SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

DIPLOMSKI ZADATAK br. 1795

ANIMACIJA FIZIKALNO TEMELJENOG MODELA KOSE

Klea Kolarić

Zagreb, srpanj 2009.

Sadržaj: 1. Uvod......................................................................................4

2. Problemi pri modeliranju kose.................................................... 5

3. Fizikalno temeljeni model kose................................................... 7

3.1 Fizikalno temeljeni model bez opruga................................ 8 3.2 Fizikalno temeljeni model s oprugama............................... 9 3.3 Utjecaj prigušenja.......................................................... 11 3.4 Fizičke veličine............................................................... 12

4. Programska implementacija modela............................................ 14

4.1 Korištenje sfernih koordinata........................................... 14 4.2 Lokalni koordinatni sustav............................................... 16 4.3 Početni uvjeti................................................................ 17 4.4 Korištene strukture podataka........................................... 18 4.5 Pseudokod.................................................................... 19 4.6 Korištene veličine........................................................... 20

5. Različiti primjeri modela............................................................ 22

5.1 Ponašanje kostura valovite vlasi nakon ekstremne deformacije (uvid u težinske faktore)...................................................... 22

5.2 Ponašanje kostura vlasi pri utjecaju vanjskih sila ................ 23 5.3 Kostur ravne vlasi kao njihalo......................................... 23

6. Modeliranje kose...................................................................... 25

6.1 Aproksimacijske uniformne B-splajn kubne krivulje............. 25 6.2 Modeliranje krivulja........................................ ................ 27 6.3 Modeliranje traka........................................................... 28

6.4 Modeliranje cijevi........................................................... 30

7. Animacija kose pomoću OpenGL-a.............................................. 32

7.1 Inicijalizacija OpenGL varijabli.......................................... 32 7.2 Prikazivanje vlasi........................................... ................ 33 7.3 Prikazivanje traka.......................................................... 34

7.4 Prikazivanje cijevi.......................................................... 36 7.5 Korištenje tekstura.........................................................39

8. Rezultati izvođenja simulacije.................................................... 42

8.1 Krivulje......................................................................... 42 8.2 Trake........................................................... ................ 44 8.3 Cijevi........................................................................... 45

9. Zaključak................................................................................ 46

10. Literatura.............................................................................. 47

2

Dodatak 1: Rješenje jednadžbe gibanja.......................................... 48

Dodatak 2: Uvjet stabilnosti.......................................................... 51

Sažetak...................................................................................... 53

Abstract..................................................................................... 54

3

1. Uvod

Još od početaka računalne grafike modeliranje i animacija kose

(pogotovo u stvarnom vremenu) predstavljali su veliki problem zbog

složene prirode kose. Model kose koji izgleda prirodno bio je nužan za

ostvarivanje realnog izgleda virtualnih ljudi za različite CG aplikacije. S

vremenom je razvijen niz modela koji su se djelomično zasnivali na

fizičkim svojstvima vlasi kose, a korišteni su za aproksimiranje gibanja

čitavog pramena te su tako omogućili realniju animaciju kose u stvarnom

vremenu.

Slika 1.1 Kosa je važan element pri modeliranju virtualnih ljudi. Animacija kose u stvarnom vremenu daje realniji izgled računalnim

igrama.

Cilj ovog rada je pokazati kako postići što realniju simulaciju kose u

stvarnom vremenu koristeći fizikalno temeljeni matematički model koji je

predložio Anjyo [1] te razvili Koh i Huang [2]. U radu se daje pregled

matematičkog modela, način implementacije i vizualizacije te osvrt na

probleme i prednosti modela i implementacije.

4

2. Problemi pri modeliranju kose

Osnovni problem pri modeliranju kose je njezina složenost: na

ljudskoj glavi obično se nalazi preko 100,000 vlasi, a fizička svojstva vlasi

drastično se razlikuju ovisno o tipu kose. Svaka zasebna vlas ima vrlo mali

promjer i masu. Ponašanje zasebne vlasi donekle se razlikuje od

ponašanja pramena: vlasi se obično grupiraju u pramenove zbog trenja

između vlasi, tako da se susjedne vlasi ponašaju slično. Izraženost

grupiranja vlasi ovisi jako o tipu kose (npr. ravna ili kovrčava, tanka ili

čvrsta itd.).

Slika 2.1 Površina vlasi kose nije glatka nego se sastoji od niza sitnih ljuskica. To znatno povećava trenje između

pramenova te trenje između kose i zraka.

Zbog veće mase i oblika pramen drugačije reagira na strujanje i

otpor zraka nego zasebna vlas. Također, unutarnje trenje u pramenu,

činjenica da su vlasi obično deblje pri korijenu i smjer rasta kose imaju

kao posljedicu veću pokretljivost kose pri vrhovima nego uz vlasište, što

je ponašanje koje se toliko ne primjećuje pri promatranju zasebne vlasi.

Postoji velik broj tipova kose i različitih frizura, a ponašanje kose mijenja

se drastično pod utjecajem proizvoda za oblikovanje ili pod utjecajem

vlage. Najrealističniji računalni modeli modelirali su zasebno pojedinačne

5

vlasi (npr. 60,000 zasebnih vlasi u animiranom filmu "Final Fantasy: the

Spirits Within"), no ovi modeli nisu bili pogodni za izvođenje u stvarnom

vremenu.

Slika 2.2 Veća pokretljivost pramena pri vrhu nego pri korijenu.

Većina današnjih modela za animaciju u stvarnom vremenu koristi

kostur sastavljen od opruga (koje slijede fizičke zakone za oprugu) koji se

onda modificira kako bi što realnije dočaralo kretanje pramena kose.

Zatim se taj kostur koristi kao osnova za stvaranje različitih NURBS

površina ili "omotnica" kojima se dočarava izgled pramena [3].

6

3. Fizikalno temeljeni model kose

Osnovu većine fizikalnih modela za kosu predložio je Anjyo 1992.

Model se sastojao od čvrstih segmenata duljine d koji su bili povezani

pokretnim zglobovima. Na segmente je djelovala vanjska sila F. Njegov

model je imao prednost jer je umjesto uobičajenog kartezijevog

koordinatnog sustava (s osima xyz) koristio sferni koordinatni sustav (s

komponentama rθφ). Svaki segment bio je učvršćen u ishodištu lokalnog

koordinatnog sustava i njegov pomak se izražavao promjenom kutova θ i φ (r je uvijek odgovarao duljini segmenta d koja je nepromjenjiva).

Takav koordinatni sustav je bio bolje prilagođen kretanju samog

segmenta koje je odgovaralo rotaciji štapa učvršćenog u jednom kraju

(tako da se umjesto mase koristi moment tromosti I, a umjesto sile

moment sile M). Anjyo [1] je predložio jednodimenzionalne projektivne

jednadžbe, nazvane tako jer se vanjska sila razloži na projekcije u θ i φ

ravnini i te se projekcije koriste pri računanju odgovarajućih kutova.

Slika 3.1 Kostur koji opisuje gibanje kose sastoji se od povezanih čvrstih segmenata.

7

3.1 Fizikalno temeljeni model bez opruga

Slika 3.1.1 Rotacija i-tog segmenta oko ishodišta lokalnog koordinatnog sustava opisana preko kutova θ i φ.

Osnovni oblik jednadžbe je:

ψψ M

dtd

=2

2

gdje je ψ kut, t je vrijeme, a Mψ projekcija vanjske sile F u ψ ravninu.

Kada to primijenimo na sferne koordinate:

8

ϕ

θ

ϕ

θ

FvIdt

d

FuIdt

d

ii

ii

i

1

1

2

2

2

2

=

=

gdje je Ii moment tromosti svakog segmenta, ui je polovica duljine

segmenta, a vi polovica duljine projekcije segmenta u φ ravninu. Uzima se

da imamo k segmenata koji su svi iste duljine. Komponenta vanjske sile

za svaku ravninu računa se kao skalarni produkt između vanjske sile F i

jediničnog vektora koji leži u dotičnoj ravnini, a okomit je na segment (tj.

na projekciju segmenta u tu ravninu). Uzima se da komponenta sile u

ravnini ima isti smjer kao i taj jedinični vektor.

