UNIVERZA V LJUBLJANI

EKONOMSKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

UPORABA FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK V EKONOMIJI

Ljubljana, avgust 2014 IZIDOR ČRNIČ

IZJAVA O AVTORSTVU

Spodaj podpisani Izidor Črnič, študent Ekonomske fakultete Univerze v Ljubljani, izjavljam, da sem avtor

diplomskega dela z naslovom Uporaba funkcij več spremenljivk v ekonomiji, pripravljenega v sodelovanju s

svetovalko doc. dr. Damjano Kokol Bukovšek.

Izrecno izjavljam, da v skladu z določili Zakona o avtorski in sorodnih pravicah (Ur. l. RS, št. 21/1995 s

spremembami) dovolim objavo diplomskega dela na fakultetnih spletnih straneh.

S svojim podpisom zagotavljam, da

je predloženo besedilo rezultat izključno mojega lastnega raziskovalnega dela;

je predloženo besedilo jezikovno korektno in tehnično pripravljeno v skladu z Navodili za izdelavo

zaključnih nalog Ekonomske fakultete Univerze v Ljubljani, kar pomeni, da sem

o poskrbel(-a), da so dela in mnenja drugih avtorjev oziroma avtoric, ki jih uporabljam v

zaključni strokovni nalogi/diplomskem delu/specialističnem delu/magistrskem delu/doktorski

disertaciji, citirana oziroma navedena v skladu z Navodili za izdelavo zaključnih nalog

Ekonomske fakultete Univerze v Ljubljani, in

o pridobil(-a) vsa dovoljenja za uporabo avtorskih del, ki so v celoti (v pisni ali grafični obliki)

uporabljena v tekstu, in sem to v besedilu tudi jasno zapisal(-a);

se zavedam, da je plagiatorstvo – predstavljanje tujih del (v pisni ali grafični obliki) kot mojih lastnih –

kaznivo po Kazenskem zakoniku (Ur. l. RS, št. 55/2008 s spremembami);

se zavedam posledic, ki bi jih na osnovi predložene zaključne strokovne naloge/diplomskega

dela/specialističnega dela/magistrskega dela/doktorske disertacije dokazano plagiatorstvo lahko

predstavljalo za moj status na Ekonomski fakulteti Univerze v Ljubljani v skladu z relevantnim

pravilnikom.

V Ljubljani, dne _____________ Podpis avtorja(-ice):__________________

i

KAZALO

UVOD ................................................................................................................................... 1

1 OPTIMIZACIJA BREZ OMEJITEV ........................................................................ 1

1.1 Ciljne funkcije z dvema neodvisnima spremenljivkama ............................................ 1

1.1.1 Pogoj prvega reda ................................................................................................ 1

1.1.2 Pogoj drugega reda .............................................................................................. 2

1.2 Kvadratne forme ......................................................................................................... 3

1.2.1 Totalni diferencial drugega reda kot kvadratna forma ........................................ 3

1.2.2 Determinančni test za določljivost predznaka kvadratne forme ......................... 3

1.2.3 Kvadratne forme z tremi spremenljivkami.......................................................... 4

1.2.4 Kvadratne forme z 𝒏 spremenljivkami ............................................................... 5

1.3 Ciljne funkcije z več kot dvema neodvisnima spremenljivkama ............................... 6

1.3.1 Pogoj prvega reda ................................................................................................ 6

1.3.2 Pogoj drugega reda .............................................................................................. 6

1.4 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami .......................................................................... 7

1.5 Konkavnost in konveksnost ........................................................................................ 7

1.5.1 Preverjanje konkavnosti in konveksnosti ............................................................ 8

1.5.2 Konveksnost in konkavnost odvedljivih funkcij ............................................... 10

1.6 Ekonomske aplikacije ............................................................................................... 11

1.6.1 Cenovna diskriminacija ..................................................................................... 11

1.6.2 Maksimizacija profita podjetja z dvema izdelkoma .......................................... 13

2 OPTIMIZACIJA Z OMEJITVAMI ........................................................................ 14

2.1 Pogoj prvega reda ..................................................................................................... 14

2.1.1 Metoda Lagrangejevega multiplikatorja ........................................................... 14

2.1.2 Pristop s totalnim diferencialom ....................................................................... 15

2.1.3 Interpretacija Lagrangejevega multiplikatorja .................................................. 16

2.1.4 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami in dvema vezema .................................... 17

2.2 Pogoj drugega reda ................................................................................................... 17

2.2.1 Totalni diferencial drugega reda ....................................................................... 17

2.2.2 Obrobljena Hessejeva determinanta .................................................................. 18

2.2.3 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami in eno vezjo ............................................ 19

ii

2.2.4 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami in 𝒎 vezmi ............................................. 20

2.3 Kvazikonkavnost in kvazikonveksnost .................................................................... 21

2.3.1 Preverjanje kvazikonkavnosti in kvazikonveksnosti......................................... 21

2.3.2 Kvazikonveksnost in kvazikonkavnost odvedljivih funkcij.............................. 22

2.3.3 Globalni ekstremi kvazikonkavnih in kvazikonveksnih funkcij ....................... 23

2.4 Ekonomske aplikacije ............................................................................................... 23

2.4.1 Maksimizacija koristnosti potrošnika................................................................ 23

2.4.2 Optimalna zaposlitev produkcijskih faktorjev .................................................. 26

2.4.3 Averch-Johnsonov učinek ................................................................................. 27

SKLEP ................................................................................................................................ 28

LITERATURA IN VIRI ................................................................................................... 29

1

UVOD

V zadnjih petdesetih letih se je matematika uveljavila kot »jezik ekonomije«. Ekonomisti

dandanes razvijajo abstraktne matematične modele, s katerimi poskušajo pojasniti

zakonitosti v gospodarstvu. Te modele nato s pomočjo statističnih metod empirično

analizirajo, da bi ugotovili, ali ustrezajo dogajanjem v resničnem svetu.

V diplomskem delu bomo z uporabo matematičnih orodij pri analizi konkretnih

ekonomskih problemov poskušali osvetliti tesno povezanost matematike in ekonomije.

Strukturno je diplomsko delo razdeljeno na dva glavna vsebinska dela.

V prvem delu diplomskega dela bomo predstavili, kako poiščemo proste ekstreme ciljnih

funkcij z dvema ali več neodvisnimi spremenljivkami. S pridobljenim znanjem bomo nato

preučili, kako podjetja, ki se nahajajo v različnih tržnih strukturah – v monopolu in popolni

konkurenci, maksimizirajo profit.

V drugem delu diplomskega dela bomo pogledali, kako poiščemo vezane ekstreme ciljnih

funkcij z dvema ali več neodvisnimi spremenljivkami. Vezani ekstremi imajo v ekonomiji

pomembno vlogo, saj vendarle živimo v svetu, v katerem so viri – v našem primeru bo to

dohodek potrošnikov in finančna sredstva podjetij, omejeni. Potrošniki in podjetja, ki se

soočajo z omejenostjo virov, se bodo nato, kot bomo pokazali, odločali o optimalnem

nakupu dobrin in optimalni zaposlitvi produkcijskih faktorjev.

1 OPTIMIZACIJA BREZ OMEJITEV

V prvem delu si bomo pogledali, kako najdemo ekstremne vrednosti ciljne funkcije z

dvema ali več neodvisnimi spremenljivkami. Pri tem bomo predpostavili, da je ciljna

funkcija zvezna in odvodljiva do katerega koli želenega reda. Poudariti je treba, da bomo

govorili zgolj o lokalnih ekstremih, razen če ne bo izrecno rečeno drugače (Chiang, 1984,

str. 307).

1.1 Ciljne funkcije z dvema neodvisnima spremenljivkama

Ekstrem funkcije dveh spremenljivk si grafično predstavljamo kot vrh (maksimum), ali

dno (minimum) površine v trirazsežnem prostoru, ki bo v tem kontekstu oblikovana kot

kupola ali pa kot skleda (Chiang, 1984, str. 310).

1.1.1 Pogoj prvega reda

Potreben pogoj prvega reda za ekstrem funkcije

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), (1)

2

je, da je totalni diferencial enak nič:

𝑑𝑧 = 0. (2)

To pomeni, da je v ekstremni točki stacionarna točka, pri kateri se 𝑧 zelo malo spremeni,

ob poljubnih, majhnih spremembah dveh spremenljivk 𝑥 in 𝑦 (Chiang, 1984, str. 311).

Vrednost parcialnih odvodov 𝑓𝑥 in 𝑓𝑦 v totalnem diferencialu

𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦, (3)

mora biti torej enaka

𝑓𝑥 = 𝑓𝑦 = 0. (4)

Pogoj (4) predstavlja ekvivalentno verzijo potrebenega pogoja prvega reda (2),

predstavljenega z odvodi namesto z diferencialom (Chiang, 1984, str. 311).

Pogoj prvega reda je sicer potreben, ni pa zadosten za določitev ekstrema. Kot primer

lahko omenimo sedlo, ki sicer ustreza pogojema (2) in (4), vendar ne predstavlja ekstrema.

Za določitev zadostenega pogoja za ekstrem se moramo obrniti na totalni diferencial

drugega reda (Chiang, 1984, str. 312).

Z nadaljnjim diferenciranjem enačbe (3) (𝑑𝑥 in 𝑑𝑦 pri tem obravnavamo kot konstanti)

𝑑2𝑧 ≡ 𝑑(𝑑𝑧) = 𝜕 (𝑑𝑧)

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕 (𝑑𝑧)

𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑓𝑥𝑥𝑑𝑥

2 + 2𝑓𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑓𝑦𝑦𝑑𝑦2, (5)

dobimo totalni diferencial drugega reda, ali diferencial diferenciala 𝑧, pri katerem velja

𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 , saj sta oba mešana parcialna odvoda zvezna. Rezultat v (5) kaže spremembo v

𝑑𝑧, merjeno z določene točke (𝑥0, 𝑦0) v definicijskem območju, ob danih vrednostih 𝑑𝑥

in 𝑑𝑦 (Chiang, 1984, str. 314).

Naj točka 𝐴 v definicijskem območju 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) zadosti potrebenemu pogoju prvega reda

v (2). Če majhen premik po površju stran od 𝐴 v kateri koli smeri povzroči zmanjšanje 𝑧

(velja torej 𝑑𝑧 < 0 za poljubne neničelne vrednosti 𝑑𝑥 in 𝑑𝑦 ter posledično 𝑑(𝑑𝑧) ≡

𝑑2𝑧 < 0), je 𝐴 maksimum. Obratno velja za minimum (Chiang, 1984, str. 315).

1.1.2 Pogoj drugega reda

S pomočjo izraza v (5) lahko opredelimo zadosten pogoj drugega reda za ekstrem funkcije

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦):

Stacionarna točka 𝑧̅ = 𝑓(�̅�, �̅�) je maksimum, če je 𝑑2 𝑧 < 0

za poljubne neničelne vrednosti 𝑑𝑥 in 𝑑𝑦.

