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Corso di ElettrotecnicaIngegneria Civile (L-7)Prof.ssa Giuliana SiasUniversità degli Studi di Cagliari
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Elettrotecnica per
Ingegneria Civile
Docente: Giuliana Sias
riferimenti
Indirizzo e-mail: [email protected] Telefono: 070-6755878 Sito web: http://www.diee.unica.it/elettrotecnica/
Ricevimento: mercoled 12-14 presso diee (pad. A) piano mansarda.
informazioni
Modalit svolgimento esame: prova scritta e orale alla fine del corso.
Testi consigliati: C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Circuiti Elettrici, McGraw-Hill R. Perfetti, Circuiti Elettrici, Zanichelli
Totale ore: 50 Crediti corrispondenti: 5 Prerequisiti richiesti: Conoscenza degli argomenti di base dei corsi di Analisi I e II, Fisica I e II; Geometria.
4
COSE' L'ELETTROTECNICA? L'ELETTROMAGNETISMO E' ALLA BASE DI UNA
GRANDE QUANTITA' DI FENOMENI FISICI conversione elettromeccanica dell'energia comunicazione in fibra ottica dispositivi a micro-onde ricezione televisiva comunicazione via satellite radar oscilloscopi etc
LELETTROMAGNETISMO TECNICO O APPLICATO RIGUARDA LANALISI E LA SINTESI (PROGETTO) DI SISTEMI O SINGOLI DISPOSITIVI ELETTROMAGNETICI
5
Per la maggior parte dei dispositivi elettromagnetici dellelettrotecnica sussiste la possibilit di approssimare le equazione di Maxwell attraverso un modello matematico molto semplice che prende il nome di TEORIA DEI CIRCUITI
LELETTROMAGNETISMO TECNICO O
ELETTROTECNICA
Modellamento matematico dei problemi elettromagnetici
6
Grandezze Descrittive dei circuiti
Intensit di Corrente:
Quantit di carica netta che attraversa la sezione del conduttore nellunit di tempo
Q
dtdQI
v
Differenza di Potenziale:
Lavoro che il campo elettrico compie nel portare una carica unitaria da un punto del circuito ad un altro
i
i i = i( t ) i = -i
v v
A
B
V(A)-V(B)= vAB=v -v=vBA vAB=- vBA
+
-
A B + -
7
COMPONENTI
terminale
morsetto
superficie limite
BIPOLO
COLLEGAMENTO Due o pi componenti si dicono collegati se
hanno uno o pi morsetti in comune
TRIPOLO
MULTIPOLO
8
Legge di Kirchhoff sulle Tensioni
dl
P1
P2
P1
P2 P3
P4 P5 P6
01
1
L
P
PdlEdlE
[V(P2)-V(P1)]+[V(P3)-V(P2)]+[V(P4)-V(P3)]+ [V(P5)-V(P4)]+[V(P6)-V(P5)]+[V(P6)-V(P1)]=0
La somma delle differenze di potenziale calcolati lungo un qualunque percorso chiuso pari a
zero
2112 )()(2
1
VPVPVp
P x dlE
V(P1)= potenziale elettrico V21= tensione elettrica o differenza di potenziale
9
Legge di Kirchhoff sulle Correnti
La somma delle correnti che attraversano una qualunque superficie chiusa pari a
Zero
I I
L IdlH L
Il flusso della corrente attraverso tutte le superfici che hanno lo stesso bordo e la stessa orientazione lo stesso. Questo implica che la corrente che attraversa S1 uguale e contraria alla corrente che attraversa S2 Dunque:
I
L S1
S2
I=corrente concatenata con L
Leggi di Kirchhoff
10
LKV: 0 V
LKC: 0 I La somma algebrica delle correnti che attraversano una qualunque superficie chiusa pari a Zero
La somma algebrica delle differenze di potenziale calcolati lungo un qualunque percorso chiuso pari a zero
VARIABILI DESCRITTIVE
11
0n
1
2 3
n-1 i1
i2 i3
In v1
v2
Vn-1
In-1 {i1 , i2 , , in } {v1 , v2 , , vn }
v1
i1 1
0
I componenti di un circuito hanno tante correnti e tanti potenziali quanti sono i morsetti
Per descrivere il comportamento di un componente con n morsetti si ha bisogno n-1 tensioni ed n-1 correnti
i1 i2
v2 v1 2 1
0
12
CIRCUITO ELETTRICO
E' un insieme di componenti elettrici connessi tra loro mediante conduttori perfetti
Schema a blocchi di un Circuito Elettrico di soli Bipoli
nodo
13
CIRCUITO ELETTRICO
In questo schema circuitale possiamo individuare diversi percorsi chiusi a cui applicare la LKV e possiamo racchiudere i nodi e i componenti allinterno di superfici chiuse a cui applicare la legge LKC
Esercizio In figura si hanno i seguenti potenziali nei punti indicati:
V(a)=3V, V(b)=5V, V(c)=-2V. Calcolare le seguenti tensioni:
vab, vba, vbc,vad,vcd.
a
b
c d Risoluzione
vab=-vba
I punti d e a sono uniti da un corto circuito, per cui si trovano allo stesso potenzialela differenza di potenziale quindi nulla
VdV(c)-VVcdV(a)V(d)dVaVV
VcVbVVVaVbVV
VbVaVV
ad
bc
ba
ab
532)( 0)()(
7)2(5)()(235)()(
253)()(
Esercizio Ricavare la corrente ic e la tensione vba
Risoluzione
La corrente ic si pu ricavare dalla LKC applicata alla superficie chiusa in figura:
vba
+
- 2V 6V
+
-
1A 4A
ic
1 4 0 5c ci i A o
La tensione vba si pu ricavare applicando la LKV al percorso chiuso b-a-c-b.
6 2 0 4ba bav v V o
Il verso della corrente opposto rispetto a quello segnato in figura
a b
c
+
- 2V 6V
+
-
1A 4A
ic
a b
c
vba
16
CONVENZIONI
v i 1
0
i1 i2
v2 v1 2 1
0
9 convenzione degli utilizzatori: Pu>0, Pg
Conservazione dellenergia
17
Il principio di conservazione dellenergia deve essere soddisfatto da tutti i circuiti elettrici
0p
dtdLp
utilizzatagenerata pp
Esercizio Con riferimento alla figura, quale dei due elementi assorbe potenza? Quale la eroga? Dare un segno alle potenze sulla base della convenzione degli utilizzatori
+
-
4A
4V
8V - +
Risoluzione:
1
2
Lelemento 1 assorbe potenza perch tensione e corrente sono discordi
Lelemento 2 cede potenza perch tensione e corrente sono discordi:
W1644 ivp
W32)48( ivp
Esercizio Nel circuito in figura ricavare le potenze assorbite dai bipoli 3 e 4, e verificare la conservazione della potenza.
Risoluzione
Notiamo anzitutto che 3 2 4 8p W u
Ricaviamo v1 e v2 1 1 1
2 2 2
12 12
2 2 1
p v W v V
p v W v V
o
o
Dalla LKT abbiamo 1 2 4
4 1 2
4 04 2.5
v v vv v v V
Quindi 4 42 5p v W
Sommando 1 2 3 4 1 2 8 5 0!p p p p
I bipoli 1, 2 e 4 assorbono potenza; il bipolo 3 eroga potenza
4
3
1
2
+
+
+ + -
-
-
- 2A
2A 4V
v4 v2
v1 i
p1=1W
p2=2W
Propriet generali dei componenti
20
Linearit: Un componente o un circuito lineare se leffetto dovuto ad una qualsiasi causa proporzionale alla stessa
valido il PRINCIPIO di SOVRAPPOSIZIONE degli EFFETTI
Leffetto dovuto a pi cause che agiscono contemporaneamente la somma degli effetti dovuti a ciascuna causa considerata come se agisse da sola
lineare i
v
Non lineare i
v
21
permanenza: Un componente o un circuito permanente se leffetto non dipende dallistante di applicazione della causa
I coefficienti delle equazioni costitutive degli elementi o quelle rappresentative dei circuiti sono indipendenti dalla variabile tempo
passivit: leffetto di una qualsiasi causa di breve durata si mantiene limitato al passare del tempo.
Un componente o un circuito passivo pu erogare energia ma per un intervallo di tempo limitato, tale energia sar in quantit inferiore o al massimo uguale a quella accumulata in precedenza
22
RESISTORE ideale e LEGGE di OHM
v i vGvRiiRv
1
per un conduttore di lunghezza l e sezione A: ][ 1 : Al
AlR JU
MATERIALE U (: u m) argento 1,63 u 108 rame 1,72 u 108 oro 2,44 u 108 alluminio 2,83 u 108 tungsteno 6,52 u 108 silicio 2 300
CO
LOR
E
CIFR
A
MU
LTIPLO
TOLL.ZA
NERO 0 100 MARRON 1 101 ROSSO 2 102 ARANCIO 3 103 GIALLO 4 104 VERDE 5 105 BLU 6 106 VIOLA 7 107 GRIGIO 8 108 BIANCO 9 - ORO 10-1 5% ARGENTO 10-2 10% NERO o null - 20%
prefisso simbolo significato
atto a 10-18
femto f 10-15
pico p 10-12
nano n 10-9
micro m 10-6
milli m 10-3
centi c 10-2
deci d 10-1
deca da 101
etto h 102
kilo k 103
mega M 106
giga G 109
tera T 1012
exa E 1015
peta P 1018
23
CAPACITORE ideale
+ + + + +
+ +
+ +
+ + +
+
- - - -
- - - -
- v
i
i
d
dtdvCdt
dq
vCq
idtdq
dtdvCi
rFdAC HHHH 0][
MATERIALE Hr neoprene 6,46
silicone 3,20
mica 5,40 - 9,0
carta 2,99
acqua distillata 78,20
aria 1
Capacitore passivo: C>0 Trasferisce lenergia in modo reversibile
24
INDUTTORE ideale
i
dtdviL II
Induttore passivo L>0 Trasferisce lenergia in modo reversibile
> @ henryL
H
AWeber
dtdiLv
25
GENERATORI ideali
i(t) Generatore ideale di tensione
v(t) e(t) v(t) = e(t) i(t)
Generatore ideale di corrente
v(t) a(t) i(t) = a(t)
i(t) Corto Circuito
v(t) v(t) = 0
Caso degenere del generatore di tensione o del resistore di resistenza nulla
i(t) Circuito Aperto
v(t) i(t) = 0
Caso degenere del generatore di corrente o del resistore di resistenza infinita o conduttanza nulla
26
STRUMENTI DI MISURA
UNITA DI MISURA: Ampre (A)
A i i
Vi piccolissima o ideale ri = 0
Vi inserzione
UNITA DI MISURA: Volt (V)
inserzione
iv piccolissima o ideale rv = f A B
V
VAB
iv
CORRENTE TENSIONE
A I
Ampere-metro V
I
Volt-metro
+
+
Esercizio
Risoluzione
Calcolare la i e la vbd nel circuito in figura
Applicando la LKT al percorso chiuso a-b-c-d-e-a si ottiene: 8 24 0ab bc dev v v
Per la legge di Ohm possiamo scrivere:
abv i 2bcv i 5dev i
Sostituendo 2 8 5 24 0i i i
Da cui si ricava (24 8) 28
i A
Applichiamo LKV al percorso chiuso b-c-d-b
2 8 0 2 8 12bd bdi v v i V o
d e i
a c b i i
+
- vbd
+
-
+
-
1:
5:
2:
8V 24V
Esercizio
Risoluzione
Nel circuito in figura ricavare la corrente i, la potenza dissipata nel resistore e la potenza erogata da ciascun generatore.