Moment tromosti segmenta definira se kao:

2

31 dmwI iii ⋅=

gdje je d duljina segmenta, a mi masa segmenta (definirana kao d *

gustoća ρ * površina presjeka). Ovo je uobičajen izraz za moment tromosti

štapa koji rotira oko jednog kraja, ali je dodan i "težinski faktor" wi koji

omogućava realnije ponašanje kose tako da su segmenti uz vlasište teži,

dok su oni pri vrhovima pokretljiviji. wi se najčešće definira kao k/i, iako se

za modeliranje različitih tipova kose ili frizura faktori mogu i drukčije

definirati.

3.2 Fizikalno temeljeni model s oprugama

Kasnije je model opisan u "A Simple Method For Extracting The

Natural Beauty Of Hair" [1] proširen korištenjem opruga [2]. Opet, zbog

korištenja sfernog koordinatnog sustava opruge se definiraju tako da

imaju komponente u θ i φ ravninama. Ovo puno prirodnije opisuje

9

ponašanje kose nego definiranje opruga koje bi djelovale po xyz osima.

Možemo gledati kao da se θ u mirovanju odupire gravitaciji, dok se φ

opruga opire torziji. Dakle, ukupni moment sile možemo pisati kao:

vanjskoopruge

vanjskoopruge

MMM

MMM

ϕϕϕ

θθθ

+=

+=

Dalje, ovo se može raspisati kao:

ϕϕ

θθ

ϕϕ

θθ

ϕϕ

θθ

vFM

uFM

kM

kM

vanjsko

vanjsko

opruge

opruge

=

=

−−=

−−=

)(

)(

0

0

gdje je u polovica duljine segmenta, a v polovica duljine projekcije

segmenta u φ ravninu. Ne smijemo zaboraviti da radimo s vektorima, i to

treba uzeti u obzir pri zbrajanju i množenju.

Vanjska sila koja djeluje na segment je rezultanta sile gravitacije,

sile vjetra na vlasi i sile nastale zbog pokreta glave. Uvrštavanjem svega

navedenog dobivamo početnu diferencijalnu jednadžbu koja odgovara

jednadžbi opruge s prigušenjem uz djelovanje vanjske sile:

ϕ

θ

ϕγϕ

θγθ

Mdt

ddt

dI

Mdt

ddtdI

ii

ii

ii

ii

=+

=+

2

2

2

2

gdje γi predstavlja prigušenje. U numeričkoj simulaciji ove jednadžbe se

diskretiziraju kao:

10

ϕ

θ

ϕϕγϕϕϕ

θθγθθθ

Mtt

Mttn

i

n

ii

n

ii

nn

i

n

i

n

ii

n

iinn

i

′Δ=−Δ′++−

′Δ=−Δ′++−−−+

−−+

2111

2111

)()(2

)()(2

gdje ' označava da su Mθ i γi podijeljeni s Ii. Cijeli izračun ove formule

može se naći u Dodatak 1.

3.3 Utjecaj prigušenja

Kako bi sustav opruge prestao titrati nakon nekog vremena

potrebno je uvesti prigušenje γ. Obično se ovo naziva koeficijent

prigušenja i označava se sa c. Računa se kao:

kmc ζ2=

Pošto računamo kutne veličine možemo pisati I umjesto m. Važan

parametar ovdje nam je ζ tj. omjer prigušenja koji određuje koliko perioda

će sustav titrati prije nego što se zaustavi. Odnos između ζ i prigušenja

možemo vidjeti na Slici 2.3.1.

11

Slika 3.3.1 Odnos između omjera prigušenja i frekvencije titranja

3.4 Fizičke veličine

Pošto je ovo fizikalno temeljeni model, zahtjeva uvrštavanje i nekih

stvarnih svojstava kose poput dimenzije. Utvrđeno je da je prosječna

gustoća vlasi oko 1.3 g/cm3 [7]. Debljina vlasi znatno varira ovisno o tipu

kose, tako da promjer vlasi iznosi od 17 do 181 μm. Iako presjek vlasi nije

idealno kružan već eliptičan, za naše potrebe možemo vlas aproksimirat

kao dugačak cilindar s kružnim presjekom. Individualna vlas je vrlo

elastična i može se rastegnuti do 50% prije no što pukne, ali pramen koji

sadrži oko 100 vlasi je veoma čvrst i pri djelovanju sila poput vjetra ne

pokazuje znakove rastezanja.

Za neka svojstva kose ipak se moraju koristiti aproksimacije i

vlastita procjena jer:

1. Nema zadovoljavajućih mjerenja nekih veličina.

12

2. Model bi se znatno zakomplicirao da sadrži utjecaje strujanja i

otpora zraka u koje bi se mogli uvrstiti stvarna svojstva kose poput

iznosa trenja između kose i zraka.

3. Neka svojstva (poput iznosa konstante opruge) puno je lakše

izračunati s obzirom na sile (npr. gravitaciju) nego dobiti

mjerenjima ili korištenjem fizičkih formula.

Jedan od primjera je iznos sile vjetra. Silu vjetra za najbolje

rezultate najlakše je definirati tako da se iznos gravitacije pomnoži s

nekim koeficijentom (najbolje u granicama [0.01,10]) jer se tako dobiva

rezultantna sila u kojoj udio imaju obje sile (ni jedna sila nije toliko jaka

da se druga može zanemariti).

Drugi primjer je iznos konstante θ opruge kθ. Ova opruga u stanju

mirovanja određuje kovrčavost kose jer se opire gravitaciji (φ ravnina je

okomita na smjer gravitacije). Umjesto da se kθ izračunava iz svojstava

željenog tipa kose, puno lakše je izračunati takav kθ koji u stanju

mirovanja pobija komponentu sile gravitacije okomitu na segment (jer

komponenta koja djeluje po segmentu nema utjecaja). Tako se kθ može

definirati kao:

αθ sin⋅= gmk gdje je α kut između vlasi i vertikale.

Također potrebno je da početni kut θ = α0 .

Iznos kφ ne mora bit jednak iznosu kθ, ali zbog svojstava kose

uobičajeno je da on bude istog reda veličine.

13

4. Programska implementacija modela

Za implementaciju danog modela korišten je programski jezik C++ i

grafički standard OpenGL. Korištena je i biblioteka GLUT.

4.1 Korištenje sfernih koordinata

Slika 4.1.1 Veza između sfernih i kartezijevih koordinata (sustav ima orijentaciju kao u OpenGL-u)

Modeliranje pomoću sfernih koordinata (r, θ, φ) imalo je velike

prednosti pri opisu gibanja kose i pri rješavanju matematičkog modela.

Prvi problem javlja se zbog prilagodbe korištenog koordinatnog sustava

koordinatnom sustavu OpenGL-a. OpenGL zna iscrtavati samo s

14

kartezijevim koordinatama i ima koordinatni sustav postavljen drukčije

nego što je uobičajeno u matematici (uobičajeno je da z-os gleda prema

gore, dok u OpenGL-u prema gore gleda y-os). Iz ovog slijedi da je

potrebno prilagoditi jednadžbe za pretvaranje iz sfernih u kartezijeve

koordinate:

ϕθθ

ϕθ

cossincos

sinsin

rzryrx

===

gdje je r duljina segmenta u jedinicama OpenGL sustava.

Također potrebno je moći pretvarati iz kartezijevih u sferne

koordinate. Ovdje se koristi posebna funkcija atan2 (osmišljena upravo za

upotrebu u programskim jezicima), koja je verzija arctan funkcije, ali

može razlikovati dijametralno suprotne smjerove. atan2 može razlikovati

kutove između vektora (1,1) i (-1,-1) kao π/4 i –3π/4 za razliku od arctan

koja bi u oba slučaja vratila π/4. atan2 se definira kao:

gdje je φ kut iz intervala [0, π/2), a tanφ=|y/x|. Rješenja su iz

intervala (-π, π], s time da se definira:

Koristeći atan2 možemo izračunati sferne koordinate kao:

15

),(2tan

),(2tan22

222

yxza

zxazyxr

+=

=

++=

θ

ϕ

Drugi problem pri korištenju sfernih koordinata je u tome što se

obično sferne koordinate računaju unutar nekih intervala kako bi se

izbjegle višestruke mogućnosti pri definiranju istih kutova. Npr. sferne

koordinate (1,3π/2,π/2) i (1,π/2,3π/2) predstavljaju istu točku u kartezijevom

sustavu (tj. dolazi do poklapanja). Obično se definira da vrijedi: θ iz [0,π], φ iz [0,2π) i r ≥ 0. No ovdje pri računanju sile opruge računamo s razlikom

kutova (koja predstavlja pomak) i nije moguće se ograničiti samo na

kutove iz danih intervala. Ako bi imali takva ograničenja, mogli bi

preslikati negativne kutove u pozitivne i time promijeniti predznak izraza

(θ - θ ) 0 ili (φ - φ )0 , čime bi se promijenio i smjer djelovanja sile opruge.

