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INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 1 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Dinámica de sistemas físicos
EJEMPLOS
Problema B-7-1.
En el sistema de la Fig. 7-91 el interruptor se cierra en t=0. Encuentre el voltaje e0(t). Suponga al
capacitor descargado inicialmente.
EdtiC
iRiR2
21
1 .......................................................... (1)
dtiC
iRte2
20
1 .............................................................. (2)
Usando transformada de Laplace:
s
EsI
sCsIRR
2
21
1 .................................................. (3)
sIsC
sIRsE2
20
1 ........................................................ (4)
Despejando I(s) de (4):
sEsC
sCRsI 0
2
22 1
122
20
sCR
sCsEsI
Sustituyendo I(s) en (3):
s
EsE
sCR
sC
sCRR 0
22
2
2
211
1
s
EsE
sCR
sC
sC
sCRR0
22
2
2
221
1
1
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 2 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
s
EsE
sCR
sCRR0
22
221
1
1
1
1
221
220
sCRR
sCR
s
EsE
Descomposición en fracciones parciales:
1
1
1
1
221
21
221
22
sCRR
CR
sE
sCRR
sCR
s
E
Usando transformada inversa de Laplace:
221
2211
21
1
0 1
1
1
CRRs
CRRLCR
sLEte
221
1
21
10 1
11
CRRs
LRR
REte
tCRR
eRR
REte 221
1
21
10 1
Problema B-7-2.
En relación con la Fig. 7-92 la fuente de voltaje E se conecta súbitamente por medio del interruptor S
en el instante t = 0. Suponga al capacitor C descargado inicialmente y que la inductancia L no lleva
corriente inicial. ¿Cuál es la corriente i (t)?
EdtiC
Ridt
diL
1
s
EsI
CssRIsLsI )(
1)()(
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 3 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
s
EsI
CssRCsIsILCs )(
1)()(2
s
EsI
CsRCsLCs )(
12
tLC
CR
CR
LC
L
Eti
LC
CR
LC
CRL
Eti
LC
CRs
LC
CR
L
LC
CRL
E
LC
CRs
LC
CR
L
Rs
LL
E
LC
CR
L
Rs
LCL
Rss
LCL
Rss
LEsI
RCsLCs
CEsI
CEsIRCsLCs
L
Rs
*4
*2
1cos
4*
2
4
2
1cos*
4
4
1*
4
4
4
4
4
4
1*
4
4
1
4
4
2
1
4
4
2
1
1
/
1
)(1
2
2
2
2
22
2
1
2
2
22
22
1
22
2
2
2
2
tLC
CR
CR
LC
L
E
LC
CR
LC
CRL
Eti
LC
CRs
LC
CR
L
LC
CRL
E
LC
CRs
LC
CR
L
Rs
LL
E
LC
CR
L
Rs
LCL
Rss
LCL
Rss
LEsI
RCsLCs
CEsI
CEsIRCsLCs
L
Rs
*4
*2
1cos
4
24
2
1cos
4
4
1
4
4
4
4
*
4
4
1*
4
4
1
4
4
2
1
4
4
2
1
1
/
1
)(1
2
2
2
2
22
2
1
2
2
22
22
1
22
2
2
2
2
Problema B-7-3.
La masa m (m = 1 kg) esta vibrando inicialmente en el sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-93. En
t=0 golpeamos la masa con una fuerza impulsiva p(t) cuya magnitud es de 10 N. Suponiendo que la
constante del resorte k es de 100 N/m y que x(0-) = 0.1 m y x´(0-) = 1 m/s, x(t) se mide desde
la posición de equilibrio en ausencia de la fuerza de excitación.
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 4 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
tpkxxm
Sustituyendo valores:
txx 10100
10100002 sXxsxsXs
1010011.02 sXssXs
1101.01002 sssX
111.01002 sssX
100
11
100
1.022 ss
ssX
100
111
1001.0
22 sL
s
sLtx
100
10
10
11
1001.0
22 sL
s
sLtx
tttx 10sin10
1110cos
10
1
Problema B-7-4.
Una vibración libre del sistema mecánico de la Fig 7-94(a) indica que la amplitud de la vibración
decrece a 25% de su valor en t=t0 después de cuatro ciclos consecutivos de movimiento, como se
muestra en la Fig 7-94(b). Determine el coeficiente de fricción viscosa b del sistema si m = 1 kg y k
=500 N/m.
mx”+ kx + bx’=0
S2+bS+500=0
S(S+b)=-500
b=-(500/S)-S
b=-[(500/S)+S
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 5 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Problema B-7-5.
