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11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 2
Einleitung
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 3
Einleitung
Die thermische Quantenfeldtheorie dient der Be-handlung relativistischer Vielteilchensysteme imthermischen Equilibrium (extreme Materie).
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 4
Einleitung
Untersuchung des elektroschwachen Phasen-übergangs (t=10-37 s, T=1028 K)
Untersuchung des Übergangs des frühen Universums aus der QCD-Plasmaphase ins Confinement / Entstehung der Hadronen (t=10-5 s, T=1012 K)
Außerdem aber auch z.B. theoretische Behandlung des Inneren von Neutronensternen
Ein Hauptanwendungsgebiet der thermischen Feldtheorie ist die Kosmologie des frühen Universums
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 5
Einleitung
QCDSchwerionenkollisionen,Untersuchung des entsehenden Quark-Gluon-Plasmasderzeit: RHICgeplant: LHC, FAIR
QEDz.B. Vermessung der thermischen Planckverteilung durch Streuung von Elektronen an thermischen Photonen (LEP)
ElektroschwachDerzeit keine Verifikationmöglich
Experimentelle Verifikation
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 6
Vorteile der Untersuchung schwerer
Quarkonia: Theorie
Schwere Quarkonia sind Gitter- oder Störungstheoretischen Metoden zugänglich.Quantitative Aussagen über thermische Anregungszustände und Zerfallsbreiten sind möglich.
ExperimentSchwere Quarkonia liefern auch vor einem thermischen Hintergrund ein gut zu isolierendes Signal.Eine Überprüfung theoretischer Aussagen ist möglich!
Einleitung
Schwere Quarkonia
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 7
Inhalt
Grundlagen der thermischen QFTGrundidee, bosonische und fermionische Zustandssummen, dynamische Observablen
Schwere QuarkoniaSchwere Quarkonia in einem Plasma: das Schmelzen der Bindungszustände,ein effektives Potential für Bottomium
Das Quark-Gluon PlasmaEine Darstellung der kinetische Theorie
SimulationDiskretisierung der Bewegungsgleichungen und Ergebnisse
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 8
Grundlagen
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 9
Grundlagen
Ein Überblick über die Grundlagen der Thermischen Feldtheorie
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 10
Grundlagen
Ausgangspunkt der thermischen QFT:
€
Z = Tr(e−β ( H −μN ))
Idee: Interpretation von ß als euklidische Zeit und Formulierung als Pfadintegral
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 11
Grundlagen: Bosonen
Darstellung der Spur:
€
Tr(O) = dφ(x)∫x
∏ < φ | O | φ >
€
Z = dφ(x) < φ | e−β ( H −μN ) | φ >∫x
∏
Bosonische Zustandssumme:
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 12
Grundlagen: Bosonen
Entwicklung in ein Pfadintegral
€
<φa | e− Hτ | φa >=N →∞lim < φa | e
− Hτ
N e− H
τ
N ...e− H
τ
N
_________N mal__________
| φa >
2. Schritt
€
1=dπ (x)
2π∫ | π >< π |
x
∏
€
1 = dφ(x) | φ >< φ |∫x
∏
1. Schritt
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 13
Grundlagen: Bosonen
Entwicklung in ein Pfadintegral
3. Schritt: Identitäten
a) b)
c)
€
<φ | π >= exp(i d3xπ (x∫ )φ(x))
€
<φ1 | φa >=δ(φ1 − φa )
€
e− H
τ
N ≅N →∞
(1− Hτ
N)
€
Z = D πD φexp i dτ0
β
∫ d3x iπ∂φ
∂t−H (φ,π ) + μN (φ,π )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟∫
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
φ(β )=φ(0)
∫
Zustandsumme:
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 14
Grundlagen: Bosonen
Zustandssumme der Yang-Mills Theorie
€
Z = [dAaμ ]δ(F b )det
