Lectures given at Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Venezia, Italy,

Teorie non linearizzate in elasticità , idrodinamica, aerodinamica

the

A. Signorini (Ed.)

September 20-28, 1955

C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy cime@math.unifi.it

ISBN 978-3-642-10901-0 e-ISBN: 978-3-642-10902-7DOI:10.1007/978-3-642-10902-7Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 201

With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

Springer.com

Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955st1

CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO(C.I.M.E)

4° Ciclo - Fondazione Giorgio Cini – Isola San Giorgio (Venezia) 20-28 sett. 1955

TEORIE NON LINEARIZZATE IN ELASTICITA’, IDRODINAMICA, AERODINAMICA

A. Signorini: Trasformazioni termoelastiche fi nite di solidi incomprimibili ............................................................... 1

B. Finzi: Teorie dinamiche dell’ala ............................................ 83

F. H. Van den Dungen: Les ondes dans les fl uides incompressibles ............... 169

1

A. S I G NOR I N I

TRASFOBl1AZIONI TERMOBLASTICHE FINITZ DI

SOLIDI INCOMPRIMIBILI

ROI.1A - Istituto Matematico dell. 'Universita., 1956

3

- 1 -

TRASFOillLIiZIOKI TBRMOELASTICTIF FINITE DI SOLIDI

INCOI,IPRWIBILI

Queste leziolll hannG come direttiva Ulla sintesi di quan­

to 6i treva sistematicamente svilu:ppato in una mia I.Iemoria sul­

le trasformazioni termoelastiche finite di solidi incom:primibi­

li, in corso di stampa negli Annali di Matematica pura e appli ...

cata t. XXXIX ( 1955) pp. 147-201 • Verranno anche esposti;

come necessaria premessa, alcuni dei risultati di due preceden­

ti Memorie degli stessi Annali. Invece, per motivo di brevita,

non potro dare neppure un cenno delle ulteriori ricerche sviluR

pate dal prof. T. liianacorda in tre recentissimi suoi lavori:

Su1....122.i.~~~~1-_usote,~~ella piu gen~rale Elastici ta eli secondo grado .i?~soliC'~~nc'Omprimi bili Ann" di Iila"t., t. XLI.

pp. 1-10

Sulla to!,_oio_,'} . ..§l __ 9:.i,_.~L':l,_s:;:i,]Al!.ctro circolare oDlogen~Q~.!2.­

tropo nella t,eori.a ~.(')Jl:~2-eformazio!!J..-!1-J1-i -t~_ solicli elastici

incomprimibili Boll. della U.l.1.I., 1955, pp. 177-89

Bulla piu. generaJ-_t3 __ !e2A.a, . .1;L,n~a.:r:...iEz,8:t,~_ih.e1:1_e.i;,r.a.sfC?£.mazj,Q.-

Rivista di I;atematica dell 'Univer-

sita di Parma, v.5, :pp. 233-53

i Per s011idi .incom:primibili sembra assai utile l'introduzi£

ne LV' n.7, di certe due variabili indipendenti al :posta dei

tre allUllgamenti unitari principali. Fra l'altro essa :porta a

delimitare in modo espressivo l'area di definizione del poten­

zial.e isotermo [v. fig. a pag. ].

N"eH.a seconda I1emoria clegli Ann.alj i.nsistetti sul fatt.:J

che la ipotesi carat"teristica della Elasticita di secondo grado

aveva super[cto cosi feli C 3IO.Cl'l"G 0 tant! severi controlli di cara!

tare quali tatiYo da far;ni r: onS8.re che per9..£§l1.£h§. solido natura­

le potesse andar bono anche qua.nti~c."i var:>nt;e. Questa mia pre-

4

.... "'"

stinZione viene ora avvalorata dal ·te.orema~_n..J.-..dcl. cap~ VI:

per aol.1.di.-.~i l' ipotesi caratteristica della Ela­

sticita.di secondo gradoiDmor..ealpot.enziale isotormo una fo!.

rna c.he ... ove 8i annulli uno dei tre parametri in essa disponi­

bili - Coincide con la f'Orrna prolJosta e discussa da II. l1oone.x

fin dal 1940, Anzi l'annullarsi di tale parametro risulta pure

necessario se incondizionatamente si accettano i risultati di

esperienze assai recenti.

5

GENEliALITA!

A. Signorini.

Capitolo I.'

SPOSTAMENTI TRIDIMENSIONALI

REGOLARI

Siano e.e C due cdnfigurazioni. di un sistema continuo

tridimcnsionale S, scelte a piacere nell'insieme di tutw quel

le cha per esso vogliono i.ntendersi possi bili; in modo che 10

spostamcnto da C _ [configurazione di partenzaJ in C [confi­

gurazione di arrivo] posea identifiearsi eon un qualunque sPQ.

stamento globalc di S. La C .. verI's. anche ch:iamata eonfigurazio­

ne di riferimento.

Indiehero sempre con p. p .. una qualunque coppia di punti

corrispondenti in G e Ct ' con ~. i1 vettore P~P, cioe 10 spo­

stamento del punta p. nello spostamento globale di S da C. in

C,

~f =C~~C. Fisso a piacere una terna cartesiana trirettangola

G~:: 0.£, ~'l.. ~3 e rispetto a 1: convengo, una volta per tutte, di indicare con

~1 ,jv ~~ 1e coordinate del gcnerieo p., con x1' x2,· x3,le co­

ordinate di P, con

~I{, = xI' - ¥I' ( r = 1, 2, 3)

le componenti di 1, eee. : anche adoprando. senz'altro avviso

i coefficienti di un'omografia vettoriale, li intendero riferi­

ti alla (t . Potro pensare biunivoca e incondizionatamente regolare

1a corrispondenza fra P~ e Pi in particolare sempre positiv~

i1 determinante funzionale ,

(1) 1) J(~t)X~IXj) ~(;~-~l·;-~~·~-----

.I

6

- 4 -A. Signorini.

Riuaciranne comode Ie notazioni. abbreviative

~I(.._ -u- - JVv'tJ XI(.Q:: d Y4 . It..~ - ~JI)-'

Non eeclu.de [salvo contrario avviso] che S posse esse­

re soggetto a qw~ehe vineo~o interno, del tipo

j) = \Cy~ ,ju J3) jt. Fin d10ra lonvengo pure di chiamare omogeneo ogni sposta-

mento pel quale : e x siano funzioni lineari delle y: potra ma­

gari trattarsi d: uno spostamento rigido.

2. OORRISPOliD.sNZ" DEGLI h'LEMENTI LIN:JSARI.

Siano: dP_ = (dY1' dY2' dy3) il generieo elemento linea­

re orientato USCI nte da P* e dP 3 ( dx1, dx2 , dX3 ) i1 suo cor-

rispondente in C Ov" ed a.. i versori di dP e dP. - ~

Sempre in : 'igua~do al generico P ¥ indichero can la sem­

plice notazione ~ 1 t omografia vettoriale

dP :::~x~~!\ eLf.

per la qua~e evidentemente e

~I proprio ~a ct che specifica la legge di corrisponden­

za fra dPe e dP, mediante l'uguaglianza

(2) dP

Ta1volta chiamero dP 1timmagine di dP~su C [e dP. ltim­

magine di dP su C -J . Indicando con S~ i1 ooefficiente di di1ataziono lineare

in P ~ nella direzione di Q;'A [CiOe -;onendo \ dP \ ::(It ~Q..)l d Px \] la (2) puc anche sostituirsi can

7

che implica

Indicando con ~ ~ c

in P,lI L aioe -ponendo

mente formace

- 5 -A. Signorini

il coefficients di

de '" (1+~e ) de. J C-c - 101--1 o - 3 •

dilatazione cubica

la (1)1 evidonte-

Ef pure evidonte che la ~ riaulta indipendente da p. solo quando jf e omogenoo.

3. D~FOR1liAZIONE PURA E ROTAZIONE LoCnJ~t SPOSTil.I'I[~NTI OYlOGENEL

Por uno spostamento infinitesimo notoriamente conviene

la sistematica decomposizione dell' omograf1a ot.. nella somma d1

una dilatazione con un'omografia assiale; decomposizione che -

indipendentemente dall'eut~ta·dello spostamento - si specifica in

(5)

non appena si ponga

Per uno spostamento finito conviene invece decomporre

La fA nel prodotto di due omografie, con le modali t~ che ora

~recisero.

Chiaroo dilatazione ''pUI'.l!!; ()<!"(1i iJi latH'7ione [ propria]

ler la quale tutti e tre i coeffi·cienti princ:i'O"l}i Riano posi­

;ivi, cioe un'omografia vettoriale che ammetta tro ~~~i~

~te mutuamente ortogonali. Tale ad es. risulta

t:o :::: K c:< . ':x ,e1 solo fatto che 1a ex non e degenere.

Sia allora CX& 1e dilatazione pura univocamente caratte-

8

- 6 -A. Signorini

rizzata aall'uguaglianza

2-<Xs == <Ii ,

aioe la di1atazione p1ll!I'a ahe si ricava de. (Jf quando, senza toc­

care Ie sue direzioni unite, si sostituisce ciascuno dei suoi

coefficienti principali. .col valore assoluto della rispettiv8 ra­

dice quadrata.

Si pub dimo s trare che 0.. in conseguenza dell'essere

11 d. 7 0 coincide col prodotto di .. ('I)

un conveniente rotore (j.. if ,

per

(6 )

anzi e questo l'unico modo di decomporre 0( nel prodotto di

una dilatazione pura per un rotore.

Ebbene, proprio la (6) e la formola di decomposizione ehe

meglio conviene per i suecessivi sviluppi. Ad (l(. S e ()( I?

rispettivamente do il nome di deformazione pure. in PK e rota­

zione in P~ , ovvero rotazione locale [ v. n.6}.

L'intervento di (6) riduce (3) e (4) a

(7) }

Se Ct-~ C 5i riduce a uno 5postamento rigido, 5i annulla­

no tutti i coefficienti di dilatazione lineare: cio che, per ef­

fetto di (7)1' esattamente implica

•• 0 • C ...

-------:1) Et superfluo ricordare che un'omografia vettoriale prende il

nome speciale di "rotore" se la corrispondente affini til: dege­nera in uno spostamento rigido con un punta fisso.

9

- 7 -A. Signorini

Anzi questa condi zione e pure. suffi oiente perche C ,,--+ C conser­

vi l.e lunghezze, aioe [nel.l1inSieme deg1.i spostamenti regOlar~ e proprio earatteristiea degli spostamenti rigidi.

Stante l'unicita della decomposizione in prodotto (6), per

ogni spostamento omogcneo tanto eX S ' quanto Ci. q non posso-

no dipendere da Pi' ma si PUQ anehe dimostrare che la sola condi­

zione

basta per garantire che 10 spostamento e omogeneo: naturalmente

easa e un po meno restrittiva della (8).

4. CORRISP_Q}!p'E~ZA DEGI,! _~;r....Elv~.t!iN.~I,. .'p'I. J3..t[P.t;RJi1:'JIE ORI~NTATI.

Siano: d,. i1 generieo elemento di superficie per P" ~

dd il corrispondente elemento per P; ~~. il versore della nor-

male ad, It Grientata in modo arbi t~rioJ 'r\. il. versore

dell.a normale a do' , orientate in verso eoncorde al vet tore

CX,1} lit [ehe in genere non sara ortogonal.e a dc5 , ma neppure po­

tra mai essergli paral1eloJ •

Indiehiamo con C (r,6, = 1,2,3) il. rs ..

di XH nel determinante funzionale J.)

grana complementare di d. ,

eomplemento algebrieo

e co n R (j,. l. a 2E:!.Q.=

RC1. ~ ~ ert-~~:;: 13o!.· Kct' La R ct, non differisce da 0.. per 0. b =: I

Gpostamento ri.gidoJ • Comunque 1a Rei. da. 1a legge di corri­

spondenza tra gli ~J:!.!:i....Jli .. <~_1l.p.~_r.ficie .orie.ntat:i.n.· J r;1( # ':!! Jet ) mediante 1 'E:@:18f'.1~al1J:.l!

9) ~ 46' :::: R d. (0}~dG'Il)'

Gn ~:r::o~: ,:' g::::-!"!e::;:~:";<a!~ic:~::p:~~~,e d s = 0 + ~.~) d ~ • ]

10

la (9) puc sostituirsi con

(~ +$.)" ehe implies

(10 )

Per un momento siano: ~ 11. e lie'

A. Signorini

una parte que.1unque di

C.. e 180 parte eorrispondente di C; ~ Q. 5. i contorni eomple-

ti di C e C. ; '!1- t '11\11 i versori delle 10ro norma1i interne.

Per effetto di (9), l'i.dcntita.

S ~ d6' ~ 0 non dLfferisee da

(f

1 Rti.(,!!-ll)dct ll = 0)

[ i!I. _

che a sua volta sempre col concorso del lemma di GreenJ

pub sostituirai or. I .~~ R,(j_(g) dCit' :: O. ~ /, (ill .:k

L'arbitrarieta. di 12,. [inSiem.e e.1 fatto ehe le funzioni

integrande sono continue e indipendenti de.1 c~po di integrazio­

ne ] da. a110ra 1uogo al1a idem·~ita vettoriale

i. '"? Rct(~;) = 0 (11 )

equive.1ente a11e 1 I. 'oy~ )

tre identita. scalari ~

~. de1~; ::: 0 1 t. IJj,,-

~. SPOSfAliE1:lTI EQUIVAI,El(T!.

Aocanto a C ~ e C, conaia ere una. terza. ccinfigurazione C'

.i S, a prior;i. soggetta alla sola condizione obe 10 spostamento \ I

- C I sia rego1are e aoeenno con d. 0 ,().. ~ oio ohe

ivengono 0. ~ ) d.. '? quando C' prende i1 posto di C.

11

- 9 -A. Signorini

Dir~ ehe i due spostamenti

oono !S~valenti ogni qualvo1ta sia rigido 10 spostamento

C '-'-C t •

ai pub dimostrare oha oio 8i verifies quando e solo quan-

do

(12) . . . Rimana 0061 stabilito che la con06ce~za in tutto C,

del1a Ol ~ individua C. --+ C [epostamento regOlare) ~-no di uno epostamento rigido.

61 pub anzi aggiungere che la o(s purche la si conosca

in tutto e.. indi vidua 0\ t (1... meno di un rotore costan-

te: per due spostamcnti equivalenti., in ogni punto di. C ~ t le

deformazioni puro coinoidono e le rotazioni locali 6i rioavano

l'una dal1'altra mediante il semplice prodQtto per un rotore co­

stante.

6. FORMA DIFFERENZIALE CARATTERlSTICA,

Riaesumiamo dai n.i precedent! 1e uguaglianze

(13)

Questo gruppo di formula mette in avidenza che attorno a

p .. le di1atazioni lineari, superficiali a cubic a Bono tutte in­

dividuate da (d.. 6 \ • Inveoe nelle leggi complete di corrispon­

danza tra gli alom~~"ti lineari. e tra gl.i. elementi di. superficie'

orientati per p. e P, Ci09 in

d p :: 0.,( d& d p .. ) ) ~ dG' -interviene anche ( o.~)p .. '

Questa osservazione gia giustifioa 1e denominazion1 di "de-

formaz1one pura" e "rotazione locale" rispettivamente attribuite

12

- 10 -A. Signorini

ad d & ) olli al n. 3: fin d lora s1 pub dire che ~a defotma-- ~ zione dell'elcmento!tridimcnsionale \ di S ciroostante a p. e compl.etamoute caratt-~rizzata da (0. 0 .

P'.II • (I b ) al0 premesso, rappresentiamo con b",>\I{,A-: 1.~,3; ~h:: ~'t

i coefficienti della dilatazione pura 1;:5:. K d.. • Q.. j

il. chc implica

( 14)

e anche 1 'identita

\dP\2 ;

L ~I.l dy-c. dr~ • 1 If"

Essendo c"-~ -= ar J i b,(,~ indivlduano Ol S [e vi­

ceversaJ : onde si pub anche dire che la deformazione de~l'ele­mento di S circostante aPe comp1etamente carattcrizzata dai

~

valori in p)\ delle sei funzioni scalari b", ~ Non e questo 11 solo motivo per cui ne11a trattaz1on& sca­

~are dell'attuale argomento si da alla forma diffc~1ale ~

L b dy dv ,Il.~ ~? " I.,)

i~ nome di forma caratteristica dello spostamento C _ -; C. 8i

tratta proprio della forma differenziale che esprime il quadrato

dell' clemento l.ineare di a mediant e 1e y [ds2 eU01ideo} : e per questo che i b , quando siano noti in tutto C. , indivi-

II.~ ..

duano 10 spostamento globale C •. ~ C, a meno di uno spostamento

rigido.

7. 0110GBA.PU Dr DEFORlVIAZ!Ol'IE.

Accanto alla d..6 e alla 1(;) , dovro sistematicamente adope-

rare l' omografia t.

dall'uguaglianza

(15)

omogra:fJ_~ .di deformazione definita

13

- 11 -A. Signorini

Risul.tanao 1

I +.2~ = ciS )

la (8) eaattamente equivale a

(16 ) t:::: 0 ....... C.

in modo ebe - in pieno aecordo con 1a qualifies di "omografia

d1 deformazione \I per 1a e. - anehe 1a (16) e necessaria a Buf-lI)

ficianta porche C ¥r - C si riduca a uno spoatamento rigido.

La t risulta sempro una clilatazione, can Ie stasse dire-2

zioni unite di C),b e db' me. in ganera non e una dilataziona

pure. Per i suoi coefficienti rispetto alIa ~ , dalle (14)

ban facilmcnto 131 ricavano le aspressioni

Nolte volte, saranno utili anche Ie notazioni a un solo in-

dice

(17) t {.. = f.1( 'V ~.i(.+3 ~ t -:::: ~ € ~~I.~)~) I( t+l)'I. i't ~ i'2.J I(tl

cha corrispondono a porre

il £. t", t. T T

(17) " € ;:t t, ~~ ~

T -t ~S' Ek l'

T -- ~? E' ormai classica 1a dentro_inazione eli carattaristicha di

deformazione proprio per Ie sei funzioni scala]'i E~ (q=1 ,2, ••• 6).

un Analogamenta la (12) pub sosti tuirsi con c ::. ~ j •••• C ••

14

- 12 -A. Signor1ni

Le caratteristiche di deformazione bastano a individuare 01. 0 ;

invece nella successiva deduzione d1 ~f' da d.. i valori delle

nove Vv" ~ intorvengono anche fuori delle sei combinazioni t.~ .

La (13)1 evidentomente equivale a

(18)

oloe a

(18) f

8. DIREZrQ;TT, PHIl!.C.tPjl.L:-. INV .ARI~1l'1'.I Dr D8ji'~)RI'1AZ~_Q.I~ftL< , Una direzione s1 dice dirczione principale di doformazio-

ne per p .. quando essa e direzione uni ta per (d. 6 ')"" ; una tcr­

na di direzioni mutuamonte ortogonali si dice ~erna principa~e

di deformazione per F)O quando essa e terna uni ta per (QI.. ~)f> . .. E' evidento clle una torna principale di deformazione e ter-

na principale dell! omografia eX:::. O\,~ <:)..15' ma sussiste pure la

proprieta inversa, porche i coefficienti principeli di cts aono tutti positivi. (3)

In altri termini una terna di elementi mutuamente ortogo­

nali uscenti de F~ e trasformata dallo spostamonto C~ ~ G

in una terna di elementi lineari anch'essi mutuamente ortogonali

solo quando e terna principalo di deformazione por F». Inoltre : l • Il'uguaglianza 0( D -:: l 1- ~ £. impliea In coincidenza di ogni

direzione ~incipnle di doformazione con un8 direziono unita

dell'omografia di deformazione, ecc.

(3) Una di1.atazione S" ammetto terne pri."'.ro; "'~J; "lO'l unite solo quoildo si . annulI a Ie 20rn.rnn iF "'""" nr. "ffici enti principeli: cio segue subito dal fatto che ogni terna principalo di ~

e uni ta por I{ b . b -=- ~:I. e vicovorsa.

15

- 113-A. Signorini

I tre coefficienti principali

delle dillltazione f, hanno i1 nome di caratteristiche principa-

11 aa. deformazione [inp~J· ~ Basi coincidono con le radici del­

l' equazione cubicQ· .'

(19 )

dove sana samplicomente indicati can 1 1 , 1 2 , 13 t ! tre invarianti

principal! di doformazione, cioe itre invarianti principali del-

la & I ?, ,

It - L-t Eit. ;;:; t~ tIL ) \ } t

(20) If,:' E~t3 +t~'£1 "ft,~\.- t ~t ..f.(,.;:::; E1£~+E~EI ... eIEt,

I ' t. 3 E,Ezt j + tt"lE~€~ -t+" ~"tf+S~ E.Et.EJ'

Chiamando A (r=1,2,3) i coeffieienti prinoipali 1+2E r . r della 1+2~ e

J1 - 3+~!1 -(21 ) Jt "3 t t., II +~ It

cl 3 -::. ~ +~ll + l-tll + g I"

i BUO! invarianti principali, 1a (19) pub sostituirsi con

(22)

8i chia.ma imrariante di dofo:rITlR.zione ognt invariante del-

l'omografia €. 0

Essendo questa una dilatazione, 11 pili genoralo invariante

IIi deformazione e dato da una funzione arbi traria dei tro invarian­

t! principali !1' 12 , 1 3,

16

- 14 -A. Signorini

Acccmnando con

I ~~ ~-----.---------

(23) J)lt.) :: ~ ~ 1- ~ It + k I2 -t-~ 13

1'ospr~sBione di, t modiante 10 sei earatteristiche di deforma­

ZiOM i efr. (1)1 e (21)3 \ , si,pub anche dire che i1 piu genera-... .J

1e invariante di doformaziono e dato da una funziono arbitraria di

J, 1:}1 .t.. 't(I;.). Sempro in eorrispondenza al generieo P~ si chiamano a1lunga-

monti principg,a ,i.",e.o,o,ffieionti eli dilatazione lineare ~I) 6'LJ:J3

inoronti alla Load una 1 terno. principalo di d oformazione.

Dalla (18) ovviamonte risulta

(24)

i binomi 1 + D. 't: do.nno i coefficionti prineipali di d. & •

I valori doi tro invarianti prineipa1i di deformo.ziona re­

stano sempre soggetti ~ ancho in assenza di ogni vincolo interno~ 0.110 limitazioni necessaria e sufficienti parche la (19) abbia tut­

to ° tro 1e radici reali,e > - i: condizione oquivulente a quolln

cho 1a (22) abbia tuttc c trc 10 radici reali c positive.

9. §POs~lt4H~~:i:!i'[:g;5_GO~,

In questo nO. prondoro in speciale esamo 10 spostamonto

C '- 0 : s:Qostamento inverso. Per esso :pub ripotcrsi tutto eib * cho finoro ho dette per 0 II -.). 0, se'mplicemonto sisti tuendo M,'C

con - oU./G (r = 1,2,3) 0 adoprando come vario.bili indipcndonti Ie

x al posta dolle y.

In corrispondunzo. 0.1 generico olemento di S pongo

e ancho distinguo con un soprassogno l'omografia di deformBzione,

17

- 15 -A. Signorini

Ie caratteristiche di deformazione

ecce dello spostxJento inverso: cioe l'omografia di dcformazio­

ne, le carattcristiche di deformazione, ecce inerenti a Ow r1-

spotto a 0, invcce cha a C rispotto a C. ~ Con questa convenzio­

no, insicme a

(25)

risulta

(25)'

coc.

Specialmantc oocorre, per futuri sviluppi, rilcvare che

[POl gcn:,rico spostamonto finito -1 10. ~ e in corrispondenzo.

biunivoca L non con f. , ron invGc1-' con 10. trasformata (4) di

f.. mediante ctCj>

-t Invoro dnlla (25), pur cffetto dell'uguo.glianza a = 01. J

scmplicGmcnte s1 ottionG

(26)

In corrispondenzo. a un'omografia qualunquc {;' ~ ~'{.~ ~ 0 ad un rotore at chiamo trasformata di ~ mc~ 6l 1 omografia r~ -: til (~~I. • I COGfj'iciGnti di fl·'(R,. rispetto alia torna

trl.rottangola 'tri.= 011£," ~~ ~~3 ordinatamonte coincidono con i gr : in particolare iJtro invarianti principali di r~ or­dina~amonte coincidono <l,on i tro invarianti p~incipali di '6 • Se ( e uno. dilatr:,.ziono L uno. dilatazione pure.) !Omche h. e una dilatazione [uno. dilatazione pura] ahe anzi ho. gli stes­si coefficienti principali di 0 0 come direzioni unite pro­prio quelle che 8i ottongono trasformando mediante OL Ie di­rczioni unito di ( •

18

- 16 -A. Signorini

qui Di/ad oa. riaulta che i1 rotore d ~ stabilisce una corrisRonden-

za biunivoca tra 1e direzioni principali di deformazione dello.

apostam.en.12. C~-+ C e quelI.e delle epostamento inverso C .... 0". Per uno apostam.cnto infini teaimo 1a f" si confondo con

e e quindi 1a (26) 5i riduc e a

Per un qua1unque apostamcmto rego1are 190 (26) implica cha

i tre invarianti principali di £ aono in corrispondonza biunivo­

ce. ( 5) con i tre invarianti principali di E ~ • D' al tra parte

[ofr. nota (4)J ei he. t1t~,::I~£ (a'" 1, 2,3): onde reata

pure stabili to che, quantunquo E (' generalmente differisca da t. , i tre invarianti principali di ~. sono in corri5pondonza biunivo-

cs con i tro invarianti principali di 1:, •

(5) Per ogni omografia.. propri~ 1 gli I~ ( den.za biunivoca con gli I r (s '" 1,

1 · ~n uguag l.anze

1 -I t ~ :: l

o o 0

sono in corrispon-2, 3) secondo 10

19

- 17 -A. Signorini

II.

EQUAZIONI GENERALI DELLA llECCANICA DEI SISTEIIlI CONTINUI

E PRHIO PRINCIPIO DELLA TERHODINAMICA

1. GENERA:LITA!. EQUAZIONE'Dr CONTINUITA'.

Passo ormai aprendcre in csame il generieo moto di S, in­

dicando semplieemonte con C la eonfigurazione del sistema conti­

nuo all'18tante qualunque t - configurazione attuale - e lascian­

do C. a denotare una cOhfigurazione di riferimento scclta s pia­

cere nel1 1insiome di tutte quelle che vogliono intendersi possibl-

1i per S.

Magari potra riuscire comodo - ma non sara mai necessario -

l'identificare C. con la configurazione in1ziale di S.

Riguardo a

~t == e~ ~ e manterro tutte le notazioni introdotte nol cap. preo. per ogni sin­

galo spostamento regolare e come d1abitudine indichero con ~

:r.' accelerazi one, all'istsl1.te t, dell; elemento tr1dimonsionale:

m di S individuato da p. ~10e dell1elemento circostante a11'i­

stante tap] •

Per quanto riguarda la scolta dello variab1li indipendenti,

i1 piu spease convcrra - 0 addirii;tura 81 imporra. - il ricor8o 81-

le variab11i lagra~iqne

invece che allo variabili euleriane

XI) l(~IXl}t, Rappresentando con k 11 valoro it! P della donsi t80 a.ttuale

~ensita di S all'istante t1 e con ~~ il Valoro in p. della

20

- 18 -A. Signorlni

densita di S nella configurazione di rlferimento, qmle eSJlr&S­

aim e lagrangiana locale del principio di cons ervazi one. delia

massa s1 avra sempre la eguazion6 di. continui ta

(1) ~Sr ::. ~ It

Appresso sono indicati con Z. (. r. pleto di C ~ e quello di C, con Nil .t.. ~

rispettive normali interne.

2. LEMMI.

il contorno com­

i versori dello

Pensiamo a un sistema di equazioni del tipo

~ '"JF '*" (2) 0 - I~ __ ..:2. :::: 0 ..... elf I 4- - (~ ;: 0 ... " . ~'" , -1 ) y" .

col solo prosupposto che D 0 l'omografia ~ = l~l(.~~ di-

pendano rogolarmente da p. e ~ sia funzione regolare del punto

ganerieo di t 111 •

Come eben noto, il sistema (2) puo riassumorei nella ro18-

zione

(3) f .I.e. ~,,1,,~~" .. S1" D M. -+ ) 1- ~ c\,L. '"'o! C 1':. C '""

• JI 4* purehe la si intends valida per ogni scol. ta del. vettore 1 (PIC) •

In seguito 8VromO ripetutamente a cha fare anchocon sist~

mi del tipo

(4)

col prosupposto cheancho 10 scalare b dipenda regolarmente da

Pi' Notiamo fin d'ora che, a parita di .Q(P.) 1 ~(f.) .(. ~(r~~)) un tale sistema non pub ammettere [rispetto a b( Pi) J due

21

- 19 -A. Signorini

diverse soluzioni 1 e porche no ammotta una Q J 6 ~ ~ dovran­

no sottostare a opportune restrizioni.

Un sistema. del tipo (4) pua farsi riontrare nel tipO; (2)

semplicemente_ sbstitue~do in questo r con '( + b riassumersi L cIr. (2) J nella relazionc

, onde puo

)

f <1,(, 4" ~" ~h_ + Jl<Q Je, +Jh~ .r, ,,-fba;,,! d (. c. ~? c r J.

ft " (.

alm.ano sa anche questa s 1 intcnde valida per ogni seel ta di ~ (p "').

z: I evidente cha per ogni 1. (p~) solenoidala la (5 )$i ri­

duce a (3), rna sussiste pure la proprieta inversa: il verifiearsi

~ (3) per ogni ~ (p.)'~Q!~~2:!:dale basta ad assieurare llesi­

stanza di uno scalar; b (P:)-~~~~~~a soddisfatto l'intero si-

3. EQUAZ.I0NI m CAUGH):. OlroGRAFIA EULERIANA DI TENSIONE. LAVO'RO

NOMINALE DELLE FORZE INT:IME.

Sia f d L la forza supcrficiale esterna agento attualIllen­

to sul gen:rico clemento di z: . Insi erne, _ in eorrispondenza al

generieo Ill, rappresentiamo con f. k de -= t R II' d (It' la forza

di massa attuale, con X (r, s = 1, 2, 3) le ordinarie caratte-rs ristiche di tensione. Precisamente intando data alle equazioni

laseiando sottintese 1e relazioni di simmetria

X =X rs sr (r,s = 1,2t 3)

22

- 20 -A. Signorini

Chiamo omografia euler~ana di tensione Is. dilatazione

Col suo intervcnto le (6) passona riassumersi in

~ -5- ! P ~i :=

~~ 6X" ~p~"'" ~ t

(6) ,

.... - ' ... ~ ..... '\-

e, in tutto 0, per il gencrico elemcn~(l di suporficio orientato

"'Il d6 10 sforzo !'" ~~ esercitantCfi sulla faccia rivo1.ta dnl

la banda di -~ resta rappresentato ds.

Convorra spesso adoprare per le X una notasione a un solo

indic c ponendo

X :=X rs q (r,D, 1,2, 3)

con q ~ r per s = r c q = 9 - r - s per s * r.

I1 sistema (6)' puo ridursi al t~.:)O (2) semplicemente 80-

stituendo C a C*, 1e x all0 y, eec.: on(1.o la (3) pormc"vte di ria§.

sumorlo nella relazionc

(7) 5~( ~,,X,. ~~' + f i '{r -~)J( • ~ ~>£ JZ=O ) C 1 ( . 1.

purehe la 8i intenda valida per ogni So:lelta del vettore t (p).

Interprotiamo 1 'insiGlile dei vettori applicati (p, 1 (p) )

come uno spostamcnto infini tesiJ:lo ri) S di S a I'artire dalla eonfi­

gurazione attual'a C. Nella (7) gli ul timi due integrali daranno

i1 eorrispondonte lavoro nominale (6) dell'insieme delle forze di

(6) v. A. Signorini, Ivleceaniea razionale con clementi di Statio§.. grafiea, vol.II 2d,ed., Roma, Perrcdla, 1954 I'p. 53-55, 113-14 0 387··88.

23

- 21 -A. Signorini

massa, dello forzo d'inorzia e delle forze in superficie. 11 pri­

mo intograle dtvra quindi dare, sempre perdS, il lavoro nomina1e

1L (i) dello forze intime. Rosta COS1. sonz 'altro aequisi ta l'ugu~ glianza

(8)

4. .;.QUAZIO_NI DI. :KI:E(C]I.H.9}f£L.:E.Q.T~-A..ZJ.9_}'}; ... P;LB.9JJ:S_SIt,!I~SQ.

In eorrispondonza a1 punta gonerieo Q di L p~ngo w. •

(9 )

cioe

se s'indica

10 relativo

aL •.

* t clz)( :::fd!

r ~ 8~\J t c~n ~! i1 ~oof£ieiento di di1atazione superficia­

Lin QJI' per~t] a11a giaci tura del piano' tangento

Le (6) 0 (6)' sono oquazioni di tipo euleriano, non logra!!

giano: colgravo inconvenientc di far figurare quali variabili in

dipendcnti, aecanto alla t, non Ie y rna le x, che vanno invGce an­

noverato fra le incognito in quasi tutti i problcmi di deformazio

ni finite relativi n fcnomeni non permanonti.

Fin dnl S ocolo soorso Ki};cjlh-.9JJ, Boussinesq ed :::;. 0 F. Ces­

~ cffettuarono la riduzionc delle cquazioni gonera~i di Cauchy

al tipo lagrangiano, nolle vario forme che ora ritrovcro: rinun­

ziando G.nche qui agli originari pro co dimcnti. di d oduzione, sia reI'

mati vi di rapidi ta, sia per poter moglio coordinaro i risul tnti.

Nella (7) ponsiamo il vet tore arbi trario i oome funzione

di p~ invace di P [ChO e in corrispondonza biunivoca con p~J Potrerno cosl sostituire la (7) can

24

(11 )

- 22 -A. Signorini

Chiamero omografia di Kirchhoff l'omografie

1\ K Ii

X = II Kl'

1\ K~ che in genera non sara una dilataziono.

Il eonfronto dolla (10) can la (2") porta subi to alla e011-

clusiono eha le~uazioni di Cauchy oquivalgono alle equazioni di

Resta insiome stabilito cha la (8) non difforisae da

(13) ""ClL(~} = Sdc.i K ~~~ .. I ~e 'i.t d j

Ck t Stante le idonti ta (I, 11), 10 equazi oni di Cauchy

aha [efr. (11)1 alle cguazioni di J!.oussinesg:

equivalgono an-

~* (f -~) = i~ ~- Rd:'~ \ oy~ , , ,_. C;l ) t ,

25

..,23-A. Signorini

5. 9JlQGWU LAGRANGIANA Dr '.lLNS.:lO@, .. E.~W .. Z.:lOU~Q.o.q1?~&..

Sia 4>" d.6',. l' immagine dello sforzo cP til'.: ~ e cioe -M-- _ -M

[efr. I, n.2 j poniamo

= ct ( ~ ~ d-6) . No risulta

L' omografia

(15 )

e dunque tale che applicate. a !~ ... J..G'. da l'immagine su C. della

sforzo relativo a d.G'. Di qui uno doi motivi per cui converra

chia.ma.re ~1k la omografia lagrnngiana. di tensiona, Ina va pur subi

to notato che la (15) equivale sia a

(15) I

sia a

(15) " ~ d~*Ko(. 1:>,0-

La ~. [come ~ ] risul ta s empre una dilatazi ana: per i suoi

coefficienti rispetto a ~ adoprero 1a notazione

y .=i Y (r,s: = 1,2,3), rs sr

oppure [ efr. n.3J una nota2i. one a un solo indica, ponendo

y y (r,s, == 1,2,3) rs q

clO:n q == r por S = r e q == 9 -r-s por s =1= r.

La (15)' permetto subito di ridurre le oquazioni di ~­

hoff alle equazioni dei Cossorat,

26

- 24 -A. Signorini

( 16)

ma in piu da luogo a una notovolissima espre~sione dol lavoro

nominale delle forze intime mediante 10 soi nuove ausiliarie

Y1' Y2' ••• Y6. Precisamento, in modo del tutto izlanale s1 PUQ

constatare che la (13) viene a equivalero a

~) ,.. (17) ") L -::: f d,(. 2.. ~ YQ "0 f., )

C. I I II

so naturalmente ai aocennano can··h. > aft)' . 'dtr; le variazioni

delle sei oarattoristiche di deformaziono inorenti allo aposta­

mento infinitesimo ~j 6, ULTERIOlU P.ROPRIETA. 'DELL'Orv.rOGRAFIA LAGRANGI.A!iA Dr i'ENS~ON:C •.

.Richiamando llabituale decomposizione di ~ in prodotto,

e ponendo

corto risulta una dilatazione e 1e. (15)" puc ridursi a

(18)

La ~ si presents ooai como la trasformata (7) di ~. me­

diante il rotore a ~ , onde si puc dire cho le due dilatazioni

~ .It. b differiscono solo per I' orientamento dei loro assi

principali. Piu precisamente, per effctto di (18):

a) i1 rotoro ~~ stabilisce una corrispondcnza biunivoca tra

1e direzioni unite di ~ e quollo <M.~;

(7) Ofr. nota (4)

27

- 25 -A. Signorini

principali B1, B2, B3 in P [coefficienti prin­

ordinatamente coincidono oon i coeffioient! prin

, oioe con 10 radioi dell'equaziona seoolare (8)

b) 1e tensioni

cipali di ~J cipali di S

('19)

Sa C~ ~

duce a ~.; ~

C doge nora in uno spostamonto rigido, £ 8i ri­

a un omototia vettorialo solo quando 10 e ~; ece.

Sia ora ~ll una direzione principale di doformazione per

p. e d la sua immagine (9) su 0, che necessariamonto dara

(?fr. I, no9] una direzione prinoipale di,deformazione dello

spostamento inverso. D~1e prccedenti oaservazioni bon faoil­

mente si puc ricavare che d e direzione principale di tonsione

- oioe dircziono uni ta di ~ per P - solo quando dt. e dirozio­

ne unita anche di ~'" (per P'J( ).

7. PRBLO ERINCl.I'IO ,DELLA TER110DINAI\1Ji6ile...

Sia .At" i1 eorpo naturale che si vuole rappresentare col

sistema continuo S. Ammetto la possibilita di definire 10 sta­

to fisioo di ciascun elemento di ~.mediante un certo numero

[magari sovrabbondante] di paramotri di carattere puramonte

locale,

cho potranno benissimo non ricntrare tutti fra quolli finora in­

contrati. Non a1 puc ad oa. osc1udero cha per 10 meno oonvenga

fare osp1icitamento intorveniro, per i1 gonerico olemento di S,

una corta tomperatura, T.

(8) E' sott1nteaa 1a tradizion"llo'convenzione s=r c S == 0 per 8:#= r. rs

b = 1 rs per

(9) Naturalmonte vOglio dire "la direzione dell' clemento 1inea­re corrispondente in-C a un elemento lineare uscente ds P* con 1a direzione dlt; ".

28

-26 -A. Signorini

Neppuro 2seludo qualehc mutua dipendenza tra i parametri

X finche non· si riesea a sceglier1i opportunamente [v. i1 n.1

del prossimo C8p, ] • Prendo poi di mira un determinate, rna

qualunque e1emento m.di S [eireestante a P in c] aecennando

can dCw i1 suo volume in C~ , eee.

Lo stato attuale di m e definito dai va10ri attuali dei

paramatri X in P. Variando i X cambia 10 stato di m - cioe m

sUbisco una trasformazione e 1e trasformazioni e10mentari di

m a partire da1 suo stato attua1e vengono a essore in corrispon­

denza biunivoca con tutte le ~p1e di incrementi infinitesimi.

dX1, dX2 , •••• dXn

che possene attribuirsi allo X subordinatamente all'evontua10

mutua dipendenza dolle X modesime.

Per uniformare 10 schema del continuo al primo principio

della Termedinamicat non basta ceordinare a ogni trasformazio­

ne elementare di m una carta variazione di forza viva, un corto

lavoro elementare delle forze estoma rispetto a moun certo

lavoro olementare dC • 1(i)de11e forze intima: gcneralme~e si ~ -

deve enche pens are all' assorbimonto L in sonso algobrico J di

una corta quanti ta di caloro kJC' de ... q da parte di m.

Con questo, 1imitatamente alla categoria di fenomenidi cui

intendo occuparmi, il primo principio della Tormodinamica equi­

vale a postulare l'esistenza di una funzione w (X I p~) [ cioe

di una funzione di X1 ' X2 , •• ,Xn e magari di Y1' Y2 ~ Y3 J tala

che per ogni m e per ogni sua trasformazione elementare risulti(10)

(10) Conservo per l'equivalente meccanico del calore la notazio­no classica E, quantunque Ie stesse segno venga adoperato per indicare 1e caratteristiche principali di d 8formazione.

29

- 27 -A. 31gnoX'ini

(20) E t" • .~) f(, \ -= k ct.\#' + {,. ,

La (17~ impone l'uguaglianza

tJ(~) _ ;, (21) v ~ V J

- ~, I~ a.,f,~. La w ha i1 nome di energia interns specifies [ perche ri­

feri ta all 'uni ta di mas sa 1 . 3i trQtta di una funzione oaratte­tistic.a. (11)d~1la. costituzione di S , vogllo ~re, .d:i. Ul\A fun­

zione 1a cui forma effettiva deve intendersi suggerita, se non

imposts, dalla natura diC~. Per ciascun m resta arbitraria in

w una costante additiva.

(11 ) S1 pub far rientrare fra lEI "funzioni caratteristiche" anche 1a k· (Y1 t YZ' Y3) se pure 1a 81 penss'varia.bi1e con p ••

o o 0

30

- 28 -A. Signorini

III.

SIST::r;i.iI INCor.rPRILUBILI A TRASFOBl.1A.ZIONI REVERSIBILI

1. §..I.S:~}Jq~ :!L.f};'l!. • .?~t~.IQ!L..~.YERgB~_gL Daro la denominazione abbreviativa di sistema a trasforma­

zioni reversibili a ogni sistema continuo S, per i1 quale, in

aggiunta a (20), s1 poatuli l'esiatenza di una funzione caratte­

ristica s (X I P. ) ta.le che riesca

(1) q

T per ciascun elemento m del sistemae.per ogni sua trasformazio-

ne elementare; a'intende, pur di rappresentaxe con T > 0 il va­

lore della temperatura di m in una scala opportuna, la ~

assoluta. Anche nella s - entropia specifica - per o&ni m rima­

ne arbitra.ria·una costante additiva.

I sistemi Sf cost definiti hanno un'importanza di primo

ordine,perche forniscono 10 schema piu spontaneo, se pure un

po' semplic.ista, di vastissime categorie di f enomeni sensibil­

mente reversi bili: questa affermazl.. one e implici ta nel secondo

principio della Termodinamica.

In certo modo i sistemi a trasformazioni reversibili fanno

riscontro, nell'ambito de! fenomeni termomeccanici, ai sistemi

privi di attrito della Meccanica analities.

Hel seguito viene sempre indicate. con .:; la fUnzione ea­

ratteristica

(2) J(X/ P*)=W-E11 . La forma eft et ti va della ':J- [aome quell a di ogni al tra

funzione caratteristicaJ deve intendersi definita della specie

del corpo naturale schematizzato in ~ per ciascun m rimane ar­

bi traria in :f l' aggiunta di una funzions lineare IT della sola T.

31

- 29 -A. Signorini

T. La :f corrisponde a1 potenziale termodinamico di ~ e

coei sempre la chiamero.

Da (II, 20),· (1) e (IIs21) risulta

(3)

per ogni m e peJ~ ogni sua trasformazione elem.entare.

Basta questa per accorgersi che pe~ ogni elemento del si­

stemai1 valore di ~1 puo dipendere solo dai valori 100al1 del­

le caratteristiche di d eformazione 0 deJ.la temperatura assoluta;

s'intende quando - insiemo alIa oonfigurazione di riferimento -

8i sia oomu.~que scelta la 1. In altri termini almeno riguardo

aJ.la funzione caratteristica J. i 'X" possono corto ridursi aIle

bili

ti e

Se S ~ e coarctu da 0bn1 vincolo intel'no f Ie sette varia-

T, £1' £1. J • - - - _ ) C{. s1 !!lossono pensaro come indipenden-

la (3) s1 eso.urisce nelle sotto uguaglianzo

'OT 2. SISTEMI INCOMl'BIIVlIBILI A TRA3,!!'ORMAUONI REVFRSIBI1L

Accenniano can TlIC la tomperatura nella stat<?._dJ-_,EJ-J~r;i_lD._cnto

C '¥ ' lasciando T a indicare la temperatura attuale. Sia per G!f un qualunquc sistema a trasformazioni rovcrsibili soggetto a1

vinoolo di i}!:,C.9!;:E.t~.J!I::i,_bili ~l...9_ ... ~e}11.p._~.r.:~t1J.ra __ c.9..§..tante, vincolo che

[cfr. (I, 23) ] oi potra sempro inte-1dere esprGSSO da un' equa-

210ne del tipo

32

- 30 -A. Signorini

oon

f( T~ ) T. ; ~) '" j.

Per ciascun clemento di Gf 0 per og".ili sua trasformazione

element are seguita a valero la (3), , ~"d,J = - ~~ y~ J,L, - E ~lt ~JT:

il valoro di if , per ciascun elemento di G~ , continua a essere

ind~viduato [a meno, s'intende, di una funzione lineare arbitra­

ria lTd ella sola TJ dalle E~ e T, che pcro, stante la (5), per­

dono il caratterc di argomenti indipendonti.

