1

1

Kinematika materijalne to�ke

10. dio

2

Podjela mehanike

3

Mehanika krutog tijela

Statika Kinematika Dinamika

4

5

Galilejevi pokusi kuglica na kosini

6

KinematikaKinematika je grana mehanike koja prou�ava gibanja materijalnih tijela i povezuje položaje tijela s vremenom, ne analiziraju�i uzroke zbog kojih ta gibanja nastaju .

Kinematika je geometrija gibanja.Ne uzima u obzir:

- masu tijela m i- silu F koja uzrokuje gibanje.

2

7

Dinamika

Dinamika je grana mehanike koja prou�ava zakone gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem sila.

U dinamici se utvr�uju uzro�ne veze izme�u sila i gibanja materijalnih to�aka ili tijela.

Uzima u obzir:- masu tijela m i - silu F koja uzrokuje gibanje.

8

Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici

9

Kinematika

Kinematikamaterijalne

to�ke

Kinematikakrutog tijela

Dinamika

Dinamikamaterijalne

to�ke

Dinamikakrutog tijela

10

Veli�ine u mehanici

1. Skalari

2. Vektori

3. Tenzori II. reda

4. Tenzori IV. reda

11

1. Skalari: tenzori nultog reda(30= 1 podatak + mjerna jedinica)

2. Vektori: tenzori prvog reda(31= 3 podatka + mjerna jedinica)

3. Tenzori drugog reda 32= 9 podataka + mjerna jedinica

4. Tenzori �etvrtog reda 34= 81 podatak + mjerna jedinica

12

1. Skalari1. dužina l (m)2. masa m (kg)3. vrijeme t (s)4. površina A (m2)5. obujam V (m3)6. gusto�a r (kg/m3)7. kut a (°) (rad)8. temperatura T (°C) (K)9. rad A (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E (J= Nm)12. pritisak p (Pa = N/m2)

3

13

2. Vektori

1. radijus vektor (m)

2. vektor pomaka (m)

3. brzina (m/s)

4. ubrzanje (m/s2)

→r→s→v→a

14

5. koli�ina gibanja (kgm/s=Ns)

6. sila (N=kgm/s2)

7. stati�ki moment sile

obzirom na neki pol (Nm)

8. moment koli�ine gibanja (Nms)

9. impuls sile (Ns)

→→⋅= vm K

→→→×= F rMO

→→→⋅×= vmr LO

→→⋅= tF I

→→⋅= am F

15

Mehanika

Zadatak mehanike je prou�avanje op�ih zakona mehani�kog gibanja.

Mehani�ko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kaopremještanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu.

16

Materijalno tijelo

Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ograni�eni prostor ispunjen materijom.

Glavna svojstva materijalnih tijela su:• oblik• obujam• položaj

i ona �ine prostorno stanje tijela.

17

Promjena položaja tijela je gibanje.Kinematika je grana mehanike koja prou�ava

gibanja materijalnih tijela i samo povezuje položaje tijela s vremenom.

Zakon gibanja: s = s(t)s = f (t)

18

Gibanje to�ke na obodu kota�a vidi: biciklist – kao gibanje to�ke po kružnicipromatra� sa strane – kao gibanje to�ke po krivulji

cikloidi

4

19

Položaj to�ke u bilo kojem trenutku vremena tzadajemo u referentnom koordinatnom sustavu.

Referentni koordinatni sustav je Descartesovortogonalni��������� � ���������en ishodištem i trima me�usobno okomitim koordinatnim osima Oxyz.

20

Putanja ili trajektorija materijalne to�ke je neprekinuta crta koju opisuje materijalna to�ka pri gibanju u odnosu na referentni koordinatni sustav.

21

Treba razlikovati udaljenosti s od prevaljenogputa

Primjer: �Položaj to�ke u trenutku t2 � luk s2= OM2

�Prevaljeni put u intervalu t2 = luk (OM1+ M1M2)

luk s2� luk (OM1+ M1M2)

22

Osnovne kinemati�ke veli�ine:

• put (m) • vrijeme t (s)

Glavne kinemati�ke veli�ine:

• brzina (m/s)

• ubrzanje (m/s2)

s

v

a

23

• Zakon gibanjaodre�uje položaj to�ke u odnosu na referentni koordinatni sustav u bilo kojem trenutku vremena.

