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8/18/2019 Documentos Primaria MatematicaV
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Versión 2015
¿Qué y cómo aprenden nuestros
estudiantes?
VCiclo
Área Curricular
Matemática5.° y 6.° grados de Educación Primaria
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MINISTEI! "E E"#C$CI%NAv. De la Arqueología cuadra 2 ! "an #or$a%ima Per&
'el()ono 615!5*00+++.minedu.go,.-e
Versión 1.0 'ira$e 22* 100 e$em-lares
Ela&oración'/elly a,riela odrigue 3a,eudo iovanna 4ario Piscoya o$asPedro David 3ollanqui Díaarisol 7elarayan Adauo. aría 8sa,el Día agui9a. "8/EA3E ! Programa de Es:ndares deA-rendia$e ina Paricia Pa ;uam:n %ilian Edelmira 8sidro 3:ma
c.Cola&oradores'
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En vista de que en nuestra opinión, el lenguaje escrito no
ha encontrado aún una manera
satisfactoria de nombrar a ambos géneros con una sola palabra, en este fascículo se ha optado por emplear términos en masculino para referirse a ambos géneros.
2
;ndicePresenación..................................................................................
........................................
P:g. 5
8nroducción .................................................................................
...................................................
C
1.
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1. 3ómo a-render maem:icaF .....................................................
................................................
12
2. 3om-eencias y ca-acidades .............................................................
..................................................
16
2.1 3om-eencias maem:icas..........................................................
................................................
1*
1. Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de canidad
...................................... 1*
2. Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de
regularidadequivalencia y cam,io ...........................................................
.............................................20
. Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de )orma
movimienoy localiación ........................................................................
...............................................22
G. Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de gesión de
daose inceridum,re ....................................................................
..............................................2G
2.2 3a-acidades maem:icas ...........................................................
...............................................
25
3a-acidad 1 aemaia siuaciones ............................................
...........................................
25
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3a-acidad 2 3omunica y re-resena ideas maem:icas ...............
......................................
26
3a-acidad Ela,ora y usa esraegias .........................................
............................................
2*
3a-acidad G aona y argumena generando ideas maem:icas ...
...................................
2H
2. 3ómo se desarrolla las com-eencias en el V cicloF .....................
.........................................
0
2..1 Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de canidad
.....................................
0
2..2 Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de regularid
adequivalencia y cam,io ..........................................................
.............................................GC
2..
Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de )ormamovimieno y localiación .................................................................................................5*
2..G Ac&a y -iensa maem:icamene en siuaciones de gesión de
daose inceridum,re .....................................................................
.............................................6H
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. ?rienaciones did:cicas.....................................................................
.................................................
*1
.1 Esraegias -ara el desarrollo de la com-eencia Ac&a y -iensa ma
em:icamene ensiuaciones de canidad .................................................................
...............................................*1
.1.1 ecursos -ara -lanear y resolver -ro,lemas ...........................
.........................................
*1
.1.2 8nvesigamos n&meros en la -rensa escria .............................
........................................
*6
.1. Esraegias -ara la resolución de -ro,lemas ............................
.......................................
H0
.2 ?rienaciones -ara el desarrollo de la com-eencia Ac&a y -iensa maem:icamene en
siuaciones de regularidad equivalencia y cam,io Parones con rans) ormaciones
geom(ricas.................................................................................................................................. 10G
.2.1 3u,riendo el -lano con guras mediane raslaciones ...............
..................................
105
.2.2 Esraegia -ara generaliar -arones .......................................
........................................
10C
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.2. Esraegia de resolución de -ro,lemas -ara -ro,lemas de equili
,rio.........................
111
.2.G >ugamos a las IvencidasJ .......................................................
...........................................
11A
. ?rienaciones -ara el desarrollo de la com-eencia Ac&a y -iensa m
aem:icamene ensiuaciones de )orma movimieno y localiación................................
......................................115
..1 Esraegias -ara a-render geomería seg&n Van ;iele ...............
...................................
115
..2 ecursos -ara ense9ar las guras -lanas................................
.......................................
121
.G ?rienaciones -ara el desarrollo de la com-eencia Ac&a y -iensa maem:icamene en
siuaciones de gesión de daos e inceridum,re ...................................................................12G
.G.1 Esraegias -ara resolver -ro,lemas esadísicos.......................
....................................
12G
.G.2 ecursos -ara -lanear e=-erimenos aleaorios .....................
....................................
10
e)erencias ,i,liogr:cas .............................................................................
..................................................
12
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Ane=o 1 arices de las cuaro com-eencias -ara el quino grado de -rima
ria............................
1G
Ane=o 2 arices de las cuaro com-eencias -ara el se=o grado de -rima
ria.............................
1G
Ane=o a-as de Progreso.....................................................................
.........................................
....152
G
Presenación%as uas del A-rendia$e son orienaciones -edagógicas y did:cicas -ara una ense9anae)eciva de las com-eencias de cada :rea curricular. Ponen en manos denosoros losdocenes -auas &iles -ara los res niveles educaivos de la Educación #:sica egular8nicial Primaria y "ecundaria.
Presenan
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K
%os en)oques y )undamenos que -ermien enender el senido y las
nalidades dela ense9ana de las com-eencias así como el marco eórico desde el c
ual se es:n
enendiendo.K
%as com-eencias que de,en ser ra,a$adas a lo largo de oda la escol
aridad y lasca-acidades en las que se desagregan. "e dene qu( im-lica cada un
a así comola com,inación que se requiere -ara su desarrollo.
K %os es:ndares de las com-eencias que se @an esa,lecido en ma-as
de -rogreso.
K %os indicadores de desem-e9o -ara cada una de las ca-acidades
-or
grado
ociclos de acuerdo con la nauralea de cada com-eencia.
K ?rienaciones did:cicas que )acilian la ense9ana y el a-ren
dia$e de lascom-eencias.
Deniciones ,:sicas que nos -ermien enender y ra,a$ar con las uas del
A-rendia$e
1. 3om-eencia
%lamamos
com-eencia
a
la
)aculad
que
iene
una
-ersona
-ara acuarconscienemene en la resolución de un -ro,lema o el cum-limieno de
e=igenciascom-le$as usando Le=i,le y creaivamene sus conocimienos y
@a,ilidadesin)ormación o @erramienas así como sus valores emociones y aciude
s.
%a com-eencia es un a-rendia$e com-le$o -ues im-lica la ra
ns)erencia ycom,inación
a-ro-iada
de
ca-acidades
muy
diversas
-ara
modicar una
circunsancia y lograr un deerminado -ro-ósio. Es un sa,er acuar cone=ualiado
y creaivo y su a-rendia$e es de car:cer longiudinal dado que se reiera
a lo largo de oda la escolaridad. Ello a n de que -ueda irse com-le$iando de
manera -rogresiva y -ermia al esudiane alcanar niveles cada vem:s alos de
desem-e9o.
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2. 3a-acidad
Desde el en)oque de com-eencias @a,lamos de Mca-acidadN e
n el senido
am-lio de Mca-acidades @umanasN. Así las ca-acidades que -ueden inegrar unacom-eencia com,inan sa,eres de un cam-o m:s delimiado y su
incremenogenera nuesro desarrollo com-eene. Es )undamenal ser consciene
s de que si
5
,ien las ca-acidades se -ueden ense9ar y des-legar d
e
manera
aislada
es
sucom,inación Oseg&n lo que las circunsancias requieran loque -ermie su desarrollo.
Desde esa -ers-eciva im-ora el dominio es-ecíco deesas ca-acidades -ero
es indis-ensa,le su com,inación y uiliación -erinene encone=os variados.
