DINAMI ČKA - fsb.unizg.hr · PDF fileSVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet strojarstva i brodogradnje Studij zrakoplovtva DINAMIČKA ČVRSTOĆA TANKOSTJENIH KONSTRUKCIJA SKRIPTA Verzija:

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet strojarstva i brodogradnje Studij zrakoplovtva

DINAMIČKA ČVRSTOĆA TANKOSTJENIH KONSTRUKCIJA

SKRIPTA Verzija: 1.0 Datum: 09.08.2010.

prof.dr.sc. Željko Božić

SADRŽAJ 1 UVOD ........................................................................................................................................................... 4

1.1 OPĆENITA RAZMATRANJA I KRATKI POVIJESNI PREGLED PODRUČJA ..................................................... 4 1.2 TRENUTNO STANJE RAZVOJA I PRIMJENE MEHANIKE LOMA................................................................... 4 1.3 TRENUTNO STANJE PRIMJENE NA ZRAKOPLOVNE KONSTRUKCIJE ......................................................... 5 1.4 POSLJEDICE LOMA KOD ZRAKOPLOVNIH KONSTRUKCIJA ...................................................................... 5 1.5 POSLJEDICE LOMA KOD BRODSKIH KONSTRUKCIJA ............................................................................. 11 1.6 POSLJEDICE LOMA KOD OPĆIH STROJARSKIH KONSTRUKCIJA.............................................................. 12 1.7 KONTROLA LOMA ............................................................................................................................... 17 1.8 DVA CILJA ANALIZE DOPUŠTENOG OŠTEĆENJA ................................................................................... 18 1.9 NAPREDOVANJE PUKOTINE I LOM ....................................................................................................... 20 1.10 DOPUŠTENO OŠTEĆENJE I MEHANIKA LOMA........................................................................................ 22

2 EFEKTI ZAREZA I PUKOTINA: KOLAPS......................................................................................... 24 2.1 PREGLED............................................................................................................................................. 24 2.2 POREMEĆAJ LINIJA TOKA OPTEREĆENJA ............................................................................................. 24 2.3 FAKTOR KONCENTRACIJE NAPREZANJA .............................................................................................. 26 2.4 STANJE NAPREZANJA NA MJESTU KONCENTRACIJE NAPREZANJA ........................................................ 27 2.5 POPUŠTANJE KOD VRHA ZAREZA......................................................................................................... 30 2.6 PLASTIČNI KOLAPS NA VRHU ZAREZA ................................................................................................. 32 2.7 LOM NA ZAREZU: KRHKO PONAŠANJE ................................................................................................. 35

3 LINEARNO ELASTIČNA MEHANIKA LOMA .................................................................................. 37 3.1 NAPREZANJE PRI VRHU PUKOTINE ...................................................................................................... 37 3.2 OPĆI IZRAZ ZA FAKTOR INTENZITETA NAPREZANJA ............................................................................ 38 3.3 LOMNA ŽILAVOST............................................................................................................................... 40 3.4 PLASTIČNA ZONA I RAVNINSKO STANJE NAPREZANJA I DEFORMACIJE ................................................ 40 3.5 OVISNOST LOMNE ŽILAVOSTI O DEBLJINI............................................................................................ 42 3.6 ENERGETSKI KRITERIJ......................................................................................................................... 43 3.7 PROMJENA ENERGIJE DEFORMIRANJA ................................................................................................. 45 3.8 ZNAČENJE ENERGETSKOG KRITERIJA LOMA........................................................................................ 46 3.9 PORAST OTPORNOSTI LOMU: REDEFINICIJA ŽILAVOSTI........................................................................ 46

4 ELASTO-PLASTIČNA MEHANIKA LOMA ....................................................................................... 51 4.1 ENERGIJSKI KRITERIJ PLASTIČNOG LOMA............................................................................................ 51 4.2 KRITERIJ LOMA................................................................................................................................... 52 4.3 PORAST ENERGIJE LOMA ..................................................................................................................... 52 4.4 PARAMETRI KRIVULJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA ............................................................................ 53 4.5 H-FUNKCIJE ........................................................................................................................................ 56 4.6 TOČNOST ............................................................................................................................................ 56 4.7 OGRANIČENJA EPFM MODELA ........................................................................................................... 57

5 KONCEPTI ANALIZE RASTA PUKOTINE........................................................................................ 58 5.1 TEMELJNI KONCEPT RASTA PUKOTINE USLIJED ZAMORA MATERIJALA................................................ 58 5.2 UTVRĐIVANJE FUNKCIJE BRZINE RASTA (NAPREDOVANJA) PUKOTINE ................................................ 60 5.3 JEDNADŽBE BRZINE RASTA PUKOTINE................................................................................................. 62 5.4 PRIMJER ANALIZE ŽIVOTNOG VIJEKA UZORAKA PLOČE ....................................................................... 68

6 LITERATURA .......................................................................................................................................... 72

