Dodatna Nastava Mag Spreg Kola

  • Published on
    05-Apr-2018

  • View
    224

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 1/8</p><p>DODATNA NASTAVA IZ PREDMETA</p><p>ELEKTRINI KRUGOVI I--- MAGNETNO SPREGNUTA KOLA ---</p><p>Zadatak broj 1.</p><p>Parametri mree predstavljene na slici su otpornost otpornika R , induktivitet zavojnica L , te koeficijent magnetne</p><p>sprege zavojnica k. Ako je na krajeve mree 1-1' prikljuen izvor napona 1U , odrediti napon otvorenih krajeva 2-2'.Kako glasi izraz za napon 2U u sluaju da je koeficijent magnetne sprege zavojnica maksimalan?</p><p>U1 U2</p><p>R</p><p>(k)</p><p>L L</p><p>L</p><p>1 2</p><p>1 2+ +</p><p>Rjeenje:</p><p>Kompleksne jednaine mree mogu se napisati u obliku:</p><p>1 1 2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>( ) (2 2</p><p>(2 2 )</p><p>( )</p><p>U R I I j L k L I </p><p>j LI j L k L I</p><p>U j L k L I </p><p>= + + + </p><p> = + </p><p>= + </p><p>2)</p><p>odnosno u sreenoj formi kao:</p><p>I2I</p><p>I1</p><p>U1 U2</p><p>R</p><p>(k)</p><p>L L</p><p>L</p><p>1 2</p><p>1 2+ +</p><p>[ ] 1 1 2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>2(1 ) (1)</p><p>2(1 ) (2)</p><p>(1 ) (3)</p><p>U RI R j k L I </p><p>j LI j k LI</p><p>U j k LI </p><p>= + + + </p><p> = + </p><p>= + </p><p>Iz jednaine (2) slijedi jednaina:</p><p>1 22(1 ) (4)I k I= + </p><p>pa se njenim uvrtavanjem u jednainu (1) dobija izraz:</p><p>[ ] 1 2(3 2 ) 2(1 ) (5)U k R j k L I = + + + </p><p>Iz odnosa napona 2 /U U1 (relacija (3) i (5)), dobija se izraz za napon otvorenih krajeva 2-2 oblika:</p><p>[ ]2</p><p>1</p><p>(1 )</p><p>(3 2 ) 2(1 )</p><p>U j k L</p><p>U k R j k </p><p>+ =</p><p>+ + + L</p><p>odnosno:</p><p>[ ]2 1(1 )</p><p>(3 2 ) 2(1 )</p><p>j k LU U</p><p>k R j k L</p><p>+ =</p><p>+ + + </p><p>U sluaju da je koeficijent magnetne sprege zavojnica maksimalan, izraz za napon otvorenih krajeva 2-2 je oblika:</p><p>2 12</p><p>5 4</p><p>j LU U</p><p>R j L</p><p>=</p><p>+ </p><p>1</p></li><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 2/8</p><p>Zadatak broj 2.</p><p>U mrei predstavljenoj na slici kapacitet kondenzatora C , induktivitet</p><p>zavojnica i koeficijent magnetne sprege zavojnica k, su poznate</p><p>veliine. Mrea se nalazi u prostoperiodinom reimu. Prostoperiodini</p><p>napon generatora je:</p><p>L</p><p>( ) 2 cosgt</p><p>u t U LC= </p><p>Odrediti maksimalnu vrijednost napona na kondenzatoru.