Stacionarna točka 𝑧̅ = 𝑓(�̅�, �̅�) je minimum, če je 𝑑2 𝑧 > 0

za poljubne neničelne vrednosti 𝑑𝑥 in 𝑑𝑦. (6)

3

Razlog za to, da pogoj (6) predstavlja le zadosten, ne pa tudi potreben pogoj za maksimum

in minimum, tiči v tem, da lahko 𝑑2 𝑧 zavzame ničelno vrednost pri ekstremu. Zaradi tega

lahko potreben pogoj drugega reda v (6) opredelimo z nestrogima neenakostima (≤ , ≥ )

(Chiang, 1984, str. 316).

Diferncialne pogoje drugega reda lahko zaradi prikladnosti prevedemo v ekvivalentne

pogoje za parcialne odvode drugega reda. Za to bomo potrebovali kvadratne forme. Iz

enakosti (5) je razvidno, da ti pogoji vključujejo omejitve na predznakih 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 in 𝑓𝑥𝑦

(Chiang, 1984, str. 316).

1.2 Kvadratne forme

Polinom, v katerem imajo vsi členi enako (skupno) potenco, imenujemo forma. Enačbo za

totalen diferencial drugega reda (5) lahko preoblikujemo v kvadratno formo tako, da

zamenjamo člene z vlogo spremenljivk (parcialni odvodi) v člene z vlogo konstant in

obratno. Za kvadratne forme obstajajo uveljavljeni kriteriji za določitev njihovega

predznaka, ob poljubnih neničelnih vrednostih 𝑑𝑥 in 𝑑𝑦 (Chiang, 1984, str. 319-320).

1.2.1 Totalni diferencial drugega reda kot kvadratna forma

Totalen diferencial drugega reda v (5) lahko sledeče preoblikujemo v kvadratno formo

𝑞 = 𝑎𝑢2 + 2ℎ𝑢𝑣 + 𝑏𝑣2. (7)

Vprašanje, ki se nam poraja ob enačbi (7), je, kako moramo omejiti konstante 𝑎, 𝑏 in ℎ, da

bi zagotovili določen predznak 𝑞, ob tem, da lahko 𝑢 in 𝑣 zavzameta poljubne vrednosti

(Chiang, 1984, str. 319-320).

1.2.2 Determinančni test za določljivost predznaka kvadratne forme

Pogoja za določitev predznaka prvega in tretjega člena v kvadratni formi (7) ni težko

določiti, saj je le ta neodvisen od vrednosti 𝑢 in 𝑣. Slednje ne velja za drugi člen, zato

moramo kvadratno formo preoblikovati na takšen način, da bo določljivost predznaka 𝑞

možna (Chiang, 1984, str. 320-321). Prištejmo in odštejmo izraz ℎ2

𝑎𝑣2 enačbi (7). Po

preureditvi dobimo

𝑞 = 𝑎 (𝑢 + ℎ

𝑎𝑣)

2

+ 𝑎𝑏− ℎ2

𝑎 (𝑣2). (8)

Iz enačbe kvadratne forme (8) je razvidno, da je

kvadratna forma 𝑞 pozitivno definitna, če je 𝑎 > 0 in je 𝑎𝑏 − ℎ2 > 0,

kvadratna forma 𝑞 negativno definitna, če je 𝑎 < 0 in je 𝑎𝑏 − ℎ2 > 0. (9)

4

Pravkar izpeljane pogoje lahko predstavimo bolj pregledno z uporabo determinant

Kvadratno formo v (7) preoblikujemo v matrično obliko, pri čemer člen 2ℎ𝑢𝑣 razbijemo

na dva dela

𝑞 = [𝑢 𝑣] [𝑎 ℎℎ 𝑏

] [𝑢𝑣

]. (10)

Determinanto matrike koeficientov [𝑎 ℎℎ 𝑏

] imenujemo diskriminanta kvadratne forme in jo

označujemo z |𝐷|. Iz pogoja (9) nato sledi, da je

kvadratna forma 𝑞 pozitivno definitna, če je |𝑎| > 0 in je |𝑎 ℎℎ 𝑏

| > 0,

kvadratna forma 𝑞 negativno definitna, če je |𝑎| < 0 in je |𝑎 ℎℎ 𝑏

| > 0. (11)

V pogoju (11) je determinanta |𝑎| poddeterminanta |𝐷|, ki vsebuje prvi element glavne

diagonale |𝐷|. Determinanti |𝑎| pravimo prva glavna poddeterminanta |𝐷|. Determinanta

|𝑎 ℎℎ 𝑏

| je prav tako poddeterminanta |𝐷|, ki ji pravimo druga glavna poddeterminanta |𝐷|.

Iz pogoja (11) je razvidno, da predznak obeh glavnih poddeterminant določi predznak

kvadratne forme 𝑞 (Chiang, 1984, str. 322).

Pogoj (11) lahko preko enačbe (7) prevedemo v ekvivalenten pogoj za totalni diferencial

drugega reda:

𝑑2𝑧 je pozitivno definiten, če je 𝑓𝑥𝑥 > 0 in je |𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑦

| = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓2

𝑥𝑦 > 0.

𝑑2𝑧 je negativno definiten, če je 𝑓𝑥𝑥 < 0 in je |𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑦

| = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓2

𝑥𝑦 > 0. (12)

Predznaka 𝑓𝑥𝑥 in 𝑓𝑦𝑦 morata torej biti enaka (Chiang, 1984, str. 322). Zadosten pogoj

drugega reda za maksimum je torej 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 < 0 in 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓2

𝑥𝑦> 0. Za minimumum

pa 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 > 0 in 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓2

𝑥𝑦> 0. Če v stacionarni točki velja 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − 𝑓

2𝑥𝑦

< 0, je

predznak totalnega diferenciala drugega reda včasih pozitiven, včasih negativen in točka

predstavlja sedlo.

Diskriminanto v pogoju (12) imenujemo Hessejeva determinanta in jo označujemo z |𝐻|.

1.2.3 Kvadratne forme z tremi spremenljivkami

Kvadratno formo z tremi spremenljivkami zapišemo sledeče:

𝑞(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3) = ∑ ∑ 𝑑𝑖𝑗𝑢𝑖𝑢𝑗3𝑗=1

3𝑖=1 , (13)

5

pri čemer je 𝑑𝑖𝑗 = 𝜕

𝜕𝑖

𝜕𝑞

𝜕𝑗 .

Zapišimo kvadratno formo v (13) v matrični obliki

𝑞(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3) = [𝑢1 𝑢2 𝑢3] [

𝑑11 𝑑12 𝑑13𝑑21 𝑑22 𝑑23𝑑31 𝑑32 𝑑33

] [

𝑢1𝑢2𝑢3

] ≡ 𝑢𝑇𝐷𝑢. (14)

Iz diskriminante kvadratne forme dobimo sledeče tri glavne poddeterminante:

|𝐷1| ≡ 𝑑11, |𝐷2| ≡ |𝑑11 𝑑12𝑑21 𝑑22

|, |𝐷3| ≡ |

𝑑11 𝑑12 𝑑13𝑑21 𝑑22 𝑑23𝑑31 𝑑32 𝑑33

|. (15)

Enačbo kvadratne forme v (13) lahko preoblikujemo v naslednjo obliko (Chiang, 1984, str.

324):

𝑞 = 𝑑11(… )2 +

𝑑11𝑑22− 𝑑2

12

𝑑11 (… )2 +

𝑑11𝑑22𝑑33− 𝑑11𝑑2

23− 𝑑22𝑑2

13−𝑑33𝑑2

12+2𝑑12𝑑13𝑑23

𝑑11𝑑22− 𝑑212(… )2,

(16)

kjer je izraz 𝑑11 = |𝐷1|, izraz 𝑑11𝑑22 − 𝑑2

12 = |𝐷2| in izraz 𝑑11𝑑22𝑑33 − 𝑑11𝑑2

23 −

𝑑22𝑑2

13 − 𝑑33𝑑2

12 + 2𝑑12𝑑13𝑑23 = |𝐷3|.

Potreben in zadosten pogoj za pozitivno definitnost kvadratne forme v (13) je sledeč :

|𝐷1| > 0,

|𝐷2| > 0,

|𝐷3| > 0.

Za negativno definitnost kvadratne forme v (13) je potreben in zadosten pogoj sledeč:

|𝐷1| > 0,

|𝐷2| < 0,

|𝐷3| > 0. (17)

1.2.4 Kvadratne forme z 𝒏 spremenljivkami

Potreben in zadosten pogoj za pozitivno definitnost kvadratne forme z 𝑛 spremenljivkami

𝑞 = 𝑓(𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛) , je

|𝐷1|, |𝐷2|, … , |𝐷𝑛| > 0,

za negativno definitnost pa

6

|𝐷1| < 0 , |𝐷2| > 0 , |𝐷3| < 0 , … , (−1)𝑛|𝐷𝑛| > 0. (18)

1.3 Ciljne funkcije z več kot dvema neodvisnima spremenljivkama

Ciljne funkcije z 𝑛 > 2 neodvisnimi spremenljivkami ni več možno prikazati na grafu.

Kljub temu, lahko govorimo o hiperploskvi funkcije v (𝑛 + 1)-dimenzionalnem prostoru,

na kateri je možno najti ekstremne vrednosti ciljne funkcije (Chiang, 1984, str. 332).

1.3.1 Pogoj prvega reda

Potreben pogoj prvega reda za ekstrem funkcije

𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3), (19)

je, da je totalni diferencial enak nič

𝑑𝑧 = 𝑓𝑥1 𝑑𝑥1 + 𝑓𝑥2𝑑𝑥2 + 𝑓𝑥3𝑑𝑥3 = 0, (20)

iz česar sledi, da morajo biti parcialni odvodi v totalnem diferencialu enaki nič

𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓3 = 0. (21)

1.3.2 Pogoj drugega reda

Pozitivna ali negativna definitnost totalnega diferenciala drugega reda je, kot smo že videli,

zadosten pogoj drugega reda za minimum ali maksimum ciljne funkcije. Diferencirajmo

enačbo (20) po istem postopku, kot smo diferencirali enačbo (5). Dobimo

𝑑2𝑧 = 𝑓11 𝑑𝑥12 + 𝑓12𝑑𝑥1𝑑𝑥2 + 𝑓12𝑑𝑥1𝑑𝑥3 + 𝑓21𝑑𝑥2𝑑𝑥1 + 𝑓22𝑑𝑥2

2 + 𝑓12𝑑𝑥2𝑑𝑥3 +

+ 𝑓31𝑑𝑥3𝑑𝑥1 + 𝑓32𝑑𝑥3𝑑𝑥2 + 𝑓33𝑑𝑥32 = ∑ ∑ 𝑓𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗

3𝑗=1

3𝑖=1 , (22)

kvadratno formo, ki je identična kvadratni formi v (13). Posledično so kriteriji, ki smo jih

opredelili v pogoju (17), uporabljivi tudi tukaj (Chiang, 1984, str. 332-333). Koeficienti v

enačbi (22) sestavljajo simetrično Hessejevo determinanto

|𝐻| = |

𝑓11 𝑓12 𝑓13𝑓21 𝑓22 𝑓23𝑓31 𝑓32 𝑓33

|, (23)

s tremi glavnimi poddeterminantami

|𝐻1| = 𝑓11, |𝐻2| = |𝑓11 𝑓12𝑓21 𝑓22

|, |𝐻3| = |𝐻|. (24)