Primjer ovog problema vidimo kada vlas, učvršćenu na jednom

kraju, ispustimo s neke visine poput njihala. Vlas ne prelazi ravnotežni

položaj nego se od njega odbija kao da je naišla na prepreku. Upravo

ovakve greške se događa zbog zrcaljenja negativnih kutova u pozitivne.

Dakle, kako bi model ispravno radio ne smije se upotrebljavati svođenje

kutova na intervale.

4.2 Lokalni koordinatni sustav

Radi jednostavnosti izračuna, za svaki segment se definira lokalni

koordinatni sustav. Lokalni koordinatni sustav ima isti položaj osi kao i

globalni, ali je translatiran tako da se početna točka segmenta (oko koje

se segment rotira) poklapa s ishodištem. Možemo gledati kao da se

izračun pomaka vrši dok je segment učvršćen u ishodištu globalnog

koordinatnog sustava (na početku se oba sustava poklapaju). Nakon

izračuna pomaka u kutovima, izračunava se položaj segmenta u

kartezijevim koordinatama i onda se lokalni koordinatni sustav translatira

tako da se dani segment nastavlja na prethodni segment (ishodište se

16

poklopi s krajem prijašnjeg segmenta). Translacija je jednostavna

transformacija za izvedbu, te je poželjno definirati lokalni koordinatni

sustav tako da se izbjegnu složenije transformacije poput rotacije ili

skaliranja.

4.3 Početni uvjeti

Još jedan problem vezan uz sferni koordinatni sustav je njegova

relativna neintuitivnost, pogotovo s obzirom na kartezijeve koordinate.

Osim posebne pažnje koju je potrebno posvetiti aritmetici, potrebno je

također paziti na način zadavanja položaja segmenata. Dobar primjer je

modeliranje kovrčave kose. Recimo da želimo kovrče koje su od vertikale

otklonjene za kut od 20°. Po formuli k =gmθ sinα izračunamo jačinu θ opruge, no da bi vlas izgledala kako želimo definirati i θ =20°0 . Ako bi

stavili da je početni kut 0° dobili bi ravan pramen. Također je potrebno

pravilno definirati i φ 0i kao što se vidi na Slici 4.3.1.

Slika 4.3.1 Lijevi kostur ima pravilno definirane θ0 i φ0 kutove – φ0i izmjenično iznose π/2 i 3π/2. Desni kostur ima dobro definiran θ0 ali svi φ0i iznose π/2.

17

4.4 Korištene strukture podataka

Iako je C++ objektno orijentirani programski jezik, odlučila sam

koristiti obične strukture umjesto objekata. Sve točke na vlasi (krajevi

segmenata) su pohranjene u strukturi Koor. Izgled strukture Koor:

typedef struct _Koor { GLdouble x; GLdouble y; GLdouble z; GLdouble r; GLdouble theta; GLdouble phi; } Koor; Koor koor[SEG+1];

x, y i z definiraju jedinični radij vektor dane točke. Uzet je jedinični

radij vektor kako bi se olakšalo računanje skalarnih produkata ili kutova

među vektorima. Važno je napomenuti da su sve točke vlasi definirane s

koordinatama u lokalnom koordinatnom sustavu (tj. s obzirom na njegovo

ishodište). r predstavlja duljinu segmenta u OpenGL jedinicama. theta i

phi su naravno kutovi u sfernim koordinatama. Prva točka u nizu

predstavlja ishodište.

Ove strukture koriste se još i za pohranu sila. Sile se definiraju na

isti način, s time da r predstavlja jačinu sile, a radij vektor predstavlja

smjer djelovanja sile. Pri modeliranju vjetra uzima se da je gustoća sile u

prostoru jednolika tj. izvor dovoljno udaljen da je njegov utjecaj neovisan

o udaljenosti i položaju izvora spram objekta.

Kako bi se segmenti ispravno translatirao iz lokalnog koordinatnog

sustava u globalni, postoji struktura Dots koja čuva koordinate segmenata

s obzirom na ishodište globalnog koordinatnog sustava.

typedef struct _Dots {

GLdouble x; GLdouble y; GLdouble z; } Dots;

18

Dots dot[SEG+1];

Ovakav niz točaka čuva ishodišta svakog segmenta u globalnom

koordinatnom sustavu, tako da kada se izračuna novi položaj neke točke

iz niza koor potrebno je samo odgovarajućoj točki iz dots pribrojiti radij

vektor.

dot[tocka].x = dot[tocka-1].x + koor[tocka].r * koor[tocka].x; dot[tocka].y = dot[tocka-1].y + koor[tocka].r * koor[tocka].y; dot[tocka].z = dot[tocka-1].z + koor[tocka].r * koor[tocka].z;

Iscrtavanje se vrši po točkama iz dots, dok se koor koriste samo za

izračun novog položaja. Postoje još strukture koor1 i koor0 koje čuvaju

vrijednost položaja u trenutku n-1 i n-2 jer nam je to potrebno za izračun

novog položaja.

4.5 Pseudokod

Glavni dio programa koji računa položaj kostura u svakom

vremenskom trenutku možemo opisati kao:

(za svaki vremenski interval T)

Za svaki segment i od 0 do k {

Uzmi krajnju točku segmenta;

Izračunaj moment opruge M_opruge;

Izračunaj vanjski moment M_vanjsko;

M_ukupno = M_vanjsko + M_opruge;

Izračunaj novi položaj krajnje točke segmenta;

Translatiraj točku na odgovarajući položaj u globalnom

koordinatnom sustavu;

}

Iscrtaj novu sliku;

Vanjska sila se računa zbrajanjem svih sila koje djeluju na kostur. U

ovom primjeru imamo zbrajanje sile gravitacije i vanjske sile:

19

rez.x = sila.r * sila.x + g.r * g.x; rez.y = sila.r * sila.y + g.r * g.y; rez.z = sila.r * sila.z + g.r * g.z; rez.r = sqrt(pow(rez.x,2) + pow(rez.y,2) + pow(rez.z,2)); // normaliziraj vektor rez.x /= rez.r; rez.y /= rez.r; rez.z /= rez.r;

Iz ovog se naknadno mogu izračunati sferne koordinate rezultantne

sile. U svakom koraku potrebno je izračunati projekciju vanjske sile u

željenu ravninu, a ona se po iznosu definira kao skalarni produkt između

vanjske sile i okomice na projekciju segmenta u danu ravninu. Ovo je

primjer za θ ravninu (φ ravnina se računa analogno):

thetaN.theta = koor[tocka].theta + M_PI_2; thetaN.phi = koor[tocka].phi; thetaN.x = sin(thetaN.theta) * sin(thetaN.phi); thetaN.y = cos(thetaN.theta); thetaN.z = sin(thetaN.theta) * cos(thetaN.phi); thetaN.r = 1.0;

thetaF = (thetaN.x*rez.x + thetaN.y*rez.y + thetaN.z*rez.z) *

rez.r;

Iscrtavanje se vrši pomoću uobičajenih OpenGL funkcija za linije i

točke.

4.6 Korištene veličine

Važno je paziti da pri računanju s fizičkim veličinama koristimo

odgovarajuće mjerne jedinice (metre, sekunde i kilograme, jer u tim

mjernim jedinicama su izražene i fizičke konstante). Iznosi konstanti

mjenjaju se s obzirom na to kakva svojstva kose (tj. koji tip kose) želimo

modelirati.