∂F c
∂α d
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟exp dτ d3xLE (τ , x)∫
0
β
∫ ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
A(β )= A (0)
∫Periodische RB Eichfixierung
Übergang:
€
LE = −LM (τ = it)
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 15
Grundlagen: Fermionen
Darstellung der Spur:
€
Tr(O) = dcdc*∫ e−c*c < −c | O | c >
€
Z = dφ(x)dφ*(x)e− φ*φ
x
∑< −φ | e−β ( H −μN ) | φ >∫
x
∏
Fermionische Zustandssumme:
antiperiodische RB
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 16
Grundlagen: Fermionen
Die Zustandssumme als Pfadintegral
€
Z = D φD φ* exp − dτ dx∫ φ+∂0φ + H − μN( )0
β
∫ ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
φ(β )=−φ(0)
∫
Die Herleitung erfolgt analog zum bosonischen Pfadintegral, jedoch über Einschieben von:
€
1 = dφi*(x)dφi(x)∫
x
∏ e− φi
* (x )φi (x )x
∑| φi >< φi |
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 17
Grundlagen: Fermionen
Zustandssumme der Dirac- Fermionen
€
Z = [idψ +][dψ ]exp − dτ d3xLE (τ , x)∫0
β
∫ ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ψ (β )=−ψ (0)
∫Antiperiodisch
Übergang:
€
LE = −LM (τ = it,γ M → γ E )
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 18
Matsubara Frequenzen
Aufgrund der periodischen Randbedingungen
weisen thermische Felder ein diskretes
Frequenzspektrum auf:
Bosonen:
Fermionen:
€
ωn = 2πnT
€
ωn = (2n +1)πT
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 19
Dynamische Observablen
Es sei
€
ˆ O ein Operator im Heisenbergbild mit:
€
ˆ O X (t) ≡ ˆ O (t,x) und
€
ˆ O Y (t) ≡ ˆ O (t, y)
Zweipunktfunktionen dieses Operators ergeben
sich in Minkowskizeit aus der Spektralfunktion:
€
ρ( p0) = dt−∞
∞
∫ 1
2ˆ O X (t), ˆ O Y (0)[ ] e ip0t
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 20
Dynamische Observablen
Die Spektralfunktion ergibt sich aus der
euklidischen Korrelationsfunktion
€
ΠE (ωn ) = dτ0
β
∫ ˆ O X (τ ), ˆ O Y (0) e iωnτ
durch analytische Fortsetzung:
€
ρ( p0) = ImΠ E (ωn → −i(p0 + iε))
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 21
Schwere Quarkonia
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 22
Schwere Quarkonia
Ein effektives Potential für schwere Quarkonia
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 23
Motivation
Debye Screening
Durch Wechselwirkung mit dem Plasmaerhalten Gluonen eine thermischen Masse. Screening farbelektrischer Felder
Mit steigender Temperatur unterschreitet derScreening Radius zunehmend die Ausdehnungder Hadronen und es kommt zu einem Zerfallder Bindungszustände.
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 24
Motivation
Ein statisches Potential der thermischen QCD
sollte neben der Modifikation der Feldstärke
durch Debye-Screening auch den induzierten
Zerfall der Bindungszustände berücksichtigen.
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 25
Ein effektives Potential
Ausgangspunkt:
€
˜ C >(Q) ≡ gμν dt−∞
∞
∫ C>(t) mit
€
C>(t) ≡ d3x∫ J μ (t,x)J μ (0,0)
und
€
J μ (t,x) =ψ (x, t)γ μψ (t,x)
Point Splitting
€
C>(t,r) ≡ d3x∫ ψ (t,x +r
2)γ μWr(t,x +
r
2,x −
r
2)ψ (t, x −
r
2)ψ (0,0)γ μψ (0,0)
Wilson Linie (flux tube)Schrödingergleichung für M:
€
[i∂t − (2M −∇ r
2
M+ ...)]C>(t,r) = 0
Zu bestimmen !
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 26
Ein effektives Potential
Zur Vereinfachung wird folgender Korrelator
im Übergang M betrachtet:
€
C>(t,r) ≡<ψ (t,r
2)γ μWr(t,
r
2,−
r
2)ψ (t,−
r
2) ×
×ψ (0,−r
2)γ μWr (0,−
r
2,r
2)ψ (0,
r
2) >
Im Übergang M entsprechen die Wilson-
Linien Quark-Propagatoren !
