DINAMIKA PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA

UPRAVLJANJA

• Dinamika sistema – ponašanje sistema u nestacionarnom režimu kada dolazi do promena procesnih promenljivih u toku vremena.

• Analiza dinamičkog ponašanja sistema pri malim promenama ulaza u odnosu na stacionarno stanje – oko radne tačke:

– Vremenski domen

– Laplasov (kompleksni domen)

– Frekventni domen

– Diskretni domen

• Dinamički modeli: matematički modeli koji definišu vezu izmedju promena izlazne i ulazne promenljive (input-output)

– Jedna ili sistem diferencijalnih jednačina

Klasifikacija dinamičkih modela • Prema načinu dobijanja:

– teorijski– empirijski

• Na osnovu zasnovanosti (rigoroznosti):– deterministički – stohastički

• Na osnovu broja nezavisno promenljivih: – sa nagomilanim parametrima (obične diferencijalne jednačine) – sa raspoređenim parametrima (parcijalne diferencijalne jednačine)

• Na osnovu linearnosti – linearni – nelinearni

• Na osnovu reda jednačine kojom je opisan dinamički model:– sistemi prvog reda– sistemi drugog reda– sistemi višeg reda.

• Na osnovu oblasti definisanisanosti:– kontinualni – diskretni

Formiranje teorijskih determinističkih modela • Bilansne jednačine – najopštiji oblik:

AAKUMULACIJ PONOR IZVOR IZLAZ ULAZ

(1) Jednačina ukupnog materijalnog bilansa (jednačina kontinuiteta)(2) Jednačine materijalnih bilansa pojedinih komponenata. Za N-

komponentni sistem, N-1 jednačina (plus jednačinu ukupnog materijalnog bilansa)

(3) Jednačina energetskog bilansa (4) Jednačina kretanja (bilans količine kretanja)(5) Transportne jednačine (6) Jednačine hemijske termodinamike (7) Jednačine ravnoteže (hemijska ravnoteža i ravnoteža faza)(8) Jednačine hemijske kinetike

Formiranje teorijskih determinističkih modela

Primer: Sistem sa nagomilanim parametrima

Izotermni reaktor sa idealnim mešanjem: reakcija AB

)( Vdt

d = F-F ii

Ukupni materijalni bilans:

dt

dV = F-Fconst i

Materijalni bilans za komponentu A:

)( cVt d

d = c k V - c F - cF A

nAAAii

Formiranje teorijskih determinističkih modela

Primer: Sistem sa rasporedjenim parametrima

Izotermni cevni reaktor (klipno strujanje): reakcija AB

Ukupni materijalni bilans:

zAdt

d = vA vA zzz

0 = vz

+ t

z )(0

Materijalni bilans za komponentu A:

z Ac k - |cvA |cvA = dtcd

z A nAz+zAzA

A

c k -

zc v

- = tcz n

AAA

0

Linearizacija nelinearnih modela

• Evidentiranje nelinearnih članova u jednačinama modela

• Razvoj nelinearnih članova u Tajlorov red oko radne tačke i zanemarivanje članova drugog i višeg reda:

)()(

!2

)()()()(

2

x-xdx

df + xf

... + x-x

dx

fd + x-xdx

df + xf = xf

s

x

s

s

2

2

x

s

x

s

s

ss

Za nelinearnu funkciju 2 promeljive:

)y-(yy

f + )x-(x

x

f + )y,xf(

... + )y-)(yx-(xyx

f +

2!

)y-(y

y

f +

2!

)x-(x

x

f + )y-(y

y

f + )x-(x

x

f + )y,xf( = y)f(x,

s

y,x

s

y,xss

ss

2

y,x

2s

2

2

y,x

2s

2

2

y,x

s

y,x

s

y,xss

ssss

ssss

ssssss

Linearizacija - primer

• Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, reakcija n-tog reda)

c k V - c F - cF = dt

dcV nAAAi

A

Linearizacija FcAi:

F-Fc c-cF cF cF,f = cF ssAi,sAi,AissAi,sAi1Ai Linearizacija FcA:

F-Fc + c-cF + cF cF,f = cF ssA,sA,AssA,sA2A

Linearizacija VkcAn :

