Carrera: Procesos Industriales Área Manufactura

Alumno: Oscar Torres Rivera

Materia: Estadística

Maestro: Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

Grado y sección: 2° “C”

Introducción

La semana pasada nos tenemos que estar quedando en las instalaciones de la universidad

para realizar la elaboración de unos problemas de probabilidad, mi profesor de estadística

nos ha hecho quedarnos, espor eso que estoy con la elaboración de este trabajo, en este

trabajo viene una breve explicación de lo que son las distribuciones de probabilidades, el

contenido de este trabajo contiene 6 de las distribuciones, esta cada una explicada con sus

respectivos conceptos y definiciones.

lo que la probabilidad hace es medir la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o

conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos

los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la

probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática,

la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos

potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, solo que las

distribuciones son mismas probabilidades pero ya con formulas establecidas, al comenzar a

realizar este trabajo no esperaba encontrar tanta información de la que encontré, además me

estaba presionando mucho, debido a que pensaba que tenia que pasar todos los problemas

del libro de navidi, pero no al leer las instrucciones me di cuenta de que el libro de navidi

era solo para que nos guiáramos en la busca de información, espero que este trabajo sea de

mucho ayuda para aquellos que busquen información sobre este tema.

Distribución de Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica),

nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de

probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la

probabilidad de fracaso ( ).

Si   es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único

experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria   

se distribuye como una Bernoulli de parámetro  .

La fórmula será:

Su función de probabilidad viene definida por:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de

Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Esperanza matemática:

Varianza:

Función generatriz de momentos:

Función característica:

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)

1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el

número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una

probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos

resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro,

fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se

repite nveces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado

número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p,

se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los

experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento

no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos

categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han

de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n

experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de

probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

Su función de probabilidad es

donde 

siendo   las combinaciones de   en   (  elementos tomados de   

en  ).

Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de

probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad

que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su

trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière

civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

La función de masa de la distribución de Poisson es

donde

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que

el evento suceda precisamente k veces).

λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el

fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en

promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces

dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ =

10×4 = 40.

e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son

iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes

tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de

Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número

de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a  , el

mayor de los enteros menores que λ (los símbolos   representan la función parte entera). Cuando

λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución

gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más

frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un

determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y e es el gráfico de de una

función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos

naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de

este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que

en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación

se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin

explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso

de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

Función de densidad

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μy σ y

se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:

donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ2 es la varianza).5

Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los

valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:

Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan ...tablas para el cálculo de los

valores de su distribución.

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias

continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de

sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos

parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la

derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la

distribución.

Los parámetros de la distribución

El primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en

algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores

próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial.

Cuando se toman valores más grandes de (α) el centro de la distribución se desplaza a la

derecha y va apareceiendo la forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es

el segundo parámetro (β) el que determina la forma o alcance de esta asimetría positiva

desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados

de (β) la distribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de la

cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano. Al

dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se va reduciendo;

de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de (β) conducen a una figura

más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más elevado.

Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”.

Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el

ratio de ocurrencia: λ=1/β.

La expresión también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo el desarrollo

matemático.

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente

distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las

diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la

diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una

población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1

V tiene una distribución ji-cuadrado con   grados de libertad

Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente   es una variable aleatoria que sigue la

distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad  .

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente,

con media μ y varianza σ2. Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de

antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

donde