Dodatna Nastava Mag Spreg Kola

7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola

1/8

DODATNA NASTAVA IZ PREDMETA

ELEKTRINI KRUGOVI I--- MAGNETNO SPREGNUTA KOLA ---

Zadatak broj 1.

Parametri mree predstavljene na slici su otpornost otpornika R , induktivitet zavojnica L , te koeficijent magnetne

sprege zavojnica k. Ako je na krajeve mree 1-1' prikljuen izvor napona 1U , odrediti napon otvorenih krajeva 2-2'.Kako glasi izraz za napon 2U u sluaju da je koeficijent magnetne sprege zavojnica maksimalan?

U1 U2

R

(k)

L L

L

1 2

1 2+ +

Rjeenje:

Kompleksne jednaine mree mogu se napisati u obliku:

1 1 2

1 2

2 2

( ) (2 2

(2 2 )

( )

U R I I j L k L I

j LI j L k L I

U j L k L I

= + + +

= +

= +

2)

odnosno u sreenoj formi kao:

I2I

I1

U1 U2

R

(k)

L L

L

1 2

1 2+ +

[ ] 1 1 2

1 2

2 2

2(1 ) (1)

2(1 ) (2)

(1 ) (3)

U RI R j k L I

j LI j k LI

U j k LI

= + + +

= +

= +

Iz jednaine (2) slijedi jednaina:

1 22(1 ) (4)I k I= +

pa se njenim uvrtavanjem u jednainu (1) dobija izraz:

[ ] 1 2(3 2 ) 2(1 ) (5)U k R j k L I = + + +

Iz odnosa napona 2 /U U1 (relacija (3) i (5)), dobija se izraz za napon otvorenih krajeva 2-2 oblika:

[ ]2

1

(1 )

(3 2 ) 2(1 )

U j k L

U k R j k

+ =

+ + + L

odnosno:

[ ]2 1(1 )

(3 2 ) 2(1 )

j k LU U

k R j k L

+ =

+ + +

U sluaju da je koeficijent magnetne sprege zavojnica maksimalan, izraz za napon otvorenih krajeva 2-2 je oblika:

2 12

5 4

j LU U

R j L

=

+

1


2/8

Zadatak broj 2.

U mrei predstavljenoj na slici kapacitet kondenzatora C , induktivitet

zavojnica i koeficijent magnetne sprege zavojnica k, su poznate

veliine. Mrea se nalazi u prostoperiodinom reimu. Prostoperiodini

napon generatora je:

L

( ) 2 cosgt

u t U LC=

Odrediti maksimalnu vrijednost napona na kondenzatoru.

Ug

(k)

L

C

L

+

~

Rjeenje:

Uz usvojene smjerove i oznake fazora struja u granama mree, te uz izvrenu transformaciju mree koriste i se Temom, analizirana mrea dobija oblik kao na sljedeoj slici, a za koju se prema KZN mogu postaviti kompleksnejednaine:

I2 I2

I

I

I1 I1Ug Ug

(k)

L

C C

L (1-k)L

(1-k)L

kL

+ +

~ ~

1 2 1

1 2

( ) (1 )

1(1 ) (1 )

gU jk L I I j k LI

j k LI j k L IC

= + +

=

odnosno, u sreenom obliku kao:

1 2

1 2

(1)

1(1 ) (1 ) (2)

gU j LI jk LI

j k LI j k L IC

= +

=

Iz jednaine (2) slijedi relacija:

=2

1 2 22 2

(1 ) 111 (

(1 ) (1 )

k LCI I I

k LC k LC

= 3)

ijim se uvrtavanjem u relaciju (1) dobija izraz za struju 2I oblika:

2 2 2

(1 )(4)

1 (1 )g

k CI j U

k LC

=

Uvrtavajui relaciju (4) u relaciju (3), dobija izraz za struju 1I oblika:

2

1 2 2

1 (1 )(5)

1 (1 )

gUk LCI j

Lk LC

=

Poto je uestanost prostoperiodinog reima1

LC

= , to je 2 1LC = , pa relacije (4) i (5) poprimaju oblik:

1gU

I jk L

=

, 2 21

gk

I j CU k

=

2


3/8

Napon na kondenzatoru odreen je prema relaciji:

2 2

1 1C g

kU j I U

C k

= =

na njegova trenutna vrijednost:

21( ) 2 cosC k tu t U

LCk=

uzima maksimalan iznos u trenutku :0t =

max 2

1(0) 2C C

ku u

k

= = U

Zadatak broj 3.