POPIS OZNAKA a, m - polovična duljina pukotine; ∆a, m - prirast duljine pukotine; B, m - debljina uzorka ili modela ploče; Cp, mp - - Parisove konstante; da/dN m/ciklus - brzina rasta pukotine; E, MPa - Youngov modul elastičnosti; G, MPa - modul smicanja; K, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja; KI, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja za prvi način otvaranja pukotine; KII, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja za drugi način otvaranja pukotine; KIII, MPa - faktor intenzivnosti naprezanja za treći način otvaranja pukotine; Kopen MPa - faktor intenzivnosti naprezanja pri kojem se otvara pukotina; ∆K, MPa - raspon faktora intenzivnosti naprezanja; ∆Keff, MPa - efektivni faktor intenzivnosti naprezanja; N, - - broj ciklusa; ∆N, - - prirast broja ciklusa; r, θ - - koordinate u cilindričnom koordinatnom sustavu; R - - omjer opterećenja; u, v, w, - - pomaci u x, y i z smjeru u pravokutnom koordinatnom sustavu; x, y, z, - - koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu; β, - - faktor geometrijske korekcije kod faktora intenzivnosti naprezanja; Ф, ° - kut zakreta fronte pukotine; κ - - konverzijski faktor između ravninskog stanja deformacija i ravninskog stanja naprezanja; ν, - - Poissonov koeficijent; σ, MPa - nominalno naprezanje; σmax, MPa - maksimalno naprezanje; σmin, MPa - minimalno naprezanje; σopen, MPa - naprezanje uslijed kojeg dolazi do otvaranja pukotine; ∆σ, MPa - raspon naprezanja;

Fakultet Strojarstva i brodogradnje Dinamička čvrstoća tankostjenih konstrukcija Studij zrakoplovstva prof.dr.sc. Željko Božić

- 4 -

1 UVOD

1.1 Općenita razmatranja i kratki povijesni pregled područja

Postojanje pukotina u tehničkim konstrukcijama ne može se nikako onemogućiti. Istovremeno, sve veći zahtjevi za smanjenjem potrošnje materijala i energije diktiraju projektiranje konstrukcija sa sve manjim rezervama sigurnosti. Posljedično, točnije kvantitativne procjene tolerancije konstrukcije prema greškama sve više postaju dio procesa prevencije pojave loma kod raznih vrsta nosivih komponenti konstrukcija. Racionalne procedure projektiranja kojima se izbjegavaju velike koncentracije naprezanja, kao i neposredni popravak ili zamjena komponenti u kojima su se pojavile pukotine, do sada su bile razmjerno efikasne u prevenciji katastrofalnih oštećenja. Međutim, pojavila su se dva čimbenika koji u današnje vrijeme sprečavaju primjenu ove tradicionalne strategije. Kao prvo, poboljšane procedure nerazornog ispitivanja omogućuju otkrivanje grešaka koje bi ranije ostale neprimjećene. Kao drugo, prisutnost pukotina nužno ne znači da je komponenta konstrukcije na ili pri kraju korisnog radnog vijeka. Cijena popravka ili zamjene komponente s greškom stoga se može balansirati s vjerojatnošću da će nastavak korištenja komponente dovesti do oštećenja. Novi koncept, nazvan dopušteno oštećenje, razvijen je da bi omogućio kvantitativno vodstvo u tom smislu, a u velikoj mjeri se zasniva na principima mehanike loma. Strah od pojave loma postoji od davnina. Da Vinci je tokom petnaestog stoljeća izvodio eksperimente s ciljem određivanja čvrstoće čeličnih žica, pri čemu je primijetio inverzni odnos između duljine žice i prekidnog opterećenja žice konstantnog promjera. Iako bi ovakvo zapažanje moglo implicirati ovisnost čvrstoće o duljini žice, pri tome se treba pretpostaviti da je prisutnost pukotina zapravo određivala naprezanje pri lomu. Što je veći volumen ispitivanog materijala, veća je i vjerojatnost postojanja velikih pukotina u njemu, što je zapravo vrlo moguće ukoliko se uzme u obzir ondašnja kvaliteta proizvedene žice. Teorije loma utemeljene na rastu pukotine zahtijevaju matematičke koncepte naprezanja i deformacije koji nisu postojali do pojave Cauchya i ostalih velikih francuskih matematičara i inženjera devetnaestog stoljeća. A. A. Grifith bio je prvi koji je kvantitativno povezao čvrstoću s duljinom pukotine, iako će se mnogi složiti da je mehanika loma postala tehnička disciplina kao rezultat fundamentalnih kontribucija Georgea Irwina u godinama nakon drugog svjetskog rata. S obzirom da su istraživanja koja su uslijedila kao direktna posljedica Irwinova rada gotovo u potpunosti bila fokusirana na linearno elastičnu mehaniku loma, čini se da postoji još jedna točka demarkacije u povijesti mehanike loma. Ova točka koincidira s pojavom osnovnih ideja neophodnih za tretiranje nelinearnih problema. 1968. godine J. R. Rice prezentira J-integral, a J. W. Hutchinson pokazuje kako se takav koncept može iskoristiti za izbjegavanje potrebe za direktnim opisom diskretnih i nelinearnih pojava pri propagiranju pukotine. Metodologija za tretman nelinearnih i dinamičkih problema koja se razvila nakon linearno elastične mehanike loma često se naziva i napredna mehanika loma.