Primjer korištenih konstanti:

Kg 15 // iznos vanjske sile se definira kao Kg * G, G = m*g DR 0.1 // omjer prigušenja (c) gama = DR * 2*sqrt(k*I),

20

SEG 5 // broj segmenata LEN 0.05 // duljina segmenta u m R 50 * 1e-6 // radijus kose m NUM 100 // broj vlasi u pramenu STEP 5 // brzina glut animacije u milisekundama STEP1 1 // korak integracije u milisekundama

Iz ovih veličina moguće je izračunati silu gravitacije na vlas kose

kao: g.r = M_PI * (pow(R, 2.0)) * 1.3 / 1000.0 * LEN * NUM * 9.81

gdje je gusoća kose 0.0013 kg/m3.

Vidimo da korak integracije i brzina integracije nisu isti: animacija je

pet puta sporija od kretanja koje dobivamo rješavanjem jednadžbe.

Ovakav odnos vremena daje kosturu veću tromost koju u prirodi

primjećujemo zbog trenja zraka i kose, otpora zraka i činjenice da zrak

prolazi kroz pramen. Korak integracije određen je u skladu s uvjetom

stabilnosti (vidi Dodatak 2).

21

5. Različiti primjeri modela

Ovih par primjera izvođenja pokazuje ponašanje kostura u različitim

uvjetima. Program naravno izvodi kontinuiranu simulaciju no ovdje su

izdvojeni odgovarajući vremenski okviri kako bi se to gibanje moglo

ilustrirati.

5.1. Ponašanje kostura valovite vlasi nakon ekstremne

deformacije (uvid u težinske faktore)

U ovom primjeru modelirana je valovita vlas sa segmentima kostura

pod kutem od 20° spram vertikale. Zatim je vlas "spljoštena" tako da su

zadani početni kutevi koji su odgovarali pritiskanju vlasi u smjeru

pozitivne y osi (slično kao da pokušavamo pritisnuti oprugu). No za razliku

od obične metalne opruge koja bi nakon otpuštanja imala u svakom

trenutku konstantan razmak između segmenata, kod kostura vidimo da

zbog težinskih faktora niži segmenta imaju veći pokretljivost od onih bliže

ishodištu.

Napomena: početna točka prvog segmenta nalazi se u ishodišu, vlas

se proteže u smjeru negativne y osi, pogled je u smjeru negativne z osi.

22

Slika 5.1.1 Animacija valovite vlasi. Uočavamo da su niži segmenti puno pokretljiviji od segmenata bližih korijenu zbog različitih težinskih faktora wi = k/i, i=1..k.

5.2 Ponašanje kostura vlasi pri utjecaju vanjskih sila

Vlas iz prošlog primjera izložena je vanjskoj sili (uz gravitaciju)

jačine 15*mg. Ovo je prilično jaka sila, a pošto ima konstantno djelovanje

vlas nakon nekog vremena više ne treperi, nego zauzima stalni položaj u

smjeru djelovanja rezultante, tako da izgleda kao da netko povlači vlas u

danom smjeru.

Važno je napomenuti da ovako modeliramo silu koja odgovara

povlačenju. Ako bi željeli modelirati vjetar, morali bi primijeniti drukčiji

pristup. Stvarni pramenovi (i vlasi) ponašaju se drukčije na vjetru zbog

složenih interakcija vlasi i zraka, tako da bi za realniji dojam trebalo

definirati vanjsku silu kao funkciju čiji se iznos mijenja o vremenu.

Slika 5.2.1 Kostur pod utjecajem vanjske sile i gravitacije. Zbog konstantnog iznosa sile kostur na kraju zauzima položaj u smjeru rezultante sila.

5.3 Kostur ravne vlasi kao njihalo

Ravna vlas podignuta je za kut od 45° i ispuštena. Napravljene su

dvije verzije animacije: u prvoj je korištena uobičajena težinska funkcija

wi=k/i, a u drugoj oblik wi=k/(k-i+1) koji čini vršne segmente težima. Iako

je prva verzija ispravna, zbog manjka otpora zraka način kretanja u

drugoj verziji se čini prirodnijim.

23

Slika 5.3.1 Prva verzija animacije: njihanje kostura s lakšim vršnim segmentima. Iako ispravan, modul ne odgovara u potpunosti stvarnom slučaju jer nedostaje otpor zraka. On

se može naknadno modelirati ako je potrebno (inače nije toliko uočljiv zbog djelovanja vanjskih sila).

Slika 5.3.2 Druga verzije animacije: njihanje kostura s težim vršnim segmentima. Iako ovo ne odgovara u potpunosti realnim svojstvima kose, daje gibanje slično gibanju stvarne vlasi

zbog otpora zraka.

24

6. Modeliranje kose

Iako fizikalni model opisuje gibanje kose, kako bi se kosa što bolje

prikazala potrebno je modelirati i njen izgled i strukturu. Ponovo, zbog

složene prirode kose, nije moguće potpuno realno prikazati njezinu građu i

izgled, ali za većinu primjena to nije ni potrebno.

Za modeliranje kose obično se koristi prikaz zasnovan na B-splajn

krivuljama. Korištenjem ovih krivulja kosu je moguće prikazati na više

načina: kao samu krivulju (prikaz zasebnih vlasi), kao površinu/traku

(prikaz pramenova) ili kao "cijev" ili "omotnicu" oko krivulje (pogodno za

prikaz specifičnih frizura poput pletenica). Ponekad se ovi stilovi mogu

kombinirati ili mijenjati ovisno o složenosti prikaza (LOD – Level Of Detail

[3]). Model koji prikazuje vlas ili pramen kose oblikuje se s obzirom na

kostur fizikalnog modela kako bi objekt kasnije bilo moguće animirati. U

ovom radu ne obrađuju se modeli osvjetljenja kose, koji su posebno

razvijeni zbog složene prirode refleksije svijetlosti na pojedinačnim

vlasima.

6.1 Aproksimacijske uniformne B-splajn kubne krivulje

Aproksimacijska B-splajn krivulja definirana je kao:

∑=

=n

iii uNrup

03, )()( rr

Ako za aproksimacijsku B-splajn kubnu krivulju imamo uniformno

zadan vektor uzlova u -u = konstantai+1 i , znači da su uzlovi jednoliko

raspoređeni. Razmak je jediničan ako vrijedi u -u = 1i+1 i i u tom slučaju

krivulju možemo načiniti upotrebom samo periodičkog segmenta.

Periodički segment aproksimacijske kubne B-splajn krivulje određen je sa

četiri točke, a u tom slučaju i-ti segment krivulje zadan je kao:

25

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

+

+

−

2

1

1

23

0141030303631331

611)(

i

i

i

i

i

rrr

r

ttttp

r

r

r

r

r

Gdje se za svaki segment parametar t mijenja u intervalu 0≤t<1, a

svaki segment određen je sa 4 točke (Slika 6.1.1).

Za ovakvu krivulju jednostavno je odrediti i tangentu u svakoj točki.

Tangenta se može koristiti kako bi se npr. odredila orijentacija objekta

koji se giba po krivulji. Jednadžba tangente se dobiva deriviranjem

jednadžbe krivulje po parametru t:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

∂∂

=′

+

+

−

2

1

1

2

010102421331

211)()(

i

i

i

i

ii

rrr

r

ttttptp

r

r

r

r

rr

Treba primijetiti da se ovako dobiva vektor koji određuje smjer

tangente, a ne točka kao što je bio slučaj u jednadžbi krivulje.

Slika 6.1.1 Početni segment p1 (plavi) krivulje određen je točkama r0, r1, r2, r3, slijedeći segment p2 (crveni) određen je točkama r1, r2, r3, r4, a završi segment p3 (zeleni) određen je

točkama r2, r3, r4, r5.

26

6.2 Modeliranje krivulja

Krivulje se koriste za prikaz pojedinačnih vlasi. Ovaj način prikaza

nije učestao jer je zahtjevan za iscrtavanje (potrebno je iscrtati velik broj

vlasi – na ljudskoj glavi obično ima preko 100,000 vlasi) i zato jer

postojeći fizikalni modeli ne mogu obuhvatiti interakciju pojedinačnih

vlasi, dajući nerealistični izgled animaciji. Obično se krivulje koriste kao

dodatak u modelima uglavnom sastavljenih od traka ili cijevi koji prikazuju

pramenove. Manji broj zasebnih krivulja dodaje se kako bi se dočaralo

izdvajanje vlasi iz pramenova (koji se modeliraju trakama ili cijevima).