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 27
Ein effektives Potential
Euklidischer Korrelator
Die Rechnung erfolgt euklidisch mit dem
Korrelator:
€
CE (τ ,r) ≡1
NC
Tr < W (0,r;τ ,r)W (τ ,r;τ ,0) ×
×W (τ ,0;0,0)W (0,0;0,r) >
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 28
Ein effektives Potential
In führender Ordnung sind folgende
Diagramme zu berechnen:
Wilson Linien, Heavy Quark Propagatoren
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 29
Ein effektives Potential
mit:
€
C>(t,r) = C>(0)(t,r) + C>
(2)(t,r)
Der Realzeit-Korrelator ergibt sich nach
analytischer Fortsetzung des Ergebnisses als
€
C>(0)(t,r) =11)
2)
€
C>(2)(t,r) = g2CF
d3q
(2π )3∫ e iq3r + e−iq3r − 2
2
it
q2 + Π E (0,q)+
⎧ ⎨ ⎩
€
×1
q2−
1
(q0)2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ρ E (q0,q) +
1
q32
−1
q2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ρT (q0,q)
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
€
+dq0
πnB (q0)
−∞
∞
∫ 1+ eβq0 − e iq0t − eβq0e−iq0t[ ] ×
HTL Beitrag zum Gluon Propagator
Gluonische Spektralfunktionen
Bose Verteilung
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 30
Ein effektives Potential
Schrödingergl. für M:
€
i∂tC>(t,r) = V>(t,r)C>(t,r)
Die ersten Ordnungen in g lauten:
1)
Das effektive Potential bis zur Ordnung g2
bestimmt sich somit über:€
i∂tC>(0)(t,r) = 0 2)
€
i∂tC>(2)(t,r) = V>
(2)(t,r)C>(0)(t,r)
€
V>(t,r) = V>(2)(t,r) = i∂tC>
(2)(t,r)€
da C>(0)(t,r) =1
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 31
Ein effektives Potential
Für t ergibt sich schließlich:
€
limt →∞
V>(2)(t,r) = −
g2CF
4πmD +
exp(−mDr)
r
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥−
ig2TCF
4πφ(mDr)
mit:
€
φ(x) = 2dzz
(z2 +1)21−
sin(zx)
zx
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
∞
∫
Der Realteil entspricht dem üblichen Potential der thermischen QCD.
Der Imaginärteil wird im folgenden als Zerfallsbreite bezeichnet.
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 32
Erwartung für Bottomium
Zur Untersuchung von Bottomium wurde folgende
Schrödingergleichung numerisch gelöst:
€
[i∂t − (2M −∇ r
2
M+ ReVt →∞(r))]C>(t,r) = 0
Bestimmung des Grundzustands über:
Numerov Integration (Wasserstoff GZ für r0) Kopplung und Debyemasse aus dimensions-
reduzierter QCD
Bei Behandlung des Imaginärteils des Potentials
als Störung ergibt sich die Zerfallsbreite über:
€
≅ψGZ ImVt →∞ ψGZ
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 33
Erwartung für Bottomium
Erwartete Bindungsenergie und Zerfallsbreite
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 34
Beobachtung
Klassischer Grenzfall
Im klassischen Grenzfall verschwindet der Realteil des effektiven Potentials.......während der Imaginärteil vollständig erhalten bleibt. Der Zerfall schwerer Quarkonia ist auf die klassische Dynamik des Quark-Gluon Plasmas zurückzuführen.
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 35
Das Quark Gluon Plasma
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 36
Das Quark Gluon Plasma
Entwicklung einer kinetischen Theorie des
Quark-Gluon Plasmas
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 37
Kinetische Theorie
Skalen der thermischen QCD
k~T (Charakteristische Skala des QGP)Wechselwirkungen zwischen „harten“ Moden erfolgen durch den Austausch „weicher“ Teilchen
k~gT (Skala kollektiver Anregungen)Die Dynamik „weicher“ Moden kann bis auf einen Beitrag durch den Austausch harter Teilchen klassisch approximiert werden (Expansionsparameter: g2T/k)
k~g2T (Nichtperturbativ)Beiträge thermischer Loops höherer Ordnung dominieren.
