surface (Closed Surface) / Integrationsfläche (geschlossene Oberfläche)

v ( )

v

( ) ( ) d

v ( ) d

n

S V S V

nS V

S

S

R

v R dS v R n

R

ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law /

Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes

Example: Fluid Mechanics – Spring of Water / Beispiel: Strömungsmechanik – Wasserquelle

vv

v

Spring of Water / Wasserquelle

Total Flux through the Closed Surface / Gesamtfluss durch die geschlossene

Oberfläche

v

n


ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law - Example /

Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes - Beispiel

Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichte

e0 00e e

0

( ) ( )

0

RR R

RR

R R

R

Prescribed: Electric Charge Density / Vorgegeben: Elektrische

Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

++

+

+

+

++

+ + + +++

+

+

+

+

+ + ++

++

+++

+

+

++

+

+

+

0RR

R

R

0R

0R

e0 ( )R

( )RD R

sin dR dR

dR

e

e

( )

( ) ( ) d ( ) d

n

S V S V VD Q

S V

R

D R dS D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen (ES)

Fall

Radial Symmetry /Radialsymmetrie !

Charged Sphere with Radius R0 / Geladene Kugel mit dem Radius R0

Solution for D(R) / Lösung für D(R)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )n R

R

D D

n RD D

R R

D R n D R e

R R


Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement (1)

dSdS nDefinition:

Surface /Fläche

y

z

x

1 2, R

1 1 2,d R1

dS1

dR

1

2

1 2

1 2

1 1 2

1 2 2

,

,

d ,

, d

R

R

R

dR

dR

Surface Parameters / Flächenparameter



Vector Differential Line Elements / Vektorielle differentielle Linienelemente

1 2, R

22

dR


n


Tangential Vectors / Tangentialvektoren

1 2 1 211

1 2 1 222

, ,

, ,

σ R

σ R

1 2 2, d R

dS


Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement (2)

1

2

1 2 11

1 2 22

, d

, d

dR σ

dR σ

Vector Differential Line Elements / Vektorielles differentielles Linienelement

1 2

1 2 1 2 1 21 2

d

, , d d

S

dR ×dR

σ ×σ

Scalar Differential Surface Elements / Skalares differentielles Flächenelement

1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

, ,

, ,

σ ×σ

nσ ×σ

Normal Unit-Vector / Normaleneinheitsvektor

1 2 1 21 21 2 1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 21 2

d

, , , , d d

, ,

, , d d

S

dS n

σ ×σσ ×σ

σ ×σ

σ ×σ

Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement


Gauss’ Electric Law / Gaußsches elektrisches Gesetz

e eQ

Closed Surface Integral /Geschlossenes Flächenintegral Summation of all Normal Componentes of

at the Closed Surface of the Volume /

Summation a

( )

( ) ( ) d

n

S V S V

S= VV

D

S

R

D

D R dS D R n

e

Volume In

ller Normalkomponenten von auf der geschlossenen Oberfläche des

Volumens

Flux Through the Colsed Surface /Fluss durch die geschlossene Oberfläche

e ( ) d

S= VV

VV

D

R

e

tegral /Volumenintegral

Summation of all charges inside the Volume /

Summation aller Ladungen in dem Volumen

V

V

Q

z

SR

y

x

Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve

: ktor

n

S V

nD

nD D n

Sphere/Kugel: V

dSdS n

dS

nn DD n

Example / Beispiel:


Example: Sphere with Radius a / Beispiel: Kugel mit Radius a (1)

2

2

0 0( ) [ ( , , )][ ( , , )]

e

( ) ( ) d [ ( , , )] , sin d d

=

n Rn

RS V S VD D R a

D R a

S R a a

R R

R

D R dS D R n D R e

z

SR

y

x


: ktor

n

S V

n D

nD D n

Sphere/Kugel: V

dSdS n

dS

nn DD n

2 2

d d

d ( d d )

, sin d d , sin d dR R

S SR a

S h h

R a

n n

dS n n

e e

0

0 2

( )

e

( ) d

( ) d

n

S VD

V

S

V

R

D R n

R


Example: Sphere with Radius a / Beispiel: Kugel mit Radius a (2)z

SR

y

x


: ktor

n

S V

n D

nD D n

Sphere/Kugel: V

dSdS n

dS

nn DD n

0

0

0 2

R a

( )

e

( ) d

( ) d

n

S VD

V

S

V

R

D R n

R

2d sin d d d d d d RV R R h h h R

22

e e0 0 0

e

( )d [ ( , , )] sin d d d

a

VR

V R R R

Q

R R


Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichte

e0 00e

0

( )

0

RR R

R

R R

RElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

++

+

+

+

++

+ + + +++

+

+

+

+

+ + ++

++

+++

+

+

++

+

+

+

0R R

R

R

0R

0R

e0

RD

sin dR dR

dR

e

( )

( ) d ( ) d

n

S V VD

S V

R

D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen Fall

Radial Symmetry / Radialsymmetrisch

!


End of Lecture 3 /Ende der 3. Vorlesung

Documents

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 3rd