. Es:ndar nacional
%os es:ndares nacionales de a-rendia$e se esa,lecen e
n los a-as de -rogreso
y se denen allí como Mmeas de a-rendia$eN en -rogresión -ara idenicarqu( se es-era lograr res-eco de cada com-eencia -
or ciclo de escolaridad.Esas descri-ciones a-oran los re)erenes comunes -a
ra moniorear y evaluara-rendia$es a nivel de sisema Oevaluaciones e=ernas d
e car:cer nacional y deaula Oevaluaciones )ormaivas y cericadoras del a-rendi
a$e. En un senido am-liose denomina es:ndar a la denición clara de un crierio -
ara reconocer la calidad
de aquello que es o,$eo de medición y -erenece a unamisma caegoría. En esecaso como se9alan los ma-as de -rogreso se indica el g
rado de dominio Oo nivelde desem-e9o que de,en e=@i,ir odos los esudianes -e
ruanos al nal de cadaciclo de la Educación #:sica con relación a las com-eenci
as.
%os es:ndares de a-rendia$e no son insrumenos -
ara @omogeneiar a los
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esudianes ya que las com-eencias a que @acen re)erencia se -ro-onen como un
-iso y no como un ec@o -ara la educación escolar en el-aís. "u &nica )unción es
medir logros so,re los a-rendia$es comunes en el -aís que consiuyen un derec@o
de odos.
G. 8ndicador de desem-e9o
%lamamos desem-e9o al grado de desenvolura que un
esudiane muesra enrelación con un deerminado n. Es decir iene que ver con
una acuación que lograun o,$eivo o cum-le una area en la medida es-erada. Qn
indicador de desem-e9oes el dao o in)ormación es-ecíca que sirve -ara -lanic
ar nuesras sesiones dea-rendia$e y -ara valorar en esa acuación el grado
de cum-limieno de unadeerminada e=-ecaiva. En el cone=o del desarrollo curri
cular los indicadores dedesem-e9o se encuenran asociados al logro de una deer
minada ca-acidad. Asíuna ca-acidad -uede medirse a rav(s de m:s de un indic
ador.
Esas uas del A-rendia$e se @an ido -u,licando desde el
2012 y es:n en revisión
y a$use -ermanene a -arir de su consane evaluación. Esde es-erar -or ello queen los siguienes a9os se sigan a$usando en cada una de sus -ares. Esaremos muyaenos a us a-ores y sugerencias -ara ir me$or:ndolas en las -ró=imas reedicionesde manera que sean m:s -erinenes y &iles -ara el logro delos a-rendia$es a los quenuesros esudianes ienen derec@o.
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6
8nroducciónEl -resene )ascículo es la segunda versión de uas del A-rendia$e me
$orada y m:s
com-lea )ruo del ra,a$o de invesigación y validación en las aulas del que & )ormase-are con u o-inión y us sugerencias en los diversos alleres y evenos. Esanueva versióne -ro-orciona -auas -ara res-onder a dos -regunas )undamenales qu(ense9arF ycómo ense9arF El qu( ense9ar se relaciona con los conenidos y las ca-acidades y el cómoense9ar con la variedad de esraegias y recursos que e -ermiir:n generara-rendia$es
signicaivos en los ni9os.
"in duda la maem:ica co,ra mayor signicado y se a-rende me$or cuan
do se a-lica
direcamene a siuaciones de la vida real. /uesros esudianes sienen mayor sais)accióncuando -ueden relacionar cualquier a-rendia$e maem:ico nuevo con algoque sa,en ycon la realidad que los rodea. Esa es una maem:ica -ara la vida donde ela-rendia$e se
genera en el cone=o de las relaciones @umanas y sus logros van @acia ellas.
Por oro lado la sociedad acual requiere de ciudadanos reLe=ivos críicos
ca-aces de
asumir res-onsa,ilidades en su conducción y la maem:ica de,e ser un medio -ara ello)ormando esudianes con auonomía conscienes de qu( a-renden cómoa-renden y
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-ara qu( a-renden. En ese senido es muy im-orane el rol del docenecomo agenemediador orienador y -rovocador de )ormas de -ensar y reLe=ionar duranelas acividades
maem:icas.
3onscienes
de
esa
res-onsa,ilidad
mediane
el
-resene )ascículo e,rindamos una @erramiena -edagógica orienadora -ara generar esos a-rendia$es. 3onal n se ado-a un en)oque cenrado en la resolución de -ro,lemas desdeel cual a -arirde una siuación -ro,lem:ica se desarrollan las ca-acidades maem:icascongurandoel desarrollo de la com-eencia.
En el -resene )ascículo enconrar:s
3a-íulo 8 los )undamenos eóricos de -or qu( y -ara qu( se a-rende
maem:ica
asumiendo la resolución de -ro,lemas como la cenralidad del que@acer maem:ico.
3a-íulo 88 los elemenos curriculares que -ermien generar a-rendia$es sign
icaivos así
como los es:ndares de a-rendia$e que consiuyen los @ios o las meas dea-rendia$e a
donde de,en llegar los esudianes al culminar el V ciclo.
3a-íulo 888 las orienaciones did:cicas en cada una de las com-eencias q
ue e guiar:n
-ara lograr los a-rendia$es signicaivos en los esudianes.
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Asimismo el mundo en que vivimos se mueve y cam,ia
r:-idameneR -or ello esnecesario que nuesra sociedad acual demande una culura maem:ica -araa-ro=imarse com-render y asumir un rol rans)ormador en elenorno com-le$o y glo,alde la realidad. En ese senido se requiere el desarrollo de @a,ilidades ,:sicas que nos-ermian desenvolvernos en la vida coidiana -ara relacionarnos con el enorno con el
mundo del ra,a$o de la -roducción y del esudio.
*
De lo dic@o se des-rende que la maem:ica es: incor-orada en las diversasacividades de las -ersonas de al manera que se @a converido en claveesencial -ara-oder rans)ormar y com-render nuesra culura y generar es-acios que-ro-icien eluso reconocimieno y valoración de los conocimienos maem:icos -ro-ios.
En los -ue,los originarios am,i(n se reconocen
-r:cicas -ro-ias y )ormas de esrucurar la realidadcomo -or e$em-lo agru-ar o,$eos o animales engru-os de 2 o ado-ando un sisema de numeración,inario o erciario. Ello nos conduce a la necesidad dedesarrollar com-eencias y ca-acidades maem:icasasumiendo un rol -arici-aivo en diversos :m,ios delmundo moderno -ues se requiere el e$ercicio de la
ciudadanía con senido críicoy creaivo. %a maem:icaa-ora en esa -ers-eciva cuando es ca-a de
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ayudarnos a cuesionar @ec@os daos ysiuaciones
Diseñar y elaborar una cometaes una actividad divertida ymediante la cual se puedenconstruir conocimientosgeométricos y de medida.
sociales iner-re:ndolas y e=-lic:ndolas.
Es la &ase para el pro)reso de la ciencia y la tecnolo),a> por lotanto> para el desarrollo de las sociedades=
En la acualidad las a-licaciones maem:icas
ya no re-resenan un -arimonio &nicamenea-recia,le en la )ísica ingeniería o asronomíasino que @an desencadenado -rogresoses-ecaculares en oros cam-os cienícos.Por e$em-lo es-ecialisas m(dicos leen o,rasso,re la eoría de la in)ormación los -sicólogosesudian raados de eoría de la -ro,a,ilidadec. Así e=isen muc@as evidencias -araque los m:s ilusres -ensadores y cienícos
@ayan ace-ado sin re-aros que en los &limosiem-os se @a vivido un inenso -eriodo dedesarrollo maem:ico.