Krivulje se iscrtavaju koristeći "zglobove" kostura kao kontrolne

točke (cijeli kostur tada predstavlja karakteristični poligon krivulje). Za

prikaz je potrebno odrediti koliko segmenata krivulja ima (toliko

segmenata mora imati i kostur) i koliki je korak promjene parametra t unutar segmenta (Δt). Pošto je krivulja zapravo jednodimenzionalna linija,

modeli osvjetljenja ne mogu dovoljno dobro prekriti "uglatost" linije, te

stoga Δt mora biti dovoljno malen.

Napomena: Pri crtanju krivulje (kod sva tri načina prikaza) dodan je

poseban statični segment na sam početak kostura čime se dočarava

realan izgled korijena kose koji pri gibanju ostaje uz tjeme. Ovaj segment

se ne uzima u obzir pri proračunu položaja kostura pomoću fizičkog

modela.

27

Slika 6.2.1 Korištenje kostura za crtanje krivulje.

6.3 Modeliranje traka

Trake se koriste za modeliranje pramenova kose. Ovakav način

modeliranja je manje zahtjevan od modeliranja zasebnih vlasi (obično je

dovoljno između 20-50 traka za realni prikaz kose) i dobro odražava

činjenicu da se pojedinačne vlasi zbog trenja i masnoće obično povezuju u

pramenove. Problem traka je u njihovoj dvodimenzionalnosti te je obično

potrebno modificirati opruge kostura tako da kosa prividno dobije na

volumenu. Zbog toga ovaj način prikaza nije pogodan za izrazito kovrčavu

kosu. Kako bi se dobio realniji izgled kose, na traku se lijepi tekstura koja

podržava prozirnost, što omogućuje dočaravanje više manjih pramenova

dok se broj iscrtanih objekata ne povećava.

28

"Trake" zapravo predstavljaju površine omeđene dvjema B-splajn

krivuljama. Za definiranje ovih dviju krivulja potrebno je definirati dva

pomoćna kostura, koji se izvode iz središnjeg kostura [3]. Možemo

zamisliti strukturu koja nalikuje nizu paralelnih čvrstih šipki, pričvršćenih u

sredini za zglobove osnovnog kostura. Kako se središnji kostur pokreće

tako se pomiču i šipke, te se torzija središnjeg kostura također odražava

kao zakret šipki oko središta. Vrhovi tih šipki opisuju točke (zglobove)

pomoćnih kostura. Pomoćni kosturi se izvode s obje strane središnjeg

kostura (i to na jednakoj udaljenosti od njega) kako bi se bolje prikazala

torzija pramena.

Slika 6.3.1 Iz središnjeg kostura izvode se dva pomoćna kostura (s obje strane) pomoću kojih se određuju točke krivulje koje se tada spajaju tvoreći poligone.

29

Kada je određen položaj pomoćnih kostura, za svaki od njih računaju se

točke krivulje (s istim Δt) i onda se povezuju, tvoreći tako poligone.

Pomoću glatkog sjenčanja (smooth shading) dobiva se dojam da je cijela

površina zapravo glatka, a ne sastavljena od poligona (to također

omogućuje korištenje manjeg broja poligona i tako smanjuje vrijeme

iscrtavanja). Na samu površinu također je moguće primijeniti algoritme

koji prilagođavaju broj poligona željenoj složenosti prikaza (LOD [3]).

6.4 Modeliranje cijevi

Cijevi također predstavljaju pramenove kose, ali za razliku od traka

imaju određen volumen i moguće im je detaljnije oblikovati strukturu.

Najpogodnije su za prikaz specifičnih frizura poput pletenica, dreadlocksa

ili kose svezane u rep. Također zbog svog volumena cijevi se koriste za

prikaz izrazito kovrčave kose, ali tu se javlja problem jer je potrebno

iscrtati relativno velik broj sitnijih cijevi da bi se dobila zadovoljavajuća

struktura kose (prevelike cijevi rezultiraju efektom "meduze"). Cijevi zbog

pokretljivosti i zakrivljenosti obično zahtijevaju veći broj poligona za dobar

prikaz, a algoritmi za smanjenje broja poligona ovisno o složenosti prikaza

(LOD) ne daju tako dobre rezultate kao kod prikaza pomoću traka [3].

Cijev je zapravo omotnica oko B-spline krivulje određene kosturom.

Osim Δt također je potrebno definirati i složenost presjeka cijevi (da li će

presjek biti četverokut, peterokut itd.). Potrebno je definirati početnu

orijentaciju poligona koji predstavlja presjek cijevi (u našem primjeru kao

početna os korištena je y-os). U točkama krivulje koje su međusobno

udaljene za Δt računa se vektor tangente, te se onda poligon presjeka

rotira kako bi se poklopio s tangentom i translatira u točku u kojoj je

izračunata tangenta. Tako se dobiva niz poligona koji su okomiti na

krivulju u danim točkama, te ih je još samo potrebno povezati poligonima

kako bi se dobila cjevasta struktura.

Uporabom glatkog sjenčanja (smooth shading) dobiva se dojam da je

površina glatka. Radijus presjeka moguće je mijenjati duž cijevi kako bi se

dobio realniji izgled pramena (deblji pri korijenu i tanji prema vrhu).

30

Slika 6.4.1 Poligoni presjeka slažu se oko krivulje (lijevo). Isti objekt ali gledan odozdo (sredina). Objekt koji dobivamo povezivanjem poligona presjeka u trokute

(desno).

31

7. Animacija kose pomoću OpenGL-a

Za modeliranje kose korišten je prethodno izrađeni fizikalni model

koji je zatim nadograđen jednim od načina modeliranja kose (sve

programiranje izvršeno je u C++ i OpenGL-u). Korištena je još i dodatna

biblioteka GLUT. Dodatne biblioteke korištene su kako bi se učitale

teksture koje sadrže prozirnost (OpenGL podržava samo .bmp format, koji

ne podržava prozirnost). Za prikaz površina korišteni su trokuti, što je

prihvaćen standard za današnju grafičku sklopovsku opremu. Za sjenčanje

i osvjetljenje korištene su već ugrađene OpenGL funkcije.

7.1 Inicijalizacija OpenGL varijabli

Kako bi omogućili osvjetljenje, teksturiranje, spremnik dubine (z-

buffer) i sl. potrebno je prije crtanja inicijalizirati određene OpenGL

varijable:

glEnable(GL_DEPTH_TEST); // z-buffer glEnable(GL_LIGHTING); // omogući osvjetljenje glEnable(GL_LIGHT0); // koristimo 1 izvor – LIGHT0 glEnable(GL_NORMALIZE); // normaliziraj vektore glEnable(GL_COLOR_MATERIAL); // pamti boju objekta glEnable(GL_TEXTURE_2D); // omogući 2D teksture glEnable(GL_ALPHA_TEST); // omogući prozirnost glEnable(GL_BLEND); // omogući mješanje boja // način mješanja boja glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA,GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA); // postavi jakost ambijentalnog svijetla GLfloat ambientLight[] = {0.45f, 0.45f, 0.45f, 1.0f}; glLightModelfv(GL_LIGHT_MODEL_AMBIENT, ambientLight); // postavi jakost i položaj izvora svijetla GLfloat lightColor[] = {0.9f, 0.9f, 0.9f, 1.0f}; GLfloat lightPos[] = {5.0f, -1.0f, 0.0f}; glLightfv(GL_LIGHT0, GL_DIFFUSE, lightColor); glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, lightPos);

glShadeModel(GL_SMOOTH); // omogući glatko sjenčanje

32

Pri iscrtavanju samo krivulja nije potrebno omogućiti teksture, ali

radi ljepšeg izgleda još su dodane naredbe glEnable(GL_LINE_SMOOTH) i

glHint(GL_LINE_SMOOTH_HINT, GL_FASTEST).

