CESKE VYSOKE UCENI TECHNICKE V PRAZE

FAKULTA JADERNA A FYZIK ALNE INZENYRSKA

DIPLOMOV A PRACE

2010 Ondrej Tichy

CESKE VYSOKE UCENI TECHNICKE V PRAZE

FAKULTA JADERNA A FYZIK ALNE INZENYRSKAKatedra matematiky

DIPLOMOV A PRACE

Integr alnı modely dynamickychscintigrafickych studiı ledvin

( Integral models for dynamicrenal scintigraphy )

Ondrej Tich y

Skolitel: Ing. VaclavSmıdl, Ph.D.

Konzultant: Prof. MUDr. MartinSamal, DrSc.Akademicky rok: 2009/2010

Sem dat zadanı DP, jeden original a dve kopie...

Cestne prohlasenı

Prohlasuji na tomto mıste, ze jsem predlozenou praci vypracoval samostatne a ze jsem uvedlveskerou pouzitou literaturu.

V Praze dne 7. kvetna 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ondrej Tichy

Podekovanı

Chtel bych na tomto mıste podekovat svym rodicum za podporu v celem mem studiu aobzvlaste pak tatınkovi Miroslavovi za korekturu textu.

Dık patrı take memu konzultantovi, prof.Samalovi, za poskytnute scintigraficke studie,pomoc s kapitolou o Scintigrafii a trpelive konzultace, ktere usmernily smer vyzkumu.

Nejvetsı podekovanı vsak patrı memu skoliteli, Dr. VaclavuSmıdlovi, za prıkladne vedenıteto diplomove prace, hodiny konzultacı, cenne napady, pripomınky a za vyborne uvedenı docele problematiky.

Nazev prace:Integr alnı modely dynamickych scintigrafickych studiı ledvinAutor: Ondrej TichyObor: Inzenyrska informatikaDruh prace:Diplomova praceVedoucı prace:Ing. VaclavSmıdl, Ph.D.,Ustav teorie informace a automatizace AVCRKonzultant:Prof. MUDr. MartinSamal, DrSc.,Ustav nuklearnı medicıny 1.lf UK v PrazeAbstrakt:Tato prace se zabyva konvolucnı parametrizacı v modelu pro faktorovou analyzu vescintigrafii ledvin. Soucastı parametru tohoto noveho modelu jsou prıme diagnosticke koefi-cienty, nenı tedy nutna nasledna analyza a interakce sodbornym uzivatelem.

Po predstavenı scintigrafie a Bayesovske teorie se prace venuje popisu a resenı standardnıhomodelu pro faktorovou analyzu a nasledne na realne studii ukazuje jeho funkci. Protoze vsakstandardnı model nenı zalozen na realnych biologick´ych predpokladech, narazıme na jehoomezenı pri zıskavanı diagnostickych parametru.

Hlavnım vysledkem teto prace je navrzenı integralnıho modelu, ktery respektuje biologickaomezenı a zaroven prımo odhaduje diagnosticke koeficienty jako sve parametry. Tento novymodel je resen pomocı Variacnıho Bayesova teoremu a otestovan na realnych scintigrafickychstudiıch. Zabudovanı novych informacı prineslo poˇzadovanou automatizaci diagnostiky a jeukazano velke zlepsenı oproti standardnımu modelu pro faktorovou analyzu.Klıcova slova: scintigrafie, Bayesovska statistika, nuklearnı medic´ına, obrazova sekvence,konvolucnı parametrizace

Title: Integral models for dynamic renal scintigraphyAuthor:Ondrej TichyAbstract:This work is concerned with a convolution based parametrization of model for factoranalysis in renal scintigraphy. Diagnostic coefficients are used as parameter of the new integralmodel, hence their estimates are direct output of the estimation and no follow-up analysis andinteraction with expert user is required.

After introduction of the field of scintigraphy and Bayesiantheory, the Variational Bayessolution of standard model for factor analysis is describedin detail. Suitability of the model istested on real data. It is shown that the estimated diagnostic coefficients are inadequate sincethe model do not respect properties of real biological systems.

The main contribution of this work is the integral model and estimation of its parameters viathe Variational Bayes approximation. The model is designedto respect biological constraintsand its parameters are variables used as diagnostic coefficients. The resulting estimation algo-rithm is tested on real scintigraphic data. It is shown that resulting estimates are much morerealistic that of the standard model. Moreover, the estimates of the diagnostic coefficient wereachieved without any interaction with expert user.Key words:scintigraphy, Bayesian statistic, nuclear medicine, image sequence, convolution-based parameterization

Obsah

1 Uvod 1

2 Scintigrafick e vyset renı 22.1 Scintigrafie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Prubeh vysetrenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 32.1.2 Radionuklidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.3 Scintilacnı kamera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Biologicke predpoklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62.2.1 Tvary faktorovych krivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 72.2.2 Faktorove obrazky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Soucasne metody funkcionalnı analyzy obrazove sekvence . . . . . . . . . . 92.3.1 Oblasti zajmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Matematicky pohled a vyhodnocenı krivek . . . . . . . .. . . . . . 112.3.3 Klinicke vyhodnocenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.4 Zhodnocenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Bayesovsk a teorie a aproximace 163.1 Zaklady Bayesovske teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16

3.1.1 Volba apriornıho rozdelenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 173.2 Resenı pomocı aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17

3.2.1 EM (expectation minimalization) algoritmus . . . . . . .. . . . . . 183.2.2 Laplaceova aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) aproximace . . . . . . . . .. 183.2.4 Variacnı Bayesova aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

4 Faktorov a analyza obrazovych sekvencı 224.1 Konstrukce standardnıho modelu pro sekvenci snımku. . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Poznamka k maticove dekompozici . . . . . . . . . . . . . . . .. . 244.2 VB metoda pro standardnı model (4.1) . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 244.3 Vysledky standardnıho modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 27

4.3.1 Faktorove obrazky a jejich krivky . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 284.3.2 Tranzitnı cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.3 Relativnı renalnı clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 30

4.4 Zhodnocenı vysledku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

5 Integr alnı model pro funcion alnı analyzu obrazovych sekvencı 32

ii

5.1 Konstrukce modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.1.1 Zakladnı model dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.1.2 Model chyb merenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.3 Modelovanı matice obrazku . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 345.1.4 Modelovanı impulznıch retencnıch funkcı . . . .. . . . . . . . . . . 355.1.5 Model krivky krve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.6 Odhadovane a zavisle promenne . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 37

5.2 Resenı integralnıho modelu VB metodou . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 395.2.1 Sestrojenı modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2 Vypocet logaritmu sdruzeneho rozdelenı . . . . .. . . . . . . . . . 405.2.3 Vypocet VB-marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415.2.4 Identifikace standardnıch forem . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 455.2.5 Odhad indexovych mnozin aprioren obrazove a prırustkove matice . . 485.2.6 Formulace VB-momentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Shrnutı vypoctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 525.3.1 Inicializace vypoctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 525.3.2 Konvergence vypoctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

6 Vysledky integr alnıho modelu 536.1 Popis odhadovanych parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 53

6.1.1 Tranzitnı cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.1.2 Relativnı renalnı clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 55

6.2 Vyhodnocenı dalsıch studiı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 566.2.1 Studie 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.2 Studie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3 Zhodnocenı vysledku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 58

7 Zaver a moznosti dal sıho pokra cov anı 607.1 Hlavnı prınos prace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 607.2 Moznosti dalsıho pokracovanı . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 617.3 Zhodnocenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

A Matematicky dodatek 63A.1 Stopa matice, operator vec(), Kroneckeruv a Hadamarduv soucin . . . . . . . 63A.2 Normalnı rozdelenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 64

A.2.1 Vıcerozmerne normalnı rozdelenı . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 64A.2.2 Maticove normalnı rozdelenı . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 64A.2.3 Vektorizace v maticovem normalnım rozdelenı . .. . . . . . . . . . 65A.2.4 Orezane normalnı rozdelenı . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 65

A.3 Gamma rozdelenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66A.4 Exponencialnı rozdelenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 66

A.4.1 Orezane exponencialnı rozdelenı . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 66A.5 Rovnomerne rozdelenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 67

iii

B Vypo cet logaritmu sdruzen eho rozd elenı 68

C Obrazov e sekvence 70

Literatura 72

iv

Pouzit e znacenı

Linearnı algebra

R mnozina realnych cıselA ∈ Rp×n A je realna matice rozmerup × n; matice budeme obvykle znacit

velkymi pısmenyA′ transpozice maticeAA−1 inverze maticeAai i-ty sloupec maticeAai,j resp.(A)i,j clen v i-tem sloupci a j-tem radku v maticiAgi i-ty prvek vektorugdiag(A) diagonala ctvercove maticeA, vysledkem je tedy vektor s di-

agonalnımi prvky maticeAdiag(a) ctvercova matice s prvky vektorua na diagonaletr(A) stopa maticeA (viz A.1)vec(A) vektorizace maticeA (viz A.1)A⊗ B Kroneckeruv soucin maticA aB o libovolnem rozmeru (viz A.1)A B Hadamarduv soucin maticA ∈ Rp×n aB ∈ Rp×n (viz A.1)In ctvercova jednotkova matice rozmerun, tedy(In)i,j = 1, pokudi =

j a (In)i,j = 0, pokudi 6= j1p,q matice jednicek o rozmerechp× r0p,q matice nul o rozmerechp× r

Matematicka analyza

erf(x) error funkce (viz A.2.4)Γ(x) gamma funkce (viz A.3)χ(a,b) charakteristicka funkce intervalu(a, b) (viz A.2.4)ln(..) prirozeny logaritmus argumentu; je-li argumentem matice, rozumı se

logaritmus po prvcıchexp(..) exponenciela argumentu; je-li argument matice, rozumı seexponen-

ciela po prvcıch

Pravdepodobnostnı pocet

Ef(x)(..) ocekavana hodnota argumentu vzhledem k funkcif(x)

A bodovy odhad parametruANx(µ, σ) normalnı rozdelenı skalarux se strednı hodnotouµ a variancıσNx(µ,Σ) vıcerozmerne (vektorove) normalnı rozdelenı vektoru x se strednı

hodnotouµ aΣ (viz A.2.1)NX(M,Σp ⊗ Σn) maticove normalnı rozdelenı maticeX ∈ Rp×n se strednıho hodno-

touM a kovariancnımi maticemiΣp aΣn (viz A.2.2)

v

tNx(µ, σ, a, b) orezane normalnı rozdelenı skalarux se strednı hodnotouµ a vari-ancıΣ na intervalu(a, b] (viz A.2.4)

tNx(µ, σ) orezane normalnı rozdelenı skalarux se strednı hodnotouµ a vari-ancıΣ na intervalu(0,+∞)

Gx(α, β) gamma rozdelenı s parametryα, β (viz A.3)Expx(λ) exponencialnı rozdelenı skalarux s parametremλ (viz A.4)tExpx(λ) orezane exponencialnı rozdelenı skalarux s parametremλ na inter-

valu (0,+∞) (viz A.4.1)Ux(a, b) rovnomerne rozdelenı skalarux na intervalu(a, b) (viz A.5)

vi

1 Uvod

Vyznamnou ulohu v lekarske diagnostice zaujıma jedna z metod nuklearnı medicıny, scinti-grafie. Ta je zalozena na snımanı distribuce radiofarmaka, aplikovaneho do tela pacienta,dıky cemuz lze zıskat nejen tvar, ale i funkci jednotlivych struktur v tele. Zakladnım ukolemnasledne analyzy je rozlisit na sekvenci snımku jednotlive obrazky a prubeh kontrastnı tekutinyv nich, dohromady tzv. faktory.

Svojı podstatou vsak scintigrafie dava relativne malo kvalitnı snımky. To je zpusobenonızkym rozlisenım scintigraficke kamery (az o rad horsı nez magneticka rezonance) a prob-lemum se sumem (z okolı, z krevnıho reciste, z tkanı, atd.). Neexistuje proto zadna automa-ticka metoda, ktera by provedla celkovou diagnostiku ze zıskane sekvence. Soucasne metodyjsou znacne zavisle na zrucnosti odborne obsluhy, mnohdy se vysledky mohou znacne lisit[1]. Ukolem predkladane prace bude tento nedostatek odstranit.

Hlavnı ulohou, kterou zastava matematika ve zpracovanı sekvencı snımku ve scintigrafii,je analyza teto sekvence a spravne urcenı diagnostickych koeficientu. Protoze se analyzujerealny biologicky system, nenı mozne ocekavat teoreticky presne vysledky. Vyhodne metodypro praci s tımto systemem nam prinası Bayesovskastatistika. Umoznuje uvlivnovat vypocetdle pozadovanych predpokladu a zavadet apriornı pˇredpoklady. Cenou za tyto moznosti jeovsem analyticka neresitelnost [2], je nutno pristoupit k ruznym formam aproximace. V tetopraci je pouzita aproximace pomocı Variacnıho Bayesova teoremu.

Problemem soucasnych prıstupu v teto oblasti je nedostatecne respektovanı biologickychpredpokladu, ktere ovsem nelze opomenout, chceme-li dospet ke spravnym realnym vysled-kum. V predchozı praci autora [3] je naznaceno modelovanı krivek faktoru jako konvolucekrve s konvolucnımi jadry jednotlivych faktoru. To jev teto praci rozvinuto a zdokonaleno.Prace se dale venuje vytvorenı integralnıho modelupro analyzu scintigrafickych obrazovychsekvencı, tzn. zabudovanı potrebnych diagnostickych koeficientu prımo do vypoctu. To vedek odstranenı chyby lidskeho faktoru, ktera je v teto oblasti nezanedbatelna, a zaroven kezjednodusenı a urychlenı cele diagnostiky v praxi.

Na zaver je cely postup a novy model otestovan na realnych scintigrafickych studiıch ledvin.

1

2 Scintigrafick e vy set renı

Pri vniknutı nekterych farmak do organismu dochazı kjejich nahromadenı na konkretnıchmıstech tkane nebo organu, takze pokud by byla dotycna latka oznackovana radionuklidem,muzeme toho vyuzıt k diagnostice [4]. Temto latkam se rıka radiofarmaka. Merenı probıhatypicky na zivem organismu (merenıin vivo) v relativne hluboko ulozenych organech, protomusı dany radionuklid vyzarovat dostatecne tvrde z´arenı gamma. Pote lze trırozmernou dis-tribuci radionuklidu v organismu transformovat na dvourozmerny obraz ve stupnıch sedi.Signalem pri vysetrenı je tedy elektromagneticke z´arenı gamma, ostatnı doprovodna zarenıjsou pro nas nezadoucı.

2.1 Scintigrafie

Scintigrafie1 je popsana v [5] takto:Scintigrafie je fyzikalne-elektronicka metoda zobrazenıdistribuce radioindikatoru v organismu na zaklade zevnı detekce vychazejıcıho zarenı gama.

Do metabolismu ci krevnıho obehu aplikujeme chemickou latku s navazanym radionukli-dem. Ta se pote rozlozı v organismu podle farmakokinetiky daneho radiofarmaka. Jak mocse v konkretnım mıste latka koncentruje, zalezı namnoha faktorech, predevsım na intenzitemetabolickych a funkcnıch deju v organech a tkanıch.

Scintigrafii muzeme rozdelit na dva druhy [6]:

• Staticka: danou oblast zajmu sejmeme jednou ci nekolikrat z ruznych uhlu, nezalezıtedy na case (obdoba fotografie).

• Dynamicka: pomocı radioindikatoru sledujeme dej v organismu v case, vznika tak sek-vence statickych snımku (obdoba videa). To nam umoznuje delat matematickou analyzumerenı a sledovat funkce organu.

Poznamenejme, ze nas bude v teto praci zajımat predevsım planarnı scintigrafie, tedy dvoj-rozmerne zobrazenı (naproti tomu tomograficka scintigrafie, kde zıskavame trojrozmerne zo-brazenı).

Cılem scintigrafickeho vysetrenı je kvantitativnı zobrazenı distribuce radiofarmak v telepacienta (viz obrazek 2.1). Na rozdıl od radiodiagnostickych metod zobrazujıcıch anatomiivysetrovane casti tela, scintigrafie poskytuje diagnosticke informace predevsım o funkci organua tkanı.

1Presneji spıse gamagrafie

2

Obrazek 2.1: Sekvence snımku a jejich analyza (prevzato z [2])

2.1.1 Prub eh vy set renı

Nazornou ukazku, jak scintigrafie probıha, vidıme na obr. 2.2. V teto kapitole projdeme pos-tupne jednotlive kroky znazornene na tomto nakresu avysvetlıme na nich zakladnı fakta,principy a postupy.

Na obr. 2.3 pak vidıme casovy prubeh vysetrenı pomocı dynamicke scintigrafie.

2.1.2 Radionuklidy

Radionuklidem nazyvame prvek, jehoz atomy majı schopnost se spontalne menit na atomyjinych prvku (radioaktivnı rozpad). Rychlost rozpadu ruznych prvku je ruzna, pro kazdy prvekje vsak konstantnı.

Radionuklidy jsou v nuklearnı medicıne navazany na nosnou latka, farmakum, dohromadytvorı radiofarmaka. Neradioaktivnı cast radiofarmaka umoznuje sledovat vysetrovanou funkcitkane nebo ma lecebny ucinek. Radionuklid umoznuje sledovat chovanı oznaceneho farmakav organismu, prıpadne muze mıt take vlastnı lecebny efekt (terapie radionuklidy). Pro znacenıdiagnostickych prıpravku se pouzıvajı zdroje zaˇrenı gama.

3

Obrazek 2.2: Schema scintigrafickeho vysetrenı (prevzato z [5])

Zakon rozpadu

Pocet rozpadlych jader za jednotku casu je prımo umerny poctu dosud nerozpadlych jader,tedy:

−dN

dt= λN , (2.1)

kdeN je pocet nerozpadlych jader aλ je rozpadova konstanta.Resenım teto rovnice dostanemetvar rozpadoveho zakona jako:

Nt = N0e−λt , (2.2)

kdeNt je pocet zbyvajıcıch (nerozpadlych) jader radionuklidu aN0 je pocet jader radionukliduv caset = 0. Polocasem rozpadu pak oznacıme dobu, za kterou se rozpadne prave polovinajader latky.

Statisticky pohled

Rozpad radionuklidu je spontalnı dej, ma nahodny charakter. Pocet vyzarenych castic kolısakolem urcite hodnoty a ma urcity rozptyl. Dej je pops´an Poissonovym zakonem, pro velkypocet vyzarenych castic (v praxiN > 50) lze od Poissonova rozdelenı prejıt ke Gaussovunormalnımu rozdelenı.

Vliv pozadı

Pri detekci zarenı z radionuklidu si musıme uvedomitdalsı vlivy, ktere nase merenı zkres-lujı. Neprıznive ho ovlivnuje naprıklad radiace v merıcı mıstnosti, kosmicke zarenı, stopy ra-dionuklidu na detektoru, okolnı tkan atd. Toho si pri zpracovanı snımku vytvorenych pomocıscintigrafie musıme byt vedomi a neopomenout tuto skuteˇcnost zahrnout do matematickehomodelu.

4

Obrazek 2.3:Casovych prubeh scintigrafickeho vysetrenı (prevzato z [7])

Pozadavky na vlastnosti radionuklidu

Z uvedeneho je zrejme, ze pouzitelne pro nas ucelbudou jen nektere radionuklidy se speci-fickymi vlastnostmi, predevsım:

• Polocas rozpadu musı byt dostatecne dlouhy, aby bylalatka aktivnı behem cele dobyvysetrenı, na druhe strane je zbytkova radiace po ukoncenı vysetrenı v organismu znacnenezadoucı.