H
En ese cone=o las ciencias se sirven de la maem:ica como medio de comunicación-ues @ay un lengua$e com&n que es el lengua$e maem:ico-ara odas las civiliaciones-or muy di)erenes que sean y ese sa,er es: consiuido -or las ciencias y la maem:ica.%a raón es: en que las leyes de la nauralea son id(nicas en odas -ares. En ese
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sisema comunicaivo!re-resenaivo es: escrio el desarrollode las dem:s cienciasRgracias a (l @a @a,ido un desarrollo din:mico y com,inadode la ciencia!ecnología
que @a cam,iado la vida del ciudadano moderno.Al día de @oy la necesidad de desarrollar com-eencias y ca
-acidades maem:icas se
@a @ec@o no solo indis-ensa,le sino a-remiane -ara el e$ercicio de cualquier acividadcieníca en la que ano ciencias como @umanidades @an reci,ido ya visi,lemene suremendo im-aco.
1romue
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Permie com-render el mundo y desenvolvernos adecua
damene en (l.
Es la ,ase -ara el -rogreso de la ciencia y la ecnología
R -or ende -ara el
desarrollo de las sociedades.
Pro-orciona las @erramienas necesarias -ara desarr
ollar una -r:cica
ciudadana res-onsa,le y consciene.
1.2
Para qu( a-render maem:icaF
%a nalidad de la maem:ica en el currículo es desarrollar )ormas de acuar y -ensar
maem:icamene en diversas siuaciones que -ermian a los ni9os iner-rear e inerveniren la realidad a -arir de la inuición el -laneamieno de su-uesos con$euras e @i-óesis@aciendo in)erencias deducciones argumenaciones y demosracionesR comunicarse y oras@a,ilidades así como el desarrollo de m(odos y aciudes &iles -ara ordenar cuanicar ymedir @ec@os y )enómenos de la realidad e inervenir conscienemene so,re ella.
10
El -ensar maem:icamene es un -roceso com-le$o y din:mico que
resula de laineracción de varios )acores Ocogniivos socioculurales a)ecivos enre oros elcual -romueve en los ni9os )ormas de acuar y consruir ideas maem:icas a -arirde diversos cone=os O3anoral Qria 2000. Por ello -ara -ensar maem:icameneenemos que ir m:s all: de los )undamenos de la maem:ica y la -r:cica e=clusiva de
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los maem:icos y raar de enender que se raa de a-ro=imarnos a odas las )ormas-osi,les de raonar )ormular @i-óesis demosrar consruir organiar comunicar
ideas y resolver -ro,lemas maem:icos que -rovienen de un cone=o coidiano socialla,oral cieníco ec.
En ese senido se es-era que los esudianes a-rendan maem:i
ca desde los
siguienes -ro-ósios
/a matemática es +uncional. "e ,usca -ro-orcionar las @erramiena
s mae!
m:icas ,:sicas -ara su desem-e9o en cone=o social es decir enla oma
de decisiones que orienan su -royeco de vida. Es de desacar aquí la conri!
,ución de la maem:ica a cuesiones an relevanes como los )enómenos -o!
líicos económicos am,ienales de in)raesrucura rans-ores o movimien!
os -o,lacionales.
/a matemática es instrumental= 'odas las -ro)esiones requieren una
,ase de
conocimienos maem:icos y en algunas como en la maem:ica -ura en la
)ísica en la esadísica o en la ingeniería la maem:ica es im-rescindi,le.
En la -r:cica diaria de las ciencias se @ace uso de la maem:ica. %
os conce-!
os con que se )ormulan las eorías cienícas son esencialmene conce-os
maem:icos. Por e$em-lo en el cam-o ,iológico muc@as de las caracerís!
icas @eredadas en el nacimieno no se -ueden -rever de anemano se=o
color de ca,ello -eso al nacer esaura ec. "in em,argo la -ro,a,ilidad
-ermie descri,ir esas caracerísicas.
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/a matemática es +ormati
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al senir sais)acción -or el ra,a$o realiado al @acer uso de sus com-eencias
maem:icas.
1.
3ómo a-render maem:icaFEn diversos ra,a$os de invesigación en anro-ología -sic
ología social y cogniiva
arman que los esudianes alcanan un a-rendia$e con alo nivel de signicaividad
cuando se vinculan con sus -r:cicas culurales y sociales.
Por oro lado como lo e=-resó
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@So&reA la resolución de pro&lemas> que e=-licia el desarr
ollo de la com-rensión del
sa,er maem:ico la -laneación el desarrollo resoluivo es
ra(gico y meacogniivoes decir la movilidad de una serie de recursos y de com-eencias y ca-acidades
maem:icas.
@1araA la resolución de pro&lemas> que involucran en)ren
ar a los ni9os de )orma
consane a nuevas siuaciones y -ro,lemas. En ese senido la resolución de
-ro,lemas es el -roceso cenral de @acer maem:icaR
asimismo es el medio-rinci-al -ara esa,lecer relaciones de )uncionalidad d
e la maem:ica con larealidad coidiana.
1 %a educación maem:ica realisa OE )ue )undada -or el -ro)esoralem:n ;ans
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A-rendia$e
%a resolución de -ro,lemas como en)oque oriena y da senido a la educación maem:icaen el -ro-ósio que se -ersigue de desarrollar ciudadanos que Iac&en y -iensenmaem:icameneJ al resolver -ro,lemas en diversos cone=os. Asimismo oriena lameodología en el -roceso de la ense9ana y el a-rendia$e de la maem:ica.
El en)oque cenrado en la resolución de -ro,lemas oriena la acividad maem:ica en el
aula siuando a los ni9os en diversos cone=os -ara crear recrear invesigar -lanear yresolver -ro,lemas -ro,ar diversos caminos de resolución analiar esraegias y )ormasde re-resenación sisemaiar y comunicar nuevos conocimienos enre oros.
%as re-ar5iremosenre los 6.
Pero de,e ser la misma can5idad-ara odos. E3u:n5as nos 5ocanF
T:s de unaU
T'engo H galleas-ara com-arirU
"í -ero menosde 2.
1
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as)os esenciales del en+oue
%a resolución de -ro,lemas de,e -lanearse en s
iuaciones de cone=os
diversos -ues ello movilia el desarrollo del -ensamieno maem:ico. %os
esudianes desarrollan com-eencias y se ineresan en el conocimieno
maem:ico si le encuenran signicado y lo valorany -ueden esa,lecer la
)uncionalidad maem:ica con siuaciones de diversoscone=os.
%a resolución de -ro,lemas sirve de escenario -ara d
esarrollar com-eencias
y ca-acidades maem:icas.
%a maem:ica se ense9a y se a-rende resolviendo -
ro,lemas. %a resolución
de -ro,lemas sirve de cone=o -ara que los esudianes consruyan nuevos
conce-os maem:icos descu,ran relaciones enre enidades maem:icas
y
ela,oren
-rocedimienos
maem:icos
esa,leciendo
relaciones
enree=-eriencias conce-os -rocedimienos y re-resenac
iones maem:icas.
Una situación se describecomo un acontecimientosignificativo, que le damarco al planteamiento deproblemas con cantidades,regularidades, formas,
etc. Por ello, permite darsentido y funcionalidad a lasexperiencias y conocimientosmatemáticos que desarrollanlos estudiantes.