• Zakon gibanja jednozna�no odre�uje samo položaj to�ke na putanji ali ne i pre�eni put.

• Poznavaju�i zakon gibanja tijela odre�ujemo kinemati�ke veli�ine koje definiraju gibanje a to su:- brzina i- ubrzanje .

v

a

)t(fs = )t(ss =

24

Prema obliku putanje - trajektorijerazlikujemo slijede�a gibanja:

�prostorno i ravninsko gibanje �krivocrtno i pravocrtno gibanje to�ke

�kružno gibanje - putanja to�ke je kružnica�povratno - oscilatorno gibanje kada se

to�ka gibaju�i se po istoj putanji vra�a u svoj prvobitni položaj.

5

25

Kinematikamaterijalne

to�ke

Krivocrtnogibanje

a) Kružnogibanje

b) Pravocrtno gibanje

c) Oscilatornogibanje

26

Prostorno gibanje

27

Ravninsko gibanje

28

Gibanje po kružnici

29

Gibanje po pravcu

30

Oscilatorno gibanje

6

31

Kinematikakrutog tijela

1. Translacija 2. Rotacija

Krivocrtna Pravocrtna

32

Krivocrtna translacija Pravocrtna translacija

2. Rotacija

33

Kinematika materijalne to�ke

a) Zadavanje krivocrtnog gibanjab) Brzina v i ubrzanje ac) Vrste krivocrtnih gibanja

34

Osnovne kinemati�ke veli�ine:

• put (m) • vrijeme t (s)

Glavne kinemati�ke veli�ine:

• brzina (m/s)

• ubrzanje (m/s2)

s

v

a

35

Krivocrtno gibanje materijalne to�ke

Položaj materijalne to�ke u svakomtrenutku vremena možemo definirati naslijede�e na�ine: 1. Vektorski na�in definiranja gibanja

2. Prirodni na�in definiranja gibanja

)t(rr→→

=

)t(ss→→

=

36

1. Vektorski na�in definiranja gibanja

• Pri gibanju to�ke M mijenja se vektor položaja po pravcu i intenzitetu.

→r

• Zakon krivocrtnoggibanja vektorskom obliku: )t(rr

→→=

7

37

2. Prirodni koordinatni sustav

Ortogonalni sustav s pravolinijskim osima koji se od Oxyzortogonalnog sustava razlikuje samo svojom pomi�noš�u.

� Zakon krivocrtnog gibanja:

)t(ss→→

=

38

Koordinatni sustav je vezan uz materijalnu to�ku M koja se giba po putanji – trajektoriji s.

2. Prirodni koordinatni sustav

Primjena prirodnog koordinatnog sustavamogu�a je samo ako je poznata putanja:

)t(ss→→

=

39

1. Vektorski na�in definiranja gibanja

Gibanje zadajemo vektorom položaja – radijusvektora u jednom od koordinatnih sustava:

� Descartesovom, � cilindri�nom (polarnom) ili � sfernom.

)t(rr→→

=

40

1a. Descartesov koordinatni sustav

)t(zz)t(yy)t(xx

===

�Zakon krivocrtnog gibanja:

(Parametarske jednadžbe)

→→→→

→→→→

→→

++=

++=

=

k)t(zj)t(yi)t(xr

k)t(rj)t(ri)t(rr

)t(rr

zyx

41

)t(zz )t(yy )t(xx :prostoru u gibanje Za

===

)t(yy )t(xx :avninir u gibanje Za

==

)t(xx :ravcup op gibanje Za =

42

1.b. Cilindri�ni (polarni) koordinatni sustav

� Položaj to�ke u odnosu na referentni koordinatni sustav Oxyz definiran je dvjema dužinama ρρρρ i zte jednim kutom ϕϕϕϕ koji se mijenjaju tijekom vremena

� Zakon krivocrtnog gibanja:

)t( zz)t( )t(

=ϕ=ϕρ=ρ

8

43 44

Za gibanja u ravnini koordinata z = z(t) = 0 pa se vektori ρρρρ i r podudaraju.