Display mode mora biti postavljen tako da podržava spremnik

dubine, dvostruki spremnik (potreban pri animaciji) i RGB boje s

mogućnošću prozirnosti:

glutInitDisplayMode (GLUT_DEPTH | GLUT_DOUBLE | GLUT_RGBA);

7.2 Prikazivanje vlasi

Vlasi se prikazuju B-spline krivuljom određenom kosturom. Za svaki

okvir potrebno je ponovo računati i crtati točke krivulje zbog pomaka

kostura. Pamti se samo niz kontrolnih točaka iz kojih se onda izvodi

krivulja. Kako se krivulja ne bi doimala previše izlomljenom, Δt je

postavljen na 4.

#define SEG_C 8 // broj segmenata krivulje #define T_STEP 4 // delta t typedef struct _Dots { // struktura za spremanje tocka GLdouble x; GLdouble y; GLdouble z; } Dots; Dots dotC[SEG_C+1]; // kontrolne tocke krivulje

S obzirom na kontrolne točke onda se crta krivulja koja se sastoji od

(SEG_C-2)*T_STEP točaka (početni statični segment se ne crta). Točke se

međusobno povezuju linijama pomoću glBegin(GL_LINES). Kako bi se na

linije primijenilo osvjetljenje potrebno je OpenGL-u predati normalu na

objekt koji se želi osvijetliti. U ovom slučaju taj izračun je pojednostavljen

tako da se u točkama krivulje računa tangenta i onda okomica na nju koja

leži u xy ravnini. Ovaj vektor se pri crtanju svake linije predaje OpenGL-u

33

pomoću funkcije glNormal3d(i,j,k) (pošto smo omogućili GL_NORMALIZE

predani vektor se automatski normalizira).

Slika 7.2.1 Prikaz vlasi u OpenGL-u (u dva različita položaja) uz jednostavan modela osvjetljenja

7.3 Prikazivanje traka

Pri prikazivanju traka potrebno je imati strukture za spremanje

glavnog i pomoćnih kostura te poligona. Za pomoćne kosture A i B imamo

niz u kojem se pamte kontrolne točke kostura. Spremanje poligona trake

podijeljeno je u dva niza: u jednom se pamte svi vrhovi koji čine traku (tj.

svi vrhovi njezinih poligona), a u drugom nizu pamtimo indekse vrhova

koji tvore te poligone (i to s obzirom na određenu orijentaciju kako bi se

mogle definirati normale).

#define SEG_C 8 // broj segmenata krivulje #define T_STEP 5 // delta t typedef struct t_Dots { // struktura za spremanje tocaka GLdouble x; GLdouble y; GLdouble z; } Dots; typedef struct t_Traingle {// struktura za spremanje poligona

34

int v1; int v2; int v3; } Triangle; typedef struct t_NormGL { // struktura za spremanje normala double A; double B; double C; } NormGL; // kontrolne tocke sredisnjeg i pomocnih kostura Dots dotCA[SEG_C+1], dotCB[SEG_C+1]; // indeksi vrhova poligona Triangle strip[(SEG_C-2)*T_STEP*2]; // tocke koje predstavljaju vrhove poligona Dots skel[(SEG_C-2)*T_STEP*2];

Ovakav način zapisa nam omogućuje dohvat vrha poligona kao: skel[strip[1].v1].x;

Ovime smo za poligon broj 1 dohvatili x koordinatu prvog vrha (s

obzirom na danu orijentaciju). Orijentacija se može izabrati proizvoljno

(ovdje je korišteno opisivanje vrhova u smjeru kazaljke na satu). Normale

se OpenGL-u predaju pri iscrtavanja svakog vrha, i to tako da se dobiju

interpolacijom između normala svih poligona koji se sastaju u tom vrhu.

Važno je napomenuti da se ne smije omogućiti GL_CULL_FACE jer se time

miču stražnji poligoni te se stoga neće iscrtati stražnja strana trake.

Vrhovi poligona zapisuju se u niz strip i to tako da se prvo zapišu

sve točke kostura A i onda sve točke kostura B, nakon čega se ti vrhovi

povezuju u poligone koji se spremaju u niz skel. Poligoni se moraju

ponovo izračunavati prije iscrtavanja svakog okvira jer se i točke krivulje

računaju posebno za svaki okvir. Ovo ujedno onemogućuje "pucanje"

površine zbog deformacije, koje se javlja kad se koriste fiksni poligoni.

35

Slika 7.3.1 Prikaz traka u OpenGL-u. Vidimo kako se iz osnovnog kostura izvode pomoćni kosturi, zatim iz njih krivulje i poligoni. Na dobivenu površinu primjenjuje se osvjetljenje i

zatim tekstura (u ovom slučaju za crvenu kosu).

7.4 Prikazivanje cijevi Poligoni za prikazivanje cijevi spremaju se na isti način kao i kod

prikazivanja traka: zasebno se spremaju vrhovi i indeksi vrhova koji tvore

poligone. Također potrebno je spremati vrhove poligona presjeka (broj

ovih poligona ovisit će o broju segmenata krivulje i o Δt). Poligoni se

računaju nanovo za svaki okvir, čime se onemogućuje "pucanje" površine

pri deformaciji.

U točkama duž krivulje računaju se tangente, te se odgovarajući

poligon presjeka translatira u tu točku i rotira kako bi se njegova početna

os poklopila sa tangentom. Početna os se odabire tako da je okomita na

36

poligon presjeka – ako poligon leži u xz ravnini onda se kao os može

odabrati y-os. Kako bi se poligon rotirao koristi se isti postupak koji se

primjenjuje pri korištenju OpenGL naredbe glRotatef(kut,x,y,z) gdje su

x,y,z komponente osi oko koje se rotira za kut (sama naredba se ne koristi

jer se dobivene transformirane koordinate koriste u daljnjim

proračunima). To se postiže množenjem koordinata točke matricom:

[ ] [ ]zyxtstsstts

sttskji

tttssskji

tsos

zyxkutskutc

zyx

cczxscyzyscxzxsczyccyzscxyysczxzscyxccx

pRp

xyyx

zxzx

zyzy

zyx

zyx

p

p

p

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

==×=

=

==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+−+−+−−−−−+−+−

=⋅=′

)(

1),,()sin()cos(

110000)1()1()1(0)1()1()1(0)1()1()1(

2

2

2

rrr

rrr

Vidimo da se rotacija vrši oko posebne osi koja se dobiva vektorskim

umnoškom osi poligona presjeka i tangente na krivulju u danoj točki. Kut

rotacije izražava se u stupnjevima gledano u smjeru suprotnom od smjera

kazaljke na satu. Kada su svi poligoni presjeka na mjestu znači da smo

ujedno odredili sve točke cijevi i da ih možemo početi povezivati u

poligone koji će tvoriti omotnicu cijevi. Kao i kod prikazivanja trake,

normala se predaje za svaki vrh i predstavlja interpolaciju normala

poligona koji se sastaju u tom vrhu. Korištene strukture također

odgovaraju onim korištenim kod prikazivanja trake.

#define SEG_C 8 // broj segmenata krivulje #define KRUG_SEG 5 // broj stranica poligona presjeka #define STEP_T 2 // delta t typedef struct t_Dots { GLdouble x; GLdouble y;

37

GLdouble z; } Dots; typedef struct t_Traingle { int v1; int v2; int v3; } Triangle; typedef struct t_NormGL { double A; double B; double C; } NormGL; Dots dotC[SEG_C+1]; // kontrolne točke krivulje Dots krug[KRUG_SEG*(SEG_C-2)*STEP_T]; // poligoni presjeka Dots tubeDots[KRUG_SEG*(SEG_C-2)*STEP_T]; // vrhovi Triangle tube[KRUG_SEG*(SEG_C-2)*STEP_T*2]; // poligoni

Slika 7.4.1 Položaj tangenata (crne linije) duž krivulje (lijevo). Osjenčana cijev (sredina). Dorada izgleda cijevi korištenjem različitih polumjera poligona presjeka i

dodavanjem teksture (desno).

38

7.5 Korištenje tekstura

Pošto OpenGL podržava samo rad s teksturama u BITMAP formatu

(.bmp) koji ne podržava prozirnost, za rad s teksturama koje podržavaju

prozirnost morale su se koristiti vanjske biblioteke (ili knjižnica rutina)

(library). Pri radu s ovakvim besplatnim bibliotekama otvorenog koda

(open-source library) javio se problem jer su relativno zastarjele

(uglavnom su programirane negdje oko 2000.) i često su pisane za Linux,

te ih treba prilagoditi za rad u MS Visual Studiu na Windows platformi.

Kao formati koji mogu podržati prozirnost odabrani su PNG (Portable

Network Graphics - .png ) i TGA (Truevision Graphics Adapter - .tga), još

znan i kao TARGA (Truevision Advanced Raster Graphics Adapter). Format

koji također podržava prozirnost je TIFF (Tagged Image File Format - .tiff)

no biblioteka za ovaj format podržava samo prikaz i obradu .tiff slika bez

mogućnosti uporabe za teksturu.

Na kraju su ostale dvije mogućnosti:

1. glpng (autor: Ben Wyatt – 2000.)

Ova biblioteka [9] omogućuje učitavanje .png tekstura s

prozirnošću. Iako je pokazala bolji prikaz prozirnosti od ostalih

biblioteka, kod učitavanja više različitih tekstura (ili dodjeljivanja

iste teksture različitim teksturnim objektima), samo prva tekstura se

učitava dobro, dok ostale imaju grešku u ALPHA kanalu (koji

određuje prozirnost). Ovaj problem nije uočen kad su učitavane

teksture bez prozirnosti.

2. TGA Loader (autor: Ronny André Reierstad – 2002.)

Ova biblioteka [10] (zapravo niz include datoteka) omogućuje

učitavanje .tga tekstura s prozirnošću. Ovaj put učitavanje više

tekstura i teksturnih objekata nije uzrokovalo probleme, iako se

ponekad znaju javiti nepravilnosti poput nekoliko bijelih slikovnih

elemenata uz rubove prozirnosti. Datoteke su izvorno bile

namijenjene uporabi na Linux platformama tako da se pri

kompajliranju koda javljaju problemi zbog toga što Linux i Windows

koriste različite kodne stranice. Ovaj problem javlja se samo u

39

naredbama za ispis grešaka, tako da nakon što se ove naredbe

uklone program se može iskompajlirati. Također treba napomenuti

da se način zapisa ALPHA kanala u .tga datotekama zna razlikovati

među aplikacijama, tako da prozirnost tekstura kreiranih u

PhotoShopu nije radila, dok su one kreirane u Paint.NET radile

normalno.

Na kraju je izbor pao na TGA Loader jer je s njime moguće koristiti

više teksturnih objekata – naime, za svaki novi iscrtani objekt moguće je

koristiti istu teksturu, ali ona mora biti vezana za različite teksturne

objekte. Ovdje vidimo funkciju za učitavanje jedne teksture i njezino

vezivanje na više različitih teksturnih objekata (dijelovi su preuzeti iz

TGA.cpp naredbe TGA_texture i modificirani jer bi inače morali za svaki

novi objekt ponovo učitavati istu teksturu):

GLuint tList[100]={0}; void getTexture() { // funkcija za učitavanje teksture char strFileName[] = "braid.tga"; // ime datoteke if(!strFileName) exit(0); tImageTGA *pBitMap = Load_TGA(strFileName); if(pBitMap == NULL) exit(0);

// postavljanje 100 teksturnih objekata for(int ID=0; ID<100; ID++){ glGenTextures(1, &tList[ID]); glBindTexture(GL_TEXTURE_2D, tList[ID]); int textureType = GL_RGB; if(pBitMap->channels == 4) textureType = GL_RGBA; gluBuild2DMipmaps(GL_TEXTURE_2D, pBitMap->channels,

pBitMap->size_x, pBitMap->size_y, textureType, GL_UNSIGNED_BYTE, pBitMap->data);

glTexParameteri(GL_TEXTURE_2D,GL_TEXTURE_MIN_FILTER, GL_LINEAR_MIPMAP_NEAREST);

glTexParameteri(GL_TEXTURE_2D,GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GL_LINEAR_MIPMAP_NEAREST);

} if (pBitMap){ if (pBitMap->data) { free(pBitMap->data);

}

40

free(pBitMap); }

}

Teksture se vežu za objekt tako da se za svaki vrha specificira

položaj na teksturi u obliku koordinata (s,t), s time da donji lijevi ugao

predstavlja koordinatu (0,0) a gornji desni koordinatu (1,1). Pri apliciranju

teksture na trake ili cijevi koordinate su određene tako da se cijela

tekstura po dužini preslika na objekt tj. omota oko njega (Slika 7.5.1).

Slika 7.5.1 Primjena teksture na traku (gore) i cijev (dolje). Slike tekstura nalaze se s lijeva, i bijela područja zapravo označavaju prozirne slikovne elemente.

41

8. Rezultati izvođenja simulacije

Sva testiranja obavljena su na prijenosnom računalu ACER

TravelMate 5720G sa slijedećim komponentama:

- Intel Core 2 Duo T7300 procesor (2.0 GHz, 800 MHz FSB, 4

MB L2 cache)

- ATI Mobility Radeon 1024 MB grafička kartica

- 2 GB DDR2 radne memorije

- Windows Vista Home Primium OS

Testiranje je vršeno dok je računalo bilo spojeno na struju jer je rad

na bateriju usporavao brzinu simulacije gotovo za pola. Kao mjera

performansi korišten je broj okvira koji se iscrtavaju u sekundi (FPS –

frames per second) s obzirom na broj prikazanih objekata na ekranu.

Mjerenje vremena vrši se preko funkcije glutGet(GLUT_ELAPSED_TIME).

Kako ljudsko oko ne bi primjetilo zasebne okvire u animaciji potrebna je

brzina veća od 16 FPS, standard za filmsku animaciju je 24 FPS, a

današnje video igre postižu brzinu od 30 do 60 FPS.

8.1 Krivulje

Krivulje su se sastojale od 8 kontrolnih točaka, a je Δt iznosio 4,

tako da je krivulja iscrtana povezivanjem 24 točke. Ovo je minimum pri

kojem se ne zamjećuje "izlomljenost" krivulje. Kao orijentir treba

napomenuti da prosječan čovjek ima oko 100,000 vlasi na glavi, a

najnapredniji računalni modeli mogli su prikazati oko 60,000 vlasi

(naravno, ne u stvarnom vremenu).

42

Broj iscrtanih krivulja FPS (prosječni)

1 1024.27

10 808.0

100 252.2

1000 34.0

10,000 3.0

Tabela 8.1.1 Broj okvira koji se mogu iscrtati u sekundi u ovisnosti o broju prikazanih krivulja.

Vidimo da pri iscrtavanju 10,000 objekata FPS značajno opada i da

ova brzina animacije nije prihvatljiva jer se vidi zastajkivanje između

zasebnih okvira.

Slika 8.1.1 Scena koja se sastoji od 100 krivulja.

43

8.2 Trake

Trake imaju dva pomoćna kostura sastavljena od 8 segmenata, a Δt iznosi 5 (što je dovoljno da se ne primjećuje da je traka sastavljena od

čvrstih poligona). Svaka traka sastoji se od 60 poligona i na svaku je

aplicirana ista struktura, s time da broj teksturnih objekata ("pokazivača"

na teksturu) mora biti koliko i traka. Treba napomenuti da je OpenGL

uspio prikazati 100,000 traka kad su uklonjene teksture.

Tabela 8.2.1 Broj okvira koji se mogu iscrtati u sekundi u ovisnosti o broju

prikazanih traka.

Broj iscrtanih traka Ukupan broj poligona FPS (prosječni)

1 60 1147.0

10 600 732.8

100 6,000 173.07

1000 60,000 19.73

10,000 600,000 Nije moguće prikazati

Slika 8.2.1 Scena koja se sastoji od 100 traka.

44

8.3 Cijevi

Cijevi koriste isti središnji kostur od 8 segmenata, no Δt ovaj put

iznosi iznosi 2 (vizualno su rezultati bili prihvatljivi), a kao poligoni

presjeka korišteni su pentagrami. Svaka cijev sastoji se od 120 poligona i

na svaku je aplicirana ista struktura, s time da broj teksturnih objekata

("pokazivača" na teksturu) mora biti koliko i cijevi.