• Emise energie radionuklidu by se mely pohybovat pouze v uzitecnych hodnotach, ob-vykle v rozmezı60keV az radove stovkykeV (nejvyssı pouzıvane zarenı je511keV ).Jakekoliv jine zarenı si neprejeme, protoze zbyteˇcne zvysuje radiacnı zatez pacienta.

• Organ, ktery chceme vysetrit, by mel selektivne zachycovat nosnou latku s radionukli-dem. Toto zachycenı v zajmove oblasti by melo probehnout co nejrychleji.

• Vzhledem k aplikovanemu mnozstvı musı byt zajistena netoxicnost. Protoze vyslednekoncentrace radiofarmak ve tkanıch jsou nano az pikomolarnı toxicita vetsinou nehrozı.

Nekter e pouzıvan e radionuklidy

Prvnım radionuklidem uzitym v klinicke medicıne bylradiojod131J s polocasem rozpadu 8dnu a energiıγ 364keV . Jeho klıcovy vyznam je predevsım v diagnostice a l´ecbe stıtne zlazy.

Nejdulezitejsım radionuklidem pro nuklearnı medicınu je technicium99mTc s polocasemrozpadu 6 hodin a energiıγ 140keV [8]. 99mTc splnuje skoro vsechny zakladnı pozadovanevlastnosti pro scintigrafii a byl proto impulzem pro dalsırozvoj nuklearnı medicıny. Z99mTc

5

navıc vznika99Tc s polocasem rozpadu≈ 2 · 105 let, takze jej lze povazovat za praktickystabilnı. Energie zarenı je idealnı pro clonenı kolimatorem i pro detekci a snadno se zıskavave forme aniontu technecistanu99mTcO−

4 , ktery se dale dobre vaze na biologicke latky.Jako dalsı lze uvest: thalium201Tl (perfuze myokardu), galium67Ga (scintigrafie nadoru a

zanetlivych lozisek) a krypton81mKr (ventilacnı scintigrafie plic).

2.1.3 Scintila cnı kamera

K popisu scintilacnı kamery opet uzijeme [5]:Scintilacnı kamera je prıstroj, ktery snımafotony zarenı γ soucasne z celeho zorneho pole, prevadı je na elektricke impulsy a pomocınich pak na displeji vytvarı scintigraficky obraz distribuce radioindikatoru v tomto zornempoli. Jedna se tedy o znacne slozite zarızenı jak konstrukcı, tak principem. Nasım ukolem nenıscintilacnı kameru dokonale popsat, spıse nam pujdeo pochopenı, jak funguje.

Ve vysetrovanem objektu se pohybujı radionuklidy, ktere izotropne vyzarujı zarenı gama.Abychom zachytili castice letıcı pouze v jednom smerua zıskali tak dvourozmernou projekci,vlozıme zarenı do cesty olovenou desku (nekdy wolframovou) s maticı otvoru. Ta odstınıcastice, ktere nejdou presne ve smeru osy otvoru. Zaolovenou maticı je pak velkoplosnyscintilacnı krystal, ktery pri dopadu fotonu vyvola vdanem mıste zablesk, ktery je snımam aprevedem na elektricky impulz ve fotonasobici. Pro dalsı zpracovanı je pak dulezita digital-izace scintigrafickych snımku a jejich ulozenı do pamˇeti pocıtace.

2.2 Biologick e predpoklady

Rozeberme zakladnı vlastnosti merenych a odhadovan´ych krivek. V prvnı rade si musımeuvedomit, jake faktory snımame scintigrafickou kamerou pri vysetrenı ledvin. Ledvina sesklada ze dvou hlavnıch castı, parenchymu a panvicky (pelvis). Tyto dve casti se prekryvajı,a prolınajı, pro spravnou analyzu je vsak duleziteje umet oddelit. Zakladnı snımane casti vescintigrafii ledvin jsou:

• srdce

• krevnı pozadı

• parenchym

• panvicka

• tkanove pozadı

• dalsı organy.

6

2.2.1 Tvary faktorovych k rivek

Srdce je organ, k jehoz naplnenı konstrastnı latkou dojde jako prvnı, je-li, jako v nasemprıpade, aplikovano radiofarmakum do krve ([9]). Z krevnıho obehu je tato latka cistena ledv-inami, teoreticky se da ocekavat exponencialnı tvar krivky krve, jak je ukazano na obrazku2.4.

y

cas [min]0 5 10 15

Obrazek 2.4: Typicky prubeh krivky krve (srdce a krevnı pozadı)

Ze srdce se pote latka krvı distribuuje do celeho tela,nejprve do velkych cev a pote doceleho krevnıho reciste. Radiofarmakum je vytvareno tak, aby bylo selektivne zachytavano vcılovem organu, v ledvine. V pocatku cele sekvence vsak muzeme pozorovat i dalsı organy,do kterych se radiofarmakum dostalo pres krev. Tento faktztezuje celou analyzu, pomoci nammuze to, ze prubeh krivky v nich je pomerne rychly atedy je sance tyto organy detekovat atım automaticky odecıst z vyslednych snımku. Dalsı problem s detekcı krevnıho pozadı namvyvstava v tom, ze probıha prirozena difuze mezi krvı a tkanemi. Tım vnika dalsı typ pozadı,tzv. tkanove pozadı, ktere prebıra a zase vypoustı radiofarmakum z a do krve. Lokalne se tedymuze stat, ze je krivka krve v jedne chvıli mırne rostoucı, globalne by vsak melo dochazet kpoklesu aktivity v krvi.

V dynamicke scintigrafii ledvin dochazı k nejvetsı selekci radiofarmaka v ledvinach, zame-rıme se tedy nynı na tento organ. Ledvinu musıme rozdelit na dve hlavnı casti, na parenchyma panvicku. Ty jsou navzajem propojeny a kazda ma rozdılnou dynamiku. Take jejich oddelenıje jednım z hlavnıch ukolu analyzy.

Parenchym tvorı vetsı cast ledviny a v nem dochaz´ı k zachytavanı kontrastnı latky z krve.Panvicka je mensı a k jejımu plnenı a z naseho pohledu tedy k jejı aktivaci dochazı pozdeji,nebot’ do nı priteka tekutina z parenchymu. Tento bod nastav´a typicky po 2 az 3 minutach, vzavislosti na veku a pouzite kontrastnı latce ([10]). Panvicka je vsak jiz urcite aktivovana ve

7

y

cas [min]

parenchym

pelvis

2-3 5 10 15

Obrazek 2.5: Typicky prubeh krivky parenchymu a panvicky

chvıli, kdy ma krivka parenchymu sve maximum. V tomto bode je prıtok do panvicky a prıtokdo parenchymu vyrovnan. Typicke prubehy parenchymu a panvicky u zdrave ledviny vidımena obrazku 2.5.

Kazda krivka faktoru (x) je dana vysledkem konvoluce sveho konvolucnıho jadra (u) skrivkou krve (b) ([11], [12], [13]). Dohromady tedy:

xt =t∑

m=1

bt−m+1um. (2.3)

Tato konvolucnı jadra (nazyvana v nuklearnı medic´ıne impulznı retencnı funkce) majı typ-icky teoreticky tvar, ktery je znazornen na obrazku 2.6. Paklize je faktor aktivnı hned odpocatku sekvence, zacına konstantnı plato od nuly, pokud tomu tak nenı (napr. panvicka),je jeho zacatek posunut.

2.2.2 Faktorov e obr azky

Faktorove obrazky zıskane ve scintigrafii predstavujı ve vetsine prıpadu nejake organy, prıpadnejejich casti. Typicky jsou tedy kompaktnı a omezene.

Dıky predpokladum:

• snımana tkan se vzhledem ke scintigraficke kamere nehybe

• organy nemenı svuj tvar behem merenı

• zmena objemu kapaliny uvnitr organu je linearne umerna poctu vyzarovanych castic

8

y

cas [min]

parenchym

krev

tkanove pozadı

pelvis

2-3 5 10 15

Obrazek 2.6: Teoreticky tvar konvolucnıch jader jednotlivych faktoru (u zdraveho pacienta)

muzeme namerena data modelovat jako linearnı kombinaci jednotlivych organu (nebo jejichcastı). Nasım zakladnım ukolem je pak zjistit tvarjednotlivych organu a prubeh prutoku kon-trastnı tekutiny v nich (viz obrazek 2.1). Kazdy snımek sekvence (indext) lze matematickyvyjadrit jako

dt =r∑

i=1

atxt + et, (2.4)

kder je pocet faktoru,at je faktorovy obrazek,xt je faktorova krivka aet predstavuje sum.Tyto predpoklady by mel respektovat i matematicky model, ktery spravne odhadne jed-

notlive faktorove obrazky a jejich krivky.

2.3 Soucasn e metody funkcion alnı analyzy obrazov esekvence

Podıvejme se nynı na cely problem analyzy obrazove sekvence z matematickeho hlediska.Pokusıme se popsat zakladnı biologicke predpoklady,ktere na jednotlive vysledne i pomocnekrivky klademe. To bude mıt vliv na naslednout faktorovou analyzu a zıskanı diagnostickych

9

koeficientu. Dodejme jeste, ze v soucasne dobe prov´adı analyzu expert (lekar ci laborant)pomocı vizualnıho dojmu, zda dany faktor obsahuje neboneobsahuje konkretnı pixel je zcelana nem. Obdobne je to napr. s urcenım, kde dana krivkazacına a koncı (viz napr. obrazky 2.10a 2.11).

Vytvorenı a vyresenı matematickeho modelu, ktery vysvetluje data, snımana scintigrafickoukamerou, jeste nemusı znamenat, ze jsme nalezli biologicky spravne resenı. Vysledek muzebyt velice vzdalen biologickym predpokladum. Jiz sestavenım modelu totiz vtiskavame prıpad-nemu resenı nami danou podobu, ktera muze byt v podstate libovolna. Jako prıklad uved’menasledujıcı: mejme za ukol rozlozit cıslod naa · x. Nas matematicky model tedy bude mıttvard = ax. Ovsem pokud nespecifikujeme vlastnosti tohoto rozkladu,pak je moznych resenınekonecne mnoho, protoze napr.12 = 3 · 4, ale i 2 · 6 atd. (pro dalsı viz [2], [14]). Velkyvliv na resenı celeho problemu ma tedy jiz konstrukce modelu, ve kterem muzeme rıci, jak si”prejeme” data rozlozit. S ohledem na to musıme konstruovat nase modely i v nasledujıcıchkapitolach.

2.3.1 Oblasti z ajmu

Jednım ze zakladnıch kroku pri analyze obrazovych sekvencı vzniklych scintigrafiı je defi-novanı tzv. oblastı zajmu (region of interest - ROI). Ty pote slouzı k merenı aktivity v oznaceneoblasti, vysledkem je casova krivka, ktere se vyuzıva k vypoctu kvantitativnıch diagnostickychparametru.

Problem s tım spojeny vysvetlıme na prıkladu. Na obrazku 2.7 vidıme snımek dutiny brisnı.My dokazeme pouhym pohledem rozlisit tri zakladnı struktury, ktere se na obrazku nachazejı,konkretne dve ledviny a v hornı casti srdce. Pocıtac ovsem tyto struktury tak snadno nede-tekuje, v klinicke praxi jsou proto skoro vzdy urcovanyuzivatelem, tedy lekarem.

Obrazek 2.7: Snımek dutiny brisnı

10

Problem s jakymkoliv implicitnım nastavenım je ilustrovan na obrazcıch 2.8 a 2.9. Okrıdlenetvrzenı, ze ”neexistujı dva stejnı lide” platı i v tomto prıpade. Pokud by slo predpokladat, zerozmıstenı organu bude vzdy stejne, mohli bychom jehledat v urcitych typickych oblastech(viz obr. 2.8). Jak vsak vidıme, v tomto prıpade jsou ledviny rozmısteny jinak a leva ledvinanenı ve sve ROI zahrnuta cela, coz by mohlo vest ke znacne zkreslenym vysledkum. Proto jenutno interakce s lekarem, ktery vyznacı ROI presnedle konkretnıho pacienta (obr. 2.9).

Obrazek 2.8: Zakladnı nastavenı Obrazek 2.9: Konkretnı ROI

Uvedomme si, ze urcovanı ROI je slabym clankem cel´eho vysetrenı, nebot’ interakce suzivatelem zanası temer vzdy nepresnost. Klasicke metody zpracovanı vsak ROI vyuzıvajıa jsou tedy do znacne mıry zavisle i na zkusenostech a zrucnosti obsluhy.

2.3.2 Matematicky pohled a vyhodnocenı k rivek

Podarı-li se nam zıskat vysledne tvary krivek jednotlivych faktoru, je treba je dale analyzovat.Uved’me nektere zakladnı prıstupy.

Patlak-Rutlanduv graf

Prvnım moznym prıstupem je sestrojenı tzv. Patlak-Rutlandova grafu [15]. Tato metoda pred-poklada, ze kontrastnı latka do organu vstupuje a setrvava v nich. Organy jsou tedy necojako integratory vstupnı aktivity. Je vsak nutne urcit polohu organu, prıpadne oblast zajmu, vektere organ lezı. Necht’ pocet dopadu castic v oblasti zajmu je dan funkcıR(t) a aktivita v krvifunkcıB(t). Potom

R(t) = a

∫B(t) dt+ bB(t), (2.5)

kde konstantaa urcuje schopnost absorbce kontrastnı latky organem a konstantab vyjadrujevliv pozadı.

11

Tento model analyzujeme vydelenım cele rovnice funkcıkrveB(t) a dostavame

R(t)

B(t)= a

∫B(t) dt

B(t)+ b, (2.6)

coz je graf zavislostiR(t)B(t)

naR

B(t) dt

B(t). Vysledkem je tedy prımka se smernicıa a vertikalnım

posunemb, ze ktere vycteme potrebne informace.Uskalı tohoto prıstupu je v tom, jak presne zvladnemenamerit ci vypocıtat zmınene funkce.

Vysledek je take zavisly na zrucnosti odborne obsluhy [16], jak vidıme na obrazcıch 2.10a 2.11. Volba delky linearnıho useku je casta chyba lidskeho faktoru. Zaroven si muzemevsimnout, ze jsme cela data transformovali na jedinou kˇrivku, cımz dochazı ke ztrate castiinformace.

0 1 2 3 4 5 6 7−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

pseudo−time ∫ P(t)/P(t)

R(t

)/P

(t)

Patlak−Rutland plot

Obrazek 2.10: Ihned zrejmy tvar Patlak-Rutlandova grafu (z [16] )

0 1 2 3 4 5 6−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

pseudo−time ∫ P(t)/P(t)

R(t

)/P

(t)

Patlak−Rutland plot

Obrazek 2.11: Problematicky tvar Patlak-Rutlandova grafu (z [16] )

Dekonvoluce

Druhy prıstup je zalozen na predpokladu, ze krivka kazdeho faktoru je modelovana jako kon-voluce krivky krve a konvolucnıho jadra kazdeho faktoru ([11], [10], [15], [12]), jak bylodiskutovano jiz vyse. Nasım cılem je urcit impulznı retencnı funkciH(t). Vyjimecne vsakmuzeme aplikovat radiofarmakum prımo do vysetrovaneho organu, casteji je aplikovano dokrve a z nej teprve prechazı dale. Mnozstvı kontrastnı latky v organu,Q(t) je tedy dano kon-volucıH(t) a vstupnı funkcı organu,I(t), coz muzeme zapsat jako

Q(t) =

T∫

0

I(T − t)H(t) dt (2.7)

a merit hodnotyI(t) aQ(t). Vyresenım uvedene konvolucnı rovnice pak dostaneme hodnotyH(t), ze kterych opet vycteme potrebne informace.

12

Tento postup je v principu jednoduchy, v praxi vsak narazı na mnohe problemy, predevsımurcenı spravne vstupnı krivky a na sum.

Poznamenejme, ze porovnanı Patlak-Rutlandova grafu a dekonvoluce nalezneme v [13].Oba jsou do znacne mıry zavisle na spravnem urcenıa odectenı sumu (ktery tvorı samotny

princip metody), krevnıho a tkanoveho pozadı atd. Moˇznostı, jak tento sum odstranit je to, zevezmeme nejake referencnı pozadı a to pak od celeho organu odecteme. Narazıme tım vsakna problem, jak takove referencnı pozadı volit a zda t´ım neodecıtame moc velkou nebo malouhodnotu. Jak je ukazano v [1], rozdıl vysledku oproti skutecnosti muze byt az 25% v zavislostina volbe referencnıho pozadı, coz je enormne velke ˇcıslo.

Analyza hlavnıch komponent

Analyza hlavnıch komponent (tez Principal Component Analysis, PCA) je obecne postupslouzıcı k dekorelaci dat. Dulezitym predpoklademteto metody je, ze pozorujeme superpozicijednotlivych faktoru. To je presne nas prıpad, nebot’ ve scintigrafii sledujeme transformacitrırozmerneho prostoru na dvourozmerny snımek, ktery je linearnı kombinacı jednotlivychfaktoru.

Zakladnı princip je nasledujıcı: mejme datovou (vystup experimentu) matici D a tu ro-zlozme jako

D = P ′ΛP, (2.8)

kdeΛ je diagonalnı matice vlastnıch cısel maticeD aP je matice vlastnıch vektoru prıslusnychk matici Λ, pricemz platı, zeP ′P je rovno jednotkove matici. Prvnıchr nejvetsıch vlastnıchcısel a k nim prıslusnych vlastnıch vektoru jsou nejvyznamejsı faktory v datechD. Obecnejsıprıpad pak resı tzv. Singular value decomposition. Neprıjemnostı pri tomto rozkladu je opetsum.

Pouzitı teto techniky je demonstrovano napr. v [17].

Model faktorov e analyzy

Faktorova analyza vychazı z predchozı podkapitoly (PCA) a z kapitoly 2.2.2. Datova maticeD zde obsahuje ve sloupcıch vsechny snımky sekvence.D se pak snazıme rozlozit na maticeA aX, kdeA obsahuje ve sloupcıch jednotlive faktorove obrazky aX obsahuje ve sloupcıchjednotlive krivky. Model lze zapsat jako:

D = AX ′ + E, (2.9)

kdeE predstavuje sum.Poznamenejme, ze toto bude zakladnı model dat pro celou tuto praci.

2.3.3 Klinick e vyhodnocenı

K urcenı spravne diagnozy pacienta by vzhledem k vyse popsanym prıstupum bylo zapotrebımatematika - lekare. To je v praxi narocny pozadavek,proto je potreba vysledek analyzy kvan-tifikovat a transformovat idealne na jedno cıslo, jehoˇz hodnota by byla dosatecne vypovıdajıcı

13

o celkovem stavu. Z tohoto duvodu se zavadı tzv. sekund´arnı (diagnosticke) parametry, kterezıskame pomocı metod popsanych v predchozıch kapitolach.

Clearance

Clearance je imaginarnı objem tekutiny, ktera je od kontrastnı latky kompletne ocistena za jed-notku casu [18]. Typicky jsou tedy jednotky clearanceml/min. Clearance muze byt definovanatez relativne jako procento tekutiny, ktera je vycistena pri jednom pruchodu organem.

Formalne bychom clearanci (C) vypocıtali jako

C =cmocVmoc

cplasma, (2.10)

kdecmoc je koncentrace sledovane latky v moci,cplasmakoncentrace sledovane latky v plasmeaVmoc je objem vyloucene moci. Tento jednoduchy postup bohuˇzel vyuzıt nemuzeme, protozesledujeme pacienta jako celek a ne jeho jednotlive castizvlast’ . Pomocı globalnıch parametrutak nejsme schopni popsat fuknci napr. konkretnı ledviny. Z toho duvodu musıme sledovatsekundarnı znaky a z nich odhadnout hodnotu clearence.

V teto praci se pokusıme namerit tzv.relativnı renalnı clearance, kterou vypocıtame zvyslednych intenzit faktoru jako

relL =L

R + L× 100, (2.11)

kdeL aR jsou intenzity merene v levem a v pravem parenchymu.

Tranzitnı cas

Clearance nenı samozrejme jediny prıznak, ze ktereho se nasledne urcuje diagnoza ledvin.Jako prıklad dalsıho parametru uved’me tranzitnı cas (TT) [10], jehoz hodnota jde snadnovycıst z impulznı retencnı funkce, podarı-li se nam zıskat napr. dekonvolucı. TT pak muzememerit nekolik typu, jak je naznaceno na obrazku 2.12.

Metoda ovsem predpoklada, ze dokazeme presne urˇcit hranice pro urcenı TT, coz muze bytv praxi problem, jak jiz bylo ukazano.

2.4 Zhodnocenı

V teto kapitole jsme popsali cely postup scintigraficke analyzy. Ukazali jsme pozadı, vyhodya problematicke body teto diagnosticke metody a nasledne se sousteredili na funcionalnıanalyzu namerenych snımku. Popsali jsme zakladnıv soucasnosti vyuzıvane metody analyzy.

Hlavnı nevyhodou scintigrafie je nedokonale rozlisen´ı, az o rad horsı nez napr. u CT. Dalsımproblemem je superpozize organu, kdy dochazı k souctu zarenı ze vsech vrstev a tım muzedojıt ke zkreslenı informace. Diskutovan jiz byl i sum. Na druhou stranu nam scintigrafieumoznuje zkoumat procesy, ke kterym dochazı v zivych organismech, ktere nejsou jine di-agnosticke techniky schopny rozpoznat. Idealnı je pak hybridnı zobrazenı, ktere kombinuje

14

y

cas [min]V TT

RTTmin

RTTmean

RTTmax

Obrazek 2.12: Tranzitnı cas: vaskularnı TT (VTT), renalnı TT (RTT)

metodu s vysokym rozlisenım a scintigrafii, takze mamekvalitnı obraz a pritom muzemezachytit i probıhajıcı procesy.

Nasledne se jako problematicke ukazuje, ze jednotliv´e metody analyzy snımku fungujıoddelene, nikdy ne jako synteza. Dochazı tak k podstatne ztrate informace v prubehu vypoctu,ktera se pote jiz nema kde kompenzovat. Velke chyby zanası do cele metody tez lidsky fak-tor. Jeste vetsı neurcitost dostava do problemu ˇsum, ktery je mnohy velice tezke oddelit oduzitecneho signalu. Idealnı by tedy bylo zkonstruovat model, ktery bude kombinovat vyhodypredchozıch prıstupu a bude fungovat automaticky, tedy bez nutnosti neustale prıtomnostiodborne obsluhy.

15

3 Bayesovsk a teorie a aproximace

V teto kapitole se budeme venovat matematickemu aparatu, ktery pak budeme vyuzıvat vnasledujıcıch kapitolach. Bude se jednat predevsım o casti z teorie pravdepodobnosti, ktere sevztahujı k Bayesovske statistice. Ta nam v nasledujıcıch kapitolach efektivne umoznı zahrnutıinformacı jako:

• expertnı informace

• predpoklad zadne apriornı informace

do matematickeho modelu mnohem snaze, nez pomocı klasicke statistiky.Nejprve rozebereme zaklady Bayesovske statistiky a pot´e prejdeme k metodam aproximace,

predevsım Bayesovu variacnımu teoremu.

3.1 Zaklady Bayesovsk e teorie

Na zacatku poznamenejme, ze se budeme zabyvat pouze spojitymi a nikoliv diskretnımi hus-totami pravdepodobnostı, ty bychom dostali vymenou integralu za sumy.

Necht’ D jsou namerena data aθ jsou parametry pravdepodobnostnıho modelu s apri-ornım rozdelenımf(θ), θ ∈ Θ, kdeΘ je prostor parametruθ, ktere ovsem oproti klasickestatistice budeme povazovat za promenne. Hustotu pravdepodobnostiD podmınenou parame-try θ pak zapıseme jakof(D|θ). Sdruzenou hustotu pravdepodobnostiD a θ urcıme jakof(D, θ) = f(θ,D) = f(D|θ)f(θ). Uvedomme si take, zef(D) =

∫Θf(D|θ)f(θ)dθ. Infor-

maci o parametrechθ, kterou muzeme z datD zıskat, vyjadrıme jako aposteriornı rozdelenıf(θ|D). Tım se dostavame k Bayesovu teoremu, ktery tvar tohoto aposteriornıho rozdelenıurcuje jako:

f(θ|D) =f(θ,D)

f(D)=

f(D|θ)f(θ)∫Θf(D|θ)f(θ)dθ

. (3.1)

f(D) =∫Θf(D|θ)f(θ)dθ predstavuje normalizacnı konstantu, Bayesuv teorempak lze prepsat

jako:

f(θ|D) ∝ f(D|θ)f(θ) , (3.2)

kde symbol∝ znacı vyrazproporcionalne rovno, tzn. rovno az na konstantu.Vypocet momentu aposteriornıho rozdelenı, tj. predpokladanych hodnot funkcıg(θ), pak

bude vypadat jako:

Ef(θ|D)[g(θ)] =

∫

Θ

g(θ)f(θ|D)dθ . (3.3)

16

ProEf(θ|D)[g(θ)] budeme uzıvat znacenıg(θ), tedy

g(θ) = Ef(θ|D)[g(θ)] . (3.4)

3.1.1 Volba apriornıho rozd elenı

Dulezitym krokem je vhodna volba apriornıho rozdelenı, protoze to pak zasadnım zpusobemovlivnuje vypocet aposteriornıho rozdelenı. To je diskutovano napr. v [2],[19]. Obecne platı,ze pokud o datech predpokladame, ze nesou velkou mıruinformace, volıme vetsinou apri-ornı rozdelenı, ktere nese minimalnı mıru informace, cımz docılıme toho, ze ma maly vliv naaposteriornı rozdelenı. To se tedy rekonstruuje predevsım z dat a my do nej nevnasıme svojepredpoklady, ktere by nemusely byt spravne.

Volba apriorna ma tez vliv na slozitost analytickeho vypoctu. Jako apriornı rozdelenı jeproto pro nas vyhodne volit distribuce z exponencialn´ı rodiny rozdelenı, predevsım konjugo-vana apriorna ([20]).

Definice 1 Rekneme,ze pravdepodobnostnı funkcef je z rodiny exponencialnıch rozdelenı,pokud:

fx(x|θ) = h(x) exp(η(θ)T (x) −A(θ)) , (3.5)

kde funkceh(x), η(θ), T (x) aA(x) jsou zname.Konjugovane apriornoπ pro parametrη z exponencialnı rodiny je dano jako:

π(η) ∝ exp(−η′α− βA(η)) , (3.6)

kdeα a β jsou hyperparametry apriorna (parametry, ktere rıdı jine parametry).

Konjugovana apriorna nam pote pri vypoctu generujıaposteriorna stejneho typu (rodiny),jako jsou tato apriorna, coz nam umoznı realizovat vypocet pomocı cyklickeho prepocıtavanıdistribucı, jejichz tvar zustane zachovan.

3.2 Resenı pomocı aproximace

V teto casti se budeme venovat hledanı aposteriornıho rozdelenı (3.1), coz se ukaze pri po-drobnejsı uvaze analyticky obecne prakticky nemozne. Pro jeho vypocet je nutno aplikovatBayesuv teorem, spocıtat normalizacnı konstantu a jeho momenty, coz lze jen pro uzkou trıdurozdelenı. Pouzitı numerickeho resenı by zde privyssıch dimenzıch take nebylo prılis idealnı.Jako vhodne resenı tohoto problemu se ukazuje aproximace pomocı vhodne distribuce

f(θ|D) ≈ f(θ|D) , (3.7)

kde prof jsou vyse uvedene operace zname nebo snadno dopocıtatelne.V nasledujıcıch kapitolach popıseme dulezite metody aproximace.

17

3.2.1 EM (expectation minimalization) algoritmus

Tento algoritmus byl publikovan v [21]. My pouzijeme jehoupravenou verzi, dle [22].Nejlepsı aposteriornı odhad (MAP - maximum aposteriory) je definovan jako:

δMAP (θ) = arg maxθ∈Θ

f(θ|D) . (3.8)

Pro symetrickef strednı hodnota parametruθ odpovıdaδMAP (θ), muzeme tedy psat:

δMAP (θ) = θ =

∫

θ∈Θ

θf(θ|D) dθ . (3.9)

Vypocet tohoto integralu ovsem nemusı byt, obzvlaˇste pro vysoke dimenze, realizovatelny,proto musıme pristoupit k nasledujıcı aproximaci.

Predpokladejme naprıklad, ze parametrθ ma dve dimenze, tedy:θ = [θ1, θ2]. Potom mar-ginalnı rozdelenıθ1 aproximujeme jakof(θ1|D) ≈ f(θ1|D, θ2) , kde θ2 je pevny konkretnıodhad zıskany v predchozım kroku algoritmu. EM-algoritmus pak ma tvar [23]:

E-krok: f (i)(θ1) ≈ f(θ1|D, θ2

(i−1))

M-krok: θ2(i)

= arg maxθ2

∫θ1f (i)(θ1) ln f(D, θ1, θ2)dθ1 .

3.2.2 Laplaceova aproximace

Laplaceova metoda je uzitecna aproximace pravdepodobnostnı funkcef(D|θ) v okolı MAPodhaduθ pomocı normalnıho rozdelenı.

Dle [24],[25] maf(θ|D) tvar normalnıho rozdelenı se strednı hodnotouθ a s kovariancnımaticı−H−1, tedy:

f(θ|D) ≈ N(θ,−H−1) , (3.10)

kdeH je Hessova matice (napr. [26]) logaritmuf(D|θ)f(θ):

(H)i,j =∂2 log f(θ|D)

∂θi∂θj

∣∣∣∣θ=bθ

. (3.11)

3.2.3 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) aproximace

MCMC je strategie pro generovanı hodnotθ(i), ktere pokryvajı prostorΘ s vyuzitım Markovovaretezce, ktery zajistı, ze retez travı vıce casu v dulezitych oblastech pravdepodobnostnıho pros-toru (viz [27]). Typicke pouzitı je prave pocıtan´ı vıcerozmernych integralu.

Sekvenciθ(1), . . . , θ(i) nazveme Markovovym retezcem, pokud

f(θ(i)|θ(i−1), . . . , θ(1)) = f(θ(i)|θ(i−1)) , (3.12)

tedy pokud n-ty stav zavisı pouze na tom predchozım.

18

Podle principu Monte Carlo pak

IN(g) =1

N

N∑

i=1

g(θ(i))a.s.−−−→

N→∞I(g) =

∫

Θ

g(θ)f(θ|D) dθ . (3.13)

Vypocetnı narocnost je vsak relativne vysoka, obzvlaste pro vysoke dimenzeθ.

3.2.4 Varia cnı Bayesova aproximace

V teto casti se budeme zabyvat aproximacı pomocı Variacnıho Bayesova teoremu. Teto metodevenujeme vıce prostoru nez ostatnım, protoze ji budeme v nasledujıcıch kapitolach hojnevyuzıvat.Cerpat pritom budeme predevsım z [2], mene pak z [22] a[20].

Nası snahou bude vybrat optimalnı funkcif(θ|D) ∈ F, kdeF je prostor pravdepodobnostnıchfunkcı, takovou, aby byla z konjugovaneho systemu funkcı, tzn.f(θ|D) ∈ Fc, a pritom byla co

nejblıze aposteriornı funkcif(θ|D). Chceme tedy minimalizovat mıru∆(f(θ|D)‖f(θ|D)

),

tzn.

f(θ|D) = arg minf∈Fc

∆(f(θ|D)‖f(θ|D)

). (3.14)

Jako idealnı se jevı Kullback–Leibler divergence (KLD)[28] a [29], tedy

∆(f(θ|D)‖f(θ|D)

)= KLD

(f(θ|D)‖f(θ|D)

), ktera je definovana jako:

KLD(f(θ|D)‖f(θ|D)

)=

∫

Θ

f(θ|D) logf(θ|D)

f(θ|D)dθ = Ef(θ|D)

(log

f(θ|D)

f(θ|D)

). (3.15)

KL divergenci pro nase vypocty pomocı Variacnıho Bayese budeme definovat jako:

KLDV B = KLD(f(θ|D)‖f(θ|D)

). (3.16)

Veta 2 (Variacnı Bayesuv teorem) Necht’ f(θ|D) je aposteriornı rozdelenı vıcerozmernehoparametruθ =

[θ′1, θ

′2, . . . , θ

′q

]′. Necht’ dale lze aproximacnı rozdelenı f(θ|D) lze rozepsat

jako produkt vzajemne nezavislych rozdelenı pro θ1, θ2, . . . , θq, tzn.:

f(θ|D) = f(θ1, θ2, . . . , θq|D) =

q∏

i=1

f(θi|D) . (3.17)

Pak minimumKLDV B, tj. f(θ|D) = arg minf∈Fc

∆(f(θ|D)‖f(θ|D)

), se nabyva pro

f(θi|D) ∝ exp(Ef(θ/i|D)[ln(f(θ,D))]

), (3.18)

kdeθ/i znacı komplementθi do θ a f(θ/i|D) =∏q

j=1,j 6=i f(θj|D) .

Nazvemef(θ|D) VB–aproximacı a f(θi|D) VB–marginalou.

19

Algoritmus: (Itera cnı VB (IVB) algoritmus) Tento algoritmus ukazeme proq = 2, tedyθ = [θ′1, θ

′2]′, z kontextu bude ale zrejme, ze lze rozsırit pro libovolne q. Cyklicka iterace

nasledujıcıch kroku monotonne snizujeKLDV B:

• V n–te iteraci spocıtame VB–marginaluf(θ2|D) podle (3.18):

f [n](θ2|D) ∝ exp

(∫

Θ1

f [n−1](θ1|D) ln f(θ1, θ2, D) dθ1

)(3.19)

• S vyuzitım predchozıho vysledku spocıtame VB-marginalu f(θ1|D) dle (3.18):

f [n](θ1|D) ∝ exp

(∫

Θ2

f [n](θ2|D) ln f(θ1, θ2, D) dθ2

)(3.20)

Inicializacnı hodnoty mohou byt voleny pomerne volnˇe, konvergence algoritmu byla dokazanav [30].

VB metoda

Nynı zformujeme uceleny postup pro aplikaci VB teoremu.Ten se bude skladat z osmi kroku,ktere se pokusıme podrobne popsat.

Krok 1: (V yber modelu) Nejprve musıme zkonstruovat Bayesovsky model, tzn. sdruzenerozdelenı dat a parametru. Tento krok zahrnuje apriorn´ı predpoklady, jako je volbaf(D|θ) aapriornıho rozdelenıf(θ). Predpokladejme nynı, ze marginalnı rozdelenı jednotlivych parametrunelze analyticky nalezt.

Krok 2: (Odd elenı parametru) Musıme zjistit, zda lze jednotlive parametry od sebe oddˇelit,tedy zda je mozno prirozeny logaritmus sdruzeneho rozdelenı rozepsat jako rozdelenı se sep-arovanymi parametry. Proq = 2 napr.:

ln f(θ1, θ2, D) = f1(θ1, D)f2(θ2, D) , (3.21)

kdef1(θ1, D) a f2(θ2, D) jsou kompatibilnı vektory. Lze-li tuto operaci provest,pak rıkame,ze sdruzene rozdelenıf(θ,D) patrı do rodiny funkcı separovatelnych v parametrech.

Zajistit tuto podmınku lze prave vhodnou volbou apriorna, coz jsme jiz diskutovali v kapi-tole 3.1.1.

Krok 3: (Zapsanı VB-marginal) Vse jsme pripravili na aplikaci VB teoremu, konkretnevzorce (3.18). Tım zıskame VB-marginaly proθ1, . . . , θq, tedyf(θ1), . . . , f(θq).

Krok 4: (Identifikace standartn ıch forem) V tomto kroku je nasım ukolem identifikovattvar VB-marginal jako formu nektereho standartnıho parametrickeho rozdelenı, napr:

f(θi|D) ≡ f(θi|p1, . . . , pkj) ∀i ∈ 1, . . . , p , (3.22)

20

kdep1, . . . , pkjjsou tvarovacı parametry zmıneneho standartnıho rozdelenı. Tento krok muze

byt pomerne komplikovany a pri nevhodne volbe apriorna i neresitelny. Pak nezbyva nezzvazit, zda jsme zvolili vhodne predpoklady nebo zda cely problem neresit jinou metodou.

Krok 5: (Formulace VB-momentu) Aby byla VB-aproximace kompletnı, zbyva nam jesteformulovat takzvane VB-momenty, coz jsou momenty parametrickych rozdelenı z predchozıhokroku. Typicky jsou to funkce jejich tvarovacıch parametru a pokud jsou parametricka rozdelenıklasicka (znama), lze je vyhledat v tabulkach.

V kroku 4 a 5 nam tak vznikla soustava rovnic.

Krok 6: (Redukce rovnic) Tento krok nenı v teto praci vyuzıvan a uvadıme ho s ohle-dem na kompletnost vzhledem k [2]. Jeho princip je takovy, ˇze se snazıme o maximalnızjednodusenı soustavy rovnic vzhledem k pocıtacovenarocnosti.

Krok 7: (IVB algoritmus) Pokud se soustava rovnic z kroku 4 a 5 nepodarı vyresit analyt-icky (coz by vedlo k zasadnımu urychlenı vypoctu), pak mame k dispozici IVB algoritmus,ktery podle [30] konverguje ke skutecnym VB-marginal´am.

Krok 8: (Vyps anı VB-marginal) IVB algoritmus nam po ukoncenı, tzn. vhodnem zas-tavenı, doda tvarovacı parametry hledanych aposteriornıch rozdelenı.

Tohoto postupu se budeme drzet i v nasledujıcıch kapitolach.

21

4 Faktorov a analyza obrazovychsekvencı

Faktorova analyza je dulezita soucast zpracovan´ı dat v lekarske diagnostice. Jejım hlavnımprınosem je analyza fyziologickych funkcı. Protozeje k dispozici cela sekvence snımku,muzeme zkoumat chovanı organu v prubehu casu a tım je lepe diagnostikovat. K tomu se ob-vykle pouzıva kontrastnı latka vyzarujıcı castice, ktere snıma scintigraficka kamera. Zakladnımyslenka a predpoklady jsou uvedeny v kapitole 2.2.2.

V teto kapitole sestrojıme a vyresıme standardnı matematicky model pro faktorovou analyzuscintigraficke obrazove sekvence, vysledky pak otestujeme na realne studii. Hlavnı inspiracıpri resenı tohoto problemu nam bude predevsım [2].