Un tale leGame, por quan-i;o direttarnente riguarda i1 poten­

ziale termodinamico, du luogo soltanto a un'indeterminazione

nel modo di scegliorne·l~espressione effettiva. Invece a due for­

me diverse di uno stosso potenziale termodinamic~ ,enera1mente

corrisponderebbero anche valori diversi per le )'<¥2>t, ) )~T I 8i tratta, para di indeterminazioni che naturalmente fini-

scono per riusciro inessenziali sotto ogni aspetto, onde nel se-·t '·d . (12) P 1·· 1 gul. 0 non verranno prese ~n cons~ eraz~one • er e ~mnar e

basta intendere - come intendera - di far capo's empre a una stes­

ss. ben determinata espressione 1( t I r j P*) del potenzia-

1e termodinamico, tra tutto quelle consentite dalla (5), ecc.

La (5) impone ai dE, e dT che figurano nella (3) 1a rela-

Q~(~ d.,e~ _ '1f fi T zione

e solo 9ssa. La

(6 )

Of., -oT (4) vanno

~~= 'll'de

~

~ 11 :: "oT ,

quindi SOGtituite

- r: + lit o~ ~ I ro f , • of - E ~ I,) _ -tI._ )

it r '"Or

con

(12) So ne avra un riflesso solo nella (29) del cap. V.

33

- 31 -A. Signorini

senza alcuna sp(>~ificazione ilello scalare p (p,t), che perc riesce

atto a caratteri~~are da so~o le reazioni vincolari subite dai

eingoli elementi di G~.

3. CONSEGUENZE. DELLE (6)

POl;liamo

(7)

sempre intendendo q=r per s=r e q=:. -r-s per s:ft r. Insieme indi­

chiamo con ~ la dilatazione di coeff.icient.i.l(rs'

Stante l'uguaglianza

1e priiue sei

(8)

Profittando anche delle identita

:1rd.(1-+1ey l_ I~~ 1. ~ Rd. ~.'. ~ 0 , I o~~

si conclude oho per i sistemi attualmente in esame 1e equazioni

dei

(9 )

La (8) cfr. (II, 15)11 ha come immediate consegucnza

(10 )

34

- 32 -A. Signorini

Le (6)4 .danno pure luogo a una notevolissima espressione

del lavoro delle forze intime per una qualunque trasformazione

elementare del generieo elemento di Gf ; perehe per 101'0 effetto,

ponendo

ls (1I,21) si riduee a

i') "- - ~. q T'1 + I" ;+ dT ) e in partieolare a

( 11)

per ogni trasformazione isoterma (dT=o, ~\t) =1).

Per ogni G ~ C sempre intendendo assegnata la forma effet­

tiva di :J ( ~ I T; l? *) e di k" (p ,t) la tp rests 10 ealmente in­

dividuata da t e T, onde 10 stesso puo ripetersi per la dilata­

zione

(12)

Ne risul ta [efr. II, n. 6] che le tre diffe renze

Br - P (1' = 1,2,3) restano sempre localmente individuate solo dalle oaratteristiche

di d eformazione e dalla temperatura, in base all' equazione seeo­

lare [efr. (II,19)J

(13)

mentre i1 rotore d.~ stabiliseD u,Tl<~ corrispondenza biunivoea

tra Ie direzioni unite di ~' e quelle eomuni a ~ ~ ~-f-'

4. ~T.A.T):. P.I.. .. ~Q.~I~JARJ.O._ SPONTANEO A .. ~E¥AJ.URA UNIFORl'lE -.L.1l.!~_~.

35

- 33 -A. Signorini

.Nl\1',UAL.I .l!I.'I1N, _~_ ,.SISTID4:I_O.IrI.Q.~IDt~:r IN C~.

Indicando con ~ un determinato valore della temperatura,

scelto a piacere dentro un corto intervallo, poniamo

"l-r) = [ If J == \\ If;!) \ . t:o,r .. 't"

Dire che C !ld~ una confimrazione di e9.uili brio spontaneo· ella

temperatura , 't' [uniforme] quando sia

( 14 ) 5 J, e. t (p l't) I) t'(. ::: 0 . I H 11t~ lly c. ~

per ogni seelta del vattore solenoidale

Ponendo

) Y't (0 (:t') I" ...

con q = r per s = r e

la (14) puo sostitllirsi con

sempro per ogni scelta del vettora solenoidale Jt (p~). Uno dei Lammi del n.2 del cap.II ronde la (14) equivalente el­

la condizione ehe esieta uno scalare ptt) (P.) [neccssariamente

unico e parita di cpt't')]per il 'luala rieul ti

.2. 'Of)!. ~ , (IC")

( 15) 2:..1:> ~.- ~ 4>~ t "" -, e l I 6~~ 4.

, l't") ,~ \1l') 'I(

If[i l:::) r N -., '. -2.,..) -; cioe oeista uno scalere p 1:' (Pl() ta.1.e che, intendendi> [efr. (10)J

(16 ) lr) == l1:'~ tr.) -= /'\ )( td \1'

~ \'" 1 -, 'i~ i

36

risulti

( 17)

\,c')

o X~,';. -------() ~ ~

... 34 ~ A. Signorini

V:ii.cne insornma stabilito di chiamare 0. " configurazione di equi­

librio spontaneo alla temperatura 't' " quando in corrispondenza

a 0., per T ~'t' , lc forzo intime atti vc [complctamonte defini"tie

pcr T:; 't" dalla configuraziona del 5ist ema ] siano tali ,che 1 'iE­siemc di tuttc le forze intima lattive e v~ncolari~ possa eg~­val ere a zero pOI' ogni parte di 04. Apprasso una configurazione

di eqnili brio sponstanco alla tomporatura '1" verra indica.ta con

C l' •

I.e (15) implidano [cfr. (II, 5)]

( (" \:" ) I" (-r). (18) J etc" ~1 ~~ {q;:' { t aWp ~ ~(w

C*. * ~ per ogni scelta di { (P.). ."

- tr) - l-c) X \T) Indicando con t } If '\ t 't~ i valori medi di

11.lt), 1,:t) v. t·te) ';n ° d 11 (18) b f'l (13) T ~,!. "'1:... ....' a a en ac~ mente s1 cava

rii

_ l,;)

(19 ) X :::0 (r,s = 1,2,3) ~':>

Dire cho ° ds. uno stato naturale di Go alla temperatura T . ~) ~. [1 ] .

, se If e un'omotetia vettCll."iale per ciascun P" : e un

caso particolare del precodente, perche l'ipotesi

If){J) :::= to\.T.) =(:d 1\ - '2, - If, 1

rende ovidentemento soddisfatta 1a (14)".

(13) Basta specializzare le singole component1 di ~ (P~) in fun­zioni lineari arbi trarie delle y [spostamento omogcnoo 1

37

- 35 -A. Signorini

In questa caso particolare 1e (15) si riducono a stabili­

re l'identita del parametro di ~l'J.) con pC"> , insieme a

It') Xrs == 0 (r, s ::: 1, 2, 3)

Insomma vieno convcnuto di chiamare C. "stato naturale

alla temperatura 1:' " quando in eorrispondcnza a tale eomigura­

zione per T : ~ ,1e forze intime attive siano tali ehe posse.

iden"Gicamente anm41arsi (efr. (16) 110 stress totale.

Subordinatamcnte all'ipotesi che c~ sia una C~ , perche

si tratti di uno stato naturale di G~ basta che sia k.::: cost.

e :! non dipenda esplici tamonte da l' : Gf omogeneo in C ....

Invero allera ciascun 'f~ .. t) non "potra piu differire dal

suo valor medio in C. ,onde !fl'T:)dovra essero [cfr. (19)} - \~) l'C)

un'olD.otetia vottoriale, costante 0 di parametro tv ~ f" . 5. ~RASFQRJ·J:!LZJ:.c~~_+-.~S.<?TEIlME, J#:,IORO DELLE FORZE INTn~,

Ormai sistematicamento intendcrb che, do po aver fissato in

un modo qualunque il valore di~ , si sia potuta assumere per

C~ una C 1:' •

Nei nne seguenti verra imposta a C~ anche qualche altra

restrizione di carattere pen~anente, comunque fin d'ora e oppor-

tunc tener presente la convenuta idontita di C~ con una Ct' spe-

cificando la notazione .1( {.I T i r.) in 1't" (r: \ T) p~) . . Definisco il potenzial~._isotermo W~ ponendo

\(Il £\ f. ) " ~. t 1~~ \'1') p.) - J .. (0\'<; p.) 1 limitatamentc al1e sestuple di valori delle E, per Ie quali

riesee [efr. (5) - (5) IJ (20)

38

-36 -A. Signorini

definizione cha senz!a.ltro implica

tft~) _ 1'0 W~ J ~ -L ~ f~O

e cosi traduce la (14)" in una restriziono di carattero globale

per i valori delle [) WI\', I') f, 1t -::: 0 •

In una trasformazione isoterma, con T =~ , cha 8i inizi

da Cll' pOI' ogni, singo10 elomento. di G~ [efr. (11) 1 i1 lavoro

dello forze intima resta esprosso, in funziona doi soli valori

finali delle t~ , da - dC*o W~ mantre Ie (7) possono specifi-

carsi in

(21 )

Prendo ora in asame una trasformazione

si inizi da C~ e dipanda de un paramatro A to accennarla con C It' - C').., a intendere "A, = 0

isotarma di G~ cho

Potro semplicemen-

por C"- ~ C*,o

Indichero con 'i (P .. ) ;l ) (;., , ece.

i valori delle t, eorrispondenti a

Posto

(22) Vt,lt) ::: r \Xi ~ ( f. (~ ),) I r. ') d C Jr )

C*, il lavoro delle forze intime inerante a C" -+ C A. [certamonto

nullo quando C~ differisce OR C) solo rp~ uno spostamento rigi­

dO] reste espresso da

(22)1

Riguardo a una quelunque,

1ari, vettoriali o~ omografiche

(23)

~. (P", '). ), delle funzioni sca­

inoronti a ell ~ CA. intondero

1(O)~.)"" t~., ~ I t)(~ ~~~: ~~ I~ l,~

39

-37-A. Signorini

Con queste notazioni Ie t ~1) non dif:feriscono da cio che

danno i socondi membri delle (14) / per ~ i' d? mantra risul ta

(24) l'l.)

E -~

( q = 1;2, ••• 6)

l<l)

~I( :::: con

l2.] \'l)

1lt A,v 'll{.

(25)

a

(26 )

La (20), in quanto non diffcrisce da I d = 1, equivale a ~

3

(27) I ~ + I 1\ \I..'l~~ + 1, Il v"L(J :::: 0, I "I. n t ].

Derivandola 1,2, ••• n volte rispetto aAc poi ponendo

A = 0, si constata che il vincolo di incomprimibilita si ri­

flette in precise restrizioni por ~(1), ~(2), ..• ~(n). Riguar­

do a s(1) ad s(2) esse sono

(28)

c anchc per n >2 8i trova una restrizione del tipo

(29 ) div sen) p-~

N n

con N funzione nota delle tv (1) n rs '

non delle J\A.I (n) • rs

Vv (2). rs ' ... .u... (n-1)

rs t ma

40

- 38 -A. Signorini

Approsso intondo

M.(1:) ~_ 1- )'l W" 1 - L (j,l:: 1 1 2, ... 6), JI. h.)t j

1 t f. :.0 e indica conW't' (Z.l' Z2, ••• Z6; p.ll ) .. VII( (Z I P,.) 1a forma

quadratica

~ t M t~) It) (1. 2 ~ ~ 1 Til £ 1 t ~ J ~ (. + fv 1 f J( \ + 1,'L ~ 11+ 3 J

Hiesce pure comodo - in corrispondenza a ogni \ (P*) -

indicare con Q't'[ dll dP~; P,*] la forma quadratica-nel1.e nove

'l> ~ J[ /0 Y ~ defin! ta, col concorso delle (14)', dal porro

[ cAt. ] • P.) \ 3 11:)0 t () ~l Q't' J - ) P It ::: W" ( ..t,. t ~ J - -' ~ b) ')( -1 Z ~ _ Xh ~ 'V ~- • IJr" ( , (1) I ~~ (Ill.., JK

Invoro, accanto a vt O,:: 0 0 V~ = 0, modiante opportune

trasfO'rmazioni si trova

(30) l'l) 5 - <1 ~ (,) 2]

V -r = 2 Q 1" l ~ r. i "' d c,,, . C . .

Si noti ahe in q:e sta ospressione di V ~~) la funzione into-

granda non ~}~~19~ ~(2); corrisponde a una forma quadratica tlJ -

nolle sole .AA: La coofficienti goneralrnonte J.:~PJIl0(mtj da '1101 p.] che si riduce a

( l'l (I) ~~)

W't lA 1\ j I.tu I U 33

tutte 10 vol te che C't' e sta to naturale di G ~ •

Basta cha ogni \,(., III sia linearo nelle y [Cioe s (1) corri-'L ~ -I't:')

sp~nds a uno spostamento omogenco 1 pcrche - indicandG can M

i valori medi degli ul'C') in C .... _ la 00) possa ridursi a rs rs"

(31) V. ~z.) _ ( )1 M t~) (l) (,) _IJ:Yc ~ / Vj\~·~ (f (I) \"- \

" - 'l' it jt!J t, +t \~ h\\ }T~t \.tH ,) )-

/

41

- 39 -

A. Signorini

l \) In particolarer basta che J) corrisponda a uno spostamen-

•• • •• • [ II) _ ~(I) -_ _ (\I) 0 J to rl.gl.do l.nf1n1 te S1mo . t (" - £ l. _ •• ~ ~ _ c, ::: perche si annulli anche v~) ~ senza bisogno di alcuns restrizio-

ci· . ne circa la forma effettiva di ~

Invace la proprieta invcrsa~ cioe la condizione che v~2) 6i annulli solo se -?(I) [necessariamcnte solenoidale 1 corri­

sponae a uno spostamento rigido infinitesimo, ma ha una validita cf

aLtrettanto generale. Ammcttendola si escludo ad es. che Jr possa non dipendore in alcun modo dalle f ~ [liQUidi perfetti]

perche in tale eventualita [come e ben naturale J riesce

V~ ~).,) ::: 0 ,

o o 0

42

- 40 -

J.. Signorini

lVO

SOLIDI INOOMPRIll.[IBILI PERFETTAilENTE ELASTIc:[:

1. PRDPRIE:t'~' P'RJ]~q.j[P ALJ:_ DE LSQlJIDJ,. )QrcQl.IP@frI)~:g.LPEB!.ET.T.AM.:2:l~=

.!l:E ];lJ.A~J.9_.;r.!l..

Per un solido perfcttamente elastico incomprilili bile a te!)l

peratura costanto, Ge , in corrispondenza a ciascun valore ~

della temperatura dontro un corto intervallo ( 1::"1) 't'". ):

10 ) esistono delle 0t'; 2°) tra di esse co ne e qualcuna,C,t"

a partire dalla quale i1 lavoro delle forze intime riesce nega­

tivo per ogni trasformazione isoterma finita 0 infinitesima,

che differisca de. un semplice spostamento rigido [ma si unifo£.

mi al vincolo di incomprimibilita ] •

Non e detto che 0"1:' debba dare uno stato naturale di Ge,

In quanto ora ho convenuto e invece implicito che a partire de

una elL' se ne ottiene un' al tra, solo mediante uno sp ostamento

rigido,

Appr~sso, insieme ella specializzaziono di Gf in un Ge ,

sempre rimarra sottintesa quella di e. mn una C~. Quindi, ri­

prendendo tutte le notazioni del n. precedento, certo avremo

[ subordinatamente al vincolo di incomprimi bili ta 1 (1 )

ogni qualvol ta C ~.- C~ non si ri,cS2'lf"'" (9l . ,

do, e in pin proprio V t .., 0 "1.0:

1 [ J -1(1) 1 Q,: ~ ) p"J dC lt

c d..~ (2)

M;

ogni qualvolta 1l' [sia solenoidale, rna] non corrisponda ad

uno spostamento rigido infinitesimo. Ad es, [cfr. (IIId1) J oi dovra intendere

43

- 41 -

ilo Signorini

almeno per ogni sestupla di valori.non tutti nul11 delle Z cho

ver1fichi l'uguaglianza Z1+ Z2T_z3 = o.

2. UN rEOF-EMil. Dr UNIClTA' NEI,LA STATICA ISOTERMA: 1'REMESSE.

In questo cap. mi occupero solo di queationi di Statica

ieoterma: T cost. = 't: •

Anzi s1 trattera solo della ricerca di configurazioni di equi­

librio forzato corrispondenti a profissati valori attuali delle

forze di massa e di tutte le forze superficiali esterne.

Riuaciranno comode le notazioni abbreviative

C. 1:.-t J~~~)dA~. -tf~V~~)dr~:: R[~)~], H Cr,) ~ A~.)d(. + ~ KG.) A ~((J.~)di:. ,.1'\ U ; A)!o'] J

riguard~'lJa una generica coppia ~!, ~ di vet tori assegnati in

tutto ° 'It e ad un terzo vottore 2 che sia ass egna to almeno au

tutto I: . ,. Gia nel n, precedente, ho s·tabi ti ta ~a specializzazione

di Oil in una c~. Convengo anche, una volta per tutta, di assu- _

mere per 0 [origine della solita terna di riferimcnto~~ O~IS.f.~JJ un punto di ° YI •

Per detorminare, insieme a p, l'incogniia configurazione

di equilibrio forzato ° - problema equivalento ella determina­

zione di p e di 1',.1' = ~ in funzione di p.- abbiamo gia [efr.

1e (5)-(5)i, (9) e (21) del cap. III] 10 equazioni indefinite

0)

con

I do - 4 3 -

e 18 condizione al contorno

44

- 42 -

;,., Signorini

(3) "

Naturalmente questa sistema implica Ie due equazioni car­

dinali della Statica riferite a C:

La prima impone un vincol0 ossGnziale ai pt:' ofissati valori attua­

'" Ii di ! e di ! , la secpnda corrisponde a una propriota globale

degE incogni ti OF ::: O1')f + !1 (1' lII:).

Appresso intendero sempre cho sia equilibrata anche la

sollec~tazione riportata allo stato di riferimento, difinita, na­

tural~unte, come l'insieme j dei vettori elementari (1' ,k F) ... l' ~-

e (Q ,f d ). In al tri termini intendero sompro cho, accanto

a (4)1' si abbia pure

(5) M [ 01'*; kll !, E'll ] o~

oio che per i1 teoroma di D a S i 1 v a a1 ¢u avra richiesto

di spocializzare l'orientamcnto di C~ attorno ad 0, finera del

tutto indeterminato: gli orient~onti di C. compatibili con la

(5) sono s empre almeno quattro.

Oi troveremo a prondero in sn(lc5.RJ'1 COYJs:i ° !H'P 2',ione gli

assi di. eguili brio di. cJ • Aeeonniamo con M,. una retta orienta-~

ta per 0 e con ~ il suo versoro. Defini ta l' omografia V ponon-

do, por un qualunque vet tore costante x,

\>x : r1 ex 1\ Of> • v~ F to""J-- L 11 , '(<<- I! 1e.u... e asse di equilibrio quando risulta v~:::.O; porche ogni

~ sia un asse di equilibrio - cioe perche la solleoitazione ri­

portata allo stato di riferimcmto sia asta.i!:.§ - oocorre e basta

che sia V = o.

45

A.. Signorini

3. ENmiCrATO DEli ~EOREWJA Dr mnrJIT1J. I>

Certo, assegno.ti! (F",) e !If''(Q ... Lil.si&"teJlla (3)-(3) '-(3)"

non puc da solo individuare s (F,,) e P (F:,.J, perche 0 e 'P' esat­

tamente restano ~nvariate in ciaacun punto di C_ quando a un qua­

lunque ! (F"t) si aggiunga un vettora costante, corrispondente a

un'arbitraria traslazione di C 0 C •• Per eliminare una tale inaa­

senziale indeterminaziona basta assumore

(6 ) s (0):; 0,

cib che rimarra sottinteso in tutto il resto di questo c~pitolo

[e pure in segui to J . Anche dopo questa convonziono non e detto che i1 sistema

in esams univocamente determini la configurazione di equilibrio

forzato [ inaicme ad ~6 (FH) e ot~ (p.) mentra e subi to

visto [Cfr. (I, 11) ] chese cio ai verifiea resta pure univoen­

mente determinato p (P*). Fero non puc accadere che si presenti

un I indet erminazi one analoga a quella della teoria classica -

c10e che si abbiano due configurazioni di equilibrio forzato

[ con 1e stosse forze attualiJ differenti l'una da111o.ltra per

una semp1ice rotazione 6t. d I insicme - a mono che tutte 1e forze

o1emantari di j. ammatt.~l1o 1[; st~_s_'?§o direziona [dostine ta a

eesere qual1a di iit] . In ogni al tro caso si trova cha un I in­

determinazione di ! (P~) dave riflettersi anche in una qualche

indeterminazione della deformazione pura.

Feceio ora intervenire un comune parametro moltiplicativo

.&' per tutte 1e.!' (Flit') e !- (Q.), cio che eq~Vale a sostitui­

re il sistema (3)-(3) 1_(3)11 con 10 equazioni indefinite

46

- 44 -

A. Signorin.i

e la condizione al contorno

(8)

La specializzazione di C .. in una 01:' a 1a ulteriori con­

venzioni (5) c (6) permettono di stabilire senzs alcuna 1ncer­

tezza 11 aeguonte:

TEOREMA DI UNICITA'. So aaiata una aoluzione

!. (P*, ~ ), p (P .. , fJ) del tipo

h :') co ~ /I'v (w) .) l~) f)O ~ III ~:>') (9) J:,{., ~r;:· L;- ~-I- ~ (p~)} ""/p* ,.t = ~ +[4111" (P1f)) ~. \. I <V\,

e8$a J2eceasariamente e unica qualora ~ non ammetta alcun '.If-

aaae d1 equilibrio. La stessa unicita persista ne1 caao 0PPO-eto almeno quando si aggiung'1 oJ. dati 1a componente di· .

- 00 ~ tfv ~) ~ "t,v) ::; 1. [~tp 1.J ; I -!-Po

\ t .. 0 t""fV\\ secondo ogn! asse di e quilibrio.

Per dimostrarlo, convicne in primo luogo ri1evare che la

(4)2 non subisce alcuna modifica per l'intervento del parametro

indeterminato .;r e in corrispondenza a (9) a1 aCinde, tenuto ~

conto di (5), nelle 00 ugUllglianze

(10) M r...., L¥ \ '- - r ~ ] =- 0 - l: ) 1\.!: I!

mentra 1a (6) ai traduco in

(11) ! (n) (0) = 0 (n= 1,2, •••• )

e 1a cond1zione di incomprim'ibi1jf~ [Cfr. (!Ir,?8)-<IU,29>]

(12) d.i" (I) ::: 0 ~V 1illt.)= N L~) (.1) L~ 1 p .. 1> ) f',.- . ~ ,Mo,,,, ,fA." ~ 1'" 4Ai" I))

(IV\-:: ~)3 .,' ) ..

47

- 45 -

J,.. Signorini

Lo (10) e (11) vanno ordinatamente associate agli ~ • sistemi lineari - sistemiausiliari - cui le (7) - (8) danno

luogo se leai derivano 1,2, •.•• n volte rispetto a ~ [esPli­

oi tamente e implici tamente J e poi si pone .{)" = o.

4. PRIMO SIST&i. AUSIIilARE'),( ESTENSIOHE Dr. TEOREMI CLASSICI AIiIiA_

1EQRIA LINE.li.RIZZATA D:::Ii!i"E.~.£W".l9ITA' Dr SOLIDI n:.N,9sm~~~!4.

Deriviamo le (7)-(8) una sola volta riapetto a ~ e poi

poniamo ;] '" o. Si ottengono cosi, in aggiunta a (12)1' 1e

con

Le (13) possono dunque considerarsi come un sistema del tipo

(II,2), con

t F d. r • t.) .2 \1-) (I) (')"l1:) L (I) o = R lk- ... ) __ ~ 1 , r::; -~ - p ~ -rot r ) D ~ r ~ anzi, in conseguenza delle (14), per i coefficienti g della rs { vengono

( 15)

a sussistere tutt~ let~guaglJianze

001'1 d.~ ; p~ L- (.1" PlY'

48

- 46 -

A. Signorini

Le condi z.ioni im.po.st~ daL:primo .6;i.stema ausiliare al vet­

tore solenoidale s(1) possono dunque risssumersi in quella

[cfr. cap. II, ;;-.21 che per ogni ~ (P~ solenoid.ale sia r ~ll) -

(16) fd( i".)t", )Q~;Plkl=J(~)(~ ... fol(.+(~)(f*~l'" *-" \'~'. oy bUl l') _.. )- I "

c ~ ,,~ c. ~ If 1'-~)I.

In sostanza, Ie (2) e (16) differiscono dalle relazioni

che loro corrispondono nella teoria classics dell'Elasticita solo

perche a1 posta di una forma quadratica in sei variabili (poten­

ziale elastico) figura una forma quadratica in nove variabili,

la Q't' : ~ (1) e ~ devono ors intendersi solenoidali, ma que­

sto non toglie che se si riprendono Ie dimostrazioni ormai abi­

tuali dol teorema di CIa p e y ron, del teorema della mini­

ma energia potenzialej del teorema di Bet t i, ecc. automatica­

mente, quasi direi, si e portati a riconoscere che le conclusio­

ni non subiscono modifica nel passaggio alla teo ria che puc avere

per base l'in~ieme delle (12)1' (2) e (13)-(14): teq~ia lineariz­

zata dell'Elastos!.~.!t~_£L~91_.:Ldi ip.£o.mpri!Ili bili.

In particolare, si riconosce subito che per ! (P~ ::=; 0, ~ .

~ (Q*): 0 il sistema (12)1-(13)-(14), subordinatamente alIa

prima delle (11), rende necessaria l'identita di s(1) con (I)

~DAOPll<' Basta allora osservare che in corrispondenza a una tale

espressione di s(1) la prima delle (10) si riduce a (i)

\>!£o =0.,

per compiere il primo Po.ssc nella dilllost'razione del nostro teo­

rema di unicita: il primo sistema ausiliare risulta atto alla

completa determinazione di s (1) (P*) subordinatamente a (10)1'

a (11) 1 e - tualora sia I ~ = 0 - alIa conoscenza della com­

ponente di W I) secondo Ci:scuno degli assi di equili brio di ~>IL' -0 .'"

49

- 47 -

A. Signorini

5. SOLIDI OMOGENEI IN C'IS. La Qondizione di omogeneita in OJ [cfr. cap.III n.4, in

fine] permette di ridurre Ie (13) [efr. anche (14)'} a

(\) . {'" It).. 0;::-

(17) R.f ::::; ~'1.Qilf'«~"'" .. ~;V:) ~ ~!! .. ,,'. ·t- lL

con

cib che equiva1e a dire che i coefficient! X(1) della ~ (1)

- quando si adoperi per essi 1a solita no~zione a un solo in-

dice e 8i intende b, -.: 0 0 £~;: \ secondo che q superi

o non superi 3 - restano espressi da

(18) X (I) _ ~ ~\I) _ OWtl::.L (q::: \1~1' •• (,J. , - ~ I "0 ttl) \)

I't,') 1 (1:) Al tempo ste 8S0, insieme a p~ e agli M ,si riducono a

rs cost anti tutti i coefficienti della forma quadratica UV~ e

proprio ad essa rimane impasto [dalla (2)'J di essere posi­

tive per ogni sestuple di valori non nulli dei suoi argomanti

che verifichi l'ugueglianza ~j 1'" ~2. + 5~ = O. Ammettero (14) che addirittura si tratti di .una forma de-

finita positiva e indicherb can mjt = mti (j,l = 1,2, ••• 6) i

coefficienti della forma quadrati!"'') ,,'t.t;' reciproca di 2 W", '

cie che permette di sostituire la (18) can 1e sei uguag1ianze

sealari

( 19

(14) Una tale ammissione e certo legittima per Ge omogenei e isotropi [v. 18 (30) del prossimo cap.} •

50

- 48 -

A. Signorini

0081 luogo all'equazione

?, '" h) lll) o ==-4- j ~,t'M if, ( ~t ~ - X't '

donde 61 puo ricavare p(1) oome funzione 1.ineare omogenee.

xi1) • Precisamente, posta

R = t. ¥I in::: ~ t-r ( ~ ) ~ I ~ 0 J 0 I 0) ,. 0 IJl L- )

8i he.

degli

iI Ad ea. ogni qualvolta ~(P~) e ! (Q*) siano tali che Ie (17) re-

stino completamente aoddi6fatte dall 'assumere per i singoli X(1)

certe funzioni lineari Ll di Y1' Y2' Y3 [magari delle costan­

tiJ Ie concluaioni del n. precedente senz'altro assicurano la

necessita di tutte,le uguaglianze

(20)

pel semplice motivQ che le espressioni da queste fornite per 1e \I, aingole tj - lineari in Y1' Y2, Y3 - certo si uniformano alle

condizioni di congruenza di deS a i n t ~ V e nan t.

6. TEORIA LINEAf!.IZZAJA: ___ '£.~_ZI0NE.. S~PLIC~ DI UN CILINDRO OMO-

~.

Suppongo che: a) Ge si presenti in C~ come un cilindro

retto omogeneo, can Ie generatrici parallele a 03; b) si possa

aasumere

costante non nulla, insieme a E(P.) = O.

Oi 8i trova proprio nel caso contemplato in fine al n.

prec., con L3 == -t3 eLl soper l:f 3. Quindi [cfr. (20)]

51

- 49 -

A. Signorini

c.e;to eu.esiet.onc> tut:te 1e ugu.aglianze

(21)

Posto

(22)

facendo intervenire 1a dilatazione

m1 ~ ....H!5-. 2 2

~ .- .l!!L m2 ~ 2 2

...!!!.5- -1I!L m) 2 2

le (21) possono risssumersi in 3

v) t" ~ ) t1 '\ 1M f. = 3" ,r::: - if ~I(. 10'

Dal.la prima [tenuto conto anche di (11) 1 ] subito si ha t in tu1 to C wll). (I)

.' - = ~ fI e

i ~) :; ~~) A 0 Pit + r~ t ~ p * ) ) oio che anche per:atte di specificare 1a (10)1 [cfr. b) 1 in

(23) ) dI"l,!!~\op"d.t~P.)}AS,N>=O . Z. 0

E' ben facile riconoscere cha questa equazione per uo equi­-0

vale a

~~ =. t3 S ( ~ ~) J\ ~ ~ (.)

se 81 chiama ~ -M 11 componente di <.e normale alle generstri-

52

- 50 -

A. Signorini

ci del cilindro. Attualmente la solleeitazione riportata allo

stato di riferimento ammette come asse di equilibrio ogni retta

parallels 8.23' onde e ben naturale [efr. n. prec.IJ che 18 (23)

non riesca 8 determinare anohe 11 componente di 'E~) parallelo

a .23"

7. POSSIBILITA' eRE NON ESISTA ALCUNA SOLUZIONE DEI SISTEMI

AUSILIARI SUCCESSIVI AL PRIMO.

Dopo quanto e state stabilito nel n.4 riguardo al primo

sistema ausiliare, per completare ls dimostrazione del teorema

di unicita enunciato nel n.3 6i pua sdottare un procedimento ri­

corrente. Veramente, a partire ds n = 2, !(n) non e piu necessa­

riamtlnte solenoide.le, ma cia non de. 1uogo a intralci; la forma

delle (12) e tale che [stabilita., subordinatamente alle prime

n-1 delle (10) e (11) I 1 ''lUlicita. della sol\lzione dei primi n-1

sistemi aUSi1iari:l ai ritrova ls condizione di solenoidalita

per Is differenza di due soluzioni del sistema ausiliare n. mo •

Approfondendo 1'esame dei sistemi ausiliari si riconosce

che la struttura di eiascuno di essi e tale de implicare certe

condizioni di integrabilita, che risultano senz'altro soddisfat­

te per n = 1 in conseguenza della convenzione (5), mentre per

ogni n > 1 aggiungono proprio ls (n-1 )ms delle (10).

(24)

In genere si tratta di una circostanza favorevole: come gia

e affiorato nei n. pree., se 1a solleeitazione riportata allo st~

to di riferimento non ammettc aleun asse. di eguilibrio, per eia-&-l}

seun n )' 1 1a (24) non fa che individuare ~ 0 ' col favo-

revole riBultato di eliminare ogni indeterminazione in ~(n-1)(p~). I

Ma anche per solidi incomprimi bili, ci Bono casi di "incom-

patib11ita." in cui, fin del 20 sistema ausi1iare, le eondizioni

di integrabl11ta non possono essare soddisfatte, 'a sviluppi del

t1po (9) perdono ogni significato, indipendentemente de ogni que-

53

- 51 -

A. Signorini

stione di convergenza.

Per dare di questa fatto un esempio semplice cd espressi­

vo, intendo che: a) Ge si presenti in C~ come una piastra ret­

tangolare omoe;rmea [parallelGPiPedO retto rettangolo 1 di ba­

ricentro 0 c spigoli diretti come '~, ~2' 23; b) la piastra

aia soggetta a una doppia sollecitazione a flessione, e preci­

samente [dOPO una conveniente numerazione degli assi coordi­

nati] si abbia (15)

f * -- f: ~ flk 11 :::: a.-yt N, # bYJN t I ~:: 0 ... ' z.. j. )

can a e b costanti non nulla, insieme a ,!(P.) ;;0.

Anche qui ci si trova nel case contemplato in fine al

n.5, ma con

L 3 ;::: L 4 == L 5 = L6 ~ 0 •

Per il mio scopo bastera profittare delle (20) solo in

quanto [come e facile controllare J con Ie notazioni (22) esse

vengono a imporrs, in tutto C.." 1 'uguaglianza

(25) ld ()~I) - I -

e3 = ,y: = - ~J'J. *'t - '0 71 WI~

(15) Si tratta di una J)V astatica [v= 0].

54

perche: 1°} la

che i d erivati

tutti costanti;

in C :fI] .

- 52 -

A. Signorini

(,) ~- (1) l linearita delle singole S. e ~ . implica () j rs ~

parziali secondi di s 1 rispetto alle y sono

2 0 ) la 7: e terr:a centrale di Ge [omogenoo

La prima componente M1 dol vettore a primo membro della

(26), stante la (25). e data da

M I -= .M\ 1 \!'l; b f y~" J,c 1It

C'" e quindi 6i annulla solo per m1 = o.

(16) -Insomma, basta cha sia m1:t 0 perche le condizioni

d'integrabilita del secondo sistema ausiliare non possano BS-

sere sOddisfatte.

(16) Per un G omogeneo e isotropo Lv. la (32) del cap. seg. ! viene a iliancare ogni possi bili ta eli eccezione, perche no·: cessariamente risulta ffi1 < o.

a o 0

55

... 53 -

A. Signorini

V.

SOLIDI OMOGENEI E ISOTROPI

1. Ge OMOGENEI E ISOTROPI.

Anche per un G converra dire che e OMOGENEO E ISOTROPO e ogni qualvolta alle proprieta principali dei G si voglia ag-

e giungere quella - e unicamente quella - che il sistema risulti

omogeneo G "isotropo" in C1;" eomunque s I intenda seel to 'C' in

(~ "".) \ I 1 L~ •

La condizione di omogenei ta in C JI 3 C-t da sola implies

che: a) neppure W't' dipende esplici tamente

delle ~~): [oW,,/;) t ~J ~ : () da p.; b) ciascuna

(-t')

ciascuno degli Ml't') he uno stesso valore

uno stato natura~: [efr. cap. III, n.4

onde valgono tutte le uguaglianze

(1)

, l§ P e

in tutto ClII; e) Clil db.

alIa temperatura t' ,

d) alIa propriota globl!.1,.£ (IV, 1) si puo sostituire una proprie­

ta locale, quella ehe, almena q'lboTninatamente a.l vincolo

(2)

sia

(2) I W't' (iltz. . " ~(.) ~ () ) ..... c: - 0 . col segno = solo per E I ::: t~ .:::, ., - ~ - co 6 - ,

e) analogamente la (IV, 2) equivale alla condizione ehe per

(3)

56

- 54 -

A. Signorini

sia sempre

col segno = solo per z1 = z2 = ••• = zfi = O.

oensarePer trarre da1la (IV, 1) 1a necessita della (2) '-(2) basta

/omogeneo 10 spostamento C1(-+-O).: Per quanto poi r:Lguarda e),

stante 1a semplificazione cu:ji da luogo nella Q't' l'essere C. sta­

to naturale, non Cle che da riehiamare le (IV, 2)'.

Passando al1a proprieta di "isotropia", naturalmente la

intendo espressa della condizione chc tanto W,,;' quanto il poten-

zialc tern.odinamico ~,,; ( t \ T) dipenda dalle f.. • solo .J ~

per il tramite deg1i invarianti principali dideformazione Lefr.

oap. I, n.B ] • Il vincolo di ineomprimibilita a temperatura

uniformc,

~ (q ~ {( T I 't , p.) J

permette di pens are solo a I I t. 1,2 0, ci <> che ri esce esat­

tamentc equivalente, solo a

restando c091 imposta a ~~ un'espressione del tipo.

S1 puo dimostrare che, quando si vari ~ in un qua1unque

I l- -) f al tro valore 1:" della t:mperatura dentrol. \) Lz. 1a de orma-

zione di una eli:' in unaC't! "'pve corrisponder~~_@a semplicc

similitudine. Se ~d es., per ciascun 1::" in l't, J "("2.)' si indi­

cano co,:: kt' ed 11:" la densi ta c 1a 1unghezza della. mas sima corda

di una C't" il rapparto di similitudine tra C" e C-r/ reste csprus-

so da 1-':1/ 1t" e insieme all'uguag1ianza

57

- 55 -

A. Signorini

(6 ) k ~"13't"

8i ha la precis8zione d1 (4)

2. CONSEGUENZE DELLA (5).

(8)

con (17)

(8)'

()

(8)" '0 III :::. 1~ - tit DE. .

If.,

In definitiva 10 (8) p08aono riassumorsi in

(8) II, <.P .... ~k } 'l£ + '()f ~ +~JI-~~)J(' I - 'It l '0 ~. '0 ~\

Una prima co.nseguenza di questa uguaglianza e che - per

ogni elemento m. del sistema e in corricpondenza a una qualunguc

sua. tras~ormazion: - ~a ~ilatazione f deveammettere come dire-urutGo t1J.tt~ le.dJ..J;'eZ10.m.. d' h z~onll pr~nc~pa.LJ. d1 dOl0rmaZl.. one: don e oV1dontemente segue c c

10 stesso deve verificarsi per Ie due d1latazioUi 8

. , I..J 0 Lf -= JJ ll\biO-lj .

(17) c~r. 1e(I, 21) c (I, 20). Anche qui 81 intende SQ == per q ~ 3 e ~~ == 0 per q .,. 3. I

58

- 56 -

A. Signorini

Basta a110ra pens are seritta la (III, 13) eon referenza

alIa [0 ad una] terna prineipale di d eformazione di m [e fa­

re intervenire 10 earatteristic4e principali di deformazione

Er ] per riconoBcere che tale equazione secolare di terzo grado

attualmente si spezza nel1e tre equazioni di primo grado

(9) SI(,-t := -!k't/ t+~E~ ~lf-+ ')~ [(h~E't.~·J+(I+tE'l1"~)l t l ~"i OJ) , j

~:: \1~1)) In pill. [efr. ancora III, n.3 e I, n.9] rimane stabilito

che ~ deve ammettere come direzione unita [ direzione princi­

pale di tensions] ogni direzione principa1e di deformazione

de110 spostamento inverso (18).

Appresso e aecennata coh

F(E»

la funzione di T, ~ e delle tre E - pensate come indipenden­

ti/ -in cui s.i converte la F (c'>~ ) ;}~ 1 T) t" ) mediante 1e

sostituzioni.

e invece con

1a funzione di T, 't" e dei tre allungamenti principa1i b. - pensati anchiessi come indipendenti - in cui si eonverte 1a

stessa F mediante Ie sostituzioni

(11 )

(18) QUGsta proprieta potrcbbe ancha assumersi come definiziono della "isotropia" in C >It.

59

A. Signorini

81 trova Bubito che 1e (9) equivalgono a

( 12) 61(, - t ;: Ie) 0 \+~EJ( ')F~ {w _ I " '1

~- _ \."- )""I?

~ oE-\ Facendo intervenire 1 f1' al. posto delle E e profittando

del fatto che e

( 13) Si = Q +6,X \ + i:>..X h I!. 0 le (12) si traformano in formule analoghe a quelle di A 1 -

man s i:

I secondi membri

cienti principali di

0t-4ttl)Q+b'<+0 D A~ delle (14) devono ancora dare i coeffi-

restano quindi aoquisite anche le semplici espressioni

I 'dF (A) 'Iit,, __

') /;; If.,

(15 )

per i coefficienti principali ~ della dilatazi one d.!) ~ •

3. PROPRIETA' INVARIANT IVA DI cf Vrt: #

S1 deve anche ammettere che la struttura della F (~~) ~\, J

T, 't' ) abbia carattere invariCl.:ltivo l'ispetto all a scelta di"t" :

fisicamente non potrebbe avere alcun S<'TISO 11", ~ "",1 ~d Bsi privi­

Ie gio per qualche valcre di 't:' in ( 't"' l' 't' 2).

Per precisare Ie conseguenze di questa "~ieta inva­

rie.ntiva Ili :J:, II converra. in corrispondenza a una qualunquc

't: ':1= ~ , accennare per 1Ln momento con E.' l' omografia di '( I Ii;'

deformazione inerente a C 'ffi ~ C, con eli to V t l' invariante

primo e l'invariante secondo di 1 + 2 £1 •

60

- 58 -

A. Signorini

Equivalendo C-( .....,. '0"" a una similitudine di rapporto 11:lt" ben facilmente si riconosce che

O'"~ I'( _ Dt~ ~~ I~:; ~,1\ 'v't' e)~ -. -1.-1:" e> ~ \: '/

La proprieta invariantiva di :t" riesce eunque seuz'altro

sOddisfatta se esiste una funzione

Z't' (g1' g2)

di tre soli argomenti - ~ , g1 e g2 - che dia luogo a

:f~ (, \ T) = ~T Z {~~ ~.) ~ ~1} ~ ( T) , Z t (3,3) :::0

( 16)

con

a q(T) funzione della sola temperatura attuale T.

Ebbene, in una Memoria del prof. Tolotti gia figura quan­

to basta per esser certi cha la propriata invariantiva di ~~ proprio impone, al potenziale termodinamico di un Ge omogeneo

a isotropo, un1espressione del tipo ora indicato.

La (16) evidentemente implica

(17)

cio ehe rivela il significato della Z 'r (g,; g2) e al tempo ste.§..

so [cfr. (2)' - (2) 11e imtone 1a restriziona che per ogni pos­

sibile eoppia di va10ri di 0)1 e ~\ G. il pr08simo n. 8] sia

(17)* Z~li>tl~L) ,?-O )

col segno == solo per j1 = ~ 2 = 3.

3i PUQ aggiungere che alIa q(T) resta imposts l'espressione /t" ~'t' .• ) - J tL't' J:r) d:r I

- T Cp .7' l't') 0 'to

sa si indieano con e f' 11 cal ore specifieo a pressione eostan-

61

• I. -

A. IJigno;rin1

te in C~ [preSSione nulla 1 e can T., 't"o due costanti arbi­

trarie.

4. INTERVENro DELLa SPOSTAMENTO INVERSO.

Anche qui [cfr. It n.9] indichiamo con I l'omografia

di deformazionedello spostamento inverso C ~ C.' ~egata biu­

nivocamente a

dall'uguaglianza

1 + 2 €.It = ( 1 + 2 ~ ) -1 •

Siano

(18)

i due pr1.mi invariant! principali della 1 + 2 i : attualmente

[a parits. di 't' e T JeSSi risuJ.tano in corrispondenza biu­

nivoca can cl 1 e cl 2 , perche Ie (7), in quanto equivale a

13 (.1+21)=

specifica in

(19 )

oia che danno per ~ '" 1 -t 2! le ugl1aglianze generali della.

nota

(20)

62

- 60 -

A. Signol'ini

e 1a (16) in

Appl'esso intenderD

nonche

e

(22)'

stante la (8) I" queste notazioni gia implicano

.(23)

E' ormai tempo di rilevare che [essendo k-r = 't ~T1 Ie (9) equivalgono a

6,-j' = -,,(~ +~,E~)\~T1~+ Q!' [(I.'E\.s~(\ .. tE, • .)'[ \ .' L ) v1 ).>" J

('t=1)t,}). Con Ie notazioni (21), queste uguaglianze [~ome facil­

mente 8i PUD oontrollare ] possono ~idursi. a

B.-t ~ -(l •• E,S{J, ~! +J.[\'l~.r+(\+2E,.J'J .~~ ))

63

- 61 -

A. Signorini

Q iufine. ponendo

C'e in pili il fatto, gia rilevato al n.2, che la

mette come direzioneuni ta ogni dire zione uni ta della 1. • Han . r e difficile riconoscere che· questa circostanza aggiuntiva L.ma

solo essa:l permette di concludere che, accanto alle (24), deve

sussistere l'uguaglianza omografica

~- f = %-1t (l+tf)- ~: 1tlS~+H)'*+H)~;- :it) J

-( "t'

(25)

in modo che ~' 1a d:i.:.ff~:r'enza di due qualunque Ci~1-e ordinarie

caratteristiche di ten.§ione [coeffiCienti d~ ~ 1 resta acqui­

eita un'es.l£,?£.sJone di ..§..econ~do ne11e (r...D (r0 == 1,2,3)

i cui coefficie~ti possono pero dipendere da ~I e .::\ con leg­

ge comungue compl essa, .:f.incJ~.e_}l.oI.l:._s.L~.l?El.c:.ia.±.tz..¥li)'.£ ZT.

5. TRASFORMAZIONI ISOTERME.

Per T ~ ~ la (25) si riduce a

(26 ) ~-f = '11,(14 ~[)- W.~j+2£Y'-0+l~~ + ~~ \ ."

con Ii = p - W 1 ~1' la (8) II, viene a e quivalere a1la sei

64

- 62 -

A. Signorini

e 18 (15) s1 traducono in

1>1( tt·)

~:: I}l) 3) (28) "0 W",

'dA", non appena si accenni con (tl )

W'?;:'

la funzione dei tre 6.'(, - pensati come 1ndipendenti - in cui

e convertita la W-r: ~1'~) dalle sostituzioni (11).