Una masa de 20 k esta soportada por un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-
95(a). Cuando se agrega una masa de 2 kg a los 10 kg masa, el sistema vibra como se encuentra en
la Fig. 7-95(b). Determine la constante del resorte k y el coeficiente de fricción viscosa b. [Note que
(0.02/0.08) x 100 = 25% de la diferencia máxima que corresponde a ς = 0.4]
'' ' ( )
20 2
( ) 2*9.8 19.6
( )'' '
mx x kx f x
m
f x
k f xx x x
m m m
La solución particular es:
2
'' ' 0.89
( )
'( ) 0
19.60.89
22
19.60.08 245
3.337
2 2(0.4)(3.337)22
58.73
p
p
n n
n
kx x x
m m
x t A
x t
kA A
K
kk
k
m
m
2 0.89( )*( 2.67 11.13)X s s s
s
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 6 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
2
2 2
1.335 1.335
0.89( )
*( 2.67 11.13)
0.08 0.08* 0.2143( )
2.67 11.13 2.67 11.13
( ) 0.08 0.08*cos(3.05 )* 0.070* (3.05 )*t t
X ss s s
sX s
s s s s s
x t t e sen t e
Problema B-7-6.
Considere el sistema mecánico mostrado en la figura siguiente. El péndulo m2 está soportado por la
masa m1, la cual vibra a causa de una conexión elástica. Obtenga las ecuaciones de movimiento del
sistema.
Solución:
fk= kx
fm1=mx”
fm2=lθ”+ g sen θ
kx + mx”+ lθ”+ g senθ + kx =O
mx”+ lθ”+ g sen θ + 2 kx =O
Problema B-7-7.
El sistema de la siguiente figura está inicialmente en reposo. En t=0 una masa m se pone en
movimiento por una fuerza impulsiva cuya magnitud es la unidad. ¿Puede la masa detenerse por otra
fuerza impulsiva semejante?
fk= kx
fm1=mx”
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 7 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
δ(t)=1
mx” + kx = δ(t)
x”+(k/m)x=1/m
£{x”}+(k/m)£{x}=1/m
s2X(s)+(K/M)X(s)= 1/M
X(s) [s2+(K/M)]=1/M
M
Ks
MsX2
1
)(
)180(
detenga se sistema el que hace 180 desplazada pero amplitud misma lacon fuerza una Si
impulso elpor porvocada permanente fuerza la atenue queor amortiguad
existe no pues detenga los fuerza una que hasta vibrasistema El 1
)(
1
1)(
1)( 1)()(
)(''
2
donde
2
22
tksen
tksenk
tx
ks
k
kkk
kssx
kssxsxksxs
txkxm
ktsenk
tx1
)(
El sistema lleva un movimiento vibratorio hasta que una fuerza externa actúa en el sistema para
detenerlo, puesto que la fuerza del amortiguador no existe.
Problema B-7-8.
La siguiente figura muestra un sistema que consiste en una masa y un amortiguador. El sistema está
inicialmente en reposo. Cuando se pone en movimiento mediante una fuerza impulsiva cuya magnitud
es la unidad, encuentre la respuesta x(t). Determine la velocidad inicial de la masa m
fb=bx’
fm=mx”
δ(t)=1
mx”+ bx’= δ(t)
x”+(b/m)x’=1/m
£{x”}+(b/m)£{x’}=1/m
Problema B-7-9.
Encuentre las funciones de transferencia X0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los sistemas mecánicos y el
eléctrico mostrados en la figura siguiente respectivamente.
a) b)
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 8 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
oooioi xkxbxxkxxb 2211
sXksXsbsXksXksXsbsXsb oooioi 221111
221111 ksbksbsXksbsX oi
2211
11
ksbksb
ksb
sX
sX
i
o
2121
11
kksbb
ksb
sX
sX
i
o
Sistema eléctrico análogo
sIsC
RsC
REi
1
1
2
2
11
sIsC
REo
1
1
1
111 11
1
1
11
1
1
sCR
sCE
sC
sCR
E
sCR
EsI o
oo
sCR
sCR
sCR
sCEE oi
1
1
2
2
11
1 11
1
sCC
CsCCRCsCCR
sCR
sCEE oi
21
22111212
11
1
1
oooioi xkxbxkxkxbxb 221111
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 9 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
211
22111212
1 CsCR
CsCCRCsCCREE oi
212121
2211
CCsRRCC
CsCCR
E
E
i
o
Problema B-7-10.