4.1 Konstrukce standardnıho modelu pro sekvencisnımku

Zkonstruujme nynı standardnı model dle [2].Nasım ukolem bude analyzovat sekvencin snımku porızenych v caset = 1, ..., n. Kazdy

z porızenych obrazku se sklada zp pixelu (strana ctvercoveho obrazku je√p), preskladanım

tedy vzniknep-dimenzionalnı vektor kazdeho snımku. Protoze mame celkemn snımku, budemıt matice pozorovanı tvarD ∈ Rp×n. Dale predpokladejme, ze mamer faktoru (organu),ktere chceme detekovat. Kazdy snımek v sekvenci je pak tvoren linearnı kombinacı jed-notlivych faktoru. Da se predpokladat, ze pocet faktoru bude mensı nez pocet snımku a zarovenpocet snımku bude o hodne mensı nez pocet pixelu kazdeho snımku, tedyr < n≪ p.

Fyziologicky model muzeme zapsat ve tvaru:

D = AX ′ + E , (4.1)

kdeA ∈ Rp×r,X ∈ Rn×r aE ∈ Rp×n, schema matic je videt na obr. 4.1. Rozeberme si nynıvyznam jednotlivych matic.

Kazdy pixel maticeD je pocet dopadu castic na danou cast scintigraficke kamery, coz zna-mena, ze maticeD je nezaporna. Sloupce maticeA interpretujeme jako jednotlive organy(prıpadne faktory), proto je iA nezaporna. Je zrejme, ze totez platı i pro maticiX, jejız sloupcereprezentujı krivku kazdeho faktoru.

V modelu (4.1) predstavuje maticeD pozorovana data,A aX jsou nezname parametry amaticeE je matice sumu, kdeei,j jsou i.i.d.1 s neznamym parametremω−1 (variance sumu) s

1independent identically distributed . . .ei,j jsou nezavisle a stejne rozdelene

22

Obrazek 4.1: Tvar a symbolika matic (prevzato z [2])

maticovym rozdelenım:

f(E|ω) = tNE

(0p,n, ω

−1Ip ⊗ In)

(4.2)

Modely 4.1 a 4.2 tak mohou byt zapsany jako:

f(D|A,X, ω) = tND

(AX ′, ω−1Ip ⊗ In

). (4.3)

Dale zvolıme Bayesovky model doplnenım modelu (4.3) oapriornı rozdelenı matic A a Xa skalarnıho parametruω:

f(A|Υ) = tNA

(0p,r, Ip ⊗ Υ−1

), (4.4)

kde

Υ = diag(v), v = [v1, . . . , vr]′

f(v) =

r∏

i=1

Gvi(αi,0, βi,0) (4.5)

f(X) = tNX (0n,r, In ⊗ Ir) (4.6)

f(ω) = Gω (ϑ0, ρ0) . (4.7)

α0 aβ0 ∈ Rr; Υ ∈ Rr×r je diagonalnı matice s hyperparametryvi, ϑ0 aρ0 jsou nami zvoleneapriornı parametry. Tım jsme detailne popsali krok 1, tedy vytvorenı modelu, VB metody.

23

4.1.1 Poznamka k maticov e dekompozici

Zamysleme se jeste nad dekompozicı datove maticeD, zjednodusene bez sumu. Pro nazornostsi nejdrıve vezmeme dekompozici skalarnı. Mejme c´ıslod a hledejme jeho rozkladd = a · x.Moznostı, jak tuto rovnost splnit, je pro pevned a promennea ax nekonecne mnoho. Obdobnyproblem resıme i pro maticiD, ktera muze mıt tvar

D = AX ′ , (4.8)

ale i

D = A(TT−1)X ′ , (4.9)

kde maticeT je kompatibilnı kA aX ′. Vlozenım jednotkove maticeI = TT−1 totiz opetsplnujeme rovnici, ovsem dostavame tak jine tvary organu i krivek, nebot’

D = A(TT−1)X ′ = (AT )(T−1X ′) , (4.10)

takze nove matice

A = AT (4.11)

X ′ = T−1X ′ (4.12)

splnujı rovnost

D = AX ′ . (4.13)

Matici T nazyvame rotacnı maticı. Problem toho typu se objevuje casto a je resen napr. v [31].Zakladnım ukolem je vybrat z nekonecne mnoha jedno nejpravdepodobnejsı rozdelenı, ktereobecne splnuje vsechny pozadovane podmınky. Pro jednorozmerny prıpad viz [2].

4.2 VB metoda pro standardnı model (4.1)

Krok 2

Spocteme sdruzene rozdelenı (4.3) - (4.7), tzn.f(D,A,X, ω,Υ|r), a najdeme jeho prirozenylogaritmus:

ln f(D,A,X, ω,Υ|r) =pn

2lnω − 1

2ω tr ((D − AX ′)(D − AX ′)′) +

+p

2

r∑

i=1

ln vi −1

2tr(ΥA′A) − 1

2tr(XX ′)+

+r∑

i=1

(α0 − 1) ln vi +r∑

i=1

β0vi + (ϑ0 − 1) lnω − ρ0ω + γ , (4.14)

kdeγ predstavuje soucet vyrazu, ktere nezavisı na parametrechA,X, ω aniΥ.Tento vyraz nynı splnuje podmınky Bayesova variacnıho teoremu proθ1 = A, θ2 = X, θ3 =

ω, θ4 = Υ a patrı tedy do rodiny funkcı separovatelnych v parametrech (splnujeln f(θ1, . . . , θq, D) = g1(θ1, D) . . . gq(θq, D)).

24

Krok 3

Podle Bayesova variacnıho teoremu (vzorec (3.18)) maj´ı parametryA,X, ω a v nasledujıcıVB-marginaly:

f(A|D, r) ∝ exp

[−1

2ω tr(−2AX ′D′) − 1

2tr(A(ωX ′X)A′)) − 1

2ω tr(AΥA′)

]

f(X|D, r) ∝ exp

[−1

2ω tr(−2AX ′D′) − 1

2tr(X(ωA′A)X ′)) − 1

2ω tr(XX ′)

]

f(v|D, r) ∝ exp

[r∑

i=1

(p2

+ αi,0 − 1)

ln vi −r∑

i=1

(βi,0 +

1

2(diag(A′A))i

)]

f(ω|D, r) ∝ exp

[(pn2

+ ϑ0 − 1)

lnω+

− ω

(ρ0 +

1

2tr(DD′ − AX ′D′ −DXA′

)+

1

2tr(A′AX ′X

))]

Krok 4

Budeme predpokladat, ze vyse uvedene VB-marginalymajı nasledujıcı tvary:

f(A|D, r) = tNA (µA, Ip ⊗ ΣA) (4.15)

f(X|D, r) = tNX (µX , Ip ⊗ ΣX) (4.16)

f(v|D, r) =

r∏

i=1

Gvi(αi, βi) (4.17)

f(ω|D, r) = Gω (ϑ, ρ) (4.18)

a postupne vyjadrıme tvarovacı parametryµA,ΣA, µX,ΣX , α, β, ϑ aρ. Pro ilustraci predvedemevypocet pro zıskanıµA aΣA, pro ostatnı parametry je postup obdobny.

f(A|D, r) = tNA (µA, Ip ⊗ ΣA) ∝ exp

(−1

2tr[I−1

p (A− µA)(Σ−1A )′(A− µA)]

)

Nynı porovname kvadraticke a linearnı cleny:

A(ωX ′X)A′ + AΥA′ = A(Σ−1A )′A′

−2A′XDω = −µA(Σ−1A )′A′

25

a s vedomım toho, zeΣA je symetricka matice, snadno vyjadrımeµA a ΣA. Celkove tedydostavame soustavu rovnic:

ΣA =(ωX ′X + Υ

)−1

(4.19)

µA = ωDX(ωX ′X + Υ

)−1

(4.20)

ΣX =(ωA′A + Ir

)−1

(4.21)

µX = ωD′A(ωA′A + Ir

)−1

(4.22)

α = α0 +p

21r,1 (4.23)

β = β0 +1

2diag

(A′A

)(4.24)

ϑ = ϑ0 +np

2(4.25)

ρ = ρ0 +1

2tr(DD′ − AX ′D′ −DXA′

)+

1

2tr(A′AX ′X

)(4.26)

Krok 5

Nynı nam jeste zbyva dopocıtat VB-momenty jednotlivych distribucı. K tomu pouzijemevzorce pro maticove normalnı rozdelenı a pro gamma rozdelenı z kapitol A.2 a A.3.

Pomocı techto vzorcu nynı vyjadrıme z (4.15) – (4.18) momenty jako funkce tvarovacıchparametru:

A =µA

A′A =pΣA + µ′AµA

X =µX

X ′X =nΣX + µ′XµX (4.27)

vi =αiβi, i = 1, . . . , r

ω =ϑ

ρ(4.28)

Krok 7

Dostavame soustavu rovnic (4.19) – (4.28), ktera je ovsem analyticky prakticky neresitelna,obzvlast’ pouzijeme-li pozdeji mısto normalnıho rozdelenı orezane normalnı rozdelenı, aby-chom zajistili pozitivitu matic. Proto jsme nuceni pristoupit k numerickemu resenı pomocıIVB algoritmu:

• nastavıme vhodne inicializacnı hodnoty

a vk-tem kroku iterace spocteme s vyuzitım hodnot z(k − 1)-kroku postupne:

26

• µA,ΣA, A, A′A

• µX ,ΣX , X, X ′X

• α, β, ϑ, ρ

• ω, Υ .

Tım zıskavame odhad pro matice A a X.

Krok 8

Tento krok je autorem proveden a diskutovan jiz v [32] na testovacıch datech. V nasledujıcıkapitole provedeme cely vypocet na realnych datech a zamyslıme se nad vysledky.

4.3 Vysledky standardnıho modelu

Uvedenou metodu nynı vyzkousıme na realne obrazove sekvenci. Cely vypocet je implemen-tovan vMatlabu. Nejprve se venujme popisu samotne sekvence, jejım zakladnım parametrum.

Studie, na ktere budeme predvadet vysledky standardnıho modelu, je zıskana ze zdravehopacienta. Muzeme na nı tedy pozorovat priblizne stejne intenzity jak parenchymu, tak panvicek.Hlavnımi faktory, ktere dale obsahuje, jsou srdce (a krevnı pozadı) a mocovy mechyr. Samot-nou sekvenci mame zobrazenou na obrazku 4.2.

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

Obrazek 4.2: scintigraficka studie ledvin (kazdy sedm´y snımek)

V nasem prıpade ma jeden snımek rozmery64×64, z toho tedy plyne, zep = 4096. Snımkuje celkem120 (tedyn = 120) a jsou snımany vzdy po10s.

27

Protoze se jedna o zdraveho pacienta se standardne uloˇzenymi ledvinami, lze rıci, ze je tatostudie pomerne lehka, neobjevujı se tu zadne patologicke jevy.

4.3.1 Faktorov e obr azky a jejich k rivky

V prvnı casti vysledku nam pujde pouze o zobrazenı jednotlivych faktoru a krivek prutokuradiofarmaka v nich. Dalsı analyze se pak budeme venovat v nasledujıcıch kapitolach.

Vysledek rozkladu datove matice na faktory a jejich krivky muzeme videt na obrazku 4.3.

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1500

5

10

15

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1500

2

4

6

8

10

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1500

2

4

6

8

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1500

5

10

15

20

Obrazek 4.3: vysledek analyzy studie ledvin pomocı standardnıho modelu

Prvnı nalezeny faktor jsou oba parenchymy. Protoze maj´ı stejnou dynamiku, mame je urcenejako jeden faktor. Jejich odhad dopadl na prvnı pohled spr´avne, priblizsım pohledu si vsakmuzeme vsimnout, ze se k tomuto obrazku pricetlo i nˇejake pozadı, pravdepodobne tkanove.To samozrejme nutne ovlivnı i vyslednou krivku.

28

Druhym faktorem je panvicka. Tak je nalezena spravne apri blizsım pohledu si muzemevsimnout dokonce i odtoku do mocoveho mechyre. Jejıkrivka je na pocatku sekvence nulova,stoupat zacına po priblizne110s, tedy dle biologickeho predpokladu.

Jako tretı faktor se nam povedlo urcit mocovy mechyr. Vidıme, ze se nam k nemu pricetly icasti ledvin, predevsım panvicky. Protoze standardnı model nepredpoklada kompaktnost fak-toru, nenı to chyba vypoctu, nektere pixely majı zkratka dynamiku podobnou mocovemumechyri, proto se k nemu pricetly. Obvykle se pred samotnou analyzou muze mocovy mechyrorıznout, nebot’ jeho spravna detekce je pomerne narocna a pro samotnou analyzu ledvin nemasmysl.

Ctvrty faktor nam tvorı srdce a krevnı pozadı. V levecasti obrazku si muzeme take vsimnoutvyraznejsı struktury, ktera vznikla aplikacı radiofarmaka do pacientovi prave ruky. Zde muzemebyt nejmene spokojeni s odhadnutou krivkou, ktera po cca trech minutach klesla na nulu a unı se jiz drzı. To neodpovıda biologickemu predpokladu.

4.3.2 Tranzitnı cas

Samotne nalezenı jednotlivych faktoru a jejich prubˇehu je jen prvnım krokem analyzy scinti-graficke obrazove sekvence ledvin. Je treba urcit parametr, ktery pokud mozno co nejlepepopıse, jak dany faktor funguje. V kapitole 2.3.3 jsme dva takove parametry uvedli, podıvejmese nejprve na tranzitnı cas (TT) parenchymu. Jeho konstrukce a zpusob urcenı jsou naznacenyna obrazku 2.12.

0 20 40 60 80 100 120−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Obrazek 4.4: impulznı retencnı funkce parenchymu urcena standardnım modelem

Zkusme urcit naprıklad TT parenchymu. K tomu je zapotrebı zıskat impulznı retencnıfunkci, ktera by mela teoreticky vyjıt z dekonvoluce krivky parenchymu a krivky krve.

29

Prvnı problem, na ktery narazıme, je automaticky urˇcit, ktery faktor reprezentuje kteroustrukturu lidskeho tela. To nas model explicitne nedˇela, nicmene muzeme s pomerne velkymuspechem nastavit urcite pocatecnı typicke hodnoty krivek, pouzıt je jako startovacı data apredpokladat, ze faktor s danou krivkou se odhadne jakostruktura s tımto prubehem. Tosamozrejme resı pouze typicke prıpady, nikoliv patologicke chovanı nejakeho faktoru.

Pro nas experiment nam stacı vizualne urcit parenchym a krev, coz nenı problem, a provestdekonvoluci. To muzeme udelat napr. pomocı Fourierovy transformace (FT). Provedeme FTkrivky parenchymu a FT krivky krve, vydelıme tyto dva v´ysledky a provedeme inverznı FT.Vysledek tohoto postupu v nasem experimentu vidıme na obrazku 4.4. Teoreticky tvar tetofunkce jsme jiz diskutovali a muzeme se na nej podıvat na obrazku 2.6. Vidıme, ze urcenıpresneho TT z teto krivky nenı jednoznacne, protoze vizualne urcit, kde koncı konstantnı casta zacına klesanı, nenı prakticky mozne.

Tento postup je velmi citlivy na presne urcenı obou krivek, predevsım krivky krve. V praxitedy TT pomocı tohoto modelu automaticky urcıme velmi tˇezko a nepresne.

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

Obrazek 4.5: snımek parenchymu, ze ktereho chceme urcit relativnı renalnı clearance

4.3.3 Relativnı ren alnı clearance

Urcenı relativnı renalnı clearance (viz kapitola 2.3.3) je dalsım ukolem analyzy. Urcit ji muzemez vysledneho obrazku (obrazku) parenchymu, opet zapredpokladu, ze je dokazeme rozpoz-nat. K tomu stacı tentokrat pouzıt pouze prvnı castsekvence, napr. do chvıle, kdy nabyvakrivka parenchymu sveho maxima, zjednodusıme si tak ulohu o rozpoznanı panvicek. V nasem

30

prıpade to znamena pouzıt pouze prvnıch17 snımku. Vysledny obrazek parenchymu pakmuzeme videt na obrazku 4.5.

Nastava tu ovsem problem s nedokonalym odstranenımsumu. Pokud bychom pouze secetlihodnoty pixelu z obou pulek obrazku, dostaneme zkresleny vysledek, tento jednoduchy postupnelze pouzıt. Nezbyva nam tedy nic jineho, nez urcit oblast ledvin a secıst pixely jen vteto oblasti. To se vsak jiz v klinicke praxi deje a pokud nas postup obsahuje krok rucnıhoohranicovanı, nenı to zadny vyznamny prınos.

4.4 Zhodnocenı vysledku

Ukazali jsme konstrukci standardnıho modelu pro funkcionalnı analyzu scintigrafickych studiıledvin a nasledne jeho resenı. Vypocet jsme predvedli na studii zdraveho pacienta a pokusilise urcit dva diagnosticke koeficienty.

Samotny rozklad na obrazky a krivky dopadl v ramci ocekavanı. Problemy se ukazalypri urcovanı obou koeficientu, tranzitnıho casu parenchymu i relativnı renalnı clearance. Prourcenı spravneho TT se nam nepodarilo urcit dostatecne presny tvar impulznı retencnı funkce.Vypocet spravne relativnı renalnı clearance by predpokladal uplne ostranenı sumu, coz stan-dardnı model nedokazal. To by nebyl tak velky problem, pokud bychom umeli automatickyurcit polohy obou parenchymu. Tuto informaci vsak standardnı model neodhaduje, nenı totedy zlepsenı oproti stavajıcı klinicke praxi, protoze bychom parenchymy museli opet oznacitrucne.

Neuspech pri urcovanı diagnostickych parametru je castecne zpusoben konstrukcı modelu,ktery plne nerespektuje zakladnı biologicke predpoklady. To je motivacı pro dalsı kapitolu,ve ktere se budeme venovat nove konstrukci modelu, kter´y se bude snazit tyto nedostatkyodstranit.

31

5 Integr alnı model pro funcion alnıanalyzu obrazovych sekvencı

V kapitole 4 jsme ukazali, jakym zpusobem je konstruovan standardnı model pro analyzuscintigrafickych obrazovych sekvencı. Ukazali jsme take jeho resenı a nasledne vysledky,kterych pomocı nej muzeme dosahnout.

Nedostatkem tohoto modelu je, ze jeho stavba neodpovıdatomu, o cem pojednavala kapi-tola 2.2, nerespektuje tedy znamy biologicky model, rozklada pouze datovou maticiD naAX ′

s ohledem na sum. Krome pozitivity neklade zadne dalsı pozadavky. To znamena, ze vysledkysplnujı matematicky rozklad, ovsem biologicka spravnost krivek nenı zarucena. Pritom pravena zaklade nich by mela probıhat diagnosticka analyza.

Nevyhodou take je, ze se tento model nesnazı dojıt k hotovym vysledkum (prıpadne tvaru,ze ktereho lze vysledky prımo vycıst), ale je nutna dalsı analyza vyslednych krivek. Zıskanyvysledek je sice automaticky (nenı nutne napr. oznacovat predem ROI), coz zmensuje pravde-podobnost chyby lidskeho faktoru, ale nasledna nezbytna analyza nam chybu opet zanası,nebot’ pri teto operaci dochazı opet ke ztrate informace, kterou jiz model nema sanci nikdekompenzovat.

Tyto problemy bychom radi resili v teto praci. Pokus´ıme se tedy o syntezu informacı zkapitoly 2.3, cımz bychom chteli vybudovat integralnı model postaveny na realnych biologic-kych predpokladech. Idealnı by take bylo zabudovat odhadovanı dulezitych parametru prımodo vypoctu, jejich hodnoty se tedy pokusıme dostat jako vedlejsı produkt cele funkcionalnıanalyzy.