1.2 Trenutno stanje razvoja i primjene mehanike loma

Mehanika loma je tehnička disciplina koja se podjednako zasniva na disciplinama primijenjene mehanike i znanosti o materijalima. U svojem najosnovnijem obliku mehaniku loma može se primijeniti za uspostavljanje odnosa između najvećeg dopuštenog opterećenja komponente konstrukcije i lokacije i veličine pukotine (stvarne ili hipotetske) unutar te komponente. Isto tako može ju se koristiti za predikciju brzine kojom će pukotina doseći


- 5 -

kritičnu veličinu uslijed zamora ili utjecaja okoliša te za određivanje uvjeta pri kojima će brzo propagirajuća pukotina biti zaustavljena. Trenutne procedure procjene dopuštenog oštećenja mogu iskoristiti te sposobnosti za materijale koji se inače ponašaju linearno elastično. U slučajevima gdje se ekstenzivna elasto-plastična ili vremenski ovisna deformacija može pojaviti prije loma, primjena linearno elastične mehanike loma je općenito neadekvatna. U današnje vrijeme postaju dostupne procedure kojima se mogu tretirati takvi problemi, kao i još kompliciraniji problemi pucanja zavara heterogenih materijala (kompoziti), adheziva i drugih visko-elastičnih materijala unutar kojih su prisutna znatna zaostala naprezanja.

1.3 Trenutno stanje primjene na zrakoplovne konstrukcije

U zadnjih dvadesetak godina, potaknuti problemima narušenog strukturnog integriteta zrakoplovnih konstrukcija koje se nalaze u eskploataciji duže vrijeme, a naročito onih koje su doživjele veliki broj radnih ciklusa u smislu velikog broja polijetanja i slijetanja zrakoplova sustavno se posvećuje pažnja problemu zamora zrakoplovnih konstrukcija. Ovdje poseban problem predstavlja životni vijek orebrenih panela koji su kao takvi postali predmetom brojnih eksperimentalnih i numeričkih istraživanja. U zrakoplovnim konstrukcijama orebreni paneli su sastavni dijelovi oplate trupa i krila. Ploče oplate obično se povezuju zakovičastim spojem izvedenim u nekoliko linija zakovica. Do sad su provedena brojna eksperimentalna i numerička istraživanja strukturnog integriteta zakovičastih spojeva panela koja su rezultirala povećanjem životnog vijeka orebrenih panela zrakoplovnih konstrukcija, [8, 9, 10]. Niz faktora utječe na ukupni životni vijek orebrenog panela izloženog cikličnom opterećenju. Jedan od tih faktora je svakako i naprezanje uslijed komponente savijanja superponirano na membransko naprezanje [11]. Istraživanje je pokazalo da je relativno napredovanje pukotina (engl. crack growth rate) znatno veće kod orebrenih panela s naglašenom komponentom savijanja u usporedbi s orebrenim panelima gdje je sekundarno savijanje manje. Životni vijek orebrenih panela krila zrakoplova izvedenih u integralnom obliku iz jednog dijela ili zavarivanjem, istražen je u [15], gdje je inicijalna pukotina bila u sredini panela ili na mjestu zavara. Životni vijek orebrenog panela s pukotinama na mjestu ukrepe, pri čemu je na mjestu pukotine cijelo rebro prekinuto, istraživano je do sad eksperimentalno i numerički primjenom metode konačnih elemenata gdje su korišteni elementi ljuske, [24, 25]. Pokazano je da vlačna komponenta naprezanja uslijed savijanja može znatno ubrzati napredovanje pukotine. U ovom je radu za eksperimentalni uzorak istražen u [24], primjenom metode konačnih elemenata [16], i linearno-elastične mehanike loma [23], utvrđen utjecaj promijene vrijednosti faktora intenzivnosti naprezanja po fronti pukotine na životni vijek orebrenog panela. Simulirani životni vijek uspoređen je s eksperimentalnim rezultatima

1.4 Posljedice loma kod zrakoplovnih konstrukcija

U orebrenim panelima zrakoplovnih konstrukcija mogu se pojaviti pukotinska oštećenja. Ta se oštećenja javljaju uslijed cikličkih radnih opterećenja. U zrakoplovnim konstrukcijama osnovno cikličko opterećenje predstavlja presurizacija putničke kabine. U eksperimentima i simulacijama je pokazano da se osim membranskog naprezanja u orebrenim panelima može pojaviti i dodatna komponenta naprezanja uslijed savijanja. Komponenta savijanja na strani ploče na kojoj ima pozitivan iznos dodatno povećava vrijednost faktora intenzivnosti naprezanja, čiji rast povećava relativno napredovanje pukotine i time smanjuje životni vijek panela, odnosno zrakoplovne konstrukcije. Katastrofalne havarije zrakoplovnih konstrukcija uzrokovane oštećenjima uslijed zamora utjecale su na razvoj praktičnog znanja o


- 6 -

prevenciji sličnih kasnijih nesreća. U 20. stoljeću zabilježeno je nekoliko katastrofalnih havarija zrakoplovnih konstrukcija kao posljedica zamora orebrenih panela. Zrakoplov De Havilland Comet, koji je ušao u službu 1952. godine, bio je prvi putnički mlažnjak, Slika 1.1. S kabinom pod tlakom i nečujan u letu, Comet je skratio putovanje iz New Yorka u London za 4 sata.