Zadosten pogoj drugega reda za ekstrem funkcije (20) je torej:

stacionarna točka 𝑧̅ je maksimum, če je |𝐻1| < 0; |𝐻2| > 0; |𝐻3| < 0,

7

stacionarna točka 𝑧̅ je minimum, če je |𝐻1| > 0; |𝐻2| > 0; |𝐻3| > 0. (25)

1.4 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami

Potreben pogoj prvega reda za ekstrem funkcije z 𝑛 spremenljivkami

𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛), (26)

ki zadovolji enakost (2) je

𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 = 0. (27)

Zadosten pogoj drugega reda pa je ob upoštevanju pogoja (25)

za minimum

|𝐻1|, |𝐻2|, … , |𝐻𝑛| > 0,

za maksimum pa

|𝐻1| < 0, |𝐻2| > 0, |𝐻3| < 0 , … , (−1)𝑛|𝐻𝑛| > 0 (28)

1.5 Konkavnost in konveksnost

Naj bo 𝑛 = 2. Funkcija, ki ima obliko kupole v celotnem definicijskem območju 𝑅𝑛, je

konkavna. Funkcija, ki ima obliko sklede v celotnem definicijskem območju 𝑅𝑛 , je

konveksna. Na površini konveksnih in konkavnih funkcij najdemo globalne ali absolutne

ekstreme, za razliko od lokalnih. Koveksnost in konkavnost je lahko stroga ali nestroga. V

primeru nestroge konveksnosti in konkavnosti, lahko skleda ali kupola vsebuje enega, ali

več ravnih delov na površju. To je prepovedano v primeru stroge konveksnosti in stroge

konkavnosti. V primeru stroge konveksnosti in stroge konkavnosti je absolutni ekstrem

tudi enoličen, saj dno ali vrh funkcije predstavlja ena sama točka (Chiang, 1984, str. 337-

338).

Funkcija

𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) je konkavna, če je 𝑑2 𝑧 ≤ 0 na

celotnem definicijskem območju,

𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) je konveksna, če je 𝑑2 𝑧 ≥ 0 na

celotnem definicijskem območju. (29)

Če hočemo dobiti pogoj za strogo konkavnost in strogo konveksnost, moramo nestrogi

neenakosti v pogoju (29) zamenjati z strogimi.

8

Naj bo funkcija 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) konkavna. Potem je stacionarna točka 𝑧̅ absolutni

maksimum. Konkavnost torej zamenja pogoj drugega reda kot zadosten pogoj za

maksimum (Chiang, 1984, str. 339).

Naj bo funkcija 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) strogo konkavna. Potem je stacionarna točka 𝑧̅

enolični absolutni maksimum. Stroga konkavnost torej zamenja pogoj drugega reda kot

zadosten pogoj za maksimum (Chiang, 1984, str. 339).

Na prejšnjih straneh smo omenili, da lahko totalni diferencial drugega reda zavzame

ničelno vrednost pri ekstremni vrednosti funkcije, kar pomeni, da zadosten pogoj drugega

reda za ekstrem ni izpolnjen. Konkavnost in konveksnost odpravita ta problem, saj

zadovoljita zadosten pogoj višjega reda, kljub temu, da pogoj drugega reda ni zadovoljen

(Chiang, 1984, str. 340).

1.5.1 Preverjanje konkavnosti in konveksnosti

Najprej bomo predstavili geometrično definicijo konkavnosti in konveksnosti za funkcijo z

dvema spremenljivkama.

Funkcija 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) je konkavna, če za kateri koli par točk 𝐴, 𝐵 na površini 𝑧 daljica

𝐴𝐵 leži na ali pod površino 𝑧. Funkcija 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) je konveksna, če za kateri koli par

točk 𝐴, 𝐵 na površini 𝑧 daljica 𝐴𝐵 leži na ali nad površino 𝑧. Funkcija je strogo konkavna,

če daljica 𝐴𝐵 leži v celoti pod površino 𝑧, razen pri 𝐴 in 𝐵. Funkcija je strogo konveksna,

če daljica 𝐴𝐵 leži v celoti nad površino 𝑧, razen pri 𝐴 in 𝐵 (Chiang, 1984, str. 340-341).

Potrebovali bomo še definicijo konveksne množice. Množica 𝐶 je konveksna, če za kateri

koli točki 𝑢 ∈ 𝐶 in 𝑣 ∈ 𝐶 in skalar 𝜃 ∈ [0, 1] velja, 𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣 ∈ 𝐶 (Chiang, 1984,

str. 351).

Naj bo definicijsko območje funkcije 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) konveksno. Naj bosta 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2) in

𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2) vektorja v definicijskem območju 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) . Vrednost funkcije 𝑧 v

odvisnosti od vrednosti vektorjev je torej 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑢1 , 𝑢2) in 𝑓(𝑣) = 𝑓(𝑣1 , 𝑣2). Če se

vektorja 𝑢 in 𝑣 nahajata v definicijskem območju 𝑧, potem se prav tako vse točke na daljici

𝑢𝑣 . Vsaka točka na daljici 𝑢𝑣 predstavlja tehtano povprečje vektorjev 𝑢 in 𝑣 (Chiang,

1984, str. 341-342). Daljico 𝑢𝑣 lahko torej definiramo kot:

𝑑𝑎𝑙𝑗𝑖𝑐𝑎 𝑢𝑣 = 𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣, (30)

kjer je vrednost skalarja 0 ≤ 𝜃 ≤ 1.

Podobno lahko izrazimo daljico 𝑓(𝑢) 𝑓(𝑣):

𝑑𝑎𝑙𝑗𝑖𝑐𝑎 𝑓(𝑢)𝑓(𝑣) = 𝜃𝑓(𝑢) + (1 − 𝜃)𝑓(𝑣), (31)

kjer ponovno velja vrednost skalarja 0 ≤ 𝜃 ≤ 1.

9

Potrebujemo le še izraz za lok na ploskvi 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) nad daljico 𝑢𝑣

𝑙𝑜𝑘 = 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣]. (32)

Imamo vse potrebno, da izpeljemo algebraični pogoj za konveksnost in konkavnost.

Funkcija 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) je konkavna, če za kateri koli par točk 𝐴, 𝐵 v definicijskem

območju 𝑧 velja, 𝜃𝑓(𝑢) + (1 − 𝜃)𝑓(𝑣) ≤ 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣].

Funkcija 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2) je konveksna, če za kateri koli par točk 𝐴, 𝐵 v definicijskem

območju 𝑧 velja, 𝜃𝑓(𝑢) + (1 − 𝜃)𝑓(𝑣) ≥ 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣]. (33)

Za ekvivalenten pogoj za strogo konkavnost in strogo konveksnost moramo nestroge

neenakosti v pogoju (33) zamenjati s strogimi.

Prednost algebraičnega pogoja za konkavnost in konveksnost je v tem, da ga lahko

razširimo na funkcijo z 𝑛-spremenljivkami. Vse, kar moramo storiti je, da si namesto

vektorjev v dvorazsežnem prostoru, predstavljamo vektorja 𝑢 in 𝑣 kot vektorja v 𝑛 -

razsežnem prostoru (Chiang, 1984, str. 342).

Ob opazovanju pogoja (33) je možno zapisati sledeče (Chiang, 1984, str. 342-343):

če je 𝑓(𝑥) linearna funkcija (𝑥 lahko interpretiramo kot vektor spremenljivk), potem je

konkavna in konveksna, vendar ne strogo konkavna in konveksna.

Ta zaključek izhaja iz tega, da je izraz (31) v tem primeru enak izrazu (32).

če je 𝑓(𝑥) konkavna funkcija, je −𝑓(𝑥) konveksna funkcija in obratno. Če je 𝑓(𝑥)

strogo konkavna funkcija, je −𝑓(𝑥) strogo konveksna funkcija in obratno.

To lahko potrdimo s tem, da pogoj (33), ko ustreza pogoju konkavnosti, pomnožimo z

− 1.

če sta 𝑓(𝑥) in 𝑔(𝑥) konkavni funkciji, potem je 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) prav tako konkavna

funkcija. Če sta 𝑓(𝑥) in 𝑔(𝑥) konveksni funkciji, potem je 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) prav tako

konveksna funkcija. Če sta 𝑓(𝑥) in 𝑔(𝑥) obe konkavni funkciji, poleg tega pa sta še

obe funkciji ali le ena strogo konkavni, potem je 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) strogo konkavna

funkcija. Če sta 𝑓(𝑥) in 𝑔(𝑥) obe konveksni funkciji, poleg tega pa sta še obe funkciji

ali le ena strogo konveksni, potem je 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) strogo konveksna funkcija.

Da prva trditev v tem odstavku drži, lahko dokažemo tako, da konkavni funkciji 𝑓(𝑥) in

𝑔(𝑥) , ob upoštevanju pogoja (33) seštejemo. Dobimo sledeči rezultat, ki potrdi našo

trditev:

𝜃[𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑢)] + (1 − 𝜃)[𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑣)] ≤ 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣 + 𝑔[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣].

(34)

10

Za potrditev druge definicije, ob upoštevanju pogoja (33), seštejmo strogo konkavno

funkcijo 𝑓(𝑥), in konkavno funkcijo 𝑔(𝑥). Razvidno je, da je seštevek funkcij 𝑓(𝑥) in

𝑔(𝑥) na levi strani neenačbe strogo manjši od seštevka funkcij na desni strani neenačbe, ne

glede na to, ali pri funkciji 𝑔(𝑥) velja enakost ali neenakost

11

V pogoju (37) je 𝑓𝑖(𝑢) = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖 izračunan pri 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛). Konkavna funkcija mora

ležati na ali pod vsemi svojimi tangentnimi ravninami ali hiperravninami, medtem ko mora

konveksna funkcija ležati na ali nad vsemi svojimi tangentnimi ravninami ali

hiperravninami (Chiang, 1984, str. 346). Če hočemo dobiti pogoj za strogo konkavnost in

strogo konveksnost, moramo nestroge neenakosti v pogoju (37) zamenjati z strogimi.

1.6 Ekonomske aplikacije

1.6.1 Cenovna diskriminacija

Podjetje, ki je monopolist in ponuja svoj izdelek na več trgih, maksimizira profit tako, da

prodaja svoj izdelek po različnih cenah na različnih trgih. Temu pojavu pravimo cenovna

diskriminacija. Monopolist lahko uspešno izvaja cenovno diskriminacijo le takrat, kadar se

trgi med seboj razlikujejo po elastičnosti povpraševanja in je preprodaja izdelkov med trgi

onemogočena (Chiang, 1984, str. 356). To lahko dokažemo v matematični obliki.

Prihodkovna funkcija monopolista je

𝑅 = 𝑅1(𝑄1) + 𝑅2(𝑄2) + 𝑅3(𝑄3), (38)

kjer je 𝑅1 prihodkovna funkcija prvega trga, ki se po strukturi povpraševanja običajno

razlikuje od drugih dveh trgov (Chiang, 1984, str. 356). Ponujeno količino izdelka na

prvem trgu označimo z 𝑄1.

