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Dinamica de Sistemas - Practica 6
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5/22/2018 Dinamica de Sistemas - Practica 6
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CUADERNO DE PRCTICAS DE
LABORATORIO PARA LA ASIGNATURA DE
DINAMICA DE SISTEMAS
MATERIAL (INTEGRADO, RECOPILADO O ELABORADO) POR:
ING. JESUS LEONEL ARCE VALDEZ
Cd. Guadalupe Victoria, Dgo., DICIEMBRE del 2013
INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR
DE LA REGIN DE LOS LLANOS
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ndice
Introduccin .................................................................................................................................1
Objetivo (Competencias) ............................................................................................................1
Fundamento .................................................................................................................................1
Respuesta Escaln Unitario De Sistemas De Primer Orden. .............................................1
Sistemas De Segundo Orden.................................................................................................3
Procedimiento (Descripcin) ......................................................................................................6
Equipo necesario .....................................................................................................................6
Material de apoyo ....................................................................................................................6
Desarrollo de la prctica .........................................................................................................7
Resultados................................................................................................................................. 15Conclusiones............................................................................................................................. 16
Referencias bibliogrficas........................................................................................................ 16
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 1
Introduccin
En esta prctica se trabajara con anlisis en el dominio del tiempo, parte de la
prctica consta de un trabajo analtico que despus ser corroborado mediante el
uso del MatLab.Tal y como se vio en la prctica anterior, Matlab trabaja con un
nico tipo de elementos: las matrices. Los tipos de datos bsicos con los que
vamos a trabajar para el procesado de seales unidimensionales, secuencias o
seales bidimensionales. Todos estos datos pueden ser representados de una
manera sencilla mediante matrices. De esta forma, se intuye que Matlab es una
herramienta potente para el procesado de seales, debido a la facilidad que
presenta para el tratamiento matricial de datos.
Objetivo (Competencias)
Que el alumno comprenda y refuerce los conocimientos aprendidos en clase
sobre el tema de Anlisis en el Dominio del Tiempo con la ayuda del software
MatLab y sus respectivas herramientas.
Analizar sistemas deprimer y segundo orden.
Hallar la respuesta de sistemas ante entradas tpicas.
Conocer como el sistema se comporta en estado estable
Fundamento
Respuesta Escaln Unitario De Sistemas De Primer Orden.
Dado que la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es l/s,
sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 2
Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuacin obtenemos:
La ecuacin anterior plantea que la salida c (t) es inicialmente cero y al final se
vuelve unitaria. Una caracterstica importante de tal curva de respuesta
exponencial c (t) es que, para t = T, el valor de c (t) es 0.632, o que la respuesta c
(t) alcanz 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t
= T en c (t). Es decir,
Observe que, conforme ms pequea es la constante de tiempo T, ms rpida es
la respuesta del sistema. Otra caracterstica importante de la curva de respuesta
exponencial es que la pendiente de la lnea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que
La respuesta alcanzara el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de
respuesta inicial. A partir de la ecuacin anterior vemos que la pendiente de lacurva de respuesta c (t) disminuye en forma monofnica de 1/T en t = 0
Figura 1. Pendiente de la Curva de Respuesta.
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 3
La curva de respuesta exponencial c (t) aparece en la figura anterior. En una
constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del
valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor
final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95,98.2 y 99.3%, respectivamente,
del valor final. Por tanto, para t =4T, la respuesta permanece dentro del 2% del
valor final. El estado estable se alcanza matemticamente slo despus de un
tiempo infinito. Sin embargo,en la prctica, una estimacin razonable del tiempo
de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para
alcanzar la lnea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.
Sistemas De Segundo Orden
La funcin de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:
Figura 2. Funcin de Transferencia de un Sistema de 2do Orden.
El comportamiento dinmico del sistema de segundo orden se describe a
continuacin en trminos de dos parmetros y En. El valor de toma diferentes
valores dependiendo de su ubicacin en el plano s.
