РАБОТА И ЕНЕРГИЈА

Постојат проблеми од областа на динамиката кои не може да се решат едноставно со користење на Њутновите закони. Во нив се вбројуваат речиси сите задачи во кои силата се менува во зависност од положбата. На пример, ако тело се движи по закривена патека во вертикална рамнина, тогаш неговата тежина дејствува под различен агол во однос на правецот на патеката, а со тоа и нејзиното влијание е различно. Сепак, со воведување на нови величини како што се енергијата и импулсот, а како последица на Њутновите закони, голем дел од овие задачи се решаваат, понекогаш дури и со пократка постапка од онаа со примена на Њутновите закони.

Работа

Во секојдневниот живот се среќаваме со мноштво примери на работа, како што се кревање на различни предмети од земјата, или нивно туркање или влечење по некоја површина. Се смета дека работата е поголема ако треба да се вложи поголема сила (на пр. кревање на предмети со поголема тежина), или ако нивното поместување е поголемо (на пр. подигнување на поголема висина). Физичката дефиниција за работа е во согласност со ова наше искуство. Во наједноставен случај се зема дејството на силата да биде во насока на движењето кое се одвива по права линија. Тогаш физичката дефиниција потполно се поклопува со онаа која се користи секојдневниот говор. Работата е производ на силата и поминатиот пат

A=Fs . (2.13)

Единица мерка за работата е џул (J) и заради димензионална усогласеност на двете страни на изразот (2.13) треба да важи 1 J = 1 Nm. Од дефиницијата (2.13) е јасно зошто се смета дека е извршена поголема работа ако се турка теренско возило наместо мал автомобил, или пак при туркањето се помине два пати подолг пат. Но, од искуството ние може да заклучиме дека ако силата дејствува под некој агол во однос на поместувањето, само онаа компонента која е долж траекторијата врши работа, односно го поместува возилото (сл. 2.4). Другата компонента (нормалната) е секогаш компензирана од некоја друга сила, така што движењето е во дадената насока и се одвива само под дејство на надолжната компонентна на силата и евентуално закочено од силата на триење.

Сл. 2.4. Работата врз некое тело зависи само од компонентата на силата Ft која е долж правецот на движење.

Според сл. 2.4 заклучуваме дека дефиницијата за работа треба да се обопшти како

A=F cos φ⋅s , (2.14)

каде што е аголот меѓу силата и траекторијата. Ако ги употребиме векторот на силата и векторот на поместувањето, тогаш последниот израз може да се запише скратено со помош на скаларен производ

A=F⃗⋅⃗s=|F⃗||s⃗|cosφ . (2.15)

Според формулацијата (2.15) се гледа дека работата може да биде нула, па и негативна, иако ни силата, ни патот не е нула. На пример, ако в раце држиме тежок тег без да го поместуваме, вложуваме голем напор, но сепак не вршиме работа над него. Силата на триење врши негативна работа бидејќи е насочена обратно од насоката на движење (=180о). Од друга страна, нормалната сила не врши работа воопшто, бидејќи е нормална на траекторијата ( = 90о). Иако релацијата (2.15) дава резултати кои не се во согласност со секојдневното сфаќање на работата, сепак е корисна за поврзување на работата со другите физички величини.

Вкупната работа од силите кои делуваат на едно тело е збир од работите од секоја сила поединечно. Ова следи од принципот на суперпозиција на силите и од особината на скаларниот производ. Работите од поединечните сили се разликуваат меѓу себе, а некои може да бидат и негативни (како на пример триењето).

Работа од променлива сила. Претпоставката дека силата е константна долж патот, иако е корисна за воведување и за разбирање на физичкото значење на работата, е премногу идеализирана. Поприродно е да се претпостави дека силата, односно нејзината надолжна компонента се менува. Во тој случај патот s може да се подели на многу мали делови si, така што во секој од нив може со голема точност да сметаме дека силата Fi е приближно констан-тна. Тогаш работата ќе биде збир од работите Ai во секој сегмент од патот si

A=∑ ΔA i=∑ Fi Δsi

. (2.16)

Сл. 2.5. Кога силата не е константна долж патот вкупната работа може да се пресмета како збир на работите по делниците на кои го сочинуваат патот.

На сл. 2.5 се гледа дека вкупната работа е збир од плоштините на правоаголниците Ai = Fisi.