+ +
+
3V
6V
12V 3:
d c
b a
i Applicando LKT al percorso chiuso a-b-c-d-a 3 3 6 12 0 5i i A o
La potenza dissipata dal resistore vale 2 3*25 75p Ri W Generatore da 3V: la corrente di 5A scorre dal + al -, quindi esso assorbe una potenza pari a 3x5=15W. La potenza erogata dunque 15W. Generatore da 6V: la corrente da 5A scorre dal- al +, quindi la potenza erogata vale 6x5=30W
Generatore di 12 V: la potenza erogata vale 12x5=60W.
In totale la potenza erogata dai generatori : -15+30+60=75W, che coincide con la potenza dissipata nel resistore.
Il generatore indipendente pu assorbire potenza anzich erogarla.
29
elementi di capacit energetica infinita, come i generatori ideali
PROPRIETA' ENERGETICHE Potenza Assorbita da un Bipolo: p(t)=v(t) i(t) la potenza che entra nella superficie limite del bipolo (conv. degli
utilizzatori). Unit di misura Watt [W]
Energia Elettrica assorbita in un intervallo dt: dW v(t) i(t)dt . Unit di misura Watt * hour [Wh]
! dtdW 0 se a) elemento puramente dissipativo
energia accumulata in bipoli di tipo L e C: 22
22 vCWiLW
! 0 c) dtdW
I COMPONENTI ELEMENTARI SONO TALI PERCHE' INVESTONO IN UN SOLO TIPO DI ENERGIA
! 0 se b) dW
30
GENERATORI PILOTATI
v1 v=b v1 b: parametro di controllo adimensionale
i1 v= i1 : parametro di controllo (dimensionalmente una resistenza)
v1 i= v1 : parametro di controllo (dimensionalmente una conduttanza)
i1 i=a i1 a: parametro di controllo adimensionale
i1 R1
R2
ag 0,5 i1
esempio:
I generatori dipendenti o pilotati sono componenti essenziali nei circuiti amplificatori, in cui l'ampiezza dell'uscita maggiore di quella dell'ingresso. Inoltre servono ad isolare una porzione di circuito o a fornire una resistenza negativa
31
MUTUA INDUTTANZA
L1 L2
i1 i2
v1 v2 M
dtdiLdt
diMvdtdiMdt
diLv2
21
2
2111
2d)1d)
)
N1 N2 1I 2I
CONVENZIONE DEI PUNTINI:
La caduta di tensione su un induttore provocata dalla corrente che scorre nellaltro induttore concorde con quella provocato dalla propria corrente se le due correnti si trovano nella stessa posizione (entrambe entranti o entrambe uscenti) rispetto ai suddetti puntini
Nel caso di elemento passivo:
dtt
21
21
LLM
0L ;0L
MUTUA INDUTTANZA
32
La caduta di tensione provocata dalla corrente che scorre nellaltro induttore discorde con quella provocato dalla propria corrente se le due correnti non si trovano nella stessa posizione (una entrante e laltra uscente) rispetto ai suddetti puntini
L1 L2
i1 i2
v1 v2 M
dtdiLdt
diMvdtdiMdt
diLv2
21
2
2111
v1
a) M > 0 b) M > 0 c) M < 0 d) M < 0
L1 L2
M i1 i2
v1 v2 L1 L2
M i1 i2
v2 L1 L2
M i1 i2
v1 v2 L1 L2
M i1 i2
v2
Esempi:
33
TRASFORMATORE IDEALE
i2 i1 n v2 v1
21
21
1 ini
vnvbase di definizione mista: [ v1 ; i2] o [v2 ; i1]
( ( 011112211 innvivivivtp
Il trasformatore ideale:
E trasparente alle potenze
E' un componente passivo non dissipativo
34
LAmplificatore Operazionale (Operational Amplifier - OP) un elemento circuitale attivo progettato per eseguire operazioni matematiche di addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione, derivazione e integrazione di segnali.
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
CONFIGURAZIONE DEI PIN
1 2 3 4
8 7 6 5
BILANCIAMENTO ING. INVERTENTE ING. NON INVERT.
SCOLLEGATO Vcc+
USCITA BILANCIAMENTO
SIMBOLO CIRCUITALE
LE ALIMENTAZIONI VENGONO SPESSO OMESSE NEGLI SCHEMI CIRCUITALI, MA LOP DEVE SEMPRE ESSERE ALIMENTATO
1 5 4
2
3
7
6 ING. INVERTENTE
-Vcc
+Vcc
_
+ ING. NON INVERT.
BILANCIAMENTO
USCITA 1i2i
dvVcc-
35
MODELLO CIRCUITALE
v1
v2 vd
Avd Ri
Ro vo
LOP si comporta come un generatore generatore di tensione controllato in tensione
( 1212
vvAvAvvvvdo
d
A: guadagno di tensione ad anello aperto
valori tipici A 105y108 Ri 106y1013 : Ro 10y100 : Vcc 5 y24 V tensione di alimentazione
Vcc
-Vcc
saturazione positiva
saturazione negativa
vo
vd
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE IDEALE
o
f f
12
21
00 ,0
0vvv
ii
RRA
do
i
Nella maggior parte delle applicazioni si considerano OP IDEALI nella REGIONE LINEARE di funzionamento
v1 v2 = v1
vo vd
_
+
i1 = 0
i2 = 0
Modello equazioni
Il valore di vo dipende da come lamplificatore collegato al resto del circuito
Inseguitore di tensione
vs vo
Un generatore di tensione collegato al morsetto non invertente dell'operazionale, mentre il morsetto invertente collegato direttamente all'uscita. Determinare la tensione in uscita vo nellipotesi di funzionamento nella regione lineare
vd
vo vs
i
vvii 0 ,0
+
-
vv0 vvs
Equazioni dellOP ideale
0 vvs
Amplificatore invertente
Determinare il valore della tensione vo
RL vs vo
i2
in
R1 R2
i1 2 1 per l'idealit dell'operazionale:
0
01ii
vvv
2121 R
vRvii os e infine: so vR
Rv 1
2
Questa configurazione di operazionale amplifica l'ingresso in ragione del rapporto R2/R1 e ne inverte il segno.
t vo
vs
0
0
10
1
21
2
1
vvvvvv
iii
R
sR
s
T
LKC al nodo 1
LKV al percorso chiuso s-1-T-s
LKV al percorso chiuso 2-1-T-2 1
0
12
111
2
1
Rv
Rvi
Rv
Rvi
R
sR
i0 i-
Equazioni dei componenti
Amplificatore non invertente
vs vo RL
i2
io in R1
R2 i1
Determinare il valore della tensione vo
2
0
22
111
2
1
Rvv
Rvi
Rv
Rvi
sR
sR
per l'idealit dell'operazionale:
svvvii 0
2121 R
vvRvii sos e infine: so vR
Rv
1
21
Questa configurazione di operazionale amplifica l'ingresso della quantit 1+R2/R1 e non inverte il segno.
t
vo vs
1 2
0
0
2
1
0
21
sR
sR
vvvvv
iii LKC al nodo 1 LKV al percorso chiuso 1-T-s1
LKV al percorso chiuso 2-1-T-2
T
Equazioni dei componenti
i-
Amplificatore sommatore
Determinare il valore della tensione vo
0 321 iiii
da cui, riordinando
3
3
2
2
1
1
Rv
Rv
RvRv oo
L'uscita proporzionale alla somma pesata delle tensioni. Se R1 = R2 = R3 = R :
( 321 vvvRRv oo
Cio l'uscita proporzionale alla somma delle tensioni
R1 R2
R3
v1 vo RL
i
io in
Ro i1 v2
i2 v3
i3 1
03
3
2
2
1
1 Rv
Rv
Rv
Rv
o
o
LCK al nodo 1
Amplificatore differenziale
RL v2 vo
R1 R2
v1 R1
R2
Determinare il valore della tensione vo
021
21
21
2
21
2 vRR
RRRv
Rv
Rvv
Rvv oo
LKC al morsetto non invertente
LCK al nodo 1
1
sostituendo:
( 211
2
21
21
21
21
21
2 0 vvRRvRR
RvRRRR
Rv
Rv
oo
Cio l'uscita proporzionale alla differenza tra le tensioni
vRRRvv
21
21
1
1
2 Rvv
Rv
da cui
42
vs vo RL vs vo RL
R1 R2 R2
vs vo RL R1
inseguitore di tensione
R1 R2
R3
v1 vo RL
Ro
v2 v3
amplificatore invertente
amplificatore non invertente
amplificatore sommatore
amplificatore differenziale
so vv so vRRv
1
2so vR
Rv
1
21
3
3
2
2
1
1
Rv
Rv
RvRv oo ( 21
1
2 vvRRvo
AMPLIFICATORI ADINAMICI -TABELLA RIASSUNTIVA
RL v2 vo
R1 R2
v1 R1
R2
43
Reti in Regime Stazionario
44
COMPONENTI ELEMENTARI IN REGIME STAZIONARIO
Per circuiti assolutamente stabili, in presenza di eccitazioni costanti nel tempo: Generatore indipendente di tensione Generatore indipendente di corrente
Resistore Induttore Condensatore
v i
E cost{ Ev v i
A cost{ Ai
IRViRv
v i R
cto)(cto
0
0
VdtdiLv
v i L C v
i
aperto) (circuito 0
0
IdtdvCi
45
RESISTORI IN SERIE
R1 A
I I1
V1
I2 I2 R2
V2
Ri
Vi
In-1 In Rn
Vn B I Req
VAB B A
VAB
(
iieq
eqn
nnniAB
ni
RRIRIRR
IRIRIRVVVVV
IIIII
1
221121
21
46
PARTITORE DI TENSIONE R1 R2 Ri Rn I
V Vi
(
hh
i
eq
ii
hhnii
RRVR
RVV
RVIIRRVIRV 1
Nel caso di due soli resistori: R1
R2
I V1
V V2
21
22
21
11
RRRVV
RRRVV
47
PARALLELO DI RESISTORI
A A A A
B B B B
R1 I1 V1 R2
I2 V2 Ri Ii
Vi Rn In
Vn
A
B
I
(
VGRVI
VGGVRR
RV
RVIII
VVVVV
VGRVIIRV
eqeq
nn
n
nn
ni
iii
iiiii
.......11 11
1
11
21
n
eqi ieq
iieq
RRRRR
GG
1.........1111
1
||||
48
PARTITORE DI CORRENTE
R1 R2 Ri Rn
I1 I2 I3 In I
V
eqeqn
ii
i
RVGVIIII
GVRVI
21
R2 I2 I1 R1
I Nel caso di due soli resistori:
21
12
21
21
RRRII
RRRII
IRRIRRIG
GIeqii
eq
eq
ii
||
|| 11
49
B C
TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO
RB RC
A
B C
0
RAB RCA
A
RA
RBC
CABCAB
BCCAC
ABBCB
CAABA
RRRR
RRRR
RRRR
RRRR
0
0
0
0
CBAACCA
CBBC
BAAB
RRRGGRRRGRRRGRRR
1110
0
0
0
Nel caso di tre resistenze uguali sar: 3
' RRY
50
Principio di Sovrapposizione In una rete lineare, comunque complessa, contenente N generatori lineari, le tensioni e le correnti in ciascun ramo possono essere determinate sommando i contributi dovuti ai singoli generatori presenti, agenti uno alla volta.