Slika 1.1 Zrakoplov De Havilland DH-106 Comet.

U siječnju 1954. godine, Comet G-ALYP, i travnju te iste godine, Comet G-ALYY, su se raspali u zraku i uzeli mnoge živote. Ispitivanja i studije ostataka konstrukcije prvog srušenog zrakoplova, Slika 1.2, pokazale su da se pukotina razvila uslijed zamora metala u blizini ADF prozora smještenog na prednjem dijelu stropa kabine, Slika 1.3 i Slika 1.4. Ta se pukotina s vremenom proširila na prozor i razvila u pukotinu velike dužine koja je uzrokovala lokalni kolaps konstrukcije i havariju.

Slika 1.2 Rekonstrukcija trupa i repnog dijela olupine Cometa G-ALYP.

Slika 1.3 Zrakoplov Comet.


- 7 -

Slika 1.4 a) Pukotina na Cometu G-ALPY; b) detaljan prikaz ishodišta pukotine na Cometu G-ALYP.

Radi utvrđivanja uzroka havarija Cometa G-ALYP i G-ALYY izvršena su opsežna ispitivanja, uključujući cjelokupnu ponavljanu presurizaciju na zrakoplovu Comet G-ALYU koji je prizemljen. Ispitivanja su se odvijala pod vodom, kako bi se umanjila šteta nastala raspadom konstrukcije, Slika 1.5. Zrakoplov je prije ispitivanja imao 1231 ciklus presurizacije. Nakon 1825 ciklusa ispitne presurizacije došlo je do kolapsa konstrukcije. Ispitivanja su pokazala da su pukotine nastale na uglovima prozora i izlaza za evakuaciju te se onda širile gotovo aksijalno po trupu, Slika 1.6 i Slika 1.7.


- 8 -

Slika 1.5 Comet G-ALYU u ispitnom bazenu.

Slika 1.6 Kolaps trupa na ispitivanom modelu Comet G-ALYU.

Slika 1.7 Vjerojatni uzrok kolapsa trupa Cometa G-ALYU; Raspodjela naprezanja izračunata tijekom popravaka.


- 9 -

Mnogo toga je naučeno iz istraga nakon ovih nesreća te je Comet redizajniran u robusniju konstrukciju, . Ipak, u četiri godine koliko je trebalo da Comet ponovno dobije dozvolu za let, Boeing je izdao svoju 707 seriju zrakoplova koja je preuzela primat kod putničkih mlažnjaka.

Slika 1.8 Napredak u dizajnu konstrukcije prozora zrakoplova Comet.

Nesreća Boeinga 737 zrakoplovnog prijevoznika Aloha također je privukla mnogo pažnje. Na visini od 7300 metara zrakoplov je izgubio velik dio oplate trupa, Slika 1.9. Iako s velikim oštećenjem zrakoplov je nastavio let prema zračnoj luci.

Slika 1.9 Oštećenje na Aloha Airlines 737 zrakoplovu.

Istraga je pokazala da je gubitak trupa prouzročen spajanjem pukotina u nizu u veoma kratkom vremenu. Ovakav tip zamora se naziva višestruka pukotinska oštećenja, Slika 1.10, pri čemu su pukotine nastale na oštrim rubovima provrta za zakovice, Slika 1.11.


- 10 -

Slika 1.10 Višestruka pukotinska oštećenja.

Slika 1.11 Skica zakovice i pripadajuće zamorne pukotine kod Aloha 737 zrakoplova.

Zrakoplov je bio 19 godina star i imao je 35 496 sati naleta i 89 680 slijetanja i često je letio na kratkim rutama. Okolina u kojoj se nalazio bila je topla, zrak je često bio morski, vlažan i sa česticama soli pa je došlo do pojave korozije u spojevima zakovica popraćene odvajanjem udvostručivača (eng. doubler). U kolovozu 1985. Japan Airlines Boeing 747SR bio je na letu od Tokyja do Osake. Pri penjanju na visinu od 24 000 ft popustila je stražnja tlačna pregrada uslijed čega je došlo do eksplozivne dekompresije koja je uzrokovala gubitak hidraulike pa je zrakoplov postao neupravljiv. Za 30 minuta zrakoplov se srušio u planine. To je tada bila najveća zrakoplovna nesreća, poginulo je 524 putnika, a samo ih je 4 preživjelo. Taj je zrakoplov bio oštećen u lipnju 1978. kada je repnim dijelom udario u pistu uslijed čega se oštetio donji dio stražnje tlačne pregrade. Pregrada je bila od tankih ploča aluminijske legure i polusfernog oblika. Ploče su se povezivale zakovicama, a između njih je bio udvostručivač radi veće čvrstoće spoja. Pri popravaku oštećenja iz 1978. novi donji dio pregrade bio je zakovan na gornju