Essendo Ccfr. (8») _ . . \

r ~ I = ~ ~j:: l.l"}:J t 1 0 = I)~/" '))

l t t j J t, -= 0 '" ") ~ j ~ ;: 0 nel formare gli M~'I:) 1a prima parte del secondo membro di (27)

jt. da un risultato nullo se J 0 1 supers 3 e sempre uno stesso ri-

sultato, c, per j ed 1 non superiori a 3. Invece 1a seconds

part!, - (1 + b'j )W2 E. j ,da. - (1 + ~j ) c~~) [cfr. ancors

(22) J per 1 = j e zero per 1 F j. Per 1a forma quadratica di

coefficienti IV!~~} - indipendent~mente da ogni spec~:ficazione de11a Z~ - resta dunque garatita un'espressione del t1po

+ M~1:)Z·~ -= e(z-+z +'i\'JJ_2(!57;)(~ 1./' If w'-) ~jt Jf, J t I 't_ 1v3) I \.Lr't"''t. f- !~" tV'i+3 )

eorrispondente :per la W't' (z) ~fr. (23) e (22)' J a .

(29) W-r (~):::: ~ (~I ~~ -t~\\ E'f: Ii ~~ +!.. i ~ t ) t ~'~ 3 ~ I '( it ~ t I{, h~ .

65

- 63 -

A. Signorini

Ne segue [ senza bisogno di entrare in mari to al s egno di cJ

che la condizione (3)' - (3) per ogni G omogeneo e iso"~ropo e

esattamente equivale a

(29) , E ..." 0; 'If

anzi i1 vinco10 z1 + z2 + z3 = 0 permette anche di ridurre i1

secondo m(;mbro della (29) all a forma quadratica defini ta posi­

tiva

E (> ~ l'; ~\ (30) W,,::: -;'f: ~t ~it.. +- J ~ '( Z/f -1'3) .

Con 1e notazioni dei n/ 5 e 6 del cap. p;r-ecedente, in

corrispondenza a (30) 1e (IV, 18) si semplificano in

e insieme si ha

mrr 3 3 mj1 0 (r=1,2,3; j ~F1), m

r+3 = 2E-r

r+3, E-r

oio ohe ad es. fornisce

(32) m1 m11 m33 m'1 1

= m13 - __ Z o. m11 + m22 + m33 3 2E-(

6. PROBLEMI SEliIPLICI.

Riprendo ora 11 sistema (IV, 3) - (IV, 3') - (IV, 3")

della statica isoterma nella triplice ipotesi che: a) G sia e omogeneo e isotropo; b) possano trascurarsi le forze di massa;

c) esista una dilatazione (20) costante ~ per la quale risul-

(20) Ben facilmente si puo constatare che 1e condizioni p)-c) 81 uniformano al1a (IV, 5).

66

.. 54 -

A. Signorini

au tutto " L. Convengo pure di indicare con -t1, -t2, -t3 i coefficienti

principali di t e di specializzare l' orientamento della ~ [finora del. tutto indeterminato] con la condizione che cia­

scuno dei c dia una direzione unita di Y -s Q

y c = -t • 0 I)-r r-r ( r = 1,2,3 )

Chiamero problema semplice la ricerca, in corrispondenza

a un' assegnata t ' di tutti gli spostamenti omogenei che pos­

sano dare una soluzione del sistema (IV, 3) - (IV, 3 ' ) - (IV, 3")

- (IV, 6).

In ogni problema semplice la (IV, 3)2 ai limita a impor­

re che sia costante anche p: coal la effettiva riaoluzione del

problema viene senz'altro a consistere nel ricavare i valori di

dieci costanti - i nove coefficienti di ~ e la p - dalle ugua­

glianze

Accanto alle (28) si ha che i coefficienti principali di -I

01., sono dati da (1 + .D. r )-' (r = 1,2,3). Questo vuol dire

che per ~~ = 1 le (34) possono sostituirsi con la duplice con­

di zione che: 10 ) la ~ sia teme uni ta della deformazione pura;

20 ) i valori di 6 1, 6. 2 , A:;,e Ii diane una soluzione del sistoma

(35) J

67

- 65 -

A. Signorini

In fine al prossimo n. accerteremo che - almeno quando i

/trl siano tutti tre abbastanza piccoli - 1e sole proprieta

principaLi dei Ge omogenei e isotropi bastano a garantire l'uni­

voca rieolubilita delle (35) rispetto a 111' .A2 , l:J 3 e p: onde.

esiste una soluzione principale delle ·(34), oostitnita della de­

formazione pura ~o che ha come terna unita ltattuale ~ e per

allungamenti principaJ..i quelli che fornisoono 1e (35), insieme

a un certo v,alore, Po' di p.

Si puo in piu dimostrare quanto segue:

10 ) in relazione al fatto che gli orientamenti di C~compatibili

con la convenzione (21) (IV, 5) certo sono almeno quattro, esi­

stono sempre soluzioni delle (34) perlcauali e ± 'T{ 1 t ampiezza

di d. ~ ; 20 ) invece esistono soluzioni delle (34) per le quaLi l'ampiezza

di ~, non e mul tipla di 1f solo se e nulla la somma. di due dei

ts. Ad es. se e t1 + t2 = 0 e si indica con Gt 'f la rotazio­

ne di e .. avente per asse O~3 e ampiezza ~ , le (34) restano sod­

disfatte, qualunque sia ~ , da

d., ::: ott!' cAr, =- ~ ~ '%0 tR.~t ) t:ta •

7. TRASFORMAZIONE DELLE (35)

Serviamoci della (35)1 per esprimere i tre 11 mediante r due variabili lndipendenti, che precisamente saranno

1 = 1 + ll3 r B =

Se si pone L = ~~2. +- t. 'A.-'

(21) cfr. la nota precedente.

68

- 66 -

A. Signorini

i tre /j, I' restano espressi mediante :Iv e a dalle uguag1ianze ~ .1

(36 ) ~ ~ = L + l-:- I) ~ _~. t:, '} :::. A. - I ~ ~ ".2) t

~ } J

E' subito vista chc ad esse corrispondono per ~I ,(. i>" 1e espressioni _I ~ (! )"'(;.)

~t:; ~tj+?v'J. +~\ -= ~ +0-' ')" 1-"_ + 3

-= r;-I) t + ~ - ~\ (~ 7v l' It-\-- 3 '}..'I..

Converra pure ri1evare che per ~ = 1 [1.\3=oJ C ~ C necessariamente equiva1e a uno scorrimento semplice, (22) • proprio quel10 che e definito dalle uguaglianze

(38)

Le (36) permottono di ridurre 1e (35)2 a un sistema di

due equazioni in '" e s, completato da un I espressione esplici ta

di p mediante A. es: precisamente, al sistema ll-). -, XI\Wj +W,,) T "A~'JtW1 - '3'" t\: ~l. :::: 0 )

(39) /;J(WI+l"~J,,) _ .tj-r!. 01+r~)~:::: 0 i iL

comp1etato dall'uguaglianza

(40) 31' = w.~, .. ~ W.:I~ - ((to +t~ ~ ... ~,-rJ%- + l~}. Put. ~:~} ~ -::. 0 e t1 :: t2 :: t3 :: 0 10 jacobiA,no nei prim membri delle (39) ri-

(22) L1asserto ad es. risulta dal fatto che i va10ri dei coef­fici.e~rincipali di eX £ inerenti alle (38) sana ( ~ s,'"+4 t s ) /2 e 1.

69

- 67 -

A. Sign.orini

spet;;o a Iv e s evidentemente ha i1 val ore

3( . (:t') tr)) 0 c., -t (1 2

= 3)A1; "7 0 • o

8. CAS! PARTICOLARI.

a) t1 ~ t2 = 0: trazione semplice.

La (39)2 impone, come e ben naturale, l'~nnullarsi di s,

e per determinare ;~" rests 1 ' Gquazione

(41) ~(\ _);-1 j( /., ,W. .,.. "'#~ ) '" t, 1

. /, 1~1 )~ L

~i ..,

[efr. (37) J con la speeificazione di ~ .. J t in 2. -I

~.t ~t,+ ~ Iv (42) ~4 :: Iv + ~ 1 ) :: •

Parallelamonte la (40) da luogo a

(43) 3"" =: 2 ')'1111 .~. +~") W~ j -1 t;;;. btoW-r f'+)~~.{i! ~)} I d ~ 1 .>. It ~ ~ 11 ~ OCl.l

e;l D c0t I:z,

Qui mi limi tero a rilevare che [con ovvio significato del

simbolo did'). ] rieul ta

[.i. t -1 r Jv~t3 1 (-t:) l-tL~ J ·

(44) d~ .::::. E~ )I~~~l.-I::: -bf J A ~-f"-r' Iv~1 L jA~1 '>v-I

immediato e il complete controlle di queste uguaglianze se si

nota cho 10 (42) implicano

(45) [{~~ 'J . = 0, A. ::: I

70

- 68-

spetto a s, si trova subito

(47) f ~~] ::::.0 ) '[~1 :: ~'(. ) L 1:0 4-:.0 dopodiche con un'ulteriore derive.zione dalla (46) agevolmente

8i tra[e alA,] % c~'t') l-~t t J _- 0 (48) -::; )

d-b1 £1:' C:\~! 4:0 h~O

o S B e r v a z ion e. - Basta c}e si possa assumere [v. n.2

del proBsilllo cap. ] 'oW "rI /0 ~\. :::.. 0 perche In

(46) 1 venga a ilIlporre A:=. 1 ala (461)2 si. riduca a

t ::: 2 ~ ·()'W~ .

") ":>i c) t1 = -t2 = t, t3Bcelto in mOdO cha'risulti ~ = 1: scorri-

m.ento semplica.

La (39) forniscono

)

Clon

(50)

71

(51)

1a (40) aggiunga

(52)

si trova

- 69 -

P '" t + t3 - -=z. s s

o o 0

A. Signorini

72

- 70 -

A. Signarini

VI.

DEDUZIONE DEL POTENZIALE ISOTERMO.DALL'ESPERI~NZA,

ELASTICITA' Dr SECONDO GRADg.

1. AREA DI DEFINIZIONE DEL POTENZIALE ISOTERMO.

Anche questa capitola direttamente riguarda solo i Ge omo­

genei e isotropi. Cominciamo col determinare i1 campo bidimen­

siona1e in cui, subordinatame~te a (V, 2), basta intendere defi-

nito W-rj in funzione di ~i .(. cl!, : preclsamente [cfr. (V,

37)] determiniamo 1 'area piana ~ ricoperta da1 punta I di

coordinate cart:sianetortog~Fali _ t fl-I)'/'A.,-rt\ x,:.~ +A,+.t1-3_1+~ -~ ::..1-)

Y =~'~. + f'+ "),, -; = ~~4~ .... ~-'}h~ +!L A

(1 )

quando sidia a?. e ad S ogni valore da 0 a 00 •

Per J.:: 1 [6corrimento semPlice] al variare di s d~ o a 00 il punta I, partendo da V $ (0,0) [stato naturale]

bs b. I t'~

It

v

73

- 71 -

A. Signorini

descrive una aemiretta b, la bi5ettrice del primo qu.adrante.

Per s = 0, come luogo di I 5i ha invece 1a linea J; equazioni parametriche(23)

di

)

au J; converra. indicare con I')..::' (X?\" Y'f-,) i1 punto corri­

spondente a un determinato valore ~ del parametro, Iflon !~ l'arco I, I = V I [trazione semplicel e con lJV l'arco , ~.~ ]-1 eomplementare VIo I!ressione semplic.e •

Evidentemente I 1-, e simmetrico a I~ rispetto a b • Lungo l'intera t risulta pure

(2) d~\' :; I ~l:J').. ~ d. x~ 1:' ~)( ~:: -~-( ?v-1-_1-) , ~-I ~

onde e (Iv i1 coeffioiente apgolare della tangente 'C'~ a 0:>/,1\,.

in I~ f l ha una cuspide in V, .t t: e :e", sono conves­

si rispetto a b , eec.

Sie. ora b,. le. semiretta uscente da I", col coefficiente

angolare iv II [hi:: b ] • • Propr10 b). ds. il luogo delle

posizioni. assunte da I quando, ~enendo fermo ~ [cfr. (1 >] 8i fa variare s da 0 a 00. La It e dunque I' area limi tat a de.

J:, , col concorso di p·arte della retta al1'infinito.

La 2 e inviluppata dalle b", ' anzi bi fa sempre parte

di 't''k l perche [per ogni A,* 1 ] 1a Semire\ta I", I~t ri­

~ta aVere proprio i1 coefficiente ango1are ~ ,comune a

b). ..t. a. 11",_1 i -

La corrispondenza tra I e 1e coppie di valori di )L e s non

e biunivoca. Ad ogni punta A di It che non appartenga a b cor-

(23) 8i tratta. di un ramo di quartica.

74

- 72 ...

A. Signorini

rispondono due e due sole (24) coppie di valori di. l e s, in rc­

lazione al fatto che per un tale A passa una sola tangentea

Jot. e una sola tangente a .11"". Se poi A si riduce ad appar­

tenere a b [.ma non a coincidere con V }le tangenti pcr A ad

J: vengono a essere tre, cbe si vengono ad avere tre coppie di

valori di A. [delle quali una corrispondente a uno scorrimen-

to semPliceJ •

2. SULLA DEDUZIONE DEL POTENZIALE ISOTEru~O DALL'ESPERIENZA.

Assegnato 't' , W't' (~\ , ~\) siyresenta come una funzione

che va defini ta in tutta I' area (it ~ almeno in una regione suf­

ficientemente estesa di Jf a part ire da V J subordinatamente al-·

1a (V, 17') ..

Esperienze di trazione semplice [0 pressione semPliceJ'

da sole non possono caratterizzare nwnericamente W't' a1 tro che

lungo .s: t' [0 £ f' J mediante ""llUgUaglianza

'1/ - \t('iv)<l'A) ~ )1 3

necessaria conseguenza delle {V,' 35)2' se, in corrispondenza a

ciascun A, , 6i accenna con t 3 ( ',l ) il val ore di t 3 forni to

de un diagramma - primo diagremma - che opportunamente riasswna

i risUltati di un gran nwnero di tali esperienze.

Analogamente [cfr. ancora (V, 35) 2] esperienze di scor­

rimento semplice da sole non possono caratterizzare W altro che

lungo b, mediante l'uguaglianza

W = r t(s) ds ~ 0

dove ormai e ovvio il significato di tea}.

Le piu recenti esperienze per Ie determinazione di W t sono

(24) Ad es. Ie coppie d:i valori di A , s corrispondenti a I?.. _no '}."Oe t. ... ~, IA-A.-l£I.

75

- 73 -

A. Signorini

quelle di R.S. R i vIi n (25) e D.W. S a un d e r s.

Per vari tipi di gomma, con esperienze sistematiche di va­

rio tipo opportunamente ideate, essi sono giunti glla conclusions

che si pub intendere

e piu precisamente si puo attribuire a W~un'espressione del ti­

po

con ~'t' ) (4) ~~ "> () I

it' funzione mai decrescente dell'unico /1

(5) 1''t' ~ 0

almeno da un certo punto in poi. Quando vorra attribuire a W'/1

tutto questa 1ns1eme di proprieta, brevemente dira di "at tener­

mi ai risul tati sperimentali di Rivlin".

Nii sembra opportuno rilevare che, non appena 8i presuppo­

ne per W~un'espressione del tipo (3)', per la completa determi­

nazione di W~in ~ vengono a bastare esperienze di trazione sem­

plice, purche tanto numerose e accurate da individuare sufficien­

temente 11 primo diagramma, insieme ai valori di W't" lungo J:!;. Invero allora:

10 ) Ie due uguaglianze Gfr. (V t 22') e (V, 23)] ,

r <i t 3] _ "./. ('j;") t~») [<ltt~l- bl \1;). fr)\ L d,A.. - ,e.! 1" Ct ) Jd?vL - - "e .. +,tC, ) 1::1 >-.-::1

(25) R.S. R i v 1 i n e D.W. S a u n d e r s, Experiments on th~ deformation of rubber, "Phil. Trans.", vol. 243 A (1951) pp. 251-88.

76

- 74 -

A. Signorini

determinano c2("L}~ nonehe c 1 ('C') =: 1'~(O); 2 0 ) in ciaseun punto A di JI:. f intendendo per I"" ~on?v 71J il punta in cui ! t e tagliato ,dulla parallela per A all'asse

xt?~ cost] non puo essere a1tro che

(6) W't: (A) W'I;' (I ~) - c/ '1;') I AI? \

Viceversa questa osservazione puo dare 10 spunto a qua1-

ehe netto contro110 dell'ipotesi (3)', quando 8i abbiano a di­

sposizione anche i risul tati ill esperienze di pressione semplice,

o scorrimento semplice, ecc.

Fin dal 1940 M. Moo n e y (26) propose per \ITt' l' espres­/I

sione cui d,a luogo la (3) 1 per l' -==- 0 , cioe l'

(7) ~ W" = ~n.0l - 3)+e,htJ( ~\ -~) Tale proposta principa1mente si baso suI fatto che, in

ottimo accordo can preeedenti risul tati sperimentali, la (7)

riduce la (V, 49)2 a

....L-s cost. =: e ('t') + e (-r)

1 2'

Pero la stessa (V, 49)"rende evidente ehe 10 stesso si ve­

rifiea se a1 secondo membro della (7) si aggiunge una qualunque

funzione di ~~ - J.e j eec.

In varie Lbmorie, comparse r_elle Philosophical Transactions

della Royal Society dal 1949 in poi, R i v 1 i n ha adoperato

anche l'espressione cui si riduce la (7) per c 1 ('t') =: 0,

(26) M. :Mo 0 n e y, A Theory of LA-r,ge Elastic Deformation, 'iJ. Appl. Phys.", XI (1940), pp. 582-92.

77

- 75 -

A. Signorini

(8) - 3 ),

proposta (27) da L. R. G. Treloar ed altri a conclusione di una

teoria cineties dell'elasticita di corpi simi1i alla gomma.

II primo diagramma, almeno per 1a gomma e quando venga

esteso snehe a valori assaigrandi d1 1 , con~rariamente a quanto si verifies per tanti altri materiali presenta un punta d'infless1one (28), dopa 11 quale e

(9) df~ t3 >" D , d A, 1.

8e ei si attiene ai risul tati di R i vIi n, si puo ri­III n

cavare dalla (9) che la 1'1' (GJ,t. -3) deve essere positiva, al-

meno per valori abba stanza grandi di ~~ •

3. IPOTESL,QARATTERISTI..9! DEL~A "KLASTlcrTA' Dr SECONDO GRADO".

Anche tutto il resto di questo capitolo riguarda solo Ge omogenei e'isotropi, in modo che, come immediata conseguenza

delle (V, 26), in ogni trasformazione isoterma dovranno inten-

::::1 ~al:d~ ': t:e{ ~gl(:~ E.) _ ~ "¥~ l+! f ~"XI+ ~ f y,J It t ~ a>, -o!\1 }

(:~1,213) se si continuano a indicare con Er le caratteristiche principa-

li di deformazio>le dello spost?mflnto inverso C -+e,>!:" StSJ;Lte

liidentita

(11) 3. ~ 3-.1-!t(E1+~~+ fJ (27) L.R.G. T r e loa r, The Elasticity of a network of long

chain molecules, "Trans. Faraday: Soc. ", 39 (1943)7 pp.36-41 e 241-46.

(28) V. loco cit. (25)~ p. 254 e loco cit. (26), page 587.

78

- 76 -

A. Signorini

e l'analoga per ~t ' i secondi membri della ~10) possono consi­

darersi come ben determinate funzioni delle Er non appena si as­

segni la forma effetti va di i~ (~~)~.2.). Mi propongo di vagliare un'ipotesi di carattere semplici­

ata Buggerita dalle con:iusioni del N.4 del cap •. precedente: pre­

cisamente l'ipotesi che la w~ sia tale da identificare la dif­

ferenza tra i second,i membri di duegualunque dene (10~ [dif­

ferenza fra due tensioni princiPali] con ~ funzione di secon­

do grado - 0 magari di primo graq,.Q. - delle Er •

Questa ipotesi - ipotesi caratteristica della Elasticita

d1 aedondo grado per solidi incomprimibili - esattamente equivale

ad assumere

se, in aggiunta alle notazioni (V, 22), si pone

b:) (1 'VI'!:) _ (a!< W<) . I! 3 = -=-r _ _ - -:-;;-r 6~i :>1::'C)1:3 )~t ~,-::j~:3

E' evidente che una tale espressione di Wt ~un poco meno

restri ttiva di quella di Moo n e y J s1 uniforma all' 1potesi,

ma 8i puo rapidamente accertare anche la nccessita della (12).

c L'ipotesi caratteristica equivale a imporre che siano fun-.

Eioni di secondo grado delle E i prodotti _ r .

(E't+I-EI(,))q~~. -(1+~£ )1!r-1 G?llt l 3). . l oj, It tt '0 Jt ) Devono quindi eeSAT'A f"unzioni ili prjwc' grado Ie diffsrenze

e i

79

- 77 -

A. Signorini

cio che richiede

lW h) 2. _ :: c~ 13))

e i~ie~ riduce la condizione relativa alle Dr a quella ehe la

'0"11",/ '4 ~I sia funzione di primo gr~do delle Er e

non dipenda da ~.s . In defini ti va [efr. (11)j ci si trova

in presenza alla restrizione

") oW-r: := {W",- _ tr) - - - -t - Q~ )

o"€"" l> ~~ 'l~1 l'unica che ancora mancava per accertare l'equiva1enza de11'ipo-

tesi caratteristica a11a (12).

4. POTENZIALE ISO;rElmO E POT:E:~~IALE TERIIIODINAl..nCO NELL 'ELASTICI­

TAt DI SECONDO GRADO.

Stante 1a (12), l'ipotesi caratteristica de11'elasticita

di 8 econdo grado risul ta compati bile con la (5) solo per

~

'0 W~ ::= e~) _ 0 '0:.1; - -

( 13)

cioe solo nella teo ria di Moo n e y.

Invero, conle notazioni del n.7, per "A, = 1

to seli1plice J la (12) impone al potenzia18 :LSOt8~'J.:.O 37>J l'uguaglianza

2W - s2 (c ('1:')+c (1;')+52C ('It» if - 1 2 3'

[ scorrimen-

0fr. (V,

onde non pub risultare WT ')0 0 per og:'i s senza che sussistano

ambedue le limitazioni c/-()+ c/1-)?O~ c/'t')::,.o.

Anehe per motivo di brevita, il resto di questa capitola

riguarda il solo cas a (13), la teoria di Moo n e y: accanto a

(13) t ('r') ii (~) i1: 2W'!:'=c1 (cl1- 3)+c2 (Q)2- 3),

rimane fissata la specificazione delle (10) in

80

- 78 -

A. Signorini

La (V, 3:) - (V, 3) gia impone [eire (v, 29')1 che sia

c1('t')+ c2 ('I::) .,. O. L'adozione della (13)' porta la (V, 21) ( It' ) - (V, 2) ad aggiuhgere solo la restrizione che ne c1 ne

C2 (11) possa essere negativo

(15) c/~) >,;- 0, c/1:'} ~ O.

Infatti Ie (V, 37) trasformano le (13)'

~W :=.cl1')L~2.+(~.;.0Y~"'~)1 +c~){tl+ (~-\)~(~j.'H)l ~ I l 'Iv) 2 ~-.~ j)

onde e evidente che Ie (15) bastano e rend ere soddisfatta la

(V, 2') - (V, 2); e per convincersi anche della loro necessita,

non e' e"~he da pensare di far convergere 'A. a 00 0 a zero, per

s = o.

o s s·· ~ r v a 7-,<.i 0 n e. La (13) r [efr. (V, 20) e (V, 20 r ~ individua il potenziale termodinamieo in T

(16) ~~ t l e~r)n~ ~'-v+ c~)(~i ~< - ~~- E f~i~. 5. PROBLEMI SEIiil.:LICI.

T o

Riprendo Ie questioni acce~n~te nel n.B del cap. precedun­

te uniformandomi alIa (13)': per semplieita scrivero

1 t d; ('() ('t') " a pos 0 ... c 1 ' c2 ' ) . 't' •

a) t1:: t2 = 0: trazione se.~p1.:i,£E!.

La (13)' riduce Ie (V, 41) a

81

- 79 -

A. Signorini

e

l~, -~ (), 2-3

(19)

La (18) assioura che, assegnato t 3, la (17) riaulta aod-

disfatta da un unico valore di ~3' positiv~ 0 negativo aedondo

che t3 corrisponda a una trazione 0 a una pressione, e sempre

crescente con t3"

o 8 a e r v a z ion e. Se si riprendono le (V, 41) - (V, 42) Iinunziando alla (13)' ma attenendosi ai risultati sperimentali

di R i v 1 i n, si riconoace subino che, assegnato t 3, la teoria

di IiI 0 0 n e y fornisce per I /j 3\ sempre uh valore in difetto.

Se poi al!' vuole, ,senza una precisa conoscenza della

,,{,'t( '5' 1- 3 ) procurarai un limHe superiore dt I/j. 3 \ basta

sostituir.e 01 con un limite inferiore di "{'It

b) t1 = -t2 = t, ~3 = o. La (13)t riduce le (V, 46) a

Lteliminazione di s fornisce

(20) f(A,)

con

2 '\ 2"\ 2 3 "\ 3 2 '\ 4, -01 c2 ", - 2c1c 2 ,.., - 01 "- -01 02 tv

oio che per ogni possi bile 'A implica [cfr. ancora (15)1

82

- 80 -

A. Signorini

fl ( A. ) < 0: al variare di A 3 da - 1 a 0 la f{ ~ ) passe

monotonamente da OQ a zero, onde la (20), assegnato t, reste

soddisfatta (29) dB un unico valore di 1:1 3, negativo.

c) t1 = t2 = t. t.,. ~to in modo ahe rieu.l.t.t A.} == 0: scorri­

eento aemplice.

La (13)' riduce 1e (V, 49) a

t

cioe a

(29) Trascur0-f'eventualita c1 == 0 ~fr. l'os&ervazione a psg. 71 J ·

" o 0

83

B RUN 0 FIN Z I ========~======~=;===

TEORIE DINAIHCHE DELL' ALA

ROMA - Istituto Matematico dellIUniversita., 1955

85

- 1 - B.Finzi

TEORIE DINAlUCHE DELL' ALA

1. Introduzione.

Non e facile rendersi conto del biEzarro comportamento dei

fluidi poco viscosi, quali l'aria e llacqua, deducendolo logica­

mente e matematicamente, come e nello spirito della fisica matema­

tica, da poche proposizioni generali tratte dall'esperienza. Cia

perche le schematizzazioni piu semplici suggerite dal senso comu­

ne, in virtu del quale piccole cause non possono produrre che pic­

coli effetti, e facent·i capo a campi cinetici ovunque regolari,

portano a risultati paradossali sconcertanti, quali i1 paradosso

di d'Alembert.

Per evitare ~ali risultati pzradossali l'aerodinamica moder­

na ricorre a,.fJchemat:tzzazioni fisiche raffinate e Ie sviluppa ma­

tematicamente in modo adeguato, conformemente si al buon senso,

me non sempre al senso comune.

Il pro blama fondament ale dell' aerodinamica moderna e quello

di spiegare il funzionamento di un'ala. Non e un problema facile,

perche sono (purtroppo) false 10 idee semplicisticho oha vengono

osposto in molti libri alomentari di fisica.

Ecco, aasi di.oono, come e perche l' aereoplano vola.. L' elica

trascina l'qcreo in sene all'aria. Questa investe le ali, che pos-

sono schomatizzarsi con un piano intlinato dell'angolo sulla

I -dirozione del vento. La forza F cha

l'aria esercita su talc piano e normale

alpiano stesso. Scomponiamola in due fo,!:

ze: una R normale al vento, l'altra li di-

~E-P

8L~_~~ rotta come il vento; la prima da la p~~tenza cho, equilibrando

i1 peso, impedisce all'aereoplano di cadercj la seconda e 1a rGsi­

stanza che, sommata alla resistonz§ dolle a1tre parti dell'aereo,

viano equilibrata dall.a trl}zione dell 'o"Lica.

86

- 3 - B.Finzi

re la tcoria di G1~ert rolativa all'qla in condizioni iposonicho

o la tcoria di Ackeret ~clativa all'ala in condizioni iparsoniche.

CAl'. I

ALCUNI RICHIAIIII SULLA CINEIIIA_'PICA DEI FLUIDI

1.- Atto di mota di un fluido.

It'atto di mota di un fluido nei vari istanti puo essere in­

dividuato, ponendosi dal punto di vista euleriano, assegnando,

in ogni istante t e in ogni posizione P, la velocita ~ dell'im­

precisata particella cha transita per P all'istanta t, assagnan­

do cioe i1 vettore ~ in funzione di P e di t:

(1)

Se nella J;1.} manca la dipendonza esplici ta dal. tempo, il moto si <.

dice stazionario, variabile in caso contrario.

L'atto di mota di un flmido in un istamte e dato dal campo

cinetico ddfinito dalla (1), quando in ossa si fissi t e 8i fac­

cia variare P.

Considoriamo un int~rn~ infinitesimo di un generico punta

P di coordinate cartesiane ortogonali x1x2x3; sia P' un gencrica

punta di tale intorno e diciamo x1+dx1 , x2+dX2,x3+dx3 10 suo

coordinate. Sia ~ la volocita di P 0 v. (i=1,2,3) le compononti J.

cartosiano di talo volocita; sia ~' la volocita di P' e v! (i=1 ,;~,3) J.

10 au~omponenti. In condizioni di regolarita, si puo scrivere:

(2) '\I: = "If: ... )'lft dxK(.) ~ (, R

Questa moatra cha n~11'intor.no considerato l'atto di moto e omo-

grafico.

(.)In questa formula e in altro successive l'indice scoperto i 0

l'indice saturato k assumono i valori 1,2,3; e so·ttinteso i1 so­gno di sommatoria rispetto all'indico saturato.

87

- 4 - B.Finzi

'd'f,' SCplllpoato 11 tenaore i}(~ nella sua parte simmatriea e Ile;l-

la sua parte emiaimmetrica; dalla (2) scritta nella forma

'If! :::- 'U'Z + I (o~ _ () VIs, )dx k + L(O. "'~ + o'lf~\\ d Xi( ~ I () -A.' '0 X ~/ t \. ~ x.!( C X ~)

61 trae che, ncll'1ntorno infinitcsimo del gonorico punta P, l'at~

to d1 moto risulta composto di un atto di moto rotatraslatorio

cha non comporta deformazionc alcuna a di un atto di moto d118~a­

torio. La vclocita angolare de~imo atto di moto e: ~f !:::'l; ~1

(3) W - 1 xo~ '\I' esscndo ~1= .i '0 ~ .-

~ - oll~ 'ax\ Ole'

''IIi '\1'" ''If)

e Is volocita ?i defo~Jlzionc corrispondento a1 secondo atto di

moto

(4)

In particolaro, In valocita di dilatazione c~bica e:

(5) j '14~ d'-'" 'T _ - IV 'V

Ol(~ - -.

Dunque: N 01 g~..i co movimcnto d_i un Lluido, 0 gni al amen to,

(un cubetto ad osompio) trasla, ruota can vclocita angolsre

data dalls (3), si dGforma oq,,!]. velocita di doformazionc data dal­

ls (4) 0 in partico1aro varia i1 suo_.yolumo con vcIocita data dal-

10. (5).

2.- Campo cinotico.

Nol campo cinctieo che da, in un j.stantc, l' atto di mota

di un fluido inturcJssano le 1tnee dijluss'o, o.lle quo.l.i il vot­

toro voloei ta e tangcntu, Ie linee cioQ por cui y e parallaHl 0.

88

B.F1nzi

d~. So i1 moto e stazionario, quests linea co1ncidono con 10 trac!

terlc delle particolle fluida, e cioeoon 1e linea di corrente.

In un campo 01not100 Bono importanti duo nozioni.

La prj"ma e In noz1ono di oircolaziona r lungo uno. lJ.n9a orientatn

t

(6) r 11txdP , ~

La secondo. e quellu di flUSBO ~ che at-travcrsa una superficie

di nssegncto varsoro normnl0 ~ :

(7) cp::: S~l('!} d,.

In condizioni di reg01nrita, In circolazionc e legata al

retoro attrnvcreo il teoromq di Stokes, i1 !lusso e legato alla

divcrgonzn attravorso i1 teorcmn della divorgcnzn: so 115 e una

Buperficie avante per contorno la linea ohiusa t , e i1 verao di

~, e que110 di circolazione lungo t sono co1legati come

in una vite deatra. e;

(8) r = 1. '1 X d r ::: I ttor~ X rt~ d ~ ; l 6 ~

se ~ e una regione

che esce da 6 , e:

(9 )

spaziale di contorno GeT e

3.- Campo irrotazionale.

il flusso

Un campo partic01armente semp1ice e i1 campo irrptazionale.

Nel corrispondente atto di mota ogni elemento fluido trasla,

8i deforma, ma non ruota, perche

(10 ) ItOt I'~ ::: 0 .

Esiste allOra un potenziale oinetioo 'f t funzione dei punti

89

- 6 - B.Finzi

~ dello ~pazio, di cui ~ ~ gradien~e:

(11) = grad f · Oio vuol dire che la componente di ~ secondo ogni direzione egtia-

~ia la derivate di 'f seconao tal.e ~irezione, e guindi

1\1._ ') 'fl, ( ~ :: \) ,t) 3) . to - ol<~ \

LQ seala;r:e <f= tp (P) individua completamente il campo irrota­

zionaleconsiderato.

Basta segnare Ie superficie eqUipoten­

zial.i, in cui ~ aesume val.ori in progressi2,

ne aritmetioa di r~ione e abbastanza pico2,

la, per avera unlimmagine del campo: sempre

normal.e al.le "lamella" delimi tat e dalle supe!:

f1cie equipotcnzial.1, inte.6odove 1e lamelle

61 assottigliano, debole dove 8i ingrossallo.

In un campo irrotaziona1e, 1a circolazione lungo una linea

aperta eguaglia la differcnza di potenzialecinetico agli cetremi.

Lungo una linea chiusa enulla, se il potenziale e funzione uni­

forme. Dal tcorema di Stokes (8) IlIi deduce che, in un campo irro­

tazionale, la ciroolazione lungo una linea chiusa ,; e nulla

tutte le volte che si puo tr!;l.cciare un diafremma G di contorno

.~ , tutto contenuto nel fiuido in motoregolare. La circolazio­

ne' e poi 1a steese lungo due 1ince il cui insieme puo assumarsi

como contorno di un diafra.mma tuttocontcnuto nol fluido inmoto

rogolare.

4.- Campo solenoidale.

Important.o e il campo cinotico aolonoida10, porche esso da

in ogni istanto 11 atto di moto di tm flu:ii.do praticamonto incompri­

mibile, came l'acgua, 0 cha non esplica le. sua comprimi.bilita, como

l'aria a voloc.ita non tro.ppo grandi. In un campo solcnoidale e

90

- 7 - E.Finzi

nulla la velocita di dilatazione cubica, cioe

div'1 := 0

Esiste allora un potenziale vettore 'P , di cui y e rotore:

Poiche ~ e definito a meno di un gradiente, am pub disporre di

questo in modo che risulti

(14) di v f ::: 0 .

In un campo solenoidale e nullo il flusso che esce dal con­

torno di ogni regione fluida in moto regolare.

Per avere un'immagine del campo solenoida1e

in tanti tubi di flusso. de1imitati

lateralmente da linee di fluBso, e

ogni sezione dei quali e attraver­

sata de un medesimo fiUBSO E. ab­

bastanza piccolo: 18 direzione dei

tubi e quell a del campo, intenso dove

i tubi si restringono, debole dove s1 allargano.

dividerlo

In un campo 6olenoidale·11 , noto i1 vettore ~ =i rot :l! che

rappresenta la velocita ango18re di ogni elemento fluido, 61

pub calcolare y. Dalla (13) si ha infatt1:

Ma, grazie alIa (14), se Ll el'operatore d1 Laplace,

e quindi

(15) -2w - .

91

- 8 - B.Finzi

II potenziale vettore sOddisfa dun que ad un'equazione di

Poisson (come 11 potenzia1e gravitazionale entr~ la materia)

e quindi, se R(Pl} indica 1a distanza fra due ppnti P e Q di ~cj , si ha:

~ r .~-~(~~- d~ -4- o-(p) , .J'C R( P Q) -(16 )

dove ~(p) indica un vettore armonico, ao1uzione cioe dell'~­

quazione di Laplace ~ ~. =0. Prendendo il rotoxe d'ambo 1 membri

della (16), si ha finalmentc:

5. - Campo armonico.

Un campo si dice armonico se esso e irr4t.azionale e aole­

noidale, ee cioe

( 18) XDt '!t = 0 ) diy',!,::o.

In corrispondenza ad un campo einetico armonico, ogni cle­

mento fluido trasla, ma non ruota, si deforma, ma non varia

il suo volume.

Esiste, conformomonte a11a (11), un potenziale cinetico

'f ' ma, grazie al1a seconda delle (18), esso ! una funzi.ona

armonica, soluzi.one cioe del1'equazione di Laplace

(19 ) 6f :::0. Bsiate pure, conformemente alla (13), un potenziale vettore ~ ma anch'esso armonico:

(20 )

11 vettor~ y, del resto, soddisfa esso stesso all'equazione di

92

- 9 - B.Finzi

Laplace

Un campo aomonico a~aette la duplice raDnresentaa~~ me­d.ial1te :J.ame11e e ID0diar.-.t~ tubi di fluse~, 1.0 una normal! ag1i

altri.

Tutte Ie pro prieta delle funzioni armoniche si traducono

in altrettante proprieta dei campi armenici. In particolare, da­

to i1 carattere e11ittico de11lequa~i9ne di Laplace, cio che

avviene in un punto del oampo influenza ad e in#luenzato ds

cio che avviene in ogni altro punto, si puo determinare un cam-

po ar.monico, regolare in una regione, valendosi di dati al contor~

no, attraverso la riso1uzione di un BrQblema di Dirichlet 0 di un

problema di Neumann.

6.- Campi cinetici piani.

Molte volte si si riduce a considerare c8.ll1pi cinetici piani,

nei quali esiste un piano d1rettore xy: la velocita y. risuJ.ta

ovunque parallela a questo piano e indipendente dalla tersa coor­

dinata cartesiana normale a1 piano steeso.

In un campo cinetico irrotaziona1.e pmano i1 potenziale ci-

netico dipende soltanto dE(Lle due coordinate x e y, e le su-

perficie equipotenziali sono rappresentate 13111 piano direttore

da linee equipotcnzia1i.

In un can.po cinetico solenoidale piano i1 potenziale vetto­

re e normalo al piano direttorc cd e indiv1d.usto da una sola

componcnte 'f (x,y), detta funz10ne di flU8S0, 0 funzione di

Stokes. Lungo ogni linea di flusso 1a funziorte 'fI 51 mantiene

costanto, e due linea di flusso tracciate 6111 piano direttore

detorminano un nastro di flusso, attraverso il quale il flusso e eguale al1.'incremento che subiscc la funzione 0/ passando du una

93

- 10 - B.Finzi

linea di contorno all'altra. I nastri-di !lUBSO adempiono nel

caso piano all'ufficio de! tub! di £lasso no1 caso epazial~_

7. Campo armonico piano.

Si cons~deri un campo oinetico armonico piano, e diciamo

z=x+iy i1 numero compleaso che costituisce l'affissa di un generi­

co punta del piaoo direttore. Il potenziale cinetico f e 1a

funzione di !luBeo tp Bono :f'unzioni armonicho coniugate delle va­

riabi1i real! x e Y. perohe o\jl

(22) - - , Q,X

Il numero compleS8() f::: f"i 0/ e perCiO funz.ione del.1e vlU'iabile

compleasa z,

(23)

e se si rappr.senta 18 velocita y col numero complesso

(24)

le prime (22) am riasaumono semplicemente nell'unica equazione:

(25 )

Il numero complesBo W e1 dice ve10cita complessa e il nwae­

ro comp1esso f potenziale complesep. Entrambi sono funzioni delltu~

nica variabile comp1essa z, e derivando i1 ptenziale complesso s1

ottiene la velocita comp~essa.

In corrispondenza ad ogni funzione f(%) di variabile comple~

sa s1 ha un campo armonico piano che ha per potenziale cinetico

ls parte reale d1 f e per funzione di flusso 'I' i1 coefficien­

te de11'immaginario.

94

- 11 - B. Finzi

Disegnando alcune lineee di f1usso, d'equazione ~ ~cost., e

a1.cune linee equipotenzial.i, d', equazione 'f ",coat..., si rappresen­

ta in modo espressivo i1 campo (.).

8i consideri ad es. 1a funzione

(26 )

essende j una costante reale. Se ref)

sono 1e coordinate polari di un generico

p1Ll1to del piano direttore, da11a (26)

6i trae:

(26' )

Le linee di flusso sono dunque cinconferenze con centro ne11'ori­

gine 0 e le linee equipotcnziali raggi del fascio di centro O. T,a

velocita complessa e:

(27)

Essa diventa infinita nell'origine, dove vi e una singolarita po­

lare.