A I V
Passivazione dei generatori: Generatore di corrente circuito aperto (corrente nulla) Generatore di tensione corto circuito (tensione nulla)
Teorema di Thvenin
51
Equivalente di Thvenin
Una rete lineare, comunque complessa, accessibile da 2 terminali, pu essere sostituita con un circuito equivalente formato da un generatore di tensione VTH in serie con una resistenza RTH, dove VTH la tensione a vuoto ai terminali e RTH la resistenza equivalente vista agli stessi morsetti quando i generatori indipendenti sono passivati.
Rete lineare
b
a I
V Bipolo
a I
V
b
VTH RTH Bi
polo
IRVV THTH
Teorema di Norton Una rete lineare, comunque complessa, accessibile da 2 terminali, pu essere sostituita con un circuito equivalente formato da un generatore di corrente IN in parallelo con una conduttanza GN, dove IN la corrente di corto circuito ai terminali e GN la conduttanza equivalente vista agli stessi morsetti quando i generatori indipendenti sono passivati.
Rete lineare equivalente di Norton
b
a I
V Bipolo
a I
V IN GN Bipolo
NNNN R
VIVGII
53
Thevenin & Norton
ETH
VTH = tensione a vuoto
RTH
RTH = resistenza circuito passivato A I V
B
ETH RTH
IREV THTH
IN
IN = corrente in c.to c.to
RN
GN = conduttanza circuito passivato A I
V B
IN GN
VGII NN
A A
A
B B
B B
Trasformazione della sorgente
54
A I V
B
VTH RTH
A I V
B
IN GN
A I V B
Un circuito in forma equivalente di Thvenin pu generalmente essere sostituito da un circuito nella forma equivalente di Norton con un generatore di corrente IN:
NN
TH IGV 1
TH
THN R
VI
Un circuito in forma equivalente di Norton pu generalmente essere sostituito da un circuito nella forma equivalente di Thvenin con un generatore di tensione VTH:
NTH GR
1
55
TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA
RL
a
b
THEVENIN a
b RTH RL ETH
i
22
LTHTH
LL RRERiRp
p pmax
RTH RL SI HA LA MASSIMA POTENZA TRASFERITA AL CARICO QUANDO LA RESISTENZA DEL CARICO E UGUALE ALLA RESISTENZA DI THEVENIN VISTA DAL CARICO: RL = RTH
Dimostrazione: ( (
( THLLLTHLTHLTHLLTH
THL
RRRRRRR
RRRRREdRdp
0202 4
22
TH
THR
Ep4
2
max
TEOREMA DI MILLMAN
i
i
iii
AB G
EGV
G1 E1G1 Gn EnGn
i
iG i
iiGEA
B
B
E1 E2 E3 Ei En
R1 R2 R3 Ri Rn
A
Teoria dei Grafi
57
58
I Principio di Kirchhoff
I1
I2 I3
I4
I5
I6 I7
I1+ I2+ I3+ I4+ I5+ I6+ I7=0
59
II Principio di Kirchhoff
V1+ V2+ V3+ V4+ V5+ V6+ V7 + V8 + V9 + V10 = 0
V1
V2 V3
V4 V5
V6
V7 V8
V9 V10
60
TEORIA DEI GRAFI
Circuito con R lati
R-Tensioni
R-Correnti
Circuito con R lati: 2R variabili che devono soddisfare 2 gruppi di equazioni
1) Equazioni dei componenti: dipendono dalla natura dei componenti
2) Leggi di Kirchhoff: non dipendono dalla natura dei componenti ma solo dalla topologia del circuito.
Propriet Topologiche
61
Grafo orientato
Le propriet topologiche di un circuito sono legate alla geometria e non dipendono dalla natura dei componenti
Nozioni topologiche: Ramo: segmento Nodo: punto di unione di 2 o pi rami Taglio: insieme di rami che vengono intersecati da una linea chiusa 1 sola volta e in corrispondenza di un solo terminale. Leliminazione dei rami di un taglio rende il circuito sconnesso. Maglia: insieme di rami intersecati da una linea chiusa in corrispondenza di entrambi i terminali contemporaneamente.
9Su ogni taglio possiamo applicare la LKC
9Su ogni maglia possiamo applicare la LKV
62
Albero & Co-Albero
Albero: 1) Insieme connesso di rami 2) Comprende tutti i nodi 3) Non comprende percorsi chiusi 4) n-1 rami
Co-Albero: Complemento dell Albero nel Grafo R-(n-1) rami
63
a b c
a b
R1 R2 L C E vg vL vC
v1 v2
ig i1 iL i2 iC
a b c
a b
a b c
a b
Taglio fondamentale: 1 ramo di albero+rami di co-albero
Maglia fondamentale: 1 ramo di co-albero+rami di albero
R-(n-1) maglie fondamentali
n-1 tagli fondamentali
Equazioni Topologiche
taglio fondamentale scrivo la LKC
maglia fondamentale scrivo la LKV
64
Esempio
a b c
a b
R1 R2 L C E vg vL vC
v1 v2
ig i1 iL i2 iC
dtdvCidtdiLv
iRviRv
Ev
CC
LL
g
222
111
4 nodi 5 lati
10 incognite 5 eq Componenti 3 eq LKC 2 eq LKT
00
0
2
21
1
iiiii
ii
C
L
g
00
2
1
LC
gLvvvvvv
9 LKC ai tagli fondamentali 9 LKV ai tagli fondamentali
9 Equazioni dei componenti
65
METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA
33
22
11
JIJIJI
Le LKC ai tagli fondamentali sono delle identit
66443343
5566222
44551141
IRIRIREEIRIRIRE
IRIRIREEI2
E3
R1 R2
R4
R3
R5 R6
E1 E2
I6
I3
I1
E4
I5
I4
J1 J2
J3
0)(0)(
0)(
3322
3311
2121
JJJJJJJJ
JJJJ
00
0
362
341
521
IIIIII
III
326
215
314
JJIJJIJJI
R=6; n=4 N=n-1=3 rami di albero M=R-n+1=3 rami di coalbero
METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA
66
MMMMMM
M
E
E
J
J
RRR
RRR
11
21
11211
Rii : resistenza propria della maglia i-esima, data somma delle resistenze dei rami che fanno parte della maglia. Rij : mutua resistenza tra la maglia i-esima e la maglia j-esima, somma delle resistenze dei rami comuni alle i e j. Ei : componente i-esima del vettore termini noti, somma algebrica delle tensioni ai capi dei generatori
IM
I
VM
V
M E
E
E
E
E
E
111
( (
(
4336432614
236265215
4134251451
EEJRRRJRJREJRJRRRJREEJRJRJRRR( (
( ( ( (
3263143343
215326222
3142151141
JJRJJRJREEJJRJJRJRE
JJRJJRJREE
67
METODO DEI POTENZIALI NODALI
43
32
21
2
3
4
UUVUUVUUV
R
R
R
Le LKV alle maglie fondamentali sono delle identit
R=7; n=5 N=n-1=4 rami di albero M=R-n+1=3 rami di coalbero
A1 R1 A2 R2 R3 R4
R5 V1 V2 VR5 VR1
VR4 VR3 VR2
00
00
1122
22233
553344
441
RR
RR
RRR
R
VGVGVGAVG
VGVGVGVGA
000
122
235
541
RR
RR
RR
VVVVVV
VVV
41
32
25
11
UVUVUV
UV
R
R
0)(0)(0)(
4433
3322
2211
UUUUUUUUUUUU
U2 U4 U3 U1
METODO DEI POTENZIALI NODALI
68
NnNNNN
N
A
A
U
U
GGG
GGG
11
21
11211
Gii : conduttanza propria del nodo i-esimo , data somma delle conduttanze che confluiscono al nodo. Gij : conduttanza mutua tra i nodi i e j, somma delle conduttanze dei rami che uniscono il comuni al i e j Ai : componente i-esima del vettore termini noti, somma algebrica delle correnti dei generatori che confluiscono al nodo i.
VN
V
IN
I
N A
A
A
A
A
A
111
0)(0)()(
0)()(0)(
41432
4322323
25323214
2141
UGUUGUUGAUUG
UGUUGUUGUUGA
0)()(
0)(
42132
24233223
33254314
12414
UGGUGAUGUGGUG
UGUGGGUGAUGUG
69
Teorema di Tellegen
a b c
a b Dato un grafo: Siano k rami del grafo: {ik} un sistema di correnti compatibile {vk} un sistema di tensioni compatibile Risulta: 0
kkkiv
L E R1 R2 C v1
v5 v4
v2 v3
R L2
A L1
C i1 i4 i5
i2
i3
1 2 3
4 5
Circuiti differenti
Stesso grafo
Sk vk ik = 0 Caso particolare: Se si considerano tensioni e correnti dello stesso circuito otteniamo la Conservazione delle Potenze
70
Reti in Regime Sinusoidale
Reti in Regime Sinusoidale
71
Le reti in regime sinusoidale sono delle reti nelle quali le grandezze in gioco variano al variare del tempo con legge sinusoidale. Le reti elettriche in alta potenza sono alimentate con tensione sinusoidale con frequenza di: 50 Hz in Europa 60 Hz in USA.
Se una rete lineare alimentata da un generatore sinusoidale
v(t)=VM sin(Zt+) risulteranno sinusoidali tutte le tensioni e tutte le correnti che si stabiliranno nei diversi rami del circuito.