- 11 -

polovicu. Međutim, dvije polovice nisu bile dobro međusobno spojene. Na gornjoj polovici ploče bio je bio je udvostručivač i ukrepa na unutarnjoj strani pregrade, Slika 1.12. Na donjoj polovici spoja postojao je udvostručivač, no koji je bio odvojen od gornjeg udvostručivača pa je postojao procijep između dva dijela udvostručivač te je samo ploča prihvaćala opterećenja. Nadalje, centar poprečnog presjeka koji je prenosio opterećenje je bio pomaknut prema unutarnjoj strani pregrade. Stoga se opterećenje ploče koja je premošćivala procijep nije sastojalo samo od vlačnog naprezanja, već i od savijanja. Svaki put kad bi kabina bila stlačena došlo bi do porasta naprezanja u ploči koja premošćuje procijep. Kao posljedica povećanja tog naprezanja, pojavile su se zamorne pukotine na provrtima zakovica na donjem dijelu pregrade ispod procijepa. Te su se zamorne pukotine naposljetku povezale u dugačku pukotinu koja je na kraju dovela do eksplozivne dekompresije.

Slika 1.12 Stražnja tlačna pregrada na JAL 747 SR zrakoplovu.

Može se zaključiti da se mnogo nesreća dogodilo zbog propusta u projektiranju konstrukcije i odabiru materijala s relativno slabim otporom na zamor. S druge strane, neke su se nesreće mogle izbjeći da su se testovi simulacije leta proveli s realnijim opterećenjima. Bez sumnje, mnogo se može naučiti iz istraživanja nesreća, ali to je svakako teži način učenja.

1.5 Posljedice loma kod brodskih konstrukcija

Povijesno gledano, problem krtog loma u brodskim konstrukcijama pojavljuje se od katastrofalnih oštećenja, Slika 1.13, konstrukcije Liberty klase brodova tokom i neposredno poslije drugog svjetskog rata. Nekoliko brodova, koji spadaju među ranije proizvedene primjerke, izgubljeni su tokom eksploatacije uslijed pojave i širenja pukotina u konstrukciji


- 12 -

trupa broda. Tokom drugog svjetskog rata dogodilo se skoro 1500 slučajeva pojave značajnih krtih lomova. Dvanaest brodova, uključujući i tri od ukupno 2710 izgrađenih Liberty brodova, raspolovila su se bez ikakve prethodne naznake o mogućnosti pojave takve havarije. Isprva se za nesreće krivilo brodogradilišta koja su često upošljavala neiskusne radnike, kao i primjenu tada novih tehnika zavarivanja, kako bi se omogućila proizvodnja velikog broja brodova u vrlo kratkome vremenu. Constance Tipper sa sveučilišta Cambridgeu pokazala je da pukotine u konstrukciji nisu bile inicirane procesom zavarivanja, već radi kvalitete korištenog materijala (čelika) koji je postao krt uslijed utjecaja uvjeta ambijenta tokom eksploatacije. otkrila je da su brodovi tokom plovidbe sjevernim atlantikom izloženi temperaturama koje su mogle pasti ispod kritične vrijednosti nakon koje se mehanizam kolapsa mijenja iz duktilnog u krti, što relativno olakšava pojavu loma kod trupa broda. Čelična konstrukcija broda izgrađena pretežno zavarivanjem, a ne zakivanjem, omogućila je neometano širenje pukotina, što je u konačnici rezultiralo pukotinama jako velikih dimenzija. Tipično su se pojavljivale pukotine u uglovima pravokutnih grotala koji su koincidirali s zavarenim spojevima, pri čemu su i kutovi i zavari imali ulogu koncentratora naprezanja. Različite vrste modifikacija konstrukcije Liberty brodova primijenjene su kako bi se spriječili problemi s pukotinama, a naredna klasa trgovačkih brodova, Victory klasa, je bila puno čvršća i manje kruta kako bi bila otpornija na pojavu zamora materijala.

Slika 1.13 Katastrofalno oštećenje Liberty klase trgovačkih brodova građenih u SAD-u tokom drugog svjetskog rata za američku i britansku trgovačku flotu.

1.6 Posljedice loma kod općih strojarskih konstrukcija

Slika 1.14, Slika 1.15 i Slika 1.16 prikazuju slučajeve katastrofalnog loma komponenata konstrukcije uslijed pukotinskih grešaka. Na slikama se može vidjeti da u sva tri različita slučaja inicijalne greške nisu bile tako velike. Može se pretpostaviti da su se inicijalne greške mogle detektirati prije nastanka oštećenja pri čemu bi primjena metoda mehanike loma vjerojatno ukazala na ugrozu. Cijene oštećenja vezano uz slične industrijske incidente nije lako odrediti, a pritom su vjerojatno dominantni troškovi zamjene i gubitka zarade jer je postrojenje van pogona tokom zamjene. Međutim, postoje slučajevi koda su ti troškovi zapravo zanemarivi u odnosu na cijenu gubitka ljudskih života i imovine u neposrednoj okolici oštećenog postrojenja. Pri tome je vjerojatno najspektakularniji slučaj te naravi bilo katastrofalno puknuće spremnika ukapljenog prirodnog plina u Clevelandu 1944. godine, kada je 79 kuća, 2 tvornice i 217 automobila bilo potpuno uništeno, uz daljnjih 35 kuća i 13 tvornica koje su bile značajno oštećene.