Stroškovna funkcija monopolista je

𝐶 = 𝐶(𝑄), kjer je 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3. (39)

Imamo vse potrebno, da zapišemo profitno funkcijo

𝜋 = 𝑅1(𝑄1) + 𝑅2(𝑄2) + 𝑅3(𝑄3) − 𝐶(𝑄) (40)

in njene prve parciale odvode

𝜋1 = 𝑅′1(𝑄1) − 𝐶′(𝑄)

𝜕𝑄

𝜕𝑄1= 𝑅′1(𝑄1) − 𝐶

′(𝑄),

𝜋2 = 𝑅′2(𝑄2) − 𝐶′(𝑄)

𝜕𝑄

𝜕𝑄2= 𝑅′2(𝑄2) − 𝐶

′(𝑄), (41)

𝜋3 = 𝑅′3(𝑄3) − 𝐶′(𝑄)

𝜕𝑄

𝜕𝑄3= 𝑅′3(𝑄3) − 𝐶

′(𝑄).

Če parcialne odvode 𝜋1, 𝜋2, 𝜋3 izenačimo z nič, dobimo sledeči potreben pogoj prvega

reda za maksimum profitne funkcije

𝐶′(𝑄) = 𝑅′1(𝑄1) = 𝑅′2(𝑄2) = 𝑅′3(𝑄3). (42)

12

V pogoju (42) izraz 𝐶′(𝑄) predstavlja ekonomsko kategorijo mejni stroški (𝑀𝐶), 𝑅′1(𝑄1)

pa ekonomsko kategorijo mejni prihodek prvega trga (𝑀𝑅1). Iz pogoja (42) je razvidno, da

morajo biti ponujene količine izdelkov (𝑄1, 𝑄2, 𝑄3) takšne, da se mejni prihodek na vsakem

trgu izenači z mejnimi stroški celotnega proizvoda (𝑄) (Chiang, 1984, str. 357). Poglejmo,

v kakšni povezavi je pravkar izpeljani pogoj s cenovno diskriminacijo. Definirajmo 𝑀𝑅𝑖:

𝑀𝑅𝑖 = 𝑑𝑅𝑖

𝑑𝑄𝑖= 𝑃𝑖

𝑑𝑄𝑖

𝑑𝑄𝑖+ 𝑄𝑖

𝑑𝑃𝑖

𝑑𝑄𝑖= 𝑃𝑖 (1 +

𝑑𝑃𝑖

𝑑𝑄𝑖

𝑄𝑖

𝑃𝑖) = 𝑃𝑖 (1 +

1

𝜀𝑑𝑖). (43)

V enačbi (43) je 𝑅𝑖 = 𝑃𝑖𝑄𝑖 prihodek na 𝑖-tem trgu, 𝜀𝑑𝑖 =

𝑑𝑄𝑖𝑄𝑖

𝑑𝑃𝑖𝑃𝑖

pa elastičnost

povpraševanja na 𝑖-tem trgu. Običajno je 𝜀𝑑𝑖 negativna. Rezultat v enačbi (43) zato

zapišemo malce drugače:

𝑀𝑅𝑖 = 𝑃𝑖(1 − 1

𝜀𝑑𝑖). (44)

Potreben pogoj prvega reda (42) ob upoštevanju enakosti (44) zapišemo sledeče:

𝑃1 (1 − 1

𝜀𝑑𝑖) = 𝑃2 (1 −

1

𝜀𝑑𝑖) = 𝑃3 (1 −

1

𝜀𝑑𝑖). (45)

Iz pogoja (45) je razvidno, da mora podjetje postaviti višjo ceno na tistem trgu, na katerem

je povpraševanje manj elastično. Podjetje mora torej cenovno diskriminirati med trgi, če

hoče maksimizirati profit (Chiang, 1984, str. 358).

Elastičnost povpraševanja se razlikuje glede na različne tržne strukture. V popolni

konkurenci je 𝜀𝑑 = ∞ , v monopolu pa 0 < 𝜀𝑑 < 1 . Če vstavimo ti dve vrednosti

elastičnosti povpraševanja v pogoj (45) vidimo, da je cena v popolni konkurenci v

primerjavi z monopolom nižja. Posledično bo povpraševana in ponujena količina produkta

v popolni konkurenci višja kot v monopolu. Popolna konkurenca je zato bolj zaželena tržna

struktura kot monopol.

Preverimo še zadosten pogoj drugega reda za maksimum profitne funkcije. Parcialni

odvodi drugega reda so sledeči

𝜋11 = 𝑅′′1(𝑄1) − 𝐶′′(𝑄)

𝜕𝑄

𝜕𝑄1= 𝑅′′1(𝑄1) − 𝐶

′′(𝑄),

𝜋22 = 𝑅′′2(𝑄2) − 𝐶′′(𝑄)

𝜕𝑄

𝜕𝑄2= 𝑅′′2(𝑄2) − 𝐶

′′(𝑄), (46)

𝜋33 = 𝑅′′3(𝑄3) − 𝐶′′(𝑄)

𝜕𝑄

𝜕𝑄3= 𝑅′′3(𝑄3) − 𝐶

′′(𝑄),

in 𝜋12 = 𝜋21 = 𝜋13 = 𝜋31 = 𝜋23 = 𝜋32 = − 𝐶′′(𝑄) . Zapišimo Hessejevo

determinanto

13

|𝐻| = |

𝑅′′1(𝑄1) – 𝐶′′(𝑄) − 𝐶′′(𝑄) − 𝐶′′(𝑄)

− 𝐶′′(𝑄) 𝑅′′2(𝑄2) – 𝐶′′(𝑄) − 𝐶′′(𝑄)

− 𝐶′′(𝑄) − 𝐶′′(𝑄) 𝑅′′3(𝑄3) – 𝐶′′(𝑄)

|. (47)

Zadosten pogoj drugega reda bo izpolnjen, če velja

|𝐻1| = 𝑅′′1(𝑄1) − 𝐶′′(𝑄) < 0,

|𝐻2| = (𝑅′′

1(𝑄1) − 𝐶′′(𝑄)) (𝑅′′2(𝑄2) − 𝐶

′′(𝑄)) − (𝐶′′(𝑄))2 > 0, (48)

|𝐻3| = 𝑅′′1(𝑄1)𝑅′′2(𝑄2)𝑅′′3(𝑄3) − (𝑅′′

1(𝑄1)𝑅′′

2(𝑄2) + 𝑅′′

1(𝑄1)𝑅′′

3(𝑄3) +

+ 𝑅′′2(𝑄2)𝑅′′

3(𝑄3)) 𝐶′′(𝑄) > 0.

V ekonomski teoriji se običajno predpostavlja, da je prihodkovna funkcija konkavna,

stroškovna funkcija pa konveksna. Ker profitna funkcija (40) vsebuje negativno stroškovno

funkcijo, ki je po definiciji konkavna, poleg tega pa še tri konkavne prihodkovne funkcije,

je tudi sama profitna funkcija konkavna. Zadostnega pogoja drugega reda v tem primeru

zato ni potrebno preverjati, saj je zadovoljen zadostni pogoj višjega reda (Chiang, 1984,

str. 358).

1.6.2 Maksimizacija profita podjetja z dvema izdelkoma

Predpostavimo, da je podjetje popolni konkurent, kar pomeni, da ne more vplivati na cene

svojih izdelkov. Ceno prvega izdelka bomo označili s 𝑃10, ceno drugega izdelka pa s 𝑃20.

Prihodkovna funkcija podjetja je

𝑅 = 𝑃10𝑄1 + 𝑃20𝑄2. (49)

Podjetje ima naslednjo stroškovno funkcijo

𝐶 = 𝐶(𝑄1) + 𝐶(𝑄2) + 𝐹1 + 𝐹2, (50)

kjer 𝐹1 predstavlja fiksni strošek prvega izdelka, 𝐹2 pa fiksni strošek drugega izdelka.

Zapišimo profitno funkcijo

𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = 𝑃10𝑄1 + 𝑃20𝑄2 − (𝐶(𝑄1) + 𝐶(𝑄2) + 𝐹1 + 𝐹2) (51)

in izenačimo njena prva parcialna odvoda z 0:

𝜋1 = 𝑃10 − 𝐶′(𝑄1) = 0,

𝜋2 = 𝑃20 − 𝐶′(𝑄2) = 0. (52)

Dobimo dva pogoja prvega reda za maksimum profitne funkcije:

14

𝑃10 = 𝐶′(𝑄1), 𝑃20 = 𝐶

′(𝑄2), (53)

pri čemer se pogoja nanašata na optimalni količini 𝑄1in 𝑄2. Interpretirajmo prvi pogoj.

Popolni konkurent, ki je soočen s tržno ceno prvega izdelka, mora proizvesti takšno

količino prvega izdelka, da bo mejni strošek prvega izdelka enak njegovi (tržno določeni)

ceni.

Preverimo še zadosten pogo drugega reda za maksimum profitne funkcije. Zapišimo

Hessejevo determinanto

|𝐻| = |𝜋11 𝜋12𝜋21 𝜋22

| = |− 𝐶′′(𝑄1) 0

0 − 𝐶′′(𝑄2)|. (54)

Zadosten pogoj drugega reda bo izpolnjen, če velja

|𝐻1| = − 𝐶′′(𝑄1) < 0

|𝐻2| = (− 𝐶′′(𝑄1) )( − 𝐶

′′(𝑄2)) > 0 (55)

Iz pogoja (56) je razvidno, da mora podjetje proizvajati takšno količino prvega in drugega

izdelka, ob kateri bo naklon funkcije mejnega stroška prvega izdelka, kot tudi naklon

funkcije mejnega stroška drugega izdelka, pozitiven.

2 OPTIMIZACIJA Z OMEJITVAMI

V prvem delu smo predstavili splošno metodo, s katero poiščemo ekstreme ciljne funkcije.

Pri tem smo predpostavili, da je vrednost ene izbirne spremenljivke neodvisna od vrednosti

drugih izbirnih spremenljivk. Govorili smo torej o prostih ekstremih. Če pa so vrednosti

izbirnih spremenljivk soodvisne druga od druge, lahko poiščemo le vezane ekstreme ciljne

funkcije (Chiang, 1984, str. 369).

2.1 Pogoj prvega reda

2.1.1 Metoda Lagrangejevega multiplikatorja

Metoda Lagrangejevega multiplikatorja nam omogoča, da poiščemo vezan ekstrem ciljne

funkcije na enak način kot bi poiskali prosti ekstrem. Če uporabimo metodo

Lagrangejevega multiplikatorja lahko torej pogoj prvega reda za prosti ekstrem uporabimo

tudi za vezan ekstrem (Chiang, 1984, str. 372).