Obtenga las funciones de transferencia X0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los siguientes sistemas y muestre
que son análogos
a) b)
b1 (x’i – x’o) + k1 (xi – xo) = b2 x’o
b1 x’i – b1 x’o + k1xi – k1xo = b2 x’o
sb1 Xi(s) – sB1 Xo(s) + k1Xi (s) – k1Xo(s) = sB2 Xo(s)
sb1 Xi(s) + K1Xi (s) = sb1 Xo(s) + k1Xo(s) + sB2 Xo(s)
Xi(s) [sb1 + k1] = Xo(s) [sb1 + k1 + sb2]
121
11
)(
)(
ksbb
ksb
sX
sX
i
o
Circuito eléctrico análogo:
sEsI
sCR
sCR
R i)(1
1
1
1
1
1
2
)()(1
1
1
1
1
1
sEsI
sCR
sCR
o
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 10 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
)()(1
1
11
1
1
sEsI
sC
sCR
sC
R
o
1
)()(
1
11
1
1
11
1
1
sCR
R
sEsI
sC
sCR
sC
R
o
1
11 1)()(
R
sCRsEsI o
)()(1
1 1
11
11
12 sEsE
R
sCR
sCR
RR io
)()(1
1
)1(
1
11
11
1112 sEsER
sCR
sCR
RsCRRio
)()()1(
1
1112 sEsER
RsCRRio
21121
1
)(
)(
RRsCRR
R
sE
sE
i
o
Problema B-7-11.
Después de encontrar la función de transferencia Xo(s)/X1(s) del sistema mecánico mostrado en la
Fig. 7-101, obtenga un sistema eléctrico análogo
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 11 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
oooioi xkxbxxkxxb 2211
sXkssXbsXksXkssXbssXb oooioi 221111
sXkssXbsXkssXbsXkssXb ooooii 112211
212111 kksbbsXksbsX oi
2121
11
kksbb
ksb
sX
sX
i
o
Sistema eléctrico análogo
sIsC
RsC
RsEi
2
2
1
1
11
sIsC
REo
2
2
1
111 22
2
2
22
2
2
sCR
sCE
sC
sCR
E
sCR
EsI o
oo
sCR
sCR
sCR
sCEE oi
2
2
1
1
22
2 11
1
sCC
CsCCRCsCCR
sCR
sCEE oi
21
12122211
22
2
1
122
12122211
1 CsCR
CsCCRCsCCREE oi
212121
1212
CCsRRCC
CsCCR
E
E
i
o
Problema B-7-12.
Encuentre la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema eléctrico mostrado en la Fig 7-102.
Además, encuentre un sistema mecánico análogo
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 12 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Problema B-7-13.
Obtenga tanto la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-103,
como también un sistema eléctrico análogo.
oooi xkxbxxb 221
oooi XksXbsXbsXb 2211
iooo sXbsXbXksXb 1122
io sXbksbsbX 1221
221
1
ksbb
sb
X
X
i
o
Sistema eléctrico análogo:
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 13 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
sIRsC
REi 1
2
2
1
sIREo 1
1R
EsI o
1
1
2
2
1
R
ER
sCRE o
i
sCR
sCRsCREE oi
21
2122 1
sCRsCR
sCR
E
E
i
o
2122
21
1
1221
21
sCRR
sCR
E
E
i
o
Problema B-7-14.
En el sistema térmico mostrado en la Fig 7-104(a) se supone que el tanque esta aislado para evitar
perdidas de calor hacia el aire del medio ambiente, que no hay almacenamiento de calor en el
aislamiento y que el liquido en el tanque esta perfectamente mezclado de modo que se le done a una
temperatura uniforme. Así que puede usarse una sola temperatura para denotar la temperatura del
líquido en el tanque y la del liquido que sale. Posteriormente se supone que la rabón del flujo de
liquido hacia el tanque y saliendo del tanque es constante e igual a o iK. Para t<0 el sistema se
encuentra en estado permanente y el calentador suministra calor a razón de H J/s. En t=0 la razón de
entrada de calor se cambia de H a H +h J/s. Este cambio causa que la temperatura del liquido que
sale cambie de Oo aOo + teta k. Suponga que el cambio en temperatura teta k es la salida y que el
cambio en la entrada de calor h J/s, es la entrada al sistema . Determine la función de transferencia
térmico es análogo al sistema eléctrico mostrado en la figura 7-104b, donde el voltaje e0 es la salida y
la corriente i es la entrada.
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 14 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Problema B-7-15.
Una piedra con masa de 0.1 kg esta unida al extremo de una cuerda de 1m y gira a una velocidad
angular de 1 Hz. Encuentre la tensión en la cuerda. Si la máxima tensión que la cuerda permite es de
40N, ¿Cuál es la velocidad angular máxima en hz que puede obtenerse sin romper la cuerda?
1 2 mHzs
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 15 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
2
22
*
(0.1)*(2 )4 3.947
1
40
* 40*120 /
0.1
203.1831
2
m vT
r
T N
T
T rv m s
m
v Hz
Problema B-7-16.
En el regulador de velocidad de la fig. 7-105, ¿Cuál es la frecuencia w necesaria para mantener la
configuración mostrada en el diagrama?
Problema B-7-17.