5.1 Konstrukce modelu

Nas novy model bude zalozen opet na rozkladu datove matice na dve dalsı, kde sloupce prvnımatice budou reprezentovat obrazky a sloupce druhe matice budou tvorit krivky. Formalnetedy muzeme zapsat model opet ve tvaruD = AX ′ + E, kdeD ∈ Rp×n, A ∈ Rp×r, X ∈Rn×r aE ∈ Rp×n. Zachovavame zde vyznam rozmeru,p je pocet pixelu jednoho obrazku,npocet snımku obrazove sekvence ar je predpokladany pocet faktoru. Zapis matice krivek jakomaticeX budeme i nadale vyuzıvat, ovsem nebudeme odhadovat prımo samotnou maticiX,ale parametry, pomocı kterych budemeX jednoznacne reprezentovat. Tyto parametry budemebudovat na biologickem podklade, cımz se pokusıme namodelovat pozadavky, ktere na nasklade kapitola 2.2.

32

5.1.1 Zakladnı model dat

Predevsım budeme kazdou krivku modelovat jako konvoluci krivky krve a impulznı retencnıfunkce kazdeho faktoru dle kapitoly 2.3.2. Kazdou krivku tak rozlozıme na tvar

xt,f =t∑

m=1

bt−m+1um,f , (5.1)

kdeb ∈ Rn×1 je vektor tvorıcı krivku krve auf je vektor obsahujıcı impulznı retencnı funkcipro kazdy faktor. Celkove tedy dostaneme maticiU ∈ Rn×r, jejız sloupce tvorıuf jednotlivychfaktoru. Tım budeme prımo odhadovat velicinu, kterouchceme zıskat pro dalsı analyzu. Aby-chom s nı mohli dale pracovat a zaroven jsme zajistili jako predpoklad jejı pozitivitu a kumu-lativnost, rozlozıme kazdy prvekum,f jako

um,f =

n∑

φ=m

wφ,f , (5.2)

cımz dostaneme maticiW ∈ Rn×r, jejız sloupce tvorı prırustky impulznı retencnı funkceuf .Provazanost prvku maticU aW vidıme na obrazku 5.1.

y

x

u1,f

u2,f

w1,f

Obrazek 5.1: schema provazanosti jednotlivych prvkumaticU aW

Obdobnym zpusobem budeme modelovat i krivku krve, vektor b:

bs =

n∑

ς=s

gς , (5.3)

dostavame tedy vektorg ∈ Rn×1, jakozto prırustkovy vektor vektorub.

33

Ztratili jsme tım sice moznost elegantnıho zapisu datove maticeD, ale zajistili jsme zakladnıbiologicke predpoklady. Je-li maticeA tvorena sloupcovymi vektoryaf ∈ Rp×1 (reprezen-tujıcımi kazdy faktor), pak muzeme maticiD zapsat jako

D =r∑

f=1

afx′f =

r∑

f=1

af

(t∑

m=1

bt−m+1um,f

)′

t=1..n

=

=

r∑

f=1

af

t∑

m=1

n∑

ς=(t−m+1)

gς

n∑

φ=m

wφ,f

′

t=1..n

. (5.4)

5.1.2 Model chyb m erenı

Podıvame se na model maticeD jako celku: volıme distribuci

f(D|A,X, ω) = tN(AX ′, ω−1Ip ⊗ In), (5.5)

tedy predpokladame, zeD ma normalnı rozdelenı s diagonalnı kovariancnı maticı ovlivnenouparametryω, ktera reprezentujı varianci sumu. Presneji bychom meli zapsat apriornı rozdelenımaticeD jakozto Poissonovo, ovsem jiz jsme uvedli, ze to lze dobre aproximovat pron > 50jako normalnı.Sum aproximujeme parametremω, jemuz priradıme apriorno

f(ω) = Gω(ϑ0, ρ0), (5.6)

s apriornımi parametryϑ0, ρ0.K prirazenı stejne variance vsem pixelum jsme prikrocili predevsım z vypocetnıch duvodu,

presnejsı by bylo odhadovat kovariancnı maticiD ne jako(ω−1Ip ⊗ In), ale naprıklad jako(ω−1Ωp ⊗ Ωn), kde Ωp a Ωn by byly diagonalnı matice. Tem bychom opet priradiliapri-orna a odhadovali je v prubehu vypoctu. Tım bychom meli lepe splnit predpoklady modelu,odhadovanı teto kovariance vsak nenı predmetem pr´ace. Podrobne je tento problem rozebranv [2].

5.1.3 Modelov anı matice obr azku

Do modelu maticeA bychom chteli zavest informaci o poloze nalezeneho faktoru. To se nambude hodit napr. pro automaticky vypocet relativnı renalnı clearance.

Mejme mnozinuC, ktera urcuje, zda patrı dany pixel matice k danemu faktoru, kazdy bodteto mnoziny tedy muze nabyvat hodnot1 nebo0. To urcıme z toho, zda je pravdepodobnejsı,aby pixel nalezel ci nenalezel k danemu faktoru, tedyzda je jeho hodnota blıze k jiste hodnotecf , ci k 0. Dostaneme tak vektorc ∈ Rr×1. Poznamenejme, ze mnozinaC tvorı automatickeROI jednotlivych faktorovych obrazku. Celou tuto uvahu muzeme vyjadrit jako:

(zaf)i =

cf i ∈ C0 jinak

. (5.7)

34

Pak muzeme psat apriornı predpoklad:

(zaf)i = cfCi,f . (5.8)

Kazdy parametrcf bude mıt normalnı rozdelenı, dohromady muzeme psat

f(c) = tN(0r,1, ς0Ir), (5.9)

kde apriornı parametrς0 je dostatecne velke cıslo, zajist’ujıcı meze kovariance vektoruc.Apriorno jednoho sloupceaf urcıme jako:

f(af) = tN(zaf, υ−1

f Ip) (5.10)

a maticeA, jejız sloupce se skladajı z vektorua ma apriornı rozdelenı:

f(A) = tN(ZA, Ip ⊗ Υ−1A ). (5.11)

ZdeZA = [za1za2 . . . zar ] a ΥA ≡ Υ je diagonalnı matice skladajıcı se z hyperparametruυf prıslusnych k jednotlivym faktorum, ktere slouz´ı k jejich lepsı separaci. Kazdemu hyper-parametruυf prisoudıme apriornı rozdelenı gamma. To muzeme zapsat nasledujıcım zpusobem:

Υ = diag(υ) (5.12)

υ = [υ1, . . . , υr]′

f(υ) =r∏

i=1

Gυi(αi,0, βi,0). (5.13)

Tım mame plne popsano apriornı rozdelenı kladene na maticiA.

Poznamka 3 Obdobny mechanizmus, jakym pouzıvame mnozinu C jako ROI naZA, by selzavest prımo na maticiA, v praxi to vsak nenı mozne kvuli vypocetnı narocnosti.

5.1.4 Modelov anı impulznıch reten cnıch funkcı

Pomocı matice prırustku,W , muzeme ovlivnovat a volit tvar impulznıch retencnıfunkcı,ulozenych v maticiU . Proto chceme pripravit takove apriorno, ktere urcı prırustky jako kon-stantnı impulz o urcite delce. Zaroven tak zabudujeme do modelu prıme odhadovanı tranz-itnıch casu jednotlivych faktoru.

Necht’

wi,f =

hf i ∈ Hf

0 jinak, (5.14)

kdeHf je spojita indexova mnozina,Hf = isf, isf

+1, . . . , isf+lf, f ∈ 1, . . . , r, celkove

tedy dostavameH = H1, . . . ,Hr. Pro popis teto mnoziny bude vyhodne zavest vektory

35

s = [s1, . . . , sr]′, l = [l1, . . . , lr]

′ a h = [h1, . . . , hr]′, jejichz vyznam je zrejmy z konstrukce

mnozinyH a z obrazku 5.2. Apriorna priradıme temto vektorum n´asledovne:

f(h) = tN(0r,1, τ0Ir) (5.15)

f(si) = U(0, n) ∀i ∈ 1, . . . , r (5.16)

f(li|si) = U(0, n− si) ∀i ∈ 1, . . . , r, (5.17)

kde apriornı parametrτ0 je dostatecne velke cıslo, zajist’ujıcı meze kovariance vektoruh. Vek-torums a l prirazujeme rovnomerne rozdelenı (viz A.5), nebot’ nemame zadnou preferenci najejich hodnoty.

y

cas

lf

sf

hf

mwf

uf

Obrazek 5.2: Znazornenı konstrukce apriorna maticeW , predstavujıcı prırustky maticeU

Apriornowf ma pak tvar:

f(wf) = tN(mwf(H), ξ−1

f In), (5.18)

kdemwf(H) je vznikle apriorno kladene na sloupce maticeW a samotna maticeW , jejız

sloupce se skladajı z vektoruw ma apriornı rozdelenı:

f(W ) = tN(MW , In ⊗ Ξ−1W ). (5.19)

36

ZdeMW = [mw1mw2

. . .mwr ] a ΞW je diagonalnı matice skladajıcı se z hyperparametruξfprıslusnych k jednotlivym faktorum. Ty majı opet apriornı rozdelenı gamma, obdobne jako umaticeA. Celkove tedy:

Ξ = diag(ξ) (5.20)

ξ = [ξ1, . . . , ξr]′ (5.21)

f(ξ) =r∏

i=1

Gξi(κi,0, νi,0). (5.22)

Tım jsme plne popsali mechanismus odhadovanı impulzn´ıch retencnıch funkcı.

5.1.5 Model k rivky krve

Obdobnym zpusobem jako v predchozı kapitole budeme modelovat i krivku krve. U nı predpo-kladame, ze ma klesajıcı charakter (to nemusı byt realne vzdy zaruceno) a jejı hodnota jenezaporna. Prvky vektorub majı tvar:

bs =n∑

ς=s

gς , (5.23)

tvarujeme je tedy jako prırustky, pomocı nichz mame mnohem vetsı vliv na tvar vektorub, nezkdybychom ho modelovali samostatne.

Zavedli jsme prırustkovy vektorg, kde

f(g|ψ) = tN(0n, ψ−1In), (5.24)

hyperparametrψ opet urcuje velikost kovariancnı matice vektorug a ma rozdelenı gamma:

f(ψ) = Gψ(ζ0, η0) (5.25)

s apriornımi parametryζ0, η0.

5.1.6 Odhadovan e a zavisl e prom enne

Protoze v celem modelu vyuzıvame pomerne velky poˇcet promennych, podıvejme se nynına jejich tvary a provazanost. Dobre by take bylo odstranit znamenka

∑ze vsech vyrazu a

pokusit se nalezt jejich maticovy zapis. Dıky tomu zvl´adneme cely vypocet provest prehlednea efektivne.

Prevody sum na maticov e nasobenı

Podıvejme se nejprve na vyjadrenı vektoruxf . Sumuxt,f =∑t

m=1 bt−m+1um,f , kde t =1 . . . n lze rozepsat dvema zpusoby:

xf =

t∈1..n∑

m=1

bt−m+1um,f =

u1,f 0 · · · 0u2,f u1,f · · · 0

......

. . ....

ut,f ut−1,f · · · u1,f

b1b2...bt

(5.26)

37

nebo

xf =t∈1..n∑

m=1

bt−m+1um,f =

b1 0 · · · 0b2 b1 · · · 0...

.... . .

...bt bt−1 · · · b1

u1,f

u2,f...ut,f

. (5.27)

Vektorxf (jednoho faktoru) se da vyjadrit jako:

xf = [x1,f , x2,f , . . . , xn,f ] = Ufb = Buf (5.28)

Matice Uf tedy vznikla z vektoruuf preskladanım jeho prvku na diagonaly teto matice.f je index faktoru, techto matic je tedy celkemr. Obdobne maticeB vznikla z vektorubpreskladanım prvku na diagonaly. Je vsak jen jedna,nebot’ i konvolucnı jadrob je jedno procely model.

Dale si pripravıme vyjadrenı maticeU pomocı prırustkove maticeW . Zdurazneme zderozdıl mezi maticemiU aUf . Matici Uf jsme popsali v predchozım odstavci, kdezto maticeU = [u1, u2, . . . , ur], obsahuje impulznı retencnı funkce faktoru a tedy existuje jednoznacnyprevod mezi maticemiU aW . Ten nalezneme nasledujıcım zpusobem.

u1,f

u2,f...

un,f

=

1 1 . . . 1 10 1 . . . 1 1...

.... . .

......

0 0 . . . 0 1

w1,f

w2,f...

wn,f

(5.29)

Matici

1 . . . 1...

. . ....

0 . . . 1

oznacıme jako matici C. Pak tedyxf = Buf = BCwf a maticiU lze

dokonce vyjadrit jakoU = CW .Obdobne vyjadrıme i vektorb pomocı prırustkoveho vektorug:

b1b2...bn

=

1 1 . . . 1 10 1 . . . 1 1...

.... . .

......

0 0 . . . 0 1

g1

g2...gn

, (5.30)

z cehoz plyneb = Cg. Platı tedy zaroven rovnost

X = UfCg. (5.31)

Celkove pak muzeme vyjadrit maticiX jako

X = BCW. (5.32)

Tento vysledek nam hodne pomuze v dalsıch vypoctech.

38

Zavislostnı strom prom ennych

Podıvejme se na zavislosti jednotlivych velicin, vytvorme zavislostnı strom, viz obrazek 5.3.Deterministickou vazbu znacıme dvojitou carou, diskretnı promenne hranatym obvodem aspojite promenne kulatym obvodem. Do tohoto stromu zapıseme i odhadovane statistiky, kterebudeme znacit bez obvodu.

Parametry, ktere budeme prımo odhadovat, se nam ne vzdy budou hodit k popisu rovnice, vektere je budeme vyuzıvat. Vyhodnejsı a prehlednejsı bude zapis pomocı odvozenych promen-nych, viz predchozı kapitolu. K tomu nam bude slouzit apomahat prave zavislostnı strom,ktery nam pomuze si uvedomit, jaka vazba je mezi jednotlivymi promennymi.

Dulezitou ulohu pak muze sehrat pri samotnem vypoctu na pocıtaci, dıky nemu muzemenastavit spravne poradı vypoctu dle kapitoly 3.2.4.

D

A X ω

ϑ ρΥ ZA b U

Wα β c C g

MW Ξψ

h s l κ νζη

Obrazek 5.3: Zavislostnı strom promennych

5.2 Resenı integr alnıho modelu VB metodou

V predchozı kapitole jsme zkonstruovali novy integralnı model pro analyzu scintigrafickychobrazovych sekvencı, nynı predvedeme jeho resenı.Postupovat budeme opet dle kapitoly3.2.4, tedy VB metodou.

39

5.2.1 Sestrojenı modelu

Prvnı krok VB metody, sestrojenı matematickeho modelu,jsme provedli jiz v predchozı kapi-tole. Bude vsak uzitecne si nynı cely model prehledne sepsat.

f(D|A,X, ω) = tN(AX ′, ω−1Ip ⊗ In) (5.33)

f(ω) = Gω(ϑ0, ρ0) (5.34)

f(A|Υ) = tN(ZA, Ip ⊗ Υ−1) (5.35)

kde

Υ = diag(v), v = [v1, . . . , vr]′

f(v) =r∏

i=1

Gvi(αi,0, βi,0) (5.36)

f(c) = tN(0r,1, ς0Ir) (5.37)

f(g|ψ) = tN(0n, ψ−1In) (5.38)

f(ψ) = Gψ(ζ0, η0) (5.39)

f(W |Ξ) = tN(MW , In ⊗ Ξ−1W ) (5.40)

kde

Ξ = diag(ξ), ξ = [ξ1, . . . , ξr]′ (5.41)

f(ξ) =r∏

i=1

Gξi(κi,0, νi,0) (5.42)

f(h) = tN(0r,1, τ0Ir) (5.43)

f(si) = U(0, n) (5.44)

f(li|si) = U(0, n− si) (5.45)

5.2.2 Vypo cet logaritmu sdruzen eho rozd elenı

Budeme chtıt zıskat prirozeny logaritmus sdruzeneho normalnıho rozdelenı a tım prımo zjistit,zda dokazeme separovat jednotlive parametry. Musıme proto rozepsat jednotlive distribucenaseho modelu (viz dodatek A) a vypocıtat jejich logaritmus.

Tento krok je technicky a uvadıme ho v dodatku B.Celkove dostavame logaritmus sdruzeneho rozdelen´ı

40

ln f(D,ω,A,Υ, c, g, ψ,W,Ξ, h, s, l|r) jako soucet vsech dılcıch logaritmu.

ln f(D,ω,A,Υ, c, g, ψ,W,Ξ, h, s, l|r) =pn

2lnω+

−1

2ω tr [DD′ − 2AX ′D′ + AX ′XA′] +

+(ϑ0 − 1) lnω − ωρ0 +p

2

r∑

i=1

ln υi −1

2tr((A− ZA)Υ(A− ZA)′)+

−1

2ς−10 tr(c′c) +

r∑

i=1

(αi,0 − 1) lnυi −r∑

i=1

υiβi,0 +n

2lnψ − 1

2ψ tr(g′g)+

+(ζ0 − 1) lnψ − ψη0 +n

2

r∑

i=1

ln ξi −1

2tr((W −MW )ΞW (W −MW )′

)+

+

r∑

i=1

(κi,0 − 1) ln ξi −r∑

i=1

ξiνi,0 −1

2τ−10 tr(h′h) + r ln

1

n+

r∑

i=1

ln1

n− si+ γ, (5.46)

kdeγ predstavuje soucet velicin, ktera nezavisı na parametrech sdruzeneho rozdelenı.

5.2.3 Vypo cet VB-margin al

Podle Bayesova variacnıho teoremu vyjadrıme VB-marginaly. Pripravıme si nekolik vztahu,ktere budeme v VB-marginalach vyuzıvat.

Zavedenı pomocnych vztahu a rozkladu

Nejprve si rozepıseme maticiD. Prvnı rozklad, jakoztoAX ′ vychazı prımo z konstrukcemodelu. Pri vyjadrenı v dalsıch promennych vypad´a nasledovne:

AX ′ =r∑

f=1

afx′f =

r∑

f=1

af (Ufb)′ =

r∑

f=1

af (Buf)′ =

r∑

f=1

af(UfCg)′. (5.47)

Nynı si budeme chtıt pripravit vyjadrenı vyrazutr(XA′AX ′) tak, abychom v nem bylischopni, po izolovanıg, vyjadrit ostatnı momentove odhady. Nedodrzıme zdeznacenı faktoruindexemf , nebot’ ho potrebujeme pouzıt dvakrat, vyhodnejsı tedy bude pracovat si a j. Tuto

41

stopu jde rozepsat jako

tr

[XA′AX ′

]= tr

[(

r∑

i=1

xiai′)(

r∑

j=1

ajxj′)

]= tr

[r∑

i,j=1

xi(ai′aj)xj

′

]=

= tr

[r∑

i,j=1

(ai′aj)U

ibb′U j ′]

= tr

[r∑

i,j=1

(ai′aj)b

′(U j ′U i)b

]=

= tr

[b′( r∑

i,j=1

(a′iaj)(Uj ′U i)

)b

]=

= tr

[g′C ′

( r∑

i,j=1

(a′iaj)(Uj ′U i)

)Cg

]. (5.48)

Dale si pripravme:

tr

[AX ′D′

]= tr

[D′AX ′

]= tr

[D′

r∑

i=1

aixi′

]= tr

[D′

r∑

i=1

aib′U i′]

=

= tr

[r∑

i=1

U i′D′aib′

]= tr

[r∑

i=1

U i′D′aig′C ′

]=

= tr

[r∑

i=1

C ′U i′D′aig′

](5.49)

Protoze nam vychazı, ze budeme potrebovat pri vypoctu druhe momenty maticeUf , najdemejejı vhodny rozklad. K tomu ucelu zavedeme nasledujıcı oznacenı.

