Staticki Moment-sile Spreg

1L a b o r a t o r i j z a m u m e r i k u m e h a n i k u

Podloge za predavanja iz Mehanike 1

STATIKI MOMENT SILE + SPREG SILA


Statiki moment sile

MA=|F|dA=225*0.6 = 135 Nm

MB=|F| dB=225*0.4 = 90 Nm

MC=|F| dC=225*0.8 = 180 Nm

MA= 135 Nm

MB= 90 Nm

MC= 180 Nm

Sila u iznosu od 225 N djeluje na klju prema slici. Odrediti moment sile obzirom na toku A, B i C.


Statiki moment sile

Sila tei da pokrene tijelo u smjeru svog djelovanja i da ga zakrene oko bilo koje zamiljene osi koja se ne sijee s pravcem djelovanja sile niti je s njom paralelna.

Tenju za zakretanjem zovemo momentom.

Jedinica za moment je njutnmetar (Nm).


Statiki moment sile

OM F d Fd= = G

sin OM F d Fd Fr = = + =G

FG

O

dr

A B

O

dOdF

GFG

OM F d Fd= = +G OM F d Fd= = G


Statiki moment sile

y

xo

F1

F2F3

d1 d2

Koje sile daju moment oko toke O?


Vektorski produkt u Kartezijevim koordinatama

Vektorski produkt jedininih vektora0

(1)(1)sin 90 (1)(1)sin 90;

o o

i i j j k ki j k kj k i k i j

= = = = = = =

G G KG G K KG GG K

G GG GK K

z

xiG jG y

kG

x y zA A i A j A k= + +GG G G

x y zB B i B j B k= + +GG G G

( ) ( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k = + + + +G GG G G G G G

( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k = + + GG G G GNakon sreivanja

-A B B A = G GG GNapomena:

Vektorski produkt dvaju vektora


Kartezijeve komponente momenta u prostoru

z

x

yo

x y zr r i r j r k= + +GG GG

x y zF F i F j F k= + +GG G G

oM r F= G GGrG

xF iG yF j

GzF kG

x y

z

FGpravac djelovanja sile

A

A moe biti bilo koja toka na pravcu djelovanja sile

A moe biti bilo koja toka na pravcu djelovanja sile

Vektor sile:

Vektor poloaja bilo koje toke A na pravcu djelovanja sile:

Moment sile oko toke O:



Zato moment ne ovisi o izboru toke A?M0=rB x F

rA

rB=rA+rB/A

M0=(rA+rB/A) x F =

M0= (rAx F)+(rB/Ax F )

Zato jer je rB/A kolinearan s F

M0= (rAx F)

y

z

O

A

k

i

x

j

rB

rB/A BF

Vektor poloaja moe biti ucrtan u bilo kojoj toki na pravcu djelovanja sile !!!



Moment sile F oko toke OG

oM r F= G GG

o

x

y

U Kartezijevim koordinatamao x y z oM M i M j M k M e= + + =

GG G G G oMG

rG FG

eG

o

x y z

i j kM r F x y z

F F F= =

GG GG GG

( ) ( ) ( )o z y x z y xM r F yF zF i zF xF j xF yF k= = + + GG G G GG

z

xM iG

yM jG

zM kG



Kartezijeve komponente

Iznos: Pravac dan s jedininim vektorom:

gdje su

2 2 2o x y zM M M M= + +

cos cos cos oo

Me i j kM

= = + +G GG GG

cos xo

MM

=

( ) ( ) ( ); ; x z y y x z z y xM yF zF M zF xF M xF yF= = =

cos yo

MM

=cos z

o

MM

=


Kartezijeve komponente momenta u ravnini

Moment sile F oko toke OG

oM r F= G GG

o

z

x

U Kartezijevim koordinatama

y

o oM M k=GG

oMG

rGFGe k=GG

00

o

x y

i j kM r F x y

F F= =

GG GG GG

( )o y xM r F xF yF k= = GG GG( )o y xM xF yF=

x

y

xF iGyF j

G

y

x

rGx Fy

y Fx


Moment sile oko neke osi

Otvaranje vrata

o

oMG

eG

z

FG

rG

x

y

Primjenjuje se sila u ravnini okomito na os vrata (os z).