</p><p>Ug</p><p>(k)</p><p>L</p><p>C</p><p>L</p><p>+</p><p>~</p><p>Rjeenje:</p><p>Uz usvojene smjerove i oznake fazora struja u granama mree, te uz izvrenu transformaciju mree koriste i se Temom, analizirana mrea dobija oblik kao na sljedeoj slici, a za koju se prema KZN mogu postaviti kompleksnejednaine:</p><p>I2 I2</p><p>I</p><p>I</p><p>I1 I1Ug Ug</p><p>(k)</p><p>L</p><p>C C</p><p>L (1-k)L</p><p>(1-k)L</p><p>kL</p><p>+ +</p><p>~ ~</p><p>1 2 1</p><p>1 2</p><p>( ) (1 )</p><p>1(1 ) (1 )</p><p>gU jk L I I j k LI </p><p>j k LI j k L IC</p><p>= + + </p><p> = </p><p>odnosno, u sreenom obliku kao:</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>(1)</p><p>1(1 ) (1 ) (2)</p><p>gU j LI jk LI </p><p>j k LI j k L IC</p><p>= + </p><p> = </p><p>Iz jednaine (2) slijedi relacija:</p><p>=2</p><p>1 2 22 2</p><p>(1 ) 111 (</p><p>(1 ) (1 )</p><p>k LCI I I</p><p>k LC k LC </p><p> = 3) </p><p>ijim se uvrtavanjem u relaciju (1) dobija izraz za struju 2I oblika:</p><p>2 2 2</p><p>(1 )(4)</p><p>1 (1 )g</p><p>k CI j U</p><p>k LC</p><p> =</p><p>Uvrtavajui relaciju (4) u relaciju (3), dobija izraz za struju 1I oblika:</p><p>2</p><p>1 2 2</p><p>1 (1 )(5)</p><p>1 (1 )</p><p>gUk LCI j</p><p>Lk LC</p><p> = </p><p>Poto je uestanost prostoperiodinog reima1</p><p>LC</p><p> = , to je 2 1LC = , pa relacije (4) i (5) poprimaju oblik:</p><p>1gU</p><p>I jk L</p><p>= </p><p>, 2 21</p><p>gk</p><p>I j CU k</p><p>= </p><p>2</p></li><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 3/8</p><p>Napon na kondenzatoru odreen je prema relaciji:</p><p>2 2</p><p>1 1C g</p><p>kU j I U </p><p>C k</p><p>= =</p><p>na njegova trenutna vrijednost:</p><p>21( ) 2 cosC k tu t U</p><p>LCk= </p><p>uzima maksimalan iznos u trenutku :0t =</p><p>max 2</p><p>1(0) 2C C</p><p>ku u</p><p>k</p><p>= = U </p><p>Zadatak broj 3.</p><p>U mrei poznatih parametara L , C i k, djeluje prostoperiodini naponski</p><p>generatornapona U .Sekundarinduktivnospregnutihzavojnicaje otvoren.</p><p>Odrediti fazore napona LU i CU .</p><p>Rjeenje: UL</p><p>UCU</p><p>(k)</p><p>+</p><p>+</p><p>L</p><p>L</p><p>C</p><p>L</p><p>+</p><p>~</p><p>Analizirana mrea moe se predstaviti i na nain kako je to ilustrovano na slici 1.</p><p>UL UL</p><p>UC UC</p><p>I1 I1</p><p>I2</p><p>= 0 I2</p><p>= 0</p><p>U U</p><p>+ ++ +C C</p><p>L LL L</p><p>L L</p><p>(k) (k)+ +</p><p>~ ~</p><p>slika 1.Analizirana mrea predstavljena u obliku pogodnom za primjenu T eme</p><p>Uz usvojene smjerove i oznake fazora struja u granama mree, te</p><p>uz izvrenu transformaciju mree koristei se T emom, mrea sa</p><p>slike 1 dobija oblik kao na slici 2 za koju se prema KZN mogu</p><p>postaviti kompleksne jednaine ( 2 0I = ):</p><p>1</p><p>1</p><p>1(1 )</p><p>L</p><p>U j L j j k L jk L I C</p><p>U jk LI </p><p> = + + </p><p>= </p><p>odnosno, u sreenom obliku kao:</p><p>1</p><p>1</p><p>1(2 )</p><p>L</p><p>U j L I C</p><p>U jk LI </p><p>= </p><p>= </p><p>UL</p><p>UC</p><p>I1</p><p>I2 = 0</p><p>U</p><p>++ C</p><p>(1+k)L (1+k)L</p><p>-kL</p><p>L</p><p>+</p><p>~</p><p>slika 2.Analizirana mrea nakon primjene T eme</p><p>Fazor struje 1I moe se odrediti direktno iz prve jednaine u obliku:</p><p>3</p></li><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 4/8</p><p>1 21 1 2(2 )</p><p>U CI j j</p><p>LCLC</p><p>= =</p><p>U </p><p>pa su fazori napona LU i CU odreeni kao:</p><p>2</p><p>1 21 2L</p><p>k LCU jk LI </p><p>LC</p><p>= =</p><p>U </p><p>1 2</p><p>1 1</p><p>1 2CU j I</p><p>C LC= =</p><p> U </p><p>Zadatak broj 4.</p><p>Analizira se mrea sa magnetno spregnutim zavojnicama.</p><p>Aktivneotpornostizavojnica i su male, a uestanost</p><p>prostoperiodinog generatora napona:</p><p>1R 2R</p><p>( ) 2 sinu t U t = </p><p>e podeena tako da odgovara sopstvenim uestanostima</p><p>oba kola:</p><p>1 1 2 2</p><p>1 1</p><p>L C L C = = </p><p>Sprega meu zavojnicama je podeena tako da je struja u</p><p>sekundarnom kolu maksimalna. Ako je aktivna otpornost</p><p>primarnog kola , koliku aktivnu snagu ulae generator u</p><p>oba kola?</p><p>1R</p><p>I1</p><p>C1</p><p>C2</p><p>R1 R2</p><p>L1 L2</p><p>I2</p><p>U</p><p>(k)+</p><p>~</p><p>Rjeenje:</p><p>Pod pretpostavkom da su otpornosti oba kola male, pribline vrijednosti njihovih sopstvenih uestanosti jednake suuestanosti naponskog generatora:</p><p>1 1 2 2</p><p>1 1</p><p>L C L C = = </p><p>pa su reaktanse oba kola jednake nuli:</p><p>1 11</p><p>2 2 2</p><p>10</p><p>10</p><p>X LC</p><p>X LC</p><p>= =</p><p>= =</p><p>Iz kompleksnih jednaina kola:</p><p>1 121 2</p><p>12 21 20</p><p>U R I jX I </p><p>jX I R I</p><p>= +</p><p>= +</p><p>odreuju se fazori struja u obliku:</p><p>21 2</p><p>1 2 12</p><p>122 21 2 12</p><p>RI U</p><p>R R X</p><p>XI jR R X</p><p>=+</p><p>= +U</p><p>4</p></li><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 5/8</p><p>Meusobna reaktansa zavojnica dobija se iz uslova da je efektivna vrijednost struja u sekundarnom kolu maksimalna:</p><p>2</p><p>120</p><p>dI</p><p>dX= </p><p>Iz jednaine</p><p>2 122</p><p>12 12 1 2 12</p><p>0dI Xd</p><p>UdX dX R R X</p><p> = = + </p><p>dobija se:</p><p>12 1 2 1 2X R R k L L= = ,</p><p>pa je fazor struje u primarnom kolu odreen kao:</p><p>112</p><p>UI</p><p>R= , a snaga koju generator ulae u oba kola:</p><p>2***</p><p>11 1</p><p>( )2 2 2</p><p>U UU U S U I U </p><p>R R= = = =</p><p>1R</p><p>je isto aktivna poto je , pa je reaktivna snaga jednaka nuli.1 2 0X X= =</p><p>Zadatak broj 5.</p><p>Dvije idealne zavojnice jednakih sopstvenih induktivnosti vezane su u</p><p>seriju sa prostoperiodinim naponskim generatorom fazora napona</p><p>1L</p><p>gU .