DISKRETNA MATEMATIKA Elementi matematičke logike Relacije

Ivana Milosavljević

R E L A C I J E

Relacija je odnos, veza, između objekata. U matematici, se sredemo sa različitim relacijama.

To su jednako, paralelno, normalno, slično i mnoge druge. Matematičke objekte je potrebno

poređivati ili poređati po nekom zadatom kriterijumu, kao i uočiti sličnost između njih i

grupisati ih u grupe međusobno sličnih i tada koristimo osobine relacija. U svakodnevnoj

praksi najčešde se koriste binarne ili dvočlane relacije.

1. DEFINICIJA I OSOBINE

Relacija se može posmatrati kao povezivanje elemenata nekog skupa A, koji su u vezi,

relaciji, sa elementima nekog skupa B. Znači ako x ∈ A i y ∈ B , onda svakom paru (x, y)∈A×B

pridružujemo vrednost T, a ako to nije slučaj vrednost ⊥.

• Binarna relacija je bilo koji podskup Dekartovog proizvoda proizvoljnih skupova A i B. Ako je ρ ⊂ A × B i ( x, y ) ⊂ ρ, kažemo da je x u relaciji ρ sa y i pišemo x ρ y. Za ρ ⊂ A1 × A2 × … × An kažemo da je n-arna relacija na skupovima A1, A2, …, An.

Primer:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b}

Svaki od skupova

{(1, a) , (2, a), (2, b)}

{(2, a), (3, b)}

Je binarna relacija iz skupa A u skup B (nad skupovima A i B).

Skup prvih koordinata uređenih parova neke relacije čini njen domen, a skup drugih

koordinata uređenih parova opseg.

Neka je ρ ⊂ A × B data relacija.

Inverzna relacija relacije ρ, u oznaci ρ-1, definisana je sa

ρ-1 = { (y, x)| (x, y)∈ ρ}

Komplementarna relacija relacije ρ, u oznaci ρC, definisana je sa

ρC = { (x, y)| (x, y) ∈ A × B ˄ (x, y) ∉ ρ}

Univerzalna relacija u oznaci U definisana je sa

U = { (x, y)| x ∈ A ˄ y ∈ B}

Identična relacija na skupu A u oznaci I, definisana je sa

I = { (x, x)| x ∈ A}

Važi da je ρ ∪ I ∪ ρ-1 = U.

Primer:

Neka su dati skupovi A = {1, 2, 3} i B = {a, b}. Relacija U = A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} je univerzalna relacija.

Relacija I = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} je identična relacija na skupu A. Za relaciju ρ = { (1, a), (1, b), (3, a)}, ρ ⊂ A × B, relacija ρ-1 = { (a, 1), (b, 1), (a, 3)}, ρ-1 ⊂ B × A je

inverzna relacija.

Za relaciju ρ = { (1, a), (1, b), (3, a)}, ρ ⊂ A × B, relacija ρC = { (2, a), (2, b), (3, b)}, ρC ⊂ A × B je

komplementarna relacija.

Domen relacije ρ = {(1, a), (1, b), (3, a)} je skup {1, 3}, a opseg je {a, b}.

Relacija ρ je linearna ako ∀ x, y ∈ A, x≠y, važi (x, y) ∈ ρ ili (y, x) ∈ ρ.

• Relacije se mogu predstaviti na različite načine:

o uređenim parovima

o tablicama,

o grafovima

o matricama

Svakoj relaciji možemo pridružiti matricu

𝑚𝑖𝑗 = 0, (𝑎𝑖 ,𝑎𝑗 ) ∉ 𝜌

1, (𝑎𝑖 ,𝑎𝑗 ) ∈ 𝜌

Primer:

Relaciji ρ = {(1,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,1) , (1, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 )} odgovara slededi graf i tablica.

• Ako A = B , onda se skup A2 = A × A naziva Dekartovim kvadratom.