)t( )t( rr

ϕ=ϕ=

1.b. Polarni koordinatni sustav

45

1.b. Kružno gibanje u ravnini Oxy –naj�eš�i oblik krivocrtnog gibanja

� Zakon kružnog gibanja:

)t(.konstr

ϕ=ϕ=

46

1c. Sferni koordinatni sustav

• Položaj to�ke u sfernom����������� � �����odre�en je jednom dužinom r i dvama kutovimaϕϕϕϕ i θθθθ koji se mijenjaju tijekom vremena.

)t( )t(

)t( rr

θ=θϕ=ϕ

=

� Zakon krivocrtnog gibanja:

47

2. Prirodni koordinatni sustav

� Zakon krivocrtnog gibanja:

)t(ss→→

=

48

Prirodni koordinatni sustava tvore: � tangenta t,�glavna normala n i� binormala b

(desni koordinatni sustav).

9

49

Iz osnovnih kinematskih veli�ina:

• puta s (m) odnosno [kut ϕ (rad)]• vremena t (s)

možemo odrediti glavne karakteristike gibanja: • brzinu v (m/s) [kutna brzina ω (1/s)]• ubrzanje a (m/s2) [kutno ubrzanje ε (1/s2)]

50

Brzina v i ubrzanje to�ke a

• Odre�ivanje brzine gibanja to�ke u krivocrtnomgibanju ovisi o na�inu na koji je zadano gibanje

1. vektorski u:a) Descartesovom koordinatnom sustavub) Polarnom koordinatnom sustavu

2. u prirodnom koordinatnom sustavu

51

dt

drv

dtdr

v yy

xx ==

→→→⋅+⋅= j)t(ri)t(rr yx

Komponente brzine:

2y

2x vvv +=

Intenzitet brzine:

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2y

2x aaa +=

2y

2y

y

2x

2x

x

dt

rd

dt

dva

dtrd

dtdv

a

==

==

1. Vektorski na�in:

52

dtdy

v dtdx

v yx ==

→→→⋅+⋅= j)t(yi)t(xr

Komponente brzine:

2y

2x vvv +=

Intenzitet brzine:

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2y

2x aaa +=

2

2x

xdt

xddt

dva ==

2

2y

ydt

yddt

dva ==

1.a Descartesov koordinatni sustav

53

1.b. Cilindri�ni koordinatni sustavPolarni koordinatni sustav (z=0)

)t(

.konstr

ϕ=ϕ=

Kružno gibanje:

Kutna brzina: ω

Kutno ubrzanje: ε

54

Obodna brzina:

ω⋅= rv

⋅⋅

⋅

ϕ=ϕ=ω=ε

ϕ=ϕ=ω

2

2

dtd

dtd

dtd

10

55

.konstr

)t(

=ϕ=ϕ

2n

t

aa

tgωε==α

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

422n

2t raaa ω+ε=+=

( )

22

n

t

rr

va

rdtrd

dtdv

a

ω⋅==

ε⋅=ω⋅==

ω⋅= rv

Vektor ubrzanja a ima dvije komponente:

tangencijalnu at i normalnu an. 56

Kružno gibanje

Razlikujemo slu�ajeve:� ε >0 dω = ε.dt >0 ubrzano

gibanjeε =konst. jednoliko ubrzano

� ε <0 dω = ε.dt <0 usporeno gibanjeε =konst. jednoliko usporeno

� ε =0 dω = ε.dt =0 jednoliko gibanje

57

a) Jednoliko ubrzano gibanje

20 t

21

t ⋅ε+⋅ω+ϕ=ϕ

Zakon gibanja:

b) Jednoliko usporeno gibanje2

0 t21

t ⋅ε−⋅ω+ϕ=ϕ

c) Jednoliko gibanje

t0 ⋅ω+ϕ=ϕ

r

58

a) Jednoliko ubrzano gibanje

20

0

t21

t :gibanja Zakon

t :brzina Kutna

.konstdtd

:ubrzanje Kutno

⋅ε+⋅ω+ϕ=ϕ

⋅ε+ω=ω

=ω=ε

ε > 0

59

b) Jednoliko usporeno gibanje

20

0

t21

t :gibanja Zakon

t :brzina Kutna

.konstdtd

:eusporavanj Kutno

⋅ε−⋅ω+ϕ=ϕ

⋅ε−ω=ω

=ω=ε

ε < 0

60

c) Jednoliko kružno gibanje

t :gibanja Zakon

.konstdtd

:brzina Kutna

0 :ubrzanje Kutno

0 ⋅ω+ϕ=ϕ

=ϕ=ω

=ε

11

61

2. Prirodni koordinatni sustav s = s (t)

2

2

dtsd

dtdv

va :Ubrzanje

dtds

sv :Brzina

===

==

•

•

Vektor brzine v poklapa se sa smjerom tangente t.

Pozitivan je smjer osi glavne normale n onaj koji gleda prema središtu zakrivljenosti.

62

Gibanje to�ke po kružnici polumjera R

63

( ) ( ) ( )

→→→

→→→→→→→

→→→→

+⋅=

+++⋅��

���

� ++=

+++++=

0rtur

k5j4itk6j3i2r

k5t6j4t3i1t2r

Trajektorija je pravac

Primjer 1. Vektorsko na�in zadavanjakrivocrtnog gibanja:

→→→→⋅+⋅+⋅= k)t(rj)t(ri)t(rr zyx

64

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0a 0a 0a 0a

m/s 7632vvv vk6j3i2v

dtdv

a dt

dva

dtdv

a dtdr

v dt

drv

dtdr

v

5t6r ;4t3r ;1t2rk5t6j4t3i1t2r

zyx

2222z

2y

2x

zz

yy

xx

zz

yy

xx

zyx

====

=++=++=++=

======

+=+=+=+++++=

→→→→

→→→→

Jednoliko gibanje po pravcu

65

Primjer 2. Descartesov koordinatni sustav

( ) 4

2x

y

8y24-y2 x xu4-yy t iz

tparametra aeliminacij :iju trajektorza- (4;6) C 2(s) t

(2;5) B (s) 1 t 4ty (0;4)A 0 t t2x

+=

−===

=

=+===

apravc dio je jatrajektori

B

66

0a ;0a ;0dt

dva :Ubrzanje

m/s 24,2512v

1dtdy

v

2dtdx

v:Brzina

4ty

t2x

yx

x

22

y

x

====

==+=

==

==

+==

Jednoliko pravocrtno gibanje

12

67

tsin5dt

sddtdv

a

tcos5dtds

v

2

2⋅−===

⋅==

050-50a = - 5 sin t (m/s2)

50-505v = 5 cos t (m/s)

0-5050s = 5 sin t (m)

2π3π/2ππ/20t (s)

Brzina:

Ubrzanje:

Primjer 3: Prirodni koordinatni sustav

s = 5 . sin t - oscilatorno (harmonijsko) gibanje

68

s = 5 . sin t

v = 5 . cos t

a = - 5 . sin t

69

Ravninsko krivocrtno gibanje materijalne to�ke

Prema promjeni brzine razlikujemo slijede�agibanja:

� Jednoliko�Promjenljivo

v

70

Brzina to�ke• Jednoliko gibanje:

To�ka se giba jednoliko ako u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje jednake putove (ubrzanje a=0)Brzina gibanja je:

• Promjenljivo (nejednoliko) gibanje: To�ka u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje razli�ite putove (a = 0; ubrzanje a>0 ili usporenje: a<0).Razlikujemo srednju vsr i trenutnu brzinu v.

��

���

�=sm

ts

v

→v

71

• Srednja brzina:

• Trenutna brzina:

dtds

ts

lim)vlim(vtt

sr =∆

∆==→

→∆→∆

→→

00

t s

v sr∆∆=

→→

72

Ubrzanje to�ke

• Pri gibanju to�ke po krivocrtnoj putanji (trajektoriji) mijenjaju se pravac i intenzitet brzine to�ke.