- 13 -

Slika 1.14 Oštećenje kotla nuklearne energane uslijed pukotine u zavaru.


- 14 -

Slika 1.15 Oštećenje konvertera amonijaka uslijed pukotine unutar zone utjecaja topline.


- 15 -

Slika 1.16 Oštećenje kotla električne centrale uslijed površinske pukotine.


- 16 -

Iznos ukupne materijalne štete procijenjen je na oko 6 do 7 milijuna tadašnjih dolara, što je u današnjim dolarima ekvivalentno iznosima koji su višestruko veći. Redoslijed događaja evidentno je započet inicijalnim puknućem spremnika, što je omogućilo istjecanje velikih količina ukapljenog prirodnog plina. Potom je plin na atmosferskom tlaku i temperaturi počeo isparavati, te je nekako došlo do njegovog zapaljenja. Međutim najznačajnija činjenica vezano uz ovaj događaj je da je pritom život izgubilo 130 ljudi, a daljnjih 300 je bilo ozlijeđeno. Uzrok ove nesreće nikada nije zvanično utvrđen, međutim smatra se da se radilo o lošemu zavaru u kojemu je inicirana zamorna pukotina koja je naknadno propagirala uslijed vibracija od intenzivnog prometa obližnje željeznice i kovačkih postrojenja. Uz ovo, za strukturni materijal konstrukcije tanka korištena je nisko-ugljična legura čelika s niklom (3.5%) koju karakterizira niska vrijednost svojstva žilavosti pri radnoj temperaturi od -250 stupnjeva Fahrenheita. 1982. godine američki nacionalni ured za standarde inicirao je studiju vezano uz procjenu direktnih i indirektnih troškova uzrokovanih pojavom loma unutar cjelokupne ekonomije SAD-a. Utvrđeni troškovi, između ostalog, uključivali su i potrebu predimenzioniranja konstrukcija uslijed nejednolike kvalitete korištenog materijala, kao i potrebu za provedbom inspekcija, popravaka i zamjena materijala koji su se degradirali tokom eksploatacije. Ukupni troškovi procijenjeni su na oko 120 milijardi dolara godišnje. Interesantan aspekt spomenute studije je procjena mogućih ušteda, pri čemu se sugerira da se oko 35 milijardi dolara godišnje može uštedjeti ukoliko bi se primijenile trenutno najbolje poznate metode kontrole loma, a daljnjih 28 milijardi dolara primjenom novih znanja za koja se očekuje da će biti razvijena u budućnosti.


- 17 -

1.7 Kontrola loma

Kontrola loma (eng. fracture control) konstrukcije je usklađeni trud konstruktora, metalurga, proizvodnih inženjera, inženjera zaduženih za održavanje i stručnjaka zaštite na radu kako bi osigurali rad sustava bez katastrofalnih pojava kolapsa uzrokovanih lomom. Vrlo rijetko se lom događa kao posljedica nepredviđenih preopterećenja na neoštećenoj konstrukciji. Obično lom nastupa zbog inherentnih strukturnih mana ili pukotina na konstrukciji. Zbog cikličkih ili konstantnih „normalnih“ radnih opterećenja pukotina može napredovati (počevši od inherentne strukturne mane ili koncentracije naprezanja) tj. postepeno rasti. Pukotine i oštećenja narušavaju čvrstoću konstrukcije. Tako uslijed kontinuiranog napredovanja pukotine čvrstoća konstrukcije opada sve do razine pri kojoj ne može podnijeti radna opterećenja, nakon čega nastupa lom. Svrha kontrole loma je sprječavanje loma zbog pukotina i oštećenja pri (maksimalnim) opterećenjima konstrukcije tijekom eksploatacije. Da bi se lom spriječio, čvrstoća ne smije pasti ispod određene sigurnosne vrijednosti. To znači da je potrebno spriječiti napredovanje pukotina do razine koja bi uzrokovala pad čvrstoće ispod prihvatljive vrijednosti. U svrhu određivanja veličine pukotine koja je dopustiva, neophodno je znanje relevantno za kvantificiranje utjecaja pukotina na čvrstoću konstrukcije (kao funkciju veličine pukotine), a da bi se odredilo razdoblje sigurne eksploatacije, potrebno je znati odrediti vrijeme u kojem pukotina raste do prihvatljive veličine. Da bi to bilo moguće, potrebno je locirati mjesta gdje bi pukotine mogla nastati. Dakle, analizom se trebaju dobiti podaci o vremenima napredovanja pukotine kao i ovisnost čvrstoće konstrukcije o veličini pukotine. Ovakva vrsta analize naziva se analiza dopuštenog oštećenja (eng. damage tolerance analysis). Dopušteno oštećenje je svojstvo konstrukcije da sigurno podnosi oštećenja ili pukotine do trenutka kada se uklone. Uklanjanje se može ostvariti popravkom ili zamjenom napukle konstrukcije ili dijela konstrukcije. U fazi konstruiranja poželjno je odabrati materijal koji je otporniji na nastajanje pukotina ili unaprijediti konfiguraciju konstrukcije, čime se osigurava da pukotine neće postati opasne tijekom očekivanog ekonomičnog razdoblja eksploatacije. Drugi način je da se konstrukcija pregledava u određenim vremenskim intervalima kako bi se u slučaju postojanja pukotine mogla na vrijeme popraviti ili dijelovi konstrukcije zamijeniti. Vremena uklanjanja (zamjene) ili vrste i intervali kontrole određuju se iz vremena napredovanja pukotine dobivenog iz analize dopuštenog oštećenja. Kontrole se mogu izvoditi nekom od tehnika nerazornog ili razornog ispitivanja. Analiza dopuštenog oštećenja, tj. njeni rezultati čine osnovu za planiranje kontrole loma. Pregledi, popravci i zamjene moraju se racionalno vremenski planirati korištenjem podataka dobivenih analizom dopuštenog oštećenja. Kontrola loma je kombinacija mjera kojima se želi spriječiti lom uzrokovan pukotinama tijekom eksploatacije. Može sadržavati mjere kao što su: analiza dopuštenog oštećenja, odabir materijala, bolje oblikovanje konstrukcije, ispitivanje konstrukcije i plan održavanja/pregledavanja/zamjene. Opseg mjera kontrole loma ovisi o kritičnosti dijela, o ekonomskim posljedicama ukoliko je konstrukcija izvan pogona i o šteti koja bi nastala uslijed loma (uključujući gubitke života). Matematički alat koji se koristi u analizi dopuštenog oštećenja zove se mehanika loma (eng. fracture mechanics). Mehanika loma daje koncepte i jednadžbe vezano uz napredovanje pukotina i njihov utjecaj na čvrstoću konstrukcije. Iako mehanika loma nije apsolutno točna, svojim je razvojem kroz nekoliko proteklih decenija evoluirala u vrlo praktičan inženjerski alat zadovoljavajuće točnosti. Netočna rješenja u primjeni mehanike loma su najčešće rezultat loših ili krivih ulaznih podataka, a ne neadekvatnosti korištenih koncepata.