Za ciljno funkcijo 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) z vezjo

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐, (56)

kjer je 𝑐 konstanta, lahko zapišemo Lagrangejevo funkcijo

15

𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆 [𝑐 − 𝑔(𝑥, 𝑦)], (57)

kjer je 𝜆 spremenljivka, ki ji pravimo Lagrangejev multiplikator. Iz Lagrangejeve funkcije

je razvidno, da bo v primeru, ko bo vez v (56) veljala, zadnji člen v funkciji 𝑍 izginil, ne

glede na vrednost 𝜆. V tem primeru bo Lagrangejeva funkcija 𝑍 enaka funkciji 𝑧. Ker smo

v Lagrangejevo funkcijo tudi že vstavili vez, lahko namesto vezanega ekstrema

Lagrangejeve funkcije 𝑍, poiščemo zgolj prosti ekstrem (Chiang, 1984, str. 373).

Potreben pogoj prvega reda za prosti ekstrem funkcije 𝑍 = 𝑍 (𝜆, 𝑥, 𝑦) je sledeč:

𝑍𝜆 = 𝑐 − 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0,

𝑍𝑥 = 𝑓𝑥 – 𝜆 𝑔𝑥 = 0, (58)

𝑍𝑦 = 𝑓𝑦 – 𝜆 𝑔𝑦 = 0.

Prva enačba v pogoju (58) je enaka vezi v (56), kar pomeni, da bodo stacionarne vrednosti

Lagrangejeve funkcije 𝑍 že same po sebi zadovoljile vez prvotne funkcije 𝑧. Vrednost

člena [𝑐 − 𝑔(𝑥, 𝑦)] v Lagrangejevi funkciji bo enaka 0 in stacionarne vrednosti

Lagrangejeve funkcije 𝑍 bodo enake tistim v prvotni funkciji 𝑧 z vezjo (56) (Chiang, 1984,

str. 374).

2.1.2 Pristop s totalnim diferencialom

Potreben pogoj prvega reda za ekstrem funkcije 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je, da je totalni diferencial

enak 0:

𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦 = 0. (59)

Vez (56) moramo diferencirati, če jo želimo vstaviti v totalni diferencial (59)

𝑑𝑔 = 𝑔𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔𝑦𝑑𝑦 = 0, ker je 𝑑𝑐 = 0. (60)

Iz diferenciala vezi je razvidno, da vrednosti 𝑑𝑥 in 𝑑𝑦 ne moreta biti več poljubni (Chiang,

1984, str. 375). Po vstavitvi enakosti (60) v totalni diferencial (59) dobimo

𝑓𝑥

𝑔𝑥 =

𝑓𝑦

𝑔𝑦 , (61)

potreben pogoj prvega reda (59) z vezjo (60). Pogoj (61) je ekvivalenten pogoju (58)

dobljenim z metodo Lagrangejevega multiplikatorja.

Prednost metode Lagrangejevega multiplikatorja je v tem, da nam poda ne le stacionarne

vrednosti �̅� in �̅�, ampak tudi stacionarno vrednost �̅�, ki, kot bomo pokazali v naslednjem

razdelku, meri občuljivost stacionarne vrednosti �̅� (in 𝑧̅) na spremembo vezi (Chiang,

1984, str. 375).

16

2.1.3 Interpretacija Lagrangejevega multiplikatorja

Pri iskanju vezanega ekstrema so vrednosti spremenkjivk 𝜆, 𝑥, 𝑦 , kot smo že videli,

določene znotraj modela, medtem ko je vrednost parametra 𝑐 edina spremenljivka, ki je

določena zunaj modela. Sprememba parametra 𝑐 povzroči premik vezi v 𝑥𝑦 ravnini, kar

spremeni vrednost vezanega ekstrema. Da bi lahko opravili primerjalno-statično analizo,

na pogoju prvega reda v (58), moramo uporabiti izrek o implicitni funkciji. Spremenimo tri

enačbe v pogoju (58) v sledeče implicitne funkcije 𝐹𝑗( 𝜆, 𝑥, 𝑦; 𝑐) = 0, kjer je 𝑗 = 1, 2, 3.

Predpostavimo, da imajo vse implicitne funkcije zvezne parcialne odvode (Chiang, 1984,

str. 376). Če v točki (𝜆0, 𝑥0, 𝑦0; 𝑐) velja, 𝐹𝑗( 𝜆, 𝑥, 𝑦; 𝑐) = 0, obstaja 3-dimenzionalna

okolica točke (𝜆0, 𝑥0, 𝑦0) , 𝑁 , v kateri so spremenljivke 𝜆, 𝑥, 𝑦 funkcije parametra 𝑐 .

Jacobijeva determinanta |𝐽| bo v tem primeru neničelna. Preverimo vrednost Jacobijeve

determinante spremenljivk, določenih znotraj modela:

|𝐽| = |

|

𝜕𝐹1

𝜕𝜆

𝜕𝐹1

𝜕𝑥

𝜕𝐹1

𝜕𝑦

𝜕𝐹2

𝜕𝜆

𝜕𝐹2

𝜕𝑥

𝜕𝐹2

𝜕𝑦

𝜕𝐹3

𝜕𝜆

𝜕𝐹3

𝜕𝑥

𝜕𝐹3

𝜕𝑦

|

|= |

0 – 𝑔𝑥 – 𝑔𝑦

– 𝑔𝑥 𝑓𝑥𝑥 – 𝜆 𝑔𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑥 – 𝜆 𝑔𝑦𝑥

– 𝑔𝑦 𝑓𝑥𝑦 – 𝜆 𝑔𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑦 – 𝜆 𝑔𝑦𝑦

|. (62)

V kolikor je zadosten pogoj drugega reda izpolnjen, bo Jacobijeva determinanta,

izračunana pri ekstremni vrednosti, neničelna (Chiang, 1984, str. 376). Posledično lahko

zapišemo �̅�, �̅� in �̅� kot implicitne funkcije parametra 𝑐:

�̅� = �̅� (𝑐) �̅� = �̅� (𝑐) �̅� = �̅� (𝑐). (63)

Dobljene implicitne funkcije vstavimo v pogoj (58)

𝑐 − 𝑔(�̅�, �̅�) = 0,

𝑓𝑥 − �̅� 𝑔𝑥(�̅�, �̅�) = 0, (64)

𝑓𝑦 − �̅� 𝑔𝑦(�̅�, �̅�) = 0.

Vrednost vezanega ekstrema �̅� = �̅�( �̅�, �̅�, �̅� ) je ob upoštevanju implicitnih funkcij v (63)

funkcija zgolj parametra 𝑐. Odvajajmo �̅� po parametru 𝑐

𝑑𝑍

𝑑𝑐= (𝑓𝑥 − �̅� 𝑔𝑥)

𝑑�̅�

𝑑𝑐 + (𝑓𝑦 − �̅� 𝑔𝑦)

𝑑�̅�

𝑑𝑐+ [𝑐 − 𝑔(�̅�, �̅�)]

𝑑�̅�

𝑑𝑐+ �̅�. (65)

Ob upoštevanju pogoja (64) bo odvod v (65) enak

𝑑𝑍

𝑑𝑐= �̅�, (66)

kar potrdi našo trditev, da �̅� meri občuljivost vrednosti �̅�, na spremembo parametra 𝑐 .

17

2.1.4 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami in dvema vezema

Iz ciljne funkcije 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) z dvema vezema

𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) = 𝑐 in ℎ(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) = 𝑑, (67)

dobimo sledečo Lagrangejevo funkcijo:

𝑍 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) + 𝜆 [𝑐 − 𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛)] + 𝜇 [𝑑 − ℎ (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛)], (68)

kjer sta 𝜆 in 𝜇 spremenljivki. Skupaj imamo torej (𝑛 + 2) spremenljivk. Potreben pogoj

prvega reda za ekstrem, bo zato vseboval (𝑛 + 2) enačb (Chiang, 1984, str. 378).

𝑍𝜆 = 𝑐 − 𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) = 0,

𝑍𝜇 = 𝑑 − ℎ(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) = 0, (69)

𝑍𝑖 = 𝑓𝑖 – 𝜆 𝑔𝑖 − 𝜇𝑖ℎ = 0 (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛).

2.2 Pogoj drugega reda

2.2.1 Totalni diferencial drugega reda

Omenili smo že, da vrednosti 𝑑𝑥 in 𝑑𝑦 ne moreta biti več poljubni, ko funkciji dodamo

vez. Enačba za totalni diferencial drugega reda 𝑑2𝑧 v (5), ki smo ga izračunali tako, da

smo obravnavali vrednosti 𝑑𝑥 in 𝑑𝑦 kot poljubne, v tem primeru ne velja več (Chiang,

1984, str. 379). Tokrat pri diferenciranju enakosti (3) obravnavajmo 𝑑𝑦 kot spremenljivko,

𝑑𝑥 pa kot konstanto:

𝑑2𝑧 ≡ 𝑑(𝑑𝑧) = 𝜕

𝜕𝑥 (𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦) 𝑑𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 (𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓𝑥𝑥𝑑𝑥

2 +

+ 2𝑓𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑓𝑦𝑦𝑑𝑦2 + 𝑓𝑦𝑑

2𝑦 (70)

Dobimo rezultat, ki zaradi zadnjega člena ni kvadratna forma. Totalni diferencial drugega

reda lahko preoblikujemo v kvadratno formo s tem, da vstavimo vez (56) sledeče oblike

𝑑2𝑔 = 𝑔𝑥𝑥𝑑𝑥2 + 2𝑔𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑔𝑦𝑦𝑑𝑦

2 + 𝑔𝑦𝑑2𝑦 = 0, (71)

v enačbo (70). Dobimo kvadratno formo

𝑑2𝑧 = (𝑓𝑥𝑥 − 𝑓𝑦

𝑔𝑦 𝑔𝑥𝑥) 𝑑𝑥

2 + 2 (𝑓𝑥𝑦 − 𝑓𝑦

𝑔𝑦 𝑔𝑥𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + (𝑓𝑦𝑦 −

𝑓𝑦

𝑔𝑦 𝑔𝑦𝑦)𝑑𝑦

2, (72)

kjer je prvi koeficient v oklepaju ob upoštevanju pogoja (61) enak (𝑓𝑥𝑥 − 𝜆 𝑔𝑥𝑥), druga

dva pa lahko preoblikujmo na enak način (Chiang, 1984, str. 380).

Parcialni odvodi drugega reda pogoja (58) so sledeči:

18

𝑍𝑥𝑥 = 𝑓𝑥𝑥 – 𝜆 𝑔𝑥𝑥,

𝑍𝑥𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 – 𝜆 𝑔𝑥𝑦 = 𝑍𝑦𝑥, (73)

𝑍𝑦𝑦 = 𝑓𝑦𝑦 – 𝜆 𝑔𝑦𝑦.

Ob upoštevanju parcialnih odvodov v (73), lahko enačbo (72) zapišemo bolj pregledno:

𝑑2𝑧 = 𝑍𝑥𝑥 𝑑𝑥2 + 𝑍𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑍𝑦𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑍𝑦𝑦 𝑑𝑦

2. (74)

2.2.2 Obrobljena Hessejeva determinanta

Zadosten pogoj drugega reda lahko zopet predstavimo z uporabo determinant, kot smo

naredili že v primeru prostih ekstremov. Pri tem, bomo namesto navadne Hessejeve

determinante, uporabili obrobljeno Hessejevo determinanto (Chiang, 1984, str. 381).