)()( ,1

,,3 sAAn

sAn

sAAnA ccVkncVkccfVkc

Ukupno:

c-ccn+ck V F-Fc+c-cF+cF

F-Fcc-cFcF dt

dcV

sA,A1-nsA,

nsA,ssA,sA,AssA,s

ssAi,sAi,AissAi,sA

Promenljive odstupanja (perturbacione, deviacione promenljive)

x-tx tx sp )()(

Primer: Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, rakcija n-tog reda)

c+c=c ,c+c=c ,F+F=F sA,pAAsAi,

pAiAis

p

][][

][

ccn+ck V -Fc+cF+cF -

Fc+cF+cF = dt

dc+dcV

pA

1-nsA,

nsA,

psA,

pAssA,s

psAi,

pAissAi,s

sA,pA

cckn V - Fc+cF-Fc+cF

cckn V - Fc+cF-Fc+cF +Vkc-cF-cF = dt

dcV

pA

1-nsA,

psA,

pAs

psAi,

pAis

pA

1-nsA,

psA,

pAs

psAi,

pAis

nsA,sA,ssAi,s

pA

][0

Promenljive odstupanja – rezultati

• U rezultujućim diferencijalnim jednačinama:– Konstantni članovi postaju jednaki nuli

– Svi početni uslovi su jednaki nuli

ZAKLJUČAK: Posle linearizacije i prelaska na promenljive odstupanja, bilo koji model sa nagomilanim parametrima se može prikazati opštom linearnom diferencijalnom jednačinom n-og reda:

p0

p

11-m

p1-m

1-mm

pm

mp

0

p

11-n

p1-n

1-nn

pn

n xb + dt

dxb + ... +

dt

xdb +

dt

xdb = ya +

dt

dya + ... +

dt

yda +

dt

yda

Za sve realne sisteme n≥m

01 = a +z a + ... +za + za 01n

1-nn

n

Karakteristična jednačina:

DINAMIKA SISTEMA U LAPLASOVOM DOMENULAPLASOVA TRANSFORMACIJA

dte tf = sF tf st-

0

)()()}({

LDefinicija:

01

00)(

t ,

<t, = tu

PRIMER: Stepenasta (Hevisajdova) f-ja

s =

s- = e

s- = dte = dteu(t) = tu = sU st-st

0

st-

0

1)10(

111)}({)(

0

L

f(t) – original - funkcija vremena (t); F(s) – transformacija - funkcija kompleksne promenljive sPrelazak iz vremanskog u Laplasov domen

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA

)()()(11

sFCtfCtfC ii

n

=iii

n

=iii

n

=1i

= =

LL

1. Linearnost

2. Transformacija izvoda

)0()( f- s sF= dt

df(t)

L

)0()0()0()0()( )1()2(21 f - f s- ... - fs - fs sFs = dt

f(t)d nnnnnn

n

L

3.Transformacija integrala

F(s)s

1 = f(t)dt

t

0

L

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA

4. Teorema konačne vrednosti

)(lim)(lim sF s = tf0st

5. Teorema početne vrednosti

)(lim)(lim sF s = tfs0t

6. Translacija transformacije (teorema pomeranja)

Re)()( ,-sF = tfe tL

7. Translacija funkcije (teorema kašnjenja)

)()(L sFe = t-tf st-0

0

TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIJA

TABELA. Laplasove transformacije najvažnijih funkcija

f(t) F(s)

δ(t) 1

u(t) 1/s

t 1/s2

tn (n=1,2,...) n!/sn+1

e-αt 1/(s+α)

tne-αt n!/(s+α)n+1

sin(ωt) ω/(s2+ω2)

cos(ωt) s/(s2+ω2)

e-αt sin(ωt) ω/((s+α)2+ω2)

e-αt cos(ωt) (s+α)/((s+α)2+ω2)

1 =dt (t) i0

00)(

-

=t ,

t, = t

Jedinična impulsna (Dirakova) f-ja

Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije; inverzna Laplasova transformacija

dssFej2

1 = sF = tf st

j+

j-

)()}({)( 1

LInverzna Laplasova transformacija

Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije - Primer

0 = 2x + dt

dx5 +

dt

xd32

2

0.5 = (0)x 0, = x(0)

REŠENJE:

0LLLL = x 2 + dt

dx 5 +

dt

xd 32

2

0 = X(s) 2 + x(0) - X(s) s 5 + (0)x - x(0) s- X(s)s 3 2 ][][ x(t) = X(s) L

1.5 = X(s) 2)+5s+s(3 2

2/3+s

B +

1+s

A =

2/3)+1)(s+(s

0.5 =

2/3)+1)(s+3(s

1.5

ss = X(s)