Tabela 8.3.1 Broj okvira koji se mogu iscrtati u sekundi u ovisnosti o broju prikazanih cijevi.

Broj iscrtanih traka Ukupan broj poligona FPS (prosječni)

1 120 1063.53

10 1200 514.07

100 12,000 84.73

1000 120,000 10.0

10,000 1,200,000 Nije moguće prikazati

Slika 8.3.1 Scena koji se sastoji od 100 cijevi.

45

9. Zaključak

Prilikom modeliranje kose potrebno je prvo modelirati kostur koji će

opisivati njezino gibanje. Za modeliranje kostura potrebno je dobro

razraditi teoretski dio: važno je poznavati fizikalnu osnovu gibanja, te

matematiku koja je potrebna za točno rješavanje tog modela.

Rješavanjem dobivamo općeniti model na temelju kojeg se onda dalje

razvija vizualizacija. Iako model opisuje gibanje vlasi, moguće ga je

primijeniti i za opis gibanja snopova kose, čime se smanjuje broj iscrtanih

objekata. Testiranja su pokazala da ovakva primjena omogućuje

zadovoljavajuću brzinu animacije, čak i uz prikaz velikog broja objekata.

Iako zahtjeva dosta računanja, preciznog podešavanja i iskustva,

ovaj model je dovoljno općenit da pruži velike mogućnosti proširenja, a

mogućnost primjene pri simuliranja snopova kose (pramenova)

omogućuje značajnu uštedu u broju iscrtanih objekata i vremenu obrade.

46

10. Literatura

[1] K. Anjyo, Y. Usami, T. Kurihura, "A Simple Method For Extracting

The Natural Beauty Of Hair", SIGGRAPH (92), pp. 111-120 [2] C. Koh and Z. Huang, "Real-time animation of human hair modelled

in 2D strips", in Computer Animation and Simulation’00, Sept. 2000, pp. 101–112.

[3] Kelly Ward, Ming C. Lin, Joohi Lee, Susan Fisher, Dean Macri

"Modeling Hair Using Level-of-Detail" [4] Florence Bertails, Basile Audoly, Marie-Paule Cani, Bernard

Querleux, Fr´ed´eric Leroy, Jean-Luc L´evˆeque, "Super-Helices for Predicting the Dynamics of Natural Hair"

[5] "Realistic Hair Simulation, Animation and Rendering", SIGGRAPH

2008 Course Notes [6] www.cs.unc.edu/~geom/HSLOD/ [7] www.hair-science.com/ [8] L. Budin, "Analiza i Projektiranje Računalom – skripta s predavanja",

2002. [9] www.fifi.org/doc/libglpng-dev/glpng.html [10] www.morrowland.com/apron/tut_gl.php

47

Dodatak 1: Rješavanje jednadžbe gibanja Za rješavanj jednadžbe koristimo izravni eulerov postupak u kojem se

provodi supstitucija (za varijablu x u vremenskom trenutku k+1 i s

korakom integracije T):

),(),(1

txfxtxfTxx

kk

kkk

=⋅+=+

&

Ilustrirat ćemo postupak rješavanja za θ (postupak rješavanja za φ je

analogan). Krećemo od jednadžbe gibanja za i-ti segment:

θθγθ Mdt

ddtdI i

ii

i =+2

2

gdje je Ii moment tromosti svakog segmenta, γi prigušenje, a Mθ ukupan

moment sile na segment. Kako bi lakše ilustrirali postupak dobivanja

rješenja provodimo supstituciju:

122

2

1

xxdtd

xdtd

&&&

&

==

=

θ

θ

Napomena: od sada ćemo izostavljati indeks za i-ti segment, a novi indeks

će predstavljati vremenski trenutak.

2112

21

xMxMxII

Mx

xx

⋅′−′=⋅′−′=−=

=

γγγθθ

θ &&&

&

gdje ' označava da su Mθ i γi podijeljeni s Ii.

48

Provodimo eulerovu supstituciju:

)(),(),(

,2,2,22,21,2

,1,1,2,1,11,11,1

kkkkk

kkkkkkk

xMTxtxfTxxxTxxTxtxfTxx

⋅′−′⋅+=⋅+=

⋅+=⋅+=⋅+=

+

+

γθ

&

Možemo ponovo pisati θ, a iz prve jednadžbe možemo izraziti dθ/dt:

)(1

11

kkk

kkkkkk

MTT

T

θγθθ

θθθθθθ

θ&&&

&&

⋅′−′⋅+=

−=⇒⋅+=

+

++

Izraz za dθ/dt uvrštavamo u drugu jednadžbu i provodimo preindeksiranje

druge jednadžbe s (k,k+1) na (k-1,k):

θ

θ

θ

θ

θθγθθθ

θθγθθθθ

θθγθθθθ

θθθθγθθ

MTT

TMTT

MTTT

TMT

kkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

′=−⋅⋅′−+−

−⋅⋅′−′+−=−

−⋅′−′⋅+

−=

−⇓

−=⋅′−′⋅+=

−−+

−−+

−−+

+−−

2111

12

11

111

111

)(2

)(

)(

,)( &&&&

49

Ako pišemo Δt umjesto T, i ponovimo isti postupak za φ, dobivamo

konačno rješenje jednadžbe gibanja za i-ti segment:

ϕ

θ

ϕϕγϕϕϕ

θθγθθθ

Mtt

Mttn

i

n

ii

n

ii

nn

i

n

i

n

ii

n

iinn

i

′Δ=−Δ′++−

′Δ=−Δ′++−−−+

−−+

2111

2111

)()(2

)()(2

50

Dodatak 2: Uvjet stabilnosti

Kako bi izračunali uvjet stabilnosti prvo trebamo raspisati jednadžbu

gibanja:

vanjskovanjsko

vanjsko

MxxkxIkx

IIM

x

xkMxxI

′+⋅′−⋅′−=⋅−⋅−=

⋅−=⋅+⋅

&&&&

&&&

γγ

γ

gdje je I moment tromosti svakog segmenta, γ prigušenje, k konstanta

opruge, a Mvanjsko ukupan vanjski moment sile na segment.

Sustav možemo zapisati u matričnom obliku:

vanjskoMxx

kxx

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′−′−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1010

&&&

&

γ

gdje ' označava da su Mvanjsko , k i γ podijeljeni s I. Tražimo karakteristični polinom zadanog sustava:

kP

kPkk

P

kA

IAP

′+′+=

′+−′−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′−′−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′−′−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′−′−

=

−=

λγλλ

λγλλ

λγλ

λλ

γλ

γ

λλ

2)(

)()(

1det

0010

det)(

10)det()(

51

Rješenje karakterističnog polinoma (svojstvene vrijednosti):

242

2,1k′−′±′−

=γγλ

Uvjet stabilnost pri izravnoj eulerovoj metodi integracije je:

11 ≤+ λT

Ovaj uvjet mora biti zadovoljen za sve svojstvene vrijednosti.

Napomena: Pri podešavanju parametara kako bi dobili različite tipove kose

moramo voditi računa da uvijek bude ispunjen uvjet stabilnosti.

52

Sažetak

U radu je dan teorijski pregled i matematičko rješenje modela za

animaciju kose predloženog u "A Simple Method For Extracting The

Natural Beauty Of Hair" [1] i kasnije razvijenog u "Real-time

animation of human hair modeled in 2D strips" [2]. Implementacija

osnovnog modela napravljena je pomoću programskog jezika C++ i

grafičkog standarda OpenGL. Također je dan osvrt na neke od

problema na koje nailazimo prilikom rada s ovim modelom te

primjeri izvođenja programa koji implementira model.Ključne riječi:

modeliranje kose, fizikalno temeljeni model, prikaz, računalna

grafika, računalna animacija

53

Abstract title: Animation of a physicaly based hair model

In this paper we give a theoretical overview and a mathematical

solution of the hair model proposed in "A Simple Method For

Extracting The Natural Beauty Of Hair" [1] and later developed in

"Real-time animation of human hair modelled in 2D strips" [2]. The

implementation of the hair model was made by using the C++

programming language and the OpenGL graphic standard. We also

give a survey of some of the problems we encountered while

working with this model and provide examples of animation made by

implementing this model.Keywords: hair modeling, physically-based

model, rendering, computer graphics, computer animation

54