Distribuciones de probabilidad

Un experimento muy común es observar una característica dicotómica.

Distribución Bernoulli

ocurreno si0

ocurre si1 A

X

casootroen

xsipp

xp

xx

0

1,0)1(

)(

1

E(X) = 1.p + 0.(1- p) = p

)1()()()( 222 ppppXEXEXV

a) El experimento consiste en n pruebas o repeticiones Bernoulli con n fijo.b) Las pruebas son independientes, es decir el resultado de una prueba no influye sobre el de cualquier otra.c) La probabilidad de éxito se mantiene constante de prueba en prueba y se denotará p.

Experimento binomial Muchos experimentos satisfacen las siguientes condiciones:

Una sucesión de pruebas Bernoulli genera la variable aleatoria binomial

X es el número de veces que ocurre el atributo A

X es el número de éxitos

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Los valores que puede tomar X es: n,,3,2,1,0

X ~B(n,p)

De una urna que contiene 8 bolas blancas y 12 negras, se extraen con reemplazo, 5 bolas.

La variable que contabiliza el número de bolas blancas extraídas es una variable aleatoria binomial.

X cuenta el número de éxitos en este caso el número de bolas blancas extraídas.

EJEMPLO 1

Los parámetros de esta distribución binomial son:

5n5

2

20

8p

La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X Binomial

p x n p

p p si x n

en otro caso

n

xx n x

( / , )

( ) , , ,...,

1 0 1 2

0


ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE BINOMIAL

E X E X E X p npii

n

ii

n

i

n

( ) ( )

1 1 1

V X V X V X p p np pii

n

ii

n

i

n

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1

p(x)

x

n =12

p = 0.7


p(x)

x

n =12

p = 1/2



,][ rnr qpr

nrXP

Función de probabilidad

X se distribuye en forma binomial con parámetros n y p

Media: μ =n p Varianza: σ2 = n p q

n es el número de repeticiones

p es la probabilidad de éxito

xnxr

x

qpx

nrXP

0

][

Función de probabilidad acumulada

nr 0

De una urna que contiene 8 bolas blancas y 12 verdes, se extraen con reemplazo, 6 bolas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan exactamente 3 bolas blancas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan a lo sumo 3 bolas blancas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan al menos 3 bolas blancas?

EJEMPLO 2

X cuenta el número de éxitos en este caso el número de bolas blancas extraídas.

EJEMPLO 2

Los parámetros de esta distribución binomial son:

5

2

20

8p6n

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es de 0.6. Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que:(a)sobrevivan al menos 10,(b)sobrevivan de 3 a 8 (c) sobrevivan exactamente 5

EJEMPLO 3

EL PROCESO DE POISSON

Es una sucesión de fallas o acontecimientos puntuales,

que ocupan individualmente, una porción despreciable

en un medio continuo.

Ese medio continuo puede ser un intervalo dado o una

región específica.


El intervalo dado puede ser de cualquier longitud,

como un minuto, un día, una semana, etc.

La región específica podría ser un segmento, un área,

etc.

Genera valores para la v. a. X que representa por

ejemplo: el numero de llamadas telefónicas por hora

que recibe una oficina.


De modo que la probabilidad de que ocurra un número

dado X de fallas en una extensión T de continuo es

independiente de la posición de T dentro del continuo

y de la ocurrencia de fallas en otros tramos, esto es,

que las fallas no se producen en “cadenas” y el

proceso “no tiene memoria”.

CORTES DE LUZ EN UNA CIUDAD

LLAMADAS TELEFÓNICAS A UNA LÍNEA

LLEGADAS DE PERSONAS A UN COMERCIO

FALLAS EN LOS ROLLOS DE ALFOMBRA

ACCIDENTES DE TRANSITO EN UNA CIUDAD

TEMBLORES EN UNA REGION DETERMINADA

PASAS DE UVAS EN UN BUDIN

λ= TASA DE FALLAS (RESULTADOS) O PROMEDIO

DE FALLAS (RESULTADOS) POR UNIDAD DE

CONTINUO.

UNA UNIDAD DE CONTINUO PUEDE SER UN

INTERVALO, UNA REGION ESPECÍFICA.

CONTINUODELEXTENSIÓNDEUNIDAD

FALLASDEMEDIONÚMERO

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Fijada la extensión t del continuo, el número de

fallas X (acontecimientos o resultados) que pueden

encontrarse en ella es una variable aleatoria,

denominada variable de POISSON, cuya media o

esperanza es

tXE )(

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La probabilidad de encontrar x fallas en la extensión t está dada por:

!!

);(x

e

x

tetxp

xxt

...,3,2,1,0x

EJEMPLO 4

El proceso productivo de un tipo de tela produce fallas a

una tasa de 1.2 fallas cada 100 metros y se bobina en

rollos de 80 metros. Definiremos como rollo de

Primera Calidad aquel que tiene una falla o ninguna, de

Segunda Calidad que tiene 2 fallas y de rechazo el que

tiene 3 ó más fallas. Calculemos las probabilidades para

cada una de estas calidades.

...,3,2,1,0xX: Número de fallas

CONTINUODELEXTENSIÓNDEUNIDAD

FALLASDEMEDIONÚMERO

012.0100

2.1 96.080*012.0 t

!

96.0)96.0;(

96.0

xe

xpx

383.0

!096.0

)96.0;0(096.0

e

p

367.0

!196.0

)96.0;1(196.0

e

p

75.0)1( CalidadP a

176.0)2()2( pCalidadP a

074.0)(Re chazoP

x

xxf para

21

exp

)2(

1),/(

2

2

12

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución normal, con media y varianza 2 si X es continua y su función de densidad es:

Se puede demostrar que esta función cumple las propiedades de una densidad.


µ-σ µ µ+σ



La esperanza y la varianza son los parámetros de la distribución.

)(XE

2)( XVar

),/(~ 2xNX


Valor Medio o Esperado

Factor de posición

Desvío Estándar

Factor de dispersión


),/(~ 2xNX Y= aX + b

),/(~ 22 abayNY

),/(~ 2XXxNX ),/(~ 2

YYyNY

variable aleatorias independientes

),/(~ 22YXYXyxNYX

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR

)1,0/(~ xNZ1y 0 2

xxxfx para

2

1exp

)2(

1)1,0/()( 2

2

1

xduux )()(

Estandarización de una variable aleatoria normal

),/(~ 2xNX

X

Z

)1,0/(~ zNZ

Uso de tablas de la distribución normal








Suponga que X N ( 5,4). Calcular la probabilidad P( 1<X<8)

EJEMPLO

P X PX

P Z( ) ( . )

( . ) ( ) ( . ) [ ( )] ( . ) ( ) .

1 81 5

2

8 5

22 15

15 2 15 1 2 15 2 1 9105

p P X k P Z kk ( )

k pk

1 0.6826

2 0.9544

3 0.9974

4 0.99994

5 1 6 x 10-7

10 1 2 x 10-23

En general si X N ( , 2) para k> 0

Technology

Distribuciones de probabilidad