Za začetek preverimo predznak kvadratne forme oblike 𝑞 = 𝑎𝑢2 + 2ℎ𝑢𝑣 + 𝑏𝑣2 , ki

ustreza totalenemu diferencialu drugega reda (74). Vez je sledeča:

𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 0. (75)

Vstavimo vez v obliki 𝑣 = − 𝛼

𝛼 𝑢 v enačbo (7)

𝑞 = (𝛼𝛽2 − 2ℎ𝛼𝛽 + 𝑏𝛼2 )𝑢2

𝛽2. (76)

Kvadratna forma (76) bo pozitivno definitna, če bo izraz v oklepaju pozitiven.

Simetrična determinanta z naslednjimi elementi

|0 𝛼 𝛽𝛼 𝑎 ℎ𝛽 ℎ 𝑏

| = 2ℎ𝛼𝛽 − 𝛼𝛽2 − 𝑏𝛼2, (77)

je enaka negativnemu izrazu v oklepaju enačbe (76), iz česar sledi, da je

kvadratna forma 𝑞 z vezjo 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 0, je pozitivno definitna, če je |0 𝛼 𝛽𝛼 𝑎 ℎ𝛽 ℎ 𝑏

| < 0,

kvadratna forma 𝑞 z vezjo 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 0, je negativno definitna, če je |0 𝛼 𝛽𝛼 𝑎 ℎ𝛽 ℎ 𝑏

| > 0.

(78)

19

Determinanta v pogoju (78) je diskriminanta prvotne kvadratne forme |𝑎 ℎℎ 𝑏

|, z dodanima

robovoma na levi strani in na vrhu. Robova, kot vidimo, vsebujeta koeficienta 𝛼 in 𝛽 iz

vezi (Chiang, 1984, str. 382).

Preoblikujemo determinančni kriterij (78) tako, da bo ustrezal kvadratni formi (74),

𝑑2𝑧 z vezjo 𝑔𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔𝑦𝑑𝑦 = 0, je pozitivno definiten, če je |

0 𝑔𝑥 𝑔𝑦𝑔𝑥 𝑍𝑥𝑥 𝑍𝑥𝑦𝑔𝑦 𝑍𝑦𝑥 𝑍𝑦𝑦

| < 0,

𝑑2𝑧 z vezjo 𝑔𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔𝑦𝑑𝑦 = 0, je negativno definiten, če je |

0 𝑔𝑥 𝑔𝑦𝑔𝑥 𝑍𝑥𝑥 𝑍𝑥𝑦𝑔𝑦 𝑍𝑦𝑥 𝑍𝑦𝑦

| > 0. (79)

Determinanti v pogoju (79), pravimo obrobljena Hessejeva determinanta in jo označujemo

z |�̅�|. Pozitivna |�̅�| je zadosten pogoj za to, da opredelimo stacionarno točko prvotne

funkcije (1) ali Lagrangejeve funkcije (58) kot lokalni maksimum (Chiang, 1984, str. 383).

Na prejšnjih straneh smo trdili, da bo ob izpolnitvi zadostnega pogoja drugega reda

Jacobijeva determinanta, izračunana pri ekstremni vrednosti, neničelna. Da ta trditev drži,

lahko dokažemo tako, da vstavimo parcialne odvode (73) v Jacobijevo determinanto (62)

in pomnožimo prvi stolpec in vrstico Jacobijeve determinante z − 1. Dobimo rezultat

|𝐽| = |

0 𝑔𝑥 𝑔𝑦𝑔𝑥 𝑍𝑥𝑥 𝑍𝑥𝑦𝑔𝑦 𝑍𝑦𝑥 𝑍𝑦𝑦

| = |�̅�|, (80)

ki potrdi našo trditev (Chiang, 1984, str. 383).

2.2.3 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami in eno vezjo

Pogoj drugega reda za ciljno funkcijo 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) z vezjo 𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) = 𝑐,

je odvisen od predznaka totalnega diferenciala drugega reda, le-ta pa je odvisen od

vrednosti sledeče obrobljene Hessejeve determinante (Chiang, 1984, str. 384):

|�̅�| = ||

0 𝑔1 𝑔2 … 𝑔𝑛𝑔1 𝑍11 𝑍12 … 𝑍1𝑛𝑔2 𝑍21 𝑍22 … 𝑍2𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑔𝑛 𝑍𝑛1 𝑍𝑛2 … 𝑍𝑛𝑛

||, (81)

in vrednosti obrobljenih glavnih poddeterminant |�̅�|,

20

|�̅�2| = |

0 𝑔1 𝑔2𝑔1 𝑍11 𝑍12𝑔2 𝑍21 𝑍22

|, |�̅�3| = |

0 𝑔1 𝑔2 𝑔3𝑔1 𝑍11 𝑍12 𝑍23𝑔2 𝑍21 𝑍22 𝑍23𝑔3 𝑍31 𝑍32 𝑍33

| … |𝐻𝑛| = |�̅�|. (82)

Pogoj za pozitivno in negativno definitnost totalnega diferenciala drugega reda je sledeč:

totalni diferencial 𝑑2𝑧 z vezjo 𝑑𝑔 = 0, je pozitivno definiten, če so

|�̅�2|, |�̅�3|, … , |�̅�𝑛| < 0,

totalni diferencial 𝑑2𝑧 z vezjo 𝑑𝑔 = 0, je negativno definiten, če so

|�̅�2| > 0 , |�̅�3| < 0 , |�̅�4| > 0 , … , (−1)𝑛|�̅�𝑛| > 0. (83)

Pogoj (83) je dokaj podoben pogoju (28), le da vsebuje obratne neenakosti kot pogoj (28).

To je posledica uporabe obrobljenih Hessejevih podeterminant.

2.2.4 Ciljne funkcije z 𝒏 spremenljivkami in 𝒎 vezmi

Ob upoštevanju 𝑚 < 𝑛 lahko zapišemo naslednjo Lagrangejevo funkcijo (Chiang, 1984,

str. 385):

𝑍 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) + ∑ 𝜆𝑗𝑚𝑗= 1 [𝑐𝑗 − 𝑔

𝑗(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛)], (84)

in obrobljeno Hessejevo determinanto

|�̅�| =

|

|

|

0 0 … 0 𝑔11 𝑔2

1 … 𝑔𝑛1

0 0 … 0 𝑔12 𝑔2

2 … 𝑔𝑛2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … 0 𝑔1

𝑚 𝑔2𝑚 … 𝑔𝑛

𝑚

𝑔11 𝑔1

2 … 𝑔1𝑚 𝑍11 𝑍12 … 𝑍1𝑛

𝑔21 𝑔2

2 … 𝑔2𝑚 𝑍21 𝑍22 … 𝑍2𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑔𝑛

1 𝑔𝑛2 … 𝑔𝑛

𝑚 𝑍𝑛1 𝑍𝑛2 … 𝑍𝑛𝑛

|

|

|

. (85)

Zadosten pogoj drugega reda za maksimum funkcije 𝑧 je, da se neenakosti pri obrobljenih

glavnih poddeterminantah |�̅�|,

|�̅�𝑚+1|, |�̅�𝑚+2|, … , |�̅�𝑛| (86)

menjajo, pri čemer je predznak |�̅�𝑚+1| enak (−1)𝑚+1. Zadosten pogoj drugega reda za

minimum funkcije 𝑧 je, da imajo vse obrobljene glavne poddeterminante |�̅�| enak

predznak, (−1)𝑚+1.

21

2.3 Kvazikonkavnost in kvazikonveksnost

2.3.1 Preverjanje kvazikonkavnosti in kvazikonveksnosti

Pred algebraično definicijo kvazikonkavnosti in kvazikonveksnosti bomo najprej

predstavili geometrično definicijo kvazikonkavnosti in kvazikonveksnosti, ki je sledeča.

Naj bosta 𝑢 in 𝑣 kateri koli točki v konveksnem definicijskem območju funkcije 𝑓. Naj

daljica 𝑢𝑣 poda takšen lok 𝐴𝐵 na površini funkcije, da bo točka 𝐵 višja ali enaka točki 𝐴

po višini. Funkcija 𝑓 je kvazikonkavna, če so vse točke na loku 𝐴𝐵 višje ali enake točki 𝐴.

Funkcija 𝑓 je kvazikonveksna, če so vse točke na loku 𝐴𝐵 nižje ali enake točki 𝐵. Funkcija

𝑓 je strogo kvazikonkavna, če so vse točke na loku 𝐴𝐵 razen 𝐴 in 𝐵 strogo višje kot točka

𝐴. Funkcija 𝑓 je strogo kvazikonveksna, če so vse točke na loku 𝐴𝐵 razen 𝐴 in 𝐵 strogo

nižje kot točka 𝐵 (Chiang, 1984, str. 387-388).

Površina ali del površine kvazikonkavne funkcije, ki ne ustreza pogoju konkavnosti ima

približno obliko zvona. Na tej površini so dovoljeni konkavni in konveksni deli. Iz tega

sledi, da je kvazikonkavnost šibkejši pogoj kot konkavnost, kvazikonveksnost pa šibkejši

pogoj kot konveksnost (Chiang, 1984, str. 388-389).

Algebraična definicija za kvazikonkanost in kvazikonveksnost je sledeča:

funkcija 𝑓 je kvazikonkavna, če za kateri koli par točk 𝑢, 𝑣 v definicijskem območju

𝑓 in ob 0 ≤ 𝜃 ≤ 1 velja, 𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢) ⇒ 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣] ≥ 𝑓(𝑢).

funkcija 𝑓 je kvazikonveksna, če za kateri koli par točk 𝑢, 𝑣 v definicijskem območju

𝑓 in ob 0 ≤ 𝜃 ≤ 1 velja, 𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢) ⇒ 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣] ≤ 𝑓(𝑣). (87)

Za ekvivalenten pogoj za strogo kvazikonkavnost in strogo kvazikonveksnost moramo

nestroge neenakosti na desni strani pogoja (87) zamenjati z strogimi.

Ob opazovanju pogoja (87) je možno zapisati sledeče (Chiang, 1984, str. 390):

če je 𝑓(𝑥) kvazikonkavna funkcija (𝑥 lahko interpretiramo kot vektor spremenljivk), je

−𝑓(𝑥) kvazikonveksna funkcija in obratno. Če je 𝑓(𝑥) strogo kvazikonkavna funkcija,

je −𝑓(𝑥) strogo kvazikonveksna funkcija in obratno.

To lahko potrdimo s tem, da pogoj (87), ki ustreza pogoju kvazikonkavnosti, pomnožimo z

− 1.

katera koli konkavna funkcija je kvazikonkavna. Katera koli konveksna funkcija je

kvazikonveksna. Katera koli strogo konkavna funkcija je strogo kvazikonkavna. Katera

koli strogo konveksna funkcija je strogo kvazikonveksna. Nobena od zgornjih trditev

ne velja obratno.