Relacija može da ima sledede osobine:

Neka je ρ ⊂ A2. Za relaciju tada kažemo da je

(R) refleksivna ako (∀x ∈ A)(x ρ x), odnosno ako (∀x ∈ A) (x, x) ∈ ρ

(AR) anti refleksivna ako (∀x ∈ A)( ˥(x ρ x) ), odnosno ako (∀x ∈ A) (x, x) ∉ ρ

(S) simetrična ako (∀x, y ∈ A)( x ρ y ⇒ y ρ x )

(AS) anti simetrična ako (∀x, y ∈ A)( x ρ y ∧ y ρ x ⇒ x = y )

(T) tranzitivna ako (∀x, y, z ∈ A)( x ρ y ∧ y ρ z ⇒ x ρ z )

Relacija ρ nije refleksivna ako (∃x ∈ A)( ˥(x ρ x) ), odnosno ako ((∃x ∈ A) (x, x) ∉ ρ

Matrica pridružena relaciji ρ koja je refleksivna na dijagonali ima sve jedinice.

Matrica pridružena relaciji ρ koja je anti refleksivna na dijagonali ima sve nule.

Matrica pridružena relaciji ρ koja nije refleksivna na dijagonali ima bar jednu nulu.

Za relaciju ρ koja je

refleksivna važi da je I ⊂ ρ

anti refleksivna važi da je I ∩ ρ = ∅

simetrična važi da je ρ = ρ-1

anti simetrična ρ ∩ ρ-1 ⊂ I

2. VRSTE RELACIJA

• Relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna zove se relacija ekvivalencije.

• Relacija koja je refleksivna, anti simetrična i tranzitivna zove se relacija delimičnog

(parcijalnog) poretka.

Za relaciju delimičnog poretka koja na skupu A zadovoljava uslov (∀x, y ∈ A)(xρy ˅ yρx),

kažemo da je relacija totalnog poretka.

Relacije ekvivalencije su jednako, podudarno, slično itd, a relacije poretka su manje ili

jednako, vede ili jednako itd.

Uloga relacije ekvivalencije je da se pomodu njih izraze sličnosti između objekata i da se oni

grupišu u grupe međusobno sličnih, a uloga relacije poretka da se objekti poređaju i

upoređuju po nekom zadatom kriterijumu.

Relacija ekvivalencije može da se razlaže na klase ekvivalencije.

• Ako je ρ relacija ekvivalencije skupa A, onda se klasa ekvivalencije, elementa x, u oznaci CX

definiše kao CX = { y | x ρ y}.

• Količnički skup je skup klasa A|ρ.

Klase ekvivalencije jednog skupa čine njegovo razlaganje na disjunktne podskupove, a

njihova unija je sam polazni skup.

Primer:

Dat je skup A = {−2, −1, 0, 1, 2} u kome je definisana je relacija x ρ y ⇔ x2 = y2. Odrediti

tablicu, napisati skup uređenih parova i ispitati osobine relacije.

x ρ y -2 -1 0 1 2

-2 T ⊥ ⊥ ⊥ T

-1 ⊥ T ⊥ T ⊥

0 ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥

1 ⊥ T ⊥ T ⊥

2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T

ρ ={( −2, −2), ( −2, 2), ( −1, −1), (1, 1), (1, −1), ( −1, 1), (0, 0), (2, 2), (2, −2)}

Osobine :

Kako je x2 = x2, sledi da je ( ∀x ∈ A )( x ρ x ), odnosno relacija je refleksivna.

Ako je (∀x, y ∈ A )(x ρ y), onda važi da je x2 = y2. Iz x2 = y2 sledi da je y2= x2 , odnosno y ρ x,

pa je relacija simetrična.

Ako je ( ∀x, y, z ∈ A )( x ρ y ∧ y ρ z ) onda važi da je x2 = y2 i y2 = z2. Iz toga sledi da je

x2 = y2 = z2, odnosno x2 = z2. Dakle važi da je x ρ z, pa je relacija tranzitivna.

Znači ova relacija je relacija ekvivalencije.

Razlikujemo 3 klase ekvivalencije C2 = {−2, 2} = C-2, C1 = {−1,1} = C-1, C0 = {0}.

Primer:

Dat je skup X = {1, -1, i, -i} I u njemu relacija ekvivalencije x ρ y ⇔ x2010 = y2010. Odrediti klase

ekvivalencije elemenata -1 i i.