Ако се премине кон граничниот случај Δsi→0

, збирот (2.16) станува определен интеграл

A=∫s1

s2 Fds,

(2.17)

каде што s1 и s2 се почетната и крајната положба. Од сл. 2.5 се гледа и дека работата одговара на плоштината под кривата на силата во графикот на зависноста на силата од патот F(s). Наједноставен пример е кога паралелната компонента на силата е константна долж патот, за кој интегралот дава резултат

A=∫s1

s2 Fds =F∫s1

s2 ds=F (s2−s1)(2.18)

кој е ист како (2.13).

Друг карактеристичен пример е барањето на работата на еластичните сили на пружина.

Еластична пружина има особина да се издолжи за должина x, пропорционална на силата која

дејствува на неа (сл. 2.6).

Сл. 2.6. Еластичната сила кај пружина е пропорционална на деформарцијата и е секогаш

насочена обратно од неа.

Притоа се воспоставува рамнотежа меѓу надворешната сила и еластичната сила од пружината

која има интензитет

Fel=−kx

(2.19)

каде што k се нарекува константа на еластичност на пружината, а знакот минус покажува дека

насоката на дејство на силата е обратна од онаа на деформацијата. Ако пружината се збие,

тогаш еластичната сила ќе има тенденција кон истегнување. Ако сакаме да ја пресметаме

работата која ќе ја изврши надворешна сила која се зголемува постепено, при што на крајот

издолжувањето на пружината е X, треба да се употреби изразот (2.17). Бидејќи надворешната

сила е насочена обратно од еластичната, таа е дадена со F = kx. Ако на почетокот пружината не

е деформирана границите на интегралот се 0 и X, па се добива

A=∫0

Xkxdx=1

2kX 2

(2.20)

Ако на почетокот пружината е истегната за x1, а на крајот за x2, тогаш работата на

надворешните сили е

A=∫x1

x2 kxdx=12

kx22−1

2kx1

2 .

(2.21)

Бидејќи еластичната сила е насочена обратно од надворешната, работата од неа ќе биде

негативна и по апсолутна вредност еднаква на работата од надворешната сила.

Работа при движење по крива траекторија. Формулацијата за работата може да се обопшти и за уште пореален случај, кога движењето е по крива треаекторија, а силата се менува долж патот и во општ случај не е тангентна на траекторијата. Ако разгледаме мал дел од траекторијата, може да сметаме дека тој е дел од права и дека долж него не се менува силата. За тој сегмент од патот, по аналогија на изразот (2.15), работата ќе биде

ΔA i=F⃗ i⋅Δ s⃗i , (2.22)

каде што употребивме скаларен производ за да укажеме дека само паралелната компонента врши работа (сл. 2.7).

Сл. 2.7. Доволно мал сегмент од крива линија може да се змета како прав и работата за тој дел да се најде според (2.15)

Ако ги собереме работите Ai долж сите делници ќе добиеме

A=∑ F⃗i⋅Δ s⃗i

, (2.23)

или кога должините на делниците се инфинитезимално мали Δsi→0

A=∫ F⃗ d s⃗

. (2.24)

Последниот интеграл се нарекува криволиниски интеграл бидејќи се интегрира долж крива линија, а не права како што се оските кај обичниот интеграл.

Кинетичка енергија

При вршење работа освен што се променува положбата на едно тело се менува и неговата брзина. Кај праволиниско движење, ако силата е насочена како и поместувањето, работата е позитивна и поради забрзувањето ќе се зголеми брзината на телото. Ако силата е насочена обратно, работата ќе биде негативна и брзината ќе се намали бидејќи силата ќе предизвика забавување. Работата е нула ако надворешните сили делуваат во правец нормален на движењето, но тогаш нема да се промени и брзината (по интезитет). Со ова се заклучува дека позитивната работа ја зголемува, а негативната ја намалува брзината. За да се изрази ова попрецизно да разгледаме едноставен пример на движење од положба x1 до x2 = x1 + s под дејство на константна вкупна надворешна сила, која ќе даде константно забрзување a. Нека брзините во точките x1 и x2 се v1 и v2 соодветно. Тогаш од изразите за брзина и положба кај рамномерно забрзано праволиниско движење

v2=v1+at

x2=x1+v1 t+at 2

2 (2.25)