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 38
Kinetische Theorie
Beschreibung des Quark-Gluon Plasmas als System ultrarelativistischer Teilchen in einem klassischem Feld
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 39
Kinetische Theorie
Klassische Bewegungsgleichungen für ein spin-
loses Teilchen der Masse M und Farbladung Qa
€
MdX μ
dτ= K μ
€
MdK μ
dτ= −gQaFa
μν Kν
€
MdQa
dτ= gfabcKμ Ab
μQc
1)
2)
3)
Bewegungsgleichung der SR
Bewegung im Eichfeld
Farbwechsel
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 40
Kinetische Theorie
Boltzmann Gleichung
€
˙ X μ∂
∂X μ+ ˙ K μ
∂
∂K μ+ ˙ Q a
∂
∂Qa
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ f (X,K,Q) = C[ f ]
Verteilung Kollisionsterm
EOM, C[F]=0
€
Kμ
∂
∂X μ+ gQaFa
μν ∂
∂K ν+ gfabc Ab
μQc
∂
∂Qa
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟f (X,K,Q) = 0
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 41
Kinetische Theorie
Feldgleichung und Strom
€
Dν Faνμ (X) = Ja
μ (X)Feldgleichung:
Strom:
€
Jaμ (X) = ja
μ
Teilchen ,Spins
∑ (X)
mit:
€
jaμ (X) = g dK∫ dQK μQa f (X,K,Q)
≡ g dK∫ jaμ (X,K)
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 42
Kinetische Theorie
Expansion der Distributionsfunktion
Eine Lösung der Boltzmann- und Feldgleichung
erfolgt durch Expansion der Distribution nach g:
€
f = f (0) + gf (1) + g2 f (2) + ...
Die Gleichgewichtsverteilung f(0) (Boseverteilung
für Gluonen, Fermiverteilung für Quarks) ist
hierbei von Q und X unabhängig
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 43
Kinetische Theorie
Boltzmann Gleichung und Strom in führenderOrdnung
€
Kμ
∂
∂X μ+ gfabc Ab
μQc
∂
∂Qa
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ f (1)(X,K,Q) =
KμQaFaμν ∂
∂K νf (0)(K 0)
Boltzmann:
€
jaμ (X) = g2 dK∫ dQK μQa f (1)(X,K,Q)
≡ dK∫ jaμ (X,K)
Strom:
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 44
Kinetische Theorie
Der Farbstrom erfüllt die Gleichung:
€
Kν Dabν jb
μ (X,K) = g2K μKν Fbνρ ∂
∂Kρ
dQQaQb f (0)(K 0)∫
€
Nn(K 0)δab (Gluonen)
(1/2) ˜ n (K 0)δab (Quarks)
Summation über alle Teilchen liefert schließlich:
€
Kν DXν J μ (X,K) = 2g2K μK ν Fν 0
d
dK0
Nn(K 0) + N f ˜ n (K 0)[ ]
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 45
Kinetische Theorie
Ist eine Lösung der Gleichung
so gilt:
€
vν DXν W μ (X,v) = F μν (X)vν , v = (1,
r v )
€
W μ (X,v) = vν dτU(X, X − vτ )0
∞
∫ F μν (X − vτ )U(X − vτ , X)
Explizite Lösung:
€
jμind (X) = dK∫ J μ (X,K) = 2m2vμ
dΩ
4πW 0(X,v)∫
€
W μ (X,v)
Wilson Linien
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 46
mit:
Abweichung vom Equilibrium
ultrarelativistische Teilchen- geschwindigkeit
Kinetische Theorie
Bewegungsgleichungen der kin. Theorie
1) 2)
€
(Dν Fνμ )a = jμa
€
jμa (x) = mD
2 dΩυ
4π∫ vμW
a (x,v)
€
(vμ Dμ )abW b (x,v) = v μ F0μa (x)
€
W a (x,v) :
€
v = (1,v) :
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 47
Simulation
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 48
Aufgabenstellung und Idee
Aufgabenstellung Nichtperturbative Untersuchung der thermischen
Zerfallsbreite schwerer Quarkonia Vermessung der Spektralfunktion schwerer
Quarkonia
Idee Diskretisierung der kinetischen Theorie und
Simulation bei nahezu kontinuierlicher Zeit Vermessung des Wilson Loops und Simulation
von Quarks endlicher Masse über NRQCD
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 49
EOM: Kinetische Theorie
Diskretisierung der Bewegungsgleichungen
Zur Diskretisierung der kinetischen Theorie
sind die diskretisierten Bewegungsgleichungen
der Hard-Thermal Loops über den Strom an
die Bewegungsgleichungen der diskretisierten
Yang-Mills Theorie zu koppeln...
