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Dispense Idrodinamica

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Dispense Idrodinamica

Text of Dispense Idrodinamica

  • APPUNTI

    di

    IDRODINAMICA

    M.Calvetti e E.Iacopini

    per Il Corso di FLUIDI e TERMODINAMICA

    Dipartimento di Fisica, Universita` di Firenze

    May 8, 2004

    Abstract

    1

  • 0.1 Programma del corso

    CORSO DI LAUREA IN FISICA - UNIVERSITA DI FIRENZEAnno accademico 2003-2004Programma del corso di DINAMICA dei FLUIDI e TERMODINAMICA.60 Ore, con esercitazioni.Prof. Mario CalvettiDinamica dei Fluidi

    Principio di Pascal. Legge di Stevino. Legge di Pascal. Legge diArchimede. Descrizione del moto dei fluidi. Operatori gradiente, diver-genza e rotazione. Equazione di continuita`.Equazioni del moto di Eulero.Teorema di Leonardo. Teorema di Bernoulli. Moto di liquidi reali. Vis-cosita` e tensione superficiale. Legge di Poiseulle

    TermodinamicaDefinizione di gas perfetto. Calcolo della pressione sulle pareti di una

    scatola con il modello microscopico. La costante di Boltzman e l energiacinetica media delle molecole di un gas. Derivazione dellequazione di statodi un gas perfetto (legge di Boyle). Principio zero della Termodinamica edequilibrio termodinamico. Grandezze termodinamiche. Variabili di stato.Definizione di Energia Interna, calore assorbito e lavoro compiuto dal sis-tema. Equivalente meccanico del calore. La caloria. Primo Principio dellaTermodinamica. Le scale termometriche Celsius e Fahrenheit. Il piano diClapeyron e le trasformazioni termodinamiche. Trasformazioni di un gasperfetto. Trasformazioni Isoterme, Isobare, Isocore, Adiabatiche per ungas perfetto. Calore specifico a pressione e a volume costante per un gasperfetto. Il termometro a gas e la temperatura assoluta. Trasformazioni re-versibili ed irreversibili. Il secondo Principio della Termodinamica. Postu-lato di Clausius , postulato di Kelvin e loro equivalenza. Il ciclo di Carnot.Rendimento delle macchine termiche. Rendimento del ciclo di Carnot edei cicli irreversibili. Definizione di Entropia. Entropia come variabile distato. Il secondo principio della termodinamica formulato tramite le pro-prieta` dellentropia. Relazione tra lEntropia e la probabilita` di Stati inequilibrio. Calcolo della variazione di Entropia nellespansione di una gasperfetto con metodi termodinamici (espansione Isoterma) e metodi statis-tici. Funzioni termodinamiche. Energia interna, Entalpia, Energia liberadi Helmoltz e di Gibbs. Sistemi statistici in equilibrio. Discretizzazionedello spazio delle fasi in posizione ed impulso. Stati di energia possibilie calcolo della popolazione di equilibrio con la distribuzione multinomi-ale. Funzione di ripartizione. Definizione di Temperatura assoluta in gradiKelvin. Legge di distribuzione di Maxwell Boltzman per un sistema inequilibrio statistico. Relazione tra temperatura assoluta e lenergia cinet-ica media. Funzione di distribuzione delle velocite0 di Maxwell per un gasperfetto.

    2

  • Testi consigliati per il programma di Termodinamica classica:

    C.Mencuccini V.Silvestrini: Meccanica e Termodinamica-LIGUORIEDITORE

    S.Rosati : Meccanica e Termodinamica-

    P.Mazzoldi M.Nigro C.Voci : Elementi di Fisica-Meccanica Termodinamica-EdiSES

    Per la dinamica dei fluidi e la meccanica statistica sono sufficientiqueste dispense

    E.Fermi: Termodinamica-Boringhieri

    F.Reif: La fisica di Berkeley-Fisica Statistica 5-ZANICHELLI BOLOGNA

    M.Alonso E.J.Finn: Fundamental University Physics-Quantum andstatistical physics III.ADDISON WESLEY

    Lesame consiste in una prova orale durante la quale si discutono gliargomenti del programma e si svolgono alcuni esercizi numerici.

    3

  • Contents

    0.1 Programma del corso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1 Idrostatica 5

    1.1 introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 La pressione nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 La Legge di Boyle dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 La pressione nei liquidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Il barometro di Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Paradossi idrostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 I vasi comunicanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Il Principio di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10 Elementi utili di algebra vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11 Operatori di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.12 Il Teorema di GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.13 Il Teorema di STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.14 Esercizi di calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2 Idrodinamica 42

    2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Lequazione di continuita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Equazioni del moto e la legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Le equazioni del moto di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Il teorema di Leonardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.6 Il teorema di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.7 Il teorema di Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.8 Il Tubo di Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.9 Il moto di liquidi reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10 Moto di un liquido viscoso in una condotta . . . . . . . . . . . . . 602.11 Equilibrio di un liquido in rotazione uniforme . . . . . . . . . . . 612.12 Effetti della rotazione terrestre sulla superficie degli oceani . . . . 622.13 Legge di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4

  • 1 Idrostatica

    1.1 introduzione

    Iniziamo definendo che cosa si intende per gas perfetto e liquido perfetto. Comesappiamo dalla Fisica elementare, le differenze essenziali che ci sono fra corpisolidi, liquidi e gassosi sono che

    i corpi solidi possiedono volume e forma propria;

    i corpi liquidi hanno volume proprio (i.e. sono incomprimibili) ma possonovariare di forma;

    i corpi gassosi non hanno volume e forma propri: occupano qualunquevolume posto a loro disposizione, di qualunque forma esso sia.

    Pur esistendo corpi che non appartengono a nessuna delle categorie sopra elen-cate (colloidi), e pur esistendo corpi di difficile collocazione (vetri, lave, ecc, laclassificazione data e` molto generale.

    Noi ci occuperemo delle proprieta` dei gas e dei liquidi perfetti (come sappiamole cose perfette non esistono . . . ).

    Il gas perfetto.Si definisce gas perfetto un gas costituito da molecole che interagiscono per

    urto e non attraverso forze di potenziale a lunga distanza. Negli urti le molecole siscambiano energia ed il gas raggiunge lequilibrio termodinamico nel quale tuttele molecole hanno la stessa funzione di distribuzione dellenergia. Una buonaapprossimazione dei gas perfetti sono i gas rarefatti.

    Il liquido perfetto.Si tratta di un liquido la cui densita` non puo` essere modificata in alcun modo

    (cioe` incomprimibile) tale da non possedere attrito interno, ovvero tale che leforze interne non si oppongano allo scorrimento di uno strato di liquido su unaltro. Come conseguenza di questa seconda proprieta`, il lavoro compiuto contro leforze interne del liquido, pur cambiandone la forma, e` sempre nullo ! Lacqua, labenzina, lalcool possono essere visti come una buona approssimazione di liquidoperfetto, mentre lolio, il miele, per esempio, sono liquidi molto viscosi, cioe` conforte attrito interno e dunque lontani dallapprossimazione di liquido perfetto.

    5

  • 1.2 La pressione nei gas

    La pressione che un gas esercita contro il recipiente che lo contiene e` dovuta ainumerosi urti che le molecole del gas fanno contro le sue pareti.

    La pressione P , definita come la forza per unita` di superficie, si calcolanellipotesi di urti elastici (vedi Fig.1).

    Figure 1: La pressione del gas e` provocata dallurto delle molecole contro le pareti

    Sia la densita` numerica, cioe` il numero di molecole per unita` di volume, mla massa delle singole molecole, supposte in questo esempio tutte uguali, vx lacomponente della velocita` molecolare perpendicolare alla parete considerata.

    Nel caso di urto elastico, la componente dellimpulso parallela alla parete ri-mane inalterata mentre, a causa della forza che la parete esercita sulla molecola, lacomponente perpendicolare cambia di segno. Per il principio di azione e reazionela stessa forza viene esercitata dalla molecola sulla parete.

    La durata dellurto della singola molecola, contro la parete, e` molto piccolo(provate a calcolarlo per esercizio alla fine del capitolo), ma dato il grande numerodi urti per unita` di tempo, e di superficie, la forza risultante e` praticamentecontinua.

    6

  • Consideriamo un elemento di superficie di parete dS per calcolare la forza dFesercitata da questo elemento di superficie sulle molecole del gas.

    I parametri importanti sono:

    la densita` numerica del gas , cioe` il numero di atomi per unita` di volume

    il numero di urti nel tempo dt sulla superficie dS; dato da

    1

    2 dSvx dt

    dove il fattore 12tiene conto del fatto che solo la meta` delle molecole si

    muove verso la parete, e quindi la urta se abbastanza vicine, mentre laltrameta` si allontana.

    il modulo della variazione dimpulso (o quantita` di moto) in ogni urto

    p = 2mvx

    La variazione totale della quantita` di moto, nel tempo dt, si ottiene moltipli-cando la variazione dimpulso di un singolo urto per il numero di urti nel tempoconsiderato; questa deve essere uguale, per la legge di Newton, al prodotto della

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