Oznacenı 4 ∆k ∈ Rn×n nazveme matici definovanou nasledovne:

(∆k)i,j =

1 i− j = k

0 jinak(5.50)

Lzerıci, ze matice∆k je tedy jednotkova matice s diagonalou posunutou o k nıze. Pro prıkladuved’me:∆0 = I a napr. pro n = 5 matice∆2 vypada nasledovne:

∆2 =

0 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0

.

Nasledne muzeme nahlednout,ze∆i∆j = ∆i+j . Zaroven si uvedomme,ze pokudi+ j ≧ n,pak∆i+j≧n je nulova matice.

42

Potom tedy

Uf =

1 0 0 . . .0 1 0 . . .0 0 1 . . ....

......

. ..

u1,f +

0 0 0 . . .1 0 0 . . .0 1 0 . . ....

......

. . .

u2,f + . . . =

=n−1∑

k=0

∆kuk+1,f . (5.51)

Z tohoto poznatku vyjdeme pri rozepisovanı vyrazuU j ′U i:

r∑

i,j=1

U j ′U i =

r∑

i,j=1

(n−1∑

k=0

∆′kuk+1,j

n−1∑

l=0

∆lul+1,i

)=

=r∑

i,j=1

(n−1∑

k,l=0

∆′k∆l(uk+1,jul+1,i)

). (5.52)

Pripravme si jeste vyhodnejsı zapis pro vypocetaprioren maticA aW . zaf(C) lze rozepsat

jako

zaf(C) =

1 nebo 0...

1 nebo 0

cf = jfcf (5.53)

amwf(H) jako

mwf(H) =

0...01...10...0

hf = ifhf . (5.54)

Pro kazdy faktor jsme tedy zavedli vektoryjf a if , se kterymi se nam bude pracovat lepe nezs mnozinamiC aH. Delka nenulove casti vektoruif je potom

lf =

n∑

k=1

(if)k. (5.55)

Tım mame pripraveny zakladnı rozklady, ktere vyuzijeme pri zapisu VB-marginal.

43

VB-margin aly

f(A|D) ∝ exp[− 1

2ω tr(−2AX ′D′) − 1

2tr(A(ωX ′X)A′)+

− 1

2tr(AΥA′) − 1

2tr(−2AΥZA

′)]

(5.56)

f(g|D) ∝ exp[− 1

2ω tr(−2

r∑

i=1

(C ′

(n−1∑

k=0

∆′kuk+1,i

)D′a:,i

)g′) − 1

2ψ tr(g′Ing)+

− 1

2ω tr

[g′C ′

( r∑

i,j=1

(a′iaj

n−1∑

k,l=0

∆′k∆l

(uk+1,jul+1,i)

))Cg

]](5.57)

f(W |D) ∝ exp[− 1

2ω tr(−2A′DBCW ) − 1

2ω tr(C ′B′BCWA′AW ′)+

− 1

2tr(−2ΞWMW

′W ) − 1

2tr(InW ΞWW

′)]

(5.58)

f(υ|D) ∝ exp

[r∑

i=1

(p2

+ αi,0 − 1)iln υi+

− υi

r∑

i=1

(βi,0 +

1

2diag(A′A)i +

1

2diag(−2A′ZA)i +

1

2diag(Z ′

AZA)i

)]

(5.59)

f(ξ|D) ∝ exp

[r∑

i=1

(n2

+ κi,0 − 1)

ln ξi+

− ξi

r∑

i=1

(νi,0 +

1

2diag(W ′W )i +

1

2diag(−2W ′MW )i +

1

2diag(M ′

WMW )i

)]

(5.60)

f(ω|D) ∝ exp[ (pn

2+ ϑ0 − 1

)lnω+

− ω

(ρ0 +

1

2tr(DD′ − 2AX ′D′ + A′AX ′X)

)](5.61)

f(ψ|D) ∝ exp

[(n2

+ ζ0 − 1)

lnψ − ψ

(η0 +

1

2tr(g′g)

)](5.62)

f(ci|D) ∝ exp

[−1

2υi(−ai′jici − ciji

′ai + c2i

p∑

k=1

(ji)k) −1

2ς−10 c2i

](5.63)

f(hi|D) ∝ exp

[−1

2ξi(−wi′iihi − hiii

′wi + h2

i li) −1

2τ−10 h2

i

](5.64)

f(ji|D) ∝ exp

[ji

(−1

2υi(c

2i − 2ciai)

)](5.65)

44

5.2.4 Identifikace standardnıch forem

V dalsım kroku identifikujeme VB-marginaly jako hustotypravdepodobnostı nekterych znamychrozdelenı.

f(A|D) = tNA(µA, Ip ⊗ ΦA) (5.66)

f(g|D) = tNg(µg,Σg) (5.67)

f(vec(W )|D) = tNvec(W )(µvec(W ),Σvec(W )) (5.68)

f(υ|D) =r∏

i=1

Gυi(αi, βi) (5.69)

f(ξ|D) =

r∏

i=1

Gξi(κi, νi) (5.70)

f(ω|D) = Gω(ϑ, ρ) (5.71)

f(ψ|D) = Gψ(ζ, η) (5.72)

f(ci|D) = tNci(µci,Σci) (5.73)

f(hi|D) = tNhi(µhi

,Σhi) (5.74)

f(ji|D) = tExpji(λi) (5.75)

Nasledne vyjadrenı tvarovacıch parametru je ve vetsine prıpadu trivialnı, v prıpade maticeW vsak provedeme detailnı odvozenı.

Odvozenı tvarovacıch parametru matice W

Pro maticiW se nam nepodarilo udrzet Kroneckerovskou formu zapisu, coz nas nutı k nasledu-jıcım uvaham. Rozdelıme VB-marginaluf(W |D) na dve casti takto:

f(W |D) ∝ exp[− 1

2ω tr(−2A′DBCW ) − 1

2ω tr(C ′B′BCWA′AW ′)

]×

exp[− 1

2tr(−2ΞW MW

′W ) − 1

2tr(InW ΞWW

′)]

(5.76)

Z prvnıho clenu dostavame rovnici:

Σ−1W W (Φ−1

W )′W ′ = (ωC ′B′BC)WA′AW ′ (5.77)

ΣW ⊗ ΦW = (ωC ′B′BC ⊗ (A′A)′)−1, (5.78)

coz znamena, ze

Σ(1)W = (ωC ′B′BC)−1 (5.79)

Φ(1)W =

((A′A)−1

)′. (5.80)

45

Pro strednı hodnotu tehoz clenu platı

(Φ−1W )′(µW )′Σ−1

W W = ωA′DBCW (5.81)

(µW )′ = ω(ΦW )′A′DBCΣW (5.82)

µ(1)W = ω(Σ

(1)W )′C ′B′D′AΦ

(1)W . (5.83)

Z druheho clenu dostavame rovnici:

Σ−1W W (Φ−1

W )′W ′ = InW ΞWW′ (5.84)

ΣW ⊗ ΦW = (In ⊗ ΞW )−1, (5.85)

coz znamena, ze

Σ(2)W = In (5.86)

Φ(2)W = ΞW

−1. (5.87)

Pro strednı hodnotu tehoz clenu platı

(Φ−1W )′(µW )′Σ−1

W W = ΞWMW

′W (5.88)

(µW )′ = (ΦW )′ΞWMW

′ΣW (5.89)

µ(2)W = (Σ

(2)W )′MW (ΞW )′Φ

(2)W . (5.90)

VB-marginaluf(W |D) tedy muzeme zapsat jako soucin dvou normalnıch rozdelenı rele-vantnıch k prvnımu, resp. ke druhemu, clenu:

f(W |D) ∝ tN1(µ(1)W ,Σ

(1)W ⊗ Φ

(1)W )tN2(µ

(2)W ,Σ

(2)W ⊗ Φ

(2)W ). (5.91)

Abychom mohli pokracovat v dalsıch upravach, prejdeme k vektorovemu zapisu teto dis-tribuce:

f(vec(W )|D) ∝ tN1(vec(µ(1)W ),Φ

(1)W ⊗ Σ

(1)W )tN2(vec(µ

(2)W ),Φ

(2)W ⊗ Σ

(2)W )

∝ tN1(vec(µ(1)W ), ((A′A)′ ⊗ ωC ′B′BC)−1)×

× tN2(vec(µ(2)W ), (ΞW ⊗ In)

−1). (5.92)

Slozenım pak dostaneme distribuci tvaru

f(vec(W )|D) ∝ tN(µvec(W ),Σvec(W )), (5.93)

jejız tvarovacı parametry vyjadrıme jako:

Σvec(W ) =(((A′A)′ ⊗ ωC ′B′BC) + (ΞW ⊗ In)

)−1

(5.94)

µvec(W ) = Σvec(W )((A′A)′ ⊗ ωC ′B′BC)vec(µ(1)W )+

+ Σvec(W )(ΞW ⊗ In)vec(µ(2)W ). (5.95)

46

Zapis tvarovacıch parametru

Nynı jiz muzeme zapsat jednotlive tvarovacı parametry, prıslusne k identifikovanym stan-dardnım formam.

ΦA = (ωX ′X + ΥIr)−1 (5.96)

µA = (ωDX + ZAΥ)ΦA (5.97)

Σg = (ψIn + ωC ′r∑

i,j=1

(a′iaj

n−1∑

k,l=0

∆′k∆l

(uk+1,jul+1,i)

)C)−1 (5.98)

µg = ωΣgC′

r∑

i=1

(( n−1∑

k=0

∆′kuk+1,i

)D′ai

)(5.99)

Σvec(W ) =(((A′A)′ ⊗ ωC ′B′BC) + (ΞW ⊗ In)

)−1

(5.100)

µvec(W ) = Σvec(W )((A′A)′ ⊗ ωC ′B′BC) vec(µ(1)W )+

+ Σvec(W )(In ⊗ ΞW ) vec(µ(2)W ) (5.101)

α = α0 +p

21r,1 (5.102)

β = β0 +1

2diag(AA′) +

1

2diag(−2A′ZA) +

1

2diag(Z ′

AZA) (5.103)

κ = κ0 +n

21r,1 (5.104)

ν = ν0 +1

2diag(W ′W ) +

1

2diag(−2W ′MW ) +

1

2diag(M ′

WMW ) (5.105)

ϑ = ϑ0 +pn

2(5.106)

ρ = ρ0 +1

2tr(DD′ − 2AX ′D′) +

1

2tr(A′AX ′X) (5.107)

ζ = ζ0 +n

2(5.108)

η = η0 +1

2tr(g′g) (5.109)

σci =

(p∑

k=1

(ji)kυi + ς−10

)−1

(5.110)

µci = ai′jiυiσci (5.111)

σhi=(liξi + τ−1

0

)−1

(5.112)

µhi= w ′iξiσhi

(5.113)

λi = −1

2υi(c2i − 2ciai) (5.114)

47

5.2.5 Odhad indexovych mnozin aprioren obrazov e a prırustkov ematice

Odhad apriorna obrazove maticeA a prırustkove maticeW muzeme chapat jako samostatnyvnitrnı cyklus: podıvame-li se na obrazek 5.3, vidıme, ze maticeA a maticeW tvorı kazdasamostatnou vetev. V kazdem kroku IVB algoritmu VB metody jsou ostatnı odhadovaneveliciny zafixovane, muzeme tedy samostatne odhadovat kazdou vetev zvlast’ , jakozto vnitrnıcyklus IVB algortimu. Paklize nechceme tato apriorna odhadovat, muzeme je nastavit jakonulove matice.

Podıvejme se nynı na jejich tvary.

Odhad apriorna A

MnozinaC, ktera apriorne urcuje, zda pixel patrı k danemu faktoru ci nikoliv, se sklada zprvku 1 a 0. Jejı odhady jsme vsak v tomto tvaru neudrzeli. Mısto toho nam vyslo, ze kazdyprvek odhadu teto mnoziny ma exponencialnı rozdelenı. Paklize ovsem pouzijeme orezaneexponencialnı rozdelenı (viz kap A.4.1) na intervalu[0, 1], bude nam nynı odhad mnozinyCurcovat pravdepodobnost, s jakou dany pixel patrı k danemu faktoru, jak je znazorneno naobrazku 5.4.

0 c

P = 1

P = 0

Obrazek 5.4: Znazornenı vypoctu pravdepodobnostiprıslusnosti pixelu k danemu faktoru

Odhad apriorna W

Venujme se kazdemu sloupciw maticeW zvlast’ , usetrıme si tak psanı indexuf .Pro uplny popis apriorna vektoruw bylo nasım cılem odhadnout vyrazyh a i, cımz budeme

mıt vektormW jednoznacne reprezentovany v nası predpokladaneparametrizaci.

48

Pro prvnı clen jsme uspesne vyuzili VB-teorem, u druheho clenu vsak budeme postupovatjinym zpusobem. Na vektori (skladajıcı se z1 a 0) totiz klademe pozadavek, aby jednickovecleny tvorily kompaktnı radu, obklopenou nulami. To senam povedlo parametrizovat a prehlednezapsat do celeho modelu pomocı vektorus a l. Pro odhad vektorui ovsem nebudeme hledatcelou distribucif(i), ale pouze odhad jejıho extremu. Vyuzijeme tedy EM algoritmus:

i = arg mini

∫f(w)f(h) ln

f(w, h, i)

f(w)f(h)dh =

= arg mini

[Ef(h)f(w)(ln f(w, h, i))− Ef(w)(ln f(w))+

− Ef(h)(ln f(h))], (5.115)

kde

Ef(h)f(w)(ln f(w, h, i)) = 0 − 1

2ξw(w′w − w′ih− i′hw + hhi′i) (5.116)

Ef(w)(ln f(w)) = Ef(w)(ln |ξw−1In|−

1

2 + 0) = Ef(w)(n

2ln ξw) =

=n

2ln ξw (5.117)

Ef(h)(ln f(h)) = Ef(h)(1

2ln(ξwl + τ−1

0 ) + 0) =

=1

2ln(ξwl + τ−1

0 ). (5.118)

Ve vyjadrenı strednıch hodnot uvadıme i clenξw, jenz muzeme pri vypoctu apriornaWfixovat a tedy v tomto vyrazu chapat jako konstantu, ale i pˇrepocıtavat dle odhadovanehoi.

5.2.6 Formulace VB-momentu

Ke kompletnosti celeho vypoctu nam zbyva jeste zformulovat VB-momenty, vychazejıcı zmomentu standartnıch parametrickych distribucı, uvedenych v Matematickem dodatku A.

Momenty pro U

Nasım hlavnım ukolem ted’ bude spocıtat skalaryuk+1,i a (uk+1,jul+1,i), pouzite ve vyrazechpro parametry vektorug. Vychazet muzeme z toho, ze maticeU je linearnı transformacı maticeW (U = CW ), jejız strednı hodnotu i kovariancnı matici umımevypocıtat (ve vektorovepodobe). Vıme, zevec(W ) ∼ tN(µvec(W ),Σvec(W )) a zaroven muzeme rozepsatU jako

vec(U) = vec(CW ) = vec(CWIr) = (Ir ⊗ C) vec(W ) (5.119)

Dusledne zde musıme rozlisovat znacenı, totiz ze maticeU ∈ Rn×r je matice slozena z vektoruuf , kdezto maticeUf ∈ Rn×n jsou ctvercove matice prıslusne k jednotlivymuf .

vec(U) pak ma rozdelenı

vec(U) = tN((Ir ⊗ C)µvec(W ), (Ir ⊗ C)Σvec(W )(Ir ⊗ C)′). (5.120)

49

Oznacme

µvec(U) = (Ir ⊗ C)µvec(W ) (5.121)

Σvec(U) = (Ir ⊗ C)Σvec(W )(Ir ⊗ C)′. (5.122)

Hledane skalary (uk+1,jul+1,i) zıskame z vyrazu

E(vec(U) vec(U)′) = E(

u1,1

u2,1...

un,1u1,2

...un,2

...un,r

(u1,1 u2,1 . . . un,1 u1,2 . . . un,r

)) =

E(u21,1) E(u1,1u2,1) . . . E(u1,1un,1) E(u1,1u1,2) . . . E(u1,1un,r)

E(u2,1u1,1) E(u22,1) . . . E(u2,1un,1) E(u2,1u1,2) . . . E(u2,1un,r)

......

. . ....

.... . .

...E(un,1u1,1) E(un,1u2,1) . . . E(u2

n,1) E(un,1u1,2) . . . E(un,1un,r)E(u1,2u1,1) E(u1,2u2,1) . . . E(u1,2un,1) E(u2

1,2) . . . E(u1,2un,r)...

.... . .

......

. . ....

E(un,ru1,1) E(un,ru2,1) . . . E(un,run,1) E(un,ru1,2) . . . E(u2n,r)

= Σvec(U) + µvec(U)(µvec(U))′, (5.123)

kdeΣvec(U) ∈ Rnr×nr aµvec(U) ∈ Rnr×1.Tedy

(uk+1,jul+1,i) = Σvec(U)(j−1)n+(k+1),(i−1)n+(l+1) + µ

vec(U)(j−1)n+(k+1)µ

vec(U)(i−1)n+(l+1). (5.124)

Tım mame vyjadreny vsechny strednı hodnoty kombinacı prvku maticeU .Momentuk+1,i vyjadrıme jako

uk+1,i = µvec(U)(i−1)n+(k+1). (5.125)

Momenty pro B

Nejprve si vyjadrıme momentb.

µb = Cµg (5.126)

Σb = CΣgC′ (5.127)

50

Tedy

b = µb = Cµg. (5.128)

Obdobne jako u maticeU si pripravıme vyjadrenı pro dalsı momenty,B a B′B.Prvnı vyraz vyjadrıme snadno jako

B =n−1∑

k=0

∆k bk+1. (5.129)

U strednı hodnotyB′B budeme postupovat obdobne jako v prıpade maticU iU j .

B = ∆0b1 + ∆1b2 + · · ·+ ∆n−1bn =

n−1∑

k=0

∆kbk+1 (5.130)

Potom tedy

B′B =

(n−1∑

k=0

∆kbk+1

)′(n−1∑

l=0

∆lbl+1

)=

n−1∑

k,l=0

∆k′∆l(bk+1bl+1). (5.131)

Nynı chceme vyjadrit clenybibj , ktere zıskame z nasledujıcıho. Je-lib ∼ tN(µb,Σb), pak

E(bb′) =

E(b21) E(b1b2) . . . E(b1bn)E(b2b1) E(b22) . . . E(b2bn)

......

. . ....

E(bnb1) E(bnb2) . . . E(b2n)

= Σb + µbµb

′. (5.132)

Z teto matice pak jiz snadno vybereme kombinaci dvou hledanych prvku:

bk+1bl+1 = (Σb)k+1,l+1 + (µb)k+1(µb)l+1. (5.133)

Momenty pro X

Vyjadrenı odhadu strednı hodnotyX je trivialnı, nebot’ stacı pouzıt vzorec

X = BCW , (5.134)

pricemz clenW zıskame zpetnym poskladanım vyrazuµvec(W ) do matice o prıslusnych roz-merech.

Pro strednı hodnotuX ′X vyuzijeme moznost vyjadritX ′X jakoW ′C ′B′BCW . B′B urcitumıme z predchozıho, tedy

X ′X = Ef(W |D)(W′C ′B′BCW ). (5.135)

Problem se redukoval na urcenı matice tvaruW ′ZW (kdeZ je C ′B′BC), pricemz znameΣvec(W ). Problem budeme resit algoritmicky. Tento algoritmus prochazı jednotlive bloky (n×n) kovariancnı maticeΣvec(W ) (nr×nr), vynasobı je maticıZ. Pote spocıtame stopu vyslednematice a vysledek ulozıme na prıslusnou pozici pomocne matice (r×r). Vyslednou pomocnoumatici pak pricteme k maticiW ′ZW .

51

Ostatnı momenty

Dalsı momenty jsou jiz trivialnı, z dodatku A.3 plyne:

Υ = diag(υ) = diag(α β−1) (5.136)

Ξ = diag(q) = diag(κ ν−1) (5.137)

ω =θ

ρ(5.138)

ψ =ζ

η, (5.139)

kde operace ”” znacı Hadamarduv soucin, viz dodatek A.1. Potrebnemomenty orezanychnormalnıch rozdelenıA, A′A, g, gg′, hi, h2

i , ci, c2i dopocteme snadno dle dodatku A.2 a mo-

mentji dle A.4.1∀i ∈ 1 . . . r.

5.3 Shrnutı vypo ctu

Sepsanım VB-momentu jsme dokoncili vypocet integr´alnıho modelu VB-metodou. Ostatnıkroky jsou technicke a vypocetnı, budeme je tedy uvadˇet v nasledujıcım textu, jen bude-li topotreba.

Vypocet se nam pomocı pomocnych promennych a odvozenych vztahu podarilo udrzet vkompaktnı podobe. Zaroven jsme dokazali zahrnout do vypoctu oba diagnosticke parametry,kterym se tato prace venuje.

Predtım, nez v dalsı kapitole predvedeme vysledky tohoto integralnıho modelu, se podıvamena dve dalsı nastavenı vypoctu: inicializaci a konvergenci.

5.3.1 Inicializace vypo ctu

Teoreticky muzeme startovat z nahodnych pocatecn´ıch dat. To vsak nenı prılis vyhodne, nebot’by se mohl vypocet zastavit v nejakem lokalnım extremu a tım bychom nedosli ke spravnymvysledkum. Vyhodnejsı je proto nastavit hodnoty, ktere dokazeme dobre odhadnout, a it-erace zahajit vypoctem tech, ktere nezname ani neodhadneme. Podıvame-li se na obrazek5.3, vidıme, ze nastavıme-li vsechny hodnoty krome vˇetve maticeA, tato se nam odhadnejako prvnı a budeme-li mıt dobre pocatecnı odhady, vypocet rychle dokonverguje k vysledku.Pocatecnı hodnotyb aW pritom nenı tezke urcit.b ma tvar exponenciely aW jsou prırustkyimpulznıch retencnıch funkcı, jejichz teoreticke tvary jsou zname, takze je tez muzeme dobreodhadnout.

5.3.2 Konvergence vypo ctu

Konvergence vypoctu nenı v teto praci resena teoreticky. Volıme proto pevny pocet kroku IVBalgoritmu (typicky15 az50). Sledovat vsak muzeme pomocne ukazatele, jako napr.diagonalnımatici Υ, jejız hodnoty by mely klesat a podle nichz muzeme poznat tendenci konvergencejednotlivych faktoru. Prace si vsak nevyzadala automaticke odhadovanı teto tendence.

52

6 Vysledky integr alnıho modelu

Podıvejme se nynı na vysledky, jakych lze dosahnout pomocı integralnıho modelu, zkonstruo-vaneho a vyreseneho v kapitole 4. Obdobne jako u standardnıho modelu bude cılem urcitdiagnosticke koeficienty, tranzitnı cas (TT) a relativnı renalnı clearanci. Vysledny algoritmusje opet implementovan vMatlabu.

Fungovanı a chovanı integralnıho modelu si ukazeme na sekvenci snımku z obrazku 4.2,tedy kazdy snımek ma rozmery64 × 64, z cehoz plyne, zep = 4096. Snımku je celkem120(n = 120) a jsou snımany vzdy po10s.

Vysledek cele analyzy vidıme na obrazku 6.1. Popisu v´ysledku se venuje nasledujıcı kapi-tola.

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1505

10

15

20

0 50 100 1500

2

4

6

8x 10

6

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2x 10

6

0 50 100 1501

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

6

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2x 10

6

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1501

2

3

4

5

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

6

0 50 100 1500

5

10

15x 10

4

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

6

0 50 100 1500

5

10

15x 10

4

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1500

2

4

6

8

0 50 100 1500

2

4

6

8x 10

6

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2x 10

6

0 50 100 1500

1

2

3

4

5

6x 10

6

0 50 100 1500

5

10

15x 10

5

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

0 50 100 1500

5

10

15x 10

5

0 50 100 1500

2

4

6

8

10x 10

4

0 50 100 1500

2

4

6

8

10x 10

5

0 50 100 1500

2

4

6

8x 10

4

Obrazek 6.1: vysledek analyzy studie ledvin pomocı integralnıho modelu

6.1 Popis odhadovanych parametru

Nynı vysvetlıme, co znamenajı jednotlive hodnoty, a nasledne ukazeme, jak z nich vycıstpozadovane klinicke parametry.

53

Kazdy radek na obrazku 6.1 se tyka jednoho nalezeneho faktoru. Popisme nynı postupne,jake hodnoty jsou v jednotlivych sloupcıch:

1. odhad mnozinyC, ovlivnujıcı apriorno matice obrazkuA; jedna se o pravdepodobnostnımasku, ktera urcuje, s jakou pravdepodobnostı patrıdany pixel k tomuto faktoru, prvkyteto masky jsou tedy v intervalu[0; 1],

2. obrazek konkretnıho faktoru, tedy preskladany dany sloupec maticeA,

3. krivka konkretnıho faktoru, tzn. dany sloupec maticeX,

4. odhadnuta impulznı retencnı funkce daneho faktoru, sloupec maticeU ,

5. odhadnute prırustky impulznı retencnı funkce daneho faktoru, sloupec maticeW ,

6. odhadovana apriornı impulznı retencnı funkce dan´eho faktoru

7. odhadovane apriornı prırustky impulznı retencnı funkce daneho faktoru, sloupec maticeMW .

Podarilo se nam odhadnout stejne jako pomocı standardnıho modelu ctyri faktory: mocovymechyr, panvicky, krevnı pozadı a parenchymy.

Muzeme si vsak vsimnout, ze odhadnute krivky se lisı. Konkretne, u integralnıho mode-lu nepredpokladame, ze muze byt krivka faktoru na pocatku nulova, nase konstrukce im-pulznı retencnı funkce to neumoznuje. Dusledkem toho je take prılisne odectenı panvicekod parenchymu. To je nevyhoda tohoto modelu a je to mozny namet pro pokracovanı. Proanalyzu pocatecnı faze sekvence a urcenı relativnı renalnı clearance to vsak nevadı, model jekonstruovan predevsım pro ni.

Jinak vsak model odhaduje parametry, ktere jsme po nem pozadovali. Muzeme tedy kon-statovat, ze funguje tak, jak jsme chteli a jak jsme ho navrhli.

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

2

4

6

8

0 5 10 15 206

7

8

9

10

11

12x 10

4

0 5 10 15 200

2

4

6

8x 10

4

0 5 10 15 206.8993

6.8994

6.8994

6.8994

6.8995

6.8995

6.8996x 10

4

0 5 10 15 200

2

4

6

8x 10

4

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6x 10

4

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6x 10

4

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6x 10

4

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6x 10

4

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5x 10

−3

0 5 10 15 200

10

20

30

40

0 5 10 15 200

5

10

15

20

0 5 10 15 200

10

20

30

40

0 5 10 15 200

5

10

15

20

Obrazek 6.2: vysledek analyzy pocatecnı faze studie ledvin pomocı integralnıho modelu

54

6.1.1 Tranzitnı cas

Spravny odhad tvaru impulznı retencnı funkce, presne dle teoretickeho, nam umoznuje prımoz dosazenych vysledku vycıst TT parenchymu. Nemusıme tedy tuto funkci dopocıtavat po-mocı Fourierovy transformace z odhadnutych krivek a tım zanest do vysledku chybu, jako tobylo u standardnıho modelu v kapitole 4.3.2.

Z radku parenchymu, z sesteho sloupce, prımo vycteme, zeTT parmin = 160s.

6.1.2 Relativnı ren alnı clearance

Pro urcenı relativnı renalnı clearance vyuzijeme opet jen prvnı cast cele sekvence, nebot’ nateto casti nas model splnuje zakladnı biologickepredpoklady, odpada problem s panvickoua mocovym mechyrem, ktere jsou na zacatku nulove.Otazku, kolik brat prvnıch snımku,vyresıme automaticky, udelame prvnı analyzu na plne sekvenci a z faktoru parenchymu vezme-me hodnotuTT parmin. V dalsım kroku analyzujeme tedy jen pocatecnı fazisekvence a pomocıkorelace predpokladaneho tvaru ledvin s pravdepodobnostnımi maskami (odhad mnozinyC),prıpadne podle TT, urcıme, ktery faktor predstavuje parenchym. Vysledek vidıme na obrazku6.2.

Analyzou pocatecnı faze se podarilo rozlisit parenchym, krevnı pozadı a dalsı tkanovyfaktor. Tento poslednı rozliseny faktor je velice slab´y, proto nenı videt na vysledku celkoveanalyzy, kde je pod rozlisovacı schopnostı sumu. Zde ho vsak jeste nalezneme, coz je dulezitez hlediska spravneho odectenı pozadı od parenchymu, coz se podarilo.

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

Obrazek 6.3: vycisteny snımek parenchymu, zıskany pomocı integralnıho modelu

Mame tedy velice pekny snımek parenchymu a jeste k tomu pravdepodobnostnı masku,ktera urcuje, zda dany pixel patrı k faktoru, ci nikoliv. Pro vyslednou analyzu clearance jevhodne tuto masku prahovat hodnotou napr.0, 5 na diskretnı hodnoty1 a 0. Touto maskou

55

pak obrazek parenchymu po prvcıch vynasobıme a zıskame takocekavanou aktivitu organu,coz je prakticky vycisteny faktorovy obrazek, viz obrazek 6.3. Tato maska nam slouzı jakoautomaticke ROI.

Poznamenejme, ze tento krok nezapada do celkoveho algoritmu svojı povahou, nicmenekompenzujeme tak nemoznost vytvorit apriorno dle poznamky 3 kvuli vypocetnı narocnosti.

V takto zıskanem vysledku jiz jen stacı secıst pixely praveho a leveho parenchymu a vypocı-tat relativnı renalnı clearance (v tomto prıpade je vysledek ParL ≈ 49% a ParP ≈ 51% (levaa prava strana je brana z naseho pohledu)). V teto oblasti medicıny neexistuje standard (viz[10]), nemame proto s cım tyto hodnoty porovnat. Muzeme vsak vizualne odhadnout, ze seblızı pravde. Pro dukladne srovnanı bude treba provest rozsahlou studii, ktera presahuje ramecteto prace.

Dokazali jsme tedy zcela automaticky analyzovat relativnı renalnı clearance. Nutno vsakdodat, ze tento postup predpoklada prıtomnost obou ledvin, nepredpoklada jejich srust apod.

6.2 Vyhodnocenı dal sıch studiı

Zkusme na tomto mıste vyhodnostit nekolik dalsıch studiı. Ty uz budeme volit ne tak typickyjako v predchozım experimentu, abychom se podıvali, jakse novy integralnı model chova vtechto prıpadech. Protoze pomocı standardnıho modelu nelze urcit relativnı renalnı clearance,kterou nynı budeme diagnostikovat, nebudeme jiz jeho vysledky uvadet.

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

0 5 10 15 200

50

100

150

200

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

10

20

30

40

0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

0 5 10 15 200

10

20

30

40

50

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 2010

20

30

40

50

0 5 10 15 200

100

200

300

400

0 5 10 15 200

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 200

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 200

50

100

150

200

250

300

Obrazek 6.4: vysledky studie 1

6.2.1 Studie 1

Sekvenci snımku prvnı studie muzeme videt v doplnkuna obrazku C.1. Jedna se o znacneposkozenou ledvinu, kdy na prvnı pohled funguje pravy parenchym (opet z naseho pohledu)

56

spatne. Kazdy snımek sekvence ma rozmery64 × 64, tzn.p = 4096. Ze sekvence vezmemeprvnıch20 snımku (n = 20), ty jsou snımany vzdy po10s.

Vysledek cele analyzy vidıme na obrazku 6.4. Nizsıaktivita krve na pocatku muze bytzpusobena tım, ze byla aplikovana kontrastnı latka prılis pozde, maximum aktivity krve tedynenı hned na prvnım snımku. Pro vypocet to muze predstavovat problem a resenım je tentoprvnı snımek vyradit z analyzy, zde to vsak nebylo nutne.

Pro urcenı clearance pouzijeme pravdepodobnostnı masku v prvnım sloupci. Faktor parenchymus odstranenym sumem touto metodou vidıme na obrazku 6.5. Po vyhodnocenı tohoto snımkudostavame hodnoty ParL ≈ 80, 5% a ParP ≈ 19, 5% (leva a prava strana je brana z nasehopohledu).

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

Obrazek 6.5: vycisteny snımek parenchymu, zıskany pomocı integralnıho modelu ve studii 1

6.2.2 Studie 2

Sekvence druhe studie je v doplnku na obrazku C.2. Muzeme si vsimnout, ze zde bylo zapocatosnımanı scintigrafickou kamerou prımo ve chvıli aplikace radiofarmaka. Pred analyzou takovesekvence proto pouzijeme orıznutı castı, ktere sina sekvenci neprejeme, a data upravıme, abysplnovala nase predpoklady.

Studie zobrazuje novorozene se spatne fungujıcı pravou ledvinou. Kazdy snımek sekvencema rozmery64× 64, tzn.p = 4096. Ze sekvence vezmeme prvnıch16 snımku (n = 16), jsousnımany vzdy po10s. Vysledek analyzy s pouzitım integralnıho modelu jena obrazku 6.6.

Pro urcenı clearance pouzijeme opet pravdepodobnostnı masku v prvnım sloupci. Faktorparenchymu s odstranenym sumem touto metodou vidıme na obrazku 6.7. Po vyhodnocenıtohoto snımku dostavame hodnoty ParL ≈ 68% a ParP ≈ 32% (leva a prava strana je brana znaseho pohledu).

57

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

1000

2000

3000

4000

0 5 10 15 200

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 200

200

400

600

800

0 5 10 15 200

500

1000

1500

0 5 10 15 200

200

400

600

800

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

100

200

300

400

0 5 10 15 200

100

200

300

400

0 5 10 15 200

100

200

300

400

0 5 10 15 200

100

200

300

400

0 5 10 15 200

100

200

300

400

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 200

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 2070

80

90

100

110

0 5 10 15 200

20

40

60

80

0 5 10 15 2072

72.5

73

73.5

74

74.5

0 5 10 15 200

20

40

60

80

Obrazek 6.6: vysledky studie 2

6.3 Zhodnocenı vysledku

V teto kapitole jsme na nekolika studiıch predvedli fungovanı integralnıho modelu pro analyzuscintigrafickych sekvencı. Detailne jsme popsali odhadovane veliciny a mechanismus, jakzıskat hledane diagnosticke parametry.

Z vysledku vidıme, ze model jeste nefuguje pro celou sekvenci, ale jen pro jejı pocatek, kdejsou splneny jeho predpoklady. Nasım ukolem vsak bylo zkoumat a diagnostikovat parametr,ktery zavisı prave pouze na pocatku a ktery nenı ovlivnen naslednymi snımky. Zıskali jsmetak automatickou metodu pro odhad relativnı renalnı clearance, ktera jeste nefunguje zcelaobecne, protoze zkoumame velice komplikovany system, lidske telo, ale ktera resı predlozenyproblem.

58

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

Obrazek 6.7: vycisteny snımek parenchymu, zıskany pomocı integralnıho modelu ve studii 2

59

7 Zaver a moznosti dal sıhopokra cov anı

Cılem prace bylo prozkoumat metody zpracovanı dat a odhadovanı nekterych dulezitych diag-nostickych koeficientu v nuklearnı medicıne. Dale pak navrhnout model, ktery by respektovalbiologicka omezenı a pomocı nehoz bychom prımo odhadovali potrebne hodnoty, coz se dopo-sud v klinicke praxi nedeje. K vypoctu tohoto modelu jsme vyuzili Variacnı Bayesuv teorem,zabudovany ve VB metode. Vysledny algoritmus jsme otestovali na realnych scintigrafickychstudiıch.

7.1 Hlavnı p rınos pr ace

Kapitola 2

Seznamili jsme se se zakladnı metodou, pouzıvanou v nuklearnı medicıne, scintigrafiı. Po-drobne jsme prozkoumali fungovanı teto metody, jejı vyhody, nevyhody a mozna uskalı. De-tailne jsme se podıvali na radionuklidy pouzıvane touto metodou, s jejichz vlastnostmi je potev matematickem modelu nutno pocıtat. Velka cast teto kapitoly je pak venovana matema-tickemu pohledu na celou analyzu, jsou zmıneny zakladnı biologicke predpoklady, matema-ticke metody a vysvetleny diagnosticke koeficienty, kterych se tato prace tyka.

Kapitola 3

Probrali jsme zaklady Bayesovske statistiky a poukazali na nektere jejı vyhody a nevyhody.Mezi hlavnı vyhody patrı moznost efektivne zahrnoutapriornı informaci do vypoctu a takse dostat k lepsım vysledkum, nez pomocı klasicke statistiky. Platıme za to ovsem vysokouvypocetnı narocnostı, ktera nas nutı vyuzıvataproximace. Tem je venovana druha cast kapi-toly, predevsım pak aproximaci pomocı Bayesova Variaˇcnıho teoremu. Jeho pouzitı shrnujemedo 8 zakladnıch kroku, tzv. VB metody.

Kapitola 4

Venovali jsme se konstrukci standardnıho modelu pro analyzu scintografickych obrazovychsekvencı pomocı Variacnıho Bayesova teoremu. Tento model jsme nasledne vyresili VB meto-dou. Vysledky jsme ukazali na realne studii. Jako problem pri naslednem urcovanı diagno-stickych parametru se ukazala nedokonala separace jednotlivych faktoru a nepresne urcenıkrivek faktoru, coz vedlo k nemoznosti automatickehourcenı nami pozadovanych parametru.

60

Kapitola 5

Pata kapitole je hlavnım prınosem teto prace. Detailne jsme v nı popsali konstrukci matemat-ickeho modelu, ktery respektuje zakladnı biologickepozadavky, predevsım konvoluci krivek.Zkonstruovali a zavedli jsme take apriorna, ktera nam pomohla automaticky behem vypoctuodhadovat pozadovane diagnosticke koeficienty. To vedlo k znacnemu zeslozitenı celeho mode-lu, odvodili jsme proto zakladnı metody udrzenı vypoˇctu v maticovem tvaru. Model jsmevyresili VB metodou, v prubehu vypoctu bylo nutno sahnout i k EM algoritmu.

Kapitola 6

Sesta kapitola ukazuje diagnosticke moznosti noveho integralnıho modelu. Rozebrali jsmejednotlive odhadovane veliciny a podrobne ukazali, jak pomocı nich zıskame hledane diagno-sticke parametry. Na nekolika scintigrafickych studiıch jsme pote predvedli fungovanı modelua u kazde studie automaticky urcili relativnı renaln´ı clearanci parenchymu.