U mrei poznatih parametara L , C i k, djeluje prostoperiodini naponski

generatornapona U .Sekundarinduktivnospregnutihzavojnicaje otvoren.

Odrediti fazore napona LU i CU .

Rjeenje: UL

UCU

(k)

+

+

L

L

C

L

+

~

Analizirana mrea moe se predstaviti i na nain kako je to ilustrovano na slici 1.

UL UL

UC UC

I1 I1

I2

= 0 I2

= 0

U U

+ ++ +C C

L LL L

L L

(k) (k)+ +

~ ~

slika 1.Analizirana mrea predstavljena u obliku pogodnom za primjenu T eme

Uz usvojene smjerove i oznake fazora struja u granama mree, te

uz izvrenu transformaciju mree koristei se T emom, mrea sa

slike 1 dobija oblik kao na slici 2 za koju se prema KZN mogu

postaviti kompleksne jednaine ( 2 0I = ):

1

1

1(1 )

L

U j L j j k L jk L I C

U jk LI

= + +

=

odnosno, u sreenom obliku kao:

1

1

1(2 )

L

U j L I C

U jk LI

=

=

UL

UC

I1

I2 = 0

U

++ C

(1+k)L (1+k)L

-kL

L

+

~

slika 2.Analizirana mrea nakon primjene T eme

Fazor struje 1I moe se odrediti direktno iz prve jednaine u obliku:

3


4/8

1 21 1 2(2 )

U CI j j

LCLC

= =

U

pa su fazori napona LU i CU odreeni kao:

2

1 21 2L

k LCU jk LI

LC

= =

U

1 2

1 1

1 2CU j I

C LC= =

U

Zadatak broj 4.

Analizira se mrea sa magnetno spregnutim zavojnicama.

Aktivneotpornostizavojnica i su male, a uestanost

prostoperiodinog generatora napona:

1R 2R

( ) 2 sinu t U t =

e podeena tako da odgovara sopstvenim uestanostima

oba kola:

1 1 2 2

1 1

L C L C = =

Sprega meu zavojnicama je podeena tako da je struja u

sekundarnom kolu maksimalna. Ako je aktivna otpornost

primarnog kola , koliku aktivnu snagu ulae generator u

oba kola?

1R

I1

C1

C2

R1 R2

L1 L2

I2

U

(k)+

~

Rjeenje:

Pod pretpostavkom da su otpornosti oba kola male, pribline vrijednosti njihovih sopstvenih uestanosti jednake suuestanosti naponskog generatora:

1 1 2 2

1 1

L C L C = =

pa su reaktanse oba kola jednake nuli:

1 11

2 2 2

10

10

X LC

X LC

= =

= =

Iz kompleksnih jednaina kola:

1 121 2

12 21 20

U R I jX I

jX I R I

= +

= +

odreuju se fazori struja u obliku:

21 2

1 2 12

122 21 2 12

RI U

R R X

XI jR R X

=+

= +U

4


5/8

Meusobna reaktansa zavojnica dobija se iz uslova da je efektivna vrijednost struja u sekundarnom kolu maksimalna:

2

120

dI

dX=

Iz jednaine

2 122

12 12 1 2 12

0dI Xd

UdX dX R R X

= = +

dobija se:

12 1 2 1 2X R R k L L= = ,

pa je fazor struje u primarnom kolu odreen kao:

112

UI

R= , a snaga koju generator ulae u oba kola:

2***

11 1

( )2 2 2

U UU U S U I U

R R= = = =

1R

je isto aktivna poto je , pa je reaktivna snaga jednaka nuli.1 2 0X X= =

Zadatak broj 5.

Dvije idealne zavojnice jednakih sopstvenih induktivnosti vezane su u

seriju sa prostoperiodinim naponskim generatorom fazora napona

1L

gU .

Zavojnice su induktivno spregnute koeficijentom sprege k sa otvorenom

zavojnicom sopstvene induktivnosti . Odrediti fazor napona nakrajevima otvorene zavojnice.

2L Ug

L1

I1 I2 = 0

L1

L2 U

(k)+

+

(k)

+

~

Rjeenje:

Analizirana mrea moe se uprostiti koristei se T emom kao to je to

ilustrovano na sljedeoj slici. Kompleksne jednaine mree napisane

prema KZN imaju oblik:

1 1

1 21 1

2

2 2

gU j L I

U j M I j k L L I

=

= =

Zamjenom fazora struje iz prve u drugu jednainu dobija se fazor napona

na krajevima otvorene zavojnice u obliku:

2

1g

LU k U

L=

Ug

L1-M

L1-M

L2-2M

2M

I1

I1

I2 = 0

U

+

+

~

5


6/8

Zadatak broj 6.

