DOBÂNDA SIMPLĂ:

- A: Prezentarea problemei : primele rezultate

OBS: - din suma Sfinal , cantitatea reprezintă dobânda , deci la scadenţă

ridică suma S0 depusă precum şi dobânda pe perioada existenţei depozitului.

- o altă interpretare :o promisiunea că : peste “n” ani voi primi suma S , valorează astăzi

- cantitatea va fi notată cu “ i ‘;

Precizare : prin flux financiar vom înţelege o serie de sume încadrate în timp ; un flux financiar va fi reprezentat schematic printr-o axă a timpului , pe care vor fi trecute momentele de timp , sumele respective precum şi momentul evaluării sumelor. Sumele trecute sub axa timpului vor fi sume date ( ieşiri ) iar cele trecute deasupra vor fi sume primite ( intrări ); momentul evaluării va fi marcat prin

semnul “ “ .

De exemplu: schema de mai jos

are înţelesul următor :

- la momentul t = 0 plătesc 120 RON ;- la momentul t = 3 încasez 340 RON ;- la momentul t = 7 plătesc 235 RON ;- la momentul t = 9 încasez 568 RON ;- evaluarea ( calcularea valorii ) fluxului financiar se face la momentul t = 11.

1

Exerciţiu :să determinăm valoarea fluxului la momentul t = 11, cu dobânda de 7,7 % ;

Rezolvare : faţă de momentul t = 11 , toate cele 4 sume au carácter de depozite , deci

- suma S1 = 120 va avea valoarea :

- suma S2 = 340 va avea valoarea :

- suma S3 = 235 va avea valoarea :

- suma S4 = 568 va avea valoarea :

In final , valoarea fluxului la momentul t = 0 va fi

V1 +V2 +V3 +V4 = 457, 96 RON.

EXERCIŢIU: să determinăm valoarea fluxului financiar de mai jos, în dobândă simplă, pentru un procent de dobândă anuală de 8,3 %.

Rezolvare : în raport cu momentul t = 9 al evaluării valorii fluxului ,

- sumele de 215 şi 322 reprezintă “ depozite”- sumele de 524 , 616 şi 395 reprezintă “ promisiuni “ ;

Valoarea actuală a sumei 215 va fi : ;

Valoarea actuală a sumei 322 va fi : ;

Valoarea actuală a sumei 524 va fi : ;

2

Valoarea actuală a sumei 616 va fi : ;

Valoarea actuală a sumei 395 va fi : .

In final ,obţinem valoarea 476,7 RON.

== // ==

EXEMPLU

Conform contractului, ar trebui să primesc de la Costică suma “S” , peste “n” ani .Intrucât ştiu că personajul un este foarte punctual, plec cu ideea că există o

probabilitate “q” nenulă ca , la scadenţă, să NU se prezinte cu suma respectivă:deaceea în contract am prevăzut clauza conform căreia, dacă nu vine cu banii , îi mai acord o perioadă de graţie de “m” ani , după care se procedează la execuţia silită , pentru suma “S” datorată, plus o despăgubire de valoare “K”.

Imi propun să calculez valoarea K a acestei despăgubiri ,astfel încât acţiunea să se desfăşoare în condiţii de echitate ( adică să un obţin venit în cazul în care se aplică execuţia silită).

Calculele se vor face în regim de dobândă simplă, cu procentul anual “p”.

REZOLVARE :

- în varianta normală , în care Costică îmi plăteşte datoria la scadenţă: în momentul semnării contractului dispun de suma

- în cazul în care apare neplata , avem situaţia descrisă în arborele stărilor de mai jos :

3

Variabila aleatoare a valorii operaţiunii la momentul t = 0 este deci :

,

cu media : .

Condiţia de echitate este ca M(v) să fie eglă cu , deci :

De aici :

4

.

Constatăm cu satisfacţie că rezultatul nu depinde de probabilitatea “q” , pe care oricum un aveam de unde să o determin în prealabil.

== // ==

- B: ANUITĂŢI : EXEMPLE

In principiu: o anuitate este un flux financiar , constând din depuneri de valori egale, la intervale de timp egale .

EXEMPLUL 1 :

- timp de “n” ani - la sfârşitul fiecărui an- primesc câte “ x” lei

Procentul anual de dobândă simplă este “p” .Se cere valoarea totală a depunerilor efectuate, evaluarea făcându-se :

- a: la începutul primului an ; - b: la sfârşitul anului “n”.

Rezolvare : schema fluxului financiar este prezentată mai jos :

- la începutul anului 1: sumele în cauză reprezintă promisiuni , deci valoarea operaţiunii la momentul t = 0 va fi

- la sfârşitul anului n: sumele în cauză reprezintă depozite, deci valoarea operaţiunii la momentul t = n va fi

5

OBS: între V0 , Vn şi n∙x pot exista deosebiri mari : de exemplu , pentru x = 1 leu ; n = 8 ani şî p = 5% anual , avem :

- valoarea la începutul anului 1 : V0 = 6,6 lei - cantitatea totală de monedă depusă : n∙x = 8 lei- valoarea finală a operaţiunii : V8 = 9,4 lei.

