DISKRETNA MATEMATIKA

Jovanka Pantovic

April 16, 2019 1 / 20

Generatorne funkcije nizova

(a0, a1, a2, . . .)︸ ︷︷ ︸brojni niz

↔ a0 + a1z + z2z2 + . . .︸ ︷︷ ︸

formalni stepeni red

Definicija

Generatorna funkcija brojnog niza {an} jeste stepeni red

A(z) =∑n≥0

anzn

A(z) - zatvorena forma generatorne funkcije

April 16, 2019 2 / 20

Generatorne funkcije nizova

Formalni stepeni red:konvergencija reda nije relevantnavažne su operacije - sabiranje, množenje, izvodi, integrali

April 16, 2019 3 / 20

Generatorne funkcije nizova

brojni niz generatorna funkcija(0, 0, 0, . . .) 0

(1, 0, 0, . . .) 1

(3, 2, 1, 0, . . .) 3 + 2z + z2

(1, 1, 1, . . .) 1 + z + z2 + . . .

(1,−1, 1,−1 . . .) 1− z + z2 − z3 + . . .

April 16, 2019 4 / 20

Zatvorena forma generatorne funkcije

(1, 1, 1, . . .)

(1− z)(1 + z + z2 + . . .) = 1 +z +z2 +z3 + . . .−z −z2 −z3 − . . .

(1− z)(1 + z + z2 + . . .) = 1

1 + z + z2 + . . . = 11−z

KONVERGENCIJA NIJE BITNA!!!

April 16, 2019 5 / 20

Operacije nad generatornim funkcijama

(a0, a1, a2, . . .)↔ A(z) (b0, b1, b2, . . .)↔ B(z).

skaliranje(ca0, ca1, ca2, . . .)↔ cA(z)

sabiranje

(a0, a1, a2, . . .) + (b0, b1, b2, . . .) = A(z) +B(z)

desno pomeranje

(0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸k

, a0, a1, . . .) = zkA(z)

April 16, 2019 6 / 20

Operacije nad generatornim funkcijama

PrimerNapisati zatvorenu formu generatorne funkcije niza:

(0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸k

, 1, 1, 1, . . .)

(1, 2, 22, 23, . . .)

zk + zk+1 + . . . =∑n≥k

zn = zk

1−z

1 + 2z + (2z)2 + (2z)3 + . . . = 11−2z

April 16, 2019 7 / 20

Operacije nad generatornim funkcijama

(a0, a1, a2, . . .)↔ A(z) (b0, b1, b2, . . .)↔ B(z).

množenje

A(z) ·B(z) =∑n≥0

( n∑j=0

ajbn−j)zn

Primer

1

(1− z)2=

1

1− z· 1

1− z=∑n≥0

zn ·∑n≥0

zn

=∑n≥0

n∑j=0

1 · 1

zn =∑n≥0

(n+ 1)zn

April 16, 2019 8 / 20

Rešavanje rekurentnih relacija

Primer

h0 = 0 h1 = 1 hn = 2hn−1 + 1, n ≥ 1

Neka je H(z) =∑n≥0

hnzn.

∑n≥1

hnzn = 2

∑n≥1

hn−1zn +

∑n≥1

zn ⇔ (H(z)− h0) = 2zH(z) +∑n≥1

zn

⇔ H(z)(1− 2z) = 11−z − 1⇔ H(z) = 1

(1−z)(1−2z) −1

1−2z

⇔ H(z) = 11−2z −

11−z ⇔ H(z) =

∑n≥0

2nzn −∑n≥0

zn

⇔ H(z) =∑n≥0

(2n − 1)zn ⇒ hn = 2n − 1

April 16, 2019 9 / 20

Izvod

Definicija

Neka je A(z) =∑n≥0

anzn generatorna funkcija niza an. Izvod, u oznaci

A′(z), definisan je sa

A′(z) =

∞∑n=1

nanzn−1

Primer

z

(1− z)2= z

(1

1− z

)′= z

∑n≥0

zn

′ = z∑n≥0

(zn)′

= z∑n≥1

nzn−1 =∑n≥1

nzn =∑n≥0

nzn

April 16, 2019 10 / 20

Izvod

Definicija

Neka je A(z) =∑n≥0

anzn generatorna funkcija niza an. Izvod, u oznaci

A′(z), definisan je sa

A′(z) =

∞∑n=1

nanzn−1

Primer

z

(1− z)2=

z

(1

1− z

)′= z

∑n≥0

zn

′ = z∑n≥0

(zn)′

= z∑n≥1

nzn−1 =∑n≥1

nzn =∑n≥0

nzn

April 16, 2019 10 / 20

Izvod

Definicija

Neka je A(z) =∑n≥0

anzn generatorna funkcija niza an. Izvod, u oznaci

A′(z), definisan je sa

A′(z) =

∞∑n=1

nanzn−1

Primer

z

(1− z)2= z

(1

1− z

)′= z

∑n≥0

zn

′ = z∑n≥0

(zn)′

= z∑n≥1

nzn−1 =∑n≥1

nzn =∑n≥0

nzn

April 16, 2019 10 / 20

Uopšteni binomni koeficijenti

DefinicijaNeka je u realan broj, a k nenegativan ceo broj. Uopšteni binomnikoeficijent

(uk

)je definisan sa(u

k

)=

{u·(u−1)·...·(u−k+1)

k! ako je k > 01 ako je k = 0.

Primer

(−nk

)=−n · (−n− 1) · (−n− 2) . . . (−n− k + 1)

k!

=(−1)kn(n+ 1) . . . (n+ k − 1)

k!=

(−1)k(n+ k − 1)!

k!(n− 1)!

= (−1)k(n+ k − 1

k

)⇒(−1k

)= (−1)k

April 16, 2019 11 / 20

Uopšteni binomni koeficijenti

DefinicijaNeka je u realan broj, a k nenegativan ceo broj. Uopšteni binomnikoeficijent

(uk

)je definisan sa(u

k

)=

{u·(u−1)·...·(u−k+1)

k! ako je k > 01 ako je k = 0.

Primer

(−nk

)=

−n · (−n− 1) · (−n− 2) . . . (−n− k + 1)

k!

=(−1)kn(n+ 1) . . . (n+ k − 1)

k!=

(−1)k(n+ k − 1)!

k!(n− 1)!

= (−1)k(n+ k − 1

k

)⇒(−1k

)= (−1)k

April 16, 2019 11 / 20

Uopšteni binomni koeficijenti

DefinicijaNeka je u realan broj, a k nenegativan ceo broj. Uopšteni binomnikoeficijent

(uk

)je definisan sa(u

k

)=

{u·(u−1)·...·(u−k+1)

k! ako je k > 01 ako je k = 0.

Primer

(−nk

)=−n · (−n− 1) · (−n− 2) . . . (−n− k + 1)

k!

=(−1)kn(n+ 1) . . . (n+ k − 1)

k!=

(−1)k(n+ k − 1)!

k!(n− 1)!

= (−1)k(n+ k − 1

k

)⇒(−1k

)= (−1)k

April 16, 2019 11 / 20

Njutnova binomna formula

TeoremaNeka je u proizvoljan realan broj. Tada je

(1 + z)u =∑n≥0

(u

n

)zn.

April 16, 2019 12 / 20

Njutnova binomna formula

Koristeci binomnu formulu, odrediti otvoren oblik generatorne funkcije,ako je njen zatvoren oblik

1

1− cz

1

1− cz= (1− cz)−1 =

∑n≥0

(−1n

)(−cz)n

=∑n≥0

(−1)n(−1)n(cz)n =∑n≥0

(cz)n

April 16, 2019 13 / 20

Njutnova binomna formula

Koristeci Njutnovu formulu, odrediti otvoren oblik generatorne funkcije,ako je njen zatvoren oblik

(1)1

(1− z)m(2)

1

(1− z)2(3)

1

(1− z)3.

(1) 1(1−z)m = (1− z)−m =

∑n≥0

(−mn

)(−z)n =

∑n≥0

(m+n−1

n

)zn

(2) 1(1−z)2 =

∑n≥0

(n+1n

)zn =

∑n≥0

(n+ 1)zn

(3) 1(1−z)3 =

∑n≥0

(n+2n

)zn =

∑n≥0

(n+22

)zn

April 16, 2019 14 / 20

Njutnova binomna formula

Koristeci Njutnovu formulu, odrediti otvoren oblik generatorne funkcije,ako je njen zatvoren oblik

(1)1

(1− z)m(2)

1

(1− z)2(3)

1

(1− z)3.

(1) 1(1−z)m = (1− z)−m =

∑n≥0

(−mn

)(−z)n =

∑n≥0

(m+n−1

n

)zn

(2) 1(1−z)2 =

∑n≥0

(n+1n

)zn =

∑n≥0

(n+ 1)zn

(3) 1(1−z)3 =

∑n≥0

(n+2n

)zn =

∑n≥0

(n+22

)zn

April 16, 2019 14 / 20

Njutnova binomna formula

Koristeci Njutnovu formulu, odrediti otvoren oblik generatorne funkcije,ako je njen zatvoren oblik

(1)1

(1− z)m(2)

1

(1− z)2(3)

1

(1− z)3.