El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo
(>0), esto causa que la respuesta escaln unitario establezca un valor final
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
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constante en el estado estable debido al exponente negativo (-wnt). Por lo tanto el
sistema es estable.
El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo
( 1. La respuesta transitoria
de los sistemas crticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si =
0, la respuesta transitoria no se amortigua.
Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escaln unitario.
Consideraremos tres casos diferentes:
Caso subamortiguado (0 < < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como
Caso crticamente amortiguado ( = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi
iguales, el sistema se aproxima mediante uno crticamente amortiguado. Los
polos se encuentran ubicados en:
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 5
Caso sobreamortiguados ( > 1): en este caso,los dos polos de C(s)/R(s) son
reales negativos y diferentes.
Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos
prcticos, las caractersticas de desempeo deseadas del sistema de control se
especifican en trminos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que
pueden almacenar energa no responden instantneamente y exhiben respuestas
transitorias cada vez que estn sujetos a entradas o perturbaciones. Con
frecuencia, las caractersticas de desempeo de un sistema de control se
especifican en trminos de la respuesta transitoria para una entrada escaln
unitario, dado que sta es fcil de generar y es suficientemente drstica. (Si se
conoce la respuesta a una entrada escaln, es matemticamente posible calcular
la respuesta para cualquier entrada.
La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escaln unitario depende
de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias
de varios sistemas, es una prctica comn usar la condicin inicial estndar de
que el sistema est en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas
con respecto al tiempo son cero. De este modo, las caractersticas de respuesta
se comparan con facilidad. La respuesta transitoria de un sistema de control
prctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el
estado estable. Al especificar las caractersticas de la respuesta transitoria de un
sistema de control para una entrada escaln unitario, es comn especificar losiguiente:
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DINAMICA DE SISTEMAS
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1. Tiempo de retardo, td
2. Tiempo de levantamiento crecimiento, tr
3. Tiempo pico, tp
4. Sobrepaso mximo, Mp
5. Tiempo de asentamiento, ts
Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma grfica en la
figura:
Figura 3. Respuesta Transitoria de un Sistema.
Procedimiento (Descripcin)
Equipo necesario
Laptop o computadora
Material de apoyo
Matlab
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Desarrollo de la prctica
Trabajo analtico.
Obtenga analticamente la constante de tiempo, valor en estado establecimiento,
el tiempo de establecimiento, el error en estado estable para una entrada tipo
paso y realice un bosquejo de la respuesta paso, si R1=R2=1k C=1uF.
Procedimiento:
=
, = 0, =
=
+
Igualando las corrientes:
=
=
+
Por lo tanto la funcin de transferencia es la siguiente:
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
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()()
=
+
Sustituyendo los valores de R1=R2=1ky C=1F:
()()
=1000
1000+
() =1000
(1000+)=
1000
+ 1000=
+
+1000=
1
1
+1000
() =
El modelo simplificado de un sistema mecnico rotacional de una camilla se
representa en la siguiente figura:
Si:
J=3kgm2 (momento inercial)
B=7Nm/rad/seg (coeficiente de friccin viscosa)
w= velocidad angular rad/seg
T= torque Nm
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 9
Nota:Determine la funcin de transferencia del sistema, y bosqueje la grfica de
la velocidad VS tiempo si la entrada del sistema es un escaln unitario.
Procedimiento:
=
+
() = + (
)
= () + ()
La funcin de transferencia queda de la siguiente manera:
()
=1
+
Sustituyendo los valores de J=3kgm^2, b=7nm/rad/seg:
() =1
(3 + 7)=
17
3
7(3 + 7)
() =
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 10
2 + 1
1
+ 1
H
Y(s)X(S)
+
-
Obtenga analticamente la frecuencia natural, factor de amortiguamiento, mximo
sobrepico, tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, error en estado
estable del siguiente sistema (suponga que H=1):
()()
=2
2 + 3 + 3=
2 +1.5+1.5
Igualando los trminos de la ecuacin caracterstica tenemos:
1.5 = 2 1.5 = = 1.5 = 1.2241.5
= 32 2
= 0.6124 = 0.877 = 3.24483 =
4
= 5.3333 = 1 = 0.9682 = 1.0399
Trabajo Prctico.