253

5.12

2/3)+1)(s+(s

B)+(2/3A + B)s+(A =

2/3)+1)(s+(s

1)+B(s + 2/3)+A(s =

2/3+s

B +

1+s

A

0.5 = B + 2/3A

0 = B + A1.5 = B1.5- = A

1+s

1.5 -

2/3+s

1.5 = X(s) e 1.5 - e 1.5 =

1+s

11.5 -

2/3+s

1 1.5 = x(t) t-t

3

2--

11 LL

e - e = tx t-

t3

2

5.1)(

Dinamički model sistema u Laplasovom domenu - Prenosna funkcija sistema

p0

p

11-m

p1-m

1-mm

pm

mp

0

p

11-n

p1-n

1-nn

pn

n xb + dt

dxb + ... +

dt

xdb +

dt

xdb = ya +

dt

dya + ... +

dt

yda +

dt

yda

y(t) = Y(s)x(t) = X(s) LL ,

Laplasova transformacija

)X(s)b+sb+...+sb+sb( = )Y(s)a+sa+...+sa+sa( 011-m

1-mm

m011-n

1-nn

n

a+sa+...+sa+sa

b+sb+...+sb+sb = G(s) = X(s)

Y(s)

011-n

1-nn

n

011-m

1-mm

m

Prenosna funkcija sistema: Odnos Laplasove transformacije promenljive odstupanja izlaza i Laplasove transformacije promenljive odstupanja ulaza

)(

)(

)}({

)}({)(

sX

sY

tx

tysG

p

pdef

LL

0 = a + sa + ... + sa + sa 011-n

1-nn

n

Karakteristična jednačina

)p-)...(sp-)(sp-(s

)z-)...(sz-)(sz-(s

a

b = G(s)n21

m21

n

m

p1, p2, ... polovi; z1, z2, ...nuleZa sve realne sisteme n≥m

ELEMENTARNI SISTEMI 1. Proporcionalni element

2. Sistem prvog reda (element sa vremenskom konstantom)

3. Kapacitivni element (integrator)

4. Sistem drugog reda

5. Element sa mrtvim vremenom (čisto kašnjenje)

6. Diferencijalni element

1. Proporcionalni element

)()( tx K = ty

K = sG = sX

sY)(

)(

)(

Primer: Pneumatski sistem pločica - mlaznica

C=p -

xb+a

b=

x K = x b+a

C b=p -

2. Sistem prvog reda

a

b=K ,a

a= x K =y + dt

dy xb =y a +

dt

dya

0

0

0

1001

1)(

)(

sK

= sX

sY K – pojačanje sistema– vremenska konstanta (s, min)

Primer 1: Protočni rezervoar sa tečnošću (nivo sistem prvog reda)

)()()(

tF-tF = dt

tdhC oi

R

th =tFo

)()(

R

th-tF =

dt

tdhC i

)()(

)(

)()()( sF R sH s sHRC i

1)(

)(

s

R

sF

sH

i 1

1

)(

)(

s

sF

sF

i

o

C (m2) – kapacitet sudaR (min/m2) – otpor isicanja

konstantavremenskaC R =

Primer 2: Termometar sa tečnošću

)( T-TA h dt

dTc m tf

tp

1

1

1

1

)(

)(

+s =

+shAmc

= sT

sTpf

t

hAmc = p

)()()()(

tVkc - tFc - tFc = dt

tdcV AAAiA

)()( sCF = sC V k + F+ sV AiA

11)(

)(

s

K

sV kF

VV kF

F

= V kF sV

F

sC

sC

Ai

A

ck

V kF

F K

1

1

c

c

k

V kF

V

1

B A Primer 3: Izotermni protočni reaktor sa idealnim mešanjem

3. Kapacitivni element (integrator)

x= dt

dyC

sC =

sX

sYsG

1

)(

)()(

dt

dhC =

dt

dV = F

)()( sH sC sF

Cs

sF

sH 1

)(

)(

Primer: Rezervoar za skladištenje tečnosti

C (m2) – kapacitet suda (površina poprečnog preseka)

Ovaj sistem je u stacionarnom stanju samo za F=0 (h=const)

Astatizam

C – kapacitet sistema

4. Sistem drugog reda

xb+ya+ya = dt

dy

xb+ya+ya = dt

dy

22221212

12121111

bx =y a+dt

dya+

dt

yda 012

2

2 Kx =y +

dt

dy2 +

dt

yd2

22

K – pojačanje– vremenska konstanta (s ili min)n=1/ - prirodna (sopstvena) frekvencija- koeficijent prigušenja

1212)(

)()(

+s+s

K =

+s+s

K

sX

sYsG

n2n

222

(1)Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva(2)Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom(3) Inherentni sistem II reda