→a

13

73

�Srednja vrijednost ubrzanja:

�Trenutno ubrzanje:

��

���

�

∆∆=

→→

2srs

m

t v

a

��

���

�

∆∆==

→

→∆

→

→∆

→

2tsr

t s

m

t v

limalima00

��

���

�

∆∆=

→→

2srs

m

t v

a

74

�Rastavljanje ubrzanja na prirodne komponente:

2n

2t aaa +=

n

t

aa

tg =α

aaa nt→→→

+=

75

Tangencijalna komponenta at :� podudara se s pravcem brzine – tangenta na putanju� karakterizira promjenu intenziteta vektora brzine � može biti u istom ili suprotnom smjeru od brzine

Normalna komponenta an:� okomita je na pravac brzine v odnosno at

� odre�uje promjenu smjera vektora brzine� usmjerena prema centru zakrivljenosti

a nata

a

76

�Tangencijalna komponenta:

�Normalna komponenta:

rv

an

2=

dtdv

t v

lima0t

t =∆∆=

→∆

77

A. Slu�ajevi krivocrtnih gibanja:

1. at >0 at=konst. jednoliko ubrzano gibanje(dv = at

.dt >0)

2. at <0 at=konst. jednoliko usporeno gibanje(dv = at

.dt <0)

3. at =0 jednoliko gibanje (dv = at

.dt =0)

78

1. Jednoliko ubrzano gibanje 2. Jednoliko usporeno gibanje

Iznos brzina se pove�ava Iznos brzine se smanjuje

at > 0 at < 0

Jednoliko krivocrtno gibanje at=konst.

14

79

1. Jednoliko ubrzano krivocrtno gibanje

.konsta 0a tt =>

tavv

tvv

tv

a

t0

0t

⋅+=

−=∆∆=

2t00

t000

00sr00

ta21

tvss

t2

tavvst

2vv

stvssss

⋅⋅+⋅+=

⋅⋅+++=⋅++=⋅+=∆+=

tvs

vv

sr

0

⋅=∆>

80

2. Jednoliko usporeno krivocrtno gibanje

.konsta 0a tt =<

tavv

tvv

tv

a

t0

0t

⋅−=

−=∆∆=−

2t00

t000

00sr00

ta21

tvss

t2

tavvst

2vv

stvssss

⋅⋅−⋅+=

⋅⋅−++=⋅++=⋅+=∆+=

ta tvs

vv

sr

0

⋅=∆<

81

3. Jednoliko krivocrtno gibanje

rv

aa2

n ==

Tangencijalno ubrzanje:

Ukupno ubrzanje je jednako

normalnom ubrzanju:

0a t =

Brzina: v = konst.

82

Ovisno o trajektoriji razlikujemo slijede�a krivocrtna gibanja:

A. Kružno gibanje

B. Pravocrtno gibanje

C. Oscilatorno gibanje

83

A. Jednoliko kružno gibanje v = konst.

� Tangencijalno ubrzanje at = 0

natv =

∆∆

� Normalno ubrzanje an = ? 84

Odre�ivanje intenziteta normalnog ubrzanja an

Normalna komponenta an:� okomita je na pravac brzine v odnosno at

�odre�uje promjenu smjera vektora brzine� usmjerena prema centru zakrivljenosti

natv =

∆∆

15

85

1. Brzina mijenja samo smjer: vA= vB = v2. Za male kutove: ∆s = r . ∆ϕ 3. Analogno iz poligona brzina: ∆v = vA

. ∆ϕ = v . ∆ϕ

tvs ts

v.4 ∆⋅=∆�∆∆=

natv =

∆∆

86rv

a

tv

a

rv

tv

rt

vr

tvvvv 3 .ad

rtv

rs

4.ju supstituci uz 2 ad.

2

n

n

2

2

=

∆∆=

=∆∆

∆⋅=∆⋅⋅=ϕ∆⋅=∆

∆⋅=∆=ϕ∆

87

B. Pravocrtno gibanje

• Radijus zakrivljenosti je beskona�no velik r = �

• Nema normalnog ubrzanja:

• Ubrzanje jednako je tangencijalnom ubrzanju

0r

va

2

n ==

tv

limaa

aaa

t

tn

∆∆==

+=→

→→

→→→

a ta

88

B. Slu�ajevi pravocrtnih gibanja:

1. a >0 a = konst. jednoliko ubrzano gibanje(dv = a.dt >0)

2. a <0 a =konst. jednoliko usporeno gibanje(dv = a.dt <0)

3. a =0 jednoliko gibanje (dv = a.dt =0)

89

1. Jednoliko ubrzano gibanje 2. Jednoliko usporeno gibanje

Jednoliko pravocrtno gibanje a = konst.

Iznos brzina se pove�ava Iznos brzine se smanjuje 90

1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje

.konsta 0aa tt =>=

tavv

tvv

tv

a

t0

0t

⋅+=

−=∆∆=

2t00 ta

21

tvss ⋅⋅+⋅+=

16

91

2. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje

tavv t0 ⋅−=

2t00 ta

21

tvss ⋅⋅−⋅+=

.konsta 0aa tt =<=

ta

92

Brzina je konstantna

3. Jednoliko pravocrtno gibanje a = at = 0

0r

va r

2

n ==�∞=

tvss 00 ⋅+=

v = konst.

93

Odredite vrstu gibanja:

94

B. Pravocrtna gibanja

1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje a > 02. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje a > 03. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0

Dijagrami:a – tv – ts – t

95

Dijagrami:

( )020

2

200

0

ssa2vv

ta21

tvss

tavv

−⋅⋅+=

⋅⋅+⋅+=

⋅⋅+=

tavv t0 ⋅+=

1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje a > 0

96

Primjer: Galilejeva kosina

2ta21

s

tav

⋅⋅=

⋅=

16:9:4:14:3:2:1s:s:s:s 22224321 ==

17

97

Primjer: Slobodni pad

2tg21

s

tgv

⋅⋅=

⋅=

98

Slobodni pad

sg2v gv

g21

s

gv

t tgv

22

⋅⋅=����

����

�⋅⋅=

=�⋅=

99

2. Jednoliko usporenopravocrtno gibanje

( )020

2

200

0

ssa2vv

ta21

tvss

tavv

−⋅⋅−=

⋅⋅−⋅+=

⋅⋅−=

a < 0

100

Vertikalni hitac:

gv2

t2T

vrha)do (samo leta Trajanje

Hg2v g2

vH

hica Visina

tg21

tvs

t gvvg a

0

20

20

20

0

⋅=⋅=

⋅⋅=�⋅

=

⋅⋅−⋅=

⋅−=−=Usporeno pravocrtno gibanje:

101

gv2

t2T

leta trajanjeUkupno

g2

vH

gv

g21

gv

vH

:hica Visina

tg21

tvs

gv

t

tgv0t gvv

0

20

200

0

20

0

00

⋅=⋅=

⋅=

���

����

�⋅⋅−⋅=

⋅⋅−⋅=

=

⋅−=⋅−=

102

Dijagrami:

3. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0

tvss.konstv

0a

00 ⋅+===

18

103

Formalna analogija pravocrtnog i kružnog gibanja

Jednoliko gibanje:ε = 0

Jednoliko gibanje:a = 0

Jednoliko promjenjivo gibanje

kutno ubrzanjeubrzanje

kutna brzinabrzina

ϕkut rotacijesput

Krivocrtno gibanjePravocrtno gibanje

dtds

v =

dtdv

aa t ==

200

0

ta21

tvss

tavvkonst. a

⋅±⋅+=

⋅±==

200

0

t21

t

t

konst.

⋅ε±⋅ω+ϕ=ϕ

⋅ε±ω=ω=ε

dtdϕ=ω

dtdω=ε

tvss

.konstv

0 ⋅+==

t.konst

0 ⋅ω+ϕ=ϕ=ω

104

• Primjer: Jedan �ovjek s vrha zgrade visine 12 m pusti bez po�etne brzine loptu A. U isto vrijeme drugi �ovjek s visine od 1,5 m od podnožja zgrade baci uvis loptu B. Ako pretpostavimo da su se lopte mimoišle na visini od 6 m, odredite brzinu kojom je lopta B ba�ena uvis.