%os -ro,lemas -laneados de,en res-onder a los inereses ynecesidades de los ni9os. Es decir de,en -resenarse reos y desa)íosineresanes que los involucren realmene en la ,&squeda de
soluciones.%a resolución de -ro,lemas -ermie a los ni9os @
acer cone=iones
enre ideas esraegias y -rocedimienos maem:icos que le densenido e iner-reación a su acuar en diversas siuaciones.
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menales u o-eraciones inelecuales que llevan al esudiane a enender y doar designicado a lo que le rodea resolver un -ro,lema so,re conce-os maem:icos
omar una decisión o llegar a una conclusión en los que es:n involucrados -rocesoscomo la a,sracción $usicación visualiación esimación enre oros O3anoral 2005Rolina 2006R 3arreero y Ascencio 200*.
%as com-eencias -ro-uesas en la Educación #:sica egular se organian
so,re la ,ase
de cuaro siuaciones. %a denición de esas se sosiene en la idea de que l
a maem:ica se@a desarrollado como un medio -ara descri,ir com-render e iner-rear los)enómenosnaurales y sociales que @an moivado el desarrollo de deerminados -rocedimienos
y conce-os maem:icos -ro-ios de cada siuación O?E3D 2012. En ese senido lamayoría de -aíses @a ado-ado una organiación curricular ,asada en esos )enómenosen la que su,yacen numerosas clases de -ro,lemas con -rocedimienos
y conce-osmaem:icos -ro-ios de cada siuación. Por e$em-lo )enómenos como la inceridum,reque -ueden descu,rirse en muc@as siuaciones @a,iuales necesian ser a,ordados con
esraegias y @erramienas maem:icas relacionadas con la -ro,a,ilidad. Asimismo)enómenos o siuaciones de equivalencias o cam,ios necesian ser a,ordados desde el:lge,raR las siuaciones de canidades se analian y modelan desde la ari
m(ica o losn&merosR las de )ormas desde la geomería.
Por las raones descrias las com-eencias se )ormulan como ac
uar y -ensar
maem:icamene a rav(s de siuaciones de canidadR regularidad equivalencia y
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cam,ioR )orma movimieno y localiación y gesión de daos e inceridum,re.
Actúa y piensa
matemáticamenteen situaciones de
cantidad.
Actúa y piensamatemáticamenteen situacionesde regularidad,equivalencia y
cambio.
MATEMÁTICA
Actúa y piens
a
matemáticamenteen situaciones de gestión de datos eincertidumbre.
Actúa y piensamatemáticamenteen situacionesde forma,
movimiento y localización.
1C
2.1
3om-eencias maem:icasC!M1ETENCI$
$ct2a y piensa
matemáticamenteen situaciones decantidad
En la acualidad la -resencia de la in)ormación cuaniaiv
a se @a incremenado de
)orma considera,le. Ese @ec@o e=ige al ciudadano consruirmodelos de siuaciones enlas que se maniesa el senido num(rico y de magniud locual va de la mano con la
1
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com-rensión del signicado de las o-eraciones y la a-licación de diversas esraegiasde c:lculo y esimación.
$ctuar y pensar en situaciones de cantidad im-lica resolver
-ro,lemas relacionados concanidades que se -ueden conar y medir -ara desarrollar -rogresivamene el senidonum(rico y de magniud la consrucción del signicado de las o-eraciones así comola a-licación de diversas esraegias de c:lculo y esimación. 'oda esa com-rensiónse logra a rav(s del des-liegue y la inerrelación de las ca-acidades de maemaiar
siuaciones comunicar y re-resenar ideas maem:icas ela,orar y usar esraegias-ara resolver -ro,lemas o al raonar y argumenar generando ideas maem:icas arav(s de sus conclusiones y res-uesas.
"B.
aemaia si
uaciones
"B. 2ca)( 3omunica y re-resena
ideas maem:icas
E=-resar
-ro,lemas
diversos en
modelos
maem:icosrelacionados conlos n&me
ros y laso-eraciones.
yogur
yogur
yogur
yogur yogur yogur y
ogur"B . 5
E=-resar elsignicado delos n&meros yo-eraciones demanera oral y escria@aciendo uso dere-resenaciones ylengua$e maem:ico.
>usicar y v
alidarconclusio
nessu-ues
os
as
is
on
las
s.
Ac&a y -iensamaem:icameneen siuaciones de
canidad.
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Planicar e$ecuary valorar esraegias
@eurísicas-rocedimienos dec:lculo com-aración
y esimación usandodiversos recursos -araresolver -ro,lemas.
aona y argumenagenerando ideas maem:icas
2
g
1
g
1g1g
2Ela,ora y usa esraegias
"B. 1 "B . 2 "B. "B . G
1*
%a
necesidad
de
cuanicar
y
organiar
lo
que
se
encuenra
en
nuesro
enorno
nos-ermie reconocer que los n&meros -oseen disina uilidad en diversos cone=os.
'reWers Ociado -or >an de %ange @ace @inca-i( en la im-orancia de l
a ca-acidad
de mane$ar n&meros y daos y de evaluar las -ro,lemas y siuaciones
que im-lican-rocesos menales y de esimación en cone=os del mundo real.
Por su
-are
'@e
8nernaional
%i)e
"ills
"urvey
OPolicy
esearc@
8nii
aive "aisics
3anada 2000 menciona que es necesario -oseer Iun con$uno de
@a,ilidadesconocimienos creencias dis-osiciones @:,ios de la mene comunicacionesca-acidades y @a,ilidades -ara resolver -ro,lemas que las -ersonas nec
esian -ara
-arici-ar ecamene en siuaciones cuaniaivas que surgen en la vida yel ra,a$oJ.
%o dic@o aneriormene -one de manieso la im-orancia de -romover a
-rendia$es
vinculados con el desarrollo de la arim(ica asociada a la idea de canidad lo cual
im-lica lo siguiene
6
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"B. 1004g
"B. 1004g
"B. 00
4g
3onocer los m&li-les usos que les damos a los n&meros naurales
)racciones y decimales.e-resenar los n&meros naurales )racciones y decimales en s
usvariadas )ormas.
ealiar -rocedimienos como coneo c:lculo y esimación decanidades.
3om-render las relaciones y las o-eraciones.
3om-render el sisema de numeración decimal conlos n&meros naurales y decimales.
econocer -arones num(ricos en n&meros de @asaseis ci)ras.
Qiliar n&meros -ara re-resenar ari,uos medi,lesde o,$eos del mundo real.
3om-render el signicado de las o-eraciones concanidades y magniudes.
1H
C!M1ETENCI$
$ct2a y piensamatemáticamente ensituaciones de re)ularidad>eui
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-resenan en los diversos )enómenos naurales económicosdemogr:cos cienícosenre oros. Esas relaciones inLuyen en la vida del ciudadanoe=igi(ndole que desarrolle
ca-acidades maem:icas -ara iner-rearlos descri,irlos ymodelarlos O?3DE 2012.%a iner-reación de los )enómenos su-one com-render los di) erenes i-os de cam,io yreconocer cu:ndo se -resenan con el -ro-ósio de uiliar modelos maem:icos -aradescri,irlos.
$ctuar y pensar en situaciones de re)ularidad> eui
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-arones -ro-iedades
so,re la igualdad
y desigualdad y las
relaciones de cam,io.
aona y ar
gumenagenerando ideas maem:icas
Ac&a y -iens
amaem:icameneen siuacionesde regularidad
equivalencia y
cam,io.
E=-resar elsignicado de-arones igualdadesdesigualdadesy relaciones demanera oral yescria @aciendouso de di)erenesre-resenaciones ylengua$e maem:ico.
Planicar e$ecuary valorar esraegias@eurísicas-rocedimienos dec:lculo esimaciónusando diversosrecursos -ara resolver-ro,lemas.