IN UNA RETE ASSOLUTAMENTE STABILE, IL REGIME SINUSOIDALE VIENE CONSEGUITO DA TUTTE LE VARIABILI DELLA RETE
Reti in Regime Sinusoidale
72
)sin()( MZ tVtv M VM ampiezza o valore massimo di v(t)
srad
Tf 22 SSZ pulsazione
> @rad M
> @
M
M
ZM
ZM
t
ss
radradt
fase iniziale a cui corrisponde t
V
FASORI
73
Il fasore un vettore con il quale si rappresenta lampiezza e la fase di una sinusoide. La rappresentazione di una sinusoide per mezzo di dei fasori si basa sullidentit di Eulero:
}Im{ }{eRe j aa aa jesencos aaa jsencose j r r
MM MM VeVV jVponendo Fasore della funzione sinusoidale v(t)
Esprimiamo una sinusoide usando lidentit di Eulero:
)Im()(}Im{}Im{)sin()(
)Re()(}Re{}Re{)cos()(
222
111
)(
)(
tjeVtveeVeVtVtv
tjeVtveeVeVtVtvjtjtj
jtjtj
MMM
MMM
ZMZ
ZMZMZMZ
MZMZ
FASORI
74
)()( MZZZ tjtj eVeVtjV M Vettore rotante con velocit angolare
Pu essere interpretata come la proiezione del vettore rotante Vejt sullasse reale )cos()(1 MZ tVtv M
Re
Per t=0 il vettore rotante coincide con il fasore V della sinusoide, perci il vettore rotante pu essere considerato come un fasore rotante.
t=0
Im
t = t1
VM
t = t1
FASORI
75
pu essere interpretata come la proiezione del vettore rotante Vejt sullasse immaginario
)sin()(2 MZ tVtv M
Re
t=0
Im
t = t1
t = t1
21
2)
2(
dove
}Re{}Re{} Re{)2
cos()sin(1
S
ZZSSMZSMZMZ
j
jjjjj
eVV
eVeeVeeVttVM
v2(t) pu anche essere interpretata come la proiezione sullasse reale del vettore rotante V1ejt.
VM
76
FASORI
Se le grandezze sono iso-frequenziali, dopo un certo tempo, l'istante iniziale perde significato ed superfluo indicare il riferimento degli assi. L'importante che le diverse grandezze fasoriali stiano in un determinato rapporto di fase tra loro.
t = tn
Una funzione sinusoidale pu essere espressa come un fasore ed il termine ejt si considera implicito dominio delle frequenze
m
e
77
AU , sono due fasori
Convenzionalmente:
U
A
Re
Im
-
ANTICIPO o ANGOLO POSITIVO RITARDO o ANGOLO NEGATIVO
Diagramma fasoriale o vettoriale FASORI
)sin(10)()sin(10)(
MZTZ
ttUttA
FASORI
78
CASI PARTICOLARI: a) y = = S / 2 i fasori sono in quadratura b) y = S i fasori sono in opposizione di fase c) y = 0 i fasori sono in fase
U
A
y e
m -
M
j
j
|eA |A|eU |U
U
A
y
m
e
9se prendiamo come riferimento in
anticipo rispetto a
AUU
U
A
y
m
e 9Se prendiamo come riferimento in
ritardo rispetto ad
A UA
79
0 1 2 3 4 5 6 7 -6
-4 -2 0
2 4 6
)(
)(
Z
Z
jVdttv
Vjdt
tdv
FASORI
} eRe{2cos2)]sin(2[)()(' 0jj etdt
tddt
tdvtv tZZZZZ
v(t) in quadratura in anticipo rispetto a v(t)
DOMINIO DEL TEMPO DOMINIO DELLA FREQUENZA
2'SMMy vv
/2
Vj Z
V
sfasamento di v rispetto a v
0 ;2 '
vv MSM
Se prendiamo il fasore di v(t) come riferimento:
}eIm{2)sin(2)( j tttv ZZ
}e Re{2)2
cos(22)( ma 2jS
ZSZZ jtettsentv
EQUAZIONE DEI COMPONENTI
prende il nome di IMPEDENZA
ZVI
IZV
Per questo caso esiste l'inversa dellimpedenza:
zy 1
AMMETTENZA
Metodo Simbolico
IVZ
Z
Limpedenza non un fasore perch non corrisponde ad una quantit che varia sinuoidalmente
VI
81
RESISTORE v
i R
GRyRzIRViRv 1 V
I
CAPACITORE C
v
i
CjyjXCjCjzIV
VCjIdtdvCi
c ZZZ
Z
11
2S
I
V in anticipo di /2 rispetto a I V
Diagramma fasoriale
INDUTTORE L
v
i
LjyjXLjzIV
ILjVdtdiLv
L ZZ
Z
1
in ritardo di /2 rispetto a I V
I
V
2S
Metodo Simbolico
82
jXRZZ M
ammettenza 11 M ZjBGZY
capacitiva reattanza c
1-X
induttiva reattanza X reattanza )Im(X
resistenza )Re(
C
L
Z
ZLZ
ZR
asuscettanz )Im(B aconduttanz )Re(
YYG
Z
R
M X
MMM ZIV
IVZ iv
I
V
z TRIANGOLO DELLE IMPEDENZE
Impedenza generica
83
MUTUA INDUTTANZA
L1 L2
M i1 i2
v1 v2
dtdiMdt
diLvdtdiMdt
diLv
121
222
212
111
Hp: non dissipativo passivo
21LLMk COEFFICIENTE DI ACCOPPIAMENTO ( k d 1)
121222
212111
IMjILjV
IMjILjV
ZZ
ZZ
I regime sinusoidale:
LA MUTUA A 4 TERMINALI HA LE STESSE EQUAZIONI DI QUELLA A 3 TERMINALI
0 ;
0R 02
212112
21
t
MLLMMMR
84
Caso in cui k = 1 (accoppiamento stretto)
222
11
221
112
2
1
221
111
22
1212
221
111
21
vnvLLv
dtdiLLdt
diLvLL
dtdiLLdt
diLv
dtdiLdt
diLLvdtdiLLdt
diLv
LLM
Nel dominio della frequenza:
21221112
2
1
221111
VnVILLjILjVL
LILLjILjV
ZZ
ZZ
1
2
2
1
12
1 1LL
IV
LjII Z
Per L1 , L2 o f si pu trascurare il termine mentre da cui: 2
1
1
1IV
LjZ nLL 1
1
2
21
21
1 InI
VnVTRASFORMATORE IDEALE
n:1 1V 2V
1I 2I
MUTUA INDUTTANZA
Metodo simbolico
85
PRINCIPI DI KIRCHHOFF
0)(0)(
titv
Dominio del Tempo Dominio della Frequenza
00
IV
86
PARTITORI PARTITORE DI TENSIONE:
ii
ii
ii
ii
zzEV
IzE
IzV
E
I
1z 2z iz nz
iV
1z
2zU
2U
1U
21
22
21
11
zzzUU
zzzUU
ii
ii
ii
ii
yyAI
VyA
VyI
PARTITORE DI CORRENTE:
1y 2y 1ny ny AV
1y 2y
I
1I 2I
21
22
21
11
yyyII
yyyII
n = 2 n = 2
87
TEOREMI DI THEVENIN E NORTON
RETE ATTIVA
IV
Rete attiva costituita da componenti lineari tempo-invarianti
I
Veqz
eqETHEVENIN eqeq EIzV
NORTON
EQUIVALENTE CIRCUITALE
Il duale il teorema di Norton I
VeqyeqAEQUIVALENTE CIRCUITALE eqeq
AVyI
88
Si introducono delle correnti fittizie che siano una base vettoriale su cui si proiettano le correnti reali I
METODI ABBREVIATI DI ANALISI METODO DELLE CORRENTI CICLICHE
> @ > @ > @EJZ > @
MMMM
M
M
zzz
zzzzzz
Z
21
22221
11211
Es:
1E
1I2I
2E1z
4z4I 5I
5z3I 3z
6zA
6I
AJBJ
CJ
M = l (n - 1)
jiij zz ji
ii
zz Impedenza propria della maglia i
Impedenza mutua tra le maglie i e j della maglia i,
> @
2
1
1
J
JJ Correnti cicliche
Nelle maglie > @
iM
i
M
v
E
E
E
EE
1
1
1
89
METODO DEI POTENZIALI NODALI
1A
3A
E3U
1Y2Y
2U1U
3Y
4Y 2A
1 2 3
Legge di Kirchhoff delle tensioni
Qualsiasi tensione di lato esprimibile come somma algebrica dei potenziali di nodo. LE COSTITUISCONO UNA BASE PER LE TENSIONI
> @ > @ > @
vN
v
iN
i
NNNNN
N
A
A
A
AA
U
UU
YYY
YYYY
111
21
11211
U
> @> @ > @AUY N=n-1
90
Il valore efficace definibile per tutte le grandezze periodiche:
VALORE EFFICACE = ( T dttfT 021
Nel caso sinusoidale:
2sin1 0
22 MT MeffIdttITI Z
Il valore efficace di una corrente periodica il valore costate di corrente in grado di causare in un resistore la stessa dissipazione di quella periodica
VALORE EFFICACE
MU
MA
y
e
m
U
A
e
m
y
Valori massimi Valori efficaci
91
Valore medio
POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE
IV Z
Potenza Attiva istantanea Potenza Reattiva istantanea
]W[ Attiva PotenzacosMVIP
Valore massimo
]VAR[ Reattiva PotenzasinMVIQ
( ^ `( ( ^ `
( ( ( (
( ( tVItVItptttt
ttVItItVivtp
eVVeeVetVtveIIeeIetIti
iv
jtjj
jtjji
vv
ii
ZMZMZMZMZMZ
ZMZMZZMMM
MZMZ
MZM
MZM
2sinsin2cos1cos2sinsin2cos1coscoscos2 :ma
coscos2)cos(2cos2
; posto
2cos2
2)cos(2
v
2
2
2*
22*
MM*
MM*
*
*MM
*
)Im(
;)Re(P
)j( Z
Z
:anche scrivere possiamo
reattiva potenza sin IV21sin IV)Im(
attiva potenza cos IV21 cos IV)Re(P
sin IjVcos IV IV -IVIV
IV21IVS
:che dimostra si
IXSQIRS
XRIVIIVS
IVQ
IV
e jvi
MM
MM
MMMM M
92
POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE
( iv
VIIVQPSjQPS
MMMMM
con [VA] Apparente Potenza sincos
Complessa Potenza definiamo222222
S
McosVI
M
TRIANGOLO DELLE POTENZE
VIsi
nM
IV Z
93
RESISTORE V
I R
t
p(t)
2IR
VI
( ( ( tRItVItp ZZ 2cos12cos1 2
M = 0 Diagramma fasoriale
La potenza assorbita dal resistore sempre positiva o, al pi, nulla, pulsante di pulsazione doppia rispetto a quella della tensione o della corrente. La potenza reattiva nulla,
POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE: Casi particolari
0
22
QR
VRIVIP
94
CAPACITORE C
2S
I
VLa potenza istantanea una sinusoide di pulsazione doppia rispetto a tensione e corrente. La quantit VI l'AMPIEZZA MASSIMA dell'oscillazione della potenza istantanea p(t) ed detta POTENZA REATTIVA CAPACITIVA e viene indicata con Qc
in anticipo di /2 rispetto a I V
Diagramma fasoriale
VI
i
v
( tVItp Z2sin
M = S/2
CCC X
VIXVIQ
P2
2
0
Qc viene assunta negativa
I
V
POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE: Casi particolari
95
INDUTTORE L
La potenza istantanea una sinusoide di pulsazione doppia rispetto alla tensione e la corrente. La quantit VI l'AMPIEZZA MASSIMA dell'oscillazione della potenza istantanea p(t) ed detta POTENZA REATTIVA INDUTTIVA e viene indicata con QL
Diagramma fasoriale
I
V
2S
VI
v
i
in ritardo di /2 rispetto a I VM =S/2
( tVItp Z2sin
LLL X
VIXVIQ
P2
2
0
QL viene assunta positiva
I
V
POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE: Casi particolari
96
Tabella riassuntiva
CAPACITORE M = S/2
t
p(t) VI
IV
I
V2S
RESISTORE M = 0
IV
t
p(t) 2RI
I V
INDUTTORE M = S/2
t
p(t) VI
I
V2S
IV
0
positiva assunta2
2
PXVIXVIQ
LLL
0
22
QR
VRIVIP
0
negativa assunta2
2
PXVIXVIQ
CCC
97
TEOREMA DI BOUCHEROT Dal teorema di Tellegen: 0
''' h
hh iv
In regime sinusoidale:
Scegliamo linsieme delle tensioni di un circuito e come insieme delle correnti scegliamo quelle del circuito che ha le correnti coniugate rispetto a quello
( 0* h
hhh
hh jQPIV
Affinch sia verificata deve essere:
^ ` ^ `*; hh IV
kk
ii
kk
ii
riutilizzatogeneratori
riutilizzatogeneratori
PP
0
0
hh
hh
Q
P
Rifasamento
98
IVMI
VI
Mjezz
'I
VIz
VCjZ
Dopo il Rifasamento: SPcos M
Per Boucherot:
zg
zg
PPQQ
Inserendo una capacit in parallelo al carico, lo sfasamento tra tensione e corrente diminuisce quindi il cos aumenta.