со замена на времето од првиот во вториот израз, може да се добие

a=

v22−v1

2

2 (x2−x1)=

v22−v1

2

2 s. (2.26)

Од вториот Њутнов закон силата е F = ma, од каде со употреба на (2.26) следи

F=m

v22−v1

2

2 s . (2.27)

Бидејќи работата е A = Fs, од (2.27)

A=1

2mv2

2−12

mv12

. (2.28)

Величината mv2/2 се нарекува кинетичка енергија на телото

Ek=

12

mv2

. (2.29)

Од изразот (2.28) работата е еднаква на промената на кинетичката енергија на телото. Ако работата е позитивна, кинетичката енергија се зголемува, а ако е негативна, кинетичката енергија се намалува. Тој всушност ја изразува теоремата за работа и енергија: Работата што е извршена над некое тело е еднаква на промената на неговата кинетичка енергија

A=ΔEk=Ek ,2−Ek ,1 . (2.30)

Ако почетната брзина на телото е нула, тогаш од (2.30) следи дека работата е еднаква на крајната кинетичка енергија. Тогаш може да се каже дека кинетичката енергија на едно тело кое има брзина v е еднаква на работата што треба да се изврши над него од страна на надворешни сили за да се забрза од мирување до таа брзина v. Според изразот (2.30) следи и дека кинетичката енергија се мери исто така во џули. Може да се покаже дека теоремата за работа и кинетичка енергија важи и кога движењето се одвива по крива траекторија и при сили кои ја менуваат својата вредност долж патот. Важно е да се напомене дека во тој случај во изразот на кинетичката енергија се користи модулот на векторот на брзината. Ова е особено значајно при решавање на задачи кај кои движењето е по крива линија и директната примена на Њутновите закони е речиси невозможна.

Моќност

Во секојдневниот говор моќноста честопати има исто значење како и енергијата или силата, додека во физиката таа претставува посебна величина. Средна моќност во некој временски интервал t е еднаква на односот на извршената работа и тој интервал

Psr=

ΔAΔt . (2.31)

Доколу работата не се врши подеднакво во еднакви временски интервали тогаш се дефинира моменталната моќност како

P= limΔt→0

ΔAΔt

=dAdt . (2.32)

Кога се спомнува само моќност се мисли на моменталната моќност, како што е случајот со брзината или забрзувањето. Според дефинициите се гледа дека моќноста претставува стапка на вршење на работа. Таа се мери во вати (W), во чест на пронаоѓачот Џејмс Ват. Заради димензионална усогласеност на горните релации важи 1W = 1J/s.

Моќноста може да се поврзе и со силата и брзината. Да разгледаме најопшт вид

движење по крива линија. За многу кратко време поместувањето нека биде Δ s⃗ , а силата долж

тој дел од патот е приближно константа F⃗ . Извршената работа тогаш е дадена со (2.22) па средната моќност е

Psr=ΔAΔt

= F⃗ Δ s⃗Δt (2.33)

Во (2.33) може да се земе граничен премин Δt→0 и од дефиницијата за моментална брзина ќе следи

P= limΔt→0

F⃗ Δ s⃗Δt

=F⃗ limΔt→0

Δ s⃗Δt

=F⃗⋅⃗v. (2.34)

Според дефиницијата, скаларниот прозивод на два вектори е производ на модулот на едниот и проекцијата на вториот врз правецот на првиот вектор, па се добива

P=F t v

. (2.35)

Моќноста е еднаква на производот на тангенцијалната компонента на силата и модулот на брзината.

Потенцијална енергија

Од погоре изнесеното се утврди дека ако надворешните сили вршат работа, кинетичката енергија на дадено тело ќе се зголеми. Како пример може да послужи паѓање на некое топче од некоја поголема висина y1 на помала висина y2. Кинетичката енергија на топчето се зголемува, бидејќи гравитационата сила, т.е. тежината врши позитивна работа. Секојдневното искуство нè наведува на помислата дека таа работа произлегува од некоја складирана енергија. Причина за тоа е што најчесто, телата кои паѓаат се претходно кренати повисоко под дејство на некои сили. Самото кревање асоцира на складирање на енергија, затоа што подоцна, ако се овозможи телото да паѓа, неговата тежина ќе изврши позитивна работа и ќе ја зголеми неговата кинетичка енергија. Затоа таа складирана енергија се нарекува потенцијална енергија, бидејќи постои можност да се изврши работа. Тој вид на енергија е поврзан со положбата, за разлика од кинетичката која зависи од брзината. Поконкретно кажано, енергијата која зависи од положбата на телата во близина на земјата се нарекува гравитациона потенцијална енергија. За да дојдеме до поволна дефиниција за неа, да разгледаме тело кое паѓа вертикално надоле од висина y1 на y2. Отпорот на воздухот може да се занемари, а тежината на тело со маса m во близина на Земјата е приближно константна mg. Во тој случај работата на тежината e