Vektor momenta je u pravcu osi z i omoguava otvaranje vrata

oM r F r F k= =GG GG


Kartezijeve komponente momenta u ravnini

Primjenjuje se sila u ravnini koja nije okomita na os vrata (os z).

Moment nije u pravcu osi z. Moment koji omoguava otvaranje vrata je samo komponenta momenta oko osi z.

eG

oMG

o

zMG

z

x

y

oMG

( ) z oM M k k= G GG GoMG

Komponenta momenta oko osi zoMG

rGFG


Zamislimo da trebamo odvrnuti ep od boce primjenjujui dvije jednake, paralelne i suprotno usmjerene sile prema slici (tangencijalno na ep):

FG

FG

ep

Efekt od sustava sila je samo rotacija tijela.

Takav poseban sluaj dviju paralelnih (nekolinearnih), jednakih i suprotno usmjerenih sila zovemo SPREG.

Spreg (par) sila


Spreg (par) sila

Odredimo moment sila oko toke A

FG

FG

ep

a

dd+a

A

+ MA=F(d+a)-F(a)=Fd

Moment sprega je vektor:1. Slobodni vektor (moment je jednak oko bilo koje toke)2. Intenzitet (intenzitet od sile x okomita udaljenost)3. Pravac (okomit na ravninu sprega)4. Smisao rotacije

Napomenimo da je moment neovisan o izboru toke s obziromna koju se rauna (MA ne ovisi o a)!!


x

2 1F F= G G

d+ax o y

z

y

oMG

1rG

2FG

eGz

2rG 1F

GrG ( )

1 1 2 2

1 2 1

1

oM r F r Fr r F

r F

= + = =

G G GG GGG G

GG

1 2r r r= G GK

1oM r F F d e= =G GG G1 2F F F= =G G

d

Spreg sila u prostoru


Ekvivalentni spregovi

1oM r F F d e= =G GG G

d+aoMG FG

-FG

d

d+aoMG

FG

-FG

dd+ao

MG 2 FG

-2FG

d/2

oMG

FG

-FG

d


Zbrajanje spregova

Spreg je vektor pa se spregovi mogu zbrajati u skladu s pravilom o zbrajanju vektora

1 2M M M= +G G G1MG

2MG1 2

1 2

1 2

; ;

x y z

x x x

y y y

z z z

M M i M j M kM M MM M MM M M

= + += += += +

GG G G


Primjer

Odredi moment sprega prikazanog prema slici te udaljenost izmeu paralelnih pravaca dviju sila.

760 N

760 N

350

2

0

0

m

m

100 mm


Rjeenje

760 N

760 N

350

2

0

0

m

m

100 mmFA = -760 cos(350) i - 760 sin(350) j = -622 i 435.9 j NrBA = -0.1 i + 0.2 j m

MB=

i j k -0.1 0.2 0-622 -435.9 0 = 168 Nm

|MB|= Mx2 + My2 + Mz2 = 168 Nm

d=M/F=168/760=0.22 m


Pravilo o paralelnom pomaku sile

FG

Disk uvren u sreditu

Od F

G

Disk slobodan

d

Disk translatira i rotira oko svogsredita...zato???

FG

dFG- FG

Sistem ostaje nepromijenjen

O FG

O

MG M dF=

Sila izaziva translaciju, a moment rotaciju.


Ako silu pomiemo s pravca a na paralelni pravac b, treba ju zamijeniti sa sustavom koji se sastoji od sile i sprega koji je okomit na ravninu koju definiraju pravci a i b.

FG

0MG

FG

d

M Fd=a

b

a

Pravilo o paralelnom pomaku sile u prostoru


Pravilo o paralelnom pomaku sile u prostoru

FG

a

0MG

FG

d

MdF

=b

b



Zamijeni silu iznosa 350 N prema slici sa silom u toki B i spregom.

C

25

C

FC

-FC

L a b o r a t o r i j z a m u m e r i k u m e h a n i k u


FC = 350 cos(400) i - 350 sin(400) jFC = 268.1 i 225 j N

M=

i j k 0.1 0.25 0268.1 -225 0 = -89.5 k Nm

rBC = 0.1 i + 0.25 j m

rBC

C

MB

FCRef: Keblinski, P.: Introduction to Engineering Analysis, 2007.

Documents

Staticki Moment-sile Spreg