DISTRIBUSI TEORETIS

Variabel Random/ Acakvariabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan/ variabel yang bernilai numerik yg didefinisikan dlm suatu ruang sampel1. Variabel Random diskritVariabel random yg tdk mengambil

seluruh nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg hanya memiliki nilai tertentu

2. Variabel Random kontinuVariabel random yg mengambil seluruh

nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg dpt memiliki nilai-nilai pd suatu interval tertentu

Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoretis Distribusi teoretis : suatu daftar yg

disusun berdasarkan probabilitas dr peristiwa2 bersangkutan

Misal : Sebuah mata uang logam dgn

permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya

Jenis-jenis distribusi teoretis1. Distribusi teoretis diskritSuatu daftar/ distribusi dr semua nilai

variabel random diskrit dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb

Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/ distribusi dr variabel random diskrit jk memenuhi syarat:

a. f(x) ≥ 0, x Є R

b. f(x) = 1c. P(X=x) = f(x)

Contoh soal Di dalam sebuah kotak terdapat 4

bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil

Jawab Jumlah titik sampel = C3

6= 20 titik sampel Banyaknya cara mendapatkan bola kuning

adalah Cx2

Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah

Distribusi probabilitasnya

P(X=x) =

Distribusi yg tergolong ke dlm distribusi ini antara lain :a. Distribusi binomialb. Distribusi hipergeometrikc. Distribusi Poisson

2. Distribusi teoretis kontinu

Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random kontinu dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb

Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/ distribusi probabilitas variabel random kontinu x, jk memenuhi syarat:

a. f(x) ≥ 0, x Є Rb.

c.

1)( dxxf

b

a

dxxfbXaP )()(

Contoh soal :

Suatu variabel random kontinu X yg memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi yg dinyatakan oleh :

Tentukan nilai P(X<2)

21

)1(2)(

xxf

Distribusi yg tergolong distribusi teoritis kontinu antara lain :a. Distribusi normalb. Distribusi c. Distribusi Fd. Distribusi t

2

DISTRIBUSI BINOMIAL

Suatu distribusi teoretis yg menggunakan variabel random diskrit yg tdr dr dua kejadian yg berkomplementer spt sukses-gagal, ya-tidak, baik-buruk, kepala-ekor dsb

Pengambilan sampel dilakukan dgn pengembalian

Ciri-ciri :1. Setiap percobaan hanya memiliki

dua peristiwa spt ya-tidak, sukses-gagal

2. Probabilitas satu peristiwa adl tetap, tidak berubah utk setiap percobaan

3. Percobaannya bersifat independent artinya peristiwa dr suatu percobaan tdk mempengaruhi/ dipengaruhi peristiwa dlm percobaan lainnya

4. Jml/ banyaknya percobaan yg mrp komponen percobaan binomial hrs tertentu

Rumus binomial suatu peristiwa Probabilitas suatu peristiwa dpt

dihitung dgn mengalikan kombinasi susunan dgn probabilitas salah satu susunan

Keterangan :x = banyaknya peristiwa suksesn = banyaknya percobaanp = probabilitas peristiwa suksesq = 1- p = probabilitas peristiwa gagal

xnxnx qpCpnxbxXP ..),;()(

Contoh soal Sebuah dadu dilemparkan ke

atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut:

a. Mata dadu 5 muncul 1 kalib. Mata dadu genap muncul 2 kalic. Mata dadu 1 atau 4 muncul

sebanyak 4 kali

Jawab P= 1/6 ; q= 5/6; n= 4; x = 1 (muncul 1 kali)

P (X=1) =

= 4 .(1/6).(5/6)3

= 0.386

P = 3/6; q = ½; n =4; x =2

P(x=2) =

= 6.(1/2)2.(1/2)2

= 0.375

Probabilitas binomial kumulatif Probabilitas dr peristiwa

binomial lebih dr satu sukses

)(...)2()1()0(

)(

.