7.2 Moznosti dal sıho pokra cov anı

Jiz behem prace jsme naznacili nekolik smeru, kter´ymi by bylo dobre v budoucnu pokracovat.Vypisme tu na zaver nekolik nejperspektivnejsıch.

Prvnı zejdnodusenı jsme udelali v urcovanı sumu, ktery modelujeme jako stejny ve vsechcastech obrazku. To v praxi neplatı, jsou oblasti s menˇsım a vetsım sumem. Zmınili jsme setake, ze metoda vyloucı nektere faktory, ktere jsouvidet napr. jen na pocatku sekvence a jsouvelice malo vyrazne, urcı je jakozto sum. Tento problem jsme prozatım odstranili analyzoupouze pocatecnı faze sekvence, obecne je ale sum v nuklearnı medicıne a nejen v nı velkyproblem a stalo by za to se mu venovat vıce.

Nutne zlepsenı bude take u modelovanı impulznıch retencnıch funkcı, ktere jsme zjednodu-sili prılis, coz melo za nasledek spatnou separacipanvicky od parenchymu pri analyze nezkra-cene sekvence. Nas model nynı nepocıta s tım, ze pocatecnı faze faktoru muze byt nulova.Zavedenım dalsı podmınky do apriorna prırustkovematice by melo jıt tento problem odstranita dostat se tak k lepsım vysledkum.

Volbou vektoruc, na jehoz odhadu zavisı pravdepodobnost prıslusnosti pixelu k faktoru,znacne penalizujeme slabsı pixely daneho faktoru. T´ım muzeme prichazet o cast dulezite in-formace, ktera se sice do znacne mıry vykompenzuje v protilehlem parenchymu, ale bylo bydobre zavest presnejsı odhadovanı aprioren faktorovych obrazku, aby k potlacovanı slabsıchpixelu nedochazelo.

Dalsı smer vyzkumu by se mohl zaobırat resenım patologickych situacı. Integralnı modelzatım nepocıta s rozdelenım parenchymu na vıce faktoru, prekryvem ledvin ci dokonce jejichsrustem. Protoze je lidske telo znacne variabilnı,pravdepodobne nepujde zahrnout vsechnyproblemy, ktere mohou nastat, ale nektere typicke ano.

61

7.3 Zhodnocenı

Podarilo se nam vytvorit integralnı model dle biologickych predpokladu, ktere jsou splnenypredevsım v prvnı fazi scintigraficke studie ledvin.Dıky tomu jsme schopni urcit automatickydiagnosticky koeficient, relativnı renalnı clearanci. Aby model fungoval na cele sekvenci, budemuset byt jeste upraven. Ve srovnanı se standardnım modelem vsak dostavame vyrazne lepsıvysledky, a proto je novy integralnı model velkym posunem v analyze scintigrafickych studiıledvin.

62

A Matematicky dodatek

A.1 Stopa matice, oper ator vec(), Kroneckeruv aHadamarduv sou cin

Definice 5 Stopouctvercove maticeA ∈ Rn×n rozumımecıslo

tr(A) :=n∑

i=1

ai,i. (A.1)

Veta 6 Necht’ A ∈ Rn×n a tr(A) je jejı stopa. Pak platı

tr(A) = tr(A′). (A.2)

Veta 7 Necht’ A,B,C,D jsou matice takove, ze vyraz ABCD dava smysl a vysledkem tohotonasobenı je ctvercova matice. Pak platı, ze

tr(ABCD) = tr(BCDA). (A.3)

Definice 8 Necht’ se maticeA sklada ze sloupcu a:,1, a:,2, ..., a:,n. Pak

vec(A) =

a:,1

a:,2...a:,n

. (A.4)

Definice 9 Necht’ maticeA ∈ Rn×m a maticeB ∈ Rp×r. Pak Kroneckerovym soucinem maticA aB rozumıme vyraz

A⊗B =

a1,1B . . . a1,mB

.... . .

...an,1B . . . an,mB

. (A.5)

Veta 10 Pro libovolne kompatibilnı matice (ve smyslu uvedenych vzorcu) platı

vec(ABC) = (C ′ ⊗ A)vec(B) (A.6)

vec(ABC) = (A⊗ C ′)vec(B′) (A.7)

vec(ABC) = (I ⊗ AB)vec(C) = (C ′B′ ⊗ I)vec(A) (A.8)

tr(A′B) = vec(A)′vec(B). (A.9)

63

Veta 11 Pro Kroneckeruv soucin platı

(A⊗ B)′ = A′ ⊗B′ (A.10)

(A⊗ B)−1 = A−1 ⊗B−1. (A.11)

Definice 12 Necht’ jsou dany maticeA,B stejneho rozmeru. Pak Hadamardovym soucinemmaticA aB rozumıme maticiC danou

(C)i,j = (A)i,j · (B)i,j. (A.12)

ZnacımeC = A B.

A.2 Norm alnı rozd elenı

A.2.1 Vıcerozm erne norm alnı rozd elenı

Necht’ je dan vektorx ∈ Rn×1. Vıcerozmerne normalnı rozdelenı vektorux je pak:

Nx(µx,Σx) =1

(2π)n2 |Σ| 12

exp

(−1

2(x− µx)

′Σ−1x (x− µx)

), (A.13)

kdeΣx ∈ Rn×n je kovariancnı matice. Pro momenty pak platı:

x = µx (A.14)

xx′ = Σx + µxµ′x (A.15)

x′x = tr(Σx) + µ′xµx. (A.16)

Dale proC ∈ Rn×n platı:

Cx ∼ N(Cµx, CΣxC′). (A.17)

A.2.2 Maticov e norm alnı rozd elenı

Necht’ je dana maticeX ∈ Rn×p. Maticove normalnı rozdelenı maticeX je pak:

NX(µX ,Σn ⊗ Φp) = (2π)−np2 |Σn|−

p2 |Φp|−

n2×

× exp

(−1

2tr[Σ−1n (X − µX)(Φ−1

p )′(X − µX)′])

, (A.18)

kdeΣn ∈ Rn×n aΦp ∈ Rp×p jsou symetricke pozitivne definitnı matice,tr je stopa matice a⊗ je Kroneckeruv soucin. Pro momenty pak platı:

X = µX (A.19)

X ′X = tr(Σn)Φp + µX′µX (A.20)

XX ′ = tr(Φp)Σn + µXµX′ (A.21)

64

Dale proC ∈ Rn×n aD ∈ Rp×p platı:

CXD ∼ N(CµXD,CΣnC′ ⊗D′ΦpD) (A.22)

E(X ′DX) = µ′XDµX + tr(ΣnD)Φp (A.23)

E(XCX ′) = µXCµ′X + Σn tr(CΦp). (A.24)

A.2.3 Vektorizace v maticov em norm alnım rozd elenı

Nynı se kratce podıvame na pouzitı operatoruvec() na maticiX ∈ Rn×p. Mejme opetX ∼ NX(µX ,Σn ⊗ Φp). Pak provec(X) platı:

vec(X) ∼ N(vec(µX),Φp ⊗ Σn). (A.25)

Blokova struktura kovariancnı matice vektoruvec(X) pak odpovıda vektoruvec(X) nasledovne:

x:,1

x:,2...x:,p

∼ N(vec(µX),

φ1,1Σn . . . . . . . . .. . . φ2,2Σn . . . . . ....

.... . .

.... . . . . . . . . φp,pΣn

). (A.26)

Poznamenejme, ze tato blokova struktura mizı, pokud se nam nepodarı udrzet Kroneckerovskastruktura kovariancnı matice.

A.2.4 Orezane norm alnı rozd elenı

Orezane normalnı rozdelenı budeme definovat pro skalarnı nahodnou promennoux na inter-valua < x ≤ b nasledovne:

tNx(x|µ, σ, a, b) =

√2 exp((x− µ)2)√

πσ(erf(β) − erf(α))χ(a;b](x), (A.27)

kdeα = a−µ√2σ

, β = b−µ√2σ

, χ(a,b](x) je charakteristicka funkce intervalu(a, b] definovana jako

χ(a,b](x) =

1 x ∈ (a, b]

0 x /∈ (a, b]a erf(t) = 2√

π

∫ t0e−u

2

du.

Momenty orezaneho normalnıho rozdelenı jsou:

x = µ−√σ

√2[exp(−β2) − exp(−α2)]√π(erf(β) − erf(α))

(A.28)

x2 = σ + µx−√σ

√2[b exp(−β2) − a exp(−α2)]√

π(erf(β) − erf(α)). (A.29)

65

A.3 Gamma rozd elenı

Necht’ je dan nahodny skalarx. Pak definujeme gamma rozdelenı sklarux jako:

Gx(a, b) =1

Γ(a)

1

b−axa−1e−xb (A.30)

prox, a, b > 0 a kdeΓ(x) =∞∫0

tx−1 exp(−t) dt prox > 0.

Prıslusne momenty gamma rozdelenı jsou:

x =a

b(A.31)

x2 =a

b2. (A.32)

A.4 Exponenci alnı rozd elenı

Necht’ je dan nahodny skalarx. Pak definujeme exponencialnı rozdelenı sklarux jako:

Expx(λ) = λ exp(−λx) (A.33)

prox > 0.Prıslusne momenty exponencialnıho rozdelenı jsou:

x =1

λ(A.34)

x2 =1

λ2. (A.35)

A.4.1 Orezane exponenci alnı rozd elenı

Orezane exponencialnı rozdelenı budeme definovat pro skalarnı nahodnou promennoux naintervalua < x ≤ b nasledovne:

tExpx(λ, a, b) =1

exp(λb) − exp(λa)exp(−λx)χ(a,b](x), (A.36)

kdeχ(a,b](x) je charakteristicka funkce intervalu, definovana v kapitole A.2.4.Prvnı moment orezaneho normalnıho rozdelenı je

x =exp(λb)(1 − λb) − exp(λa)(1 − λa)

λ(exp(λa) − exp(λb)). (A.37)

66

A.5 Rovnom erne rozd elenı

Rovnomerne rozdelenı prirazuje vsem hodnotam nahodne velicinyx na intervalu(a, b) stejnoupravdepodobnost. Jeho hustota pravdepodobnosti ma nasledujıcı tvar:

f(x) =

1b−a x ∈ (a, b)

0 x /∈ (a, b)(A.38)

Prvnı moment tohoto rozdelenı spocıtame jako

x =a+ b

2. (A.39)

67

B Vypo cet logaritmu sdruzen ehorozd elenı

Pomocny vypocet logaritmu pravdepodobnostnıch rozdelenı z kapitoly 5:f(D):

f(D|A,X, ω) = tN(AX ′, ω−1Ip ⊗ In) =

= (2π)−pn2 |ω−1Ip|−

n2 |In|−

p2 exp

(−1

2tr [ω(D − AX ′)(D −AX ′)′]

)(B.1)

lnf(D|A,X, ω) ∝ pn

2lnω − 1

2ω tr [DD′ − 2AX ′D′ + AX ′XA′] (B.2)

f(ω):

f(ω) = G(ϑ0, ρ0) ∝ ωϑ0−1e−ωρ0 (B.3)

ln f(ω) ∝ (ϑ0 − 1) lnω − ωρ0 (B.4)

f(A):

f(A|Υ) = tN(ZA, Ip ⊗ Υ−1) (B.5)

ln f(A|Υ) ∝ p

2

r∑

i=1

ln vi −1

2tr((A− ZA)Υ(A− ZA)′) (B.6)

f(c):

f(c) = tN(0r,1, ς0Ir) ∝ exp(−1

2tr(c′ς−1

0 Irc)) (B.7)

ln f(c) ∝ −1

2ς−10 tr(c′c) (B.8)

f(υ):

f(υ|α0, β0) =

r∏

i=1

Gυi(αi,0, βi,0) ∝

r∏

i=1

υαi,0−1i e−υiβi,0 (B.9)

ln f(υ) ∝r∑

i=1

(αi,0 − 1) lnυi −r∑

i=1

υiβi,0 (B.10)

f(g):

f(g|ψ) = tN(0n, ψ−1In) (B.11)

ln f(g) ∝ n

2lnψ − 1

2ψ tr(g′g) (B.12)

68

f(ψ):

f(ψ) = Gψ(ζ0, η0) ∝ ψζ0−1e−ψη0 (B.13)

ln f(ψ) ∝ (ζ0 − 1) lnψ − ψη0 (B.14)

f(W):

f(W ) = tN(MW , In ⊗ Ξ−1W ) ∝

∝ |Ξ|n2 exp

(−1

2tr((I ′n)

−1(W −MW )ΞW (W −MW )′))

(B.15)

ln f(W ) ∝ n

2

r∑

i=1

ln ξi −1

2tr((W −MW )ΞW (W −MW )′

)(B.16)

f(ξ):

f(ξ|κ0, ν0) =r∏

i=1

Gξi(κi,0, νi,0) ∝r∏

i=1

ξκi,0−1i e−ξiνi,0 (B.17)

ln f(ξ) ∝r∑

i=1

(κi,0 − 1) ln ξi −r∑

i=1

ξiνi,0 (B.18)

f(h):

f(h) = tN(0r,1, τ0Ir) ∝ exp(−1

2tr(h′τ−1

0 Irh)) (B.19)

ln f(h) ∝ −1

2τ−10 tr(h′h) (B.20)

f(si):

f(si) = U(0, n) =1

n− 0(B.21)

ln f(si) ∝ ln1

n(B.22)

f(li):

f(li) = U(0, n− si) =1

n− si − 0(B.23)

ln f(li) ∝ ln1

n− si(B.24)

69

C Obrazov e sekvence

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

Obrazek C.1: studie 1: vyhodnocovana sekvence

70

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

20 40 60

10

20

30

40

50

60

Obrazek C.2: studie 2: vyhodnocovana sekvence

71

Literatura

[1] M. Caglar, G. Gedik, and E. Karabulut, “Differential renal function estimation by dy-namic renal scintigraphy: influence of background definition and radiopharmaceutical,”Nuclear Medicine Communications, vol. 29, no. 11, p. 1002, 2008.

[2] V. Smıdl and A. Quinn,The Variational Bayes Method in Signal Processing. Springer,2006.

[3] O. Tichy, “Konvolucnı parametrizace v analyze scintigrafickych obrazovych sekvencı,”2009. Vyzkumny ukol, FJFICVUT.

[4] A. Drastich, “Zobrazovacı systemy v lekarstvı,”Brno: Edicnı stredisko VUT Brno, 1990.

[5] V. Ullman, “Nuklearnı medicına: Radioisotopova scintigrafie.” vyukova stranka,http://www.sweb.cz/AstroNuklFyzika/Scintigrafie.htm.

[6] K. Kupka, “Zobrazovacı metody nuklearnı medicıny.” Uvodnı text o zobrazovacıchmetodach, http://unm.lf1.cuni.cz/.

[7] M. Samal, “Uvod do studia nuklearnı medicıny.” vyukove slidy na predmet Nuklearnımedicına, http://unm.lf1.cuni.cz/.

[8] H. Francois,Dynamic renal imaging in obstructive renal pathology. European Associa-tion of Nuclear Medicine, 2009.

[9] J. Bassingthwaighte, G. Holloway,et al., “Estimation of blood flow with radioactivetracers,” inSeminars in Nuclear Medicine, vol. 6, pp. 141–161, Elsevier, 1976.

[10] E. Durand, M. Blaufox, K. Britton, O. Carlsen, P. Cosgriff, E. Fine, J. Fleming, C. Nim-mon, A. Piepsz, A. Prigent,et al., “International Scientific Committee of Radionuclidesin Nephrourology (ISCORN) consensus on renal transit time measurements,” inSemi-nars in nuclear medicine, vol. 38, pp. 82–102, Elsevier, 2008.

[11] A. Kuruc, J. Caldicott, and S. Treves, “Improved Deconvolution Technique for the Cal-culation of Renal Retention Functions.,”COMP. AND BIOMED. RES., vol. 15, no. 1,pp. 46–56, 1982.

[12] H. Attias and C. Schreiner, “Blind source separation and deconvolution: the dynamiccomponent analysis algorithm,”Neural Computation, vol. 10, no. 6, pp. 1373–1424,1998.

72

[13] J. Fleming and P. Kemp, “A comparison of deconvolution and the Patlak-Rutland plot inrenography analysis,”Journal of Nuclear Medicine, vol. 40, no. 9, p. 1503, 1999.

[14] C. Beckmann and S. Smith, “Probabilistic independent component analysis for func-tional magnetic resonance imaging,”IEEE transactions on medical imaging, vol. 23,no. 2, pp. 137–152, 2004.

[15] R. Lawson, “Application of mathematical methods in dynamic nuclear medicine studies,”Physics in medicine and biology, vol. 44, pp. R57–R98, 1999.

[16] V. Smıdl and M.Samal, “Robust detection of linear part of patlak-rutlandplots.” UTIAAV CR, v.v.i, Research Report 2243, 2008.

[17] P. Veltri, A. Vecchio, and V. Carbone, “Proper orthogonal decomposition analysis ofspatio-temporal behavior of renal scintigraphies,”Physica Medica, 2009.

[18] A. Peters, “The kinetic basis of glomerular filtration rate measurement and new con-cepts of indexation to body size,”European Journal of Nuclear Medicine and MolecularImaging, vol. 31, no. 1, pp. 137–149, 2004.

[19] M. Huskova, “Bayesovske metody,”Praha, SPN, 1985.

[20] M. Beal,Variational Algorithms for Approximate Bayesian Inference. PhD thesis, Uni-versity College London, 2003.

[21] A. Dempster, N. Laird, D. Rubin,et al., “Maximum likelihood from incomplete datavia the EM algorithm,”Journal of the Royal Statistical Society, vol. 39, no. 1, pp. 1–38,1977.

[22] V. Smıdl,The Variational Bayes Approach in Signal Processing. PhD thesis, Universityof Dublin, Trinity College, 2004.

[23] R. Neal and G. Hinton, “A view of the EM algorithm that justifies incremental, sparse,and other variants,”Learning in Graphical Models, vol. 89, pp. 355–368, 1998.

[24] R. Kass and A. Raftery, “Bayes Factors.,”Journal of the American Statistical Associa-tion, vol. 90, no. 430, 1995.

[25] T. Minka,A family of algorithms for approximate Bayesian inference. PhD thesis, Mas-sachusetts Institute of Technology, 2001.

[26] T. Minka, “Old and new matrix algebra useful for statistics. notes,” 2000.

[27] C. Andrieu, N. De Freitas, A. Doucet, and M. Jordan, “An Introduction to MCMC forMachine Learning,”Machine Learning, vol. 50, pp. 5–43, 2003.

[28] S. Kullback and R. Leibler, “On information and sufficiency,” Annals of MathematicalStatistics, vol. 22, no. 1, pp. 79–86, 1951.

73

[29] Z. Ghahramani and M. Beal, “Variational Inference for Bayesian Mixtures of FactorAnalysers,”Advances in Neural Information Processing Systems 12: Proceedings of the1999 Conference, 2000.

[30] M. Sato, “Online Model Selection Based on the Variational Bayes,” 2001.

[31] M. Samal, M. Karny, M. Surova, E. Marıkova, and Z. Dienstbier, “Rotation to simplestructure in factor analysis of dynamic radionuclide studies.,” Physics in Medicine &Biology, vol. 32, no. 3, pp. 371–382, 1987.

[32] O. Tichy, “Analyza scintigrafickych obrazovych sekvencı v lekarske diagnostice,” 2008.Bakalarska prace, FJFICVUT.

74