DINAMIKA KRISTALNE REŠETKE

• Govoreći o međuatomskim

vezama u kristalu konstatovali smo

da se atomi na velikim

udaljenostima privlače, a na

malim, odbijaju. Na rastojanju ro

privlačna i odbojna sila su

uravnotežene. Svako izmiještanje

iz ovog ravnotežnog položaja bilo

prema većem rastojanju od ro ili

prema manjem rastojanju od ro

uzrokovaće pojavu tzv. restitucione

(eleastične) sile koja se protivi

ovom izmiještanju. Ta sila nastoji

vratiti atome u ravnotežni položaj

pa će zbog toga proizvoditi

oscilovanje atoma oko

ravnotežnog položaja.

ro

• U kristalnoj rešetki gdje postoji pravilan raspored mnoštva atoma koji

osciluju – titraju, pomakom svakog atoma pobuđuje se njegova okolina.

• Za očekivati je da se snižavanjem temperature smanjuje intenzitet ovih

oscilacija. U ovom smislu opravdano je postavti pitanje šta se dešava na

apsolutnoj nuli? Da li tada prestaju oscilovanja atoma?

• Mirovanje atoma na apsolutnoj nuli nije moguće radi Hajzenbergovih relacija

neodređenosti. Na apsolutnoj nuli sistem atoma u kristalu ima minimalnu

vrijednost, ali ona nije nula, tj. na toj temperaturi ne prestaje oscilovanje

atoma.

• Repetitivna sekvenca atomskih pomaka iz ravnotežnog položaja daje talas

koji se prostire kroz rešetku i koji može da se okarakteriše sa:

• brzinom prostiranja v

• talasnom dužinom λ ili talasnim brojem k = 2π/λ

• frekvencijom ili ugaonom frekvencijom ω = 2 π = kv.

• Razmatrajući restitucione sile, koje djeluju na pomjerene atome, možemo

izvesti jednačinu kretanja za bilo koji pomak, tj. naći tzv. DISPERZIONU

RELACIJU koja povezuje frekvencije i talasne dužine, tj. ugaone frekvencije

i talasni broj (vektor)

• ω = f(k).

• Sa stanovišta klasične fizike talas koji zadovoljava disperzionu relaciju može

imati bilo koju amplitudu. Međutim, elementarne kvantizirane vibracije

rešetke imaju dualno svojstvo talasno – čestično, isto kao kvanti

elektromagnetnog zračenja i čestice materije.

• Taj čestični aspekt vibracija rešetke su FONONI.

• Fonon je elementarno pobuđenje toplotnih titranja cijele rešetke,a ne

induvidualnog atoma u njoj.

• Prenošenje moremećaja (talasa) u čvrstom tijelu se onda mora posmatrati

kao kretanje jednog ili više fonona od kojih svaki transportuje energiju

• h = ћ ω.

OSCILOVANJE ATOMA U JEDNODIMENZIONALNOJ KRISTALNOJ REŠETCI

• Funkcionalna zavisnost frekvencije od talasnog vektora ω (k) naziva se

DISPERZIONA RELACIJA.

• Odredićemo disperzionu relaciju u najjednostavnijem modelu rešetke – u

jednodimenzionalnoj rešetci i to u dva slučaja :

• lanac sa atomima iste vrste i

• lanac dva tipa atoma .

LANAC ISTOVRSNIH ATOMA

• Neka svaka elementalna ćelija sadrži samo jedan atom mase m i neka su

atomi međusobno vezani silom jačine. Neka se u ravnotežnom stanju atomi

nalaze u čvorištima rešetke na međusobno jednakom rastojanju a. Neka

svaki atom međudjeluje samo sa svoja prva dva susjeda i neka se pomak

odvija samo u pravcu lanca.

• Međusobno nezavisne oscilacije nazivaju se normalne oscilacije.Broj normalnih

oscilacija određen je graničnim uslovom periodičnosti koji mora zadovoljavati

funkciju pomaka.

LANAC DVA TIPA ATOMA

• Razmotrimo sada jednodimenzionalni model rešetke koju čine dva tipa

atoma M1i M2, raspoleđeni naizmjenično na međusobno jednakim

rastojanjima a. Neka su atomi vezani elastičnom silom. Sada svaka

elementarna ćelija sadrži dva atoma, pa je linearna dimenzija ćelije b=2a.

• Broj normalnih oscilacija dvoatomnog lanca određuje se iz činjenice da

funkcije pomaka moraju zadovoljavati granični uslov periodičnosti.

• Broj normalnih oscilacija jednak je broju ćelija u kristalu a ne broju atoma m.

Dvije grane disperzione relacije opisuju titranje atoma dvoatomnog lanca.

Frekventna ovisnost ω-(k) predstavlja se krivom koja se naziva akustična

grana, a funkcija ω-(k) se naziva optičkom granom.

• U dugovalnom području je ka<<1. Za akustičku granu se dobija ( razvojem u red

drugog člana relacije ).

• Područje na granicu Brilloinove zone kmax=π/2a, sin k a= 1 • Za akustičku granu

• Za optičku granu

• Dosadašnja razmatranja oscilovanja/titranja kristalne rešetke

provedena su u Lagrangeovom formalizmu opisa sistema i dovela

su do zaključaka da su normalne oscilacije atoma rešetke u velikom

stepenu harmonijske i međusobno nezavisne. S kvantno

mehaničkog aspekta može se smatrati da su normalne oscilacije

kvantni harmonijski oscilatori.