Diskretna slucajna promenljiva

8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva

1/16

VISOKA ŠKOLA ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

Seminarski rad iz Verovatnoće i statistike

DISKRETNA SLUČANA !RO"ENLIVA

#eo$rad% &an'ar ()*+, $od,


2/16

SADRŽAJ

*, UVOD,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,*

(, SLUČANA !RO"ENLIVA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(

-, DISKRETNA SLUČANA !RO"ENLIVA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(

+, !RI"ERI NEKIH RAS!ODELA DISKRETNIH SLUČANIH !RO"ENLIVIH,,,,.

+,* #INO"NA RAS!ODELA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.

+,( HI!ER/EO"ETRISKA RAS!ODELA H(N, N1,n),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0

+,-, !UASONOVA RAS!ODELA% !1λ

2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3

., 4UNK5IA RAS!ODELA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,**

0, LITERATURA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,*-


3/16

„Diskretna slučajna promenljiva“

1. UVOD

Teorija verovatnoće je matematička disciplina koja se babi izučavanjem slučajnih

pojava, tj. takvih fenomena čiji ishodi nisu uvek strogo definisani. Osnovni model u teoriji

verovatnoće je eksperiment (opit) pomoću koga se u prirodi i drutvu vri proučavanje veze

izme!u uzroka i posledice. "a ishod eksperimenta obično utiče vie uslova. #ko se eksperient

ponavlja mnogo puta pod istim kompleksom uslova, pojavljuje se odre!ena zakonomernost u

skupu ishoda. Teorija verovatnoće se bavi tim zakonitostima uvo!enjem odre!ene

kvantitativne mere u obliku realnog nenegativnog broja $ verovatnoće, kojim se procenjuje

mogućnost, odnosno nemogućnost nastupanja ishoda.

%očetak razvoja teorije verovatnoće se vezuje za &' vek i za imena francuskih

matematičara %askala i ermata. Oni su proučavali problem vezan za jednu kockarsku igru, i

ova njihova studija iz *+-. godine obično se smatra početkom teorijskog razvoja

verovatnoće. Ona je dugo bila usko povezana sa problemima hazardnih igara i praktičnih

probčema na bazi empirijsko $ intuitivnih motivacija. Tek posle *//. godine, kada je ". #.

0olmogorov objavio rad u kojem je izlo1io osnovne postavke aksiomatske zasnovanosti

teorije verovatnoće, teorija verovatnoće razvija se kao moderna matematička discilina koja se

ne oslanja samo na empirijske i intuitivne motive, već na jednu formalno $ logičku teoriju

povezanu sa drugim matematičkim pojmovima. 2anas je teko naći neku naučnu disciplinu ili

čovekovu delatnost koja se mo1e konkretno izučavati bez primene teorije verovatnoće i

matematičke statistike, koja je zasnovana na teoriji verovatnoće.

Slika 1.1. Fermat (1601-1665)

i Paskal (16! " 166)

1


4/16


2. SLUČAJNA PROMENLJIVA

Definicija3 4lučajna promenljiva je funkcija koja svaki elementarni doga!ajstatističkog eksperimenta preslikava u jedan realan broj, kome se pridru1uje verovatnoća

jednaka zbiru verovatnoća pojavljivanja svih elementarnih doga!aja koji se u njega

preslikavaju.

%rimer3 #ko bacamo novčić dva puta imamo da je Ω 6 5%%, %6, 6%, 667. #ko jeslučajna promenljiva # broj registrovanih pisama tada je

# (%%) 8 9, # (6%) 8 *, & (%6) 8*, # (66) 8 :

4lučajna promenljiva # 8 5:,*,97, a njene konkretne realizacije su $1 8 :, $ 8 *, $! 8 9.

4kup svih realnih brojeva na koji se preslikava skup svih elementarnih doga!aja (4)

obele1avamo velikim slovima #% &% ' ;, i vrlo često se sam taj skup svih slika slučajne

promenljive naziva tako!e slučajna promenljiva. 0onkretne realizacije slučajne promenljiveobele1avaćemo malim slovima $% % ,;, tako da kad napiemo # * $, to znači da je slučajna

promenljiva # uzela vrednost $.

4lučajna promenljiva mo1e biti diskretna (prekidna) i neprekidna (kontinualna).

%odela se vri u zavisnosti da li slučajna promenljiva uzima vrednosti u konačnom,

prebrojivom ili neprebrojivom skupu vrednosti.

3. DISKRETNA SLUČAJNA PROMENLJIVA2iskretna slučajna promenljiva # nad skupom elementarnih doga!aja + (prostorom

verovatnoće) je funkcija koja svakom slučajnom doga!aju , iz + dodeljuje jedan od brojeva


5/16


čine raspodelu verovatnoa slučajne promenljive & ili !a"on raspodele diskretneslučajne promenljive &.

#a"on raspodela verovatnoća slučajne promenljive je pravilo po kome svakojvrednosti slučajne promenljive # pridru1ujemo odgovarajuću verovatnoću p. =akonom

raspodele, ukupna verovatnoća, koja je jednaka *, raspodeljena je na pojedine vrednosti

slučajne promenljive.

> prethodnom primeru bacanja novčića, raspodela verovatnoća bi bila

: * 9

* * *

- 9 -

÷ ÷

.

?aspodela verovatnoće slučajne promenljive # grafički se mo1e predstaviti poli$onomraspodela verovatnoe ili dija$ramom raspodela verovatnoe.

!o7i$on ras8ode7a verovatnoće se dobija spajanjem tačaka ( $i %pi) i 8 *, 9,..., n ukoordinatnom sistemu na čijoj apscisi se nanose vrednosti $i slučajne promenljive # , a na

ordinati odgovarajuće verovatnoće pi, kao na slici 9.*.

Slika !.1. Poli/on raspoele verovatnoa

2ijagram raspodela verovatnoće dobija se spajanjem tačaka ( $i,:) i (:, pi ) i8*, 9,..., n u

koordinatnom sistemu na čijoj se apscisi nanose vrednosti $i slučajne premenljive # , a na

ordinati odgovarajuće verovatnoće pi kao na slici 9.9.

3


6/16


Slika !.. Dija/ram raspoele verovatnoe

%oligon raspodele verovatnoća za primer bacanja novčića izgleda kao na slici 9./.

Slika !.!. Poli/on raspoele verovatnoa

2ok je dijagram raspodele dat na slici 9.-.

4


7/16


Slika !.2. Dija/ram raspoele

2iskretna slučajna promenljiva potpuno je zadata ako je poznat3

o skup svih vrednosti¡

# 8 5 $1 % $,..7 koje mo1e da uzme slučajna promenljiva # @

o skup odgovarajućih verovatnoća pk * P ( # * $k ) ( k * 1% %3).

4. PRIMERI NEKIH RASPODELA DISKRETNIH SLUČAJNIHPROMENLJIVIH

4.1 BINOMNA RASPODELA

%retpostavimo da nAputa pokuavamo da realizujemo doga!aj , i da je verovatnoća

uspene realizacije ovog doga!aja u svakom pokuaju ista i iznosi p. "aravno, tada je iverovatnoća nerealizacije doga!aja , u svakom pokuaju ista i iznosi *A p.

"ad ovim eksperimentom definiimo slučajnu promenljivu # kao Bbroj uspenih

realizacija doga!aja , u n pokuaja pri ovakvim uslovimaC. "a!imo raspodelu verovatnoća

ove slučajne promenljive.

'rednosti koje ova slučajna promenljiva & mo1e uzeti su 3

# 8 i, i 8 :, *, 9,..., n, gde je sa # 8 i označeno da se doga!aj , realizovao tačno i

puta u n pokuaja, odnosno P(# * i)% nalazimo sledećim rasu!ivanjem3

5


8/16


Dedna od mogućih elemenatrnih realizacija ovog eksperimenta, kod koje se doga!aj ,

realizovao tačno i puta u n pokuaja, jeste da se doga!aj , realizovao u prvi% i po"u&aja, anije reali!ovao u preostali% n'i pokuaja. 'erovatnoća ove elementarne realizacije je3

. ...

i

p p p1 2 3

.

*

(* ).(* )...(* )

n

p p p

−

− − −1 4 4 4 2 4 4 4 3

8 pi. (*A p)nA* .

%ostoji

n

i

÷

različitih elementarnih realizacija kod kojih se doga!aj , realizovao tačno

i puta u n pokuaja i svaka od njih ima istu verovatnoću jednaku pi. (* A p)n-i .

'erovatnoća da se doga!aj , realizovao tačno i puta u n pokuaja jednaka je zbiru

verovatnoća svih ovih elementarnih realizacija, odnosno

P ( # 8 i) 8

ni

÷

pi . (* A p)nAi , i8:,*,9,..., n.

Ovakva raspodela slučajne promenljive se naziva inomna raspodela. 0ao to smo videli,zavisi od dva paramentra3 jedan je broj pokuaja realizacije doga!aja (n), a drugi je

verovatnoća uspene realizacije doga!aja u svakom pojedinačnom pokuaju ( p).

0ada slučajna promenljiva # podle1e zakonu Einomne raspodele sa parametrima n i p, to

zapisujemo3 # : 4(n% p) ⇒ P(# * i) 8

n

i

÷

pi . (* A p)nAi , i8:,*,9,..., n.

%arametri slučajne promenljive # 4(n% p) 3

6

Fatematičkoočekivanje (#) * n . p

'arijansaσ

9(#) 8 n . p . (* A p)

4tandardna

devijacijaσ

(#) 8

( )*n p p× × −

0oeficijent

simetrijeα

/(#) 8( )

* 9

*

p

n p p

− ×

× × −

0oeficijent

spljotenostiα

- 8 / A

+

nG

( )

*

*n p p× × −


9/16


!rimer 4trelac ga!a u metu *: puta. 'erovatnoća da pogodi metu je u svakom pokuaju istai iznosi p8:.H. "aći verovatnoću da je pogodio tačno I puta.

?eenje3

4lučajna promenljiva # definisana kao Bbroj pogodaka u *: pokuaja pod ovim uslovimaJ,

podle1e zakonu Einomne raspodele sa parametrima n8*: i p8:.H.

# 4(*:,:.H), pa je P ( # 8 I) 8

*:

I

÷

. :.HI . :./9

4.2 HIPERGEOMETRIJSKA RASPODELA H(N, N1,n)

=amislimo sledeći statistički eksperiment3

%roizvoljan skup sadr1i 7 elemenata, od kojih 7 1 elemenata ( 7 1K 7 ) ima osobinu ,. z

takvog skupa na slučajan način biramo n elemenata bez ponavljanja (nK 7 ).

"ad ovim eksperimentom definiemo slučajnu promenljivu # kao Bbroj izabranihelemenata koji imaju osobinu , pri ovakvim uslovimaJ. "a!imo raspodelu verovatnoća ove

slučajne promenljive.

'rednosti koje ova slučajna promenljiva # mo1e uzeti su # 8 i, gde i mo1e uzeti bilo

koju celobrojnu vrednost iz zatvorenog intervala

Lma


10/16


0ako od 7 1 elemenata mo1emo izabrati i elemenata bez ponavljanja na

7

i

÷

različitih načina,

a od 7-7 1 elemenata mo1emo izabrati n-i elemenata bez ponavljanja na

* 7 7

n i

− ÷−

različitih

načina, to je po pravilu proizvoda na doga!aj interesa odra!en sa

7

i

÷

.

* 7 7

n i

− ÷−

elementarnih doga!aja.

Tako da, po klasičnoj definiciji verovatnoće, verovatnoća da u n ovako izabranih

elemenata ima tačno i sa osobinom ,, iznosi

P(# * i) 8

* 7 7 7

i n i 7

n

− × ÷ ÷

− ÷

gde i mo1e uzeti bilo koju celobrojnu vrednost iz zatvorenog inervala

Lma


11/16


Eroj dečaka u *: slučajno izabranih učenika iz ovog odeljenja podle1e raspodeli

8 (/:,*I,*:), pa je verovatnoća da je me!u tih *: učenika tačno H dečaka jednaka

*I *9

H /

/:*:

× ÷ ÷

÷

.

4.3. PUASONOVA RASPODELA, P(λ

)

4lučajna promenljiva # ima %uasonovu raspodelu verovatnoća, %(

λ

), ukoliko je njenaraspodela verovatnoća odre!ena sledećim zakonom raspodele3

P(# * i)* e-λ

O

Oi

λ ×

,λ

8 const P :, i 8 :,*,9,....

%uasonova raspodela verovatnoća je granični slučaj Einomne raspodele u slučaju kada

je, za fiksirano i% n→ ∞

i p→

0% ali tako da je n . p*constP: .

limn→∞

4(n%p) 8

limn→∞

n

i ÷

pi . (* A p)n-i 8

limn→∞

( *) ( *)

O

n n n i

i

× − ×××× − iin

λ × *n i

nλ

−

− ÷

8

8

limn→∞

** 9 *

* * * * ( )O O

*

n

i i

i

nie P

i n n n i

n

λ

λ

λ λ λ

λ

−

− ÷ − × × − × − ××× − × = × = ÷ ÷ ÷

− ÷

jer je

limn→∞

*

n

n

λ − ÷

8

e λ −

.

z ovoga zaključujemo da se Einomna raspodela mo1e za veliko n i malo p, u slučaju

kada je n . p8onst , dosta dobro aproksimirati %uasonovom, koja je laka za izračunavanje.

6reka koja se pri tome čini se već za pK:.* i nP: mo1e zanemariti. 0ako je p blisko nuli,

%uasonova raspodela opisuje doga!aje čija je verovatnoća pojavljivanja veoma mala, odnosno

tzv. retke doga!aje.

%uasonova raspodela ne slu1i samo za aproksimaciju Einomne raspodele, već i za

odre!ivanje verovatnoće broja javljanja nekog doga!aja u prostoru i vremenu. Ovi doga!aji

9


12/16


nisu doga!aji definisani kao podskup nekog statističkog eksperimenta, već doga!aji koji

zadovoljavaju sledeće uslove3

o broj javljanja doga!aja je nezavisan od jedne do druge jedinice vremena ili

tačke prostora@o verovatnoća istovremenog javljanja dva ili vie doga!aja u sasvim malom

vremenskom ili prostornom intervalu je zanemarljivo mala@

o verovatnoća javljanja doga!aja je proporcionalna du1ini odre!enog vremenskog ili

prostornog intervala.

To su, na primer, doga!aji, broj telefonskih poziva u nekom vremenskom intervalu,

broj čestica emitovanih od neke radioaktivne supstance, broj tamparskih greaka po stranici

neke knjige i sl.

"aime, neka je slučajna promenljiva # 1 Bbroj pojavljivanja nekog doga!aja u intervalu

L:,t MJ. %odelimo interval L:,t M na n intervala jednakih du1ina

t

n. #ko zamislimo da je n veliko,

onda je3

• broj javljanja doga!aja nezavistan od jednog do drugog intervala@• verovatnoća istovremenog javljanja dva ili vie doga!aja u jednom intervalu je

zanemarljiva@

• verovatnoća da se u nekom intervalu ostvari jedan doga!aj, obele1imo je sa p,

ista je za svaki interval i va1i da kada n

→ ∞tada p

→

0. Tako!e, taverovatnoća je direktno proporcionalna du1ini intervala, odnosno obrnuto

proporcionalna broju intervala n, to jest mo1emo pisati p 8n

λ

,λ

8 constP:,

gde parametarλ

na neki način karakterie intenzitet protoka doga!aja.

"eka je ,i, i 8 *,9,...,n, doga!aj da se u iAtom intervalu pojavi posmatrani doga!aj.

Tada su, na osnovu gore navedenog, doga!aji ,i, i 8 *,9,...,n, nezavisni sa jednakim

verovatnoćama

P ( ,i) 8 p 8n

λ

λ

8 constP: i 8 *,9,...,n.

4lučajna promenljiva # t Bbroj pojavljivanja nekog doga!aja u intervalu L:, t )J, sada je

identična slučajnoj promenljivoj Bbroj realizacija doga!aja ,i , i 8 *,9,...,n J, a ona, kao to

znamo, pod ovim uslovima podle1e zakonu Einomne, 4(n%p), raspodele. 2akle, # t 4(n% p).

10


13/16


#ko povećamo preciznost registrovanja doga!aja, to jest dozvolimo da n→ ∞

% tada

p 8n

λ

→0, ali p . n 8

λ

8 constP:, pa tada va1i

# t

limn→∞

4(n%p) 8

( ) P λ

.

uasonova raspodela zavisi samo od jednog parametraλ

, koji u slučaju

aproksimacije Einomne raspodele %uasonovom iznosiλ

6 n , 8, a u slučaju predstavljanja protoka nekog doga!aja u nekom prostornom ili vremenskom intervalu, predstavlja oče"ivani *roj ponavljanja ne"o$ do$a+aja u tom posmatranom prostornom ili vremenskom interavalu.

0ada slučajna promenjiva & podle1e zakonu %uasonove raspodele sa parametromλ

,

to zapisujemo # : ( ) P λ

.

%arametri slučajne promenljive #

( ) P λ

3

!rimer3 > telefonskoj centrali utoku jednog sata bilo je +: poziva. zračunati verovatnoću da u toku dva minuta nije bilo

nijednog poziva.

?eenje3

11

Fatematičkoočekivanje (#) * λ

'arijansaσ

9(#) 8λ

4tandardna

devijacijaσ

(#) 8λ

0oeficijent

simetrije

α

/(#) 8

*

λ

0oeficijent

spljotenostiα

-(#)* !9

*

λ


14/16


Obele1imo sa & slučajnu promenljivu broj poziva u toku dva minuta. Očekivani broj

poziva u toku dva minuta jeλ

8

+:

/:8 9, pa je verovatnoća da u toku dva minuta nije bilo

nijednog poziva jednaka3

P(# * 0) 8 eA9 .

:9

:O8 eA9 .

5. FUNKIJA RASPODELA

#ko slučajna promenljiva # mo1e da uzme konačan broj vrednosti $1, $, ..., $n sa

verovatnoćama p1% p,..., pn, gde je*

n

i

i

p=

∑8 *, ili beskonačan broj vrednosti $1, $, ..., $n,..., sa

verovatnoćama p1% p,..., pn,..., gde je*

n

i

i

p=

∑8 *, onda verovatnoća da ta slučajna promenljiva

bude manja od neke realne vrednosti $% predstavlja vrednost fun"cije raspodele verovatnoate slučajne promenljive u tački $ i obele1ava se sa (-).

2akle, funkcija raspodele verovatnoća (-) slučajne promenljive # je realna funkcija( ) $ F $→

, definisana sa3

( ) F $

8 P(# : $)% $− ∞ < < ∞

.

Na8omena. > nekim ud1benicima funkcija raspodele verovatnoća definie se kao( ) F $

8 P(# ≤ $)

12


15/16


z definicije funkcije raspodele

( ) F $

, zaključujemo da va1i sledeće3

( ) F $

8i

i

$ $

p<∑

, odnosno

F($) 8

*

* * 9

* 9 9 /

* 9 * *

:

*

n n n

n

$ $

p $ $ $

p p $ $ $

p p p $ $ $

$ $

− −

≤ ÷< ≤ ÷ ÷+ < ≤ ÷ ÷ ÷+ + + < ≤ ÷ ÷


16/16


/) unkcija raspodele diskretne slučajne promenljive je neopadajuća funkcija, tj.

va1i3

( , )a ;∀ ∈R a K ;

( ) ( ) F a F ;⇒ ≤.

rimer 3 "aći funkciju raspodele verovatnoća slučajne promenljive Bbroj pojavljivanja BpismaJ u bacanju dva novčićaJ i predstaviti je grafički.

Re&enje3

F(x) 8

: :

*: *

-

/* 9

-

* 9

$

$

$

$

≤ ÷ ÷< ≤ ÷ ÷

< ≤ ÷

÷ ÷

Documents

Diskretna slucajna promenljiva