C-1={ x | x ρ (-1), x∈X}={ x | x2010 = (-1)2010, x∈X}={ x | x2010 = 1, x∈X}={ -1, 1}

Ci={ x | x ρ i, x∈X}={ x | x2010 = i 2010, x∈X}={ x | x2010 = (i 2)1005, x∈X}={ x | x2010 = (-1)1005, x∈X}

={ x | x2010 = -1, x∈X}={ i, -i }

ZADACI ZA VEŽBANJE

1. Dat je skup A={a, b, c, d} i na njemu relacije:

a. ρ1 = {(a, b) , (b, a) , (c,c)}

b. ρ2 = {(a, a) , (a, b) , (b, a) , (b, b) , (c, c) , (c, d), (d, c), (d, d)}

c. ρ3 = {(a, a) , (a, b) , (b, b) , (a, c) , (c, c) , (d, d), (a, d)}

Koje od datih relacija su refleksivne, simetrične ili antisimetrične?

2. U skupu A={1, 2, 3, 4, 5} definisana je relacija x ρ y ⇔ y = x+1. Napisati tablicu,

prikazati je grafom, skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije.

3. U skupu A={-1, 0, 1} definisana je relacija x ρ y ⇔ x3 = y3. Napisati tablicu, prikazati je

skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije.

4. Dat je skup A={-2, -1, 0, 1, 2} u kome je definisana relacija x ρ y ⇔ x ≤ y. Napisati

tablicu, prikazati je skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije.

5. U skupu A={1, 2, 1

2, 3,

1

3, 4,

1

4} definisana je relacija xρy ⇔ (x∈Z ˄ y∈Z) ˅ (x∉Z ˄ y∉Z).

Predstaviti relaciju skupom uređenih parova, dokazati da je relacija ekvivalencije I

odrediti klase ekvivalencije.

6. U skupu formula F = { ˥(p ˅ q), ˥p ˅ q, p ⇒ q, ˥p ˄ ˥q, ˥(p ˄ q), ˥q ⇒ ˥p, ˥p ˅ ˥q}

uvedena je relacija na slededi način xρy ⇔ ako je formula x⇔y tautologija. Dokazati

da je relacija ρ relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije.

7. U skupu Z celih brojeva definisana je relacija x ρ y ⇔ 3 | (x - y). Dokazati da je ova

relacija relacija ekvivalencije, odrediti klase ekvivalencije i količnički skup.

8. U skupu N definisana je relacija x ρ y ⇔ 2 | (x + y). Dokazati da je relacija

ekvivalencije i odredi klase ekvivalencije elemenata 1 i 2.

9. U skupu R definisana je relacija x ρ y ⇔ sinX = sinY. Dokazati da je relacija

ekvivalencije i odredi klasu ekvivalencije elementa 0.

10. U skupu A={1, 2, 3, 4, 5} definisana je relacija x ρ y ⇔ x2 + 7y = y2 + 7x. Prikazati

relaciju grafom, skupom uređenih parova i ispitati osobine relacije. Dokazati da je

relacija ekvivalencije I nadi klase ekvivalencije. Nadi inverznu relaciju.

11. U skupu R\{0} definisana je relacija x ρ y ⇔ x2y + 2y = y2x + 2x. Dokazati da je relacija

ekvivalencije i odredi klase ekvivalencije elemenata 3.

12. U skupu R definisana je relacija x ρ y ⇔ x2 -xy + y2 =1. Ispitati osobine relacije.

13. Ispitati da li je relacija deljivosti u skupu N relacija poretka (x ρ y ⇔ x | y).

14. U skupu Z\{0} definisana je relacija x ρ y ⇔ xy > 0. Pokazati da je relacija

ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije elemenata -1 i 1.

15. U skupu X definisana je relacija x ρ y ⇔ (x - y) ∈ X. Ispitati vrstu relacije u skupu X ako

je:

a) X = N0

b) X = Z

16. U skupu X = { z | z = ia, a∈R, a≠0} definisana je relacija z1 ρ z2 ⇔ z1z2 < 0. Pokazati

da je relacija ekvivalencije i odrediti klase ekvivalencije elemenata i i –i.