Ela,ora y usa esraegias
20
Ana #ressan O2010 menciona que el descu,rimieno de las leyes que rigen-arones y su reconsrucción con ,ase en esas mismas leyes cum-le un-a-el )undamenal -ara el desarrollo del -ensamieno maem:ico. Am,asacividades es:n vinculadas esrec@amene al -roceso de generaliaciónque )orma -are del raonamieno inducivo enendido ano como -asarde casos -ariculares a una -ro-iedad com&n Ocon$eura o @i-óesis comorans)erir -ro-iedades de una siuación a ora. Asimismo el esudio de-arones y la generaliación de esos a,ren las I-uerasJ -ara com-renderla noción de varia,le y de )órmula así como -ara disinguir las )ormasde raonamieno inducivo y deducivo y el valor de la sim,oliación
maem:ica.
%a com-eencia de $ctuar y pensar matemáticamente en situaciones de
re)ularidad>
eui
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8denicar iner-rear y re-resenar
regularidades que se reconocenen diversos cone=os incluidos losmaem:icos.
3om-render que un mismo -arón
se -uede @allar en siuacionesdi)erenes ya sean )ísicasgeom(ricas aleaorias num(ricasec.
eneraliar -arones y relaciones usando iconos y sím,olos.
8ner-rear y re-resenar las condiciones de -ro,lemas mediane
igualdades o desigualdades.
Deerminar valores desconocidos y esa,lecer equivalencias enree=-resiones num(ricas y alge,raicas.
8denicar e iner-rear las relaciones enre dos magniudes.
Analiar la nauralea del cam,io y modelar siuaciones o )enómeno
s
del mundo real mediane a,las yrelaciones de -ro-orcionalidad.
x x
21
C!M1ETENCI$
$ct2a y piensa matemáticamente ensituaciones de +orma> mo
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En el mundo en que vivimos la geomería es: -resene en diversas mani)esaciones dela culura y la nauralea. En nuesro alrededor -odemos en
conrar una am-lia gamade )enómenos visuales y )ísicos -ro-iedades de los o,$eos-osiciones y orienacionesre-resenaciones de los o,$eos su codicación y decodicación OP8"A 2012. Eso nosmuesra la necesidad de ener -erce-ción es-acial de comunicarnos en el enornocoidiano @aciendo uso de un lengua$e geom(rico así como de realiar medidas yvincularlas con oros a-rendia$es maem:icos. En ese sen
ido a-render geomería-ro-orciona a la -ersona @erramienas y argumenos -ara com-render el mundoR -orello la geomería es considerada como la @erramiena -arael enendimieno y es la-are de las maem:icas m:s inuiiva concrea y ligada a la realidad O3a,ellos "anos2006.
$ctuar y pensar en situaciones de +orma> mo
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re-resenar ideas maem:icas ela,orar y usar esraegias y raonar y argumenargenerando ideas maem:icas.
Esas cuaro ca-acidades maem:icas se inerrelacionan e
nre sí -ara lograr que elesudiane sea ca-a de desarrollar una com-rensión -ro)unda de las -ro-iedades yrelaciones enre las )ormas geom(ricas así como la visualiación la localiación y elmovimieno en el es-acioR odo lo cual -ermie resolver diversos -ro,lemas.
22
aemaia siuaci
ones
Asociar -ro,l
emas
diversos conmodelos re)eri
dos a-ro-iedades
de las)ormas locali
acióny movimieno
en eles-
acio.
>usicar y
validarconclusi
onessu-uesos con$
eurase @i-óesis re
s-ecoa las -ro-ie
dades
e las ) ormas sus
rans)ormaciones
localiación en el
s-acio.
aona y argumenagenera
ndo ideas maem:icas
Ac&a y -iensamaem:icameneen siuaciones de)orma movimieno
y localiación.
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3omunica y re-resenaideas maem:icas
E=-resar las-ro-iedades de las)ormas localiación
y movimieno en eles-acio de maneraoral y escria @aciendouso de di)erenesre-resenaciones y
lengua$e maem:ico.
Planicar e$ecua
r yvalorar esraegias@eurísicas y
-rocedimienosde localiaciónconsrucción medicióny esimación usandodiversos recursos -araresolver -ro,lemas.
Ela,ora y usa esraegias
Esa )orma de -romover a-rendia$es relacionados con la geomería involucra losiguiene
Qsar relaciones es-aciales al iner-rear ydescri,ir de )orma oral y gr:ca rayecos y-osiciones de o,$eos y -ersonas -ara disinasrelaciones y re)erencias.
3onsruir y co-iar modelos de )ormas
,idimensionales y ridimensionales condi)erenes )ormas y maeriales.
5 0
1 2 01 A 0
C 0
1 1 0
* 0
1 0 0
H 0H 0
100110
* 0 1 2 0
6 0 1 A 0
5 0
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E=-resar -ro-iedades de guras y cuer-osseg&n sus caracerísicas -ara que losreconocan o los di,u$en.
E=-lorar armaciones acerca de caracerísicas de las guras y argu
menar
su valide.
Esimar medir y calcular longiudes su-ercies y volumen usando uni
dades
ar,irarias y convencionales.
2
C!M1ETENCI$
$ct2a y piensamatemáticamente ensituaciones de )estión dedatos e incertidum&re
En
la
acualidad
nos
enconramos
en
un
cone=o
social
cam,iane e im-redeci,ledonde la in)ormación el mane$o del aar y la inceridum,re $uega un -a-el relevane.En ese cone=o la in)ormación es -resenada de diversas )ormasR -or e$em-lo losresulados de las encuesas se -resenan en diagramas y gr:cos moivo -or el cualla esadísica se conviere en una @erramiena -ara com-render el mundo y acuar
so,re (l. De oro lado am,i(n se -resenan siuaciones de aar im-redeci,les yde inceridum,re en la que nos senimos inseguros so,re cu:l es la me$or )orma deomar decisiones es -or ello que la -ro,a,ilidad se -resena como una @erramienamaem:ica -ara )omenar el -ensamieno aleaorio y esasnociones se desarrollar:nde )orma inuiiva e in)ormal en el nivel -rimario.
!
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$ctuar y pensar en situaciones de )estión de datos e incert
idum&re im-lica desarrollar
-rogresivamene la com-rensión so,re la reco-ilación y el -ro
cesamieno de daos suiner-reación y valoración y el an:lisis de siuaciones de inceridum,re. Eso involucrael des-liegue de las ca-acidades de maemaiar siuaciones comunicar y re-resenarideas maem:icas ela,orar y usar esraegias raonar y argumenar generando ideasmaem:icas a rav(s de sus conclusiones y res-uesas.
Matematia sit
uaciones
Asociar
-ro,lemasdiv
ersos conm
odeloses
adísicos y-ro,
a,ilísicos.
>usica
r y validarcon
clusiones su-uesos
con$euras e
@i-óesis res-aldados
en conce-os
esadísicos y
-ro,a,ilísicos.
ao
na
ar)u
men
ta
ener
ando
deas
matemáticas
Ac&a y -iensamaem:icameneen siuaciones degesión de daos
e inceridum,re.
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Comunica y representaideas matemáticas
E=-resar elsignicado deconce-os esadísicos y
-ro,a,ilísicos de maneraoral o escria @aciendouso de di)erenesre-resenaciones y
lengua$e maem:ico.
Planicar e$ecu
ar
y valorar esraegias@eurísicas y-rocedimienos -arala recolección y el-rocesamieno dedaos y el an:lisisde -ro,lemas deinceridum,re.