(1) 1(1−z)m = (1− z)−m =

∑n≥0

(−mn

)(−z)n =

∑n≥0

(m+n−1

n

)zn

(2) 1(1−z)2 =

∑n≥0

(n+1n

)zn =

∑n≥0

(n+ 1)zn

(3) 1(1−z)3 =

∑n≥0

(n+2n

)zn =

∑n≥0

(n+22

)zn

April 16, 2019 14 / 20

Njutnova binomna formula

Koristeci Njutnovu formulu, odrediti otvoren oblik generatorne funkcije,ako je njen zatvoren oblik

(1)1

(1− z)m(2)

1

(1− z)2(3)

1

(1− z)3.

(1) 1(1−z)m = (1− z)−m =

∑n≥0

(−mn

)(−z)n =

∑n≥0

(m+n−1

n

)zn

(2) 1(1−z)2 =

∑n≥0

(n+1n

)zn =

∑n≥0

(n+ 1)zn

(3) 1(1−z)3 =

∑n≥0

(n+2n

)zn =

∑n≥0

(n+22

)zn

April 16, 2019 14 / 20

Zadatak1 Rešiti rekurentnu relaciju

a0 = −3 an = an−1 + n, n ≥ 1

2 Rešiti rekurentnu relaciju

a0 = 1 a1 = 9 an = 6an−1 − 9an−2, n ≥ 2.

April 16, 2019 15 / 20

ZadatakKutija sadrži 20 crvenih, 30 zelenih i 40 plavih kuglica. Koliko imarazlicitih izbora od 60 kuglica?

Traženi broj je jednak broju rešenja jednacine

i+ j + k = 60 i ∈ {0, . . . , 20}, j ∈ {0, . . . , 30}, k ∈ {0, . . . , 40}.

Ekvivalentno, taj broj je jednak koeficijentu uz z60 proizvoda

(1+z+. . .+z20)(1+z+. . .+z30)(1+z+. . .+z40) =∑

0 ≤ i ≤ 200 ≤ j ≤ 300 ≤ k ≤ 40

zi+j+k

April 16, 2019 16 / 20

1−z211−z ·

1−z311−z ·

1−z411−z

= 1(1−z)3 (1− z21)(1− z31)(1− z41)

= (1 +(32

)z +

(42

)z2 + . . .)(1− z21 − z31 − z41 + z52 + z62 + z72 − z93)

=(60+22

)−(60−21+2

2

)−(60−31+2

2

)−(60−41+2

2

)+(60−52+2

2

)= . . .

1(1−z)3 = (1− z)−3 =

∑n≥0

(−3n

)(−1)nzn =

∑n≥0

(n+22

)zn

April 16, 2019 17 / 20

ZadatakOdrediti broj nenegativnih rešenje jednacine

x1 + x2 + x3 + x4 = n, n ≥ 0.

ako su x1, x2, x3, x4 ∈ N0.

Broj nenegativnih rešenje jednacine jednak je koeficijentu an uz zn urazvoju proizvoda

(1 + z + z2 + z3 + z4 + . . .)4

Neka je A(z) =∑n≥0

anzn.

A(z) = 1(1−z)4 = 1

(1−z)4 =∑n≥0

(4+n−1

n

)zn

=∑n≥0

(n+3n

)zn.

an =

(n+ 3

n

)April 16, 2019 18 / 20

1 Napisati otvoreni oblik za 11+2z ·

11−3z

2 Koristeci Njutnovu binomnu formulu, razviti sledece zatvoreneforme u otvoren oblik

1(1 + 1

2z)−5

2 1(1−2z)4

3 Rešiti rekurentne relacije1 a0 = 1, an = 3an−1, n ≥ 1,2 a0 = 3, a1 = −12, an = −5an−1 + 36an−1, n ≥ 2

4 Koristeci generatorne funkcije, rešiti rekurentne relacije1 a0 = 1, an = 3an−1 + 7, n ≥ 1,2 a0 = 8, an = 24an−1 − 144, n ≥ 1,

April 16, 2019 19 / 20

1 Odrediti broj reci dužine n koje ne sadrže podrec 000.

2 Dat je neogranicen broj crvenih, plavih i zelenih karata. Koliko imanacina da se formira stek od n karata, tako da zelena karta nikadanije direktno postavljena na zelenu kartu?

April 16, 2019 20 / 20