Utilice MatLab para obtener la salida del sistema ante una entrada paso y una
entrada rampa del inciso a) del trabajo analtico, compare el resultado con el
obtenido analticamente.
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
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Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 11
>> num=1000;
>> den=[1 1000];
>> g=tf(num,den)
g =
1000
--------
s + 1000
Continuous-time transfer function.
>> step(g)
Figura 4. Respuesta escaln del inciso (a).
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
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Ingeniera Mecatrnica 2014 Pgina 12
>> den=[1 1000 0];
>> g=tf (num, den)
g =
1000
------------
S^2 + 1000 s
Continuous-time transfer function.
>> step (g)
Figura 5. Respuesta Rampa del inciso (a).
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
DINAMICA DE SISTEMAS
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A partir del ejercicio del inciso a) genere las familias de curvas para diferentes
valores de amortiguamiento (valores que usted elija), compare el tiempo de
establecimiento, y el error en estado estable.
a) R1=R2=1K Y C=10F
b) R1=1K, R2=2K Y C=10F
c) R1=2K, R2=1K Y C=10F
d) R1=1K, R2=2K Y C=100F
Figura 6. Familia de Curvas de amortiguamiento.
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ANLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
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Obtenga la respuesta a la entrada que se indica a continuacin para el sistema
mecnico rotativo del ejercicio del inciso b).
Figura 7. Respuesta a la entrada.
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Resultados
Conteste claramente las siguientes preguntas (evite ser redundante):
1. Qu sucede si la realimentacin H es igual a dos para el literal anterior?
2. Cul es el error absoluto y el error actuante?
El error actuante es aquel tendra de un sistema de realimentacin unitaria
mientras que el absoluto es aquel que se caracteriza por ser de fcil
aplicacin y por proporcionar un amortiguamiento y una respuesta
aceptables a la salida del lazo de control.
3. Realice una breve descripcin de los conocimientos adquiridos con la
realizacin de esta prctica.
A lo largo de esta prctica se adquirir varios conocimientos nuevos, as como
el anlisis de sistemas en el dominio en el tiempo y como graficar las
respuestas de este sistema usando la herramienta del MATLAB.
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4. Mencione al menos tres comandos que se haya empleado en la realizacin
de la presente prctica.
Algunos de los comandos utilizados en la realizacin de esta prctica fueron
ltiview() que nos permite visualizar las grficas de los sistemas invariantes
en el tiempo, tf([num],[den]) el cual nos regresa la funcin de transferencia
definida por nosotros, y step() la cual nos permite introducir una funcin
escaln al sistema.
Conclusiones
Luego de realizar el modelado de los sistemas fsicos detalladamente de laprctica realizada, se pudo entender que la forma en que estos determinados o
definidos sistemas es cmo se comportan de acuerdo a ciertas condiciones dadas
a las que reaccionan, as como lo son : Tanto la funcin de entrada de tiempo como
las perturbaciones y sobre todo Ios valores de sus elementos Ios cuales se
sustituyen en las ecuaciones las cuales dan el comportamiento de la curva en la
grfica y as observar su comportamiento ya que con ello se efectan anlisis para
la elaboracin de proyectos y en cuanto a estos evitar su mal funcionamiento dando
as un buen rendimiento. Tambin se determin un poco ms sobre el
funcionamiento del amplificador operacional y como es que se comporta de acuerdo
a un grafica en la cual pudimos apreciar sus caractersticas de funcionamiento.
Referencias bibliogrficasAutor(es) Ao de
impresinTtulo del libro Edicin Editorial Lugar de
impresin
gata,Katsuhiko
2003Ingeniera decontrolmoderna
4aPearsonEducacin
Espaa
UmezEronini,Eronini
2001Dinmica desistemas ycontrol
1a Thomson Mxico
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