A=Fs=mg ( y1− y2 )=mgy1−mgy2 . (2.36)

Работата е позитивна бидејќи y1 > y2, но изразот (2.36) важи и при движење нагоре, бидејќи тогаш работата е негативна, а y2 > y1. Секој од членовите од десната страна на (2.36) може да се дефинира како гравитациона потенцијална енергија

E p=mgy

. (2.37)

Тогаш работата на гравитационите сили се изразува преку разликата на потенцијалните енергии во двете крајни положби

A=Ep ,1−E p , 2=−( Ep , 2−E p , 1)=−ΔE p . (2.38)

Ако се употреби (2.38) во теоремата за работа и енергија (2.28) се добива

ΔEk=−ΔE p

Ek , 2−Ek , 1=− (Ep ,2−Ep , 1) , (2.39)

односно

E p, 1+Ek ,1=E p, 2+Ek , 2 . (2.40)

Последната релација го изразува законот за запазување на механичката енергија. Треба да се напомене дека при неговото изведување беа занемарени сите други сили освен гравитационата. Бидејќи положбите y1 и y2 се избрани произволно законот (2.40) се изразува како

E=Ep+Ek=const .

(2.41)

Во праксата секогаш се користи разлика на потенцијалната енергија во две точки, или проблемот се сведува на барање на таква разлика. Затоа важна е само разликата на висините, а не нивната вредност. Според тоа како “нулта” висина, која одговара на “нулта” потенцијална енергија може да се земе било која висина. Тоа се избира заради поедноставно решавање на задачата, иако многу често за нулта висина се зема површината на Земјата.

Изразот за потенцијална гравитациона енергија (2.36) важи и кога телото се движи по крива траекторија. За да го покажеме тоа може да се послужиме со сликата 2.8 на која е прикажано движење на тело во вертикална рамнина од точката со координати (x1, y1) до точката (x2, y2). Според дефицицијата (2.24) работата на тежината долж кривата траекторија е

A=∫ G⃗ d s⃗

. (2.42)

Векторите G⃗ и d s⃗ изразени преку компонентите се

G⃗=0−mg { j⃗ ¿d s⃗=dx { i⃗+dy { j⃗ ¿¿ ¿¿

(2.43)

каде што i⃗ и j⃗ се единичните вектори долж оските x и y, соодветно. Тогаш од изразот за

скаларен производ (a i⃗ +b j⃗ )⋅(c i⃗ +d j⃗ )=ac+bd следи

G⃗ d s⃗=−mgdy , (2.44)

односно работата на тежината е

A=−∫y1

y2 mgdy=−(mgy2−mgy1). (2.45)

Изразот (2.45) е ист со (2.36), што значи дека потенцијалната енергија може да се дефинира на ист начин со (2.37), како и кај вертикалното движење. Тоа значи дека законот за запазување на механичката енергија ќе важи и кај криволиниско движење, со напомена дека важи ако делува само тежината на телото.

Сл. 2.8. Поради вертикалниот правец на гравитационата сила, гравитационата потенцијална енергија зависи само од висината y.