El sistema masa resorte mostrado en la Fig. 7-106 esta inicialmente en reposo. Si se excita la masa
mediante una fuerza senoidal p(t) =P sen wt, ¿Cuál es la respuesta x(t)? suponga que m= 1
kg, K =100 N/m, P =5N, y w = 2 rad/s
tpkxxm
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 16 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Sustituyendo valores:
txx 2sin5100
4
25100
2
2
ssXsXs
4
10100
2
2
ssXs
1004
1022 ss
sX
100
485
4
485
1004
102222 ssss
100
1
48
5
4
1
48
52
1
2
1
sL
sLtx
100
10
10
1
48
5
4
2
2
1
48
52
1
2
1
sL
sLtx
tttx 10sin96
12sin
96
5
Problema B-7-18.
Una máquina rotatoria de masa Ma=.0 kg a una distancia r = 0.5m del centro de rotación. (La masa M
incluye a la masa m)). La velocidad de operación es de 10hz. Suponga que la maquina esta montada
sobre un aislador que consta de de un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-107.
Si se desea tener a símbolo raro =0.2, especifique la constante del resorte k tal que solamente 10%
de la fuerza de excitación se transmita a la cimentación. Determine la amplitud de la fuerza
transmitida.
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 17 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Problema B-7-19.
En la Fig 7-108 un instrumento esta sujeto a una base cuyo movimiento se va a medir. El movimiento
relativo entre la masa m y la base, registrado en un tamborrotatotio indicara el movimiento de la base
z=x y es el movimiento de la pluma relavio a la base. Si el movimiento de la base es y =Y sea wt
¿Cuál relación de amplitudes de z con respecto a y en estado estable? Muestre que si w >>wn, este
puede usarse para medir la aceleración de la base.
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 18 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Problema B-7-20.
La figura 7-109 muestra una maquina m montada sobre un aislador en el cual el resorte k1 es el
resorte que soporta a la cara y el amortiguador viscoso b2 esta en serie con el resorte k2. Determine
la transmisibilidad de la fuerza cuando la masa m este sometida a una fuerza de excitación p(t)=P sen
wt. Determine también la amplitud de la fuerza transmitida a la cimentación.
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 19 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Problema B-7-21.
Una máquina m esta montada sobre un aislador en la Fig. 7-110. Si la cimentación está vibrando de
acuerdo con y = Y sen ωt, donde y es el desplazamiento de la cimentación, encuentre la amplitud de
vibración de la maquina. Determine la transmisibilidad del movimiento.
0yxkkyxbxm
ykykybxkxkxbxm
kkbssYkkbsmssX 2
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 20 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
kkbsms
kkbs
sY
sX2
22
22
ωmkkωb
kkωb
ωjY
ωjXTR
kkq
2
nm
q
nζωm
b2
22222
222
2 ωmωmqqωb
qωbTR
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2ωm
m
ωq
m
q
m
ωb
m
q
m
ωb
TR
22422
422
22
2
ωmωωωωζω
ωωζωT
nnn
nn
R
si
n
2
2
2
22
22
414
14
nn
R
ω
βm
ω
ωζββζ
βζT
Problema B-7-22.
La figura 7-111 muestra una máquina con un absorbedor de vibración dinámica. La frecuencia natural
no amortiguada del sistema en ausencia del absorbedor de vibración dinámica es mkω n .
Suponga que la frecuencia de operación está próxima a nω . Si el absorbedor de vibración
dinámica se sintoniza de modo que ωmk aa
, ¿Cuál es la amplitud de la masa am del
absorbedor de vibración?
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 21 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
0
sin)(
xykym
tωPtpyxkkxxbxm
aa
a
02
2
sXksYksm
sPsYksXkkbsms
aaa
aa
sPsXksm
kkkbsms
aa
a
a 2
2
2
222
2
)(
)(
aaaa
aa
kksmkkbsms
ksm
sP
sX
222
2
)(
)(
aaaa
aa
kkωmkkωm
kωm
ωjP
ωjX
Fuerza transmitida a la cimentación:
kxxbkxtf )(
La amplitud de esa fuerza transmitida es ωjXk , donde ωjX está dada, rωmPωjP 2
ωjPkωmkωmkk
ωmkωjX
aaaa
aa
222
2
INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ
SIS 3308 “A” - 22 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE
Si am y ak están dadas de modo que 02ωmk aa o 2/ ωmk aa , entonces 0ωjX y la
fuerza transmitida a la cimentación es cero. De modo que si la frecuencia natural ωmk aa
, es
posible eliminar la fuerza transmitida a la cimentación.
222
aaaa
a
kkωmkkωm
k
ωjP
ωjY
Si am y ak se escogen de modo 2ωmk aa
tωsenk
Ptωsen
k
P
ktωsenP
kωjP
ωjY
aaaa
18011
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