105

? v

m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta

m 6,0 s 0v 0s :A Lopta

B

0

00

=

==

===

s 106,122,18,962

t t8,921

00 6,0

tg21

tvss

gibanje ubrzano jednoliko- )s( pad slobodan

m 6,0 s 0v 0s :A Lopta

2

200

00

==⋅=�⋅⋅++=

⋅⋅+⋅+=

↓+

===

106

m/s 9,49v

106,1

106,19,44,5 v

106,18,921

106,1v1,5 6,0

tg21

tvss

)s( gibanje usporeno ednolikoj

m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta

B

2

B

2B

200

0

=

⋅+=

⋅⋅−⋅+=

⋅⋅−⋅+=

↑+

==

107

C. Oscilatorno gibanje materijalne to�ke

108

• Oscilatorno gibanje je najrasprostranjenije gibanje u prirodi.

• To je gibanje materijalne to�ke koje se u odre�enom vremenskom intervalu ponavlja(potpuno u svim pojedinostima).

• Najvažnije i najjednostavnije je harmonijsko oscilatorno titranje.

• Kulisni mehanizam je primjer harmonijskog gibanja.

19

109

Poluga OA vezana je zaosovinu u to�ci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom ω.

To�ka B mehanizmakulise kre�e se gore -������izme�u to�aka D-O-C

110

2

cosrx

OBx

��

���

� π−ψ⋅=

=

ϕ+⋅ω=ψ tZa ω = konst. prije�eni kut ψ je:

ϕ – po�etni kut

111

ψ⋅=��

���

� π−ψ⋅= sinr 2

cosrxϕ+⋅ω=ψ t

Zakon harmonijskog gibanja:

r – amplitudaϕ – po�etna faza

( )ϕ+⋅ω⋅= t sinrx

112

ωπ= 2

T

π=⋅ω 2T

Za jedan okret – kut 2π vrijedi relacija:

Period oscilacija:

Broj oscilacija u sekundi πω==2T

1f

113

Brzina v i ubrzanje a••

= xa

( )ϕ+⋅ω⋅= t sinrx

( )ϕωω +⋅⋅⋅==•

t cosrxv

•= xv

( )ϕ+⋅ω⋅ω⋅−==••

t sinrxa 2

114

( )ϕω +⋅⋅= t sinrx

( )ϕωω +⋅⋅⋅==•

t cosrxv

20

115

t sin ⋅⋅= ωrxBez po�etne faze

0 0t0 =ϕ=

π=ωπ=

=ω

2 2

T

1

116

Brzina v t cos ⋅⋅⋅==•

ωωrxvv (m)

117

t sin ⋅⋅= ωrx

t cos ⋅⋅⋅==•

ωωrxv

118

119

π=ωπ=

=ω

2 2

T

1

s = 5.sin tPrimjer 1:

120

tsin5dt

sddtdv

a

tcos5dtds

v

tsin5s

2

2⋅−===

⋅==

⋅=

050-50a = - 5 . sin t (m/s2)

50-505v = 5 . cos t (m/s)

0-5050s = 5 . sin t (m)

2π3π/2ππ/20t (s)

21

121 122

• Primjer 2:

(s) 42

T (1/s) 2

)m( 2r

(m) t2

sin2x

=ωπ=π=ω=

��

���

� π⋅=

123

t2

sin2

xa

t2

cosxv t2

sin2x

2 π⋅π−==

π⋅π==��

���

� π⋅=

⋅⋅

⋅

0π2/20-π2/20a (m/s2)

π0-π0πv (m/s)

0-2020x (m)

43210t (s)

124

125

• Primjer 3:

)(m/s 6

tsin3xva

)(m/s 6

tcos13xv

22

T 1 3r

)(m 6

tsin3x

2��

���

� π+⋅−===

��

���

� π+⋅⋅==

π=ωπ==ω=

��

���

� π+⋅=

⋅⋅⋅

⋅

126

2/33

- 3/2030-3-3/2a (m/s2)30-30v (m/s)10-10cos(t+π/6)

3/20-3033/2x (m)1/20-1011/2sin(t+π/6)

13π/612π/69π/66π/63π/6π/6t+π/612π/611π/68π/65π/62π/60t (s)

2/33

2/32/3

��

���

� π+⋅−=��

���

� π+⋅=��

���

� π+⋅=6

tsin3a 6

tcos3v 6

tsin3x

Dijagrami: s - t, v - t i a - t doma�a zada�a