SM Qz
P
Qg
I
' M
CI'I
CI
V
Prima del Rifasamento:
Rifasamento
99 (GENERALMENTE cos M' # 0,9 )
'tan 'tan
cos
MMM
M
PQPsenSQ
SP
g
z
S
M
Qc
'
Qz S
P
Qg
2
2
22
)'tan(tan
)'tan(tan1
)(S' ;)'tan(tan'
VPC
PCVQ
QQPPQQQ
C
CzgzC
ZMM
MMZ
MM
Per Boucherot:
zg
czg
PPQQQ'
Le potenze attiva P e reattiva Q, la tensione V e la corrente I assorbiti dal carico non vengono influenzati dal rifasamento
( ( ( > @
( ( ( ( > @
*
222
222
222
2
222
2
2
22
0)(2
0
)()(21
;;
ThC
ThCCThCTh
CThCCThCThTh
C
ThCCThCTh
CThCTh
C
ThCThC
CThC
CTh
thM
ThThThCCCCTh
th
ZZ
RRXXRR
RRRXXRRVRP
XXXXRR
XXRVXP
XXRRRVR
ZZV
RIRIP
jXRZjXRZZZVI
ww
ww
100
ADATTAMENTO ENERGETICO
Rete Attiva
A
B CZ Per il T. di Thevenin
A
B
ThV CZVI
ThZ
Quali sono le condizioni nelle quali assorbir la max potenza attiva? Cz
101
Analisi dei Transitori
102
Obiettivo: Descrivere il comportamento di tensioni e correnti
tra due diversi stati stazionari
0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
tempo (s)
Volt
0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
tempo (s)
volt
Causa del transitorio: I componenti dotati di memoria (induttori e condensatori) impiegano un certo tempo per
uniformarsi al funzionamento a regime
103
Sovrapposizione degli effetti
circuito 1E 21 VV 2E
Qualunque segnale periodico pu essere espresso come somma di un numero finito di sinusoidi di frequenze multiple di una frequenza fondamentale (Serie di Fourier)
In un circuito lineare la risposta ad un segnale periodico si pu calcolare come somma delle risposte alle singole componenti
circuito 1E 1V circuito 2E 2V
104
T1 spetto nello 0 ' ZZ
Z
ampiez
za
Serie di Fourier di funzioni periodiche
fase
0Z
Z)(
100 02
)cos((t) ntnjN
NnnN
nnn e
CtnCaf MZMZ
t
La trasformata di Fourier di un segnale periodico un insieme discreto di valori, che prende il nome di spettro discreto
Serie di Fourier:
105
t
Zfa
se
Trasformata di Fourier di funzione aperiodiche
Z
ampiez
za
( dtetfjF tjZZ f
f )(
Segnale aperiodico (T) 0=0, nello spettro del segnale =d
f
f
ZZSZ dejFF(jtf tj )(
21)][)( 1
trasformata di Fourier:
Serie di Fourier :
106
una funzione non periodica pu essere vista come la somma di infinite sinusoidi, ma lintegrale di Fourier non si pu essere calcolato per qualunque funzione, perci in alternativa, anzich considerare una funzione come somma di infinite sinusoidi, la si pu ottenere come somma di infinite cisoidi.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Le cisoidi seguono un andamento oscillatorio smorzato; le sinusoidi sono cisoidi con smorzamento nullo.
Le cisoidi che permettono di ricostruire una data funzione hanno lo stesso inviluppo e frequenze multiple della fondamentale.
Funzione Cisoidale
107
)}({}{)()cos()(
ZMZ
Z jeeetvtVtv
tj VV Circuiti AC in
regime sinusoidale
Introduciamo la funzione cisoidale
}{)(complessa frequenza definiamo
}{)(
)cos( e )( t
st
tjt
eetvjs
eeetv
tVtv
V
VZa
MZ
Za
a
!
000
aaa
Frequenza complessa
complessa frequenza della dominio nel )( arappresent )(frequenza della dominio nel )( arappresent )(
tvstvj
VV Z
108
La definizione a lo stesso aspetto della trasformata di Fourier ove si sostituisca nellintegrale la variabile immaginaria pura j, con la variabile complessa s=+j.
( dtetfsF stf
0
)(
per > 0 lintegrale diverge per t -f
Trasformata di Laplace
NOTA: lipotesi che f(t)=0 per t0
Si noti che lintegrale si pu calcolare solo per tt0.
Questo il motivo per cui si pu calcolare la trasformata di Laplace solo per funzioni che sono nulle per t
109
te a
)(tftetf a)(
Trasformata di Laplace
dtetfT tT
fo
0 )(lima
La trasformata Laplace di una funzione definita se, per qualunque
valore reale di , esiste finito il limite:
t t
0a }{se
}{sm
0}{ aa ! seRegione di convergenza
Propriet della L-trasformata
> @ )()()()( : LINEARITA' 22112211 sFcsFctfctfcL
> @
a
sFaatfL1)( :SCALING
UNICIT: se f1 e f2 hanno la stessa L-trasformata, allora deve essere f1=f2 per t>0
)()( sFtf
)0()0()()(
:2 ORDINE DIDERIVATA
22
2
dtdfsfsFsdt
tfdL
Propriet delle L-trasformata
)0(...)0()0()()(
:SUPERIOREORDINE DIDERIVATA
1
121
k
kkkk
k
k
dtfd
dtdfsfssFsdt
tfdL
ssFf(t)dtL
t )( :INTEGRALE0
)0()()( :DERIVATA
fssFdt
tdfL
> @ )()( :TEMPO NEL ETRASLAZIONDELLA TEOREMA
sFetfL s WW
:FINALE VALOREDELTEOREMA
)(lim0
ssF)f(so
f
> @)( lim)0( :INIZIALE VALORE DELTEOREMA
ssFfs fo
Proprieta Delle L-trasformate
L-Trasformata: esempi :e'di atrasformat-L la ,0 0)(con f(t) per ttff(t):Sia d
s=+j [s-1] frequenza complessa
N.B. Si utilizza 0- per essere certi di includere qualunque discontinuit in t=0
ESEMPI:
! 00
01)()( 1 t
tttf G 1
t
-1(t)
GRADINO UNITARIO
> @ f
0
)()()( dtetftfLsF st
sssedtetLs
stst 1101)]([)(
0011
ff
GG
> @> @
> @ > @ 122
1
0
)(1
0
)(
0
)(
01
)(!
)(!
)()1(
00
)(
f
ff f
nat
natn
atntsan
tsantsanstatnatn
asneL
asnetL
asnn
etLasndtetsa
n
saetdtetdteettetL G
Per a>0
b
a
b
axgxfagafbgbfxgxf )()(')(')()()()(')(
> @ asesadtedteeteL tsatasstatat f
f f
11 )(
0
)(
0
)(
01G
)(tG
Ingresso impulsivo Le L-trasformate permettono anche lo studio di segnali non rappresentabili da funzioni nel senso classico del termine. Si tratta in tal caso di distribuzioni Esempio: Impulso di Dirac
1
a
1 a 0 )(1 tG
1/a
a
)(1 taG
)(taG dtd
dtd
)(tGa 0
adtta f
1)(0
G
> @
> @ > @ 1lim1lim)(lim)(
11111)(
000
o
oo
sse
asetLtL
aseesasatL
as
a
as
aaa
asas
a
GG
G
> @)()(1)( 11 attata GGG
!
f
f
0T 1 )(
0T 0 )()(
perdtt
perdttt T
T
G
GG
)(tG
IMPULSO UNITARIO
117
Funzione del tempo Trasformata
Trasformate Notevoli Le Trasformate e le Anti-Trasformate si calcolano mediante le funzioni notevoli
( (
(
( ( ( (
( ( ( ( ( ( 221
221
221
221
11
1
1
cos
sin
cos
sin
)(!