(1)Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva

Primer: 2 nivo sistema vezana na red

1

1

)(

)(

11

2

s =

sF

sF

CR = ,CR = 222111

1)(

1)1)(1(

1

)(

)()(

212

21

211

31

s + s =

ss

= sF

sFsG

1

1

)(

)(

22

3

s =

sF

sF

ss

R =

sF

sHsG

)1)(1()(

)()(

21

2

1

22

212

2 1

n

Drugi primeri: kaskada 2 reaktora, reaktor sa 2 konsekutivne reakcije A→B→C, …

GENERALIZACIJA: redna veza n sistema I reda

)1()(

)()( n

nn

nsK =

sX

sY = sG

)1(2

2 21

n

(2) Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom

Primer: 2 nivo sistema vezana na red

)()()(

211

1 tF - tF = dt

tdhC

)()()(

322

2 tF tF = dt

tdhC

1

212

)()()(

R

th-th tF

2

23

)()(

R

th tF

R

sHsHsF sH sC1

21111

)()()()(

R

sH

R

sHsH sH sC2

2

1

2122

)()()()(

1)(

)()(

21212

21

2

1

21

sRC+s

R sF

sHsG

CR = ,CR = 222111

2122 1

n

2121

22 RC

n

Drugi primeri: •Termometar sa zaštitnom oblogom•Kaskada 2 reaktora sa reciklom•Reaktor sa povratnom reakcijom•.....

1

1

)(

)()(

21212

211

32

sRC+s

sF

sFsG

(3) Inherentni sistem II reda

Primer: U-manometar

UBRZANJECEVI U

NOSTICTE MASA =

TRENJA

SILA -

KRAKA OBA U NIVOA

RAZLIKE ZBOG SILA -

KRAK DESNI I LEVI NA DELUJU

KOJI PRITISAKA RAZLIKE SILA

A p = Ap - Ap = F 21p g A h 2 = F g

dt

dhA

D

L32 = A v

D

L32 = Ap = F 22trtr

dt

hd L A =a m2

2

dt

dhA

D

L ghApA

dt

hdL A22

2 322

pg

h + dt

dh

gD

L +

dt

hdg

L

2

116

2 22

2

p K = h + dt

dh +

dt

hd 22

22

g = K ,

gD

L = = ,

g

L = =

nn

2

11622

2

122

21212)(

)(

2

222

nn

s+s

K

s+s

K

sP

sH

5. Element sa mrtvim vremenom (element sa čistim kašnjenjem)

)()()()()( Dtx = Dtf = ty ,tf = tx

e = sX

sYsG Ds

)(

)()(

D (s, min) mrtvo vreme ili čisto kašnjenje

Primer: Cevovod sa klipnim strujanjem fluida x(t) i y(t): promena koncentracije, temperature, gustine, ...

v

L = D

... sD sD

... sD sD =

e

e = e Ds

DsDs

2

2

2/

2/

)2/(2/1)2/(1

)2/(2/1)2/(1Padé-ova aproksimacija:

Drugi primeri: cevni reaktori, razmenjivači tipa cev-u-cevi, uredjaji sa pakovanim slojem(sistemi sa rasporedjenim parametrima)

6. Diferencijalni element

aa= ,ab= s

s =

sX

sYd

d01101

1

//1)(

)(

dt

dxb =y a 10 ab= s =

sX

sYdd 01 /

)(

)(

xb+dt

dxb =y a 010 bb= ,ab=K sK =

sX

sYdd 0100 //)1(

)(

)(

ili

Moguće je realizovati:

aa= ,bb= ,ab=K s

sK =

sX

sYd

d0110100

1

///1

1

)(

)(

ili

Fizički ne mogu da se realizuju

BLOK DIJAGRAMI I ALGEBRA BLOK DIJAGRAMA

Osnovni elementi blok dijagrama

Osnovna pravila:

1. U blok ulazi 1 signal i iz njega izlazi 1 signal

2. U krug ulaze 2 signala, a iz njega izlazi 1 signal

3. Mogu se sabirati samo signali iste vrste (temperatura se sabira sa temperaturom, protok sa protokom, pritisak sa pritiskom itd.)

4. Signal ne menja vrednost prilikom grananja.

Formiranje blok dijagrama PRIMER 1: Nivo sistem prvog reda

PRIMER 2: Dva sistema prvog reda sa medjudejstvom

R

HF

FFCsH

o

oi

3222

2

23

1

212

2111

FFsCH

R

HF

R

HHF

FFsCH

Rešavanje blok dijagrama - ekvivalentne transformacije

Odabrane transformacije

Rešavanje blok dijagrama - primeri

Rešavanje blok dijagrama - primeri

Rešavanje blok dijagrama - primeri

YGGGG - XGGG + LGG + LG + L =

H) - (XGGG + LGG + LG + L =

FGGG+LGG + LG + L=

E) + L(GG + LG + L =

D) G + L( G + L =

C)+L( G + L =

B G + L =

A + L = Y

4321321232233

321232233

132132233

132233

2233

233

33

3

L GGGG

+ L GGGG

G + L GGGG

GG + X GGGG

GGG = Y 34321

24321

31

4321

32

4321

321

1

1

111