- 18 -

1.8 Dva cilja analize dopuštenog oštećenja

Planiranje kontrole loma zahtijeva poznavanje utjecaja pukotina na čvrstoću konstrukcije i vremena potrebnog da pukotine narastu do neprihvatljive vrijednosti. Prema tome, analiza dopuštenog oštećenja ima dva cilja:

odrediti utjecaj pukotina na čvrstoću; odrediti napredovanje pukotine kao funkciju vremena.

Slika 1.17 Dijagram utjecaja veličine pukotine na čvrstoću.

Slika 1.17 daje kvalitativni dijagramski prikaz utjecaja veličine pukotine na čvrstoću. U mehanici loma veličina pukotine se uobičajeno označava oznakom a. Čvrstoća je izražena preko opterećenja, F, koje konstrukcija može izdržati prije nego što nastupi lom (opterećenje loma). Pod pretpostavkom da nova konstrukcija nema značajnih oštećenja (a=0), njena čvrstoća je jednaka graničnoj projektnoj čvrstoći (opterećenju) Fu. Potrebno je naglasiti da je čvrstoća nove, neoštećene konstrukcije konačna. Lom bi trebao nastupiti kada se konstrukcija podvrgne opterećenju Fu, jer se u protivnom konstrukcija smatra predimenzioniranom. U procesu konstruiranja uvijek se koristi neki oblik faktora sigurnosti S. U nekim tehničkim područjima faktor sigurnosti se veže uz opterećenje. Npr., ako je maksimalno predviđeno radno opterećenje Fs, konstrukcija se projektira da izdrži SFs=Fu. Konstrukcija se dimenzionira na način da može podnijeti naprezanje jednako ili malo niže od granične vlačne čvrstoće pod djelovanjem opterećenja Fs (provjere plastične deformacije su obično također nužne). Drugi način je da se faktor sigurnosti veže uz dopušteno naprezanje, tj. ako je čvrstoća materijala (granična vlačna čvrstoća) jednaka Rm, konstrukcija se dimenzionira na način da je naprezanje pri najvećem radnom opterećenju Fs manje ili jednako Rm/S. Budući da su opterećenje i naprezanje obično proporcionalni, konstrukcija je u stvarnosti sposobna nositi SFs=Fu. Plastičnost može narušiti proporcionalnost, no pošto je plastičnost uglavnom ograničena na mala područja oko vrha pukotine i mjesta koncentracija naprezanja, gornji izraz je približno točan. Konstrukcija se dimenzionira uz faktor sigurnosti tako da podnese opterećenja veća od najvećeg predviđenog radnog opterećenja. Faktor sigurnosti se najčešće nalazi u rasponu između 1,5 (zrakoplovi) i 3 (razne građevinske konstrukcije). Radno opterećenje obično varira, ali je uglavnom većinu vremena mnogo manje od Fs. Npr. opterećenja na kranovima, mostovima, pučinskim plovnim objektima, brodovima i zrakoplovima su obično mnogo manja od Fs. Tek u iznimnim uvjetima (npr. oluje) radno opterećenje doseže vrijednost Fs (Slika 1.18a). Preostalo vrijeme radno opterećenje može biti tek dio Fs, tako da je rezerva sigurnosti od loma mnogo veća od faktora sigurnosti S. Radna


- 19 -

opterećenja na nekim konstrukcijama, npr. cjevovodima, posudama pod tlakom, rotirajućim strojnim dijelovima uvijek dosežu otprilike iste vrijednosti, kako prikazuje Slika 1.18b.