1
)(
11
ZGZ
ZZGZ
ZGZ
ZZGZ
GG
GG
asastte
astte
sstt
stt
asn
astette
stt
at
at
natn
at
118
01
01)()()(
asasacscsc
sDsNsF n
n
ww
Anti-trasformazione di funzioni razionali
N(s) e D(s), polinomi primi fra loro
f o
)(lim0
sFss
Prende il nome di polo della funzione F(s) il valore di s per il quale ha:
9Le radici del polinomio D(s) sono poli della funzione 9Se s0 radice multipla di D(s) per r volte: S0 un polo di molteplicit r
f !fo
)(lim : se sFnws
F(s) ha un polo allinfinito di molteplicit r=w-n
(
( ( tktkkkkskskskLrdt
tdsL
sDsRksksksksD
sRsQsDsNsF
rr
rr
rr
rr
r
rrrr
rr
rr
GGGG
GGG
01
11
1011
11
1
011
1
.......]...[
impulsodell' ordine di derivata ; dove ][
)()(...
)()()(
)()()(
Anti-trasformazione di funzioni razionali
1. Scomporre F(s) in termini semplici mediante lo sviluppo in frazioni parziali
2. Determinare lantitrasformata di ciascun termine Se F(s) impropria (w>n), applicare prima la divisione dei polinomi
Per calcolare lAnti-Trasformata dobbiamo scomporre la funzione di s in una somma di funzioni di cui conosciamo la trasformata
Scomposizione in frazioni parziali Ad R(s)/D(s) si applica La scomposizione in frazioni parziali
nmasasabsbsb
sDsRsG n
n
mm
con
)()()(
01
01
Caso 1. Poli semplici: pipj se ij
)()()()()( :allora
1
1
1 n
n
n psR
psR
pspssR
D(s)R(s)
Ri residuo del polo i-esimo
complessa frequenza della dominio nel )( arappresent )(frequenza della dominio nel )( arappresent )(
tvstvj
VV Z
)()(.....
)()()()()()( a)
1
01
1
1221
n
mm
nnnn
pspsbsbsb
pspspspsRpspsR
)()()(lim b) SD
SRpsR ipsi i o
( teRpsRL tpi
i
i i1
1
)(
GAntitrasformata:
Calcolo dei Residui
Uguagliando i coefficienti di s in termini di Ri a quelli in termini di bi si ottengono n equazioni nei n residui incogniti.
Poli reali
iiiiii jpjp ZVZV * ;
(
( ( ttReteeR
teeRps
eps
eRL
iiittjttjt
i
jtpjtpi
i
j
i
ji
iiiiiii
ii
11)()(
1*1
)cos(22
2
*
GMZG
G
VMZVMZV
MMMM
Poli complessi I poli complessi sono presenti in coppie coniugate
**
*
i
j
i
ji
ii
ii
pse
pseR
psR
psR ii
MM
Antitrasformata:
i
i
iiii
iiii
RjvuRRjvuR
M
M
j-*
j
e
e
I residui corrispondenti saranno complessi in coppie coniugare
)()()(2)(
)()()(lim
1 jiipsi pspspImj
SRsDSRpsR
i
o
k
jj
rk
r nrpspsD(s) k1
1 con )()( 1
Caso 2. Poli multipli: su n poli k sono distinti
!1
1-,.......,0 che dimostra Si
)(
.......)(
)()()(
)(
,
,1,
11
,1,0
j
j
j
jjj
ps
rji
i
ji
j
j
jrir
j
jik
jr
j
jr
j
j
G(s))p(sdsd
iR
ri
psR
psR
psR
psR
sDsR
Indichiamo con rj la molteplicit del generico polo pj
124
)()!1()(
11,,1 tetir
RpsRL tpir
jji
irj
ji jjj
G
Poli reali
( )(cos)!1(
2
)()( 1,1,
*
*,,1 ttetir
Rps
Rps
RL jijtirj
jiir
j
jiir
j
ji jjjj
GMZV
Poli complessi
Antitrasformata:
jijijijijijijiji
jjjjjj
RRRjvuRi-esimo
jpjp
,, j-,
*,
j,,,,
j
*
e ; e
:p polo del residuo
;
MM
ZVZV
Antitrasformata:
La trasformata di Laplace consente di trasformare le equazioni differenziali in equazioni algebriche semplificando lanalisi dei circuiti dinamici lineari. l metodo della trasformata di Laplace generalizza il metodo dei fasori: anzich calcolare la risposta permanente ad ingressi sinusoidali, con la trasformata di Laplace possiamo ricavare la risposta completa ad una classe di ingressi molto pi generale che oltre alle sinusoidi include il gradino, la rampa, lesponenziale e gli impulsi. Come nel caso dei fasori si ottiene un circuito simbolico descritto da equazioni algebriche nella variabile di Laplace s al quale possono essere applicate le tecniche viste per i circuiti resistivi.
ANALISI CIRCUITALE
Lunicit tra f(t) e F(s) permette di risolvere vari problemi in questo modo:
Soluzione nel dominio di s
Risoluzione delle equazioni algebriche
Trasformazione nel dominio del tempo
Descrizione del circuito nel dominio del tempo in termini
di equazioni differenziali
Soluzione nel dominio del tempo
Descrizione del circuito nel dominio di s in termini di
equazioni algebriche
Dominio del tempo Dominio di s Trasformazione nel dominio di s
Risoluzione delle equazioni
differenziali
IPOTESI:
I calcoli sono effettuati nellambito della teoria delle distribuzioni in modo da includere leventuale presenza di distribuzioni singolari nellorigine Tutte le F(s) possono essere anti-trasformate Si possono scrivere le equazioni topologiche (LKV e LKC) e dei componenti nel dominio di s
128
)()()()()()()()(
sVGsItvGtisIRsVtiRtv
Resistore
EQUAZIONI DEI COMPONENTI
A(s)
(b)
a(t)
I(s)
V(s)
(b)
EQUAZIONI DEI COMPONENTI
Generatore Indipendente di tensione
Hp: v(t) L-trasformabile
Generatore Indipendente di corrente
Hp: a(t) L-trasformabile
u(t)
i(t)
U(s)
I(s)
(a) (b)
Generatore di tensione pilotato in corrente
)()()()( sIsUtitu JJ
a(t) v(t) A(s) V(s)
Generatore di corrente pilotato in tensione
)()()()( sVsAtvta GG
EQUAZIONI DEI COMPONENTI
a(t)
i(t)
A(s)
I(s)
(a) (b)
Generatore di corrente pilotato in corrente
)()()()( sIsAtita aa
u(t) v(t) U(s) V(s)
Generatore di tensione pilotato in tensione
)()()()( sVgsUtvtu b
EQUAZIONI DEI COMPONENTI
Trasformatore ideale
)(1)(
)()(
21
21
tintitvntv
)(1)(
)()(
21
21
sInsIsVnsV
n:1
v1(t) v2(t)
i1(t) i2(t)
n:1
V1(s) V2(s)
I1(s) I2(s)
133
STATO INIZIALE NON NULLO (dominio del tempo)
v i
0)0( 0 z VvdtdvCi
0'0)0('
'
Vvvv
dtdvCi
i
v
v
i I0
0'0)0('
'
Iiii
dtdiLv
0)0( 0 z IidtdiLv
v
v0
i
v
i
0tt 0tt
L
L
Condensatore
0)0(
)(
VvdtdvCti
sV
sCsIsV 0)()( 0)()( VCsVsCsI
Z(s)= V(s)/I(s)= 1/sC (stato zero)
Y(s)=I(s)/V(s)=sC (stato zero)
+
Induttore
0)0(
)(
IidtdiLtv s
IsL
sVsI 0)()( 0)()( ILsIsLsV Z(s)= V(s)/I(s)= sL (stato zero) Y(s)=I(s)/V(s)=1/sL
(stato zero)
+
Induttori mutuamente accoppiati
z
z
2022
21
2
10121
11
00)(
00)(
I)( idtdiLdt
diMtv
I)( idtdiMdt
diLtvv2(t)
102022212
201012111
)()()()()()(
MIILsIsLssMIsVMIILssMIsIsLsV
V1(s) V2(s)
I1(s) I2(s)
L1
M
L2
L2 I20 M I10 M I20 L1 I10
v1(t)
i1(t) i2(t)
L1
M
L2
EQUAZIONI TOPOLOGICHE AI TAGLI FONDAMENTALI
ALLE MAGLIE FONDAMENTALI
0)(0)( sIti
0)(0)( sVtv
Z(s)I(s)V(s)
LEGGE DI OHM SIMBOLICA
Nello stato zero
4:
v(s)
i(s) ESEMPIO
Vv 2)0(
A )(3)(2
3)(3)()2(
)(8)(412
2)(8)(414
12 teti
ssIsIsssIsIs
sssIsIs
t
G
t
t
diti
divti
0
0
)(8)(412
)(8)0()(414
WW
WW
4:
1/8F
v(t)
14G1(W
i(t)
s14
s8
sV )0(
Se lo dovessimo risolvere nel dominio de tempo:
+
ESEMPIO
2121
521)(
)(5)(2)(1
*1
12 jp
jpsssI
ssIsIsIss
2:
1H
G 1(W
i(t)
0)0(;0)0( vi
( ( > @ teteeeeetips
eps
esI
RM
ejjjsR
tttjjtjj
jj
jjs
2sin21
22cos
21
41)(
41)(
2
21
4122
41
41
41
211lim
212/212/
*1
2/
1
2/
1
2/
211
o
S
SM
SS
SS
S
1/5F
v(t)
Poli complessi
2
i(s)
v(s)
s5
s
s1
140
Sistemi Trifase
Sistemi polifase
141
r
r
mmtsenAta
mitsenAta
tsenAta
m
i
SaZ
SaZ
aZ
2)1( 2)(
2)1( 2)(
)( 2)(1
Sistema polifase simmetrico: m grandezze sinusoidali sfasate tra di loro di un angolo pari a r 2S/m e con uguale valore efficace e uguale pulsazione.
Se il segno sistema diretto, se + sistema inverso
Rappresentazione fasoriale
in ogni istante nulla la somma dei valori istantanei
mS2
142
per m=3 Sistemi Trifase
)3
4cos(2)(
)3
2cos(2)(
cos2)(
3
2
1
SZ
SZ
Z
#
#
tAta
tAta
tAta
Diagramma delle fasi
Sistema diretto: Verso orario sequenza dei ritardi Sistema inverso: Verso antiorario sequenza degli anticipi
Sistemi trifase
1A
3A
2A
1A
2
A
3
A
Sistema Diretto Sistema inverso
143
Stella
Triangolo
Dal punto di vista elettrico un generatore trifase simmetrico equivalente a 3 generatori monofase, collegati a stella o a triangolo, che producono una tensione di pari modulo ma fase diversa.