La circolazione lungo una qua1sivoglia linea chiusa f, che

abbraccia l'origine(una volta so1:'a) vale:

(28) r fIde =J e 21f

~~~~:~~:(:,~ v~::o :::::~e d:~! -<~/ I metica d'egual ragione E. abbaliJtanza «x~/

.>;: ~ pi c co 1a, il campo ris ul t a di vi so in tanti j.

quadratini.

95

- 12 - B.Finzi

Dunque, esternamente all'origine, tutte le particelle fluids non

ruotano, perche il mota e irrotazionale, ma circolano egualmento

attorno ad 0, con circolazione rl = j . Il semplice esempio considerato corrisponde ad un ~ice

piano puntiforme, posta in 0 ed avcnte intensita c0 Passiamo, tornando a considerazioni gonerali, dalla varia­

bile complessa z=x+iy alla variabile complessa ~ = ~ +i 1 ponando:

(29) t - z(t) Con tale trasformazione conforme si passa dal campo cinetico armo­

nico nel piano della variabile complessa z, e di potonziale

complesso f(Z), al campo cinctico armonico nel piano della varia­

bile complessa ! ' c di potenziale complesso f(z(t». Alle

linee di flusso, di equazione f (x,y)=oost., relative al campo

del primo piano, corrispondono 10 linee di flusso, di equazione

1" (x( 5 ' 1 ), y( ~ , 1 ) )=cost., relative al campo del secondo

piano.

Oon tali trasformazioni conformi si possono ottenere in

modo assai semplice quanti 8i vogliono campi armonici piani,

delimi tati da linee di fluss0i- partendo de uno qual.unque di cssL

In tutti questi campi s1 consorvano 1 flussi e 10 c1rcolazioni

attraverso e lungo lineo corrispondenti.

Per ceempio,

(0) f(z) :: e(z +.~l) e il potenziale complesso della £QE­

ronto traslatoria di velocita asintQ

tica c, dirctta come l'asse x, chc

investe un profilo circolaro con

tro nel1'origino e raggio a. La

trasformazionc conformc ottonuta

96

- 13 - B.Finzi

ponendo

con h e k costruiti roa~i, permette di ottonere la corr<m.te trasla­

toria di vo1.ocitii asintotica ~, dirotta como l'asse ~ , che

investe un prot110 ellittico che ha per assi gIl assi ~ ed ~

e 1.unghezza dei somiassi ah+k e ah-k •

Per avere un'idea del~~ corre~ti tras~atorie ora considera­

te a mo' d'esampio, riferiamoci a quella dhe investe un profilo

circolare. I~ suo potonziale comp~osso e dato dalla (30), e de­

rivandolo 8i ottiene la ve~ocita complessa

WI d0-~)' Separando nella (30) 18 parte reale 'f da quella immaginaria "0/ 6i ottengono faci1mente 1.e ~inee di fiusso d I equazione Ifl =cost.

Fra queste vi e il filone ~ =0, cho pro~ene dall'infinito a

monto, segue l'asse x e batte sul profilo nel punto di prora A

ove la velocita s'annulla.

Qui i~ filone si spezza in due parti: una segue la semicir­

conferenza d'ordinata p08it~, l'altra la semicirconferenza di

ordinate negative. Le due Jarti si riuniscono nel punta di ~

B, ove la velocita si annul~a una seconda vo~ta, e il fi~one

prosegue lungo l'asse x verso l'infinito a val~e. Le altre linee

di flusso ripetono attenuandolo ossia appiBttendolo, l'andamento

qua~itativo deL filone, finche lontano dal profi~o Ie l.inee di

flusso si riducono a rette parallele all.'asse x, secondo l'an~a­

mento di una corrente traslatoria uniforme.

97

.. 14 - E. ]'inzi

CAl'. II

RICHIAlviI SULLA DINAl'HCA Dji;I FLUIDI.

1.- 2guazi~indefinite ~~la~~ica deL continui deformabil~.

;;;c n!htlh che le equazioni indefinite della dinam:i-ca di uh

co'ntinuo def'ormabile si ottengono serivendo: 10 ) che la massa di

ogni sua porzione infinitesima per l'accelerazione del generieo

corpuscolo che ne fa parte e eguale al risultante delle forze

che su di essa agiscono; 20) che e nullo il momento de~e for­

ze precedent,i rispetto ad un generieo punto della plUrzione con­

siderata; 3°) ehe la massa di ogni porzione e invariabile, se

formata sempre dai medesimi corpus coli.

Se ,;' e la densi ta, v k le componenti cartesiane della ve­

loe i ta y. in un generi co punto del cam.po di moto, F k le componenti

cartesiane della forza esterna K per unita di volume, Pik i1 ten­

sore degli sforzi interni ehe si destano nel continuo, la prima

condizione si traduce cosi:

(1) ~ d 'V(I: _. F. ...c '0 Po:... ~. K - , q l). _. --- - l~'~, it - K)Xi

la seconda condizione afferma ehe il tensore degli sfor~i e sim­

metrieo:

(2 )

la terza condizione si esprime eosi:

cl9 __ +~JW~ ~O. dJ

Nella (1) e nella (3) compaiono le derivate sostanziali rispet­

to al tempo t, rispettivamento delle componenti della velocita y

e della densi ta ~ • Ora queste quanti ta dipendono da t diretta­

mente, se il moto e variabile, e vi dipendono per 11 trBmite del­

le coordinate della pmsizione P occupata dal corpuseolo che

98

- 15 - B.Finzi

viene consider~to. 3i ha quindi per l'accelerazione:

o anche, con £acilm trasfo~azioni:

3i ha pure, analogamentc alla (4):

(6)

La (3), che traduce il principio di conservazione della massa,.

puo dunque scriversi ancha coai:

Sottlntendendo, come e consuetudine, la simmetria del ten­

sore degli 8fo1'zi, espressa dalla (2), restano 3 equazioni indefi

nite scalari sintetizzate nella (1) e una equazione indefinita

scalare (3). In totale 4 equazioni indefinite scalari in 10 ino£

gnite: la densita )~ , le 3 componenti vk della velocita, le .6

componenti distinte del tensore doppio simmetrieo degli sforzi

Pike La equazioni indefinite (anohe se ad esse si aggiungono le

condizioni :iiniziali (t quelle al eontorno) non bastano per oa100-

lare il movimento: ad esse bisogna aggiungere altre relazioni,

tratte dall'esperienza, che precisano 1a natura fisiea, del con­

tinuo deformabile in oggetto e 1e condizioni te~odinamiche in

cui 8i trova.

2.- Eguazioni indefinite della dinamiea dei fluirli.

Nel caso di un' fluido, spezziamo i1 tensore degli sforziin

una parte isotropa paik , nella quale p rappresenta :}a pressione

e aik il tens ore fondamenta1e (in coordinate cartesiane ortogo­

nali aik=O se ilk, aik=1 se i=k) e in un tensore doppio simme-

99

- 16 - B.Finzi

trico a invarisn:t;~ line&rQ nullo .. 11 ~s.iddet1;o. deviatp£! degli

sforzi, qik:

In condizioni statiche 'ik=O e 10 stesso avviene se il

fluido si muove di moto rigido, rna non cosl in generale. L'espe­

rienza mostra che il deviatore degli sforzi e sempre funzione

lineare omogenea della veloci ta di deformazione l':K ' e precisa­

mente si hal

(8)

dove f" e l sono coefficienti dipendenti dalla na~ura viscosa

del fluido, e ?C =div ~ e la velocita di dilatazione cubica.

Dalla seconda delle (7) si deduce che deve risulta.re Iv= -ifi-) cos1cohe la natura visco sa del fluido viene a dipendere dall'uni­

co coefficiente di viscosita jV' che e una costante positiva se

il fluido e omogeneo.

Ponendo la. (7) (con la specificazione (8» nella (1), questa

diviene per un fluido omogeneo:

(9 )

dove SK sono Ie componenti di un vettore, Ie quali dipendono

linearmente ed omogeneamente dalle derivate Beconde delle compo­

nenti della ve~ocita.

La (9) e la (3) danno 4 equazioni indefinite·scalari alle

derivate parziali del secondo ordine nella 5 incognite costituite

dalle ~ componenti vIc della veloci ta, dalla densita. ~ e dalla

pressione p.

AIle precedenti quattro equazioni indefinite se ne aggiunge

una quinta dipendente dalla natura fisica del fluido e dalle

condizioni termodinamiche in cui 8i trova. E' questa l'equazione

100

complementare._ Ordinariama~t. viena ~!! .. t& ~ tale ~ equazi~

ne fini ta obe 1ega fJ a p:

(10 ) ~(fl~) ~o. Coa~, ae 11. Uuido e inoomprimibile, come puo ritenersi un li-

quido, 0 e un gas che non eaplica la sua comprimibilita, la (10)

afferma aemplicementa cha

(10' ) ~ ::. M~t. . , se i1 fluido e un gsa perfetto in condizioniisaterme, dalla leg­

ge di Boyle ai deduce cha:

(10 11 ) ~t. .

se il ;O.uido e un gas perfet.to in condizioni adiabC\ticlle, ai ha:

(10'" ) .!... ::: j( := (.,o~t 1

~r " dove 1 'esponente ~ e una costante maggiore di 1: per 1 'aria

(~1 ,4. AIle 5 equazioni indefinite, valide in ogni punta del campo

di moto, bisogna aggiungere 10 condizioni inizia1i (nei moti

variabili) a Ie condizioni al contorno: fra queata ultime l'ospc­

rienza impone l' sdoaione complets aIle pareti (ri gide) di oontor-

no.

Tutto quanto si PUQ dire Bulla dinamica dai fluidi e insi­

to nelle equazioni che ne rcggono 11 moto, ma tirarlo fuori non

e facile, perche, se la (10) a finita, la (3) e un"'equazione nel-

10 derivate parziali di primo ordine, soltanto quasi linear~, e

la (10) riassume tre equazioni lineari nelle derivate parziali

seconde delle componenti della velocita, ma la dipendenza nolle

derivate parzia1i prime delle funsioni incognite a, per Is (4),

soltanto quasi line are.

101

- 18 - B.Finzi

3-. Correnti a grandi numeri di Reynolds.

Per l'aria, che e i1 fluido cha o'intarGSsa, .i1. CGeffician--6 2 te di viscoa~ta rv vale, in condizioni normal!, 1,79.10 Kg m- sec.

E' spontaneo fare addi:i1i ttura r-- ==0 e quindi ri tenere, an­

che in condizioni dinamiche (come sempre e lecito in condizioni

statiche), isotropo il tensore dogli sparzi, normale 10 sforzo

cho s1 esercita su ogni clemento superficiale, caratterizzati

entrambi dall' unico scalare p 'i- 0 chc rapprosenta la pressiono,

e sopprimere di consoguenza I'ultimo termino nella (9). Per pro­

cieare perc ~uando cio e lecito, conviene porro le equazioni in­

definite sotto forma adimcnsional&, in modo da aver a che faro

soltanto con puri numori.

In forma adimensionale le equazioni indefinite sono ancora

quelle trovate, soltanto che in esse compaiono, invece delle va­

rie quantita fisiche, rapporti fra quantita della stessa specie,

e in particolare, in luogo del coefficiente di viscosita ".. ,

campareil reciproco del nume~ di Reynolds

( 11)

dove tela lunghezza a cui vengono riferite tutto le altre

lunghezze e v 0 e qo sono la velocita e la densita di riferimen­

tdJ.

Se il numero di Reynolds e grande, ma si mantiene finito

i1 fattore che ne accompagna i1 reciproco nel1eequazioni inde­

finite e cioe que1lo che sosti tuisce 5 K ' all or a e leci to trascl!,

rare l'ultimo addendo nelle (9), cadendo nella schema dei fluidi

perfetti, i1 cui moto e retto da equazioni differenziali tutte

del primo ordine soltanto.

Questa schematizzazione e 1ecita la dove non si hanno bru­

sche variazioni nelle derivate prime delle velocita, e quindi

esternamente aIle singolarita, quali ad es. i vortici puntifor­

mi piani, considerati nel CAP.I, e abbastanza lontano dalle pa-

102

- 19 - B.Finzi

ret! (rigide), parche nell'immediata prossimi ta di queste la

velocita del fluido subisce una brusca variazione.

Non troppo vicino ad una parete (rigida) i1 f1uido pub

infatti riguardarai come perfetto e ad esso pub imporsi solt~to

Ie condizione al contorno in virtu della quale i1 fluido 1ambi­

sfe la partto; sulla parete invece, grazie alIa condizione di co~

pleta adesione, la velocita del fluido deve coincidere con quel­

la della parete: ne segue una brusca variazione di velocita in

uno atraterel10,fluido contiguo alIa parete, e qui un fluido, II !S5lO 11 0

anche pochissimo~ome l'aria, non pub essera riguardato come

perfatto~ ma dave easere ritenuto viscoso, senza cha sia lecito

trascurare l'ultimo addendo nella (9). Lo straterello precedante costituisce 10 strate limite di

Prandtl. GraEie al suo esiguo spessore, Ie equazioni (9) possono

ivi semplificarsi, IDa reatano tuttavia equazioni differenziali

del secondo ordine. Vedremo quale influenza essenziale eserciti

questo straterello nella moderna aereadinamica. Da essa non

si puo prescindere. L'estrema sua schematizzazione, talvo1ta

8ufficiente, consiste nel farne uno straterella di spessore

infinitesimo che riveste la parete:in esse ~gni elemento fluido

ruota con velocita angolare proporzionale al salto di velocita

che provoca e inversamente proporzionale al10 spessore dello

atraterello.

4.- Dinamica del fluidi perfetti.

Le equazioni indefinite della dinamica dei fluidi perfet­

ti si ottengono da quelle (9)(3)(10) dei fluidi viscosi facendo

in esse r =0. Esse si possono ra.ccogliere nel seguente quadro:

~ a ..rl(, fl( - ~t, (K:: I, ~ , 3 ) dt OJ(~

(12 )

103

- 20 - B.Finzi

e rappresentano effettivamente le equazioni di movimento di una

corrente a grandi nwneri di Reynolds ee-ternam.enta allaregioni

di aingolarita e fuori dello strato limite.

Il sistema formato dalle cinque equazioni acalari (12) e differenziale del primo ordine, quasi lineare, nelle cinque

funzioni incognite v 1v 2v3 e p delle coordinate spaziali

x'x2x3 e del tempo t.

Alle equazioni indefinite (12) bisogna aggiungere~ nei mo­

ti variabili, le condizioni iniziali e, in ogni caso, 1e condi­

zioni al contorno. Fra queste ul time si pub imporre al fluid a ,

in prossimita d1 pareti, di lambire le pareti atesse, ma non ge­

nericwnente, quells di aderirvi.

~.- Teorema di Bernoulli.

Dalla prima delle (12), dividendone ambo i memhri per~

mol~iplicando per vk e sommando, ai deduce il teorema dell'Cner­

gia :

. ~. fIr - - )(1Ij ___ "J'". c.l ( ~J F ~ ~f K

rl/t. 1 -' -.~ - - ~ 4Xl<

II primo membra rappresenta la derivata rispetto al tempo del­

l'energia cinetica per unita di massa. In condizioni staziona-

ri~ divicne

~'w1(t" J'.r . Il primo termine al secondo membro rappresenta 1a potenza delle

forze esterna per unit a di massa. Da osso si preseinde nel caso

dell'aria. A1 pili nel caso del peso vale

d"-OJ_(- .~~) X ~~ dove z e la quot.a ascendento e g 1 t accelerazione di gravita. II

secondo termine a secondo membra della (13) vale

104

- 21 - B.Finzi

dove

(14) H " f ~:-e l'entalpie che da il contenuto termico per unita di massa,

entaJ.pia cha si caI~ola medi ante l' int egra1e indefini to ('4),

una volta esprosso ? in funzione di p risolvGndo lo' equaz:i.onG

colllplementare.

Nel caso stazionario dalla (13) si trae dunque:

3'WAl t t 1\]'\ 3% + H 1 X 't == 0, Questa afferma che lungo una linea di flusso, nel moto staz1ona­

rio diun fluido perfetto, e costante il trinomio che in esea

compare:

(15 ) ~ 'U' \ ~z + H :: VO~ La (15) esprime il celebre teorema di Bernoulli.

In particolare, per un gas che non esp11C8 la sua compri­

mibilita, trascurando l'addendo gz.o ricordando la (10'), sL he:

(15' ) i ,,/+ t = cot', Per un gas perfetto in condizioni adiabatiche, ricordando le (10 '"

81 he. 1nvece:

(15" )

. . ~-\

: '\J t. + .:£J1:) r _ e.ot. ~ (-I\K)

In entrambi i casi, se il mote e stazionar10, lungo una line:? di

£lus8o In prcssione e maggiore dove manore e 1n velocita, minora

dove quest'ult1ma e maggiore.

Poiche 10 pressione p non PUQ mai essere negative, dalle

(15') 0 (15") 8i deduce cho In velocita v dGl fluido non PUQ mni

supornre, mantenendosi stazionaria, una vG10cita limite V facil­

monte calcolabile in base alle relazioni precedenti.

105

- 22 - B.Finzi

8i ri~evi che ncl caso partioolnrc, ma notevole, di un

moto stazionurio e irrotazionalo, in virtu del1a (5). laprima

delle (12) 81 puo scrivere oosi:

~)t~2.+6:(,+H1 ::0 Intogrando questa l 1 2

rolazione si deduce oha i1 trinomio ~ +gz+H

3 costante ovunqUC, e non so1tante lunge una linea di flusso.

6.- Fronti d'onda e volocita del suono.

E' importante ricerc8rc, in un fluido perfetto, ifronti

dlonda, attravereo i quaLi 10 derivate prime delle funzioni inco­

gnite ohe compaiono ne1 sistema (12) possono presentare delle

diS<Jontinui. tao

Detta

(16 )

l'equazione di un fronte dronda in un generioo istante t, la

velocitA d'avanzamento di tale fronte d'onda e notoriamente

(17) A Esprimiamo, mediante l'equazione complementare, p in fun­

zione di ~ e consideriamo 1e rimanenti 4 funzioni incogni te

v1v2v 3 ~ • Semplici considerazioni cinematiohe impongono alle

diacontinuita delle derivate di queste quattro funzioni attraver-

so i fronti d'onda di soddisfare al1e seguenti relazioni:

(18 )

d'l/'I( _ ).. J 'C' ;;r-- kU

_ """ ') l' t. )To

} D0'\J~ \'K '1_1:'. {\Co}:: ~~/~) oX. ~x· '\

) D~~..,::: A, -")"t', li::~'.3) <Ix" "1)(11 \:

dove D e simbolo lI[i discontinui ta e 'A. 1 \, 2 A 3 "'4 sono quat-

tro moltiplicatori a priori nrbitrari.

106

- 23 - B.Finzi

Scriviamn le 4 equazioni differenziali del quadro (12) da

una banda e dall'altra di un fronte d'onda. Per differenzs otter­

ramo le aeguenti equazioni algebriche, ~inQari omO/ircnee, a cui

ll.bOO- .... bbidire i <ll~t-t1'O moltipl-icutori:

(19 )

Dalle (19), che esprimono 1e condizioni dinamiche relative

alle discontlnuita, si deduce che le discontinuit~ delle deri­

vate dellevelocita sono longitudinali.

Affinche perc 1e varie d1scont1nuita considerate esistano

veramente, biaogna che il determinante dd sistema (19) sia nul­

lo, e cio comporta 0 fronti d'onda fissi rispetto al fluido, a

fronti d'onda d'equazione (16), tale che sia

(20) i; = !~ ~r I~~I· Ora, se vn e la componente di y secondo la normale ~ al

fronte d1cnda, si ha:

d"t' ---d t Segue di qui, dalla (20) e dalla (17) che la ve10cita di propa­

gazione delle diecontinuita, rispetta al fluido in mota, e:

(21) e co A - '"~ ~ ± V 1~ · La (21) da la velocita di ~ropagazione del suono nel fluido

allorche c1 si panga nelle cancliziani genera1i considerate. Essa

risulta genericamente variabilo da posta a P08to e da istant~d

istante. In condizioni adiahatiche dalla (10"') scende aha

107

- 24 - B,Finzi

r--r (21' ) e -= ~ ~ ~ ~ •

Poiche la (10) e tale che ~.L > 0, la (20) mostra che, d~

se il mota e variabile, i fronti d'onda da essa individuati sono

sempro reali, cioe sono sempro roali Ie varieta caratteristicho

del sistema differenziale (12), cioe questo he carattere iperbo.­

lico.

Nel caso stazionario cib nmn avviene invece sempre, per­

che in tal caso risulta dalla (17) A=ID, e quindi da11a (21) se­

gue:

(22) (?-'-v -- .'1'It -'

e questa relazione come ora vedremo, non sempre puo essere sod­

disfatta.

Diciamo ~ i1 comp1emento

de11 1 angol0 che la velocita y in un

punto,generico P forma col varsoro normale

'I\, a un fronte d 1 onda, varsore spicca-

to da110 stosBO punto P. La (22) diviene

(22 ()

,. , ,

e questa relazione puo essere soddisfatta soltanto Quando ;~ 1.

Poniamo

(23 )

EI questo il numero di Mach, rapporto fra 1a vo10cita del fluido

in un punto e in un istantc 0 180 velo'cita del suono ne1lo stosso

ppnto e nol10 stesso istante. In condizioni ipersonicho M) 1; in

condizioni ipoBoniche M, 1; in condizioni 80niche III = 1.

La (221) si puo scrivaro C08l:

(24 ) .~ --. M

108

.. I ...

L' angolo d. 8 detto percH) angola di Mach: se ovunque M > 1, so

ci08 vigono ovunque condizioni ipersoniche, questo angolo 8 ovun­

que reale, ovunque reali sono i fronti d'onda e il sistema diff0-

rcmziale contenuto in (12) ha carattere ovunque iperbolico anche

in condizioni stazionariej se invece e ovunque M<1, se cioe vi­

gono ovunque oondizioni iposoniche, l' angolo c( non 8 mei reale,

i fronti d ronda non sono reali e il sistema differenziale conto­

nuto in (12) ha carattere ellittico in condizioni stazionarie, o~

sia cio che avviene in un punta influenza ed 8 influenzato da

cio che avviene in ogni altro punta del campo di moto; se poi

vi sana r0gioni ove !vI » 1 e al tre ove M < 1, il si st ema d:i.ffero!!

ziale (12) ha, in condizioni, stazionarie, carattere-misto: esist.Q,

no regioni ipersoniche e regioni ipasonichc, separate de. suporfi

ci soniche ove M = 1, e qui d = f( , cioe Ie. veIoci.ta del fluido '2" e normale al fronto d'onda.

7. - Tooremi di Thomson 0 di Lagrange.

Consideriamo un fluido perfetto 0 proscindiamo dalle forze

di masse.. La prima equazione indefinita (12), introducendo l'onta!

pia H, puo scr1versi vettorialIDDnte cosi:

(25)

Esse afferme. cho l'entalpia e opposta al potenziru.e d0llraccele:£l~

zione.

Consideriamo nel fluido una linea chiusa l sempre formata

dalle stosse particelle fluide e calcoliamo in ggni istante t la

circolezione f' lungo tale linea: r = f ~ l( d P • Calcoliamo la

derivata di r rispetto al tempo: t

dr - J- d!!_xdP +f 1,,-Xcl"V. dl~" dt --t t

(25), Jy .xdP= - dH, montrc ~ x dy=d(~ v 2 ).

cit

(26)

Ma, per la .3sscndo

109

- 26 - 13.Finzi

Hot v 2 funzi-oni uniformi. entt'8.lllbi gl.i intogral:! "hid C<lIllDBio­

no a seoondo mombro della (26) sono nulli, 0 quindi

(27)

La circo1aziono lunge ogni linea chiusa £ , sempre formata dalle

stosse particelle fl.uido, 8 dunque costanto, se 11 fluido 8 per­

fotto 0 "il moto lungo ..e e rego1aro; 8 questa 11 teorema di

Thomson.-

Dal toorema di Thomson si puo dedurro, come corollario,

i1 teorcma di Lagrange ,

So inizialmentc il fluido 8 in quiete, lungo tutto 10 li­

nco chiuse tracciats nel campo di moto 8 r =0. Le particellG chG

costituiseono queste linoo formeranno~ a capo del generico tempo

t, delle lineo chiuse cho nolla 101.'0 collottivita riompiranno il

campo di moto,e, per il toorema di Thomson, continuara ad esse­

re r=O lungo ognuna di questo lineo.

Considcriamo quel1e fna quosta linGo chedelimitano dia­

frammi tutti contenuti nel fluido, dove il mota e rC3g01aro,

Par 11 teorema di Stokos, sara sempre nullo il f~usso d1

rot y attraverso ogni diaframma che ha per contorno tali linee.

Dunquo, dove il moto e ragolaro, e sempre rot y =0, Ci08 11 mota

e 1rrotazional.e: e questo il teorema di Lagrange, il quale sottol1.

nea l'importanza predominanto dei fluidi perfotti di quellapart1.

colaro categoria di movimonti che e cos"tituita dai moti irrotazio

nalL

8. - Vortici.

Dato un campo cinotico (li vl,loci ta y, considoriamo i1 campo

del vcttoro rot y cho rapprosenta il doppio dell~ voloc1ta ango­

lare di ogni el:emonto fluido. :Csso e solonoidalo, porbhe

(28)

110

- 27 - 13.F1nzi

Considoriaroo un tal» di !lusso in qUGsto caro'Po Stllonoidalo:

il suo flusso ~ eguaglia, pur il toorema di Stokes, la c~CO~a­ziono r della volocita lungo ogni

linea chiusa I , tracciata sulla sua

suporficio, cho abbraccia una sola volta

il tubo. QUGste tubo si dicc tubo vortico~

!i!.Q. e J= r 113. sua intansita.

Un tubo vorticoso, esternamente a1 quale i1 moto e irro­

tazionale si dice vortice. L'intensita J di un vortice e l'i,!!

tensita. del tubo vorticoso che 10 cOlltituisce, ed eguaglia la

circolazione lungo ogni linea chiusa e che l(abbraccia una

sola volta, anche 8e questa linea non e tracciata proprio sulla

Buperficie del tubo Vorticoso.

Ecco come e fatto un vortice:

vi e un tubo entr~ il quale 1e parti

celle fluide traslano, motano e ai

deformano; esternamente ad esso Ie

particelle fluide trasfu§no, si deformano, ma non Duotano, e perc

circolano tutte egualmente attorno al tuba con 1a medesima cir­

colazione eguale all'intensita del vortice.

Il tubo vorticoso che costituisce un vortice pub ridursi

ad un filetto vorticoso, rappresentato geometricamfo oo3 da una

linea. Affinche la sua intonsita ~ sia finita, biscgna che sia

finito il flusso di rot y. attraverso la sezione infinitesima del

filetto, e questo esige che siano infiniti rot y. e la velocita

angolare degli elementi fluidi che costituiscoho il filetto vor­

ticoso. Un fi1etto vorticoso rappresenta percib una tipica

singo1arita in un campo cinetico irrotazionale.

Ad es. una retta normale a1 piano direttore, passante por

i1 vortice puntiforme considerato nel CAP.I, costituisce un filet­

to vortico!so rettilineo in un campo cinetico armonico.

111

- 28 - B.Finzi

I tubi vortico si e i fTletti ch" ()O ot.it"liSO<:lno ~ v.-.r·bi . .cj

debbono chiudersi su se stessi a ma di anello, 0 giungere fino

ai limiti del campo, magari fino all'infinito.

In un fluido' perfetto i vortici godono di notevoli proprio­

ta. che discendono dai teoremi di Thomson e di Lagrange: partendo

della qUiete, essi non possono fermarsi la. dove il mota ~ regolare,

ma possono para formarsi ~a dove il moto non e regolare, 0 su­

biace variazioni cosi bruscho da costringere a ritenere viscoso

il fluido, come avviene nello steto limite aderente a pareti.

Tipicamenta i vortici cho si formano costituiscono essi stessi

delle singolarita. rapprosentate da filetti vorticosi.

Ltintensita. complessiva dei vortici cha si formano nelle

regioni di s1ngolarita e nulla, perche se si considera una linea

chi us a L ,sempre formata delle s tesse particelle, le quale

racchiude tutte le regioni di singolarita dove s1 formano vertici,

lungo essa e inizialmente nulla la circolazionc r , e quindi

sempre nulla dwe esaere r in ogni altro istante, e percia nuJ:­

la deve risultare l'intensita. complessiva dei vortici che L rac­

chiude. Se dunque, in un fl.uido perfetto-, si fonne un vortice di

intensita. J in una regiono di singolarita., debbono contemporanea­

mente formersi altri vortici d'intonsita complessiva - J ,pure

in regioni di singolarita..

Sui vortici sussistono i seguenti classici tooremi di

Helmholtz: in un fluido perfetto in moto rogolare osternamente a1

vortici t questi non possono distruggersi; i tubi vorticosi e i

vortici che ne sono dolimituti sonG sempre formati dalle stesse

particello.

9.- Correnti euleriane.

Consideriamo una corrente stazionaria costituita da un

fluide perfetto che non esplica 1a sua co mprimi bi lit a. , la quale,

investe un ostacoJlo fisso> dolh,i tate de. unCI superfioie 6"' •

112

- 29 -

Sia £ 1a velocita 89intotica della

<)(>l:'r~te, e secondo .£ orient.iamo

l'asse x.

~er il teorema di Lagrange, i1

campo cinetico pub

dove e rego1are, e quindi esiste un potenziale cinetico

cui y e gradiente,

(29 )

di

e i1 potenziale cineiico e funzione armonica, soddisfacente al­

l'equazione di Laplace

(0) ts iP :: 0 t

Sulla superficie 6 dell'ostaco10 deve essere nulla 12

componente norma1.e della velocita, e quindi

tfflyo, :: ~. = 0 d.-')'I.

A11'infinito y deve ridursi a,£, e quindi, so r indica la coordi-

nata raggio, deve risultare:

(32) t~ d'wct; ( f - ~. X) :: 0 .

Sa nel campo di moto non ci sono fi1etti vorticosi ne altre

singolarita., se sul contorno G dell'ostaco10 e nulla l'intcn-

sita complessiva dei vortici che vi si debbono pensare distribuiti,

quale estrema schematizzazione dello strato limite, e nulla 1a

circo1azione lungo ogni linea L- che abbraccia tali vortici e

quindi 'f e una funzione uniforme 0 pure uniforme e la funziono

~- ex Ie cui derivate s'annullano all'infinito.

113

- 30 - B.Finzi

Una corrente eoeiffatta si dice eul eri ana. E' ad es. eu1eri~

na la corrente di potenziale cinetico

che investe una siera che ha centro nell'origine e raggio a.

E' pure euleriana la corrente piana che investe un profilo circ£

lare, e che abbiamo considerato a mo' d'esempio nel Cap.I; e 10

e pure 18 corrente che da quest~si ottiene con una trasformazio­

ne oonforme.

In una gBnerica corrente euleriana. quando r e abbasta.nza

grande, si PUQ sviluppare la funzione f- ex, ooai:

(34) A B - + ~ +.(, ... " J(, n:.,~

dove il coefficiente A e coetante •

. D'altra parte, nel caso spaziale, pOiohe 'f e una funzione

armonica, regolare nel campm eaterno a ~ ad interno ad una

siers n con centro nel1'origine e raggio r abbaatanza grande, e nullo l'integrale esteso al eontorno della sua derivata normale:

r.df .. dd + r .i1.dil::O J~ d.-n. In Ii It

a, ricorda.ndo 1a (31) e la (34),

J~~dn -hrrA- r~Bdf\ n 41f.. Jp I(

o.

Ma i1 primo integrale e nullo; il terzo e i successivi 10

sono per r ---t> 00, e quindi

(36 ) A o. ,loer;co

Ne segue che, nel caso spaziale, il potenz.iai~~ di una

corrente euleriana differisoe del potenziale ex di una corrente

uniforme per termini che s'annuJ.lano almeno oome;2 per r~ro.

114

.. )1 • . 1,1111. ....

Le sue derivate, che danno Ie componenti della velocita, diffe­

riaoono de.lle componenti della velocita della corrente uniforme

a menD di termilili. che s! annu1lano almeno come ;3' Lei conilliaerazioni precedenti non sussistono nel caso pia­

no, perche qui bisogna soetituire alle superficie G dell'osta­

colo il profilo che la rappresenta nel piano direttore e alIa afe­

re. 1'2. una circonferenza can centro nell' origine 0 raggio r, V.!!

Ie ancora 10 svilup~o (34), rna i~ luogo della (35) sussiste la r~

laz:ione:

J'e ~ dD - 21<~ -j'~B d~ .. "., n drt. '{. n 't

o ~

le. qualo per r -i> co Sl riduce ad un! ide:iJ.:ti tao Vieno mono cos~

la conclusione (36), 0 quindi, nel caso di una corrente ouleriana

piana, il potonziale cinetico i' differisce de. cx per termini 1 che s' annullano almeno como r: per r ... ;;.. 00, e 10 sue deri va to, che

danno le componenti della velocita, differiscono dalle componen­

ti della velocita della corrente uniforme e. mono di termini che 1 s'annullano almeno come r:2•

Le condizioni asintotiche relative alle correnti euleriano,

spaziali 0 pie.nlil. proccddLtemente stabilite si dicono condizioni

asintoticho eulo~t§Q9~

10. - Correnti trasl0.circolatoric.

Oltre aIle corronti ouleriano intcrossano l'aereOdinamica

le correnti annonicha cha soddisfano, como Ie correnti ouleriano,

~lo oquazioni indefinite (29) (30), alIa condiziono al contorno

(31) e alIa condiziono asintotica (32), ma che non sono euleriane

porche non sussjsite almono una dolle due seguenti condizioni:

assenza di filetti vorticosi 0 di al tro singolari ta. nel campo di

moto, intonsita complossiva nulla doi vortici distribuiti sul

contorno dell'ostacolo.

115

- 32 - B.l!'inzi

Le correnti stazionaric armoniche in presenza aella soia

di Helmholtz, ove il fluido in moto vorticoso e mediamonte in

quiete, lasciano cadore la prima condizione, porche s1 hanno del­

le discontinuita. sullc suporficie cho separano la smia dal resto

della corrente.

Questa prima condizione e pure lasciata oadere d~le corren­

ti aDnoniche non stazionarie, piane, nelle quali a valle del prQ

filo investito dalla corrente si estende la scia di Karman, for­

mata da una duplice schiera alternata di vortici opposti.

Piu semplici di queste correnti non euler1ane sono le cor-

renti stazionarie, pure non eu­

leriane, nelle quali e lasciata

cadere soltanto la seconda condi­

zione. In esse non e nulla la circo-

lazione r lungo ogni linea che

abbraccia una sola volta tutti i

vortici 81 contorno dell'ostacolo,

ma essa e eguale all' int ansi ta complessi va J di tali vortici.

Il potenziale cinetico f non e conseguentemente funz10ne unifor­

me. Una corrente cosiffatta si dice traslocircolatoria. Per ss­

sa vengono meno 1e condizioni asintotiche pr$prie delle correnti

euleriane, e ai PUQ giustificare fis1camente questo f~tto pen­

sando che all'infinito s1 siano rifugiati i vortici aventi inten­

sita. complessiva - 0 , generatis1 insieme a quello di intensita.

complessiva ~ rimasti sul contorno de11'ostacolo.

Un esempio cospicuo di corrente traslocircolatoria si ottie­

ne considerando la corrcnte stazionaria armonica piana, che ha

come potenziale complesso f(3) la somma del potenz1ale complesso

(30) I, proprio di una corrente euleriana traslatoria cha investe

un profilo circolare avente centro nell'origine e raggio ~, e del

116

- 33 - B.Finzi

ll(>t~al.e~sso (26) I, proprio di una corrente ataziona­

ria annonica, piana, che circol.a con cireol&.z:l,.ene r ... d attorn<>

ad ogni profilo circolar~ con centro nell'origine:

(37) i (z) = e ( z + 4) .. fu ~ '£ •

Questa corrente lambisce 11 profilo circolare con centro

nell'origine e raggio.!, e, se j ';> l.r-rt£V€, non presents ne un

punto A di propa, ne un punto B di poppa ove la velocita s'annul­

la; se invece ~1 < knllle presenta due punti oosiffatti, i qua­

li vengono a coincidere quando £J = L,1t' a-e.

117

• •• •

CAP. III

AZIONI FLUIDODINAIHCFE SU SOLIDI

1.- Risultante e momento delle azioni fluidodinamiche.

Le azioni che un fluido esercita su di un solido attraver­

so una parete 6 , costlb.tui to da una parte 0 da tutta l~ sup or­

ficie che delimita il so~ido, sono caratterizzate da due vottori:

il risultante e il momento delle forze cho il fluido esercita sul

solido attraverso G Se fl.) e la forza per unita di superficie, 10 sf~rzo, cho

\4" il fluido esorci ta lb.n un punto P au di un elemento d" di ver-

sore normale !! volto verso l'esterno dol f1.lrIIido, talo risultan­

te 0 tale momenta, rispetto al polo 0, sono:

In condizioni statiche t('-.... ) si riduce al prodotto della prossiQ

ne statica Po p~r il vorsoro normalo ~ , e quindi i1 risul tanto

~ ed il momento M delle azioni dinamicho che il fluido osercita

sul Bolido si osprimono cOBi:

(1 ) R - J(t(~) -!a 'fr)d6 (2 ) ~1 :: S 0- 0)" (t(~)- ~~ '!:) ck .

d Nel caso di un fluido perfotto, se p e la pressione in con··

dizioni di moto, fr'Yv) = f~ e quindi le (1) e (2) diventano:

R : ;r(t-r'c0"" J .. ) (~~ t! = f(r-O)A~-t~'!>cl" (1 ' )

. ~\... ... Nel caso di un fluido viscoso, bisogna porre nelle (1) 0

(2) ~'IV)'" t '!! + ~tr.)' dove, se qik e i1 doviatoro degli sforzi,

118

• lUI •

f< ~{~) e il vottore di eompononti qik'Vv

'it ...... ..

- 8i cO~1.si :l::;ri. 1.n ~artico1,)re, un solido. deJLimi tato dalla

6uperfici 13 f5 il qualo si mu.ovc 'li moto tro.slatorio, con vc-

10cit8o Q in sono ad un f'luido. La compononto del risultantG li dGIIG azioni:lim.micho secondo - e compononto di !i normaie a Q si dicc forza _dGv:;iatriQ.£. La porta£­

~ e una forza dcviatrico. Il l"-omcm~o M si dice ~_mcn12_1~yJato-

!£. Consi.dcriarno un solido in moto traslatorlo n:ttilineo lmi­

forme, con voloci t3. COSGante Q, in SGno ad un fluido. indofini­

taunente GstGSO, in quliloto·all'infinito. So imprimiamo a tutto

il sistema solido-fluido un moto traslatorio rettilineo unifor­

me con voloei t3. .9.. '" - 2., i1 solido rimanc formo e i1 fluido 10

investo con u.'1::l co:":;"onto di velooi ta asintotica .£.

Per il prinGipio g91ileiano dj rolativita, il risultcmtc.; 00.

il momento dollo azioni dina111.lche cha lEI corronte esc.;rci ta sul-··

l'06tacol0 Gono \:uc.;lli ste~si cho il solido incc-ntra mov(~ndosi

o.i mota traslatori.o rc.;ttilinuo u.'1i.formo con voloei t8. Q in aono

al fluido in quiete all I infinj to. Lo ga11nrio PI vento 8i fondanc

appunto su quosi.;o principio,

2. - Toororo/\" d.o.ll.a a).l.antj,ts. di.. ... 11lS>:t..o.-

Por calcolnro il risultanto Ill: del1.o ozioni dinamicho oho

si 0sercitano su -Gutto i1 contorno r. di una :rogione ~luidat:)

ci si PUQ sor.,rire dol tooroma dol10 quantita di mote.

Sia ~ 1:1 densita G :y: In volocita del fluidc in '"t: sia

l la forza Gst~r'na por 11..'1i ta di volume (tipicalllente :i1 paso spo­

ci~ico, dal guale jn aer,/od:in~mica ord.inaTiam~r,:to si proscinde).

8i ha:

~ Jq~d~ -f t(w)dL r

(3) -, + J£ d-r 't' L ~

119

- 36 -

se·n, e i1 versoro norma1c vol to osternamento a 'C' •

Ora~ in cond.izjoni statiche, la (3) diviene:

() = Jto ~ d L + Sf d T

! 1:' Facondo la diff~~onza e ricordando In (1), si hal

(1,5 J - d,t; ~!! 0. 't'

''\:'

·R -!

La (4) e applicabilc alla por-

zione di corrente cho investo un

ostacolo fisao e chc e estorna alIa

superficie. ct dull.' ostacolo od in­

terna ad una su)orficiu di control

10 SL , ad.es. una sfera di rag­

gio abbailtanza grand0.

B.Finzi

Nel caso in osamo la dorivata sostanziale rispotto al tem­

po della c,uanti ta di mota e ,ip':_£9l'!:d!:.zJC!:P.-J~J?,ggola~l.ta, somma

di tre addondi: i1 primo e la derivata parziale rispetto al tem­

po della quantita di mota, i1 s~condo e il flnsso d1 quantita

di moto uscento da 5 , 11 terzo e i1 flnsso di quantita di mote

usconto dn n. . O:l;a, i1 primo addendo vale ..2. f~~'dt ; 11 ct~

secondo e nullo, porche G e suporficie di fIusso; il tcrzo va-

le J.~<;~X'~ An ,perche ~?)(~dn e 11 flusso di massa .1'1

uscente dnll' clcrnonto d n .\'. -go ~ 1? )( ~ dJl 11 flusso di quanti'"

ta di mota cnu usee, dal IDodosimo elernento.

Dunquo:

(5) it fq ~ d-r::' * S~~ d .. + J ~ ~!)(!: dSl . --r- "t.n.

3. - Azioni dinamich8 cscrcito.:te da correnti armon,ie.he .stazion2.r~.

Nel Co.so di .29I.E.£nt~ arm(miC~le stnzion'lriG, vo.le i1 tcorc­

rna di Bernoulli nella forma

(6 )

120

- 37 - B.ll'inz1

dove gz e l'eriergia.potenziale delle iorze unitarie di massa

(dalla qua1e in ael'Odinamica ordinariamente si prescinde), q e costante e la costante che compare al. secondo membrp non dipende

dalla line~ di flusso che si considera.

D'altra parte, in condizioni statiehe, delle (6) si trae

q X + k ::: (.o~t. , (J ~ ?

e sottraendo questa dalla (6) 8i deduce:

(7)

la (1') diviene percio:

(8) R - i Jll-l"?; de- • , Questa formula, che da. il risultante dell.e azioni dinami··

che au di una generics superficie 6 , divieneparticolarmente

espressiva nel caso piano, in cui , e sostituits da una linea

A, di flusso.

Diciamo R1 e R2 le componenti secondb gli assi cartesiani

xy, aegnati nel piano direttore, della forza li per unita di altez­

za che si oserci ta sulla linea di f1uBso A (1e dimensioni di li sono quel10 di una forza divisa per una lunghezza). Se ! e l'uni­

ta immaginaria, della (8), si trae :

dove

sono 1e due

del versoro

generieo punto P e volto esternamente

a1 fluido. ~---.~

X

121

- 38 - B.Finzi

II verso degli assi cartesi.ani e i1 vers.!) di percorrenza di

)" ne1 ca1col0 dell'integrale Bono quelli indicati in figure: in

partieolare, porcor:cendo),,, , si laseie il fluido a destra. Con

questa c~venzioni 8i ha dunquc:

(9 ) (!l. . -~ J ~~) ( d)( - ~ dY)

A, Introducendo la variabile complessa z=:x:+iy, la veloeita

complessa w=V 1-iv2 e osservando che lungo una linea di flusso

cl~. _ ~ , si tresforma ~a (9) nella seguente fonnula d~ 'It' - ,,;

Blahus: 1.

(10 ) :;:: -t J ~i"d?; . A-

La (10) dh i1 risultentc delle azioni dinamichc dhe una

corrente armonica stazionaria esercita su di una linea di flusso,

mediante il calcolo, lungo tale linea, di un integrale, rispet­

to alla variabile complessE' z, della funzione 'Ill di tale veria­

bile.

4.- Paradoss() d .. :L.<1'Aleptbert.

Consideriamo una corrente stazionaria, formata da un gene­

rico fluido perfetto (che esp1ica 0 no 1a sua comprimibilita),

1e quale investe ~~ ostacolo delimitato da una superficie ~

11 moto sia irrotazionale 0 no, ma ovunque regolare nel suo cam­

po, e la veloci-La tenda, al:l t infini to, al valore asintotico ,£,

differendovi a menD di termini ahe s'annullano (come per le cor-t' ul' "1 1 ren ~ e er~aae/ a .meno come ;3 per r _ 00 •

Applichiamoil teol'ema del) a quanti ta di moto alIa porzione

di corrcmte che occupa i1 campo 't' , estr-ello alIa sUJ'er1i cie ~

che delimita l'ostaC'olo e interno ad una sfera.Q.. con centro al

finito e raggio r abbastanza gEande. 3i hal

(11 ) R t r (p-ro)~ d D. , fl.

122

.. 39 - B.Finzl

Nella (11) ~ e il risultanto dolle azioni dinamiche che la cor­

rente osercita 6ull'ostacolo. p la pressione; Po la pressiono in

condizioni statiche, .~ il versore normale a!l , volto verso

l' esterno di .1!' , ~ 11'1 densi tao

Valendosi della (5), valida in condizioni di regolarita,

e ricordando che la corrente e stazionaria, dalla (11) 8i ricava:

F? ::- J~ ~ ,y xn d n - rlf --!,,,) !!~ 11.. n Jl.

(12 )

Be allora supponiamo infinito il raggio r di n e osservia­

mo che, vigendo per ipotesi condizioni asintotiohe euleriane,

la velocita ~ differisco dalla costante £ a mono di termini che

s'annullano, per I.' -..,. 00, almonD come ~3' e cosi pure P-Po e f differiecono delle costanti (P";Po) e I" a meno di termini 00 )()O

che s'annullano nol modo precodente (.), dalle (12) si deduce:

R - (~) £ . £ X I ~ Hl -(t -f~ ~ ~ ~.n . OQ :n. .. oq- :fl.

Ma, por ragioni di simmetria f 'll ~.o_ ::; 0 ,e quind! n.

(13) R- 0

La (13) estende ad una generica corrente stazionaria,

formata da un fluido perfetto, in moto regolaro e sotto condizio­

ni asintotiche ouloriane, i1 celebre ~adosso di d,,'Alembert,

che questo autere stabil~ per correnti armoniche che investono

solidi di rivo~uzione, e che ~u via via esto8o da POisson, Groen,

Plana, Kirchhoff, Cisotti.

(')Dal teoroma di Bernoulli si deduce che, quando vigono condizio­~

ni asintotiche euleriane per la veloci ta e quindi anche per :1.-~

queste condizioni vigono anche pOl.' l'entalpia, e quindi ancho par

p-p& 0 ~ •

123

- 40 - B.Finzi

Data l'importanza del paradosso di d'Alembert, accenniamo an un1attra &ua di~strazioh& va~ida per 1e correnti euleriane ata­

zionarie piane.

In questo c~so,se /, e la linea chiusa che costituisce i1

profilo de11'ostacolo investi to dalla corrente, l.a formula di

Blasius (10) da; t~

R, +, R, = - ~ f"~~z ¥*~ __ dove w=w(z) e 1a ve10cita complessa. ~~+ -~_

Ma, se ,Jl e una circonf.erenrza con - - ~.<~·I ?~ ,'--- \''/.:'

(14)

centro :Q,ell 'ongine e raggio r abbastan' --~~,;: ..J.----, ~'.n.

za grande, in condizioni di regolari-

ta ~ notoriamen-te:

(15 )

e quindi

(16 ) : ? w?'dz Jl.

Ora, per Ie correnti euleri.ane piane, w differisce da c a meno

di t ennini che s' annal1ano almeno come 12 per r _ 00 , e quindi 2 . 2 r

anche:w diffel!ri.sce da c a meno di tennini che s'annullano nel-

10 stesso modo. Ne segue che l'integrale che compare a secondo

membro della (16) e nullo, ossia

conformemente al paradosso di d'Alembert.

5.- Estensione del paradosso di d'Ale~bert ai fluidi viscoei.

La dimostrazione del par~dosso di d'Alembert, ottenuta

sfruttando il teorema della quantita di mote attraverso le (11) e

(12), puc estendersi ai fluidi viscosi. Basta infatti in questo

124

- 41 ..., B.Finzi

caso aggiun[ere s.1. vettore (p-po)'~ che vi compare il vettore

1~)che rappresenta 10 sfor~QVi8coso che si eaercita su di un

elemento euperficiale. di versore normale .~ •

Se manteniamo ferme 1e ipotesi di regolar~ta e le condizio­

ni asintotiche euler1ane, in 1uogo della (23) a1 perviene alla

rel.azionel

(13' ~ R - ( q (".) J ..0 • In.. Ma se all'infinito v differisce dalla oostante c a meno

di termini che s'annullan: almeno coma ;3, gli sforz1-viecosi,

cha dipendono linearmente dal1e derivate di y slannullano sufl almeno com~ 14, e quindi come l'integrale che compare nella (13')

r e nullo. He segue, come per i fluidi perfetti:

(18 )

6.- Rimozione del paradosso di d'Alembert.

La precedente esteneione del psradosso di d'A1embert moetra

che la viscosita,considerata sol tanto in modo diretto, attraver-

80 le equazioni indefinite, non basta a rimuo~ere i1 parado8so

stesso. Per rimuoverlo bisogna rinunciare 0 alla regolar1ta, 0

alle cOndizioni Bsintotiche euleriane, 0 a entrambe le condiz1oni

che intervengono in modo esaenziale nella dimostrazione del para­

~sso, sia q~do a1 presc1nde che quando a1 considers la visco­

sita del fluido.

La viscos1ta puc indirettamenee rimuovere i1 paradosso pro­

vocando delle singolarita B alterando le condizioni asintot1che

mUeriane. Cl0 avviene nello strato limite aderente alle pareti:

qui infatti ai fermabo vertici e questi, quando s1 allontanano in­

definitamente con intenaita complessiva non nulla, creano condi­

zioni asintotiche non euleriane, quando reatano al finito nel

125

- 42 - B.Finzi

fluido r~guardato come perfetto.

Per mostrare matematicamente come una singolarita ilossa

rimuovere il paradosso di d'Alembert, riprendiamo la dimostra­

zione del parado sso st esso, quando in un punta d' affissa Z v ,

posto nel campo di moto, vi sia un vortice puntiforme d'intensite,

'" Q,)' e quindi posse scriversi (cfr.la (27) I):

W( Z) Ll(Z} + J 2rr ~Tz---;:)

dove .\A,( Z. ) e una funzione rego-.

lare nel campo di moto, anchc per

In questo caso isoliamo il

vortice, e cioe i1 punto di sin~ola­

ri ta, con un cerchietto (,I di rag­

gio infinitesimo e osserviamo che,

in luogo della (15), si ba:

(15') f wLdz +~li/d.Z. -+ ~\X'tdz ':- () 'A. ~n w

In 1uogo della (16) si avre. dunque:

(16') R:t, -\- i. ~1 -= -ltW\h .\- t\~ \/'h . ..I'\. .(,)

Se valgono per la funzione w(z) condizioni asintotiche eule-

riane, e nullo il primo integrale ahe compare a secondo membro

della (16'); me nnn il l'\~cond.6 ahe riaul ta eguale a 2 W ( Z,,) ~ •

Ne sggue:

(19 )

a cade quindi il patados8o di dtAlembertl

126

... 4,) -

CAP. IV

TEORIA Dr JOUKOWSKI PER.L'ALA D'APERTURA INFINITA

1. - Teorema di Kutta-Joukows)d.

Le poche nozioni d'aereodlnamica svolte nei capitoli pre­

cedenti ci permGttono di esporre la prima teoria alare: quella di

Joukowski per 1'a1a d'apertura infinita, quando l'!i,:l'ia non espli­

ca la sua comprimibilita. Questa teoria si fond~su di un teor0-

ma mol to semplice: il teor-oma tIi Ku..tta-JoukOwski.

Consideriamo la corrente stazionaria traslocircolatoria,

di veloci ta asintotica. c e circolazione r , ehe investe nel

piano direttore un IH·ofi.lo circolare e. con centro nell' origine

e raggio B. Il potenziale complec:so e dato dalla (37)II e deri­

vanda si ottien8 la ve10cita complessa

Questa corrente piana comporta tanti vortici distribuiti

suI profilo ciroolaro, per un l intensita complessiva j eguale

alIa" circolazione r . }~S3a non e una corrente euleriana, per

J ~O, perche all'infinito w differisee de c a meno di yermini 1 .

che B 'annullano Boltanto come ;, per l' ~~ (l) •

CQlcoliamo i1 riBv~tante E delle azioni dinamiche (per

unit8i di lal'ghezzO\ jn senso norrna1e a1 piano di-re-ttore) ehe la

corrente eseroita sul profilo c::"roolare.

Grazie alIa formul.u di Blasius (10) III, se )' e 1a densi ta

costante d0l flu1do, 8i hal

R +t R =- - ~ L. 1 2. 1 TrW d'l.