0

0

nxPxPxPXP

xXP

qpCPBK

n

x

xnxn

x

nx

Contoh soal Sebanyak 5 mahasiswa akan

mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas :

a. Paling banyak 2 org lulusb. Yang akan lulus antara 2 sampai 3c. Paling sedikit 4 diantaranya lulus

Jawaba) n =5 ; p =0.7 ; q =0.3; x = 0,1,dan 2

P(x <2 )= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

b) n =5 ; p = 0.7; q=0.3; x = 2 dan 3

P(2<x<3) = P(x=2) + P(x=3)

c) n = 5; p = 0.7; q=0.3; x = 4 dan 5

P(X>4) = P(x=4) + P(x=5)

Rata-rata, Varians, Simpangan Baku Distribusi Binomial

qpnbakusimpangan

qpnians

pnratarata

..)(

..)(var

.)(2

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Menggunakan variabel diskrit dgn 2

kejadian yg berkomplementer Pengambilan sampel dilakukan tanpa

pengembalian

Keterangan :N = ukuran populasin = ukuran sampelk = banyaknya unsur yg sama pd

populasix = banyaknya peristiwa sukses

Nn

kNxn

kx

C

CCknNxhxXP

),,;()(

Contoh soal

Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah?

N = 50 ; n=4; k=5; x=2

Distribusi hipergeometrik dpt diperluas. Jk dr populasi yg berukuran N terdpt unsur yg sama yi k1, k2,…dan dlm sampel berukuran n terdpt unsur yg sama x1, x2,... Dgn k1+k2+…= N dan x1+x2+…=n, distribusi hipergeometrik dirumuskan :

Nn

kx

kx

C

CCxxXP

2

2

1

1,...),( 21

DISTRIBUSI POISSON

Distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X yi banyaknya hasil percobaan yg tjd dlm suatu interval wkt tertentu/ di suatu daerah tertentu

Ciri-ciri Banyaknya hsl percobaan yg tjd dlm suatu

interval wkt/ suatu daerah tertentu tdk tgt pd banyaknya hsl percobaan yg tjd pd interval wkt/ daerah lain yg terpisah

Probabilitas tjdnya hsl percobaan slm suatu interval wkt yg singkat/ dlm suatu daerah kecil, sebanding dgn panjang interval wkt/ besarnya daerah tsb dan tdk bergantung pd banyaknya hsl percobaan yg tjd di luar interval wkt/ daerah tsb

Probabilitas lebih dr satu hsl percobaan yg tjd dlm interval wkt yg singkat/ dlm daerah yg kecil dpt diabaikan

Distribusi Poisson byk digunakan dlm hal: Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa

mnrt satuan wkt, ruang, luas, panjang tertentu spt menghitung probabilitas dr :

1. Banyaknya telepon per menit/ banyaknya mobil yg lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan

2. Banyaknya bakteri dlm 1 tetes/ 1 L air3. Banyaknya kesalahan ketik per halaman4. Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama

seminggu Menghitung distribusi probabilitas binomial

apabila nilai n besar (n ≥30) dan p kecil (p<0,1)

Rumus probabilitas poisson suatu peristiwa

!)(

xxXP

x

71828,2

:

alambilangan

peristiwasuatuterjadinyaratarata

Keterangan

Contoh soal Sebuah toko alat-alat listrik

mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tsb mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut?

a. 0 lampu TLb. 3 lampu TL

Probabilitas terjadinya suatu kedatangan dirumuskan:

!

)()(

x

txXP

xt

waktusatuantdalamgankedabanyaknyax

waktusatuanbanyaknyat

waktusatuanperrataratagankedatingkat

Keterangan

tan

tan

:

Probabilitas distribusi poisson kumulatif

)(....)2()1()0(

)(

!

0

0

nXPXPXPXP

xXP

xPPK

n

x

n

x

x

Contoh soal Sebuah toko alat-alat listrik

mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tsb mengikuti distribusi poisson.

a. Tentukan probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu

b. Andaikata persediaan lampu sisa 3, berapa probabilitas permintaan lebih dari 3 lampu

Distribusi poisson sbg pendekatan distribusi binomial

!

.)()(

x

npxXP

npx