+
+
+
1
2
3
O
n
1
2 3
2
O 3E1E
2E
31E 12E
1
2 3
1
1 2
2 3
3 +
+
+
23E
144
Sistemi trifase Un sistema trifase si definisce 9 simmetrico se
0321 EEE9 equilibrato se
0321 III3I
2I
1I
1E
3E2E
2E1E
3E
2I
3I 1I
145
Sistemi trifase
------ Connessione dei centri stella O del generatore e O dellutilizzatore con filo neutro
1
2
3
O O
1E
2E
3E
+
+
+
1I
3I
2I12U
23U
31UZ
Z
Z
1J
3J
2J
Sequenza diretta
fase di correnti J
linea di correnti I
econcatenat tensionio linea di tensioneU
fase di tensioniE
1E
2E
3E
146
Carico equilibrato collegato a stella
ZEJIZ
EJIZEJI
333
222
111 ;;
1E
2E
3E12U
23U
31U
30
30
30
1E
2E
3E
1I
3I
2I
EU 3
Le correnti coincidono con quelle di fase e costituiscono una terna simmetrica.
iI
q q
q qq
21030240
903240120
3031200
1331
3223
2112
EEEEEUEEEEEU
EEEEEU
0321 III
Ricavo le tensioni di linea:
O
O
2I
M ZZ3 impedenze uguali
La terna delle tensioni di linea in anticipo di 30 rispetto a quelle di fase
1
3
1I
3I2
O
Z
3E
1E2E
Z Z
2I
147
1
2 3
q qq q q
q
)270(3)120()240(
)150(3)120(
)30(3)240(
23313
12232
31121
MMMMMM
MMM
JJJJJIJJJJJI
JJJJJI
JI 3
La terna delle correnti di fase anchessa una terna simmetrica:
Z
Z
Z
1I
2I
3I 12U
23U
31U
12J
31J
23J
3I
2I
1I
12J
31J
23J
30
30
30
0312312 JJJ
31J
12J
23J
ZU
ZEJZ
UZEJZ
UZEJ
31331
23223
12112 ; ;
ijJ
Le correnti di linea:
M ZZ
carico equilibrato collegato a triangolo
La terna delle correnti di linea in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase
12U
23U
La terna delle tensioni di fase coincide con quella di linea
31U
148
Poich sia il generatore trifase che carico trifase possono essere collegati a stella oppure a triangolo, si hanno 4 possibili configurazioni:
1. Collegamento Y-Y (generatore a stella-carico a stella) 2. Collegamento Y- (generatore a stella- carico a triangolo) 3. Collegamento - (generatore a triangolo-carico a triangolo) 4. Collegamento -Y (generatore a triangolo-carico a stella)
Le configurazione pi comune per il generatore quella a stella, mentre per il carico a triangolo.
Configurazioni bilanciate
149
1. Collegamento Y-Y bilanciato
2
O
Z
1I
2I
3I
3E
1E2E
Z Z2
O 3E1E
2E
1 1
3 3
La tensioni di fase del generatore tensione di fase del carico Le correnti di linea la correnti di fase del carico
2J3J
ZEJIZ
EJIZEJI
333
222
111 ;; 1E
2E
3E
12U
23U
31U
1I
3I
2I
2. L a terna delle tensioni di linea in anticipo di 30 rispetto a quelle di fase
1.
EU 3
Il filo di neutro pu essere omesso
150
Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. Il circuito trifase Y-Y bilanciato pu essere considerato come 3 circuiti monofasi uguali ma sfasati di 120 luno rispetto allaltro, dunque si prende in considerazione una sola fase, e si analizza il circuito equivalente monofase
1E 1I
YZ
Si ricava la I1 Nota la sequenza delle fasi possibile ricavare la
I2 la I3
YZEI
11
1
o
151
2. Collegamento Y- bilanciato
Le tensione di fase del carico la tensioni di linea
3I
2
O 3E1E
2E31J
12J
23J
12U
23U
31U
2
1I
2I2
1 1
3 3
ZUJZ
UJZUJ
3131
2323
1212 ; ; 12U
23U
31U
12J
31J
32J
1I
2I
3I
JI 33. La terna delle correnti di linea in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase
EU 31. La terna delle tensioni di linea in anticipo di 30 rispetto a quelle di fase
2.
Il neutro non pu essere distribuito
152
Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. si trasforma il carico nellequivalente a stella , e si analizza il circuito equivalente monofase
1E 1I
3'Z
Si ricava la corrente di linea I1, nota la sequenza delle fasi si ricava la I2 la I3, da queste possono essere ricavate le correnti di fase.
3
11
' Z
EI
153
3. Collegamento - bilanciato
Le tensioni di fase del generatore Le tensioni di linea Le tensioni di linea le tensioni di fase del carico
31J
12J
23J
12U
23U
31U31U 12U
23U
2
1I
2I2
1 1
3 3
3I
ZUJZ
UJZUJ
3131
2323
1212 ; ; 12U
23U
31U
12J
31J
32J
1I
2I
3I
JI 32. La terna delle correnti di linea in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase
1.
Il neutro non pu essere distribuito
154
Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. Si trasformano sia i generatori che il carico nellequivalente a stella, e si analizza il circuito equivalente monofase
1E2E3E
12U
23U
31U30
312
1 UE 1
I3
'Z
Si ricava la corrente di linea I1, nota la sequenza delle fasi si ricava la I2 la I3, e da queste possono essere ricavate le correnti di fase.
3
3121
' Z
UI
Collegamento -Y bilanciato
Le tensioni di fase del generatore Le tensioni di linea Le correnti di linea le correnti di fase del carico
O
Z
2I
3E1E
2EZ Z
31U 13U
23U
2
1I
2
1 1
3 3
3I
1E2E
3E
12U
23U
31U
1I
3I
2I
30
30
30
ZEJIZ
EJIZEJI
333
222
111 ;; 2.
3UE 1. La terna delle tensioni di fase in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase
Il neutro non pu essere distribuito
156 156
Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. Si trasformano i generatori nellequivalente a stella, e si analizza il circuito equivalente monofase
30312 U 1I
YZ
YZUI
3121
Si ricava la I1, nota la sequenza delle fasi possibile ricavare la I2 la I3
157
Potenza in un sistema trifase bilanciato
*
22*
S
sin
cos
ZE
JZJEjQP
JESJEQJEP
MM
Per il sistema trifase
*
22*
321
321
321
33 3)( 3
33
sin 33
cos 33
ZE
JZJEjQPjQPS
JESSSSSJEQQQQQ
JEPPPPP
TT
T
T
T
MM
Per una singola fase
Data una qualunque configurazione bilanciata possiamo sempre ricondurci al suo equivalente Y-Y e perci considerare il sistema trifase come costituito da tre circuiti monofase disposti a 120 luno rispetto allaltro.
Potenza in un sistema trifase bilanciato
158
MM
MM
sin 3 ;cos 3 J 3
sin 3 ;cos 3 J
3
IUQIUPI
EU
IUQIUPI
EU
TT
TT
Se usiamo le grandezze di linea al posto di quelle di fase
Collegamento Y
Collegamento
MM
IUJEjQPSIUS
TT 3 3
3
Triangolo dellimpedenza di carico della singola fase M ZZ
R
X
159
Sistemi trifase
160
CARICHI SQUILIBRATI La presenza di carichi non trifase puo introdurre uno squilibrio nelle correnti. Es. Utilizzatori monofase come quelli domestici I guasti possono introdurre squilibrio nelle correnti Fra fase e fase Guasti: Fra fase e neutro (Terra) Fra fase-fase e neutro (Terra) Il caso dei guasti il pi importante perch coinvolge grandi potenze Lo squilibrio dovuto ai carichi monofase, almeno nelle grandi reti, pu essere compensato
SQUILIBRIO DOVUTO A CARICHI MONOFASE Tra centro stella del carico e centro stella del generatore viene persa la equipotenzialit. Si verifica uno spostamento del centro stella
161
METODO DELLO SPOSTAMENTO DEL CENTRO STELLA 1
I
2I
3I
o o
1E
2E
3E
1
2
3 321
3
3
2
2
1
1
' 111ZZZ
ZE
ZE
ZE
V oo
Teorema di Millmann
da cui: 3
'33
2
'22
1
'11 ;; Z
VEIZ
VEIZ
VEI oooooo
Se le tensioni di alimentazione sono simmetriche, il diagramma fasoriale e:
Il centro stella del carico O spostato rispetto al centro stella O del generatore
E3
E2
E1 o Voo
o E1
E3
E2 U12
U31 U23
'1E
'2E
'3E
162
nei casi di sistemi Y, Y, o il metodo dello spostamento del centro stella non utilizzabile o troppo oneroso. Si pu allora fare ricorso ai metodi di analisi e teoremi dei circuiti monofase (metodo delle correnti cicliche o dei potenziali nodali, etc)
Esempio: sistema dissimetrico e squilibrato
Calcolate le correnti di maglia per risalire alle correnti di fase e di linea
163
POTENZE NEI SISTEMI TRIFASE squilibrati
NEUTRO ACCESSIBILE 1
2
3
N
1I
2I
3I Potenza istantanea
Nel dominio della frequenza
)( 332211 ieieietp
321 Niiii
22
333222111
333222111
sinsinsincoscoscos
TTTTT
T
T
QPSjQPSIEIEIEQIEIEIEP
MMMMMM
NI
Prendo il filo di neutro come riferimento
164
POTENZE NEI SISTEMI TRIFASE squilibrati
NEUTRO NON ACCESSIBILE 1
2
3
2I
3I
Potenza istantanea
Nel dominio della frequenza
332211223113)( ieieieivivtp
)cos()cos( 223223113113 IVIVIVIVP )sin()sin( 223223113113 IVIVIVIVQ
0321 iii
13V
23V
1I
3223
3113eeveev
Si prende una delle fasi come riferimento
165
RIFASAMENTO DEI CARICHI TRIFASE
Carico
Batteria di condensatori
P: potenza attiva prima del rifasamento. P: potenza attiva dopo il rifasamento.
MM cos'cos !
' tanP- tan'
'
MMPQQQQ
PP
C
C
166
Collegamento dei condensatori a stella
Carico
CY
V
Collegamento dei condensatori a triangolo
Carico
C'
V
2
2 2 2
) ' tan (tan 3
3 3
V P C
V C V C X E Q
Y
Y Y Y
CY
M M
Y
C
C C
V P C
V C X V Q
3 1
3 ) ' tan (tan
3 3
2
2 2
'
'
' '
M M
167
Circuiti Magnetici
168
Teorema della Circuitazione
INd "
lH (Amper-spire)
Per un osservatore disposto di fronte al piano di una spira, il verso positivo dellasse (coincidente con quello del campo H) quello diretto dal piano della spira verso di lui se il verso positivo sul filo (coincidente con quello della corrente I) quello antiorario, quello opposto in caso contrario
REGOLA DI MAXWELL
169
FLUSSO DI INDUZIONE
sdB
) S dsBapplicando l'integrale ad una superficie chiusa:
0 s dsB Legge di Gauss
Diverse superfici che hanno lo stesso contorno, hanno lo stesso flusso concatenato
Si usa la regola di Maxwell per orientare il flusso concatenato in relazione al bordo della superficie: Se la superficie s quella delimitata dal perimetro di una spira, per un osservatore disposto di fronte al piano che contiene il bordo della superfice, il verso positivo dellasse (coincidente con quello di ) quello diretto dal piano verso di lui se il verso positivo sul bordo (coincidente con quello della corrente I che attraversa la spira) quello antiorario, quello opposto in caso contrario.