==//==

Caracteristicile anuităţii din exemplul de mai sus sunt următoarele :

- depunerile au loc pe o perioadă limitată, precizată dinainte ↔ se numesc anuităţi temporare- depunerile au loc la sfârşitul anului ↔ se numesc anuităţi posticipate- depunerile încep chiar în primul an ( fără perioadă de graţie )

↔ se numesc anuităţi imediate .

== // ==

EXEMPLUL 2 :

- timp de “n” ani - la începutul fiecărui an ,- începând cu începutul anului “m+1” - primesc câte “ x” lei

Procentul anual de dobândă simplă este “p” .

Se cere valoarea totală a depunerilor efectuate, evaluarea făcându-se :- a: la începutul primului an ;

- b: la sfârşitul anului “n + m” ( ultimul an ) .

Rezolvare : schema fluxului financiar este prezentată mai jos :

6

Avem :

== // ==

De exemplu : pentru x = 1 leu ; n = 8 ani , m = 4 ani şi procentul anual de dobândă simplă p = 5 % , avem >

- valoarea anuităţii la începutul anului 1 :

- valoarea anuităţii la sfârşitul anului 12 :

- cantitatea totală de monedă utilizată : 1∙8=8 lei .

Caracteristicile anuităţii din exemplul de mai sus sunt următoarele :

- depunerile au loc pe o perioadă limitată, precizată dinainte ↔ se numesc anuităţi temporare- depunerile au loc la începutul anului ↔ se numesc anuităţi anticipate- depunerile un încep chiar în primul an ( există perioadă de graţie )

↔ se numesc anuităţ iamânate .

== // ==Precizare : o anuitate care nu este temporară

7

- se poate desfăşura pe o perioadă nelimitată de timp ( o infinitate de ani ): evident că aceasta este o ipoteză pur matematică ;

- se poate desfăşura pe o perioadă limitată , dar neprecizată în prealabil : în contractul de constiuire se prevede o clauză de încetare a depunerilor ( de exemplu : depunerile continuă atâta timp cât paritatea EURO se menţine deasupra pragului de 3,5 RON / EURO): aceste anuităţi vor fi numite cu timp de oprire aleator .

EXEMPLU: anuitate cu timp de oprire aleator ( care nu este anuitate temporară) Ca generator de situaţii incerte , avem o urnă cu bile albe si negre,din care se fac extrageri cu revenire de câte 1 bilă : procentul de bile negre din urnă este notat cu “ π “ , deci procentul de bile albe este de 1 – π .

- la sfârşitul anului 1 : se extrage 1 bilă din urnă : - dacă bila este neagră , primesc suma “x” şi procesul se opreşte - dacă bila este albă, se depune suma “x” în cont şi se trece mai departe ;

- la sfârşitul anului 2 : se extrage 1 bilă din urnă : - dacă bila este neagră , primesc suma “x” şi depozitul constituit - dacă bila este albă, se depune suma “x” în cont şi se trece mai departe ;

(de subliniat faptul că depozitul se lichidează numai cu ocazia apariţiei bilei negre: dacă apare bila albă, depunerea sumei “x” se efectuează , dar un am dreptul de lichidare a depozitului ).

Să determinăm valoarea anuităţii la momentul t = 0 ( începutul anului 1 ).

Situaţiile în care se fac încasări apar în tabelul următor :

anul în careare loc încasarea 1 2 3 …. n ….suma încasată , actualizatala momentul t = 0 x∙v x∙v2 +x∙v x∙v3+x∙v2+x∙v …. ….

probabilitatea …. ….

Media acestei variabile aleatoare este .

== // ==

8

- C : ECHIVALAREA PROCENTELOR :

Ne vom ocupa de probleme de tipul :- cunosc procentul anual , p ;- se cere procentul lunar corespunzător , q .

Modelul rezolvării este următorul : depun suma S , pe “n” ani şi calculăm valoarea finală

- în varianta anuală :

- în varianta lunară :

.

Faptul că procentele p , q sunt echivalente revine la faptul că cele două valori finale sunt

egale : din egalitatea Sanual = Slunar se deduce .