Потенцијална енергија на еластични сили

Еластичната сила на идеална пружина Fel има интензитет пропорционален на деформацијата x и е насочена обратно од x, што значи Fel = - k x. Според тоа работата на еластична сила при промена на деформацијата на пружината од x1 до x2 слично на (2.21) е

Ael=−( 12

kx22−1

2kx 1

2). (2.46)

По аналогија со гравитатионата потенцијална енергија може да се воведе потенцијална енергија на еластична пружина, чија вредност ќе зависи само од положбата, т.е. од деформацијата

E p, el=12

kx2

. (2.47)

Тогаш работата на еластичните сили е поврзана со нивната потенцијална енергија исто како и за случајот на гравитационата потенцијална енергија

Ael=−(E p , el , 2−E p , el , 1)=−ΔE p , el . (2.48)

Теоремата за работа и енергија (2.30) важи за било каква сила, па ако истата се употреби во (2.48) ќе се добие дека

ΔEk=−ΔE p , el , (2.49)

од каде што имаме

Ek , 1+E p , el ,1=Ek ,2+Ep , el , 2 . (2.50)

Последниот израз го претставува законот за запазување на механичката енергија, каде што како потенцијална енергија е онаа на еластилните сили. Треба да се напомене дека бидејќи изразот за кинетичка енергија е поврзан со движење на тело со некоја маса m, еластичните сили треба да вршат работа над тоа тело. Тоа се постигнува со поврзување на телото на еден од краевите на пружината. Тогаш законот за запазување на механичката енергија ќе гласи

12

kx 2+ 12

mv2=const .(2.51)

Конзервативни и неконзервативни сили. Закон за запазување на енергијата

Ако се фрли некое топче вертикално нагоре, неговата кинетичка енергија се смалува, а се зголемува потенцијалната. По достигнувањето на најгорната точка, топчето почнува да паѓа и потенцијалната енергија се намалува, а кинетичката расте. Ако се занемари отпорот на воздухот, вкупната механичка енергија се запазува. Таа особина на запазување (конзервирање) на механичката енергијата ја поседува гравитационата сила, т.е. тежината. Друга таква сила е еластичната. Ако некое тело удри во пружина, тоа ја намалува брзината (кинетичката

енергија), а се зголемува потенцијалната енергија на еластичните сили. Кога телото ќе застане се случува обратниот процес. Силите при чие дејство се запазува вкупната енергија се нарекуваат конзервативни сили. Особини на тие сили се следните:

1. Работата на конзервативните сили може да се изрази како разлика меѓу почетната и крајната вредност на потенцијална енергија.

2. Работата на конзервативните сили е реверзибилна.3. Работата на конзервативните сили не зависи од патот по кој се одвива движењето, ами

само од крајните точки. 4. Ако почетната и крајната точка на движењето е иста, работата на конзервативните сили

е нула.

Бидејќи потенцијалната енергија претставува функција од положбата, според особината 1 работата се изразува како функција од почетната и крајната положба. Тоа всушност ја изразува особината 3. Ако работата на конзервативните сили зависи од целата траекторијата тогаш таа не може да се изрази само како функција од крајните точки. Реверзибилноста означува дека ако во текот на движењето еден вид на енергија се намали (на пр. кинетичката), при движење назад до почетната положба таа енергија ќе ја добие почетната вредност. Од ова следи и особината 4, бидејќи земајќи ја кинетичката енергија во таа улога следи дека по враќање во почетната точка независно од траекторијата нејзината вредност ќе биде иста, што според теоремата за енергија и работа значи дека работата е нула.

Постојат многу примери и за неконзервативни сили. За нив не важи ниту една од горните особини. На тело кое лизга нагоре по наведена рамнина силите на триење вршат негативна работа. Но, кога ќе почне да се спушта, тие повторно ќе вршат негативна работа бидејќи нивната насока е обратна од онаа на движењето и вкупната работа по враќањето во почетната положба нема да биде нула. Затоа нема да се запази и енергијата, т.е. телото во истата положба ќе има помала кинетичка енергија, а иста потенцијална, со што вкупната енергија ќе биде помала. Затоа овие сили понекогаш се нарекуваат и дисипативни, бидејќи на некој начин ја трошат енергијата. Постојат и сили чие поради чие дејство механичката енергија се зголемува. Такви се силите кои се добиваат при хемиски реакции. На пример, при експлозија на граната се зголемува кинетичката енергија на парчињата.

Закон за запазување на вкупната енергија

Многу често покрај конзервативните делуваат и некозервтивни сили. Ако на некое тело делува конзервативна и неконзервативна сила, вкупната работа според принципот на суперпозиција на силите е збир од работата на конзервативната Ak и работата на неконзервативната сила An. Тогаш теоремата за енергија и работа (2.30) ќе го има обликот

Ak+An=ΔEk (2.52)

Ако Ak се изрази преку потенцијалната енергија ќе се добие

An=ΔEk+ΔE p , (2.53)

или преку енергиите во почетната и крајната положба

Ek , 1+E p ,1+An=Ek , 2+E p ,2 . (2.54)

Ако работата на неконзервативните сили е позитивна, енергијата на крајот од движењето ќе биде поголема од почетната, а ако е негативна како што е случајот со дисипативните сили, вкупната механичка енергија ќе се намали.