</p><p>Zavojnice su induktivno spregnute koeficijentom sprege k sa otvorenom</p><p>zavojnicom sopstvene induktivnosti . Odrediti fazor napona nakrajevima otvorene zavojnice.</p><p>2L Ug</p><p>L1</p><p>I1 I2 = 0</p><p>L1</p><p>L2 U</p><p>(k)+</p><p>+</p><p>(k)</p><p>+</p><p>~</p><p>Rjeenje:</p><p>Analizirana mrea moe se uprostiti koristei se T emom kao to je to</p><p>ilustrovano na sljedeoj slici. Kompleksne jednaine mree napisane</p><p>prema KZN imaju oblik:</p><p>1 1</p><p>1 21 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>gU j L I </p><p>U j M I j k L L I </p><p>= </p><p>= = </p><p>Zamjenom fazora struje iz prve u drugu jednainu dobija se fazor napona</p><p>na krajevima otvorene zavojnice u obliku:</p><p>2</p><p>1g</p><p>LU k U</p><p>L= </p><p>Ug</p><p>L1-M</p><p>L1-M</p><p>L2-2M</p><p>2M</p><p>I1</p><p>I1</p><p>I2 = 0</p><p>U</p><p>+</p><p>+</p><p>~</p><p>5</p></li><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 6/8</p><p>Zadatak broj 6.</p><p>Tri idealne zavojnice sopstvenih induktivnosti , i , vezane su u</p><p>mrei predstavljenoj na slici. Koeficijenti sprege sve tri zavojnice su jednaki</p><p>i iznose k. Krajevi zavojnice induktivnosti su otvoreni. U mrei djeluje</p><p>prostoperiodinoi generatoriji je fazor napona</p><p>1L 2L 3L</p><p>3L</p><p>gU . Odrediti fazore struja</p><p>1I i 2I , te fazor napona 3U .</p><p>Rjeenje:</p><p>Ug</p><p>U3</p><p>*</p><p>*</p><p>L1</p><p>I1</p><p>I2</p><p>L3</p><p>L2</p><p>(k)</p><p>(k)</p><p>(k)</p><p>+</p><p>+</p><p>~</p><p>Kompleksne jednaine mree napisane prema KZN imaju oblik:</p><p>1 1 21 2</p><p>1 2 21 2</p><p>1 3 2 33 1 2</p><p>(1)</p><p>0 (</p><p>(3)</p><p>gU j L I jk L L I </p><p>jk L L I j L I</p><p>U jk L L I jk L L I </p><p>= </p><p>= + </p><p>= + </p><p>2) </p><p>Iz jednaina (1) i (2) odreuju se fazori struja 1I i 2I :</p><p>1 21</p><p>2 21 2</p><p>(4)(1 )</p><p>(5)(1 )</p><p>g</p><p>g</p><p>UI j</p><p>k L</p><p>kUI j</p><p>k L L</p><p>= </p><p>= </p><p>a iz jednaina (3), (4) i (5) fazor napona otvorenih krajeva zavojnice induktivnosti :3L</p><p>33</p><p>1(6)</p><p>1 gLk</p><p>U Uk L</p><p>= +</p><p>Zadatak broj 7.</p><p>U mrei poznatih parametara L , i djeluje prostoperiodini generator</p><p>fazora napona</p><p>C k</p><p>gU . Pri kojoj je uestanosti generatora ulazna admitansa</p><p>mree jednaka nuli? Kolika se ukupna reaktivna snaga troi na zavojnicama,</p><p>a kolika na kondenzatorima?