Rotacija krutog tijela

6. Rotacija krutog tijela

Djelovanje sile na tijelo

promjena oblika tijela (deformacija)

promjena stanja gibanja tijela

Kruto tijelo – pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj oblik - razmaci čestica krutog tijela ostaju uvijek isti- idealizacija

Gibanje krutog tijela: translacija (CM) i rotacija (os kroz CM)

6. Rotacija krutog tijela

Tijelo se giba TRANSLATORNO ako linija koja povezuje bilo kojedvije njegove čestice zadržava svoj smjer u prostoru, tj. ako pri gibanju ostaje paralelna svom početnom položaju.Sve točke tijela imaju iste brzine i akceleracije.Dovoljno je poznavati gibanje CM.

Translacija krutog tijelaPri ROTACIJI krutog tijela sve njegove čestice gibaju se istom kutnom brzinom po kružnicama čija središta leže na istom pravcu koji se zove OS ROTACIJE (rotacija krutog tijela oko nepomične osi).

Rotacija krutog tijela

6. Rotacija krutog tijela

Općenito gibanje krutog tijela:

translacija (CM) i rotacija (os kroz CM)

6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomi čne osi

Sve točke tijela izvode gibanje po kružnicama čija središta leže na osi rotacije.Na rotaciju oko nepomične osi utječe samo moment okomite sile.

O

r’ i

∆Fti

∆mi

r i

Izvod j. gibanja:'

2

2

i i i

zi i ti i i ti i i

z zi i i zi i

M r F

M r F r m a m r

M M m r I

αα α

= ×∆ = ∆ = ∆ = ∆

= = ∆ =∑ ∑

ω

2z i i

i

I m r= ∆∑ - moment inercije

z zM I α= ⋅ - j. gibanja (II Newtonov zakon za rotaciju krutog tijela oko nepomične osi)

F m a= ⋅

6.3. Rotacija krutog tijela oko nepomi čne osi

Ako je M = 0, tada je α = 0, te će tijelo ili mirovati ili se jednoliko vrtjeti.

Ako je Mz = const. tijelo će se vrtjeti oko nepomične osi konstantnom kutnom akceleracijom (α = const.).

6.4. Moment inercije (tromosti)

- veličina karakteristična za svako tijelo koje rotira- utječe na rotaciju slično kao što masa utječe na translaciju tijela→ tijela s većim I teže je zarotirati nego ona s manjim = mjera tromosti tijela pri rotaciji

2 2

1

limn

i in

i

I m r r dm→∞ =

= ∆ =∑ ∫

2I r dVρ= ∫ 0limV

m dm

V dVρ

∆ →

∆= =∆

2I r dVρ= ∫ - za homogeno tijelo

6.4. Moment inercije (tromosti)

Primjer:Izračunaj moment inercije homogenog štapa oko osia) kroz središte štapab) oko jednog kraja štapa

L

dxx

2

12

mLI =

L

dxx

a)

b)2

3

mLI =

6.4. Moment inercije (tromosti)

Primjer:Izračunaj moment inercije homogenog prstena oko osi kroz središte prstena, okomitu na ravninu prstena.

R

2I mR=

6.4. Moment inercije (tromosti) – Steinerov pou čak

Moment tromosti ovisi o osi oko koje tijelo rotira.

os rotacije

os kroz CM

' 'CM CMx x x y y y= + = +

CMI 2M D⋅0= 0=

6.4. Moment inercije (tromosti) – Steinerov pou čak

2CMI I M D= + ⋅

Moment inercije tijela oko neke osi jednak je momentu inercije oko osi koja prolazi kroz centar mase i paralelna je toj osi, uvećanoj za umnožak mase tijela i kvadrata udaljenosti tih dviju osi.

os rotacije

os kroz CM

D M

6.4. Moment inercije (tromosti) – Steinerov pou čak

Primjer:Odredite moment inercije štapa obzirom na os koja prolazi jednim njegovim krajem.

L

dxx

2

12CM

mLI =

2

3

mLI =

a)

b)

2 2 2 2

2 12 4 3CM

L mL mL mLI I m

= + = + =

c) Steinerov poučak:

L

dxx

6.5. Moment koli čine gibanja (kutna koli čina gibanja, moment impulsa, zakretni impuls, angularni moment, orbitalni moment)

Zakretni impuls materijalne točke m, impulsa p:

L r p= ×

[kg m2/s]

- smjer: pravilo desne ruke

( )M r F= ×

Zakretni impuls krutog tijela:

2

,i ii iii

z i i zi

L r m v v r

L m r I

ω

ω ω

= × ∆ = ×

= ∆ =

∑

∑

- za bilo koju nepomičnu os oko koje rotira kruto tijelo

6.5. Moment koli čine gibanja

L Iω= - ako homogeno tijelo rotira oko svoje osi simetrije L i w imaju

isti smjer i leže na osi rotacije- općenito (za nesimetrično tijelo) L i w ne moraju imati isti smjer

Jednadžba gibanja za rotaciju krutog tijela

i i iL r p= ×

- zakretni impuls materijelne točke krutog tijela

i i ii i i ii

d pd L drp r r F M

dt dt dt= × + × = × =

0i

i iii

d rp v m v

dt× = × =

i i

i i

dL M

dt=∑ ∑

- za kruto tijelo

6.5. Moment koli čine gibanja

z zL I ω=

( )zz z

z z

dL dM I

dt dtM I

ω

α

= =

= ⋅

d LM

dt=

d pF

dt

=

Ukupni moment vanjskih sila (obzirom na točku O) jednak je vremenskoj promjeni ukupnog zakretnog impulsa (obzirom na istu točku O).

Jednadžba gibanja za rotaciju krutog tijela

( )F m a= ⋅

6.6. Zakon o čuvanja zakretnog impulsa

6.6. Zakon o čuvanja zakretnog impulsa

6.6. Zakon o čuvanja zakretnog impulsa

d LM

dt=

L const=

- j. gibanja za rotaciju krutog tijela:

- zatvoreni sustav (ΣFi=0, ΣMi=0) : 0d L

Mdt

= =

U zatvorenom sustavu ukupni zakretni impuls je očuvan (po iznosu i smjeru) ako je rezultantni moment sila, koji djeluje na taj sustav, jednak nuli.

Poseban slučaj: vrtnja sustava oko nepomične osi z:

z zL I constω= =

1 1 2 2I I constω ω= =

6.7. Gibanje zvrka

Zvrk je rotaciono simetrično tijelo koje se vrlo brzo vrti oko svoje osi simetrije, pri čemu je stalno učvršćeno u jednoj točki koja leži na toj osi.

a) gibanje slobodnog zvrka (M=0); zvrk je poduprt u svom težištu

0d L

M L constdt

= = → =

Smjer i iznos zakretnog impulsa su konstantni jer nema vanjskog momenta sile.

O

G

b) precesija zvrka (M≠0); zvrk nije poduprt u težištu

6.7. Gibanje zvrka

M r G= ×

- težina stvara moment oko O

- os zvrka se zakreće, a težište se giba po kružnici

- M je okomit na L; L mijenja smjer a iznos mu je konstantan- vrh vektora L opisuje kružnicu (precesija)

z z

z

M L

L I

M

I

ω

ω

= Ω×=

Ω =

Kutna brzina precesije proporcionalna je momentu sile, a obrnuto proporcionalna momentu inercije i kutnoj brzini zvrka.

d LM

dt=

6.8. Rad, snaga i kineti čka energija pri rotaciji

21

2i i iK m v=

Kinetička energija materijalne točke mi:

Kinetička energija krutog tijela:

2 2 21 1

2 2i i i i ii i i

K K m v m r ω= = =∑ ∑ ∑

21

2K Iω=

2i i

i

I m r=∑ -moment inercije

-kinetička energija

6.8. Rad, snaga i kineti čka energija pri rotaciji

Ukupni rad koji obave vanjske sile pri rotaciji kru tog tijela oko čvrste osi jednak je promjeni kineti čke energije rotacije.

( )sindW F d s F rdφ θ= ⋅ =

Rad vanjske sile na tijelo koje rotira:

dW Mdθ=

dW dP M M

dt dt

θ ω= = = ⋅

Snaga pri rotaciji:

( )P F v= ⋅

d d d dM I I I I

dt d dt d

ω ω θ ωα ωθ θ

= = = = Md dW I dθ ω ω= =

2 21 1

2 2

f

i

f i KW Md I d I I Eω

ω

θ ω ω ω ω= = = − = ∆∫ ∫

Primjer:Za sustav tijela na slici odredi moment inercije i kinetičku energiju rotacije.

Primjer: za sustav na slici izračunaj kutnu akceleraciju kotača, akceleraciju utega i napetost niti.

6.9. Kotrljanje krutog tijela

K = suma rotacijske kinetičke energije oko CM i kinetičke energije CM

Primjer: Odredi brzinu CM sfere kada se spusti niz kosinu.

Primjer: Sfera mase m1 i blok mase m2 povezani su užetom preko koloture radijusa R i mase M (prsten koloture). Blok kliže bez trenja. Nañi linearnu akceleraciju ovih tijela koristeći zakretni impuls i moment.

Zakretni impuls obzirom na os rotacije koloture:

Zakretni moment za istu os: