ELEKTROTEHNIKI FAKULTET SARAJEVO INENJERSKA FIZIKA I - predavanja - 5.6. DINAMIKA KRUTOG TIJELA ILI DINAMIKA ROTACIJE Uvod Akopromatramodjelovanjesilenanekovrstotijelo,moemouoitidvauinka: promjenu oblika tijela (deformaciju) i gibanje tijela. Ako je deformacija nekog tijela izazvana vanjskom silom tako malena prema dimenzijama tijela da je moemo zanemariti, tj. ako tijelo podutjecajemsilenemijenjaoblik,kaemodajetijelokruto.Moemozamislitidase krutotijelosastojiodmnogopojedinanihmaterijalnihtoakaijimeusobnirazmaci ostajuuvijekisti.Naravno,krutotijelojeidealiziranimodel;uprirodiimamovrstatijela koja se, vie ili manje, pribliavaju modelu krutog tijela. Moe se pokazati da se openito kretanje krutog tijelasastoji od translacije i rotacijeTranslatorno kretanja tijela je takvo kretanje kod kojeg sve take tijelaopisujujednake putanje . Rotaciono kretanje je takvo kretanje kod kojeg sve take tijela opisuju krunice koje lee u paralelnim ravninama. Centri svih tih krunica lee na istoj pravoj koju zovemo osa rotacije. Kod transalornog kretanja sve take tijela masemdobiju isto ubrzanje pod uticajem sile, dokkogrotacijesvetaketijelanemajuistubrzinuiubrzanje,paseuvodepojmoviugaone brzine i ugaonog ubrzanja koji su isti za sve take tijela koje rotitra oko neke ose. Osim toga, kod rotacije tijelo pod djelovanjem iste sile ne dobije uvijek isto ubrzanje, ve ono zavisi od udaljenostinapadnetakesileodoserotacije,kaoiodrasporedamasetijelaokoose rotacije.Zbogtogaseuvodenovipojmovikaotojecentarmase,momentsile,moment inercije i moment koliine kretanja. 5.6.1. Centar mase sistema materijalnih taaka Akonekotijelopodjelimouelementarnemasemi (i=1,2,3,....,n)tadasetotijelo moe predstaviti kao sistem takastih masa ije meusobne vezeuvijek ostaju iste.. Na svaku odtihtakastihmasamogudadjelujuvanjskeiunutranjesilezbogmeudjelovanjasa drugimelementarnimmasama.Usluajukretanjatijela,trebalobiposmatratikretanje velikogbrojaovihelemetarnihmasatojevrlokomplikovano.Zatoseuvodipojamcentra masesistematj,zamiljenatakapomoukojemoemolakeijednostavnijeopisati kretanje cijelog sistema. Jednaina kretanja za svaku elementranu masunekog tijela je =i+F

m oii ( 5.48 )

40gdjejefirezultantasvihunutranjihsila,aFirezultantasvihvanjskihsilakojedjelujuna posmatranu masu mi . Ako sumiramo jed. (5.48) po svim elemntarnim masama koje ine jedan sistem (tijelo), onda e prema III Njutnovom zakonu tn|=1m n=1oi

= 0pa emo dobiti Fi = c ( 5.49) Suma na lijevoj strani se moe predstaviti kao proizvod ukupne mase tijela i ubrzanja centra mase( centra inercije ) ac . Centar mase sistema se definie kao taka ije su koordinate odreene poloajem vektora r koji se rauna na slijedei nain: ,c r = m|rt m|rt |m||=|m( 5.50) oordinate centra mase krutog tijela dobiju se proirenjem jed. (5.50) na beskonano mnogo cKestica infinitezimalno male mase dm, pa je r =]prdF]pdF]dm r ]dm= ( 5.51 ) Gdje je gustina , a dV element zapremine krutog tijela. isana sva masa sistema i kao da sve mocm= F = F

Centar mase sistema se kree kao da je u njemu koncentrvanjske sile djeluju u toj taki, tj. ( 5.52 )ko na sistem ne djeluju vanjske sile ili kad je njihova rezultanta nula, onda jemocm= F