170
IPOTESI SUI MEZZI MATERIALI
Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari: J conduttivit [ S / m ] H permettivit [ F / m ] m permeabilit [ H / m ]
EQUAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO:
D = H E B = m H COSTANTI UNIVERSALI:
Velocit della luce nel vuoto c # 3108 m / s Permeabilit del vuoto m0 = 4S 10-7 H / m Permettivit del vuoto H0 = 1/(36S 10-9 F / m
sm
4587922991
00
Hmc
CONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI
Propriet dei materiali
171
In base al comportamento magnetico i mezzi si distinguono in : Diamagnetici r1 Ferromagnetici r>>1
O anche
Amagnetici r 1 (Paramagnetici, Diamagnetici )
Magnetici r>>1 (Ferromagnetici)
0mmm r
172
m r funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro B = f (H) NON LINEARE
SATURAZIONE
HC
-Br
Br
-HC
B
H Hmax -Hmax
tan-1m0
HC: forza coercitiva Br: induzione residua
Materiali ferromagnetici
173
Legge Hopkinson
)
)
"
"
"
"
INSdl
INdlS
IN
IN
m
m
m dlB
dlH(L. Ampre)
Gm = 1/R m = Permeanza magnetica
N
I
Legge Hopkinson
Riluttanza magnetica
INm ) R
"
" Sdl
mmR
S
B = m H
S costante
LKC magnetica
174
1
3
2 0
0
)
S
S
k Kk kk SBsdB
sdB
0 )k K
LKC magnetica: La somma dei flussi entranti in un nodo nulla
Dalla legge di Gauss:
I punti di connessione dei lati del circuito magnetico sono i nodi
N1 N2 1I 2I
1)
Circuiti magnetici
175
)
)) )
eequivalent elettrico circuito del soluzione
maghetico circuito del riluttanza
2211
21
ININ
no HopkinsoapplichiamS
l
TOTm
mm
TOT
R
R m
HP:
1. Non ci sono flussi dispersi 2. B e H sono costanti in tratti uniformi
(stessa sezione e stesso materiale) 3. Il materiale del nucleo lineare 4. La lunghezza dellintero nucleo
coincide con la sua lunghezza media lm
N1I1
TOT
N2I2
R m
+
+
Circuito elettrico equivalente
ml2)
Circuiti magnetici
176
Si dice circuito magnetico una connessione di lati formati da: 1. Elementi magneticamente passivi, formati da tratti di lunghezza Li e
sezione Si, di permeabilit i. Questi hanno un circuito elettrico equivalente formato da una riluttanza R i
2. Elementi magneticamente attivi formati da tratti di lunghezza Lk, sezione Sk e permeabilit k, su cui presente un avvolgimento di Nk spire percorso da una corrente Ik. Il circuito elettrico equivalente composto da una riluttanza R k e da un generatore di f.m.m=NI
)N I
N I
)
R m
NI
R m
NI
R m
SL
rm
0mm
R
+
+
L
S
LKT magnetica
177
ABAB
M
iii
N
kkk
ABv
l
IN
)
)
R
R
: trattosul B eA tramagnetica c.d.t. definita Viene
attivi entemagneticam ElementiMpassivi entemagneticam trattiN
Hopkinson di leggeper
11
LKT magnetica: la somma algebrica delle c.d.t.
magnetiche lungo un percorso chiuso pari alla somma algebrica delle f.m.m.
i iik k INvIn generale:
1
4 3
2
NI
v12
v41
v34
v23
)I
L2
L1
N
R AB AB A B
vAB
)
INvvvv 41342312 figurain magnetico circuito al oriferimentIn
178
ANALOGIA Magnetto-Elettrica CIRCUITI MAGNETICI CIRCUITI ELETTRICI
F.M.M. (f )
PERMEANZA Gm
RILUTTANZA R m
FLUSSO )
vm = R m )
S) 0
SNI = SR m )
F.E.M. (E)
CONDUTTANZA G
RESISTENZA R
CORRENTE I
U = RI
SI = 0
SV = S RI
179
IL TRASFORMATORE
180
) Flusso Principale )d1 Flusso Disperso in una spira primaria )d2 Flusso Disperso in una spira secondaria
CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI
L1 L2
i1 i2
v1 v2 M
dtdiLdt
diMvdtdiMdt
diLv2
21
2
2111
2d)1d)
)
N1 N2 1I 2I
( ( (
) )
)
2222
1111
2211
ININ
ININ
dddd
m
GG
G Gm permeanza del circuito magnetico Gd1 permeanza costante (percorso in aria) Gd2 permeanza costante (percorso in aria)
)( oppure ININ ) ) mm GRlegge di Hopkinson
181
) )
112222
221111
)()(
ININININ
mdm
mdm
GGGGGG
) )
121222
12
221112
11
)()(
INNININNIN
mdmc
mdmc
GGGG
GG
)) ))) )
22
11
d
d
)) ))) )
2222
1111
dc
dc
NNNN
)1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria )2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria
)c1 Flusso Concatenato con lAvvolgimento Primario )c2 Flusso Concatenato con lAvvolgimento Secondario
CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI
182
) )
1222
2111
IMILIMIL
c
c
Se siamo in condizioni dinamiche:
) )
dtdiMdt
diLdtd
dtdiMdt
diLdtd
c
c
122
2
211
1
dtdiMdt
diLvdtdiMdt
diLv12
22
2111
( (
mmd
md
NNMNLNL
GGG
GG
21
2222
1211 Induttanza propria del circuito 1
Induttanza propria del circuito 2 Mutua induttanza
poniamo:
183
Circuito Equivalente
zionemagnetizza di indutanza
secondaria edispersion di indutanza
primaria edispersion di indutanza Ponendo
21
2222
112
1
mm
dmd
dmd
LNLNLN
G
G
G
2d)1d)
)
N1 N2 1I 2I (
(
22221212
221112
11
ININNINNIN
mmdmC
mmmdC
GGGGGG
1 d L 2 d L
m L n:1
1V
1I 2I Hp: Ferro Ideale
Rame Ideale
rapporto spire 2
1
2 1
2 2
2 2
2 1 1 1 1
1 2
1 2
1
2
2
1 2 2
2
1 2 2
1
2
2
1
2
1 2
2
1
2 1
2 1 1 1 1
N N n
n I I L n
I L n n
I I L I L
I N N I N
N N N N N
N I L N N
N N
N N
N N
I N N I L I L
m d C
m d C
m d C
m d C
G
n
184
N dove
2
1
2
11
2
12
22222
21
21
21111
u
nNNNIN
NINIL
INNINIL
mdC
mdC
G
G
185
grandezze secondarie riferite al primario
DOPPIO BIPOLO EQUIVALENTE
1 c ) 2 c n ) 2 c n )
n I 2
2 2
d L n n I 2 1 I
1 d L 2 2
d L n m L
n I I 2 1
nII
VnV2'
2
2'
2
CIRCUITO EQUIVALENTE
1V
'2I
n:1
1 d L
m L 2V'2V
2I22
dLn1I
186
TRASFORMAZIONE DELLE IMPEDENZE
n:1
Unimpedenza applicata ai morsetti secondari di un trasformatore ideale puo essere sostituita da unimpedenza ai morsetti primari senza che il funzionamento complessivo venga alterato, e viceversa. Riassumendo per portare una grandezza secondaria al primario:
2n
per portare una grandezza primaria al secondario:
2 I 2 V
1 I
1 V ' 2 2 2
1
1 2
1
1
2
2 2
1
1 1
Z n
Z
I V
n I n n V
I V Z
2 Z 2
2 ' 2 Z n Z
2 2 '
2 2 '
2 2 '
2 : ; ; Z n Z n I I V n V Impedenza : Corrente : Tensione
1 2 " 1 1
" 1 1
" 1
1 : ; ; 1 Z n
Z I n I V n V Impedenza : Corrente : Tensione
187
1 V 1 E
m I )
2 E
Trasformatore
) o)
)
) o)
)
2222
1111
f.e.m una secondario toavvolgimennell' induce
primaria f.e.m
f.e.m una primario toavvolgimennell' induce
NEdtdNe
NEdtdNe
M
M
Z
Z
Trasformatore ideale a vuoto
mIN 1 R
) v1 e2
i1
e1
2
1
2
1
2
1NN
EE
VV
2V
188
Trasformatore Trasformatore ideale sotto carico
'11
2
1
2'1
III
INNI
m
) v1 e2
i1
e1
i2
v2 m I
)
'1I1E
1I
2V
'1122 ININ
2I
22IN
'11IN
2E
1V
189
Hp: Ferro Ideale
Rame Ideale
Pfe=0 accoppiamento perfetto
Pcu=0
Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene rimuovendo le ipotesi di ferro ideale e di rame ideale
f o m
Circuito equivalente trasformatore ideale 1 d L 2 2 d L n
m L
n:1
1V 1E 2E 2V
190
9R1: resistenza equivalente dellavvolgimento primario 9R2=n2R2 con R2 resistenza dellavvolgimento secondario 9Xd1=YLd1 con Ld1 induttanza di dispersione primaria 9Xd2=n2 Xd2 ; Xd2=YLd2 con Ld2 induttanza di dispersione secondaria 9G: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro) 9B=1/Xm; Xm=j YLm con Lm induttanza di magnetizzazione 9I0: corrente a vuoto 9Im: corrente magnetizzante 9E2=nE2
1 I 1 d X 1 R 2 ' d X 2 ' R 2 ' I
1 E G f I m I 0 I
' 2 E B ' 2 -V
2 I
2 -V 1 V
Trasformatore Reale
191
FUNZIONAMENTO A CARICO DEL TRASFORMATORE REALE
Note:
1 1 I jX d
1 V 1 1 I R
1 E 1 I ' 2 I
f I 0 I m I
) ' 2 I ' 2 V
2 E ' 2
' 2 I R
' 2
' 2 I jX d
2 2 ; I V
' 2 0 1
1 1 1 1 1
1 0
2 ' 2 1
' 2
' 2
' 2
' 2
' 2
) ( ) (
) (
I I I I jX R E V
E jB G I I I E n E E
I jX R V E
d
f m
d
1 I 1 d X 1 R 2 ' I
1 E G f I m I
' 2 E B
2 I
1 V
'2dX '2R0I
'2V '2V