Mai jos este prezentat un tabl practic de determinare a procentelor echivalente pentru diferite sub-perioade ale anului :

se cerese dă :

%anual

%semestrial

%trimestrial

%lunar

%săptămânal

%zilnic

%anual

- : 2 :4 :12 :52 :360

%semestrial

x 2 - :2 :6 :26 :180

%trimestria

x 4 x 2 - :3 :13 :90

%lunar

x 12 x 6 x 2 - :4 :30

%săptămânal

x 52 x 24 x 12 x 4 - :7

%zilnic

x 360 x 180 x 90 x 30 x 7 -

9

- D: COMPUNEREA PROCENTELOR( PROCENTE VARIABILE IN TIMP )

Considerăm următoarea problemă :

- avem un depozit de valoare S , pe m+n ani :- în primii “m” ani , procentul de dobândă simplă este = p- în următorii “n” ani , procentul de dobândă simplă este = q ;

Se cere procentul “k” anual constant , valabil pe întreaga perioadă de “ m+n” ani ,care conduce la aceeaşi valoare finală ca şi cele două procente aplicate consecutiv.

- în cazul aplicării procentului unic “k” , se obţine o sumă finală

;

- în cazul celor două procente aplicate consecutiv :

o după primii “m” ani suma S devine :

o după încă “n” ani , suma V devine :

Din egalitatea S1 = S2 , găsim :

,

de unde se deduce valoarea procentului “k”.

== // ==

In general : se consideră perioadele de timp consecutive , n1,n2 ,…, nk

pe perioada “ni “ a fost valabil procentul “ pi “ : atunci procentul echivalent , valabil pe întreaga perioadă , este dat de :

10

== // ==

De exemplu: n1 = 5 luni ; p1 = 3% lunar ; n2 = 8 luni ; p2 = 6% lunar :ştAtunci : procentul “p” unic , valabil pe cele 13 luni , va fi

== // ==

- E: PROCENT ANTICIPATIV SI PROCENT DECURSIV : PROBLEMA CONVERSIEI

Se acordă un credit de valoare nominală S , pe o perioadă de “n” ani : procentul de dobândă simplă este p% anual.

Imprumutul se poate desfăşura în două variante :

- a: varianta anticipativă : _ beneficiarul împrumutului semnează că a primit suma S _ banca calculează dobânda cuvenită , D , şi o reţine din suma acordată _ la scadenţă , împrumutătorul restituie suma S .

De exemplu : solicit un împrumut de 150 mii RON , pe 4 ani , cu 8% anual . OBS: dobânda cuvenită la acest împrumut este : D = 150∙4∙8/100 = 48 mii RON.

_ semnez de primire pentru 150 mii ; _ iau în mână 150 – 48 = 102 mii ; _ la scadenţă restitui 150 mii lei.

- b: varianta decursivă : _ beneficiarul împrumutului semnează că a primit suma S _ beneficiarul împrumutului ia efectiv suma S _ la scadenţă , împrumutătorul restituie suma S + D .

De exemplu : solicit un împrumut de 150 mii RON , pe 4 ani , cu 8% anual .

11

OBS: dobânda cuvenită la acest împrumut este : D = 150∙4∙8/100 = 48 mii RON.

_ semnez de primire pentru 150 mii ; _ iau în mână 150 mii ; _ la scadenţă restitui 150 + 48 = 198 mii lei.

==/==

Deosebirea formală între cele două variante este că: _ la varianta decursivă , valoarea nominală a împrumutului este egală cu suma luată în mână la semnarea contractului

_ la varianta anticipativă , valoarea nominală este egală cu suma restituită la scadenţă.Chiar dacă cele două procente par egale, totuşi efectele lor sunt diferite,după cum vom vedea în exemplele de mai jos.

Exemplul 1 : se cumosc datele unui împrumut încheiat în varianta anticipativă , anume: _ împrumut 100 lei _ pe 3 ani _ cu 7% anual ;

Se cere procentul echivalent de dobândă ,în cazul variantei decursive.

Rezolvare : la împrumutul anticipat avem o dobândă de :

, deci :

_ iau în mână 100 – 21 = 79 lei _ restitui 100 lei .

Fiind echivalentă , la varianta decursivă iau aceeaşi sumă şi restitui aceeaşi sumă , adică

_ iau în mână 79 lei , aceasta reprezentând valoarea nominală a împrumutului _ restitui 100 lei.

Deci : - suma de 79 lei , cu procentul decursiv q , peste 3 ani :devine = 100 lei ,

adică : .

Problema 2 : se cunosc datele unui împrumut încheiat în varianta decursivă , anume _ valoarea nominală 100 lei _ scadenţa : peste 5 ani _ cu procentul de 8% anual.

12

OBS: dobânda aferentă are valoarea , deci:

_ iau în mână 100 lei _ restitui 100 + 40 = 140 lei.

Varianta anticipativă echivalentă :

_ iau în mână 100 lei _ restitui 140 lei , deci valoarea nominală a împrumutului este de 140 lei

Deci : dobânda la suma de 140 lei , pe 5 ani , cu q% anual este de 40 lei, adică

==//==

In general:

anticipativ :

decursiv :

END

13