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 50
EOM: Kinetische Theorie
Diskretisierung der Bewegungsgleichungen
... hierzu ist zunächst zu berücksichtigen daß
die W(x,v) eine sphärische Winkelabhängigkeit
aufweisen.
Diskretisierung der W(x,v) über Kugel-flächenfunktionen
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 51
EOM: Kinetische Theorie
Expansion in Kugelflächenfunktionen
€
W a (x,v) = W lma (x)Ylm (v)
l=−m
m
∑l= 0
∞
∑
Einsetzen in die Bewegungsgl. 2) liefert:
€
∂W lma (x)
∂t= −Clm,l 'm',i(Di)
abW l 'm'a (x) + δ l,1vmiE i
a (x)
mit Koeffizienten:
€
vmi = dΩv∫ Y1m* (v)v i
€
Clm,l 'm ',i = dΩv∫ Ylm* (v)v iYl 'm'
* (v)
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 52
EOM: Kinetische Theorie
Darstellung des Stroms harter Moden und des
Gaußschen Gesetzes in Kugelflächenfunktionen
Darstellung des Stroms
Gaußsches Gesetz
€
jia =
mD2
4πvmi
* W1ma , j0
a =mD
2
4πW00
a
€
(D ⋅E)a = j0a =
mD2
4πW00
a
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 53
EOM: Kinetische Theorie
Diskretisierte Bewegungsgleichungen
€
Δ tU i(x, t) = exp(iδ t E i(x, t))U i(x, t −1
2δt )
€
Δ t E i(x, t) = δt
1
NT a ImTr T a U ij (x, t)
j ≠ i
∑ ⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥+
1
2ji(x, t) + Pi ji(x + i, t)[ ]
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
1)
2)
3)
€
Δ tW lm (x, t) = −δtClm,l 'm',i PiW l 'm' (x + i, t) + P−iW l 'm '(x − i, t)[ ]
€
−δt 2δ l1vmiEave,i(x, t)( )
Strom:
€
ji(x, t) =(amD )2
4πvmi
* W1m (x, t)Gauß:
€
E i(x, t +1
2δt ) − P−iE i(x − i, t +
1
2δ t )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
i
∑ = −(amD )2
4 πW00(x, t) + W00(x, t + δt )( )Skalierung: ,
€
x → ax
€
t →a
2Nt
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 54
Thermodynamik
Der statistische Aspekt der Simulation wird durch Mittelung der Ergebnisse über verschiedene Ausgangskonfigurationen berücksichtigt (Ensemblemittelung)
Die Wahl der Ausgangskonfigurationen ist hierbei über eine in der Zustandssummeauftretende Gaußverteilung festgelegt.
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 55
Observablen: Wilson-Loop
Der Wilson-Loop im Kontinuum:
€
C>(t,r) ≡1
NC
Tr < W (0,r;t,r)W (t,r;t,0) ×
€
×W (t,0;0,0)W (0,0;0,r) >
Die Wilson-Linie ist gegeben durch:
€
W (t1, x1;t0,x0) = P exp −ig dx μ
t0 ,x0
t1 ,x1
∫ Aμa (x)T a
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Pfadordnung
€
W (ζ ) = U i(x)ζ :räumlich
∏ Die Wilsonlinie in temporaler Eichung:
Diskretisierung: Wilson Loop
Der Wilson Loop ist somit gegeben durch:
€
C>(t,r) =1
NC
Tr U(t,r)U +(0,r)( )
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 56
Observablen: Wilson-Loop
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 57
Fragen?