~~~) cdz. + c~. f ch- \ '{ ... ' - 7"" 'Tf l t.-~~ 0 . t ~ .

Tutti gli integraL ehe compaiono nell'ultimo membra della (2)

(2 )

127

- 44 - B.Finzi

Bono nulli, meno l'ultimo che vale 2 ~ i. Ne segue:

Poiche al secondo membro della (3) compare un numero reale,

avremo:

R - 0 ,- , La prima delle (4) afferma che e nulla la componento di li secoll

do l'asse x orientato come la volocita asintotica della corren­

te. E' dun que nulla la rosi'Ltenza. La seconda delle (4) dice che

non e nulla la forza deviatrice. Se nel piano direttore l'asso x

e ori.2zartale e I' asse y verticale ascondente t ad essa corrispon­

de una effettiva portanza so 1a circolazione ha verso opposto

a que1lo della rotazione cho por­

ta l'asso x a concidere con 1'asso

y.

11 teorema precedente si

estende ad ogni corronte stazio-

naria traslocircolatlhria rego1aro che

investe un profilo A . Detta w(z) la velocita comp1essa, della formula (10) III di

- i ~ w2(~) ct'tl it

Blasius 6i trae:

Ma, in cond:i..zioni di regolari ta, se 12. e una circonf01:'011Z3 ('on c~ntro nel-

l'origino 0 raggio r abbt~hmzE' ~'ral1dEl.

e quindi risulta:

128

- 45 - B.Finzi

R, + i ~, ~ i.; (.) dz . Sulla cinconferenza n od eBternamente ad eSBa, la funzio­

ne W(z) puo svilupparsiin serie di Laurent cosl:

(6 ) w(z)

Ma, per ipotosi

e quindi

(7)

Ne sogue:

t- • • • "-

t Wdz. -= ~1TlOV n

(8) w 1..::: / + ~ £.. 1. + ~. c b _ _~~) ~ -r .•• 'ITi. 'Iv~. "''Ttt:t:t

Intogrando lungo n , si trova che gli integrali di tutti i ter­

~ini sono nulli, menD 11 secondo cho vale 2 J c. Dalla (5) si

deduce allora che

(9)

La (9) e identica alIa (3) ed asprimo per UJl ganerico profilo (re­

golare) il teorema di Kutta-JoukowsY~.

2. - Giustificazione intuitiva del t.eorema di Kutta-:JoukowskL

Per ~endersi conto intuitivamentc del toorema di Kutta­

Joukowski, cha eta a fondamento della teoria dell' ala d' apertur'J

infinita, si supponga, per semplicita, cho il profilo investito

dalla corrente traslocircolatoria si riduce ad un semplice punta,

ave sana concentrati in un unico vorticc d'intensita oJ tutti i

vortici che ammantano il profilo.

129

- 46 -

Attorno a questa vortice

puntiforme si stabilisce una corre~

te circolatoria di circolazione

r = J .. Sovrapponiamo a questa

corrente circolatoria una corrente

traslatoria uniforme, di velocits.

costante £ ..

Riferendosi alla figura,

B.Finzi

s1 riconosce che superiormente la velocits. della corrente cir-

colatoria e Is velocita della corrente traslatoria si sommano,

inferiormente si sottraggono. Superiormente la velocita comples­

siva e dunque maggiore che inferiormente. Grazie al teorema di

Bernoulli, dove maggiore e la velocita., minore e la pressione: si

ha percio uno squilibrio di pressione, la quale e piu piccola

in alto che in basso, e conseguentemente sf esercita una portan­

z~ sul vortice considerato, che appunto per questo vien detto

vorti.:.£~~o_rj;_a£:!~.

App:icando la formula dm Blasius ad un cerchietto che rac­

chiude il vortice puntiforme, quando, come avviene nello schema

considerato

w = C +

si.ritrova, non soltanto qualitativamente, ma anche quantitativa­

mente il risultato espresso dalla (9).

3. - Corrente trasloci.rcolatoria generata da un' ala.

Un' ala rl.esce a mutare la corrente traslato.1.'i ache l' in­

veste in una corrente stazionaria traslocircolatoria che ds. luo­

go ad una portanz8. secondo il teorema di Kutta-Joukowski. II pro­

cesso attraverso il quale cio avvj.ene costituisce il segreto del­

l'ala.

Un'ala, d'e.pertura tanto grande de potersi ritenere infini-

130

- 47 -

ta, e rapprcsentata nol piano

verticale di movimento da un pr2

fila allungato A , i1 qual.c

te Po a1.1'estremit:a posteriorc,

rappresentmte i1 "lembo d 'usci ta",

B.Finzi

..

mentra e arrotondata l'cstremita anteriore, rappreeentante i1

"lembo d'entrata":

, Nel, piano di moto diciamo ~ = S +i '\ la variabile comp1o.!!

sa, c sis w( ~ ) 'la velocita complessa di una corrente trasla:­

toria che investe l'81a, con velocita asintotica r rappresen-

tata del numcro complesso w • 00

Questa corrente e ottenuta

dalla corrente traslatoria eule­

riana che i~este il cerchio ~ di

raggio unitario, nel piano della

variabile complessa z=x+iy, con la

trasformazione conforme

(10 ) z = z ( ~ )

la quale muta, il piano forato secondo i1 cerchio e nel piano

forat@ secondo i1 profilo alare A ,mentre per z ~ooe risul ta:

(11 ) {(\),~ e(2(~) - ~(~)) (,) dt ,Htl~_

w~ - ---, o\~ a7.d~ (12 ) e0- ~)) tr) e quindi, se c e 1a va] oel tR. asintotica

vesta ,,f "

della corrente che in-

(13 ) W IX

~W\ wl~) :: e ~ ~ . z ~oo Z..,tiO d~ di flusso della corrente cha invaste A vi '.Fra 1e linea

131

- 48 - B.Finzi

e il filone, il quale, provenendo dall'infinito a monte, batte

sul profilo i\ nel punta di prora A, dove la vel.oci ta s 'annulla.

Qui si spezza in due parti: una segue il dorso dell'ala fino al

punt.o di poppa B, dove la velocita s'annulla una seconds volta,

llaltra segue il ventre dell'ala fino al aaliente Po, poi monta

sul dorso raggiungendo il punta B di poppa. Riunitesi in B le

due parti, il filone'prosegue verso ~'infinito a valle. Questo

filone della corrente che investe il profilo alare .~ corrispon­

de al filone della corrente traslatoria euleriana cheinveste il

profilo circolare l Nel punta angoloso Po la rappresentazione confome (10)

non e regolare e ~ diviene infinita. Infinita div:ene allo­

ra, in base alla (12), anche la velocita complesaa w( ~ ), se

Po su'~ non corrisponde alla poppa z=1 del profilo circolare

t . Nel punta Po si forma allora un vortice puntifor.me, d'in­

tensita finita che diremo _ jQ • Cio e del reato ben naturale,

se si OBserva che in Po la velocita cambia bruacamente direzione.

, Ricordiamo ora che in un fluido perfetto l'intenaita com­

plessiva dei vortici che 8i form.ano sul contorDO, 0 la dove il

mota non e regolare, deve essere sempre nulla. Ne segue cha in

Po~i forma un vortice d'intensi­

ta - Jo ' nei punti d:l. A deb bono

formarsi tanti vortici distribui-

ti can continuita, in modo ehe

l' intensi t.8. compless:D.va di questi

vortici sia

Il vortice d'intensita -3c , posta in Po' non e stabile

e, trascinato dalla corrente, si stecca dal profilo. La corren­

te si modifica allora profondamente e diviene non stazionaria.

In un generico istante t, vi sana in seno ad essa i vortici mo­

bili che antecedentemente 6i sana staccati da Po, per un'intensita

complessiva - ~(t), e vi sono i vortici rimasti suI profilo, per

un'intensita complessiva J (t).

132

- 49 - B.Finzi

11 punto' di prora A e il punta di poppa B hanno, in ogni istante,

Una posizione su ~ differente da quella che avevano inizialmen­

te, e B si avvicina a Po'

6i raggiunge pero, dopo un tempo abbastanza grande, una

condizione di regime. I~ale condizione la corrente diviene

stazionaria: da Po non si staccano piu vortici, perche il punto

B nel quale 11 fi10ne si stacca dal profilo e venuto a coincido­

re col saliente Po' cosi che in questo punta non si ha piu ve­

locita infinita; i vortici precedentemente staccatisi dal profilo

8i sono ormai allontanati indefinitamente. Restano pero sul profi-

10 'A, tanti vortici, distI'lilbuiti con continuita., per un'intensi-

ta complessiva data dal lim j (t), e quindi la corrente a re­

gime e traslocircolatori~,"c~n circolazione

r == ~ dHt) . t~c.,

In questa corrente tras1ocircolatoria la poppa B dove cade-

re nel punta Po rappresent~te i1 lembo d'uscita de1l'ala, e

questa condizione di rego1arizzazione determina univocamente r . Infatti, la corrente traslocir­

colatoria di regime, che investe

11 profilo alare A. , e quell a

alla qua1e si perviene con la

trasformazione conforme (10), par~ tendo da1la corrente trasldcireo-

latoria che invest~ i1 cerohio f . J. ~

cordando 1a f,) ) A /"';1.. .--.,.. __ Poiche~er quest1ultima s1 ha (ri~ ~

I' ) r " / . t> (14) ~(z):: <;(1- 1.. "1"--:-] 0 \ z. 2 1'!T I" -,K _____ fo _____ _

-~ , I

risulta:

(15 )

133

- 50 - B.Finzi

Detta ~II l'affissa di Po su A , detta zo=z (~o) l'af­

fi ssa del punta ~ che vi cOITi.sponde au ~ , deve risul tare

w( t q )=0, affinche w( ~Q ) si mant8nga finita, malgrado che

sia }!jIl~ tit, ::: 00 • Dalla ( 14) si trae dung ue : ~-,.l, .. d(

e~- ..L)+ L - 0 (16 ) \.~ %,'- . ~1{, :("

Ma nei punti della circonferonza t di raggio unitario e Zo t,,ij" dove 8 e I' anoms.lia di Q/ Ne segue

(17 )

In conclu,sione, un' ala trasformu una corrente.: trusl<:ttoria

cha l'investe in una corrente traslocircolatorla, aventc la

medesima velocl ta aslntotica t . e avente circolazione r da-~

ta dal1a (17), nella qual C oi puo porre al posta di c (ignoto)

i1 suo valoro dato dalla (13) in fum"iono della veJ_oci ta asin­

totica complossa w cha e nota. Si ha cosl: co

(18 )

14.- Portunza d~ll~ nli dfanerturu_infinita.

La corrente traslocircolatoria. gene:rat~ nel. rrodo precedent,£!

mente descritto da un'ala di lrpertura infinita, e armonica 0 1'e­

golare, porche nel lembo d'uscitu la velocita e nulla 0 almena

fini tao L' ala s1:bisce pertan'co delle azioni dinamiche, por uni­

ta d' apertura a:J.are, il cui ri.8 ul t2Ulte E e dnto dal teorema di

litta-Joukowski, e guindi, se l~ voloci,ta asintoticD. ¥ forma

l' angolo do. con l' asse ~ eli ri ferimfmto,

(19 )

134

- 51 - B.Finzi

La (19) si puc scrivere in forma complessa cosi:

(20) R ~ + i Rf := .... ~ r r (~(.( - ~ ~ Ii) ::: -~ r W.;(l

Poich~ !i e hormal eat , l' ala d' apertura im ini ta

non incontra resistenza alcuna. La portanza, per unita d'apertu-

ra alare, he come modulo il modulo di !i, e cioe, grazie alla

(20) e -alla (18):

(21) R

Questo modulo ·8 pertanto proporzionale alIa densita ~ del

f1uido, al quadrato del modulo '( della veloci ta. asintotica

della corrente, mentre il coefficiente di proporzionalita

h~1 ~I .... edl· 2 ... , \~I' dipende dalla forma e dalle dimensioni del 1 oj> ""~ IIIZ

profilo alare, nonche dal suo Bssetto rispetto alla direzione

asintotica della corrente che l'investe.

Queste conclusioni, sane in soddisfacente accordo con

l' esperienza quando 'If non supera poco piil. della meta della ve­

locita del Bmono, perche allora l'aria non esplica la Bua com­

primibi1ita, e quando l'apertura alare e molto grande di fronte

aIle dimensioni-~del profilo.

5.- Sce1vELdei profili alari.

Per app1icare 1e formu1.s 'Precedenti ad un 8ss€'gnato pro­

filo alare bisogna det erminare 1a fnnz. i one z*z( 1 ) che trssfo,£

ma il piano della variabilc ccmplessa z, forato secondo il

cerohio t con centro nell'originc e raggio unitario, nel pia­

no della variabile compless8 t ' forato secondo l'assegnato

profilo alare 1 , e in modo ohe per z ~ 00 sia ~-+ CXl. Cio,

in generale, e molto difficilc.

135

- 52 -

Preferibi1e e assegnaro invcce 1a funzione z=z( ~ 11 profilo ~ che risulta corrjspondere a1 cerchio

caratterittichc di un profilo alare.

E.lBinzi

), in modo che

t abbia Ie

Joukowski propose cosi di passars dalla varia bile z alIa

variabile ~ con la seguonte trasformazione

(22)

dove X e la costante oomplessa

i(CH-a,,) X:;::o..~, -~)

mentra rJ.. l'asse ~

e l' angolo ohe la velo oi ta. asintotion " forma con

, e 90 , a, q sono costanti reali. Al ;;-arohio e, cor-

risponde cosi un profilo di Joukowski. dipandante dai trc parame­

trl precedenti, 0 meglio dal :bre: a,q, Q(~ == ci - Go

Esso presenta una cuspide

saliente nel'punto Po corrispondon ,0. -te al punta Q por oui z= e

Nel caso in esama risulta:

(23) ~ .. IIl1- \' = (:l. Z-I> ai, aX. :' ,

e quindi la (21), oha ds. la porta.!!

za per unita d'apertura alzro, d!

viena:

! I t ~ ~--L

X_

c questa, avondo posto d.o == cL - 90 0 ponendo

(25) e :;: r dove L donota la corda alare, si PUQ ~crivora oosl:

136

- 53 - B.Finzi

(26)

Cp e il poofficiente di ._t?Prtill)gh 90 = ex - /11(, e detta illi~.k denza assoluta ad c(~ e l'jncidenza di portanza nulla. Rela­

tivamente al rfolpporto ~ si puc dimostrsre che esso, dipendc!! L-

te da c(Q e dsl ra:pporto T ,e semprc cpmpreso fra 1/4 e

1/2: ne!. casi piu comuni esso supera anzi di poco il va].of'e 1/4.

Svariaticsimi al tri profiii alari sono oggi adottati. I

pii':t comun:' costituiscono delle generalizzazioni dei profili di

Joukowski: taU sono, per cltEre i piu noti, i Frofil! di Karman­

Trefftz, dipenderrt;i da quattro parametri, che in luogo della trop­

po esi1e cu.spide salinnte, prosentano un meno esi1e saliente an­

goloso, e i .J2E9.fJ..;U_di Uise.?," dipendenti da un nuroero qUalsi­

voglia di par~metri,

CAP. V

TEO Rr A Dr PJ'AliJDTJJ t2/L!!' ALA D' APERTURA

INFnm'A.

1.- ~azj.one i.ntuitiva del fnnzionamento di un'ala d'apertu­ra finita..

Consideriemo un'ala d'apertura finita, se pur abbastanza

grande. Essa e rappresentata da un solido cilindrico d'apertura

2 tela sua surerficiG latetale ha per direttrice il contorno

di un profilo alare, arrotondato in corrispondenza al lembo di

entrata, angolo8o s8.11ente in

corrispondenza al lembo 1i usc:ta.

ni ortogonali xyz, col piauc)) xy n01

piano di mez~,"8yja dell! ala. I! asse x

orientato come 18. velocitii. :~SiJlto­

tica £ della co~rente che lnveste

l'a1a e l'asse ?; parallclo al1e gen!

ratrici della supurf.l ci e ci '}.lnQ:riea latcrale.

137

- 54 + B.Finzi

Per ronderci conto in mdo intui tivo del funzionamen.to di

un'ala d'apertura finita. rappr0sentiamo semplicemente l'a1a

mediante un sagmen to fini to AB; e rnppr~sentiamo i vortici, ge­

ne~ati dGJ,l suo lembo d'uscita in fase d'awmo e che sonG rimasti

aderenti all'ala stossa, mediante un unico vortice portante,

t A lungo i1 qualo 1a circolazione

rvaria con z~ perCLe essa

e mas sima nella mezzoria 0 ed ~f ,t --- &---- ----~ y-------

e nulla negli estremi A e B. 0 J' -------:---4-)(

Facendo :ilnvBstire il pre~ I I

cedeililt vortice portante da una :'?I-------------­corrento traslatoria uniforme ;: -··----------G--------di velocita £ dirotta come Z

l'as~e x, si vede in primo luo-

go, riferondosi alla figura, eha superiormonte all' ala la veloei­

ta c viene aumentata, in ogni punto, dalla veloeita provocata df.'\l

vortice portante; inferiormente invece viene diroinuita. Per il

teorema di Bernoulli, la prossione e allora minore suI dorso

delPala che non suI ventre~ e questo squilibrio di pressione da

luogo ad 1L.VJ.a portanza ;[2' diretta dal basso all' al to J nel senso

cioe dell ' asse y. Fin qui tutto e analogo a quel cha avviane per

1'ala dlaperturu infj.nita. IlIa eeco il nuovo: non essendo r costante (come nel caso dol vortico rettilineo illimitato cha

rappresenta un'ala d'aperture 'iufinitaJ /'I:fi!l maseima nella mazza­

ria 0 e nulla agJi estremi A e B. la velocita sul dorso dell'ala,

cho 8i ottiono sOlllIIlando a c 1a veloei ta indotta dal vort.ice

portanto, e nassillla in mozzor.ia 0 minima agli ostremi; sul ven­

tre invece la velocita, che si ottiono sottnaendo ds c la veloci­

ta indotta dal vOl'tico portante, e minima in mezzaria a massima

agli ostromi-, Sul dorso si avra quindi, par il toorema di

Bernoulli, una prossiono maggiore agli estremi che non in mDZZO­

ria a quind.i l' aria corre trasV"or3almcmte all.' ala, nol sonso dol­

l!assc z~ dagli ustremi verso :La mezzcria. Sul ventre 8i avre.

138

- 55 - B.Finzi

pure una corrente traaversale, diretta come l'asse z, la quale

corre pero dalla mezzeria verso gli estremi. Queste due cor­

renti tra&versali opposte, incontrandosi a valle dell'ala, danno

luogo a vortici, rappresentabili con filetti vorticosi, diretti

come l'asse x, i quali costituiscono la eeia yorticosa di

Prandtl, che l'esperienza mostrs formal's! effettivamente a val­

le del lembo d'uacita dell'ala.

Questi vortici di scia inducon~ in ogni punta del1'ala una

velocita, che nella parte anteriore ha verso opposto alIa velo­

cita indotta dal vortice portante, mentre nella parte posterio­

re ha verso concorde. Allora anteriormente all' ala si ha minor

velocita che posteriormente, e, per il teorema di Bernoulli, 18

pressione anteriore sara maggiore della posteriore. Questo squi­

librio dli pressione da luogo ad . una resistenza l!1 che si eser­

cita sull'ala d'apertura finitai rcsistenza ia quale vien me-

no irivec e per 1 'ala d I apertura infini ta, perc be) in questa easo 10

schema ado"Hato non comporta aleuna seia a valle dell' ala , ne

vi sono vo~tiei di seia che agiscano rtel modo preeedentemente

deacritto.

2.- Seia di Prandtl e corrente in sua presenza.

Dieiamo G la superficie lateralecilindriea e t adottando

l'estrema schematizzazione dello strato limite, diciamo·~ la

densita superficia1e dei vortici che vi sono distribuiti; dicia­

mo 1. la soia vortioosa di Prandtl. e dlciBltto f:. 1a densi-

ta euperficiale dei vortici ehe vi sono ~iatribuiti. La velocita

~ della corrente che investe l'sla pub riguardarsi, in un ge­

nerico punto P, come somma di tre addendi: il primo e 1a costan­

te £ che rappresenta la velocita asintotica della corrente, il

secondo e la velocita indotta dai vortici distribuiti in uno

stratere110 di spessore E

s1 ta spaziale .t IE L &

infini tesimo attorno e. ft , con d.en­

ed esso vale (per la (17) I, nella

139

- 56 - B.Finzi

~ r~A~'-QL d~ quale si faccia eX =0) 1\1\ J R'( PQ) , i1 terzo e la velo-

cita indotta da1 vortici di soia, che Val.e analogamente

~~ r~~l~)Q) dL • Dunque:

(1) 1: '\I'"() _ () ... I r 1 (Q) /{r-Q) JG + .L (Q.{Q)fI(p-Q) dL. - p - - k~]6 RYrQ) kn 1 j(l( r<X)

La (1) presuppone la conoscenza dei due vettori ~ a A nei pun­

ti Q di (( a di ~ Nella teo ria di Prandtl s1 fonnulano due ipotesi, sensi bil­

mente vere quando l'apertura alare e abbastanza grande:

1 0 )1\. e parallela a ,£, Ci09 all' asse x, ad 3 indipendente da x,

i1 che comporta cha 1a scia L sia piana;

2 0 ) ~ 9 paralleJ.a alle generatrici della superficie laterale

deI1'aLa, e Ci09 all'asse z.

Nelle ipot esi precedenti, A = A I< e 1\ =" ~ 80no le-

gate semp1icemente alIa funzione - r =r ( z) cbe de. la ciroolazione

lungo ogni profilo alare s. Per il teorema di Stokes, risulta in

primo luogo:

" (2) t A d~ ::;; r(t) .

~ In secondo 1uogo, si consideri 11 nastro

aegnato in figura e avvol to sul1a

euperficie later:hle del tronco ot­

tenuto fagliando I' ala con due piani

normali all'asse z, a distanz.Bin:finit~

sima dz fra loro. La circolazione lungo il

contorno del nastro vale r ( z. )- r (z ... d z ); 11 £luseo dei

vortici che attraversa i1 naetro e quello che Geee dal tratto

infiniteeimo di lembo d'uscita e vele j\dz. He segue:

140

- 57 - B.Finzi

3. - Azioni dinami.che sull tala.

Dieiamo ~ il risul~ante.delle azioni dinamiche ehe il

t.luido eserei~a sull'ala~ Detto lit 12 risultante delle azioni di­

namiche ehe il nuido in movimento regolare esercita sullo stra­

to vorticoso V6 aderente a 6 , applicando i1 teorema del-

la quantita di m.ota allo Strato V6 ' ai ha (con l'ormai oon-

aueto significato dei simboli):

(4) - ~ t ~ I =J ) d~ clr. Vlt cif

Ma, se il fluido non esplica la sua comprimibilita, e il

movimento e stazionario e irrotazionals,dal teorema di Bernoulli

ai trae:

R' ~ (! - ;:;. - 0-': J (Itt) ~ d s , G

(5)

dove ~ e 11 versore normale a 6 , volto verso l'ala. D(altra

parte (per la (5) II)

a quindi

(6) S ~ i1 = ~S ~ A" d. • -t i ,!","(v-)'~T' VG (5 . Vet

Traaformiamo l'ultimo integrale che compare nalla ( G ) in un

integrale esteso al cO:J.torno di VG.. • costi tuito dalla auper-

fiele f6 che separa V6 dal.l' ala e dalla superficie infinitaool

mente vicina a G ehe separa V6 dal fluido in mote regplare.

Poiche lungo la prima auperficie e y =0, riaulta:

(7)

Dalla

141

- 58 .. B.F1nzi

R = - ~ f~ A '! d~ . 10

(8 )

Ricordi~o ora cha y e, conformemante aLla (1), somma di

tre eddendi. Pure oo.mma d.i tre a.dilendi .risul.tera anche !:

&8SendO

(10 )

(11 )

( 12)

R =- ~j+R"'R ) -, -2> - 3

B t =- ~ g" f ~ d~ Ef

Rt - ~ ([~ tJf-Q)".~ dl:1 ~~ ~r R\r{;l) )

~ -=..i. ({.~ 1\ ({r- Q) ". 1 dG) dtit • 3 kl' -Is 36 R~P~) S

Nelle ipotasi semplificatrici. esposte nbl n. precedente,

\ e diretto come l'asse z a A come l'asse x~ se ne deduce che

~2 e diretto come l'asse Y, R1 COllie l'asse x e ~3=0. Nelle due

ipotesi precedenti risulta dunque pnu sempliceme~te :

( 13)

e ~ rappresenta 1a portanza e R1 la resistenza.

4. - Portanza dell' al a fini t:a.

La portanzs dell'ala finitu e data in generale della (10).

Quando 1 e diretta com.e l'asse Z 11:\ S\lB. componente secondo llsj,

se y e 1a seguente:

(14)

a, in virtu della (2),

(15)

it -<;~ f d~f). f.t,~

. -t ~

t -~e Ir(~)dL'

-t

142

- 59 - B. Finzi

La (15) ds. 1n portanzo., qualora si conosca la sola funzio­

ne r ( !ti) ahe ds. 10. circolo.zione attorno ad ogni direttrice

dell' aLa. Esea genorc.1iz zo. la ro1o.ziono cho osprime i1 teorem2.

di Kutta-Joukowski, perche 10. portanza per unitS. dio.pertura alaro . :f assume 11 val ore - ~. a· r quando; r si riduee ad una costan­

te, come appunto avvieno per l!ala d~apertura infinita.

5.- Resistenza dell'ala finite.

La res~tnnza dcll'ala finita e data da11a (11) ed e nulla

quando ~ =0, quando cioe non vi e una seia vortieosa di Prandtl,

come avviene per 1'810. d'apertura infinita.

Introducendo 10. velocita.

(16) ~\(p) = ..L (~(Q),,(P~dL hn)~ R~(PQ)

indotta net punti P dell'slo. d~i vortici situati nei punti Q del-

la scia L ., 10. (11) si scrivo cosi:

-~ I ~ A '!! Qci . ./

IS

Nelle due ipotesi semplicicatrici di

PrandtJ., e: ~:: .A i, ~ = 'f. ~ e

~ e una striaeia piana, lungo 10.

quale Il :: A ( ~ ). A queste dne i-

Jf I /---lie

potesi a~giungiamone l.ma terza, in vir- 1----------tu della quale 1'0.10. si ridu~e en un

,semp1ice vortice portante, dj sposto

1ungol'asse z, attorno a1 qualEl la d'i~'h:ibuzione J.e:1.1A, circo­

lazione e data dalla f'unzione r ( z. ), per-t '( ~< t . In queste

ipotesi calcoliamo la veloclta. ind.otta y' e 10. re:ilistenzo. li1,

y' risulta diretta come 1" asse y,e 1£1 S'l:ia componente ~,

secondo questo asse, calco1o.ta ~n un ge~erico punta P del vorti­

ce portante, o.vente per ascissa ~ , vale:

143

.. 60 - B.Finzi

1/ ) It J\ (~) 'If It :: - t.~ .l T-X" d~ \

L'integrale dha compare nella (18) e improprio, per colpe

deL~'estrema schematizzazione adottata: per ml suo significato

fis1co, asso va' calcolato seffiJ,lliceme::.lte attraverf'o i1 suo valor {

~-£ t principale lim 5 t i } .

€ .... o -.t. 'tH La velocits. indotta v' puo esprimersi. mediante la sola fun-

zione r ( z ) che ds. la distri buzione di c~rcolazione attOrllO

a11'ala. Basta infatti ricordare la (3) per ottenere: ~

'V' ,( '{) = __ ~ . (.9i~~ d'1, . \7 h1T J d ~ z-::r -t

(19 )

Intagrando per parti e osservando che agli estremi del vortice

portante e r =0, si trova anche:

(19' ) t ~(. \

1\r'(S) :: - ~Ill tTL~~~r d z .

schema adottato, d;lla (17) si trae che la componente Nello

di li1 secondo llasse x, e cioe le resistenza, vale (grazie alIa

(2):

(20 )

Non Cle che da porre nella (20) al posta di VI< t ) il suo va-

lore dato dalla (19) 0 della (19!). per esprimere R1 mediahte l.a

.funzione r ( z ):

(21) R -\ -

6. - Distri buziona della circelal',; ()Ylp (,/')1"1 0 iai!'remma m.alltialli ttico.

8 1 impone alIa nostra~ten~ione una partieolared1stribu-

gramma \lIla semielliss\;!, per la

zione della circolazione attorno all'ala, quell he ba per dia-r

quale. ee e 11 massimo vale-

re assunto de r in mezzeria, ri- -{ o

144

.. 61 -

sulta:

(22) (' = r.~I-(t)· Questa distribuzione porta infatti a riaultati in ottimo aeeor­

do con l'eaperienza e gode di proprieta partlco1armente semplici

ed espreasive.

8i ha intanto, ponendo la (22) nella (19) e calcolando il

valor principale

(23)

dell'integrale

I rg 'V' ::-_ ... -

HI-

che vi compare:

Dunquel in corriapondenza ad una distribuzione di circol§­

zione con diagramma aemiel1ittieo~ 1a velocita indotta dai vq£~­

gi di seia e costante.

E' proprio in virtu della proprieta precedente cha la di­

~ribuzione di circolazione con diagramma semiellittieo rende mi­

nimo l'integrale-(20) che ds. la resistenza, a parita di valore

aasunto dal1'integrale (15) ehe da la portanza. 'Questo tcoroma,

che pub dimostrarsi rigorosamente, afferma !unque che la distr!

buzione du6ireolazione a diagramma semiellittieo rende minima la

resistenza, a parita di portanza.

Ponendo la (22) nella (15), si caleolala corrispondentc

portanza. Poiche l'integrale eha c«»mparc nella (15) ds. sempli­

cemente la quadratura '1\ lr~dCldiagramma semiellittico, risulta: ~

(24) 0 _ ntrg 1\,. - - ~e _-,:- ,

Per calco1are la reaistenza, basta servirsi della (20),

ricordando 1a (23) e ri.cordaddo cho la quadratura del diagramma

,e~e11ittieo vale ~ tr~. 8i ottiene cos~: t

(25)

145

- 62 - B.Finzi

7.- Influenza doll'allungamento alaro.

Lo precedent! formule cho danno 1a reaiate.nza R1 e le.

portanza. R2 ai poasono scriv(Jro c061:

(26) R - I C .~ .. 5 c,. I - l' Ii ) \Rt \ -= 1. @r ~ 5 c!" ,

l '

dove 5 e la superficie alar" 0

e n ro~ ~p 1\ n ro \

(27) := :: --.--_ ... ,_.-'(, l1 e." S ) eS

sono, rispettivamente, i1 c~effbciento di resistenza indotta dai

vortici di scie. e il, cooffici.ente di portanza.

I due coefficientt C e C sono legati dal1n relaziono che r p

si desUmo daile (27) Gliminando ro r.J _ e 1,1-

(28) C''(. - ;"'\ '

dove 1

~; ~ t (29) S rapprosenta l'allungamonto alare,

Quahdo l'allungamonto alarG e molto #rando, Cr e piccolo,

a pari ta di Cp ' e tendo anzi a ZGro per ~ ~ 00, conformemento

al fatto che esso e quasi nullo per le ali a grandissimo al1unga­

menta.

Hi dice ~olare delliala (secondo Lilienthal 0 Elffel) il

diagramma dolla f'unziono che da il ('oeff'lcie-nte (Ii portanza in

funzione del coofficiento di

resistenzn, So il coefficionte

di resistenza e somplicemonte

quollo corriapondentG alla re­

sistonza provocuta dai vortici

di sCia,la polaro a, pGr le. (28),

una parabola che he. ~ertico nol­

l'origine e per aase l'nsso Cr '

146

- 63 - B.Finz1

:191 fat to. il coefficiente di rosistenza e somma del eoof­

t:i..c.i.Gnto di ~nsis~e.Il£t1; COI'risJ,>O..-Yldon1i;;o alJ..a resistenza. provocs:t r"I

dni vortici di seia 0 del eoofficiente d;i. rosistonzu Co che 6i

avrebbo anehe in sssenza di seia, qualora si tenesse conto dol1~

viscositA dol fluido in uno stratero11o adorente all'als; nonche

di altre circoatanze traseurato nel procodonte schomn semplicisti­

co:

(30)

CAl'. VI

6EBNO SULL'INFLUENZA DELLA COIIiPRIMIBILITA' NELLE

CORRENTI STAZIONARIE

1.- Flusso monodimensionalo stuzionurio.

Finora abbiumo trascurato ]n comprimibil1ta dell'uria.

riguardando la sua densita ~ come costante. Quando pera

la velocita del fluido sia poco inferiore alla velocita del euo­

no, 0 81& maggiore di tale veloc1ta, l'aria espliea 1a sua com­

primibilita e non e leeito prGscindorno.

In condizioni stuz1onarie, l'influenza della comprimibilita

a1 manifesta. in modo sconcertnntc, porche, come sappia.m.o~ in

condizioni iposoniche; 10 equn.!7.ibni i,YJdofinito di. movimento tlssu'"

mono co.ratte:i'e ellittico, 10 variota caratt.eristiche non sono

rcali c cio chc avviono in un punta influenza cd e influunzato

da cio cha uvvieno in ogni altro nol campo di mota, mcntra in

eondizioni ipersonichc le varicta cnrutteristieha sono reali 0

eio chc avvionc -in un punta influenza ad e influanzato da cio

che uvvicne in alcuno rcgioni dol cc~po di m9to, a non du cia

ehe avvi enc in a1. tree

147

- 64- - B.Finzi

Per mostrare la pro fonda rlifferenza che intercede fra re­

gime ipoBonico e regime ipersonico in condizioni stazionarie,

consideriamo i1 semplice £luseo entr~ un tubo, disposto lunga

llasse x, le. cui sezione s=s(x) sia variabile con x, ma sia cosl

poco variabile da poter rite-

nera monadimensionale i1 flusso. \" I \Jll IJJll- ' .-Questa flusso sara allora indivi- fi ·\I.l.JU-·j -'

~.- ~, "" duato dalla sola funzione v=v(x) 0 r-. _--:x.:...-.. I > _~

I ')( che da, in funzione di x, la /lllTTTrrrrJ componente secondo l' asse x del- rtrnrrrf(Om la velocita del £luido,

Riguardando il fluido come perfetto, rea comprimibile e po-

nendosi in condizioni adiabatiche, il quadro (12) II formato

dalle equazioni indefinite di movimento si riduce alIa relazione

(15") II che traduce il teorema di Bernoulli

(1) o f 'L-)

\'-1

l-i(" '=~') alla relazione

(2 )

che traduce' la conservazione il ()lle, massa e all' equazione comple­

mentare

(3) ~Y = K = wst, Assegnata la funzione s=s(x), e faClle risolvere 11 siste-

rea formato dal1e tl'E' equa~'ioni - (.1) (2) (3) nelle tre inco-

gni te v.P, ~ , determinandole ,in funzione di x. Ecco il risul­

tato a cui si perviene ;

Introduciamo i1 nUlnero di Mach 1f, rapporto fra v e la velo­

cita del suono c:

M

148

- 65 -- B.Finzi

Ecco che cosa auccede allorehe 1.1 < 1 ~ allorche cioe vi go no

condizioni iposoniche: quando il tubo s'allarga, 1a ve10cita

del fluido diminuisce e 1a pressione e la densita. aumentano; quan­

do il tubo si restringe, la velocita dol f1uido aurnenta e la

pressione e 18, densi.ta diminuiscono. Eeso invece che cosa succe­

de allorcne M'> 1, al10rche cioe vigono condizioni ipersonicha:

quando i1 tubo s~allarga, 1a velocita del f1uido aumenta e la

pressione G la cIonsita diminuiscono t quando il tubo ai restringe,

la velol.1ita del fluido diminuisce e 1a pressione e 1a denaita au­

mentano.

Mentre il comportamento in condizioni iposoniche k hen

intuitivo, conforme alIa osservazioni pili comuni, analogo a quel-

10 dei flu:i.di quando easi non csplicano Jl.a 10ro comprimibili ta,

i1 comportrunento in condizioni ipersoniche e sconcertante, per­

che non e per nulla consono al1'intuiziona.

2. - Moto jJ~2:!<~~1:2..Il,~1!l .. stazionari.o.

La equazioni .indefinite (12) II di un fiuido perfetto, se

il moto e stazionario, vigono condizioni adaabatiche e si presci,!!

de dalle forze esteme per unita di. volume, si scrivono cosi:

/ '";) 'IrK i ,') r l ) (5) ) bXi'V- --~~' k :1}~)3

1 1.')~ '\}l(*~ -::.0 c; ')x k 'ex\(

"~ -;uJt~K.. Osserv\~l1lo aha ~ e £nnzio:ne di p attraverso l' equazione comple-

t . -'" ' '";1 ~ d. ~ () P ""1" d 11 men are e qUlnul ~ = - ----. • t: l.ml.nane a. ora, me-jjX dID Lx

diante le prime (5))P r che viene a comparire ne11'equazio-, ')Xl<

ne di cl!lll1scrvazione della massa, questa diventa

J~ 0'''", i \(.0'\1' I<. 0 - __ nJ" rv- ..y- __ -=-. • <it-> '/)X',,?>X K

d I> f 2 MaiIJer la (21) II) ~ = y - = c , se c e la veloci ta del Buono,

e quindi la precede~~e eqUa~iOne si pub scrivere cosi:

149

- 66 - B.Finzi

(6) C 'Iff< f ;, /( 1)" i.'\j' \< l - 0 -) X-I l~' - er j - .

La (6) auasiate in un generieo mota stazionario di un gas.

Supponiamo ora, piu partieolarmente, che i1 mote sia ir­

rotazionale, e quindilj. se 'f e i1 potenziale cinetico,

(7)

In quata ipotesi Ie prime (5) 8i esauriscono nel teorema di

Bernoulli (:I!5") II che da esse discende, .per il quale risulta: . (-I

Vt 2,

L(i:)~ _ (8 ) 'r! + Cit. ~-V'·

X-I K - =t J

dove la costante -;;- e la stesse. in tutti i punti del campo di

V J.;

mote e rappresenta la velocita limite che non puc mai es-

sere superata finche vigono Ie condizioni nelle quali ci siamo

posti.

Introducendo la velocita del suono c, la (8) puc scriver­

si COSl.:

(8 1 )

2, Q.

(',oAt, Vi

-II' @ -, '1 .... '--'r ~-I

La (8 1 ) m@stra chet nei moti irrotazionali atazionari, c2 dipen-2 222 de linearmente da v ; ossia da v 1 + v2 ~ v3 •

Grazie alla (7), l'eqU8z1one i.adefinita a cui ubbidisce

1a funzione ~ che ind~vidua i! campo cinetico e la aeguente:

iL {o->I< _ '\Jt~~ \ ::. 0 , h'O)( K e j

In questa equazione bisogna porre naturalmente al posto delle

componenti vk della v810ci ta Ie derivate parziali ~:K del po­

tenziale cinetieo, e 113 posto di c2 la sua 9spressione, lineare

in ( ~-~; )2 + ( ~~'l: )2 + ( C~;) )2 desunta dE}l,la (8'). L1e­

quazione (9) risulta coai quasi lineare, alle derivate parziali

150

- 67 - B.Finzi

di secondo ordine. ESBa 8i riduce poi allteQUazione veramente

1ineare di Laplace, che regge i cwnpi cinetici armonici, quando

11 moto non ~ troppo rapido, quando ci06 6 lecito trascurare il v quadrato del numero di Mach M = c .

3.- Piccole perturbazioni in correnti uniformi. Consideriemo un caeo abbastanza. 'G6lIIl>lice, ma molto espres­

si~o: quel1G·in.C~una DOr~te uniiorme, di Velocita costante

i ~etta coma l'asse x, subiace una piccola perturbazione ori­

glnata nel punta 0 Posto

(10 ) )

riguardiamo la pertmrbazione y~ dovuta ad un moto stazionario

irrotazionale e supponiamo v' piccola di ironte a v.

In questa ipotesi anche il campo cinetioo totale e stazio­

nario e 1rrotazionale, e il potenziale cinetico 'f ubbid1sce

alla seguente equaz1one, desunta dalla (9) quando s1 trascurino

i quadrat!

(11 ) =. 0 )

dove M e 1a costante che rappresenta 11 numero d1 Mach dell'ori­

ginaria corrente un1iomne, e quindi II numero di Mach asintoti-

co della corrente perturbata. Grazie alla (8') rif1ll1 ta: t:i l, ;u- 2. .~ 2, 9.-,-, = - - --,---e ~ V'- ..\f ~ '( - I

(12 )

attraverso alla. (11) la corrente risulta (coma 8i dice) "11neari~

zata".

Se M <1, aiamo in condizioni 1posoniche, la (11) he cara!

tere e111tt1co, Ie superfic1e caratteristiche non sono reali e

1a perturbazione, 10calizzata in 0, asercita ovunque la sua

influenza. Anzi, basta un semplice cambiamento di coordinate, per

151

III I •• . .. , ... , ri durre 10. (11) all' equazio~e di Laplace, che regge i campi armo­

nici.

Se invece N 71, siamo incondizioni ipersoniche, 10. (11)

ha carattere iperbo1ico ed e anzi un'eque.zione di d'Alembert (del­

le cnde), Le sue superficie carat.te.ri.stiche sana rea1L.e .... sono

precisamente coni, . .ro:tondi~a.venti asse para.11elo all' asse x e

seroiaper:turadata dail' angolo d. il cui :;lenD e eguale a1 recipro-

o del numaro di Mach asintotico:

M Quest'angolo e appunto l'angolo

di Mach, reale se M ?;-1.

8i consideri il cono carat-

teristico che ha vertice in 0,

d'onde ha origine la piccola pertur-

o x

bazione della corrente unifonne: e questo il cono di !.Iach. La per­

turbazione posta in 0 puo illllfluenzare sol tanto la regione spazia­

Ie interna al co no di Mach, mai la regione esterna, dove la cor­

rente rimane uniforme.· Se da·O amana un suono, esternamonte

al cono di Each esso non giunge, e qui regna i1 silenzio.

Se infine M = 1, siamo in cono.izioni soniche, e i1 cono o.i

Mach si riduce ad un piano, perche d, = 1; . Se proprio 8i vuo1e,

oi puo ravvisare in questo piano una barriera per i1 suono.

4. - Hot,) irrotazionale stazionario piano.