Ela&ora y usa estrate)ias
2G
2.2 3a-acidades maem:icas
3a-acidad 1
Matematia situacionesEs la ca-acidad de e=-resar en un modelo maem:ico un -ro,lema re
conocido en
una siua ción. En su desarrollo se usa iner-reay eval&a el modelo maem:ico deacuerdo c on el -ro,lema que le dio origen. Por ello esa ca-acidad im-lica
8denicar caracerísicas
daos
condiciones
y varia,les
del -ro,lema que
-ermian consruir un sisema de caracerísicas maem:icas Omodelo
maem:ico de al )orma que re-roduca o imie el com-oramieno de la
realidad.
Qsar el modelo o,enido esa,leciendo cone=iones con nuevas siu
aciones
en las que -uede ser a-lica,le. Eso -ermie reconocer el signicado y la)uncionalidad del modelo en siuaciones similares a las esudiadas.
3onrasar valorar y vericar la valide del modelo desarrollado reco
nociendo
sus alcances y limiaciones.
F G5 g
65 g
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Es la ca-acidad de com-render el signicado de las ideas m
aem:icas y e=-resarlas de
)orma oral y escria1 usando el lengua$e maem:ico y divers
as )ormas de re-resenacióncon maerial concreo gr:co a,las y sím,olos y ransiando de una re-resenacióna ora.
%a comunicación es la )orma de e=-resar y re-resenar i
n)ormación con conenido
maem:ico así como la manera en que se iner-rea O/iss 2002. %as ideasmaem:icas adquieren signicado cuando se usan di)eren
es re-resenaciones y sees ca-a de ransiar de una re-resenación a ora de al )orma que se com-rende laidea maem:ica y la )unción que cum-le en di)erenes siuaciones.
"I*EENTES *!M$S "E E1ESENT$
e
-resenación
-icórica
Di,u$os e íconos.
e-resenación conmaerial concreo
Esrucuradomaerial #ase Die:,aco regleas decolores ,alanaec.
/o esrucuradosemillas -iedrias-alios a-asc@a-as ec.
e-resenación
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vivencial
Acciones morices $uegos de roles ydramaiación.
e-resenacióngr:ca
'a,las cuadrosgr:cos de
,arras.
e-resenaciónsim,ólica
"ím,olos
e=-resionesmaem:icas.
Ada-ación Discover sraegic young ma@ sudens incom-leenly using muli-le re-resenaions de Anne ars@all O2010.
1Enendemos -or re-resenación escria am,i(n lo gr:co y lo visual.
26
Por e$em-lo re-resenamos 5CH5 de di)erenes maneras usando maerial concreo
# d c
5 C H 5
En +orma concreta
3on ,illees y monedas 3on el :,aco
En +orma )ráDca
5CH5 a-ro=imadamene
10 20 0 G0 50 60En +orma sim&ólica
En el a,lero de valor -osicional 3on sumandos
H 55C X X
10 100
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En los -rimeros grados de la educación -rimaria el -roceso de con
srucción delconocimieno maem:ico se vincula esrec@amene conel -roceso de desarrollo del -ensamieno del ni9o. Ese-roceso comiena con un reconocimieno a rav(s de sucuer-o ineracuando con el enorno y con la mani-ulacióndel maerial concreoR se va consolidando cuando el ni9o-asa a un nivel mayor de a,sracción al re-resenar demanera -icórica y gr:ca aquellas nociones y relacionesque )ue e=-lorando en un -rimer momeno a rav(s del
cuer-o y los o,$eos. %a consolidación del conocimienomaem:ico es decir de conce-os se com-lea con lare-resenación sim,ólica Osignos y sím,olos de esos arav(s del lengua$e maem:ico sim,ólico y )ormal.
!ara la construccindel significado de losconocimientos matemáticoses recomendable quelos estudiantes realicendiversas
representaciones,
partiendo de aquellas queson vivenciales "asta llegara las gráficas o simblicas.
gr:co o sim,ólico.
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2C
Es im-orane resalar que en cada nivel de re-resenación se
evidencia
ya
un
nivelde a,sracción. Es decir cuando el ni9o es ca-a de ransiar de un maerial concreoa oro o de un di,u$o a oro va evidenciando que es: com-rendiendo las nocionesy conce-os y los va inde-endiando del i-o de maerial que es: usando. Parare-resenar un descueno del veine -or cieno de cien -odemos usar maerial #aseDie o sino una cuadrícula de 10 = 10 en la que som,re
amos
20
cuadrios
de
100am,i(n -odemos uiliar una re-resenación sim,ólica como)racción decimal O 20 o
100
El mane$o y uso de las e=-resiones y sím,olos que consiuyen el lengua$e maem:icose va adquiriendo de )orma gradual en el mismo -roceso de consrucción deconocimienos. 3on)orme el esudiane va e=-erimenando o
e=-lorando las nocionesy las relaciones va e=-res:ndolas de )orma coloquial al -rinci-io -ara luego -asar allengua$e sim,ólico y nalmene dar -aso a e=-resiones m:s (cnicas y )ormales que-ermian e=-resar con -recisión las ideas maem:icas y que adem:s res-onden auna convención.
'Z/"8'? PAA %A AD[Q8"838\/ DE% %E/QA>E
A'EZ'83?
%engua$
e
con un n&mero decimal O020 o usando el sím,olo ]
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(cnico y
%en
gua$e
)ormal
%engua$e
sim,ólico
coloquial
3a-acidad
Ela&ora y usa estrate)ias
Es la ca-acidad de -lanicar e$ecuar y valorar una secuencia organiada de esraegiasy diversos recursos enre ellos las ecnologías de in) ormación y comunicaciónem-le:ndolos de manera Le=i,le y eca en el -laneamieno y la resolución de-ro,lemas. Eso im-lica ser ca-a de ela,orar un -lan d
e solución
moniorear
sue$ecución -udiendo incluso re)ormular el -lan en el mismo
-roceso con la nalidadde resolver el -ro,lema. Asimismo im-lica revisar odo el -roceso de resoluciónreconociendo si las esraegias y @erramienas )ueron usadas de manera a-ro-iada yó-ima.
%as esraegias se denen como acividades conscienes e i
nencionales que guían el-roceso de resolución de -ro,lemasR esas -ueden com,inarla selección y e$ecuciónano de -rocedimienos maem:icos como de esraegias @eurísicas de manera-erinene y adecuada al -ro,lema -laneado.
2*
%a ca-acidad Ela&ora y usa estrate)ias im-lica que los esudianes
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Ela,oren y dise9en un -lan de solución.
"eleccionen y a-liquen -rocedimienos y esraegias de diversos i-os
O@eurísicos de c:lculo menal o escrio.
ealicen una valoración de las esraegias -rocedimienos y los recursos que
)ueron em-leadosR es decir que reLe=ione so,re su -erinencia y si le)ueron
&iles.adnelaCiv oremem ul21
54321
9876543
2111019876
61514131211101
61514131211101
91817161514
131
32221202918171
32221202918171
62524232221
202
03928272625242
8272625242
130392
8272
13
oinuj
oyam
lir
ba
odasivujim am ul
odasivujim am ul
odasivujim am
ul
4321
654321
8765432
31211101987
5141312111019
81716151413121
02918171615
141
22120291817161
52423222120291
72625242322
212
62524232
130392827262
03
9282
03
erbmeitpes otsoga
oilujodasiv u j i ma m u l o d a s ivujim am ul
odasivujim am ul
4 3 21 3 2 1 6 5 43 2 1
4 1 3 1 2 1 11 0 1 9 8 0 1 9 8 7 6 54 3 1 2 1 1 1 01 9 8 7
12029181716151 71615141312111
02918171615141
82726252423222 42322212029181
72625242322212
0392 13039282726252
13039282
erbmeicid erbmeivon
erbutco
odasiv u j i ma m u l o d a s ivujim am ul
odasivujim am ul
4 32 1 2 1 5 4 32 1
4 1 3 1 2 1 11 0 1 9 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 1 0 1 98 7 6
12029181716151 61514131211101
91817161514131
82726252423222 32221202918171
62524232221202
130392 03928272625242
1303928272
]2 4 [ } 24 {
resolverlo
de oramanera -ara ver si
sale igual.