</p><p>Ug</p><p>(k)</p><p>C</p><p>C</p><p>L L</p><p>+</p><p>~</p><p>Rjeenje:</p><p>Analizirana mrea moe se predstaviti u ekvivalentnoj formi kao to je to</p><p>ilustrovano na sljedeoj slici, pri emu je:</p><p>1</p><p>2(1 )LY j</p><p>k L= </p><p>+ ; 2CY j= C </p><p>Ulazna admitansa mree jednaka je zbiru admitansi grana:</p><p>Ug</p><p>YC</p><p>YL</p><p>+</p><p>~</p><p>6</p></li><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 7/8</p><p>12</p><p>2(1 )ul L C Y Y Y j j C </p><p>k L= + = + </p><p>+ </p><p>i da bi ona bila jednaka nuli potrebno je ispuniti uslov:</p><p>12</p><p>2(1 )C</p><p>k L =</p><p>+ </p><p>odakle se moe odrediti traena uestanost generatora:</p><p>1</p><p>2 (1 )a</p><p>k LC = = </p><p>+</p><p>koja predstavlja antirezonantnu uestanost pri kojoj je ulazna susceptansa mree jednaka nuli, 0ululY jB= = .</p><p>Pri uestanosti izvora , admitanse grana mree su:a = </p><p>1</p><p>2(1 ) (1 )L a</p><p>CY j j</p><p>k L k L= = </p><p>+ +</p><p>2(1 )</p><p>aCC</p><p>Y j C j k L</p><p>= =+</p><p>a prividne snage koje generator ulae u njih:</p><p>2 2** * * *( )(1 )L g L g L g g g L g L g </p><p>CS U I U Y U U U Y U Y j U </p><p>k L= = = = =</p><p>+</p><p>2 2** * * *( )(1 )C g C g C g g g C g C g </p><p>CS U I U Y U U U Y U Y j U </p><p>k L= = = = = </p><p>+</p><p>Ukupna reaktivna snaga koja se troi na zavojnicama je:</p><p>2</p><p>(1 )L g</p><p>CQ U</p><p>k L=</p><p>+</p><p>a na kondenzatorima:</p><p>2</p><p>(1 )C g</p><p>CQ U</p><p>k L= </p><p>+</p><p>Dakle, za analiziranu mreu moe se zakljuiti da je pri antirezonantnoj uestanosti izvora ukupna snaga generisanaizvorom jednaka nuli.</p><p>Zadatak broj 8.</p><p>Analizira se reaktivna mrea predstavljena na slici kod koje su zavojnice u</p><p>magnetnoj sprezi. Parametri mree , i , te fazor napona naponskog</p><p>generatora</p><p>L C k</p><p>gU su poznate veliine. Odrediti ulaznu impedansu mree, te</p><p>pokazatida jeulaznaadmitansamreejednakanulipriuestanostinaponskog</p><p>izvora jednakoj:</p><p>2</p><p>1</p><p>(1 )k LC</p><p> =</p><p> C</p><p>Ug</p><p>I2</p><p>I</p><p>I1</p><p>(k)</p><p>+L</p><p>L</p><p>~</p><p>7</p></li><li><p>7/31/2019 Dodatna Nastava Mag Spreg Kola</p><p> 8/8</p><p>Rjeenje:</p><p>Kompleksne jednaine mree napisane prema KZS i KZN imaju oblik:</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>1</p><p>0</p><p>g</p><p>g</p><p>U j LI jk LI </p><p>jk LI j LI</p><p>I j CU I </p><p>= + </p><p>= + </p><p>= +</p><p>Njihovim rjeavanjem dobija se ulazna impedansa mree oblika:</p><p>2</p><p>2 2</p><p>(1 )</p><p>1 (1 )</p><p>gulul</p><p>U k LZ j</p><p>I k LC</p><p> = = =</p><p> jX </p><p>odnosno, ulazna admitansa mree:</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1 (1 )1</p><p>(1 )ulul</p><p>ul</p><p>k LCY j</p><p>Z k L</p><p> = = = </p><p> jB </p><p>koja je jednaka nuli pri uestanosti izvora (koja predstavlja antirezonantnu uestanost):</p><p>2</p><p>1</p><p>(1 )a</p><p>k LC = = </p><p>8</p></li></ul>