22

Dokažimo prvo trditev. Naj bo 𝑓(𝑥) konkavna. Velja torej,

𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣] ≥ 𝜃𝑓(𝑢) + (1 − 𝜃)𝑓(𝑣). (88)

Predpostavimo 𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢). V tem primeru katero koli tehtano povprečje 𝑓(𝑣) in 𝑓(𝑢) ne

more biti manjše kot 𝑓(𝑢):

𝜃𝑓(𝑢) + (1 − 𝜃)𝑓(𝑣) ≥ 𝜃𝑓(𝑢). (89)

Po združitvi neenačb (88) in (89) dobimo definicijo kvazikonkavnosti

𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣] ≥ 𝑓(𝑢), za 𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢). (90)

če je 𝑓(𝑥) linearna funkcija, potem je tudi kvazikonkavna in kvazikonveksna.

Linearna funkcija je, kot smo že omenili, tako konkavna kot tudi konveksna. Iz druge

trditve zgoraj lahko potrdimo, da je potemtakem tudi kvazikonkavna in kvazikonveksna.

2.3.2 Kvazikonveksnost in kvazikonkavnost odvedljivih funkcij

Če je funkcija 𝑓 odvodljiva, lahko pogoj za kvazikonkavnost in kvazikonveksnost izrazimo

z njenimi prvimi odvodi (Chiang, 1984, str. 393). Za funkcijo ene spremenljivke je

definicija kvazikonkavnosti in kvazikonveksnosti sledeča:

Odvedljiva funkcija 𝑓(𝑥) je kvazikonkavna, če za kateri koli točki 𝑢 in 𝑣 v

definicijskem območju velja, 𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢) ⇒ 𝑓′(𝑢) (𝑣 − 𝑢) ≥ 0.

Odvedljiva funkcija 𝑓(𝑥) je kvazikonveksna, če za kateri koli točki 𝑢 in 𝑣 v

definicijskem območju velja, 𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢) ⇒ 𝑓′(𝑣) (𝑣 − 𝑢) ≥ 0. (91)

Da dobimo pogoj za strogo kvazikonkavnost in strogo kvazikonveksnost, moramo nestrogi

neenakosti na desni strani pogoja (91) zamenjati s strogima neenakostima.

Za funkcijo dveh ali večih spremenljivk sta kvazikonkavnost in kvazikonveksnost

definirani sledeče:

Odvedljiva funkcija 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) je kvazikonkavna, če za kateri koli točki

𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛) in 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛) v definicijskem območju velja,

𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢) ⇒ ∑ 𝑓𝑖(𝑢) (𝑣𝑖 − 𝑢𝑖)𝑛𝑖=1 ≥ 0.

Odvedljiva funkcija 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) je kvazikonveksna, če za kateri koli točki

𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛) in 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛) v definicijskem območju velja,

𝑓(𝑣) ≥ 𝑓(𝑢) ⇒ ∑ 𝑓𝑖(𝑣) (𝑣𝑖 − 𝑢𝑖)𝑛𝑖=1 ≥ 0. (92)

23

V pogoju (92) je 𝑓𝑖 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖 izračunan pri 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛) oziroma 𝑣 =

(𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛).

2.3.3 Globalni ekstremi kvazikonkavnih in kvazikonveksnih funkcij

Ko smo govorili o konkavnosti in konveksnosti, smo ta dva koncepta povezali z pogoji

drugega reda. Enako lahko naredimo z kvazikonkavnostjo in kvazikonveksnostjo. Vendar,

da bi to lahko naredili, potrebujemo najprej definicijo eksplicitne kvazikonkavnosti in

eksplicitne kvazikonveksnosti (Chiang, 1984, str. 397).

Funkcija 𝑓 je eksplicitno kvazikonkavna, če velja

𝑓(𝑣) > 𝑓(𝑢) ⇒ 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣] > 𝑓(𝑢).

Funkcija 𝑓 je eksplicitno kvazikonkavna, če velja

𝑓(𝑣) > 𝑓(𝑢) ⇒ 𝑓[𝜃𝑢 + (1 − 𝜃)𝑣] < 𝑓(𝑣). (93)

Pogoj 𝑓(𝑣) > 𝑓(𝑢) izvzame horizontalne dele površja 𝑓 iz pogoja za eksplicitno

kvazikonkavnost in eksplicitno kvazikonveksnost. Posledično velja, da je pogoj za

eksplicitno kvazikonkavnost in eksplicitno kvazikonveksnost šibkejši od pogoja za strogo

kvazikonkavnost in strogo kvazikonveksnost (Chiang, 1984, str. 398-399).

Naj bo funkcija 𝑓 eksplicitno kvazikonkavna in naj bo množica vezi

{(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) | 𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) = 𝑐} konveksna . Potemtakem ima funkcija vezi 𝑔

linearno obliko in stacionarna točka 𝑧̅ = 𝑓(�̅�1 , �̅�2 , … , �̅�𝑛) z vezjo 𝑔(�̅�1 , �̅�2 , … , �̅�𝑛) je

globalni vezani maksimum. Eksplicitna kvazikonkavnost torej zamenja pogoj drugega reda

kot zadosten pogoj za za maksimum (Chiang, 1984, str. 398-399).

Naj bo funkcija 𝑓 strogo kvazikonkavna in naj bo množica vezi

{(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) | 𝑔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) = 𝑐} konveksna. Potemtakem ima funkcija vezi 𝑔

linearno obliko in stacionarna točka 𝑧̅ = 𝑓(�̅�1 , �̅�2 , … , �̅�𝑛) z vezjo 𝑔(�̅�1 , �̅�2 , … , �̅�𝑛) je

enolični globalni vezani maksimum. Stroga kvazikonkavnost torej zamenja pogoj drugega

reda kot zadosten pogoj za za maksimum (Chiang, 1984, str. 398-399).

2.4 Ekonomske aplikacije

2.4.1 Maksimizacija koristnosti potrošnika

Potrošnik se odloča o nakupu dveh dobrin 𝑥 in 𝑦, pri čemer je mejna korist obeh dobrin

vedno pozitivna (𝑈𝑥 , 𝑈𝑦 > 0) , ceni dobrin pa sta določeni zunaj modela. Potrošnikov

dohodek bomo označili z zneskom 𝐵 (Chiang, 1984, str. 400).

Iskali bomo torej maksimum sledeče funkcije koristnosti

24

𝑈 = 𝑈(𝑥, 𝑦), (94)

z vezjo

𝑥𝑃𝑥 + 𝑦𝑃𝑦 = 𝐵. (95)

Zapišimo Lagrangejevo funkcijo

𝑍 = 𝑈(𝑥, 𝑦) + 𝜆 [𝐵 − 𝑥𝑃𝑥 − 𝑃𝑦𝑦]. (96)

Potreben pogoj prvega reda za maksimum Lagrangejeve funkcije tvorijo tri enačbe

𝑍𝜆 = 𝐵 − 𝑥𝑃𝑥 − 𝑃𝑦𝑦 = 0,

𝑍𝑥 = 𝑈𝑥 – 𝜆 𝑃𝑥 = 0, (97)

𝑍𝑦 = 𝑈𝑦 – 𝜆 𝑃𝑦 = 0,

pri čemer sta zadnji dve enačbi ekvivalentni

𝑈𝑥

𝑃𝑥=

𝑈𝑦

𝑃𝑦= 𝜆. (98)

Potrošnik, ki maksimizira koristnost, kupi tako kombinacijo dobrin 𝑥 in 𝑦, da se delež

mejne koristnosti v ceni za obe dobrini izenači.

Z preoblikovanjem pogoja (98),

𝑈𝑥

𝑈𝑦=

𝑃𝑥

𝑃𝑦, (99)

lahko drugače interpretramo pogoj prvega reda. Vendar, da bi to bilo mogoče, se moramo

najprej spoznati z ekonomskim konceptom indiferenčnih krivulj. Indiferenčna krivulja

kaže kombinacije količin dveh dobrin 𝑥 in 𝑦 , ki potrošniku prinašajo enako raven

koristnosti (𝑈) (Chiang, 1984, str. 401).

𝑑𝑈 = 𝑈𝑥 𝑑𝑥 + 𝑈𝑦𝑑𝑦 = 0. (100)

Iz enakosti (100) vidimo, da je naklon indiferenčne krivulje enak 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑈𝑥

𝑈𝑦 in vedno

negativen, saj smo predpostavili, da sta 𝑈𝑥, 𝑈𝑦 > 0.

Desno stran pogoja (99) dobimo tako, da izpostavimo 𝑦 v enačbi vezi (95). Razvidno je, da

je naklon dohodkovne vezi enak − 𝑃𝑥

𝑃𝑦.

Pogoj (98) lahko sedaj interpretiramo drugače. Potrošnik, ki maksimizira koristnost, kupi

tako kombinacijo dobrin 𝑥 in 𝑦, ob kateri se naklona indiferenčne krivulje in dohodkovne

25

vezi izenačita. To se zgodi v točki tangentnosti indiferenčne krivulje z dohodkovno vezjo

(Chiang, 1984, str. 402).

Preverimo še pogoj drugega reda. Stacionarna vrednost 𝑈 bo maksimum, če velja

|�̅�| = |

0 𝑃𝑥 𝑃𝑦𝑃𝑥 𝑈𝑥𝑥 𝑈𝑥𝑦𝑃𝑦 𝑈𝑦𝑥 𝑈𝑦𝑦

| = 2𝑃𝑥 𝑃𝑦𝑈𝑥𝑦 − 𝑃𝑦2𝑈𝑥𝑥 − 𝑃𝑥

2𝑈𝑦𝑦 > 0. (101)

Izpolnitev zadostnega pogoja drugega reda bo, kot je iz pogoja (101) razvidno, odvisna od

vrednosti 𝑈𝑥𝑦, 𝑈𝑥𝑥 in 𝑈𝑦𝑦. To pomeni, da moramo funkciji koristnosti dodati določene

omejitve, ki bodo vplivale na obliko indiferenčnih krivulj (Chiang, 1984, str. 402).

Dokažimo, da stroga konveksnost indiferenčne krivulje v točki tangentnosti z dohodkovno

vezjo, zadovolji pogoj v (101). Indiferenčna krivulja bo strogo konveksna, če velja 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2>

0. Zapišimo enačbo za odvod drugega reda indiferenčne krivulje

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑑

𝑑𝑥 (−

𝑈𝑥

𝑈𝑦) = −

1

𝑈𝑦2 (𝑈𝑦

𝑑𝑈𝑥

𝑑𝑥 − 𝑈𝑥

𝑑𝑈𝑦

𝑑𝑥), (102)

kjer je 𝑑𝑈𝑥

𝑑𝑥= 𝑈𝑥𝑥 + 𝑈𝑦𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 in

𝑑𝑈𝑦

𝑑𝑥= 𝑈𝑥𝑦 + 𝑈𝑦𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥 , ker 𝑥 vpliva ne le direktno na 𝑈𝑥 in

𝑈𝑦, ampak tudi indirektno preko 𝑦, saj je 𝑦, ko se premikamo po indiferenčni krivulji,

funkcija 𝑥.