^ si en ve de u
ncuaro @u,iera sido
un quinoF
i esraegi
a cómo lo @asresuelo &.
3ómo @an resuelo
el -ro,lemaF
Voy a inenares m:s ):cil. E=-lícame
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Qsando a-as loresolví m:s r:-ido.
3a-acidad G
aona y ar)umenta )enerandoideas matemáticas
Es la ca-acidad de -lanear su-uesos con$euras e @i-óesis de im-licanc
ia maem:icamediane diversas )ormas de raonamieno así como de vericarlos y validarlos usandoargumenos. Para eso se de,e -arir de la e=-loración de siuaciones vinculadas a lasmaem:icas a n de esa,lecer relaciones enre ideas y llegar a conclusi
ones so,re la,ase de in)erencias y deducciones que -ermian generar nuevas ideas maem:icas.
%a ca-acidad aona y ar)umenta )enerando ideas matemáticas im-lic
a que el
esudiane
E=-lique sus argumenos al -lanear su-uesos con$euras e @i-óe
sis.?,serve los )enómenos y esa,leca di)erenes relaciones maem:
icas.Ela,ore conclusiones a -arir de sus e=-eriencias.Deenda sus argumenos y re)ue oros so,re la ,ase de sus concl
usiones.
Pro)esora una reglea rosada
re-resena la miad delerreno enonces la )racción
es 1 .2
'am,i(n dos regleas
ro$as son 2
Al sim-licar equivale a 1 .
G
.
2
2H
aesra yo enconr( * -ero alsim-licar equivale a 1
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2. 3ómo se desarrollan las com-eencias
en el V cicloF
2..1
Ac&a y -iensa maem:icamene
en siuacionesde canidad
%os ni9os en ese ciclo se en)renan a siuaciones y -ro,lemas de cone=os sociales ycomerciales -or e$em-lo a siuaciones de com-ra!vena dedescuenos -ro,lemasde re-aro de canidades -ro,lemas en las que se in)ormade asunos relacionadoscon canidades e=-resados en millones enre oros. Así mismo ienen la necesidadde mane$ar con mayor -recisión el -eso de los o,$eos y orginiarse a nivel -ersonal@aciendo uso del iem-o.
Es -or ello que en ese ciclo acuar y -ensar maem:icame
ne en siuaciones de canidadim-lica que los esudianes realicen acciones orienadas a maemaiar siuaciones al-lanear relaciones y e=-resarlas en modelos de solución adiivos y muli-licaivos connaurales )racciones y decimalesR comunicar y re-resenarideas maem:icas so,reel signicado de los n&meros naurales mayores de seis ci)ras )racciones decimales
y -orcena$es y so,re las di)erenes )ormas de re-resenaresos n&merosR ela,orar yusar esraegias y -rocedimienos de c:lculo escrio y menal-ara resolver -ro,lemasRy raonar y argumenar al esa,lecer con$euras so,re las -ro-iedades de los n&merosy o-eraciones. En ese a):n es im-orane la consolidación de ideas y conce-os)undamenales de la maem:ica como el sisema de numeración decimal al ra,a$ar
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con decimales @asa el cen(simo.
Es im-orane mencionar que en ese ciclo se da inicio al
esudio de los decimales
y -orcena$es a -arir de las )racciones decimales -ero adem:s se relacionan losn&meros decimales con el sisema de numeración decimallo cual signica un -asom:s @acia la noción de n&meros racionales.
Talla de los estudiantes del )rupo 6
4arina 0H mPedro 15 m8v:n 12 mEs@er 1A m8ngrid 0C m
0
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2
P o r e $ e m - l o s i u a c i o n e s d u a l e s c o n g a n a n c i a s ! - ( r d i d a s i n g r e s o s ! r e i n e g r o s R y s i u a c i o n e s r e l a
i v a s c o n e m - e r a u r a n
& m e r o d e í n d i
P r o , l e m a s d e v a r i a s e a - a s q u e c o m , i n e n - r o , l e m a s a d i i v o s c
o n - r o , l e m a s m u l i - l i c a i v o s . P r o , l e
d i v i s i ó n o - r o d u c o c a r e s i a n o .
P r o , l e m a s d e v a r i a s e a - a s q u e c o m , i n e
n - r o , l e m a s a d i i v o s c o n - r o , l e m a s m u l i - l i c a i v o s .
O P A E V P r o , l e m a s a d i i v o s d e i g u a l a c i ó n y G .
P r o , l e m a s a d i i v o s d e d o s o m : s e a -
a s q u e c o m , i n e n - r o , l e m a s d e c o m , i n
a c i ó n ! c o m , i n a c i ó n c o m , i n a c i ó n ! c a
i g
u a l a c i ó n e c .
O P A E V P r o
, l e m a s a d i i v o s d e c a m , i o c o m - a r a c i ó n e i g u a l a c i ó n 5 y 6 .
y r e l a i v a s .
- r o , l e m a e n s i u a c i o n e s d u a l e s
n a u r a l e s .
a l - l a n e a r o r e s o l v e r u n
o - e r a c i o n e s c o n n & m e r o s
r e
l a c i o n a d o a n & m e r o s e n e r o s
q u e c o m , i n e n l a s c u a r o
" e l e c
c i o n a u n m o d e l o
e n u n m
o d e l o d e s o l u c i ó n
v a r i a
s e a - a s 5 y l o s e = - r e s a
e n e r o s y s u s o - e r a c i o n e s .
e = - l í c
i o s e n - r o , l e m a s d e
u n m o d e l o u s a n d o n & m e r o s
y m u l i - l i c
a i v a s c o n d a o s n o
d u a l e s y r e l a i v a s 6 a l e = - r e s a r
8 n e r -
r e a r e l a c i o n e s a d i i v a s
n o e
= - l í c i a s e n s i u a c i o n e s
e c o n o c e d a o s y r e l a c i o n e s
n 2 m e r o s n a t u r a l e s =
1 r o & l e m a s d e < a r i a s e t a p a s c o n 1 r o & l e m a s c o n n 2 m
n a u r a l e s . d
e s o l u c i ó n a d i i v a c o n n & m e r o s
e = - r e s : n d o l a s e n u n m o d e l o
$ u n a r ! c o m
- a r a r $ u n a r ! i g u a l a r
$ u n a r $ u n a r ! a g r e g a r ! q u i a r
c o m , i n e n
a c c i o n e s d e $ u n a r !
d e d o s o m :
s e a - a s 2 q u e
d a o s e n - r
o , l e m a s a d i i v o s
P l a n e a r e l a c i o n e s e n r e l o s
e t a p a s c o n n 2 m e r o s n a t u r a l e s
1 r o & l e m a s
a d i t i < o s d e d o s o m á s
- r o , l e m a e n s u c o n e = o .
a d i i v a a l - l a n e a r o r e s o l v e r u n
E m - l e a u n m o d e l o d e s o l u c i ó n
@ a s a c u a r o c i ) r a s .