Nel caso o.i mota irrotazionale piano, ledue componenti

cartesiane 'lix e rUy · della veloci ta. si ot tengono deri vando il po­

tenziale c1netico 'f ,funzione soltanto delle due coordinate

car-I:;esiane x e Yi rispetto alle coordinate stesse, e l' equazione

(9) diviene:

152

- 69 - B.Finzi

"

c'JJ'f ~ £ fl.' L , 1

'\1)( l -;)tf 1 \ -'"1,_ l - ~ :!i ~Y ~ = 0, (14 ) ~X2. ) ~ - .... ";l' -4;-·

J ~ J C dl( or ! @~ L

Per la (8 I ) , 2 che in esse. vale: c compare

(.15)

e nella (15) e nella (14) POlI'to di v si porra '"ll~

, a1

y .y La funzione y=y(x) che rappresenta cartesianamente Ie linea

caratteristiche dell'equazione differenziale di secondo ordine

(14) soddisfa alIa seguente equqzione differenzia1e prdinaria di

prilJlo ordine: 'L

(16 ) { J _ '\Jl( -".:i:

<.<.

d ( .;.tl ...L. +<{- 'j::: O. d~ L 7 j

Per ogni punto ~ del campo di moto passano perfio due linee

caratteristiche, aventi i seguenti

'1~ _ =!!~~VM-I rl ~ 2. .)

~ - I\TJ(

(17)

dove M e il numaro di liIach, e dalla 2. 1.

'r_ "\l ~ rv- _ M := ~- -::. -' t '1.

l! r-I V-1I" (18 )

coefficienti angolari:

t 'l~ - V-x "-~ - (!. V M -I

~ 't_ I'J": t -) lC

La dove vigono condizioni iposoniche, e M < 1 a quindi le

(17) mostrano che le linee caratteristiche ~on sono rea1~.

La dove vigono condizioni ipersoniche eM?' 1 e quindi 1e

(17) mostrano che le linee cardttedttiche sono realL In questo

caso l'angolo r/... che ogni linea carE.tte:,istica form.a col vet­

tore velocita e egua1e a11'angolo di Mach~ e cioe

(19 )

153

- 70 -

conformemente del resto a quanto

abbiamo.· constatato in generale nel

n.6 del Cap. II. Le linee carat­

teristiche, grazie amma proprie­

ta precedente sono dette linee

di Mach. Se quindi e e l'ango-

10 che i1 vettore velocit~ forma

con l'asse x, risults:

B.Finzi

x

La dove infine vigono condizioni soniche, e cioe M = 1, Ie

due linee caratteristiche che escono ds ogni punta coincidano,

ed esemplio retto l'angolo di Mach, i1 vettore velocita e ad esse

ortogonale.

E' interessante calco1are la variazione della velocita

lungo Ie 1inee caratteristiche (quando esse sono reali). Lungo la

linea caratteristica C I , di coefficiente angolare /.{.. , s1 he:

(21) dv-X +fI''1 a''l-=O. Lungo invece Ie linea caratteristica @l ' di coefficiente angola­

re Ji'l.' 8i ha:

(22 )

Da queste relazioni e dall.e (17), (15) e (18) 81. ottiene, lungo

ogni linea csratteristi CR ~ una rel.azione ira v e v , 0 snche x y fra v e (; ,0 anche ira 9 ed M. Se E!l.lora 8i cenesce, attra-

verso l'angolo e ,la direzione della velocita lungo una linea

caratteristica, si PUQ calcolare snche lungo ls linea stessa il

modulo v della velocita, e quindi anche Ie sue componenti carte­

siane v x e v y' nonche il numero di Mach M, la veloci ta del suono

c, e , attraverso il teorema di Bernoulli (8), la pressione p e

154

- 71 - B.Finzi

conseguentemente la dens ita f In particolare, se lungo una linea caratteristica e costan­

te uno degli elementi e , v,v ,v ,M,c,p, 0/ , sono costanti anche x y tutti gli altri e 1a linea 0aratteristica coBBiderata e(per Ie

(17) ) una re~Gta.

5.- Trasformazione odografa;

Si pC10 rendere liuoare l' equazione all.a derivate parzia1i

del secondo ordine (14) con 1a classica trasformazione di

Legendre, che fa passare dal piano direttore del movimento al

piank odografo; nel qua1e 1e coordinate cartesiane ortogonali

di un punto sono Ie componenti v e v della ve10cita e Ie coordl x y nat e polari. sono vee;

II campo odografo e que110

racchiuso entro il cerchio cha

ha centro ne11'origine e raggio

e~~le alIa velocita limite V.

Segnamo anche la circonforen~

za con contro nell'origine a

raggio v=vV1 ~ per cui ri­

uul:ta, in ba~:lalla (18), :.:r1. Entro questa cerchio vigono conel i. zi.oni i:ool'Joniche, montre nella

corona circolare eaterna vigono condizioni iperso·niche. Sulla

circonferenza di confine vigono condizioni soniche a lungo di

essa il modulo della velocita e cosDante.

E'agevoleintegrare con i classici metodi delle equazioni

lineari l.'equazione differenziale trasformata; sia nel campo ipo­

sonico, sia nol campo iporsonico. In quost'ultLmo Ie linee carat­

teristiche sono epicie] oid.i (. ) .

c.) Se si considera 1a generica caratteristiche, la tange~te in un Su.o punta generico 1\ e, per 1e (21)t normale alla tangeg te in Palla carat·ceris tic a de1-l'altra famiglia cha nel piano

ep~cjcloide di una famiglia di

l:~l:t~

155

- 72 + B.Finzi

Molto mene agevole e l'integrazione di ta1e equazione

differenziale qua~do essa hR carattere mist~, perche esistono

regioni del campo in cui l'equazione viene considerata dove vi­

gono condizioni iposoniche ed altre in cui vigono condizioni iper­

soniche.

In condizioni miste 10 studio del problema aerodinamico

e complesso matematicamente, ma 10 e aneor di piu fisicamente t

perche al confine fra regioni ipersoniehe e regioni iposoniche

si fo~no delle onde d'urto. Queste si formano sempre ove si

accumulano le perturbazioni che provengono da una banda di esse

e che non possono proseguire dall'altr~ banda. Le onde d'urto

co sti tuis cono delll3 discontinui ta, non soltanto nei valori del J.e

derivate della velocita, della pressione, della densita, ecc.,

come PUQ avvenire attraverso alle varieta caratteristiche rapprcseg

tanti fronti d'onda, ma adirittura disoontinuita nei ~alori dell.a

ve1ocita, della pressione, della densita, ece. Ad es. il cono di

Mach costituisfe un'onda diurto, perche au di esso s'accumulano

le perturbazioni provenienti dal1'inmerno, che non possono pro­

seguiro verso l'esterno.

6.- Onde som~is.~

Pub avvenire che la trasformazione odografa sia degenere,

perche e nullo 10 jaconiano corrispondente. E' questa il caso in

cui una linea caratteristica r nel plbano I)(lografo si riduce

eem.plicemente ad un punto. Allora essendo ivi v e v costanti, x y Ii sulta, per 10 (17), c05tante i1 cocfficiente angolare r, della

corri5pondente car~tteristica

C1 nel piano direttore.

C1 5i riduce ad una rctta 0 lun-

(cont. nota page 71) direttore de>l movimcnto passa per il punta P corrispondonto a 1\

156

- 73 -

go di essa sono costnnti

v, €I ,11,c,p, q I come 10 sono

v e v • A tutto 10 linee care! x y teriatl.che C2 a2 C2", dolla

seconda famiglia eho ne1 piano

direttorc intersecano la retta

B.Flnzi

°1 , corrisponde no1 piano odografo un'unica linea ~ passanto

per il punto ~ I vari punti I~ r:' ~ II ••• della linea 12-godono della stossa proprieta. di ~ : ad ognuno di essi corrispdl}!

de ncl piano direttore una caratteristica rettllinea, e lunge

ognuna di questa caratt0ristiche rettilinee C1C101' ••• si manten-

t , t· f\ M 10 (.) gona cos an 1.. vx ' vy'v, Q .,,",C,P, " La regionc di piano dirottore ricoporta da una famiglia dm

caratterillttleho rettilineo °1°,0;' ... , lunge le quali xx,vy ' v,e .

,M,c,p, ~ sana costanti, si dice una regione di onee semplici.

E' inteross:'l.nte osservare ehe in ogni regiono di una cor­

rente ipersoniea adianente ad un' altrs uniforme ove v x' v y'

v, e ,M,e,p, ~ tlono costanti (e quindi ogni ~ si riducc ad un

punto)si hanno onde semplici e vi e una famiglia di caratteri­

stiche rettilinec, lungo 10 quali si mantengono costBnti gii cle­

menti preeedenti, che variano

l'altra della famigliq oonsi­

derata.

Queste eircostanze s1 veri­

fieano ne1 ca.so in cui una cor­

rente iporsonica uniformo Inmbi­

see un protilo come qucllo indi­

cato in figura., A iIlontc doll (; dne

carattcristiche passanti par 1a

(.) l'Gr quanta e stato detto no1)_a nota a pie di pagina del prc­cGdcnte n. 5~ 10 ta.ngonti a r,. noi suoi punti G ' r' , rtf , ... sono normali allo rotte 61.q,C;',.... I I

157

- 74 - B.Finzi

cuspide saliante A e a valle delle duo 9ArQ~~t1cne pessant!

per la euspide sali,onte B, la corrente resta unifonne e sono

quindi rettilinoo 10 caF~ttQrist!chc di entrambe Ie famiglie,

relative a queste rogioni; nella regiona intermedia a1 hanno

invece onde somp1~ci, in cui sono rottilinee soltanto Ie carat­

teristiche di una famiglia.

Si not.i eho lu...'1go una gonerica di quost;c carattaristiehc

rcttilinec non varia, in partioolarc, ne il modulo v della velo­

ei ta, ne 18 sua dirazione data dall' angolo e , ehc: ovunq~e

coincide con qucllo che il profilo forma con l'asse x nel punto

in cui Is caratteristica rettilinea 10 incontra. '

Per tale ragione vengono meno Ie condizioni asintotiche eu­

leriane e Ie linee di flusso non subiscono aloun appiattamento

al10ntan~ndosi dal p~ofilo, appiattamento ehe invece sempre si

verifics quando i1 fluido non eaplica la sua comprimibilita 0

eomunque in condizioni iposoniche: eeco una profonda differenza

fra comportam,.'nto ipersonicoe comportamento iposonico.

CAP. VII

'.- Teoria di Glanert.

Consideriamo un'ala d'apertura infinita, tanto sottile e

eosi poco inclinata suI filo del vento da poter riguardar~a cor­

rente che l'investe come una corrente uniforme, di velocita

costwmte y diretta come l'asse x, poco perturbata dall'ala stessa.

Supponiamo che il campo cinetico rappresentante 1a pertur-

bazione atazionaria sia irro- Y tazionale, oltre eha piano. Sup-

poniamo altresi che 11 numero

di Mach M dell'originaria cor­

rente uniforme sia minore di 1.

158

- 75 - B.Finzi

La corrente totale che ne risultera sara allora stazionaria, pia­

na, irrotazionale, lposonica, ~ ne costitui~a 1a ve10eita asin­

toiliea e :M <, 11 nWJl0ro di Mach asintotico.

I1 potenzialc cinetico ~~bbidira all'equazione indefini­

ta (11) VI, 1~ quale, :a:al caso piano, 8i sen. vera. semp1icementc

oosi:

(1 ) o.

Easendo M (' 1, 1a (1) avra carattere al1ittico e 1e sue linee ca­

ratteristiche non saranno reali.

Poniamo:

(2)

con ~ cost ante disponi bile. La (1), quando si eseguisce la

trasformaziono (2) si llluta nella seguente:

')1 q, at. cp _-- + - 0. q X 2. "0 y2.

La (3), qualunque sia J.a costante ~ , ~ un' equazione di

Laplace nelle due veri abili X e Y, cio~ la funzione t (X, Y) ~ una funzione armonica. Questa funzione costituisce dunque i1

potenzia1.e cinetico di una corrente smonica, relativa ad un

fluido incomprilllibile 0 che non espl'ica la sua comprimibi1ita

di deneita costante. Si viane cosl a stabi1ire attraverso al1a

(2), una relazionc di affinita fra una corrente armonica a den-

sita. costante) e una 1inearizzata, nella quale il fluido esp1ica

1a sua comprimibilita..

Affinch~ Ie due correnti ~.mme+,tano 1e. medesima ve1ocita.

asintotica i e 1ambiscano i1 m~Besimo profilo alare s, debbono

essere verificate due condizioni: 1 0 ) come 1a ve10cita ~ della

corrente nella qua1e l'aria osplica 1a sua comprimibi1it~ e som -ma della ve10cita asintotica y e di una ve1ooit~ ~' piccola d1

159

- 76 - B.Finzi

ironto a y, cosl.nclla corronte armonica la velocita e somma

d~ y 0 di una velocita Y'piccola di ironte y; 2 0 ) deve risulta-

re su s:

'\1")( cioe ~ due correnti debbono os sere egualmcnte inclinate.

Ifrazio liIlIa prima condiz.ione, la (4) pub acriversi. ces 1:

~If ()1> ~ "'by ,

V + ""x e, a menD di terminm piccoli di ironte a quelli oho si mettono

in evidenza, -;) If'

«) )

0, rioordando 10 (2),

Ne segue:

Dunque, per ottenere i1 potonzialc cinctico ~ di una I

corrente iposonica nella qualc i1 fluido esp1ica 1a sua compri-

mibilita, e chc investe un ~rofilo alare sottile, basta divide­

re per ¥1_M2 il potcnziale cinetico 4P della corrente armonica

(a densi ta costanto), la qual" he. la medesima veloci ta. asintlhti­

OB y e 1ambisco 10 steese profilo alare. Por ~~2-biSOgna dunque dividcrc anchc i1 valoro della circo1aziono che 1'818 e

capece d~ gencrare attorno a se, porche tale ciroolazione egua­

glia l'incromonto di potcnzialo IlUlGO ogni linea chiusa cho ab­

braccia una sol volta i1 profile Blare.

Osserviamo ora che la densita 9 nella corrente ove il

160

- 77 - B.Finzi

Cluido eaplica la sua comprimi bl.i ta pub riguardarsi somma della

denai ta. ¥ co stante che si ha nell to.riginaria corrente uniforme,

e della densita ~ I

, piccola di fronte a ~ , dovuta al1a

perturbazione provocata dall'ala. Per calcolare il risultante

g delle azioni dinamiche ~he 8i esercitano sull'ala lPer unita

d'apertura alare) potremo dunque, a meno di termini piccoli di

fronte a quelli che metteremoin evidenza, riguardare ~ come

costante eguale a q'. Ma in questo caso vige i1 teorema di

Kutta-Joukowski: g e diretto come l'asse y, rappresenta cioe una

portanza, e la componente R potra esprimersicosi, a meno di y

termini piccoli di fronte a quelli che si mettQlllo in evidenza:

(6) r -~'\rV4-t1i '

dove r rappresenta 1a circolazione (positiva. se in senso antiora-

rip) attorno 81 profilo alare della corrente armonica.

Dunque: in condizioni iposontche la portenza dell' ala sot­

tile poco incidente e quella ch~~_~~.P_1?'LL.2!1.e.t~}?i_sJ~.ri bus.

riguardando il fluido come incomprimibile, divisa per ~-M~ Essendo M < 1, la~.:t~.::;.ll .. r:isP-l.:t.~_.~.l'1..§!.l tats.

Questo semplice risultato di Glanert e conforme all'espe­

rienza per M non soltanto minora di 1, ma. minore di 0,6 ~ 0,7, -1 cioe (in condizioni normali) per';;: ~ 200 +250 m sec

2.- Teoria di A2§eret.

Consideriamo un'ala sottile, a'apertura infinita, col lem­

bo d'entrata tagliente oriontl.ato nel filo del vento stazionario

ipersonico, cosi da poter trascurare

l'onda d'urto provocana da tale

lembo.

La corrente ipersonica che .----:)0

inveete l'a1a non e allora i.nflu.o!!:

/ C,,4 , .I (\ . ,n! ~II.· A~~~Mll

\ \ ,,: t:1 Ii \ .

)(

161

- 78 - B.Finzi

zata dall'ala a monte delle due linea caratteristiehe ehc eseo­

no, nel piano direttore, della. cuspide sa'l-ienta Ache rappref:lcm­

ta 11 lembo d'nntrata, e quindi essa e in tale regione una

corrente unli'orJllo.

I~uesta regione le due i'amig~ie di caratteristiehe sono

formate da ratte, e aono quindi rette anche entrambe le caratte­

r.isticbe ohe ascone de t. Nella regione a valle della preeodenta la oorrente e sta­

zionaria, piana, irrotazionale, costituita da onde semp11oi. Le

oaratteristiche appartenent ad una famiglia sonG ratte, lunge

le quali non varia ne 11 modulo, ne la direziona dolla velocmta

y, e non variano neppurc 11 numero di Mach M, la veloe~ta del

suo no c, ls press10ne p, la donsita ~ , e perc questi clementi

variano pas sando da una retta della famiglia ad un'altra della

stosss famiglia.

Se le rattc caratteristlcbo di tale i'amiglia ehc cscono

dal contorno del proi'ilo alare ammontano un inviluppo! supponia­

me ohe questo sia tanto lontano dal proi'ilo da poter prescindo­

r~all'onds d'urto che Bi forma in sua proesimita, cosi da

poter limitare 10 schoma del fonomeno aerodinamieo a qucl10 pre-,

cedentemente indicato, ahe cost1tuisce 10 schema della teorj~

di Ackeret.

In queste cond~zioni i1 comportamento dell'ala e profonda-.

mente diverse dal comportamento proviato da Joukowski nol caso

in cui l' aria non esplica l.a sua cmn!,l"i mi bili ta, cd e proi'onda­

mente diverso da qucllo prcvisto da Glanert nel easo in cui

l'aria esplic~ la sua eomprimibilita} ma in condizioni iposoni­

chef oaso quosto qualitativamante molto simile al preccdonto.

In oondizioni iporsonicho, a differenza di quol che avviene

in condizioni iposonlche, i1 vo~tice chc in fase d1arvio s~ for­

ma nol punto angoloso saliante B, rappresentante il lembo d;usci-

162

- 79 - B.7inzi

ta, non puc far si cha lungo il profilo alare A 01 formino

tanti vortici per un'intensita complessiva oppost~ 0.110. propria,

porcha il profilo e astorno 13.1113. raglona angolaro (tratteggiata in

figura) dolimitata dallo due cano.ttoristicho usconti dn B. ove

6i sonte l'aziono di quol cho succede in B. Ancho a regimo,

quando la poppa dalla corronte a in B 0 in B non st formano piu

vortiei, 10. oorronto non divi.ono trasloeircolatoria, ma rosta

traslatoria, 0 non pi puc invoearo il tca,rQIlln di Kutta-Joukowski

(piu 0 mono corretto) p~r giustificaro la portanzo. dcll'ala.

Avviono pore un fatto di riliovo: poicha lungo ogni rettn

carattoristicc :Q.O>Il varia i1 vottoro velocita, non sussistono car­

tamonto condizioni asintotlche eulerimlG, 0 eatio eonsoguontomon­

te i1 pnradosso di d'Akmmbert,

II risultante E delle Qzioni dinamiche ehe 8i osercitano

sull'alo. (per unita d'apertura alaro) non risulta pertanto nul­

lo. Esso da luogo ad una portanza a, n differonzo. di quo.ni:;o avvi.£

ne in condizioni iposoniche por 10 ali d I apertura infinih~ ~ ds.

luogo nnche ad llilD. rosistonzq, detta ~~~sten~~ d'onda.

Onlcoliamo questa portanzo. 0 questa rosistenza.

Nella rogiono dove 10. corrente a costituitn dn oredo sompli-

ci conosoiruno lungo ogni caro.tteristicn rettilinoa °1°1" • I' c.n-

golo costnntc G chc In velocita formn con l' [lSSO x, perche

questo angolo e ogualo D. quollo che In tnngonte al profilo nlnro

formn con l' asse x 1a dove 1a C':<wa I:;teristtca l'ettilinea 10 Jimeon­

tra. Oonsi.-:''''ri '<reDO tU'lCl C'l;ITattIGristica 02 (generi camente non retti­

linea) pass8.nte per A: lungo iii essa'l' equazione difi'erenziale

(21) del CAP .• VI (qu8..'1.do in esse si tonga oonto delle (17) (15}aC8)

dello stesso capitolo) lega e al valore del numero di I\~ach 1:1,

costant8 1ungo ogni rotta car3.tteris'tica °1 ,01" .. ) ma variabile

lungo -C 2 '

Integrando quest'equazione differenzia1e si esprime in for­

ma finita M in funzione di 8 e deol. valore £.Ii as.sunto da M in A

163

- 80 - B.Finzi

ove e =0.

Questa funzione e la seguente:

(7) 't f\::: Cl.i..e,~,()I~ ~L - OM ~.o~) -~. + CIt'! .... t' /. '.

1---- { , , . I \ l \' ¥ .... 1 . ~'I ( + ,_\~ ~1Le~ it! -' _..1.: __ .. _.-1 ·t I \1 - .. -..a,.~&l~ 1 - .. ---... '(~ t) Lt,,-· 1-' M 1\ ( t ¥ ~ - \ 1 .. -t 1"1\ T I))

Essa e tabellata con grande (e forse esagerata) precisions.

Nota allora e in ogni punto P del profilo alare).. , sara

no to anche 1 'angolo

9!.o, G I -= ;- Me·MM,-

-- t1

che forma con l'asse x la retta caratteristica che vi passa.

La pressione p in ogni punto di questa retta, e quindi anche

in P, si calcolera ricavandola in funzione di M mediante il

teorema di Bernoulli (8) VI e mediante ls (18) VI. Risulta infat-

ti: e 1. 2

!!

t l(~r '] ~1 '\;

(8 ) = - .. --- - --~l -~ -I V t t r-I .~ - ""

dove Po e una costante che denota la rrr~~~~£L~~i ris~, ave

v=O. Se allors diciamo P1 ls pressione per M=M1 .. e =0· si pub

esprimere in termini fini ti it -,..~ in funzione sol tanto di G t- ~I _or:

(8') __ ._:: F(e)) fa

e qu.esta funzione e tabellata in modo assai preciso(·).

(.) La funzione precedents si ottiene dalla relazione (7),

cha de. e in funzione di Vl, ponendo in essa, a1 posta di M, i1

suo valore ricavato dalla (8) e ponendo ana1ogamente~ 81 posta

di M1 , i1 su.o valore ricavato della

164

- 81 - B.Finzi

pre c eel p..nte· ha l' and am ent 0 q ua-

l;i,.tativo segnato in figura e 1

per profili Bottil!, poco si

scosta da quello dato da dm

rette passanti per l' ori.gine .-/

e aventi coefficienti angolari opposti.

Noto il contorno A, del profilo aJ.are, di equazioni para­

metriche

(9 )

sara noto, in funzlone dell' areo s, l' an go 10 e , e quindi dalla

(8 i ) si potra ricavare p in funz~one di s:

(10 )

La portanza R2 e 18 resistenza d'onda R1 , per unita d'apertura

aJ.are, 5i esprimerfu~no allora cos~:

(11)

Note le funzioni (9) e (10), 61 pas 5'eno sens: a,~ tro cRlcolare i

due integrali cha compaiono nelle (11).

Si rilevi ehe 1.a p!"':s"'l!)n'} p dipende soltanto, in virtu del­

la (8'), dall' inel tnao;.ione dell' 81 emento di A. su cui si eser­

cita, e non di.penda da tutta la forma di Iv e da cia che avviene

usi punti del campo di mote diversi da quello in cui viene cal­

colata. Il risulta~te g dello azioni dinamiche e quindi somma di

azioni dinamiehe loeali C~lO dipond one solt anto dall' orientamcnto

dell'elemen-co di fA. su cui si esercitano.

Questo fatto e molto significativ~ e assai pill. semplice di

165

- 132 - B,Fibzi

quolchc avviclle quando 1; aria non esplica 1a sua cOElprimi bili­

ta, 0 pili geLoralmente in condizioni iposoniche.

In 'condizioni ipersoniche portanza e l'esis-tonza, relative

ad ogni elomcnto di A , sonG collegate fra loro proprio come

nella schema somplicistico del qualc abbia.mo detto all'inizio di

questa lczl.oni e a1 qualo si riforiscono molti libri e1ementarliL

di fislca. Quosto schor,m, dol tutto inadoguato all' aeI~mautica

firtora QOnsue:t;l;;, potra dunquo accottarsi am avveniro, quando

consue-Ca divorra 1¥aerona:J.tioB iporsonica!

Comunquc t molto profonda e la differonza cho corro fra i1

comportamonto di untala in condizioni ipersoniche 0 i1 comporta­

monto in condizioni iposonicho.

], - Qo_nJ~() ___ sung_._op-d.9.A:'u..!:t:~:U2. _~i _dj,.13.tacchi di vona

La teoria di. G1ancrt e Is. teori.a di Ackerct servono ad

inquadrA.ro il. probloma dol funzionamonto delle ali sottili,

d t ap0rtura :iL'1.finita, quando 1'aria esplica 18. sua comprimibilita.

La tee.iia di Glanert presupponc oho ovunque siano verifieatG

eondi.zioni iposoniehej la teoria di Ackeret presuppone ovunque

condiz.ioni ipersoniehe. A tal fine quest 'ultima e eostretta a

eonsiderare sol tanto ali con lemoo d'entrata, che non arresto. 1a

corrente in prora, provo cando consClg1.Hmtemente :JA~ls vi0inanze

di questa il formnrsi di ~~a regione iposoniea.

Si vo g:U ono evi tare tali regioni iposoniche nel campo ipe~

sonieo, e cooi pure si. vogliono evitare regioni ipersoniche nel

campo iposcnico., come quelle che 6i formano suI dorso di un 1 ala

(dove oa,s.3iore e 10. veloei ta) quando il nUlllC:"~O di Mach o.sintoti­

co non e abbastanza minore di 1, per una duplice ragione: per

evi ts.re Ie lftifflcol ta. LIa tema·~iche insi te nella consiclerazione di

equazioni d.i£ferenzio.li di. tipo misto; per non dovor considorare

Ie ondo d lurto. Queste come abbiamo giEt aeeennato alIa fine del

n.5 VI~ 8i for.m.ano s0mpre in p::::'ossim1ta del confine fro. regioni

iposoni.ch8 0 rog.ionl ipersoniche, perehe Ie porturbazioni prove-

166

- 83 - B.l'inzi

nienti dall.e prime regioni, e ehe non p0880no proseguire n011e

seconde, si accumulano f0DJkH1(10 curie d 'urto, dove si hanno

discontinuita nelle veloeita, nelle pressioni, nelle densita~

neiL numeri di Mach, e dovc viono meno anehe l'adiabaticita..

Per evi tare la considerazione di tali onde d 'urto pi prc­

scinda anche, in regime ipersoel.Leo 1 cl.agli inviluppi di linoG eara!

teristiche, in proasimita dei quali si formano onde d'urto.

Le onde d'urto costituiseono il piu impononte fGnomeno che

si verifica appena s 'affacci.ano condizioni ipersoniehl3. Esse sono

state studiate in passato da RiGma~n 0 da Hugoniot 0 moltopliei

sono Ie ricerche fi.·~l:CO matc!mntieho recenti 13 reeentissimo su

questo argomenrto che e assonzialo per l'aeronautiea iporsoniea 0

per la toenice doi motori alternativi a seoppio, doi turboroatto­

ri, delle turbine a gas, doi razzi, eee.

Diro soltanto ehe tali onde d'urto sono doterminato dalla

eonservazionc attraverso ad osso dol flusso, dal toorema dolla

quantita di moto, dalla eonsorvaziono doll'onorgia; ·0 aggiungoro

chc Ie ondo d'urto costitUiseono dei lunghi di discontinuita ehe

comportano do11e singolarita. no11a rapprosontaziono matematiea

dol fenomono: esse provocano quindl una notevole altoraziono del­

la portanza 0 un forte aumonto dolla resistenza, dovuta alla

cosiddetta rosistonza d'onda d'urto (da non confondersi con la

semplice resistenza d'onda, ehe si verifi.ca sempro in eondizioni

ipersoniche). Si pensi oho i 4/5 della resistenza totalo incon­

trata da un proiotto a volooits. iporsoniea e resistenza d/onda

d'urto.

Un altro fonomonn che a1tena profonda.mentE! gli schemi fin

qui stud1ati, si verifica quando questi comportano voloeita mag-\

giori della velocita. limito V ehe non pug ossoro suporata, i.n

condizioni di stazionarieta, quando il moto e irrotazionalo, La

corrento in questo condizioni divicn.e varia bile , magari turbolon­

ta, e puo ritrovaro una stazionariota sol tanto in sehemi divorsi

167

- 84 - E.Finzi

da qualli prosupposti, che comportano il dist[J.c_c?_A().1].l1~

fluida dal profilo alare.

COl'l'ispondc'nLeIn.cntc si l18.l1r.O b:'zz3.rro vari3zioni nolle

azioni dinamiche ehe si Gsorcitano sulle ali 0 sullo varie su­

parficie di governo (timoni, alet"l;oni, piani di profondita, ecc.)

Il pauroso fonor1cno' doli; _i:~lV,)r3iono C'ci eOil'aniU. 8 dovuto essoh­

zialmontc a dis'cacch"i dolla vena fluida.

Conclusion~.

Ecco 13 conclusionc cho 8i puc trerr'3 dall0 poche naziani

che aano riaacito a dare in quostc lozioni sullo toorie dinami­

che dell' ala.

Hcntre nol eampo tutto ipoBonieo c nel cs\mpo -cutto iperso­

nico, in assonza d'onde d'urto e di distaechi di vena, la modcr­

na aerodinamica sa inquadrar0 0 seguiro col ealcol0 1a corronte

chc invest 0 un' ala d' aporturn i11fi11i ta, in eondi zi ,mi tranaoni­

che, in prcsenza d'onde d'uxto e di distacehi di vona~ 11 pro­

blQma e aneora spalancato alla ricerea iisico In.atomatiea, e pre­

zioso sarcbboro anche ricorche riguardanti easi particoluri, se

pur assai scmplici.

Relativamomc all 'ala d' apertura finita, qualcoaa e stato

latto per estendere la teoria di Prqndtl in condizioni iposoni­

che e in condizioni tuttel:personiche seprattutto attraverso 10

studio delle ali rettc.ngo1 ~ri a delta e a freecia, ma molto ri­

mane ancora d~ fare.

Del resto, la stessa tooria Qi Prandtl, ri~~ardante l'a18

d'apertura finita~ quando llaria non esplica 1a sua comprimiblll­

ta, attende d'essere perfezionata dal punta di vista fiBieo mate­

matiCO, allargando 10 schema eho riduee l'ala ad un sempliee

vortioe portante e la scia ehe 8i estende a valle del lembo

d'uscita ad un nastro piano.

168

- 85 - B.Finzi

Termino dando alcuni sommari cenni bibliografic.i sugli

argomenti svolti.

Per un or.ientamento di massima sulle questioni trattate po.§.

so consigl:i.~T'e all libro italiane; ~a "I..ezioni di Aerodinami()a" di

P~~to~eaif ripubblieate a Pisa nel 1951. Per un orientamento

aneor piu sommario si potranno vedere Ie mie uLezioni di Eerodi­

namica": sono ,mode,te dispense scolastiche edite a Milano nel

1953.

Sull'influenza della cemprimibilita dell'aria, s1 potra

eercare un orientamento nella bella memoria di Karman "Supersonic

aerodynamics principles and applications", tradotte in i taliano

e pubblicate nell t "Aerotecnica" dell' agesto 1949. Fra i trattati

sull1argomento consiglio: 1a traduzione franceae edita a Parigi

nel 1951 del bol volume di Sauer "Gasdynamik"; il titolo di tale

traduzione e: "Ecoulements des Fluides cchmpressi bles". Consiglio

pure 11 vomume di Courant e Friedrichs "Supersonic Flow and Schol;;

Waves (New York 1948) e quello di un Butore ital.iano trasferitosi

in America: l'erri "3lements of Aerodynamics of sl\tPersonic flows

(New York 1949). Ottimo e pure 11 volume di lUles "Supersonic

AerodynamiCS", pubblicato a New York nel 1950.

Qualcho memoria su quostioni piu pprticolarl attinenti alla

teoria dell'ala e indicate nolla ricee bibliografia che accompa­

gna la memoria di mrman echo e stata integrata nella sua tradu­

ziop.e italiana in "Aerotocnica" (ottobrc 1949).

169

F.R. V A N DEN DUN G B N =~;== ===========

I L~90NS SUR LES OIIDES DE GRAVITE DES

:B'LUIDES INC01YCPRESSiIBLES.

(Redigees par A.BULEUX)

UEa.u qui so po..sse,qui COUl't,03.U oublieuse ••• '

R.M.RILKE

ROMA-Isti tuto lGntm,l::1.tico dell' Universi ta, 19 55-ROMA

171

- 1 - Van don Dungan

E A U X PRO F 0 N DES

1. - Historiquo.

Lo 3 janvier 1814 au moment OU les Allies franchissant le

Rhin al1aient entamer le. campagne de France, la classe des

Sciences de l'Institut de France proposait comme sujet du grand

prix de mathematique a decerner en janvier 1816 la question

6uivante:

"La theorie de 10. propagation des ondes a la surface d'un fluide

pesant d'une profondeur infinie".

Pendant les cent jours, a la seance du 28 avril 1815,

Poisson depose un memoire destine a n'etre Iu qU'apres 10. cl~­

ture du concours. Au lendemain de celle-ci, 1e 2 octobrG 1815,

Poisson lit son memoire; il y ajoute un complement le 18 decembre.

Au coumde cette seance du 2 octobre la commission pour l'exrunen

des memoirt!ls est formee; elle se compose de: Legendre, Poisson,

Laplace, Biat et Poinsot.

Le 26 dmcembre 1815 le memoire "l'losse quot Ionii veniant

at litora fluetus" regoit Ie prix de 3.000 frs. Son auteur est

A.Cauchy, jeune ingenieur de 26 ans. Un autre memoire soumis

a ce concours a ute remie a son auteur dont le nom n'a pas ete

divulgue.

Les archives de l ' Academie des Sciences de Paris ne permet­

tent pas de savoir qui avait propose la question posee en 1814.

Un passage du memoire de Cauchy montre que certains resultata

furent echanges avant 1& remise de son memoire: .~e mouvement des

ondes n'est pas 1l11t:forme ainsi que 1;r Lagrange l'a suppose dans

sa Mecanique Analytique mais uniformement accelere. Avant d'obte­

nil' les integrales generales des equations du mouvement jlavais

ete deja conduit par des considerations particulie~es a soupgonner

172

- 2 - Van den Dungen

ces resu1tata et j' en avais. fait la remarque a Mr. Laplace, Mais

je n'osaia m'arreter a cotte idee lorsque Mr. Poisson m'y

confirma ••• "

Le memoire de Poisson membre de 1 'Acad~mie fut publie imme-'

diatement, alors que Ie memoire de Cauch~~ constituera le premier

Tome deS Memoires des Savants etrangers (a l'Academie) publie

seulement en 1827. II se termine par 20 notes dont 7 ont ete re­

digees au cours des 10 annees qui on-t precede ]a publication~

Cauohy Ie di t dans sa prefac0. De Ut result.ent des differences

de notation: en 1815 l'integrale definie est noteel

alors que la notation de Fourier b

f tdx Ow

est adoptee a partir de la 16e note.

Un grand nombre de travaux ant ete coneaeres ~ l'etude des

ondes de aauchy-Poisson. Voici ceux que nous avons utilises:

Travaux franoais:

BOUSSINESQ a) Application des potentiels ••• b) Cours d'Analyse infinitesimale.

ROUSIER These; Paris 1906

VERGNE These; Paris 1909

RISSER These; Paris 1925

TravauX i taliens:

CISOTTI : Atti R.Ac.Lincei 27 1918-19

1) Cauchy n'est entre Q l'Academie que Ie 27 mars 1816 par deci­

sion du roi Louis XVIII reIormant 1 I Academie. II y est ainsi

entre sans avoir ate alu.

173

- 3 - Van den Dungen

eISOTTI Atti R.Ac.Lincei 29 1920

LEVI-CIVITA Atti. R. Ac. J.Jincei 1907

TO NOLO Atti R. Instit. V:aneto 53 19B

POLATINE Rend. Circ. I.1ath. Palermo 1915 39 et 40.

Travaux anglais:

STOKES

KELVIN

GREEN

AIRY

BURNSIDE

RAYLEIGH

PIDDUCK

LAMB

Pap8rs

Papors

Camb.Transllc. 7

Tides anel ',:raves

1839

1845

Proc.Juondol'- Hath. Soc. 1888 20

Phil.I,lag. (6) 18 1909

Proe. Roy.Soc. A.83 1910

86 1912

: Hyd."C'odynamics

Travaux americain~:

STOKER et al.

MUNK

Divers:

Com;n. Appl, llath. 1948

Trans.Am. Geophys. Union 28 1947

ROSSBY : journal of meteorology V2 n 0 4 1945

Uuoki et Nakano: (Japon) Ocean.Mag. 4 1952

5 1953

L I interet du probleme a e·te ravi ve pendant la derniere guerre mon­

diale: ChO£9 de houies sur les jotees de ponts artificiels.

Les ondes de gravi'Ge sont souvent citeS1dans l'enseignement

secondaire conune l1lateri81isation d'oudes qui se propagent dans un

milieu continu: image des ,Jons dans l'eau.

Cette image est elle bonne? Ncus varrone que dans Ie cas

des eaux pro foncies l' iinage est loin d' ~tre bonne. Ce n' est que

dans l' appro xi maoG:Lon dGE Ga.WK sUPGrficie11es que I' on trouve une

analogie acceptable.

174

- 4 - Van den Dungan

2.- Equations gen.erales.

Les equations du mouvement continu du fluide Bont

Le. fluide est suppose parfait et pesant. S'il est incompressible

on a: div v = 0 puisque la masse specifique)l est constante.

Conditions initiales. (t:o).

On se donne les positions initales et les vitesses initiales.

ou mieux ( Cauchy) las positions initiales du fluide au repos

auquel on applique des percussions: d'ou les equations du mouve­

ment diseontin1":

(2) ,"-iJ. v = - ~'Uld P

ave 0 P = lim fpJt - £ ... 01. ' et d vil v=O II

Les vitesses initiales etant nulles, est la vi tesse

apres la percussion, CO~;)1ne on a ell. ve~tu des equations (2)

rot.6 v = 0

il Y a un potentiel des vitesses

Ll V :: ~tCld 'fo avec If.:-J

L'equation de continuite donne:

div ~ v = Life =0

On a done ~ussi n p=o

(b. est 1e TJsplacien)

II suIfit de se donner P a Is surface limitrophe d'un volume V

pour connaltre p,)n chaque point de V.

Exemple: (Robin)

1) ca uvres scientifiques. Paris

175

-. 5 - Van den Dungen

L'effet d 1illle percussion constante appliqu~a la surface

d'un fluide qui s'etend a l'infini. (probleme a 2 dimensions)

fig. 1 IX p-rr (2) (potentiel de double

couche)

Equipotentielles de vitesses:

circonferences {if.;: (~ 0(;: c"'"

elles passent par L" 4 segment capable de 0( • fig.2.

Lignes de courant: ~ = Cfe •

trajectoires orthoganales (circonferences)

vitesses des points sur 1 'axe x: on a (dimostration

ci-dessous)

On voit qu'il existe des discontinuites en L1 et L. (vites­

se infinie! Mais 0e probleme considere Ie fluide comme incomprea.­

a1 ble, ce q'J.' i1 n' est pas en reali teo )

8i le point A se ciePlece en A1 (infiniment voisin), fig. 4

l' angle Cl'o.tt de zero a dO( citX :: - f}A-t -+.1!k -: 't, o.l1ll~

X+l:l. ::C-CI x~ _C\2

-d~" AA1 La vitesse en A est:

( Jef) =' L f« t ill 1ft 7T~ x - ~

Conditions aux limitesJ

La ou le fluide baiglle des surfaces solidee no us poserons

n te 2} angle solide en A sous lequel on voit Is surface P- C

(ici fuseau de section droi te 0(

176

- 6 - Van den Dungen

A la surface libre du fluide nous ecrirons

P = Pa

la pression atmospherique pest supposee constante. La surface a libre a pour equation a tout instant:

p (X'Y'lt) = Pa

On a done sur cette surfade:

Ces conditions sous leur forme la plus generale sont tree diffi­

ciles a satisfaire.

TheOreme de Cauchy.

Le fluide primi ti'[CElcnt au rapos que 1 'on ebrtmle par des

percussions a un mouvement sans tourbillons.

Zn effet a l'instant initial il y a un potentiel de vites­

sese Si l'cspace est simplement connexe i1 nly a donc paude

tourbillons. Le theo rElIne de JJsgrange on ls theorie d 'Helmhol tz

append des lors que les to'J.rbillons sont toujoura nuls.

3. - Linearisation des equations.

Les equations du mouveLlcnt s'ecrivent

Comme v = grad 'fJ '. z-on a .%Ff 1- ~>tOji Cf': -V +- f yo f (t) La fonction f(t) est SUpPJSe egHle?t }? par un choix convena­

ble d(~ Lf • Non.s suppo S Gron:: If a:38 ez petit pour que grad 2lf

soH negligeable On a dos lora

177

- '7 - Van den Dungen

done a. 1a surfac e 1i bre (P=P a) si l' elevation au dessus du pl.an

ini tiaJ. eat ~

M+~!g~o en suivant un point a la surface libre dans son mouvement

ou

qui se linearise en

J\.dmettons enfin (].t:..e la. s·, trfaee Ii bre soi t peu diff erente du pla~

ro; ce1a revient a dire que la condition (2) doit ~tre verifiee

pour ~=o. Ceci ne serait plus exact si 1a profondeur totale etait

comparable a ~.

Nous supposon~c; que la surface 1ibre a des generatrices para1-

leles a. lla~e oy, Pour Je probleme a 3 dimensions sJen riferer au

§ 12.

Les ondes ~G Poisson-Cauchy sont ae~ors la solution de

l\lfi~o

p03ir: ~ l:f == 0

'i) t2. i)~

telle que

et sur 1a surface S qui limite 1e fluide

aux conditions initiales sur ~o pour t=o

satisfaisant

tfo est Ie potentiel dft aux pGrcussions ini tiales et ~ 1a denive1-

1ation ini t1 ale c:e la su-cface,

Les equati;)nl3 eta:di devenues llneaires on peut decomposer la

probleme en deux prob1elllGS particls

et

178

- 8 - Van den Dungen

Le premier donne les ondes par impulsion et le second les

ondes par emersion.

Remargues:

a) En fait on dvvrait se donner les conditions initiales en

tout point du volume V, mais comme ~ et ~ sont des fonctions

harmoniques il suffit de se donner leurs valeurs sur ~=o, etant

entendu que sur S leur derivee normale est nulle pour que les

va1eurs soient determinee dans tout V. On verra que lIon ne doit

pas faire Ie caleul prealable de ces valeurs et q~e la solution

s'ecrit explicitement en fonetion des seu1es donnees sur r=0' b) Les donnees initiales pourront ~tre fixees sur differentes

parties de la surface limitrophe S. Clest Ce qui se produit dans

le cas d'une explosion sous-marine.

4.- Caractere des equations diff~r~ntielles.

II importe de se demahder a quel type d'equation aux deri­

vees partiel1es on a affaire. La methode 1a plus naturel1e consiste

a chercher les surfaces caracteristiques c.a.d.les surfaces

porteuses des donnees initiales qui ne permettent pas de construi­

re une solution uni~oque.

Nous suppod&hs quiil y a deux variables spstisles x et z.

Soit la surface 8 0 d'equatlon

t = F (x;~) sur laque11e on se donne

u f(x, z) et h'" g (x,z)

Peut-on calculer toutes les derivees s1fcessives de u sachant que

179

- 9 - Van den Dungen

de cette fagon on pourra calculer "U" par un d~veloppement

taylarien.

Sur la surface So toute fonction ne depend que de 2 varia­

bles independantes soit x et,. On a donc sur cette surface les

operateurs

~- :: J- t ~ F .Jr .D" rlX .x

Appliquons ces oporations a la :f'onction "U" en tenant

compte de (~) il vient:

M _IJu +- lEq, .P~ -;IF {)X If

On connai t donc ~ et .~. en tout point de So. Appliquons

maintenant ces operations a i-i.- ' 9 ~ et -2i

(2)

(6 )

180

- 10 -

On tire de (1) et (5):

j:v: =£'x(ffl-N[~ -fft5;~1 de (4) et (6)

diU, -JL(dLiL arUli _ lEZLL 1 ozt- D'J;.()7.,! d'l.lj)~, d'Z ot~J

dlou en vertu de (2)

(A)

Van den Dungen

'')2 on connait done ~¥: en tout point de So si lion nla pas

. 0 t4 (B)

Il Y aura indetermination si le second membre de (A) est egale­

ment nul.

Or la saule surface reelle satisfaisant (B) est:

t = F = c~ et dans ce cas l'operateur fa: se reduit a. /x.la condition de

compatibillite exprime que la second membra de A eet nul.Elle se

reduit a.

Soit ltequation (b) e11e-m~e.

Les surfaces caracteristiques etant 1e plan t=cte l'equation

est du type parabolique. Le caract ere parabolique peut ~tre eta­

b1i autrement par les deux theoremes suivants:

Theoreme de Pois~

La rBlai;ion

181

- 11 - Van den Dungen

etablie pour Z=(l comme condition aux limi teG est vraie pour tout

Z < 0; autrement di t c·,tte relation est une equation indefinie.

En Gffet si nous posons

il est immediat que e est une fonction harmonique

1),8;0

telle que sur S

d8- o ;r:n-et sur z=o (3 =,()

'La fonction e cst done identiquement nulle. eela resulte imme­

diatement de l'identite

JJi M8dv ·fle Md 5 -JJ[~trul.'8dV a condition que e soi t de classe C 1

Corollaire.

En derivant (E) par rapport a z on obtlent

ou bien

equivalent a J.o~+ J~::: 0 (j i3:x;i a tit

Suivant unc remarque analogue de Hadamard1 ) les equations (E) et

( Gr ) ne sont pas equivalentes puisque cette derniere est inde­

pendate du signe de /Y,.