Работата на дисипативните сили во реалноста доведува до зголемување на други видови на енергија. Под дејство на силите на триење се загреваат и подлогата и телото кое се лизга. Загревањето е всушност зголемување на внатрешната енергија на дадено тело. Испитувањата покажуваат дека зголемувањето на внатрешната енергија е еднакво на работата на дисипативните сили. Бидејќи првата величина Evn е позитивна, а втората А – негативна, следи дека

A=ΔEvn . (2.55)

Тогаш од (2.53) и (2.55) се добива законот за запазување на енергија

ΔEk+ΔE p+ΔEvn=0

. (2.56)

Во еден систем збирот на кинетичката, потенцијалната и внатрешната енергија е константен. Енергијата ниту се создава ниту се губи, таа само преминува од еден вид во друг. Еден вид на енергија може да се зголеми само на сметка на другите видови енергија во системот.

Импулс на тело и импулс на сила

Постојат проблеми кои не може да се решат ни со директна примена на Њутновите закони, ниту пак со примена на законот за запазување на енергијата. Такви се пред се оние каде постои судир на две тела, односно кога се јавуваат сили чие дејство е краткотрајно, а самите сили не може едноставно да се опишат. Тие проблеми успешно се решаваат со воведување на величините импулс на тело и импулс на сила, како и со законот за запазување на импулсот.

Ако се примени релацијата меѓу брзината и забрзувањето a⃗=d v⃗ /dt , од вториот Њутнов закон ќе се добие

∑ F⃗=m

d v⃗dt

=d (m v⃗ )

dt . (2.57)

Произлегува дека резултантната сила е еднаква на временската промена на производот m v⃗ .

Комбинацијата m v⃗ се нарекува импулс на тело и се одбележува како

p⃗=m v⃗ . (2.58)

Според дефиницијата импулсот на дадено тело е векторска величина, со правец и насока како и неговата брзина и има компоненти

px=mvx ; p y=mv y ; pz=mv z .

(2.59)

Импулсот на телото се мери во kgm/s што произлегува од дефиницијата. Со воведувањето на импулсот на тело вториот Њутнов закон го добива обликот

∑ F⃗=d p⃗

dt , (2.60)

според кој: Вкупната сила која дејствува на некое тело е еднаква на стапката на временска промена на импулсот на тоа тело. Тоа е всушност формулацијата дадена од Исак Њутн, кој наместо импулс го користел терминот количество на движење.

На врската помеѓу импулсот на тело и силата која дејствува на него може да се гледа и поинаку. Да претпоставиме првин дека вкупната сила е константна и дејствува во текот на временскиот интервал t = t2 – t1. Производот на силата и времето за кое таа дејствува

J⃗=∑ F⃗⋅( t2−t1)=∑ F⃗ Δt

, (2.61)

се нарекува импулс на сила. Импулсот на сила согласно дефиницијата се мери во Ns, но ако њутнот се изрази како 1N = 1kgm/s2, ќе се добие дека таа има иста единица како и импулсот на тело kgm/s. Таа претставува векторска величина со правец и насока како и силата (секако кога силата е константна). Според вториот Њутнов закон (2.60) вкупната сила е еднаква на промената на импулсот и ако таа е константна тогаш и промената на импулсот ќе биде константна, односно

d p⃗dt

=p⃗2− p⃗1

t2−t1

=∑ F⃗. (2.62)

Од последните два изрази произлегува дека промената на импулсот на телото за време на некој интервал е еднаква на импулсот на вкупната сила која дејствува на тоа тело за тој интервал

p⃗2− p⃗1=J⃗=∑ F⃗ ( t2−t1)

. (2.63)

Сега импулсот на едно тело може да се сфати како импулс на сила потребен за тоа тело да постигне брзина v, поаѓајќи од мирување.