m o d e l o d e s o l u c i ó n a d i i v a d e
e a - a 1 e = - r e s : n d o l o s e n u n
d a o s e n - r o , l e m a s d e u n a
P l a n e a r e l a c i o n e s e n r e l o s
n a t u r a l e s
1 r o & l e m a s a
d i t i < o s c o n n 2 m e r o s
1 r
i m e r G r a d o d e S e c u n d a r i
S e H t o G r a d o
C u a r t o
) r a d o
n a u r a l e s .
y m u l i - l i c a i v a c o n n & m e r o s
u n m o d
e l o d e s o l u c i ó n a d i i v a
c a n i d a d
R e = - r e s : n d o l a s e n
r e - e i r r e - a r i r o a g r u - a r u n a
$ u n a r c o m - a r a r i g u a l a r
a c c i o n e
s d e a g r e g a r q u i a r
v a r i a s e
a - a s G q u e c o m , i n e n
m u l i - l i c a i v a s e n - r o , l e m a s d e
P l a n e a r e l a c i o n e s a d i i v a s y
n 2 m e r o s n a t u r a l e s
1 r o & l e m a
s d e < a r i a s e t a p a s c o n
- r o , l e m a e n s u c o n e = o .
a d i i v a
a l - l a n e a r o r e s o l v e r u n
Q s a u n m
o d e l o d e s o l u c i ó n
n & m e r o s n a
u r a l e s .
e n u n m
o d e l o d e s o l u c i ó n c o n
d e u n a e
a - a e = - r e s : n d o l o s
e = - l í c i a s e n - r o , l e m a s a d i i v o s
8 n e r - r
e a d a o s y r e l a c i o n e s n o
n a t u r a l e s
1 r o & l e m a
s a d i t i < o s c o n n 2 m e r o s
Q u i n
t o ) r a d o
C
! M 1 E T E N C I $ ' $ C T B $ 1 I E
N S $ M $ T E M Á T I C $ M E N T E E N S I T # $ C I ! N E S " E C $ N T
M$TEM$TIJ$SIT#$CI!
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; a c e r l a s i m u l a c i ó n c o n m a e r i a l c o n c r e o c o m o # a s e D i e R @ a c e r u n e s q u e m a c o m o l a c u a d r í c u l a d e 1 0 1 0 .
E s r a e g i a s @ e u r í s i c a s c o m o @ a c e r u n a s i m u l a c i ó n c o n m a e r i a l c o n c r e o
@ a c e r u n e s q u e m a r e c a n u m ( r i c a .
s u s r e s u l a d o
s .
r e s o l v e r - r o , l e m a s y v e r i c a r
E m - l e a l a c a l c u l a d o r a - a r a
d i s i n a s r e s o l u c i o n e s .
y e s r a e g i a s e m - l e a d a s e n
3 o m - a r
a l o s - r o c e d i m i e n o s
l o r e - l a n e a .
c o m - a 9 e r o s y d e s e r n e c e s a r i o
o e s r a e g i a y e l d e s u s
3 o m - r u e ,
a s u - r o c e d i m i e n o
- r o , l e m a .
r e c u r s o s u s a d o s a l r e s o l v e r e l
- r o
c e d i m i e n o s m a e m : i c o s y
d e l a s e s r a e g i a s
E v a l & a v e n a $ a s y d e s v e n a $ a s
d i s i n a s
r e s o l u c i o n e s .
y e s r a e g i a s e m - l e a d a s e n
3 o m -
a r a l o s - r o c e d i m i e n o s
o r o s a l r e s o l v e r - r o , l e m a s .
a - o y a d o e n r e c u r s o s g r : c o s y
o d e s c u e
n o s - o r c e n u a l e s
3 a
l c u l a e l v a l o r d e a u m e n o s
d e s c u
e n o - o r c e n u a l .
r e l a
c i o n a d o a l a u m e n o o
- a r a
r e s o l v e r - r o , l e m a s
E m
- l e a e s r a e g i a s @ e u r í s i c a s
P r i m e r r a d o d e " e c u n d a r i a
d e c i m a l e s
.
o s i m - l i c
a r ) r a c c i o n e s y
y - r o c e d i m i e n o s a l o - e r a r
E m
- l e a e s r a e g i a s @ e u r í s i c a s
" e = o r a d o
c o n -
o r c e n a $ e s m : s u s u a l e s .
c : l c u
l o a l r e s o l v e r - r o , l e m a s
- r o c
e d i m i e n o s y e s r a e g i a s d e
E m -
l e a e s r a e g i a s @ e u r í s i c a s
1 o r c e n t a K e
r e s o l v e r - r o , l e m a s .
e n
r e c u r s o s g r : c o s y o r o s a l
d e u n a - r o - o r c i ó n a - o y a d o
; a
l l a e l ( r m i n o d e s c o n o c i d o
- r o -
o r c i o n a l i d a d d i r e c a .
e n - r o , l e m a s r e l a c i o n a d o s c o n
u
n i d a d y l a r e g l a d e r e s s i m - l e
e l m
( o d o d e r e d u c c i ó n a l a
E m
- l e a e l ) a c o r d e c o n v e r s i ó n
d e c i m a l e
s e = a c o s .
r e s a r m u l i - l i c a r y d i v i d i r c o n
d e c : l c u l o - a r a s u m a r
y - r o c e d i m
i e n o s o e s r a e g i a s
E m - l e a e s r a e g i a s @ e u r í s i c a s
2 5 B 1 0 0 Y 1 B G g Y 2 5 0 g
O 0 2 5
g Y 2 0 B 1 0 0 X 5 B 1 0 0 Y
u n i d
a d e s d e m a s a o l o n g i u d .
- o r c e
n a $ e s y e n r e d i ) e r e n e s
) r a c c i ó n d e c i m a l ) r a c c i ó n o
c o n v e r s i o n e s e n r e d e c i m a l e s
- a r a
e s a , l e c e r e q u i v a l e n c i a s y
E m - l e a e s r a e g i a s o r e c u r s o s
n & m e r o s d e c i m a l e s d a d o s .
n & m e r o s d e c i m a l e s e n r e d o s
d ( c i m
o s c e n ( s i m o s y u , i c a r
n & m e r
o s d e c i m a l e s a l o s
c o m - a r a r o r d e n a r r e d o n d e a r
E m - l e a - r o c e d i m i e n o s - a r a
N 2 m e r o s d e
c i m a l e s
3 u a r o
g r a d o
d e c i m a l e s .
d e c i m a
l e s e = a c o s y ) r a c c i o n e s
c : l c u l o - a r a s u m a r y r e s a r c o n
- r o c e d
i m i e n o s o e s r a e g i a s d e
E m - l e a e s r a e g i a s @ e u r í s i c a s y
O 1 m 5 c m Y 1 0 5 m .
d i ) e r e n
e s u n i d a d e s d e l o n g i u d
5 B 1 0 0
Y B 1 0 X 5 B 1 0 0 y e n r e
d e c i m a l O 1 B 1
0 Y 0 1 R
) r a c c i ó
n ) r a c c i ó n d e c i m a l y u n
e q u i v a l e n
c i a s e n r e u n a
- a r a u , i c a r y e s a , l e c e r
E m - l e a
e s r a e g i a s o r e c u r s o s
s i m - l i c a c i ó n d e ) r a c c i o n e s .
E m -
l e a - r o c e d i m i e n o s d e
r e s o l v e r - r o , l e m a s .
e s
i m a c i ó n c o n d e c i m a l e s a l
E m -
l e a - r o c e d i m i e n o s d e
c o n
d e c i m a l e s y ) r a c c i o n e s .
c o m , i n e n c u a r o o - e r a c i o n