A= 0=> du cmdt = 0 J:cm = const.( 5.53 ) rematomekadajerezultantasvihvanjskihsilanula,centarmasesistemailimirujeilise krutotijelopodutjecajemsilamoeporedtranslacijskoggibanja izv Pkree jednoliko pravolinijski. .6.2. Moment sile 5 okusipokazujudaPoditiirotacijuokoneketake.Utjecajsilenarotacijuopisujesenjenimmomentom. Kad tijelo rotira, svaka njegova taka opisuje kruno kretanje. Definirajmo stoga moment sile. Nekamaterijalnatakakruiokotake0pokrunicipolumjerar.Akojekruenjeubrzano, na taku djeluje sila koja ima radijalnu komponentur m Fr2 =i tangencijalnu komponentu mr ma Ft t= =(crt. 5.14). adbuPomnoimo jedn mr F Ft= = sinsar, dobivamo: (5.54) 2sin mr rF =41to se moe napisat (5.55) i pomou vektorskog produkta: = 2mr F x r Crt. 5.14 ijevu stranu jednadbe (5.55) definiramo kao moment sile MrL : = F r M(5.56) a veliinu m ake: (5.57) Tako jed (5.58) Ova jedn ji: pri ja kutno F r sin( rr2 kao moment inercije (tromosti ) materijalne t2mr I =nadba (5.55) prelazi u = I Madba ima slinu ulogu pri kruenju kao drugi Newtonov aksiom = a m Fpri translaci tom je sila analogna momentu sile, masa momentu inercije, a akceleraci j akceleraciji.estosekae,dajemomentsileproizvodsileFinjenogkrakar0, jerjeintenzitetvektorskog pro, F izvoda M= )gdje je r0= r sin( r , F )krak sile om jev cije)tijelaprirotaciji, baI =m r =pI r ( 5.59) moemo proiriti na homogenokruto tijelo kod kojeg je gustina konstantna, pa se ] ]2 JI (5.60) pri tome se vri integriranje po cijeloj zapremini tijela, a r je funkcija poloaja. a vri samo translaciju ilisamorotacijuilibilokakvodrugogibanjekojemoedasepredoikaotranslacijairotacija.Kod materijalne take nismo uzimali u obzir mogunost rotacije zbog zanemarivih dimenzija take M entinercije Ieliinakojapredstavljamjerutromosti(inerkaotomasapredstavljamjeruzainercijupritransalacijiitijelojeposjedujebezobziradali miruje ili se kree. Moment inercije tijelau odnosu na neku osu se definie ralacijom 22 Ova razmatranja moment inercije krutog tijela definira izrazom: I = r2 Jm =p r ko na neko tijelo djeluje vie sila u razliitim takama, onda tijelo moe d A42 Uvjet ravnotee materijalne take je da suma svih sila koje na nju djeluju bude jednak nuli 0 = (5.61) iFi Kad sila F u. Naime,ovdjeporeduvjeta(5.61)kojipredstavljauvjetzaravnoteuzatranslaciju,postojii dodatni uvjet ravnotee za rotaciju, a to je da je suma momenata svih sila jednaka nuli 5.6.3. Steinerova ( tajnerova) teorema ama,adajevezuizmeumomentainercije inercije tog tijela oko ose koja je paralelna O1 O2 R dm je na s oz cemtar mase M ,a, takoe iokoosekroztakuP,takodasutedvijeoseparalelneiokomitenaravan rtea.IzaberimoproizvoljnoelementmasedmkojisenalzinarastojanjuRodoseC,i 2( 5.63) i i djeluje na kruto tijelo, neophodno je razmotriti ravnoteno stanje i u odnosu na rotacij0 =iiM(5.62) Ovateoremasezoveiteoremaoparalelnimoskrutog tijela oko neke proizvoljne ose i momenta sa prvom osom.