Последниот израз важи и кога силата не е константна. Тоа може да се покаже ако се изврши интегрирање на двете страни од вториот Њутнов закон

∫t1

t 2∑ F⃗ dt=∫t1

t 2 d p⃗dt

dt=∫p⃗1

p⃗2d p⃗= p⃗2− p⃗1.

(2.64)

При променлива сила (било по интензитет или правец и насока) импулсот на сила се определува како

J⃗=∫t1

t 2∑ F⃗ dt. (2.65)

Може да се дефинира средна вкупна сила која за истиот временски интервал има еднаков импулс на сила како и променливата

F⃗ sr ( t2−t1)=J⃗=∫t1

t 2∑ F⃗ dt. (2.66)

Импулсот на сила е векторска величина и според тоа врската меѓу импулсот на силата и импулсот на телото е иста за соодветните компоненти

J x=∫t1

t 2 Fx dt=F sr , x (t 2−t1 )=p2 , x−p1 ,x

J y=∫t1

t2F y dt =F sr , y (t 2−t 1 )=p2 , y−p1 , y

J z=∫t1

t 2F z dt =F sr , z ( t2−t1 )=p2 , z−p1 , z

. (2.67)

Споредувајќи ги импулсот и кинетичката енергија на едно тело се забележува дека пред се тие се разликуваат димензионално. Но, од нивната дефицинија следи и уште една интересна разлика. Кинетичката енергија се дефинира преку работата потребна за едно тело од мирување да постигне некоја брзина, а работата освен од силата зависи и од патот по кој се одвива движењето. Од друга страна, импулсот на телото е еднаков на импулсот на силата која е потребна за телото да ја постигне бараната брзина, а импулсот на силата зависи од времето за кое дејствува силата.

Закон за запазување на импулсот

Импулсот на тело е корисна величина особено во ситуации кога взаемнодејството се случува само помеѓу две или повеќе тела. Во таков случај може да се употреби третиот Њутнов закон, според кој сите сили на взаемнодејство се јавуваат во парови меѓу телата и имаат еднаков интензитет, а спротивни насоки. Ако имаме само две тела A и B на кои не делуваат

надворешни сили вкупната сила врз телото А ќе биде сила која дејствува само од B, F⃗B→A . На

телото B ќе дејствува само телото A со вкупна сила F⃗ A→B , при што според третиот Њутнов

закон F⃗B→A=−F⃗ A→B . Од друга страна, според вториот Њутнов закон, промените на импулсите

на телата се соодветно

d p⃗ A

dt=F⃗ B→ A;

d p⃗B

dt=F⃗ A→B=−F⃗B→ A

. (2.68)

Ако се дефинира вкупниот импулс на системот тела како

p⃗= p⃗ A+ p⃗B , (2.69)

со собирање на двата изрази во (2.68) ќе се добие дека вкупниот импулс на системот од двете тела не се менува

d ( p⃗ A+ p⃗B)dt

=d p⃗dt

=0. (2.70)

Изразот (2.71) може да се обопшти на произволен број на тела, под услов на нив да не дејствуваат надворешни сили, т.е. системот треба да биде изолиран. За изолиран систем законот (2.70) се запишува како

p⃗= p⃗1+ p⃗2+⋯+ p⃗N=const(2.71)

и го изразува законот за запазување на импулсот: Вкупниот импулс на систем од изолирани тела е константен. На системот може да делуваат и надворешни сили, но ако нивниот векторски збир е нула повторно ќе важи законот за запазување на импулсот. Бидејќи при изведување на законот се користат Њутновите закони, тој важи само за инерцијални референтни системи. Сепак, за разлика од Њутновите закони тој важи и кога телата се движат со многу големи брзини, но и во светот на елементарните честички. За потсетување, вториот Њутнов закон не може да се користи во тие случаи.

Неговото значење е особено полезно при решавање на проблеми кои претставуваат судири. На пример, судир претставува интеракцијата на билијардски топки, но нивното значење е особено важно при проучување на интеракциите на елементарните честички. Во случај на судир, дејството на надворешните сили може да се занемари, бидејќи самиот процес на судир е краткотраен и импулсот на надворешните сили како производ на силата и малиот временски интервал има мала вредност која може да се занемари. Силите на интеракција, од друга страна имаат многу поголем интензитет и тие се единствените кои играат улога. Сепак, за решавање на такви проблеми се користат само импулсите на телата наместо силите и Њутновите закони.