Remargue. L' equ.a-Gion (E) a oem sens physique simple. La pressioJ;l -1) C.R. Acad.Sciences FarLs, 7 mars 1910

182

- 12 - Van den Dungen

en un point du fluide vaut: (Cfr.p.g)

Suivons Ie point dans bun mouvement, la derivee de la pression

est:

en vertu des hypotheses de linearisation. La ,ression en un point

entraine par le mouvement du fluide est done cte •

Theoreme de Levi-Civita.,

Designons. un point du plan x, z par 1a coordonnee complexe

Introduisons le potentiel COlilplexe

~ = 'f+- L. Y ou y est la fonction courant conju{,~uee au potentiel tf Le systeme: D. \f:: C

(1) S~t+ fu-1 = 0

est equivalent a 1 'unique equation oomp1ese

(L) ti t'a. dciJ - /' Jp·-{di- U

En effet soit e la valeur du premier membre. Clest une fonction

analytique finie et continue dont 1a partie reelle est

est identiquement nulle d3ns tout Ie domaine etudie. II s'en suit

que e est nul. D'autrepart, 1a partie reelle de ¢ est harmo­

nique et (1') est satisfait.

183

- 13 - Van den Dungen

Corollaire: On a aussi

equation adjointe a (1).

Remargue: L'equation (L) est bien du type parabolique

a~1A. - k {}U dX'k - dT

rencontre en theor:i.e de 1a chaleur, mais les rSles de la varia­

ble spatiale et de 1a variable temporelle sont echanges. Tonalo

a integre (L) en utilisant la llcethode de Volterra

5. Integration pa:r. J.es transiormees integrales.

So it pour q '> 0

- fO<> -,I:: d' t tf:: t tf(x.~,t)

" 1a transformee de Laplace du potentiel f . L I equati.on indefi nie

o (1<) donne imlnediatemGn1j

o

La condition a la surface libre z=o:

donne

G" dtp+~:;:;o q di dt"

}#+ jiqt 9;tdt = 0 (J

Ou en integrant 1)a:,:, parties:

Les donnees a la surface, z=o sont

184

- 14 - Van den Dungan

les fonctions g et h sont connues en vertu des condltions initia­

lese On a des lars pour z=o

(1)

En oatre sur la surface S on a

(2)

Nous sommes donc ramenes a resoudre un. probleme IIstatique" de

potentiel avec les conditions mixtes (1) et (2) au contour. Pour

determiner if nous devons fixer 1a forme du domaine limite par

S et z=o.

a) Cout"be. rectangul.aire (fig. 5)

Les conditions aux limites sont: sur z~o 1a condition (1)

aur x= ± t ~ =0; pour z=-h on a ~=o. Effectuons la

transformee de Fourier

- f+-l ~: ('01'tX ~(:t:,J1.)J.x -t

On a lIrI.. vert'll de (K)

.2= [f ~-y +- ~/01~:L ~~d:r::: 0 on en integrant par parties

le deuxieme terme est nul en vertu des conditions aux limi tea.

Pour x=:!: e Ie troisiemc terme est nu.]. si

1~n 'tt = 0

185

- 15 - Van den Dungen

k entier (posi tif), A chaque v:.:tleur de fir", correepamd une

transformee que no us note.rons If,,' L I equation

i~ = (~rr t~k a pour integrale generale

dont les constantes Ak eli Bk sont a determiner par les condi tiop..s

aux limites. Pour 2=0 la transformee de (1) donne

avec

alors que pour

Cette derniere condi tiol1 permet d I ecrire tf~ SOllS la forme

et en vertu de (3) on a

(> _ grK-ttHk c

Y /( - W/r.2. t 91- c"R Kt~

en po s ant CJ: = .!Sp t~ (Kf.~ ) La solution ainsi deteriilinee depend des valeurs initiales

f et h par Ie s constantes F k e1; Hk qui peuvent B' ecri.re

Pi< .~ f(~¥x [(ex) + f e-x)]d.x o

HK ;; l~(}j?x[-MX)~g(-x~Jx

186

- 16 - Van den Dungen

c. a. d. des parties paires de f e-i; h. Ella est done incomplete. La

transfo !'mee

donne

on doit avoir cette fois

k' entier (positif) .,£i l'on pose

r; :: tt~.i.,n l.fU1fy f(Xl dx = l! ::; It -1 ten £~'+11r e [f(x)- f(-7-)jdx

co

r e HI(" = 1, ~i:l'1 Z,~-I-11T e ~ (x)dx ;:

::: fl 1Ut ~ Tr 1 [{ (x) - ~ (- x) ] J;c _ II

avec

lfK~ >: c/<;, of.. !~~{ -! (kt- ~) I' _ 'I Fy" - i!:f£ 1

'r /c"' - 41;.,. Cf~ "" (!.k~H 1r 11 en posant

On obtient

C;J;- : ~-rt1rr -l-U if+1'fT t termes qui dependent des parties impaires de f et h. L'inversion

== de la fonction l~ est immediate. On a:

et de m1!me

187

- 17 - Van den Dungan-

(§ (X'A.) ::; -t4 f LP' -1('11 '7.,1<'+.1 11 -~ 11{" 01( k ~ 't-

;Enfin pour pepass er de ~ a l:J. solution tI' ' 11 suffi t de se

rappl!ler que

en particu1ier

Ou obtient des lors

b) COUJ"be infinement lOH,gue.

Faisons tendre " .e " vers l'in:fini dans 180 solution prece­

dente. Les i.rans:t'ormees de Fourier deviennent

Elles peuvent ~tr9 truiteeR directement. On peut aussi considerer

ce cas coromc reS'.llta:lt du nassage a la :limite du cas precedent.

Les valeurs de r dans le C"S a) sont deseretes et egalement espa­

cees jAsqc:e!1t.,. r- ('d:= kit ;}). 1 t.;J lorsque k croit pliisque

k+1. On voit qu' a La liNli t G on 0 bti (mt une suite continue de

valeurs de r enore 0 ot l' 00 • O:r;t poser!:> cette fois:

188

- 18 - Van den Dungen

On arriverait direetement a eette formul.e en utilisant 1a

transformee eomplexe de Fourier~

g> ~ ri"~(x.~)d,X Un ealeul semblable est effe-etue dani3 la seeonde partie au § 20'

e) COJ.,!rbe infipiment longue et profonCie,.

Il suffi t de faire tendre h vers l'infini dans Ie cas b),

La transformee 0/ ppend la forme

q:: . .Den .

avee]J = _~r-· 3 H 3~- '1'1:.

et l'on a done

189

- 19 - Van den Dungen

Rappelons que si l'on fait H = 0 on a 1a solution des ondes

par emersion tanuis que F : 0 correspond aux ondes par impulsion.

Ces solution ne sont pas independantes comme 1e prouve 1e

theoreme suivant:

Theoreme de Boussinesg.

Si dans l' expression du potentiel 'f1 des ondes par emer­

sion, on remplace " - gh" par "f" et que l'on prend 1a derivee

~t1.. la fonction tf1 ainsi obtenue est 1e potential corr~ondant aux ondes par impulsion prmduites par f.

Ce theoreme qui se verifie immediatemont sur 1es solutions

precedentes peut ~tre demontre directement grace aux transformees

de Lpplace.

En effet la transformee <f1 du potentie1 des ondes par

emersion satisfait sur z=o a

tandis que la transformee W du potential des ondes par impul-1,. aion satisfai t sur z = 0 a

Si lion pose

et que lion remplace

les deux conditions sont identiques.

Mais COIDJlle

1«) qt -f) e"St dt :; - (It)t=o" 9Cf.

et que ( lf1 )/""Q

on voi t que lf1

est nul dans

n'est 'autre

10 probleme

que fl::L . Jt

des ondes par emersion

190

- 20 - Van den Dungen

Si dans la fonction IV potentiel des ondes par impulsion It it

on remplace "f" par -gh et que 110n calcule • f t dt la fonction

Cf~ ainsi o'lltenue cs·~ IG potentiel des ondes par emersion. On a

en effet

et a. condition que

reste borne quand t tend ver 11 ex:· •

§ 6. Cas simples d:ondes par emersion (Cauchyt.

Imaginons que la fonction h est nulle pour #0 et que lIon

a ,+t

{~" Jt

-R rx) d:x '" ff si Avant l'uni te hex) est donc ce ,~ue les physiciens appellent

J.a "fonctions" de Dirac. Clest 1.me distribution ,(au sens de

Schwartz) que Qauchy a considere plus d'1m sieole avant Dirac!

Tous les F sont nu.ls; il en est de meme des Hk , et tous

les Hk sont egaux a 1 'unite.

On a pour ]a cuve*rectangulaire

Pour 1a cuve infinement longue

(jI::: _ tlJ: (~~ \1 t U. 1/tJ _~_~.L~t}~) kD-1 'l X- d ~ j rr ~ '{(it~'t?. L$ .. 'l-K

Pour la cu.ve infiniment longue et profonde

Lf :: -11 r tIV-11{n \If t e 'l\Oi ud 'f rr I \[ff

'0 (

N.d.loR. * One erreur de frappe est recurrente dans ce texte. Le mot "cuve" est a remplacer, par "courbe", partout.

191

- 21 - Van den Dungen

Nous allons examiner en detail cette so'lution. A la surface

libre:

(1) (LV) :;; -fl5J.l"'1~11. Y9:tC(J1 t" d. 't 1 z~o rr v~ ...

11

l'elevation de In surface, libre cst <1onc(1)

(2)

On doit a Lamb une transformation de liintegrale (1) qui permet

de 1* evaluer en fonctiol1 de tr:,uiscendartes connues tout en evi tant

la non convergence pour 103. limite superieure. Si l'on remplace

1e produi t des dblX lignes trigonometriques SOUSe le signe integral

par'la demi somme: de deux sinus ets:j,1.'on effectue le changement

de variable "r"---+ "b ""

on obtient

Des lors par derivation~

les integrales dt; second J!embre .'30nt a

integrales de Frdmel. en a

avec W = V 9tl, !Ix.

1 constante pres ~es deux

1) Dans Ie cas ou la profondeur h est finie on remplace de 1a

formule (2) 1e "grit qui est sous 1e radical- par "gr th (rh)."

192

- 22 - Van den Dungen

On a donc asymptociqueme.:lt

Poisson et Cau0hy qui ont oDt-enu Iss premiere cetts formule en

ont deja evalue l'erreur.

Les zeros de ~a. se :rrcduisent pour les abscisfJ8s

:2. Xx'" { l-(x ~ t

les maxima st minima ont pour abscisses

et pour amplitud~s

(Q ! ~5 =fI /{s1P

les nombres k z ' ks oj; Ks SOllt lOl1Xl/!s par Cauchy dans Is tableau

suiva.'1.t:

k Ie s s

0,325 + 1,379

0,120 - 8,'380

0,069 +19,800

0,048 -.35,000

0,037 -')2,000

0,030 -72,000

k tend asymptotiquemenr vers s

.1-011 ')11

k z

0,205

0,910

0,580

0,420

0,340

0,34-0

avec n entier.

Les sommetsQt les peras eEl deplac€nt.avec une acceleration

constante. Il s· en S1Jll t quQ la longl,sur des "ondes" comprises

entre deux zeros sucessifs c;c·Jit aunsi fwec une accelera.tion

constante.

193

- 23 - Van den Dungen

La fig.6 montre comr>1ent los trois premiers sommets se defoE

mont et se deplacont en fonction du.temps.

Il est clair qu'a partir de 1~ solution traitce dans ee cas

on peut par integration obtenir l'ef'fet d'une elevation initiale

quelconquG.

Hous nous bQrnerorw ci alires au cas d lune elevation ini tia­

le rectangulaire.

Eais nous allons au paravant <'xaminer la cinematique de

l'onde ;0' Si x est constant~a. repre:'1.d 1a m~me valeur si

i tt .it! = _2:. + ur "x /)1;

d'ou approximativement .pour t1=t+Ta

T o.

Tandis que 81 test const,mt ~ a., reprend la meme valeur s1

i. 2.,

1.1 ::: tt+ 2,11: /fT., .kX

d I ou approximat1 vement -pour x1 = x+,4 a..

1.17" )C"1

AQ,:::~

La vitesse de phase se deduit de

Cette vitesse de phase der>end de la longueur d'onde. Il y a

done dispersion et i1 existe une vitesse de groupe v differente g

194

- 24 - Van dan Dungan

La formule ClassiQue1) '1 d, Vi

V~ -= vp -A eL/ 1 v = - v donne

g 2 p Nous reviendrons, au ~ 10 sur la signification de cette

vitesse de groupe.

Remarques.

1) 8i dans (2) page 2-:1 on developpe c.o;\fgTt en serie on

a la formule suivante utilisable pour ~!2 assez petit

. 2) On peut d'natre part justifier la formule asymptotique

(3) page 21 en utilisant la lllethode su?geree par Stokes 1) et de­

ve~oppee par Kelvin2 ). L'integrale:

r~ 'fi)() 1 = f(xJe d~

J,::; ou f(x) V/irie peu penda..'1t que If (x) augmente de 'l-1T, a une

valeur a peu pres nulla 8i Xi et x2 sont suffisamment diff~ 5i pour une valeur xl la fonction <f est stationaire, l'integrale

a une valeur qui peut se calclller nisement d'une fag on approch~e.

On a:

(1 )

n-soIt-iine onde: sine w·~-rx). La, vi tesse de

La vittsse de groupe est vg= ~ = ~~e • . dr . d::l t ' . on a 77 d ou. la formule de plus hallt.

1) Stokes: Paper II p.341 note

2) Kelvin: Papers IV p.303

phase est v = ~ p r

Comme A = 4f

195

- 25 - Van den Dungen

ou M = CfIl(X I )

Si l'on remplace a10rs x1 ct x2 par ± O¢ sans erreur appr~

ciablc on trouve

I -= \liT r (~') e 'X p ~ rl (9 ( X 'J ± 11' 1.

W;l1 ) f/ J

dont les parties reelles ou imaginaires donnent les formules

cherchees. Comme Lamb l'a fait remarquer ceci n'est valab1e que

si dans 1e developpement (1) 1e terme suivant est negligeable,

c.B,d. 6i Ie produit ~ - "1 If I'(~'). [ Lf"(X') ]

est negligeable. Cette methode dite "de 1a phase statlonnaire,

a ete utilisee au debut des integrales complexes sous le nomde

methode du col.

Supposons la fonction h constante de -8 a +a et nulle BB

dehors de ce segment. La solution est fournie par la syperposi­

tion de solutions du cas A.

3i la distribution en A est appliquee non pas en l'origine

mais en l'abscisse x1 la solution du cas A s'obtiant en rempla­

gant x par x-x1; ~i l'on pose a10rs A=hdx1 et que l'on integra

x1 entre -a et +a on obtient la solution cherchee. Par exemple

pour la cuvo infinement longue il vient:

on en dedui t pour la. cuve infiniment longue et profonde ft la

surface:

~ = ~ 1 ~01 V"iff t

"

·j~n 't c, Go; 'L.~. rL't 'r.

Si "a" tend vers zero de fag on que lim 2ha

bien les formulas de la page 21. A on retrouve

196

- 26 - Van den Dungen

On n'a pas encore pu exprimer; en fonction de transcen­

dants dont on poss8de 1es table.s.

Maia on a a8ymptotiquement:

Comme ~ est peti t si I' on s e place ass ez loin de 1 'origine

Ie premier sinus S'annulo bien meins sauvant que Ie crochet qui

n'est ~utre que la cosinlJso!de

- at n:) V'L un (.JLJ-- - .-,,:t. h

Ji 1 'on pose: . i.eo..

f -'Un"" x = 1-·e-;--

f,X X-

en utilisant la foncUoD ~ (page 21) 11 vient: .. , a.

~ == ~a. F Lorsqu'on so plo."'3 loin de l'originc, 1e rapport.§. est petit x et la fonction f a pour periode

T """' a = ·'R-:X ou 1: est 10 periode de ~Q,

'T"_~ 10 - ~t

De meme la longu81l:C d'ond" de f cst

ou J (l, est la longu.eur d I onde de ~ a

) _ gtr xt Aa.- ~tL

Le produi t ~..f fje presente sous la forme d 'une courbe sinusofdale

dont 1 'amp1i tude est IllOdulee. On t'ouvera dans 1e premier travail

de Unoki et Nahma des diagramliles qui mont rent qu ' il en resul:te

197

- 27 - Van den Dungen

pour ~ une coux'be se~lb.LalJle a. celle des battements. (Cfr.le

S 7 pour une coul'be an£\.1..0l:,ue fig. 7).

La forEic de 113. surface du fluide correspond donc a. des

andes qui sont causees p~r des sillons tres rapproches. Ces sil­

lons se deplacnnt 6:1 chac1.goant ill' amplitude. Ils glissent dans

leur enveloppe qUl se de91ace egalement mais avec une vitesse

constante, preciseJl'ent la vitosse do groupe. El1e correspond a la vitesse de phase des 8il10ns voisins des noeuds ou des ventres

de l'enveloppe. On doit a Cauc,hy la table suivante qui donne

les abscisses des sommetd et des aoeuds de l' enve1.oppe des sil­

lons su~vant la forme dc la denivolJ.ation initiale.

\(Xt KSl /<'1, 1<;.

0, 1~q O/B~ O,.t&~ O).,U

. (0) (1,M'5) (0) (1, J.,j,')

j~;,; OJ i06 0,136 0,369

I to) (O,3hli) (OJ (1.113) -,-_._ .. -1--

! OJ f653 O119~ 0,350 I 0,11,1

i I (0) ~) 1~'1) (0) (0,95:3) .! i

! 011 de de -)orr"'md ---7" 0,303

i 0,1'16 ., I

-L-

Les no;,lbre s ':mtrc' parentheses Elf'! raIJPortent a l' amplitude K cor­

rcspondante i1 l' cnveloppe. On a pose

Xs = ks t \{f0:­x." ~ 1\'1. tVF

198

- 28 - Van den Dungen

~ 7. Cas simple s' d' andes par impulsion.

A. J.,maginon} que la fone. tion f efr!; nuJ.J.e pour xlo et que

l'on a

On a par application du theorame de Boussinesq a (p.1~ au

bas) dans le cas de la CUV3 infiniment longue

d' ou poUr 1a deru.vellati on a la surface 1i bre

~ =?rr IVJ.j tl .. ~ -1Ml Vt~ U\ 'I,~ t (#j't;xd.x o

I.e. transformation de Lamb Il' est pas directement applicable a ces integra1es. Dais 1e theoreme de Boussinesil applique a la

formule simple (3 p.t2) dOlme

I.a croissance de ~ vers l' origine est plus rapide que ce1-

le de ~Q,. (p. L 9 mais l' allure generale est la m0me. Les eeros de

~ se produisent pour

'" . ~ X~ ="f k'J ~t

de m~me les maxima at minima ant pow.' abscisses:

Le tableau suivElnt donne) lcs plus grandee val-eurs de ks et

199

- 29 - Van den Dungen

kS sinsi que KS qui pcrl.let de calculer l'amplitude du sommet

~s = KsB ~t'l. .~--

i k KS k s z

0,598 I ? !

0,157

I 126 • ••• 0,204 ,

0,084 740 I · ... e, 124 , 0,056 ! 2. 160 · ..• 0,070

I 0,041 I 4,230 • .•• 0,049

0,033 I 7.700 · ... ° ,037 \

(~es valeurs de K~ ne sont pas calculees avec grande pre­

cision; 113 premiere valeur est tres faib1e).

B. Dans 1e cas au l'imrulsllon est constante de -a a +a o~

est conduit a representor asymptotiquement ~ par

l'a11ure de 1a surfaco est la m~me que pour des ondcs par emer­

sion, maia Is decroisss,Y,lcc est rroins rapid e.

Voici un exemple numerique:

:Pour us rendre compt e c' e 1", i'orme des ondes, choisissons

la fonction

en neg1igeant 1a 1ente variation de l'amp1itude en fonction de

x. Nous choisissons 1es valeurs suivantes: -2 g = 9,81 m.Sec ; a = 0,2 m t = 30 sec.

<J t~ ~ L'onde enve10ppe sim( ~~ :Jr) a son premier BerO pour

x, 11 , f; 2 ni,

son 2e so~uet x11 9,65 ill

200

- 30 - Van den Dungen

Cette onde est modulee en amplitude par sin( .~. tt _ n-) f;:X IT

dont les zeros correspondent a Q t'l.:= t:i n- (1+4k)

Pour k 54 on a

k ::: 84

et (k entler)

x

x

11,82 ••• m

8,32 •• , m

Il Y a done presque exactement 25 a1ternances entre x1 et x2• Le 11 sommet x correspond a peu pres a k=72,5. Les vitesses de pha-

ses des sillons sont:

k := 59 0,792 -1 pour v m sec p

72 0,66 'T

73 0,640

84 o i 556

La valeur de W= Vir It:x:: pour cos andes est ~ rt(1+4k) 'V 30.

Cette valeur elev(3e justifie l'cmploi des formulas asympto-

&: tiques pour evaluer ~

Le sommet de l'onde enve10ppe se deplace avec 1a vitesse -1

de 0,322 m. sec -1

Le premier zero S8 deplace avec 1a vitesse de 0,394 m. sec

1e seconll zero " " " " " " 0,277 " " Ces vitesscs sont pratiquement 1a moitie des vitcsses de

phase comme l'exige la valeur theoriquo do 1a vitcsse de groupe.

(Cfr. ~ 9). La fig. 7 indiquc la position des ondes enveloppcs . s 30s et at de J.eurs sil10ns a trois instants successifs 29, 5

30,s5. On voit que 1'onde Bnveloppe s'al10nge lentement, 1e

noeud (l.e droite ;'vangant plus vi t que 1e noeud de gauche. Pendant

ce temps les si110ns glissent a l' iliterieur de 1 I enve10ppe I.e

sil10n A apparaissant a gauche en tme seconde tandis que 1e s11-

lon M dispara.i.t cIe l'onde representee: i1 est clair qu'a l'instant

29,s5 1e si110n A existe f" gauche du. noeud N2 et qu'a l'instant

201

- 31 - Van den Dungen

11 30~5 1e sil1on~xiste a droite du noeud N1,

T1H30reme de Rossby,

Etab1issons d'abord une relation due a Lamb. Les ondes se

presentent comme ayant une longueur d'onde variable dans 1e

temps et l'espace:

Sur 1a distance "a" i1 y a T ondes ai' instant "t"; le nombre

de les ondes varia en fonction du temps: leur ~croissement par

unite de temps est:

d ~o.IA} ot

Soient x 1 et X2 1es abscisses diatantea de a (X2;X1 +a). Le

nombI'e d' andes qui fraucmssent x1 entre ~ at t+ e est

v etant 1& vitesse de phase. 1l

Le nombre total d'ondes uortios du segment "a" en x et . . ~

entr~ea en :X:1 det a t+ e est done 61 "a" est assez petit

d (1 xC¥.~ 1. Q,

On a done en paasant a. 1a limite, fJ et e. tendant vers zero:

1yl "'v: r ~+lL.t-:o dt ax

Comme v = v (~ ) il vient enfin: p p

C'est la formule de Lamb, Rossby a I'8marque qu'el1e peut s'inter­

preter comme suit: si l'observatour se diiplace avec la vitesse de

groupe: w :: 11: -.A d. Vp v~ p cL 1

202

- 32 - Van den Dungen

1a longueur d'ono.e qu'il observe est constanta puisqu'on a

(~d. .. t) = eLf' + 1;;,ll' =- 0 cL t o-!rl""v. at -;J a x

Corollaira:

II s'onsuit que les sillons ant tous la mame longueur d'on­

de quand i1s passent par le sommet dlune onde enveloppe. Il en

serait de m~me au noeud si 1e phenomena etait visible!

Ceci est possible parae quIa l'instant t les sillons ont

une longueur d'onde dlautant plus petite qulils sont plus pres

de la source et que chaque silloll a une longueur d'onde qui croit

en fonction du temps.

38. Autres cas d'ondes de Cauchy - Poisson.

Nous avons resolu le problema dans le cas au le fond est

parall81e a la surface libre. (equat. du fond: %=-h). Lorsque

1e fond est forme par une courbe quelconque l'integration est

bien plus compliquee et en general impossible m~me sous forme

de series.

Tout ce qulil est possible de faire c'est d'appliquer la

transformation de Laplace et done d'ohtenir 1e systeme suivant

a la surface z=o:

sur la surface S:

dLR= 0 dn

Si l' on peut determiner Lf en fonction du parametre q, on pourra

par inversion ealculer ~ elle En partant de cette remarque I,J: Huleux s' est pt'oposee de

mesurer q par une methode analogiqua. Elle a choiai llemp10i

203

- 33 - Va~ den Dungen

d'une cure electrolytique. Nous ne pouvons songer ici a exposer

1e detail de son etude qui n'est d'ai11eurs pas encore terminee.

Nous noue contenterons d'en exposer les principes.

La cuve ayant une surface horizontale semblab1e a 18

section verticale du fluide dans 1e plan xz, 11 convient d'exami­

ner d'abord 1a similitude des ondes etudiees~

La similitude des ondes de Cauchy-Poisson:

Comparons les ondes dans deux domaines geometriquement

semblables rempli d'un m~me fluids dtemersion soumis a 1a m~me

pesanteur. '1: T Soit 1 =

Comme g ~ g le rapport e

C I est la 10i de .Fronde.

le rapport de s~militude geometrique.

~. doit ~tre tel que t

Les equations etant lin~aires 1e potentiel est proportionnel

au maximum de llintumescence initiale; no us pouvons nous fixer

cel1e-ci arbitrairement. Nous ferans aimplement

A l'equation

Sur S et 5 Pour z ~ 0

Li~~o correspond Ll~ =0. _

a ~.!f =0 correspond ~ ~ =0 ~ /.

a correspond pour z = 0

~

sans qu' il n' y ai de relation entre Ii e1l; ~ • Maia pour t",o

on a

pour z o et pour z~o

j-( :-~~

204

- 34 - Van den Dungan

On a done

Calculons le}S tra'lsformel':2 de Laplace

corre8rond :

Il fimi; que;

(1)

par eXt~mple_

(2)

de soC'tc quo

co qui e8t neces3aire p11lsque qt est un llombre sans dimensions.

La c~,{-'L_.£.l~_c_tr:SlJJt l.sL1!cc_,

J)ans un fl'.<ide de rosiE t.ivite ~ t en realise an champ

electr.nque pj"an de potcmtiel V a. a. d. dependant seulement de

deux v:uisbles 9patialc$ X et z. Jew courant dans l' electrolyte

est:

2.U tra'rers io 18. surfac·" S norm8.le ::IU chC\mp E=grad 'V. La conser·

vation du c,)u:can~ cxi6 .) que dLVt:::; 0

205

- 3~ - VuH den Dungen

on, s1 la masse fluide u:::;~; uniformo

DV-=O

Le fluide est li~it~ sur 8 par des parois non eonduotrioea tellel

que: (Ofr. fig.S pour oe qui suit)

OU

sauf suivant 1 'axe x == 0 :,mr 1equel on realise une chute de

pptentiel de V1 a v au mo;ren (l'nne r~sistance R que traverse Ie

courant i, S etBllt l' air8 des l_ames metal1iques au potentiel

V. On a done

, (3)

v 0 etant 1121 potel1tiol de :ceference on re,~lise V1 de fag on que

hex) V1 ""h"V o

!

l' equE.tion (3) est l'm:l:cJ"oglJ_8 de I' 8quation

(4)

si 1'0:':1 pose:

a cpndition q~e l'on ait

Cf~" }li} SR,

La mesure du potentiol er. un point ',uelconque ex, z) permet

done do caleuler If en oe point.

La CUl"e n' ayant p:"s les dimeLGions du lac dane: lel1uel les

andes se IJropagent, 18 surface S est construi te a l.' echelle l il res'll te de (4) que 18 val Bur de 9' ~ cl8.11S 121 cuve vaut .; q i pour le lao. On a dono:

206

-36 - Van den Dungen

.. ,t ~ fd t 0. (3) "1 = S R e e que

(5)

Par consequent J_a mesure de V en un point de la cuve llermet de

connaitre ~ en i'onction de q~.

1.1e11e Huleux obtient de cette l'agon pour 1.Ule fcrme de

cuve d,Herminee des courbes dont l' allure est la sU:_·.fant(~:

(Cfr. fig.9).

La valeur de V pour q1", ° appclle quelques cOinmentaires: - 2-La fonction tf pour q == 0 doi t sutisl'aire aux equations:

sur S,

.6 q:: 0

dt.£ :: ~ 01't sur z=o

I1 s'agit d'un llrobleme de Neumann qui n'admet de s01u-

tion que si

ou dans 1e cas etudiee

-~ 1 ~(x)dX' -i 0 fie

AB etant 1e segment de li axe des x baigne par 1e f1ulde.

II est clair que la plus p8rt ~Jes donnees ini tiales ne

satisi'ont pas ~ cette condition. II n'y a done pas. de fonctions -Cf correspondant a ce probleme.

II est facile de voir que 1a fonction \~ tend vers I' co

quand q"1 tend vers zero, suivant 12, 10i

N etant une constante facile ~l determiner au moyen de (4): o

207

II resulte

- 37 -

!I~ ~- !Ll ~(x)dx fie fiB

alors de (5) que

Van den. :Juxlgen

eet ind6pendant ,les eool'uonnees (x, Z:).

Le point K est done Ie meE18 peur );outes les courbes.

La forme des courbes (fig.S) slexplique aisement.

Nous avons vu que pour une section reetangulaire Ie poten­

tiel des vi tessero a pour transformee une Gerie de la forme:

IIg

+ ~ IV (X I X. ) __ 1..-._. L.. k bL,J.. fwt

1 r, K

On a done pour Ie potentiel elec'cri,'llG dans la cuve c!d5):

Dans le cas d tune section c;ualconque le terme No a 'I1lien

la m~me valeur comme nous venons de Ie montrer, mais les facteurs

Nk (k) 0) sont inconnus ainsi c:ue les constants wk pulsation des

dif'fe:t'ents particls des mouvements ;:ropres.

Le problema est done de d6Juira des courbes de nelle Huleux

la suite des facteurs N;:.: et celIe des nor;'.bres wk. O'J notera que

l' asymlltote horil-:ontale a pour equation

Le detail de cette analys" sera Imblie ul terieureml":vlt dans 1a the­

se de doctorat de Melle Hulaux.

208

- 38 - Van den Dungen

(.

S 9. Ondes 8lemen-Gairos.

RetournOlls a 1a formula (2) 1'.21. Blle represente l'ele­

vation de 1a si.l.r:i:'ace comme une somma do Fourier d' indices ayant

un spectre contil1l1.; ch~\que onde a pour expression ~, un faoteur

pres

C' est une onde stationnairc de l,ulsc1tion

et de longueur [1' onde

J -= 11] "l,..

On peut evide.llllr.ent decomposer cutte onde stationnaire en une

onde progressive et une onde retrograde

dont 1a vitease de phase est

on en fonction de 1a 1uni,ueur d' allele,

La vitesse de groupe d'une telle onde est

... ".. _ l t" .... 'T cL vP vr; - vp , . d 't

= Vp - ). .~ r ::1: lip

Dans' 1e cas d 'une profoncleur fi-'l.ie on a

(1 )

209

- 39 - Van cten Dungen

On a done cette foia

d I ou V p '" '~ == \/fL!h r hr et 1a vi tease de groupe

ou

(2 }

On voit que v g qui vaut 1!p quand h est in!ini oroi t et

tend vera v ai h tend vera2zero. b.a.d. que 6i 1a profondeur g

est tree faible, on a asymptotiquement

v =v =\/;h g :p

Dans ce sas on voit qu'il n'y a plus de dispersion, Notts re"ltrQa""

verGl1S ce result at dans la deuxieme partie.

Le potent~el correspondant a une onde progressive

I;;' == ~ cos( 6Jt - rx) est J _-0

lISVee

on en deduit que le point du fluide de 900rdonneea x1z1 a pour . ~ composants de vitesse, si on pose K== W ,

210

- 40 - Van den Dungen

Pour obtenir la trajeetoire d'un point il faut integre~ ees rela­

tions. Comme nous supposons les deplacements petits us allons

en premiere approximation laisser x1 etz1 constants dans Ie

second membre de fagon a n'effeetuer que dos quadratures.

II vient alors -1CJ( Wt-rx)

x-x1=-K LV eh r{z~+h~

ch rh

z-z =-K cos (wt-rx) 1 (,J

sh r(zj+h} eh :eh

X1 et Z1 etant 1a position moyemle. En eliminant t il vient:

avec

(X-X1)2 + ~

a=Keh rJg;1+h ) weh rh

2 (Z-Z1) b"

et b=~ shr(z1+h) W ell rh

La trajecto].rc est done une ellisse si b n'est pas nul, ce qui

se produi t ;:m fO>'1(l, pour Z1=-h. Le rapport des axes est

B a = th r (Z1 + h)

i1 varic de zero - valeur au fond a une valeur maximum th rh -

valeur en surface. Lesr'3.nd axe dlC l'el1is8e est horizontal, i1

vaut K/'J a la fmrfaec et deeroi t en fonetion do la profondeur

pour atteindrc K/ W ehrh au fon<'l..

Lorsquo la profondeur est 00 , Ie rapport b/a vaut contam~

menD l'unite ot toutes 10s trajectoires sont des circonferoncos

dont Ie rayon decroit on fonction do la profondeur comme ch rz~

Notons onfin quo lorsquc 10 point passe au sommot de

1'01Iisso, z stant maxi mu.'1I, cos (wt-rx) vaut -1; il s'on suit

quo la vitcsso dx/dt cst positive, e.a.d. que 1e point passe

au sommot clans }(l SOllS ('cc prupaf::ation dc l' ondo.

Consorvation __ d_2.1 'energic.

L'enorgic cinetiClu() dans IJ Yc,lumo paral1elipipedique est:

211

- 41 - Van don Dungen

'fl E.! '\.{ x r 'r ft. (LNWi. t~ d ~ :c. j~ "

± fff!(. 1,,<td t If <i \f

l'encrgic potenti.elle: rl""

V=-- Vo + BJJ.g)! l..i-'~d)C " t S -x,

On peut oncore 8criro T do la fagon suivantc:

T ~ ~~ Irs ~ ~ d s -'~'ff£ tf f} Lf d, V 10 dornier temme :"st nul puisque lI{ est harmonique. On a de

m~me pour la derivee par rapport au temp de T:

Ie dernier terme ust nul.

D<:loompOSC;'l8 S en los surfaces S1 et S2 perpendiculaires a x, S3 et S4 perpendiculairos a y et 85 S6 horizontales. (Ofr.

fig,10).llour les r:lOuvements paralleles au plan xz i1 rester

On a d'autre part,

1\ rx' ~ £1:"", Bfiq ~ If tis iH . !) Jt

.:t-c

Comme dans Ie pla"l xy, sur S6 on a:

il vient (Cfr A p.S)

212

- 42 - Van de21 Dungen

!Lq:~ =-li. ~l P l5:. d, S i/,-o r p 11;c d S tI C S, JS~

C'est la loi de conservation de l'energie; Ie second membre re­

presents les pressions transmisses a travers les surfaces 8 1 €It

52 par l-effet de 1a pression sur le fluide en mouvement. 8i l'on

suppose x,=xo+dX on~:

Cette equation a 1a forme d tune 8Cluation de conservation d 'un

fluide se mouvant parallelement a l'axe des x et de masse speci­

fique (densite d'energie)

et de quantite de mouvement (flux d'energic)

1a vitessc v~ est la vitesse de transfert de l'energic. Dans Ie

~as de l'onde progressivG

ou lJ = V gr th rh

on obtiont la valour suivante:

dont la moyenne par periode T = 2TI W·, est

213

- 43 - Van dun Dungen

La partie de /U· due a l' energio potentielle eta.i t

dont la moyenne Gat Jiy'k ; on voi t qui i1 y a equiparti tion des

va1eurs moyennes des energies cinetiques at potenticl10s. D'autre

part on a:

Ou nous avons introduit la vitesso de groupo v (Cfr.p.3'). La g

moyenne par periode est

La vitosse do groupo est done le. vitesse de transfert de l'ener­

gie moyc:m."ylO, mais co n I (3st pas le, moyenne do la vi toase

eomme on 10 di t narfois erronement. On a on affet puisque v p" v g

V"""::: V; [1 -L .Vf"-~::",t1.}tf}V' Ve~ 1i~ ] P rr V lJt-ll2-· 'V,. j- C!~

on en deduit Ie tableau suivant:

0,5 -j;

1,232 0,616 v v v ::: V = V g P g P 0,6 1,176 0,706

0,7 1,123 0,786

O,~ 1,080 0,864

0,9 1,037 0,934

1, ° 1,000 1,000

On no :peut done avoir -* que si lion a on m8me temps v = v V ::.v g p g

c. a. d. dans le cr.,""s des !(JJ..y, superficielles.

214

- 44 - Van don Dungan

§ 10. Variants int_ugraux.

Lorsqu' or, produi t des ondes par emersion, il est evid.ent

en vertu de la conservation de la masse du fluide incompressible

que Ie volume de l'intumescence initiale

doit se conserver c.a.d. quIa tout instant

10= f~~(XIt)dx. II y a quelque inter~t a rechercher si d'autres integrales se

conservent au varient en fonction du temps suivant des 101s con­

nues a priori, et cela non seulelllent pour les cndes par emersion

mais aussi pour les ondes par impulsion. dans

En nous plaQa~le cas d'un milieu de profondeur h mais

infiniment long ( -00 <X< +-00

de Fourier.

retournons a la transformee

-. "'+01)

~ :: 1"" Wj'tX ~(:X;J z)dx

~ :: laJe·qt tf (x, 7., t) d t "

On sai t que d'ou

to :0' ~H c~ 't(~ ... K) i wi., q c~ 'tlv

ou UJ ~ Vcr tt::;~ F == f~;(,o~,x(Lx

et H == r'" (.m'!::): i.(x)cLx: "-0>

Mais on a:

215

- 45 - Van den Dungen

d'ou par inversion:

(1)

En 6e souvenant que:

on a

et a la surface:

Si 1 'on fait It= W =0, i1 vient:.

Nous retrouvons ainsi 1a conservation du volume.

En deve10ppant cos rx en serie sous l'integrale, Ie coeffi­

cient de rUt'est:

~:~; J~:~~. g (X;,o,t)cl.x -00

i1 est proportionnel au moment d 'ord:r'e i'/'I. Ou on a :

dont 1e coefficient de r: est:

216

- 46 - Van den Dungen

on a done:

et ainsi de suitt) si f(x) est nul.

Si nous avions utilise la transforme

Lorsque rex) est nul, on trouve ainsi

at sinsi de suite· 8i l'intumescence initiale est paire, tous

les mbments d'ordre impair sont nuls, c.a.d. que liintumescenee

reste paire. (on symetriqre par rapport a x=o).

Dans 1.e cas des ondes par impulsion on a obtenu par un

calcul semb1able; ,..+co

L'1 ~ (XIO, t)dx:: 0

r""x' ~(:tJO, t)d..x = 0 ."" .. 41<1

r:~1%(Xlo}t)d:x:"i::. - 'l~tL~ FCr;)d..:x:

CCtl):3 ~ (X,OJ nd-x ~ -6; I:: F (JC)d.x '00

217

- 47 - Van den Dungen

et ainsi ae suite.

On peut aussi calculer ces moments de proche en proche

par recurrence. 80111nengons par appliquen a If( la transformee de

Fourier:

(A)

~ etant

(B)

[+<>0

F (z,t) = . _"" eos

fonetion harmonique, ~-1I - 1,t f::: 0

();tt

rx ~ (x,z,t) ax

on trouve que

dtOll F = A(t) ehrz + B(t} sh rz

liIais pour z = - 11.:

(c) H:; f"""(.Q1'!·'X ~.I.f d.x ~O u1- _~ ~

donc F= ~ (t) chr (z+h)

Or pour z=o on doit avo1r

CD)

ou

et done:

ou ~ = Y:, c,o;wt +-1';1 '1~/Ytwt

avee W = V gr th rh

Les constants (f.1 et ~t sont a determiner par les condi tic>ns ini­

tiales: pour z=o on a, a l'instant t=o

d'oll

at

218

On a done:

et

- 48 -

pi (0 ,0) := 'f. { ch rh

d r(OjO) r t wJ'1. '!. h ,n :;: 'f"

On retrouve ainsi (1) de 1a page~5 •

Val. den l)ungen

Si on developpe 10 cos. en serie dans (A) an peut ecrire:

F(z,t) := (_1)n : r2n

ou V2n est 2n!

10 moment d'ordre 2n (t'"

qui

(E)

1T2n =0 j x~11lfc:Lx -Of)

satisfait, en vertu de (B) p. 4t ~ "J1\f _V_Ii!! + • '" t" 'TL.-t)\/ -; 0 ()z..l "',.,~- V~r(-1

Il resulte de ( ~ ) que l' on doi t avoir pour

(F)

et pour Z := 0

avec les valeurs initiales pour t:=o.

(H)

Calculons d'abord 1T • Suivant E on doit avoir: o

If 0 (z , t) := rf-< (t)

(G)

219

ou Cr'"

- 49 -

n'est autre que V (0,0) et ~: o On a done:

Van den Dungen

(15:tr. (H)).

V(zt) '" J.TQd f(~) dx - gt -rp

I""" h(x) dx . "'" On en deduit par derivation

J~~ t~~

~OO ~(r/&)/t)d,x: 1 ... ~.(::c)<Lx les autres moments pairs se ealcUlant de proche en proche a partir du premier. En purtant de 1a trasnformee:

l:illtH If(x,'l;,t)dX

on obtient les moments impairs.

Dans Ie cas d lune cuve rectangulaire (p.1 4l les valeurs

de r forment une suite discontinue. II n'est pau possible d1ohte­

nir les moments d'ordre n par identification des foeffieients

du developpement en serie.

Les variants que l'on peut former dans ce cas ont pour

expression [ft Vk := J w1£;-Xq'eX ,z,t)c:L.x.

-f +t (k et k J entier)

Vk ,: I em 't.~·+1rrf lffx:,'l,t)cLx . t .

et

d'ou l'on deduit a la surface les expressions:

Itt Wk = '01j(·~X f5 (x,t-)cLx

·f w .::: itl(.()j ~K:+.J 1T:; ~. (x,t)d,x.

k t ~ 5 . ·f .

Ces variants sont aussi des fonctions connues du temps: ce sont

ici des fonctionB sinusoidales de pulsation 4)" et CJ~. On

peut etablir ces proprietes en suivant l'une ou 1 'autre des deux

methodos qui ont ete ex~osees pour 1a cuve infimiment longue.

220

- 50 - Van uaIl Dungen

On peut aussi les verifier a partir de la formule P'l,' On a

par exemple:

j --e . h(x)

·f a.x

On peut aU8si ecrire au lieu de (20)

et pour la surface libre

Les variants integraux dans ce cas ne son't autres que les

"paramGtres normaux" de 180 theorie des vibrations.

<s 11. ~ffet de la c,~lla:rite.

Nous avons suppose jusqu I iei que la pression du, fluide a la surface Ii bra est la 1jression atJf!ospherique. Il n I est plus

de m~me s I il rGgne a l' il1.tersurface 1me tension suporficielle.

En un poj.nt de la surface libJ~·:) con8iderons u: clement

rectangulaire curviligm: clont les aX3S de symetrie Dent les li­

gnes de courbure jJrinci.pales do la 8arfacG en ce point. 81 Test

la tension superficielle au point consiclere, l'equilibre des

forces projetees sur la 110rmale oxiC''! quo (fig;1:)

221

- 51 - Van don Dungen

p./lab ",p,.Hx.b+hbT-Ra.. +ho..'Tf~ ~ 1 ,t

a et b etant p3tits les cos des angles que lC6 fotC-')duos a le tension font avec la normala n, on-I; pour valour a/R 1 ut b/R 1•

On a done:

On verifie QUO cotte formule est generale c.a.d. ind8pendante

do la forme de l'eloment de surface Qonsidere. La condition a la

surface libra pout des lors s'ecrire quand on suppose cotto surfa­

ce cylindrique de generatrioes paralleles a l'axe des y

Parce que l' on peut a nouveau supposer n po.. n, nul en modifiant

18. valeur de Lf • Par derivation par rapport au temp il vient

La transformatioll de Laplace donne:

dans le cas des ondes par emersion. La transformee de Fourier

donne alors:

avec

222

- 52 - Van den Dungen

On voit que l'on est aussi conduit a des calcu1s semblables a ceux de plus haut, a condition d 'ajouter

-1 2 a g Ie terme T p- r k ,

Une onde elementaire est de la formG:

sin (wt- rx) c11 r (z + h)

avec

La vi tesse rie phase est done: I ~'T-. --tp--=-{J

v ;: kL. = -L + -; '1, \..~ 'ttl. p 7. 'l:. '.1.,

1'our lC')8 petits longuot,u's d' ondo, comme

le terme en T l'omporte; pour les grandes longueurs d'ondes c'est

Ie terme g/r qui est preponderant,

La vitesse de groupe:

Dans le cas ou la profondeur 11 est infiniet

La vi tesse de phase est X pOUl' r nul ou.. ¢> • Elle passe par

un minimum pour

La vitesse de groupe est,

v =.1. v J -to 3}_'~ g 2 p ~ -t ;.: 1i

elle varie de 1 v a J. v quand "r" croit de zero a I' 00 ,elle 2 p 2 P

vant exactement v quand r = r , p IJ

223

- 53 - Van den DUl1gen

Nous avons represente sur 1a fig. 12

ainsi que

vp= V·y;: Vf~ + \'"'

(Cfr. fig. 13)

Y..g v

p

1+3{~}i 1+-1('t~)i

Quand Ia profondeur est finie, la vitesse de phase varie de

Vgh a l' GO quand r varie de zero a l' c.o • Elle a sa valeur

minimum pour "r" nul si h< V ~

La vitessE(de grouJPlB dans ce cas varie de val v • I1ais 8i ;- ~ . 2 P

h.> vtfi la vitosse de phase passe par un m~n~mum pour une va-

leur positive de r m, la racine ) o de l'equatian

Dans co cas la vitesse de groupe decroit a partir de v pour pas­p

ser par un minimum ot revenir a v pendant que.r croit de zero p

a rm' Puis la vitesse de groupe augmonto jusq!a f vp pendant

que r crait a l'infini. ~n prenant comme paranche le nombre

d= 2rh et en posant

hi~iA=j3 T' ,t -1L _ S -O(

·~f\1!t. ~ j3 ~ G( t,

La courbe des valeurs de ~

on a

en fonction de Vfj est reproduite

ci-contre (Cfr. fig.14). Pour f3 =12 on a 0{ =-0. Puis les

valeurs de <.x croissent asymptotiquement vers VIB I

Pour etudier les variations de la vitesse de groupe pre­

nons j?; =14 et faisons varier « de zero a la valeur 2. La vites­

se de groupe varie de v a v en paul1ant par un minimum qui p p

vaut a peu pres 0,967 v pour ~ =1 ,G. On voit que la variation p

224

de vest faible et lente. g

- 54 - Van den Dungen

Soit maintenant la valeur j3 =100. 1e minimum de la vites­

se de groupe est 0,662 v et est atteint pour ex =4. Lorsque p

8 tend vers l'infini, Ie minimum est atteint pour 0< infini I

et vaut 1/2 v mais pratiquement cette valeur est deja atteinte p

pour s;4, > 10, a moins d'un millieme pres. La fig. 15 donne la

valeur de v /\fib en fonction de (;{ pour f3 =10 et f3 =14; on p

voit le minimum de cette derniere atteint pour ex ==0,92 et

egale a 0,98. Nous n'avons pas trace la courbe f3 =12 comprise

entre les deux autres; elle presentzune tangente horizontale

pour 0( =0. Dans le cas de l'eau surmonte d'air on i1

T = 75 dne-m-'

des lors pour h = 00

1m = V()~gZ - -1 ),1 om.

ce qui donne COlline longueur d'onde

la vitesse de phase correspondante ainei que 1a vitesse de

groupe est

v Pm

v g

-1 23 c.m-H..c

Quand la profondeur est finie 13 valour critique t3 =12 correspond

a la profondeur

It :;; ViU :: Ohic/In MIIJ- '

On deduit des valeurs nv~eriquGs qu'en fait les cas pratiques

correspondent a .:l ,,11111 ou r <: rill ot que par consequent

v .( v g p

Les ondes de gravite sont -lues ElUX ondes dont la vitGsse de

phase croi t en fo'~ction de la longueur d' onde; elle sont caracte-

225

- 55 - Van den Dungen

risees par une dispersion "normale" au sens de l'optique • Les

ondes de capillari te qui correspondent a ). < Am. sont "anormals"

du point de lZue de la dispersion. Kelvin leur a reserve le nom

de rides. ("ripples"en anglais).

312. 9ndes cyliIldriques.

Nous avnns etudie jusqu'ici des ondes qui ne dependent que

d'une variable horizonta~ x. Noas allons maintenant tenir compte

des deux dimensions du plan horizontale. Le potentiel des vitee­

ses ~ est fonction de x,y,z,t et doit satisfaire a

Les conditions aux limites sont les wemes que precedemment. La

transformee de Laplace

~ = JXiqtlf cU o

doit satisfaire a l'equation

aux conditions aux limites:

sur S di..f -D ..,..-- -dn

sur z=o

Nous trai terons le cas des ondel3 par emersion (f=o) en supposant

que la denivellation iui tial.e est symetrique autour de 1 t origine,

ce qui nous conduit a utiliseI' les coordonnees cylindriques ~ ,

0< et z.

Si le fluidf' setend a l'inf:fni dans toute direction aut~ur

de z, no us sommes conduits a dire qU8 1e phenomEme ne depend

que des variables ~ et z (effe-t de symetrie). Ofr. fig. 16.

226

- 56 - Van den Dungen

On a des lors

Effectuons la transforml!e de Hankel (r» 0)

~ =. J~ (~;7.)p TJ't ~)dp o

Nous obtenons eE tenant compte des proprietes de la fonction de

Bessel

J(~1 T 1 ~f) ~ J_('t ~)d,~ ~- tt ~ (}

et des lors If \loi t satisfaire a.

d.t~ ='L9.{O £i ~,,1

Lorsque Ie fluide s'etend a l'infini dans 1e sens des z negatifs

on a If = r;.. exp (rz)

la constante ;;:. 1.t. detennine pour z=o parce que de (1) on voit

que

avec

d'ou

• g : ~ + 91 ~ =. -1 H

H = flY~ ( ~) ~ J: (', OJ. ~ o

-_ -lL ~ - ~1"9~ '"

(2)

L'inversion de tf resul te de ce que

q ~ r~~lM)rL' (l

CelIe de ~ est la mer10 que c811e uffectuee plus haut P.--i).

Pour ne pas comp1iquer l' ecri ture ::10US allons nous limiter

227

- 57 - Van de" ::Jungen

au cas ou h(! ) est par:tou:t nul, sauf a l'origine ou il est

00 • de fagon que 10 volume de l'intumescence initiale soit

;;:.A et

A ;;:. ~~o f"~.(~a11 ~d.,~ • p

(A)

Dans ce cas (1) se r0duit a H ;;:. :lL

211

On obtient ainsi:

(B) Lf=-~ fF1<mV<J" ttxptn)t T.(~fl,h o

Dans le cas ou 1a profondeur est finie, i1 faut remplacer .eh:r:.(z+h) exp(zr) par ch rh Lorsque 1 'intumescence initiale depend

de l' angle C(

entier)

on doi t COlmnencer par faire la transformee: (n

ce qui conduit a 1a transfornee

q::; JOO~ ~ 1S~ ~)r1f o

qui introduit 1a fonction de Bessel d'ordre n.

Nous nous bornerons a examiner 1e cas de la formule (B).

Cahchy a resolu ce probleme sans introduire de coordonees cylin~

driques. Nous pOlr~ons retrouver ses resultats en effectuant une

double transform,~e de Fourier en posL>.nt:

~'= D?(1'H\~)~dxd~ L' equation f.j, ~ =0 donne iei:

228

- 58 - Van den Dungen

d'ou pour 1a profondeur infinie:

1a constante ~ se ~duit de la relation pour z=o

dans 10 cas des ondes par emersion (formule (A)) elle V3ut:

On a par inversion

et enfin

Au lieu d 'utiliser les vElriables 8 1 et 8 2 variant de 0 a oc ef­

fectuons le changement de variables

s1 r costJ

(0 <w( If: il vient:

If ~ -9t. i~p I~~) 1;'{f't d. J'up, (X'1<cj1./ +1'1<"""j<1w () (j

229

- '.)9 - Van den Dungen

Pour simplifier choisissol1s l'axe de x de fa~on que

y = 0 x = f \ !'2~'. yx 'I- Y

1a deuJdeme integra1e s'ecrit (Hansen)

de sort e q'-:'

On retrouve bien la formule (B) p.51. Cauchy et Pcisson ont donne des formli1es asymptol\liques:

Dans 1e cas de l' impulsj.o~l conc entree a l' origine:

I1 s'agit de nOUV33.'1 d 'o::1dcs:1ui se propagent avec une

acceleration COlldtante. On not'?ra que la decroissance des ampli-

tudes est plus rapide que dans 1e cas a deux dimensions. Cauchy,

230

- 60 - Van den DUIlgen

a aussi examine le probleme d10ndes produi'es par l'emersion

d'une surface finie. II se produit a nouveau des ondes moduleet3

par des sml1ons. L0S sommets et les lioeuds des ondes enveloppes

se meuvent a vi tesse cOl1fJtante (vi tease de groupe) alors que les

sillons ont un mouvement accelere.

Le tableau suivant donne les rayons est amplitudes corros­

podantes pour les premieres ondes. (Cfr.pag& 67).

Cauchy a aussi examine brievement Ie cas ou l'onde d'emersioll

a 1 'instant initial, a la forme d'un parallelipipede de section

carree. On trouve alors que la su:cface presente des lignos noda­

les de formG, prGsque carrue tID'Urnees de 45° comme Bidolle l'avait

observe!

t-------~-- ----------0, f671t

231

- 61 - Van den IJungen

Les valeurs entre parentheses sont celles de K.

Application dlun theoreme de Tait et Thomson.

Lorsque le phenom8ne presente la symetrie cylindrique, Ie

calcul du potential en un point quelconque est souvent facili­

te par ce theoreme. (Natural Phi~olophy ~ 546) qui permet de

determiner 1a fonction harmonique tf connaissant sa valeur

sur 11 axe de symetrie L . En effet si l' on a -h. Po (R=z' '1 =0) :

Ofr. fig. 17

on a an point P (R, 1 ):

to _",';' );" -+ (o..,P+ k., \'0-:3'" <0-'" ,,,-'-"Q R '- A9.j'-' '"

en introduisant les p01ynomes de LeGendre Po=1, P1= c.<ny ,etc.

La forme (B) p.rl donne '!Jour ~ =0

.. tX~

I{ = _l_t' J' ~ ~ ill\. vq";t t ~,Xp ('1 7. h J t Po tfr vp 1

I'l

en en developpant 1e sin. en Berie:

on a done:

232

- 62

J It·~ Le m~me ealeul peut ~tre fait pour dl: .. on obtient les valeurs de Lf et do ;:;

IQ 13. Reali te des .andes de _.Cauchy-Poisson • ..J

Van den Dungen

; si on fait

a 10. surface libre.

Bidone le premier a montre dans d'ingenieuses exper~e:a.ees

1a realite des ondes par emersion1 ) en 1819. I:Illis on a eependant

pendant lonetemps ~e leur existence dans la nature, ou la

houle, produite par les vents correspond aux ~ndes de Gerstner

qui 00 nt tlll'unbillonnaires.

Ce n' est que reC8L'lLlent que lIon a pu montrer que les

"tsunami" produits l)ar l' 6r.uptiqn de vuleans sous-marins de

l'Ocean Pacifique sont dec Ondes de Cauehy-P~isson.

Unoki et Nakano ont procede [., l'analyse des ondes produites

1es 16, 24 et 26 septembro 1952 Jar l·explosion d'Wl volean sous­

marin a IIyojinsho. Ils los ont enregistrees a l'i18 de Haehiyo,

distante d' environ 130 }cm du lieu dE: l' explosion, au moyen de

manographes nouvellement inst::11eos. L'avant dernier(') eruption

eut pour effet la perte eOLlplete du navire hydrographe Kaiyo-Maru

n05.

L'analyse des ondes obs8rvees montre que las "tsunami"

sont tres prob~b1ement des ondes de Cauehy-Eoisson, provoquees

soit par emersion (Ie 16) soit par impulsion (Ie 24) et enfin

par les deux (Ie 26).

L'elevation initialc est cstimee a environ 10 m de haut

et 1 km de rayon.

Ltimpulsion initialn eorrospon.dant au m~me rayon est de 7 -1.. -2

10 ~see. em so~t 10 Kgp. soc. em •

1) IJemoiros de l'AeademiG de Pa:cis (1820).

233

- 63 - VaL den Dungcm

L1energio totalc: des "tsunami" emis ost do l'ordre de 10 19

ergs.

Des "tsunami" obsorves ont bion l' allure de battements.

Leur longuenT d'onde propre, comme colle dos ondes envelop­

pes croi t bien en fonction de la distance.

Hunk (1947) ot Rossby avaient deja remarque (1945) que

los "tsunami" observes sur la cote llmericaine baignee par

ltOcean Pacifique, et produits par dos eruptions sous-marines

au voisigage des fles Aleonticnnes 8.vaient bien l'allure d'ondos

des Cauchy-Poisson.

En par:ticulicr , leur longueur d'ondo croissait bion

avec la distanco comme le vent la tlH~orie.

n. ost pout-~tro superflu de noter que si 1 'on no savait

pas quo les ondes de Cauchy-Poisson poumssent de cetto proprie­

te, on aurait pu cherchor 11explication dans un phenomen3 do

Doppler; l'on sorait tente de dire que les "tsunami"d'origino

la plus lointaine, pro-wienncnt de sources qui s'ecartent de

11observatour avec le mouvement propre 11.0 plus rapido. C'est

l'explivation qu'on a donnee pour 10 rayonnement p:covenant

des nebuleuses, le theoreme electromagnetique du vide, condui­

sant ados ondes sans dispersion.

Obsorvatio:n.::

::::J;l. Gail profondo oxistent d'autres ondos que oul1es do

Cauchy-Poisson: houlcs etc ••. (ondes tourbillonnair0s de; Gerstner

produites par le vent). Nous rlCl pouvons songer a. IGS traitor

ici.

234

- 64 - Van den Dungon

PARTIE nO

E A U X SUP E R F I C I ELL E S

5 14. Historiquo.

Laplace on 1776 a 10 premier 6tudiee la propagation des

andes dans un canal rootiligne de section rectangulairo. Il

supposait la surface libre deformeo on 1 surface cylindrique

de diroctrice sinusoidale dans le plan longitudinal du canal.

Les equationa de Laplace sont basies sur la linearisation des

vitesses.

En 1785, Lagrange traite Ie meme probleme en supposant

la profondeur du canal tres petite; il montre que dans ce cas

la propagation des ondes est semblable a celle du son dans

l'air avec une celerite proportionnelle a la racine carree de

la profondeur.

Le fait que le mouvement produit a la surface decroi~ ra­

pidement en profondeur, l'a conduit a admettre qus cette repre­

sentation du mouvement est valable quelle que soit la profondeur.

Ctest en vue de corriger cette assertion que l'Academie de

Paris a pose la question d~nt on parle au de~ut de la prmmiere

partie de ces legons.

Le probleme des eaux superficielles a fait l'object d'un , grand nombre d'etudes; il ne peut ~tre question de les resumer

ici: on les trouve e~posees dans les grands traites d'hydrauli­

que; leurs equations de depart s' ec:civent facilement quand on

raisonne suivant les methodes approchees de l'hydraulique.

Pendant la derniere guerre mondiale, un renouveau d'inte­

r~t s'est manifeste pour ces questio''E: il s'agissait par

exemple de remedier aux innondations des eaux du Rh:Ln, suite h

la destruction projectee du barrage de Krembs au Nord de Bille.

235

- 65 - Van den Dungen

Qo~r~e_ ]iEl~ogr§p~i~ -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Laplace: Recherches sur plusieurs joints du systeme du monde

(note finale) (Eemoires Acad. Sc. de Paris 1776-79)

Lagrange: I,lecanique anaJ.ytique (1785; 2e partie cha? XI).

Boussinesq: Mem. des savants etrangers Ac. So. Paris 1877

B. de Saint Venant: C.R.Ac. ae. de ?aris (73 p.147: 1871)

Massau: Annales Ingenieurs. Gand 1oB9.

Preiswerk: These. Zurich 1938.

Re: La houUle blanche. Lai 1946.

Riabouchinsky: C.R. Ac.Sc.Paris 198 p.998 (1932 )

Stokes: Oomm. Appl. l.'lath. I p.i (1945)

Scott Russel: British Ass. Report 1844.

Dans un appendice du memoire de J. J. Stokes "Tre formation

of Breakers and Bores" CODlll. Appl.I:Jath. I 1948, K.O.J:I'riedichs

a obtenu une mise en equation du mouvement des eaux superficiel­

les en utilisant des developpements en serie combines avec

l'emploi de variables sans diroellsio1l3 qui j§achent quelque peu

1a signification des calculs. La parametre utilise est: h

0'"= R

ou R est Ie rayon de bourbure mam.mtu!l de la surface libre a l'instant initial, bien que dans la suite de 1'expose i1 ne

soi t pas fait explici tement usage de cette definition de R.

Nous avons prefere effectuer Ic) developpement en fonction

d 'un parametre numerique " € "utilise pour rendre sensj~bIe

la fai ble epaisseur de la couche li'~uide. Un tel che.ngeroent

236

- 66 - Van den DUYlgen

de variable nlest pas nouveau; on 1 'utilise depuis longtemps

pour resoudre les problemes de couche limite ou on le combine

precisement avec l'introduction de variables s~ dimensions,

bien que ce ne soit pas indispensable.

La m~me methode nous permet de deduire les equations du

ressunt des equations du mouvement continuo

§ 15 • .!sLuations generales...

Llepaisseur de la couche gluide est relativement petite,

des lors la cote z, mesuree a partir du Thalweg jusqu'a Is

ligne d'eau Z= h(x,t) reste petite. Effectuons le changeDent de

variable

(1 ) z:= £' Z

ou E est un nOJ:lbre tres petit par exemple 10-2 ou 10-3• De

cetta fagon les valeurs numeriques de x et z sont comparables:

a une distance horizontale 6X=100 m ou 1km correspond une de­

nivellation de la surface libre de 1 m et 1 'on aura 6'i: = 100

ou 1000 m.

Po sons puisque h est la valeur maximum de z

(a) h (x, t) f Xi (x,t)

La vi tesse v z nulle pour z=o vaut ~t la surface libro

(b)

Nous s)oserons pour toute valeur de "' de 0 a h

v ~ v + c.~ v + z c. 1 z I. 2z La pression a la surface libre vaut Po, us poserons des lors:

~uant a la composante horizontale de 1a vitesse, elle comporte,

si le fluide est en mouvement une J;artie finie vox Gt:

237

- 67 - Van den Dungen

v (x,z,t) = Vo • + ~v +. x x Ii' 1x

Les equations stecrivent dana les variables x, z,t:

(2)

(3)

(4)

.J. !tJ[x _d 11;; - 0 E a% d~-

<J.n f iLlb v:;, 1-.1 d 1f,<, i;- = -. J.. i2P ()t dX· F:- 'at 7.. )"-81.

Introduisons les developpements en serie de t . Les plus fai­

bles puissances donne

(2)

(5)

On voi t qU8 '%:. wt; v 1 x ne sont fonctions (lue de x et t. Des lars

;::) tr. r iZ(

v1z=-~x,(..

la constante etunt nullo puisque viz est nul pour Z 0 Enfin:

P1 = - g ./). z + F (x,t)

et comme il faut que ~ soi t nul j)our Z = h

238

- 68-

p. == g ft _ (li - z ) et par consequent en se limitant aux termes en c~

p == g.fi (h - z)

on rGtrouve la J.oi hyd1'ostatique des prossions.

8i lion pose:

los deux equ~tions deduitos do (4) dOID10nt:

(A)

d • ou nous avons ajoute cu premier membre 10 terme ft~ du

second ordre en [t • Dc cette fagon (A) n'est autre

que l'equation de l'h~dr6ulique obtenue par projection sur

l ' axe OX du t:H~oremo de la. quanti te de mouvement, l~rsqu I on

suppose quo u est la vitesse d'uno tranche parallele a z. II

resulte de (b), p./,-t, quIa la surface libre on doit avoir:

Or pour z 11 on a

fir ) =_ a l~ ~ \'""2: I. 0 X

d I ou ~: + aw~ ~} = 0

Cette equo.tior: peut s'ec1'ire

(B)

en ajoutant au ;Jremier membre le torme du second aJdre

239

- 69 - Van den Dungen

Llequation (B) eet Itequation de continuite de l'hydraulique.

Remarque.

1. Lorsqu' on se t:couve dans le cas du mouvement permanent

les equations (A) et (B) se resuisent a

Si lIon introduit la notion de debit en volume

on obtient pour determiner h:

et h doit done etre constant.

En hydrauli.'lue cette equation comporte deux termee eomple­

mentaires, le preuier tenant compte de l'eventuelle inelinaison

du Halweg sur 1 'horizontal,,; nouo l's,uriol1s obtenu egalement

s1 nous avions sCPJPOSe que l' axe OX "l' etai t pas horizontale Le

second terme eorr)Spond)l 11 e!'fet de la viseosi te qui shppose

au mouvement le long deo parois du canal baignees par le fluide.

On sait que 1lOh ~tilise d~ns ce but un tarme dont la forme pre­

miere et la plus simple est due a, ChE"zy: bu2•

Notre mise3n i:!quation YLegligc mani~estement l'effet de la

couche limite eorrespondante qui produit ce terme.

2. Nous alrl:::ions pu obtenir les.squations (A) ct (B) un

peu plus rapidament en su:c;POS8..1'lt qlW Ie devoloppemcmt de vest x Vx = u + Ei v2x +

u comportant les ·~ermos en £" at ['

240

- 70 - Van den Dungen

La multiplication qui a en pour effet d'introduire des

termes en £1 ne serai t pas alors apparue explici tement alors

que les termes uh ou u2 ~Emtiennent en fait un terme en Et . II n'y a aucun inconvenient a introduire de tela termes a condi­

tion de les rotl'ancher dans llecriture des expressions on £..'1.

que no us utilisorons dans 10 ~ suivant.

H. Poincare1 ) a 1e premior montre coci dans un calcul

des perturbations. On peut proceder de cotte fagon a propos

du developpement de 10. fonction Hamiltonienne:

H ... Ho + C H1 + e· H2 + 0 •••

que lIon pout remplacor par

H '*' Ho + E. (H1+ E H~) + Et(H2-H~) + ••••

comme on le fait dans 10. methode do Lindstedt.

§ 16. Troisieme approximation.

Los nouvol1es equations que l·on deduit des equations (2)

a (5) sont

ou nous avons omis ~)v:: .• ,. d'"' ·'1" _"c.'.!o. v, eJ8. U,;l lse OX 'AI

1) H. Poincare: llethodos nouvolles T.

241

- 71 - Van don Dungen

comme

A 1a surf'aco on doit

(v Z2)h

(v z2) h

il vient O=~. ;;i;X'

avoir .iLK ,') V 2x o:X;

= - '!iI/x h ax;

mais comme nous avons deja utilise co torrno on (B) il "lZonviont

de le remplacer ici pal' zero.

L'integration de l'equation (B) donne: p ""9-

P = A· - '1'_ N 2. '" ~it

N = 1 (!lJ£".-.)L - 5~1!·>; - Ux~~ 2 dX ,xJt ' (JX1.

avec

La pression totalG cst done

1 2 2 P = Pa + g J-i- (h-z) +2' P N (h - z )

d~nt 10 demier "Germe Gst une correction a la loi hydJ'QstatiqUG.

Dans 10 cae du mouvement permanent, on a

Q etant 10

D'ou

h u = Q (E)

Si l'inclinaison de la ligne d'oau sur l'horizontalG ost faiblo

(j. no d~ si ~ est negligoab;LOj i1 on ost do m1!me do g. et N

se reduit approximativGmoni; a

N (K)

l'effot total de la correction de pression est alors

f I~N(ht-7.')<h ;fJ<Q'5~ o

C'est la correction due a la courbure de Boussinesq, que von

Uises a utilisee dans sa tXH30rie lincaire des

242

- 72 -

remous (1 ) •

8i l'on ne neglige pas In pente

on a en fonction de la courbure ~

N '" JJf.J.... _.1 (dJ.1i)t(1_.1) t ~ t d,x e.- ~ !

Van den Dungon

d.J;. de la ligne d' eau, dx

l'approximation de N (formula (K» est bien de l'ordre du carre

de dh/dx.

La composante de la vitosse suivant ox. est ~\2, . l

v = u- LJ!~..z_ + f(x t) x OX'" t ,!

8i u ost a. (E) il faut que

d'ou

dans Ie cas du mouvement permanent, on a done

Cetto formule no nous permet pas d'expliquer pourquoi l'experie~

ce montre quo vest maxillllilln a. peu de distance de la surface x

libre.

I,Iais il 1lonvient de se demander 81. les termes du troisie­

me ordre ne sont pas du m~me ordre de grandeur que ceux qui

proviennent de la viscosite du fluida, en particulier de ceux

qui existent dans la couche limite ot d~nt nous avons neglige

I' effet de fa90n systemati Clue.

(1) von I.Iises: Hydraulik (Teubner 1913)

Boussi'nesq: IYiemoire sur les 8,'lUX courantes.

243

- 73 - Van den Dunean

" 17. Caractere des equations differentie11es. J

Donnons nous dans le plan x,t une courbe C

x = F (t)

en chaque point de 1aquelle nous connaissons 1a valeur de va

et de u. Le long de C on a l'operateur

F' etant la derivee de Ji' par rapport a t au point consideree

de C. Par calculer en chaque point de C les quatre derivees

on dispose des quatre equations

F'dU +-~+ .••.• 2x dt

- Ql1. Dx

dO ()J. .. + Lz d; + df ::: f)

Le calcul des quatre derivoes 118 pout etre fait si

F'

h u

u

ou F,2 _ 2 u F' + ( u 2 - gh) = 0

qui admet deux r3.cines reelles clist1nctes

'd.x- F' dt -

o

244

- 74 - Van den DunGen

Ce sont les equations differentielles des deux familles

de courbes caracteriijtiques.

Le systeme differential est donc du type hyperbolique.

Il est remarquable que les ap~roximation.du probleme des eaux

superficielles conduisent a un type different de celui des

eaux proiondes (I ~ 4). Les conditions de compatibili"te exigeant que 10 determi­

nant de 16 elements de la matrice

F' .iU!. .Dx.

0 FI 1 l2J.. Ox

h u

u g

soient nu1s. Ellas se reduisent a

~D 4,. :t \ /1.·121 Dx J I DX

Les signes ± correspondent a ceux de la caraoteristique (1). Supposons que l'axe des x soH clirige de l'amont vers l'aval

dans le sens de u. Si u < \jgh In caracteristique d'equations: d.k _ , r:r clt- u + Vgh

s'etend de l'amont vars l'aval quand lc temp croit (u positif

comme t) alors que l'8lltra Carac"t;eristiquo

~=u- Vrr;h

remonto de l'aval vcrs l'amont.

On dit que 10 coura.1J.t est oolni d 'une riviere.

Si u ) V-e;ii, les deux caracteristiques s' etendent de l' amcnt

vers l'aval; on dit que Ie regDne est torrentiel.

Ceprobleme est classique. Nous n1allons pas nons etendre

a en discuter tous les details. Nou;:;, noua bornerons a en so.uli­

gner certains points.

245

- 75 - Van den Dungen

§ 18. Ressant et barre.

Imaginons que dans la partie etudiee du courant, pres

d'une vanne dIamant, co soient les caracteristiques d'amont qui

fournissent la solution. Si la hauteur "hI! en x=o croit en

fonction du temps, les caracteristiques sont inclinees de monis

en monis sur l'axe des x. 11 se paat alors qulelles admettent une

enveloppe E a partir de (0 . (efr. fig. 18).

Les caracteristiques dans le plan (x,t) sont les projectiens

sur ce plan de~ caracteristiques tracees sur les surfaces

u(x,t) et h(x,t) quand les premieres caracteriijtiques admettent

un enveloppe, cela veut dire que ces surfaces se relevent perpe~

diculairement au plan x,t. 11 se produit donc un relevement

brusque de la surface du fluide et une modification instantanee

de la vitesse II s'ensuit que ijur une distance infinement pe-

tite il Y a una variation sensible de h et u. L'analyse qui

nous a conduit aux equations du mouvament des eaux superficiel­

les n'est certe plus applicable dans ee domaine de variation

rapide. Pour etudier les phenomeaes dans la couche superficielle

nous avons dilate l'axe vertical en nassant de z a ~ . 11 nous

faut cette fois dilater z et x pour etudier Ie nouveau phenome­

ne; la distance suivant laquelle le niveau change etant du m~me

o~dre que le relevement de ce niveau.

Le changement de variables: z= & z nous a conduit aux 2

equations:

(1)

(2 ) J u, ;. U ~u, f. Q 'd£"= 0 'Jf 'd:c Idx

Effectuons maintenant le changement de variables: (fig.19)

x = ). x2

ou ~ est un autre parametre tres petit qui a pour effet de

246

- 76 -

dilater la discdntinuite qui so produit en la section dlabscisse

~ Noua supposerons g fixe dana le temps. Corome noua 1e

vorrons a la page suivante. on pout toujoura se p~&eerdans CO

cas introduisant la vitesso rolative lJ.

Llequation (1) donne en premiere approxiihation

~~u = 0

la saeonde, apres multiplication par h

lu du,oL-q'U:::o hoi' 6 11 di .

ou rl- (Ru.tr ¥t) = 0

A travers la diseontinuite 2 grandeurs se conservent done

h u = C~

~ (J 01 ~ h u c:. + :If'::: C ~G,

leur interpretation est i~neiiat0, comme i1 reasort du raisonno­

mont elassique en Hydraulique, que voiei (Cfr. fig. 20).

Si u 1 et h1 se raJY90rtent au fluide iromediateLlont avant la

discontinui t e, u2 at h2 ilJ.mediatoment apres; la conservation dli

volume du fluide incomprossible oXigo que:

Lorsque la discontihui te oat fixe, Or nous pouvons. toujours fairo

cotte hy~~theaes en utilisant des axes en tras1ation animes de

la celerite c f do la disc@ntinuite ~ a 1 I instant eonsidere.

Soi t tv::: u.,-C· et x 1,1,'1:: U'l- C:

los vitesses relatives du fluido par rapport a la diseontinuite.

On a des lors en general

(3) ( M := /'9. 'Wt

Llaccroisaemont de la quantite de mouvement (relative) projetee

aur 11 axe x

247

- 77 - Van den Dungen

d'oll en tenant compte de la loi hydrautatique des p~essions

(4) ~,1J{Z- ~ ~'L::. 1.1:1 ~! On deduit lilmmediatement de (1) et (3) (4):

d'Oll

" -'~ _ I.A..,

et

(5)

La discontinuite est fixe si (' =0. On dit alors qu'il s'agit

d 'un ~ssant qui n I est possible que si h1 et h2 dependent d'e u1 ou u 2 suivant (1) ou (2).

Si c'est different de zero i1 s~it d'une barre dont la

celerite n'est sgale a e = \I~ que si la discontinuite est

evanouissante.

La discussion des formules (1) a (3) est assez longue. On

se reportera par exemple & Stoker (:t:.40 et 41).

I1Iassau a fait a propos de ces formulas les remarques suivantes

a) II ne faut pas s I etonner llueLes deux vi tesses u1 et u2 soient liees par (3), c.a.d. qulon ne peut se donner arb!

trairement u 2 ,u1,h2 ,h1 a l'instant initial. En effet la non ob­

servance de (3) a pour effet de mettre en difaut l'equatlon de

continuite, c.a.d. qulapres l'instant initial, on avant celui-ci

les points du fluide en contact de )3rt et d'autre de la surface

de d~scontinuite seraient separ8s. Cette cavitation n'est pas

traitee dans la presentc theorie.

248

- 78 - Van den DunGen

b) Un seul des mignes + ou - uonvient dans 1es formules

de (1) a (3). On peut rn:ontrel' que non seulement pour 1e '1,,,-

lit rectangulaire etudie ici, mais aussi pour 1es litsvue sont

pas tres evases 1a ce1erite relative de 1a discontinui te, c '-u1

C I _U2 est toujours dans 10 sens de 1a partie 18 plus haute vers

la plus basse.

Remarquons enfin que Massau a montre que les iIilietermina­

tions qui apparaissent dans la theorie du ressant, on utilisant

les equations du mouvoment permanent sont levees quand on etudie

la stabilite des phenomenes ou leur instabilite aU moyen des

equations du mouvement varia.

~ 1e. Analogie aerodynamique •.

Soit u une longueur constante. Po sons

rf ~ Yo ~ p. - t3K f - " L

~ a les dimensions d'une masse specifique, Pi d'une pression.

Les equations (A) et (B) peuverr.; s I ec:cire

Ce sont 1es equations du mouvement a une dimension d'un fluide

compressible de pression Pf et de

Comme en eliminant ~on a:

~ = K~: avec K -~

- ~.

mause specifique

le fluide subit une formation adiabatique d'exposant:

249

- 79 - Van den Dungen

S1 Ie f1.uide analogique obeit a la 10i de Boyle-Mariotte

on voit qu'il faut que

Cette analogia a permifO a Preiswerk d 'appliquer· fit l'eoou­

lemen·t des f1uides incol;;jJrClssible a surface libre les methodes

de Prandtl et Busomann en aerodynamique.

11ais comme i1 l'a w.ontre 1'analogie ne se pouEsuit pan de

:ta;;on parfaite quand un russant se produit en ce sens que les

relations qui regissent Ie choc des fluides incomprGssibles sont

differentes des r01ations d'Hp.goniot. La raison en ost qu'un

choc s' accompagne d 'une perte d t eneJ'~:ie mecanique qui produi t

de la chaleur. En aerodynamique cette chaleur modifie 1'etat du

gaz. En hydrodynamiquc cette cD81eur n'Gst pas reeuperable puis­

gu'on suppose 10 fluide inoomprossiblo, il n'y a pas a l'e.u,y!

d'adiabatiquas d'Hugoniot ou lieu d'adiabatiques do Laplace dans

10 cas du Choc(1).

Ainsi l'analogie nlest pQ.s parfaite, mais cOPGndant on

peut taus poser en hydrodynamiqao 18. theoric de 1a polair8 de

choc, comme Preiswerk l' a montre.

Nous renvoyons 1e 1eoteur 1:. son memoire pour 10 cLe.taU de 1'etude, Ce n'ost que (bns 18 cas d'um;; discontilluite infine­

ment petite que l' adiabc.tique dYEamique tend vcrs 11 adiabatique

~~~~~!g~£~----------1) L'erlCrgio totalo (cil~eatiquc et ])o-Genticl1e) avant 1e rossant vaut pour une 1nrgeur B du canal de section rectangulaire

B r [K,u;+ 1 ~~UI) apres 1e ressant, la mam3 expression ()nh2 at u2, Ou en deduit faci10ment 1a perte d'enurgie en fonction des variables choisies pour calcu1er 1e ressant.

250

... 80 -

§ 20. Lin'arisation dos 'quations.

Bien qulil soit possiblo de resoudre approximativoment les

'quations A et B pour la methode des caracteristiques comme

Massau l'a montre Ie premier, on se borne sauvent ales resou­

dre apree les avoir rendues lineaires.

Nous supposons que u et h restont voisins de valeurs oon­

stantes Uo et ho et nous poserons

les

1il u + V 0

h h + , 0

variables V et 11 etaut suppos6ee petites

Les equations lineaires sont alors:

a +~ dV t LL l"L:;: a dt hOji °di

~~%t=o

( -= ) .

dans Ie cas d'illl lit rectangulaife, non resistant at horizontal.

Les caracteristiques sont cette fois des droites d'equation

X \ r--­t = U o :: V g ho

Effectuons les transform'es de Laplace (y , 0)

~ ~ J(~i~t1ldt o !'f»-9t V= e ))rit

Le systeme (1) devien , en posant les conditions initiales

V (x,O ) f (x)

------- -- 1( (x,O) hex)

(Jf ) Nous utili sons et non de maniere a eviter toute

confusion avec le cas des eaux profondes.

251

- 81 - Van den ~ungen

h ci v + u d 7i -I- 9-n == ~, eO. d.:x d;l:l

g ~+(rii=f dox

On voudra bien no pas confondre la fonction h, ~aleur initiale

de "1 avec la hauteJll' qui a ete prealable.m.ent remplacee par

ho + ~ , autrement dit nous placerons desormais l'origine de

l'axe des hauteurs au niveau h • o

Dans 1e cas ou x varie de - 00 a -I- 00 , effectuons les

transformees de Fourier (+ ....

)j = j e,LZJ; V (Lx -Il>

il vient:

avec

F = rCOei.'tl: ((:lC.)dx -..,

On a des lors

Pour ne pas compliquor 1'ecriture, nuus allons nous borner a etudier l'inversion dans 10 cas ou u =0. Ce probleme nous fournit

o

d I ailleurs une solution c;ui doit etre comparee a celle obtenue

poux 1a curve infiniment lcngue dans la premiere partie. Notons

252

- 82 - Van den Dungen

d'abord que dans ce cas 1e systeme

devient:

avec 0 2 = vrh~g. C'est l'equation des cordes vibrantes. On a

immediatement

Dans le cas ou f(x)=O et ou. h(x);io i1 s'agit d'ondes superficiel­

les par emersion. 3i hex) est nul partout sauf en x=o avec

lim J-I-th(X) dx = A la solution devient: £ .... 0

(1) -t 1 -=. ~ i~01 'eX (.oH V;-ho t cL z V:: ....

<l

Ou compare avec ls solution des eaux profondes (Cfr.p.20)

(2) ~ = ~ JCOGOHX-W1V'&~U'Itt d_! fI

253

- 83 - . Van den Dunger.

Si h se reduit a h (nombre petit) on peut remplacer et 0

th (r h) par r h :..rI'on retombe bien sur la valeur de 'Il.. o

Nous retrouvons ainsi pour la solution la propriete etablie

pour les equations differentielles: Ie cas dee eaux-superficiel­

les est bien la Wimite du cas des eaux profondes.

Si la theorie des eaux superficielles a fait l'object d'uB

grand nombre d'etudes, c'est que la resolution d'equationsdu ~...,.

type hyperbolique est bienlsimple que celIe d'equations du type

parabolique. Sans doute physiquement, il semble qu'il y a une

difference essentielle. les ondes elementaires correspondant

a (2)- que nous 3vons etudiees au ~ 9, se meuvent ~vec disper­

sion alors qu'll n'en est pas de m~me de celles correspondant a (1); SoH cos r ( :c t V ~ lo t ), de ceHri te V ~ ~Q ; si l' in­

tumescence initiale n'existe qu'a l'origine il faudra une duree

t = x/c pour que la surface initiale so it atteinte par l'onde

a distance x de l'origine, alors que dans Ie cas des aaux profo~

des, l'effet de l'intumescence~tiale se fait immediatement

sentir jusqu'a l'infini, mais cet effet ne peut ~tre mesure

parce que la valeur de ~ reste relativement longtemps insensi­

ble.

La solution ainsi obtenue se presente saus la forme d'une

integrale de Fourier. On congoit que si Ie domainG en x avait

ete limite (- 1 a +1) la solution aurai t ea.. la forme d tune serie

trigol1ometrique parce que Ie parametre fir" aurait e.ti,. un spectre

discrct.

Cette solution qui est obtenue par la superposition d'on­

des elementaires ost uno solution a la Bornoulli. On sait quo

1 t equation des oeJrdes vi brantes admct una au"tre forme de solu-·

tion, colle de d'Alembert qui met mieux en evidence lee lois de

la propagation des andes dans 18 cas des equations du type hyper­

bolique.

254

- 84 - Van den Dungen

L' equation:

0.1..] - c'L ~.'1 cHt - cJX'"

aarnet 1a solution

~ ~ D,(x-ct) +.f2,,(X+Ct)

a conditions que lee fonctions "arbi traires 1I.fl., et 0). admettent

des derivees secondes. A l'instant t=o on a

et d'autre part

d'ou

~ - - (j dV - _ D f' d t - n. dX - Tto

-cD'j (X)+-Cn~(X) ~- t,f

(l'accent represente 1a derivee par rapport a. xl. On arrive ainei

a la solution

Ne peut-on arriver a cette solution ~ar 1es gransiormeea 1nte­

grales?

Les transformees de J~ap1uce satisfont a

h 4.Y+a-n == ~ o d..:x: If l

g41+ qi)7:::f d..~

Resolvons ce systeme sans app1iqner 1a trasnformation de Fourier.

La solution des equations sans second membre est:

255

- 85 - Van den Dungen

La solution generale des equations avec second membre est des

llors

V=f ~p(qf)~v+ jiXP(9f) (t, + f )dxJ+ t exp(-9f)· o

de m~me ~ = .. Il faut que cette !3oJ_ution reste finie pour xtendanr vers

+ 00 le crochet dEiLa premiere ligne cloit des lors tendre vers

zero d'ou

a + J"'ex p (- q ~ J( t. · ~ Jd,x:cO o

de m~me le crochet de la soconde ligEe doit tendre vers zero si

"x" tend vers - 00 • DCG lors

v = t [expq ¥ (.1fJ -- ~))d,~

Ti I~pq ¥(-~ - ~))J~ -~

Transformons la premiere integrale en posant

~-x=ct

et la deuxieme en posant

il vient

x -; := ct

V:: -1.s r"{qt ( ~ (x~ct) - Hx-d)]dt 1. ~o L

tI

+{ r»(lt [f{x-td) tf (x-cn]cH C)

256

comme y llinvGrsion

Remargues:

[.

1)0 "9t It ::: t VOl G • ,.

es liIlIlledlate

- 86 - Van den Dungen

et donne bien

1) I1 est evident que les SOmI,:os infinies COlJllllG (1) p. ~ 2. no sont pas conv(;rgentes. On ne PGut obtenir diroctement 1a va­

leur numerique de solutions ecri·~es sous la forme d' integrales de

Fourier semblables a (1) alors que los solutions (3) p.~~ donnent

immediatement la valeur desiree.

2) Les equations des discontinuites se semplifiGnt lors­

qulon suppose les equations lineaires, c.a,d, V et "1 petits

avant et apres 10 choc. On trouve aisemertt les relations suivan­

tes:

Comme V at 'Y(., sont infiniment petits c=- V gl10 cOlIlIJle nous

llavions anonce, si u est nul. o

LG signe du radical doit ~tre choisi par la regle de Mas-

sau (p.n ).

~ 21. Variants inte~raux.

La conservation du volume du fluide incompressible a pour

consequence que, a tout instant

dans le cas au le damaine x s'etend de - co a + QO

A cote de cot:invariant integral, il existe uno ini'inite

d'autres integrales qui varient en fonction du temps suivant des

lois connues a priori.

257

- 87 - Van dGn Dung<m

Effectuons les transformees de Fourier

V:: r<>;).e ~px \J dx J-5C

tP~ j if()o .

VJ::. -(X> e aX

Les equations (p.8a) donnelht dans 1e cas ou u =e o

0:)

les termes tout integres sont nuls par hypothese. On en deduit

immediatement que

at

v" '~.I~'P'ld.x~"p,t.+ l],""f drU>1pct

On obtient les divers variants en developpant en serie de

puissances de p les differentes fonctions et en egalant les coef-

ficients des

OU

On a

258

- 88 - Van den Dungen

On a done

(1 )

(2 )

C:' 'l,b:~ r:'VH(t)~f~r<LX+ +~J l~; f cix

et de m~me:

i~~Y dx = I] d,x

f:yd~ == l:r dx (4)

etc. .. On peut ainsi calculor de poche en poche. II. rosuJ.te de

(m) que

droll

259

- 89 - Van den Dungen

La relation (1) traduit comme i).ous Itavons deja dit la

conservation du volume. Les autres relations peuvent aussi re­

cevoir une interpretation; ainsi (2) qui correspond au moment

statique par rapport a l'origine des 1L indique que le centre

de masse res·te immobile, ce qui pouvait ~tre prevu par raison

de symetrie.

La relation (3) mOlltre que 1e lTloment d'inertie de l'intu­

mescence par rapport a l'origine est une forme quadrati que du

temps,

La relation (4) exvrime 1a conservation de la quantite de

mouvement suivant 1'axc x. Les autrcs relations qui font inter­

venir des variants d'ordre superieur correspondent a des moments

gue l'on nta pas contume do considerer.

11 n'en est pas moins vrai que la suite complete des va­

riants permet de cal euler V et W et par inversion V et "'l Leur connaissancc rcviont done a colle de la solution du proble­

mo.

On pouvait s'en souter puisque dans le cas d'un domaine

fini (-1 ~ x , +J.) los variants integraux no sont pas lea mo­

ments mais les parametrco normaux du probleme (Ofr. p.56)

Nous forons enfin rcmarquer que l'on peut verifier imme­

diatement los loic de variation en fonction du temps.

Demontrons par exernpJ,e qnc

W 1 =0 r-+""I(. cLx . -'"

est constante dam un probleme ou a l' instant initial il y a une

surelevation . ~ uuiquereent de a a b • A l'instant t les discoa l 0 0

tinuites seront er:. b ) bo et a < ao' Le variant W1 vaut done

Cl d x . a.

vr 1 ,

On a rb d J d~ -= ) .~d~ t-.~1] - ~'l'l dC' at tit -b dt to, c,

260

- go +

~s en vertu de l'equation

Q:1 0 'dV;:; r)t + 11-Q oX 0

l'integrale du second membre est egale a rb

-R 0 J ~ eLx: % - t Vb 1- t Ja-n

Le variant W1 est bien constant parce que

deduit des equations p.8 6

Van den Dungen

On verifie ainsi, et l'on generaliserait s~ peine, que

les discontinui tes ne nociii'ient pas les proprietes des variants.

Observation: II n' est Pi;'S question dans cet expose d I epuiser Ie

probleme des eaux superficielles.

Stokes a l'lontre comment per. approximations successives

on peut chercher a ameliorr.;r la solution obtenue par linearisa­

tion.

U.Reynolds a observe la c~lebre phenomene de l'onde solita­

ire auquel de nombreux lll()lllCJ)ires ont ete consacres sans epuiser

1a question.

261

- 91 - Van den Dungen

TAB~E DES MATIERES ==============~=====

I. EAUX PROFONDE8. pages

1. HIstorique

2. Equations generales " 3. Linearisation d8S equations " 4. Caractere des e(luations differcntielles " 5. Integrat.ion par los t:c::msformecs integrales " 6. Cas simples d'oi.ldes par emersion " 7. Cas siliqles d 'olldes par impulsion 1/

8. Autres cas d' OYJ.':le;] do Cauchy-Poisson " 9. Ondes Gl8llcntai.c'Gs "

10. Variants integraux " 11. Zffet de capill~rite " 12. Ondes cylindriqucs It

13. Reali te des ond"s de Cauchy-Poisson "

II.EAUX SUPERFJ;SLIELLES

14. Historique " 15. EquatioIlfo generale s " 16. Troisieme approximation. v " 17. Caract l31-) des eCjuations diff erentielles " 18. Ressant at barre, " 19. Analogic aerodY;:LJ,;'Lique " 20. Linearisution dl,'s equations " 21. Variants integraux "

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