r d CMP d a)b ) Neka Clici b) predstavljeno kruto tijelo koje moe da rotira oko ose C krcrastojanju r od ose P. Moment inercije Ic u odnosu na osu kroz centar mase je Ic =]Rum paralelne ose P a I =]i2 um ( 5.64) Poto je prema kosinusnoj teorem43 r2 = R2 + d2 2dR cos< (R, d) dje je s< (R, d) = x koordinata mase dm, pa je=]ium = ]Rum + d ] um -2d x dm ( 5.65) i lan na desnoj strani izraz lan je dnak rei lan je jednak uli, jer je iz definicije za centar mase gR co 2 22I Prv gornjeg a je I0 , drugi jed2 m, a tn Xc = ]xdm]dm(5.66) Kako je kod nas xcraz za I svodi na =0onda je x dm = 0, pa se izI = Ic + m d2 ( 5.67) lnihosa,kojikaedase sekoja daljenostimeu Ono to sila predstavlja za translaciju, to moment sile znai za rotaciju. esto smo se do sada a i zakonima u translaciji i rotaciji. etanja je moment koliine gibanja/kretanja. topredstavljatajnerovobrazaczamomentinercijeokoparale momentinercijeokomakojeosemoedobitikaozbirmomentainercijeokooprolazokrozcentarmasaiproizvodamasetijelaikvadratauparalelnim osama. 5.6.4. Moment koliine gibanja uvjerili da postoji analogija meu veliinam Veliina analogna koliini gibanja/kr Crt. 5.15 Najprije emo definirati moment koliine kretanja/gibanja materijalne toke (estice) koja se kree pokrunicipolumjerar(npr.elektronokojezgre).Takavmomentkoliinegibanja/kretanja estose zove orbitalni, jer se odnosi na orbitalno gibanje estice. 44 Momentkoliinekretanja/gibanjaL materijalnetokemasemikoliinekretanja/gibanja = v m p sobziromnareferentnutoku0(npr.sreditekrunicenacrt.5.15definirasekao produkt radijus vektorari koliine gib nja/kretanja: = v m r pa = r L(5.68) Smjermomentakoliinegibanjaodreujemokaoismjersvakogvektorskogproduktapomou pravila desne ruke. Smjedinica momenta koliine gibanja je erLje isti kao smjer .1 2 s kgm .JIzjednadbe I M = moemoizvestijojedanizrazzamomentkoliinegibanjamaterijalne toke koja se giba po krun i.icrelacijamaRazvojem izraza (5.58) prema poznatim ddt2mr =i = ,Irv= , dobivamo:( ) ( )dtmrv mr = = =2 dL d v dId dI I M = = = dt r dt dt dt Iz gornjeg izraza dobivamo: rrI L = (5.69) ok je jednadba gibanjaddtL dM=(5.70) Ovarazmatranjazamaterijalnutakumoguseproiritiinakrutotijelokojerotiraoko nepomineose.Ovajzakonizvedenzamaterijalnutaku,vrijedizasvakutakusistema materijalnih taaka ili krutog tijela, = =iiiiM Ldtd(5.71) 5.6.5. Zakon o ouvanju momenta koliine gibanja/kretanja brojmomenatasvihvanjskihsilasobziromnanekutakujednaknuli, ku konstantan i po Akojevektorskiztada je ukupni moment koliine gibanja sistema (krutog tijela) za tu istu tasmjeru i iznosu. Iz relacije (5.71) uz uvjet da je0 =Mslijedi: . 0 const LdtL dM = = = (5.72) Unutranje sile u sistemu ne mogu promijenit ent koliine gibanja. Moem i mom o, takoer, rei da jeuzatvorenomsistemumomentkoliinegibanja/kretanjasauvan.Vrtilisemehanikisistem oko vrste osi z, tada je moment koliine gibanja u smjeru osi z: z zAkojesistemizolirantakodajekomponentaukupnogmomentavanjskihsilausmjeruosiz jednaka nuli, tada je: . const I L = =I L =(5.73) z zAkojeIz=const.(krutotijelo),iz(5.73)slijedidajei. konst = ,tj.dakrutotijelorotiraoko vrsteosistalnomkutnombrzinom.Naprotiv,akoseImijenjazavrijemevrtnje(npr.udaljavanjem 45pojedinihtoakasistemaodosirotacije),tadasei mijenjatakodabi I bilokonstantno. Unutranjesilemogudaklemijenjatikutnubrzinuegsistemapremda,pritom,Lzostaje konstantan. 5.6.6 Rad, snaga i energija kod rotacije o atrajmokrutotijelokojerotiraokoosekojaprolazikroztakuOnormalnonaravan rtea (5.16).ako se tijelo obrne za mali ugao d, pod uticajem( 5.74) O Za konano ugaono p e biti ( 5.75) ada, slijedida je kod rotacije snaga P= dtrotiraju t P smc sile F koja izvri raddW = Ft ds = Ft rd = M d jer je Ft r moment sile F za osu O F ddsF r Crte 5.16 omjeranje od pol loaja 2 izvreni rad W = ] HJ02

oaja 1 do po 1Iz definicije : Snaga je brzina vrenja r=dtdwMd0= H ( 5.76) msile i ugaM = I =I dodt jednaka proizvodu omenta one brzine. Polazei od relacije =I dod0 d0dt = I d0do( 5.77) Pa je elementarni raddW = M d = I d( 5.78 ) ukupni rad na intervalu 1 2 je a 464712W = ] HJ02 = ] I J=1Io2o22 -11 2 I 12( 5.79) ilejednakjepoveanjukinetikeenergijetijela,toje sli raduienergijikodlinearnogkretanja.Njietekopokazatidaizraz 12 Dakle,radkojiizvrimomentsno I2 pre energiju rotacije tijela. 2dstavlja kinetiku Akokrutotijeloposmatramokaoskupkonanihelementarnihmasami,odkojihsvaka pri rotaciji tijela ugaonom brzinom oko neke ose, ima kinetiku energiju Ei = 1 m :2( 5.80) 12 Onda e ukupna kinetika energija tijela pri rotaciji biti E =E= m 12 :2( 5.81) Pa kako je : = r bie E=m 2 = 12r2 r ( 5.82) 2m 2 F= 12 I m2( 5.83) adsevrstotijelo kotrljapo ravni , onda je njegova kinetika energija sumakinetike energije translkinatike energije Kacije irotacije.