Tri idealne zavojnice sopstvenih induktivnosti , i , vezane su u

mrei predstavljenoj na slici. Koeficijenti sprege sve tri zavojnice su jednaki

i iznose k. Krajevi zavojnice induktivnosti su otvoreni. U mrei djeluje

prostoperiodinoi generatoriji je fazor napona

1L 2L 3L

3L

gU . Odrediti fazore struja

1I i 2I , te fazor napona 3U .

Rjeenje:

Ug

U3

*

*

L1

I1

I2

L3

L2

(k)

(k)

(k)

+

+

~

Kompleksne jednaine mree napisane prema KZN imaju oblik:

1 1 21 2

1 2 21 2

1 3 2 33 1 2

(1)

0 (

(3)

gU j L I jk L L I

jk L L I j L I

U jk L L I jk L L I

=

= +

= +

2)

Iz jednaina (1) i (2) odreuju se fazori struja 1I i 2I :

1 21

2 21 2

(4)(1 )

(5)(1 )

g

g

UI j

k L

kUI j

k L L

=

=

a iz jednaina (3), (4) i (5) fazor napona otvorenih krajeva zavojnice induktivnosti :3L

33

1(6)

1 gLk

U Uk L

= +

Zadatak broj 7.

U mrei poznatih parametara L , i djeluje prostoperiodini generator

fazora napona

C k

gU . Pri kojoj je uestanosti generatora ulazna admitansa

mree jednaka nuli? Kolika se ukupna reaktivna snaga troi na zavojnicama,

a kolika na kondenzatorima?

Ug

(k)

C

C

L L

+

~

Rjeenje:

Analizirana mrea moe se predstaviti u ekvivalentnoj formi kao to je to

ilustrovano na sljedeoj slici, pri emu je:

1

2(1 )LY j

k L=

+ ; 2CY j= C

Ulazna admitansa mree jednaka je zbiru admitansi grana:

Ug

YC

YL

+

~

6


7/8

12

2(1 )ul L C Y Y Y j j C

k L= + = +

+

i da bi ona bila jednaka nuli potrebno je ispuniti uslov:

12

2(1 )C

k L =

+

odakle se moe odrediti traena uestanost generatora:

1

2 (1 )a

k LC = =

+

koja predstavlja antirezonantnu uestanost pri kojoj je ulazna susceptansa mree jednaka nuli, 0ululY jB= = .

Pri uestanosti izvora , admitanse grana mree su:a =

1

2(1 ) (1 )L a

CY j j

k L k L= =

+ +

2(1 )

aCC

Y j C j k L

= =+

a prividne snage koje generator ulae u njih:

2 2** * * *( )(1 )L g L g L g g g L g L g

CS U I U Y U U U Y U Y j U

k L= = = = =

+

2 2** * * *( )(1 )C g C g C g g g C g C g

CS U I U Y U U U Y U Y j U

k L= = = = =

+

Ukupna reaktivna snaga koja se troi na zavojnicama je:

2

(1 )L g

CQ U

k L=

+

a na kondenzatorima:

2

(1 )C g

CQ U

k L=

+

Dakle, za analiziranu mreu moe se zakljuiti da je pri antirezonantnoj uestanosti izvora ukupna snaga generisanaizvorom jednaka nuli.

Zadatak broj 8.

Analizira se reaktivna mrea predstavljena na slici kod koje su zavojnice u

magnetnoj sprezi. Parametri mree , i , te fazor napona naponskog

generatora

L C k

gU su poznate veliine. Odrediti ulaznu impedansu mree, te

pokazatida jeulaznaadmitansamreejednakanulipriuestanostinaponskog

izvora jednakoj:

2

1

(1 )k LC

=

C

Ug

I2

I

I1

(k)

+L

L

~

7


8/8

Rjeenje:

Kompleksne jednaine mree napisane prema KZS i KZN imaju oblik:

1 2

1 2

1

0

g

g

U j LI jk LI

jk LI j LI

I j CU I

= +

= +

= +

Njihovim rjeavanjem dobija se ulazna impedansa mree oblika:

2

2 2

(1 )

1 (1 )

gulul

U k LZ j

I k LC

= = =

jX

odnosno, ulazna admitansa mree:

2 2

2

1 (1 )1

(1 )ulul

ul

k LCY j

Z k L

= = =

jB

koja je jednaka nuli pri uestanosti izvora (koja predstavlja antirezonantnu uestanost):

2

1

(1 )a

k LC = =

8

Documents

Dodatna Nastava Mag Spreg Kola