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 58
EOM: Quark- Propagatoren
Nichtrelativistische QCD im Kontinuum
Transformation:
€
ψ → e iSψ , S =1
2mDiγ
i
€
LD (x) =ψ (iDμγ μ − m)ψ
€
ψ (iDoγ0 +
1
2mD i
2 )ψ + O(1
m2)
diagonal
Greensfunktionen für Quarks und Antiquarks:
€
iDt +1
2mDi
2 ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟G(x,y) = iδ 4 (x − y)1
€
iDt −1
2mDi
2 ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ˜ G (x,y) = iδ 4 (x − y)1
Schrödingergleichung
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 59
EOM: Quark-Propagatoren
Diskretisierte Bewegungsgleichungen in
temporaler Eichung
€
Δ tG(x, t) = −i
2Nδ t
ˆ H QG(x, t) − i1δ t 0δx0
€
Δ t˜ G (x, t) = −
i
2Nδ t
ˆ H Q* ˜ G (x, t) − i1δ t 0δx0
€
ˆ H Q = −Δ iΔ−i
2ammit und
€
Δ iϕ (x) = U i(x)ϕ (x + i) −ϕ (x)
€
Δ−iϕ (x) = ϕ (x) −U−i(x)ϕ (x − i)
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 60
Observablen: Dilepton-Rate
Produktionsrate für Dileptonen (z.B. )
mit Gesamtimpuls Q im Kontinuum
€
dΓ
d4Q= −
e2
3(2π )5Q21+
2mμ2
Q2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 1−
4mμ2
Q2
2nb (q0)
1+ 2nb (q0)gμν ReΠ μν
T (Q)€
μ+,μ−
€
ΠμνT (Q) = dt
−∞
∞
∫ d3∫ x ˆ T Jν (x)Jμ (0)( ) e iQx
€
Jμ (x) =2
3eψ (x)γ μψ (x)
Simulation: <Jν(x)Jμ(0)>=0 für t<0
mit:
€
nb (q0) =1/(eq0
T −1)
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 61
Observablen: Dilepton-Rate
€
=4
9e2 dt
0
∞
∫ d3∫ x ψ (x)γυ ψ (x)ψ (0)γ μψ (0) e iQx + O(1
M 2)
Die nichtrelativististische Dileptonrate in
führender Ordnung
€
ΠμνT (Q)
€
dt0
∞
∫ d3∫ x Jν (x)Jμ (0) e iQx + O(1
M 2)
Auswertung über Wicksches Theorem/ NRQCD
(Propagatoren in der NRQCD diagonalisiert!)
€
−gμν Π μνT (Q) =
8
3e2 Re dt
0
∞
∫ d3xTr(G ˜ G T )e iQx∫aus Simulation
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 62
Zusammenfassung
Die Zustandssumme entspricht einem euklidisches Pfadintegralmit (anti-)periodischen Randbedingungen
Yang-Mills Theorie mit Dirac- Fermionen:
Die physikalische Spektralfunktion ergibt sich aus der euklidischen Theorie über:
€
Z = Tr(e−β ( H −μN ))
€
ρ( p0) = ImΠ E (ωn → −i(p0 + iε))€
Z = [dAaμ ][(i)dψ (+)]δ(F b )det
∂F c
∂α d
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟exp dτ LE (τ )
0
β
∫ ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
A(β )= A (0)ψ (β )=−ψ (0)
∫
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 63
Initialisierung der Felder
Gaußverletzungen bei der Initialisierung derFelder werden vermieden indem lediglich dieW(l,m) für l>1 über eine Gaußverteilungermittelt werden
Eine Verteilung der Energie auf die übrigenFelder erfolgt durch mehrfache Anwendung der Bewegungsgleichungen
Der Prozeß wird schrittweise wiederholt bis die Felder vollständig thermalisiert sind.
11.12.2006 Thermische Feldtheorie, Marcus Tassler 64
Thermalisierung