V točki tangentnosti indiferenčne krivulje z dohodkovno vezjo bo veljalo

𝑑𝑈𝑥

𝑑𝑥= 𝑈𝑥𝑥 − 𝑈𝑦𝑥

𝑃𝑥

𝑃𝑦 in

𝑑𝑈𝑦

𝑑𝑥= 𝑈𝑥𝑦 + 𝑈𝑦𝑦

𝑃𝑥

𝑃𝑦 . (103)

Vstavimo dve enakosti (103) v odvod drugega reda (102) in ob tem upoštevajmo, da je

𝑈𝑥 = 𝑈𝑦𝑃𝑥

𝑃𝑦. Dobimo rezultat

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

2𝑃𝑥 𝑃𝑦𝑈𝑥𝑦− 𝑃2

𝑦𝑈𝑥𝑥− 𝑃2

𝑥 𝑈𝑦𝑦

𝑈𝑦𝑃𝑦2 =

|�̅�|

𝑈𝑦𝑃𝑦2. (104)

Iz enačbe (104) je razvidno, da je v primeru, ko je zadosten pogoja drugega reda (101)

izpolnjen, odvod drugega reda v (104) pozitiven. Indiferenčna krivulja je v tem primeru

strogo konveksna v točki tangentnosti. Prav tako je res, da stroga konveksnost indiferenčne

krivulje v točki tangentnosti pomeni izpolnitev pogoja (101). Indiferenčne krivulje imajo

namreč povsod negativen naklon, kar pomeni, da nimajo nobenih stacionarnih točk. Na

strogo konveksni indiferenčni krivulji je torej odvod drugega reda (104) lahko le pozitiven.

Zadosten pogoj drugega reda v (101) bo zato izpolnjen. Navkljub vsemu rečenemu se

moramo zavedati, da bodo indiferenčne krivulje strogo konveksne le tedaj, kadar bo

funkcija koristnosti v (94) strogo kvazikonkavna (Chiang, 1984, str. 403).

26

2.4.2 Optimalna zaposlitev produkcijskih faktorjev

Podjetje izdeluje produkt z dvema produkcijskima faktorjema: z delom (𝐿) in kapitalom

(𝐾), pri čemer sta mejna produkta 𝐿 in 𝐾 vedno pozitivna (𝑄𝐿 , 𝑄𝐾 > 0). Strošek dela (𝑤)

in strošek kapitala (𝑟) je določen izven modela. Podjetje si lahko privošči stroške v višini

zneska 𝐶.

Iščemo torej maksimum sledeče produkcijske funkcije

𝑄 = 𝑄(𝐿, 𝐾), (105)

z vezjo

𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 = 𝐶. (106)

Zapišimo Lagrangejevo funkcijo

𝑍 = 𝑄(𝐿, 𝐾) + 𝜆 [𝐶 – 𝑤𝐿 − 𝑟𝐾]. (107)

Potreben pogoj prvega reda za maksimum Lagrangejeve funkcije (107) tvorijo tri enačbe

𝑍𝜆 = 𝐶 – 𝑤𝐿 − 𝑟𝐾 = 0,

𝑍𝐿 = 𝑄𝐿 – 𝜆𝑤 = 0, (108)

𝑍𝐾 = 𝑄𝐾 – 𝜆𝑟 = 0,

pri čemer sta zadnji dve enačbi ekvivalentni

𝑄𝐾

𝑄𝐿=

𝑟

𝑤. (109)

Pogoj (109) je identičen pogoju (99), le da leva stran pogoja (109) predstavlja naklon

izokvante, ali krivulje enakega proizvoda. Izokvanta je vsebinsko popolnoma enaka

indiferenčni krivulji. Desna stran pogoja (109) je enaka naklonu stroškovne vezi.

Interpretirajmo pogoj (109). Podjetje, ki maksimizira produkt, mora zaposliti tako

kombinacijo produkcijskih faktorjev, da se naklona izokvante in stroškovne vezi izenačita.

Preverimo še pogoj drugega reda. Parcialni odvodi drugega reda so sledeči:

𝑍𝐿𝐿 = 𝑄𝐿𝐿 𝑍𝐿𝐾 = 𝑄𝐿𝐾 , 𝑍𝐾𝐿 = 𝑄𝐾𝐿 , 𝑍𝐾𝐾 = 𝑄𝐾𝐾 . (110)

Stacionarna vrednost 𝑄 bo maksimum, če velja

|�̅�| = |0 𝑤 𝑟𝑤 𝑄𝐿𝐿 𝑄𝐿𝐾𝑟 𝑄𝐾𝐿 𝑄𝐾𝐾

| = 2𝑤𝑟𝑄𝐿𝐾 − 𝑟2𝑄𝐿𝐿 − 𝑤

2𝑄𝐾𝐾 > 0. (111)

27

Če je produkcijska funkcija v (105) strogo kvazikonkavna, bodo izokvante strogo

konveksne. To pa pomeni, da bo v točki tangentnosti izokvante z stroškovno vezjo

zadosten pogoj drugega reda (111) izpolnjen.

2.4.3 Averch-Johnsonov učinek

Če le eno podjetje na trgu ponuja določen proizvod, je to podjetje monopolist. Ker tako

podjetje ni soočeno z konkurenco, običajno omejuje ponudbo svojih izdelkov in postavlja

previsoke cene. Oboje škodi potrošnikom. Država zato podjetja, ki imajo monopolen

položaj na trgu, regulira.

Produkcijska funkcija monopolista je identična produkcijki funkciji (105) v zgornjem

primeru. Profitna funkcija ima zato sledečo obliko:

𝜋 = 𝑅 − 𝑤𝐿 − 𝑟𝐾, (112)

kjer je 𝑅 = 𝑃(𝑄)𝑄. Preoblikujmo profitno funkcijo tako, da izpostavimo strošek kapitala 𝑟

𝑅−𝑤𝐿

𝐾= 𝑟. (113)

Regulator bo monopolistu dovolil tak donos na kapital 𝑠, da bo veljalo 𝑟 ≤ 𝑠 < 𝑠𝑀, pri

čemer je donos monopolista pred regulacijo označen z 𝑠𝑀.

Monopolist torej maksimizira profitno funkcijo (112) z vezjo

𝑅−𝑤𝐿

𝐾≤ 𝑠. (114)

Zapišimo Lagrangejevo funkcijo

𝑍 = 𝑅 − 𝑤𝐿 − 𝑟𝐾 + 𝜆 (𝑠𝐾 + 𝑤𝐿 − 𝑅). (115)

Potreben pogoj prvega reda za maksimum Lagrangejeve funkcije (115) tvorijo tri enačbe

𝑍𝜆 = 𝑠𝐾 + 𝑤𝐿 − 𝑅 = 0,

𝑍𝐾 =𝜕𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑄

𝜕𝐾 – 𝑟 + 𝜆 (𝑠 −

𝜕𝑅

𝜕𝑄 𝜕𝑄

𝜕𝐾) = 0, (116)

𝑍𝐿 =𝜕𝑅

𝜕𝑄 𝜕𝑄

𝜕𝐿 – 𝑤 + 𝜆 (𝑤 −

𝜕𝑅

𝜕𝑄 𝜕𝑄

𝜕𝐿) = 0.

Preoblikujmo zadnji dve enačbi pogoja (116)

𝑍𝐾 =𝜕𝑅

𝜕𝑄

𝜕𝑄

𝜕𝐾 (1 − 𝜆) = 𝑟 (1 − 𝜆) − 𝜆(𝑠 − 𝑟),

𝑍𝐿 =𝜕𝑅

𝜕𝑄 𝜕𝑄

𝜕𝐿 (1 − 𝜆) = 𝑤 (1 − 𝜆), (117)

28

in delimo prvo enačbo z drugo. Dobimo rezultat

𝑄𝐾

𝑄𝐿=

𝑟

𝑤 −

𝜆(𝑠 − 𝑟)

𝑤 (1 − 𝜆), (118)

kjer je člen 𝜆(𝑠 − 𝑟)

𝑤 (1 − 𝜆) pozitiven, saj je iz druge enačbe v (116) razvidno, da je Lagrangejev

multiplikator 0 ≤ 𝜆 < 1, ob upoštevanju 𝑠 > 𝑟. Da je 𝜆 ≥ 0, lahko dokažemo s tem, da v

drugi enačbi v (116) izberemo tako visoko vrednost dovoljenega donosa 𝑠, da bo vez, ki jo

določi regulator, neučinkovita in bo 𝜆 = 0 (Blume & Simon, 1994, str. 445). Takšen

dovoljeni donos pa ni enak reguliranemu donosu 𝑠, katerega vrednost mora biti 𝑟 ≤ 𝑠 <

< 𝑠𝑀.

Pogoj prvega reda v (118), lahko ob pozitivnem členu 𝜆(𝑠 − 𝑟)

𝑤 (1 − 𝜆), zapišemo sledeče:

𝑄𝐾

𝑄𝐿<

𝑟

𝑤. (119)

Regulirano podjetje zaposluje neoptimalno kombinacijo dveh produkcijskih faktorjev –

zaposluje preveč kapitala in premalo dela. Razlog za tako obnašanje reguliranega podjetja

lahko poiščemo v neenačbi (114). Če je delež profita v kapitalu omejen s strani regulatorja,

bo regulirano podjetje, zaradi želje po višjem profitu, imelo močno spodbudo, da investira

v kapital nad mejo učinkovite proizvodnje, podano v enačbi (109).

SKLEP

V teoretičnem delu diplomskega dela smo izpeljali pogoje, s katerimi lahko identificiramo

ekstreme ciljne funkcije. Pri iskanju tako prostih kot vezanih ekstremov sta bila ta pogoja

dva, pogoj prvega reda in pogoj drugega reda. Slednjega nam, kot smo pokazali, v primeru

konkavnih in konveksnih funkcij, ni potrebno preverjati.

Izpeljane pogoje smo nato v praktičnem delu diplomskega dela uporabili pri analizi

konkretnih ekonomskih problemov. Videli smo, da monopolist, ki ponuja svoj izdelek na

več trgih, maksimizira profit tako, da postavi višje cene na trgih z manjšo elastičnostjo

povpraševanja, medtem ko popolni konkurent maksimizira profit tako, da proizvaja takšno

količino izdelka, ob kateri je mejni strošek izdelka enak (tržno določeni) ceni izdelka. V

drugem delu smo ugotovili, da potrošnik, ki maksimizira koristnost, kupi takšno

kombinacijo dobrin, ob kateri je delež mejne koristnosti posamezne dobrine v njeni ceni za

vse dobrine enak, medtem ko podjetje maksimizira produkt tako, da zaposli takšno

kombinacijo produkcijskih faktorjev, ob kateri je delež mejnega produkta posameznega

produkcijskega faktorja v njegovi ceni za vse produkcijske faktorje enak. Pokazali smo

tudi, da regulirano podjetje zaposluje neoptimalno kombinacijo produkcijskih faktorjev, saj

ima močno spodbudo, da investira v kapital nad mejo učinkovite proizvodnje.

29

LITERATURA IN VIRI

1. Chiang A. C. (1984). Fundamental methods of mathematical economics (3rd ed.). New

York: McGraw-Hill.

2. Blume, S., & Simon, C. (1994). Mathematics for economists (1st ed.). New York: W.

W. Northon & Company.