Slika 1.18 Shematski primjeri povijesti radnih opterećenja. (a) Uobičajena opterećenja pučinskih plovnih

objekata, brodova, zrakoplova; (b) uobičajena opterećenja rotirajućih strojnih elemenata.

Nova konstrukcija ima čvrstoću Fu uz faktor sigurnosti S. Njena čvrstoća je konačna i prema tome vjerojatnost pojave loma nije jednaka nuli. U slučaju da radno opterećenje dosegne vrijednost Fu (npr. u oluji) nastupa lom konstrukcije. Vjerojatnost da se to dogodi nije jednaka nuli, ali iskustvo je pokazalo da je prihvatljivo mala. Prisutnost pukotina uzrokuje pad čvrstoće ispod vrijednosti Fu. Ta čvrstoća, u prisutnosti pukotina, naziva se preostalom čvrstoćom (eng. residual strength), Fres, a dijagram koji prikazuje Slika 1.17 naziva se dijagramom preostale čvrstoće (eng. residual strength diagram). S preostalom čvrstoćom Fres<Fu opada faktor sigurnosti, koji je u tom slučaju jednak: S=Fres/Fs, što je manje od S=Fu/Fs. Time vjerojatnost pojave loma postaje veća. Kod pukotine veličine a, preostala čvrstoća iznosi Fres. Kod opterećenja manjih od Fres pukotina napreduje, a izjednačavanjem radnog opterećenja s preostalom čvrstoćom, F=Fres, nastupa lom konstrukcije u dva ili više dijela. Kontinuiranim napredovanjem pukotina postaje veća, preostala čvrstoća manja, faktor sigurnosti također manji, a vjerojatnost loma veća. Ako se ništa ne poduzme i konstrukcija ostane u pogonu, postoji mogućnost izjednačavanja preostale čvrstoće s (najvećim) radnim opterećenjem Fs (ili s prosječnim radnim opterećenjem Fs, Slika 1.18), čime faktor sigurnosti poprima vrijednost 1 i lom nastupa već pri Fs ili čak pri Fa. To je ono što se treba spriječiti, tj. pukotina ne smije narasti tolika da lom nastupi pri radnim opterećenjima. Prema tome, konstrukcija ili njena komponenta moraju se zamijeniti prije nego što pukotina postane opasna, ili se pukotina mora otkriti i popraviti na vrijeme. Ukoliko je poznat dijagram preostale čvrstoće i da je propisana minimalna dopuštena preostala čvrstoća (eng. minimum permissible residual strength), Fp, najveća dopuštena veličina pukotine se može odrediti iz samog dijagrama. Prema tome, prvi cilj analize dopuštenog oštećenja jest određivanje dijagrama preostale čvrstoće, koji je različit za različite dijelove konstrukcije i za različite lokacije pukotina, pri čemu su i dopuštene veličine pukotina također različite. Drugi cilj analize dopuštenog oštećenja jest određivanje krivulje


- 20 -

napredovanja pukotine, koju prikazuje . Dopuštena veličina pukotine ap, koju prikazuje Slika 1.17, može se preslikati u krivulju koju prikazuje Slika 1.19. Pod uvjetom da se može odrediti krivulja koju prikazuje Slika 1.19, moguće je odrediti razdoblje sigurne eksploatacije H (do postizanja ap), nakon kojeg je nužno zamijeniti oštećenu konstrukciju ili njen dio. Interval kontrole konstrukcije mora biti manji od vremena H, obično se uzima kao H/2.

Slika 1.19 Krivulja napredovanja pukotine (shematski prikaz).

1.9 Napredovanje pukotine i lom

Dijagrami preostale čvrstoće i napredovanja pukotine su bitno različiti, ne samo u obliku nego i u značenju. Lom je krajnji događaj koji često nastupa iznimno brzo i rezultira lomom konstrukcije u više dijelova. Nasuprot tome, pukotina napreduje sporo tijekom normalnog radnog opterećenja. Mehanizmi napredovanja pukotine i nastanka loma su također različiti. Napredovanje pukotine posljedica je jednog od sljedećih pet mehanizama:

zamora (eng. fatigue) uslijed cikličkog opterećenja; naponske korozije (eng. stress corrosion) uslijed konstantnog opterećenja; puzanja (eng. creep); pucanje u prisustvu vodika (eng. hydrogen induced cracking); pucanje uzrokovano tekućim metalom (eng. liquid metal induced cracking).

Prva dva mehanizma i njihove kombinacije su najučestaliji uzroci napredovanja pukotine. Mehanizam zamornog napredovanja pukotine prikazuje Slika 1.20. Ostali mehanizmi su mogući, ali nisu bitno različiti. Čak i pri malim opterećenjima zbog velike koncentracije naprezanja postoji plastična deformacija na vrhu pukotine. Plastična deformacija nastaje klizanjem atomskih ravnina uslijed zbog smičnih naprezanja (Slika 1.20, faza B). Kontinuiranim klizanjem komplementarnih ravnina vrh pukotine se zatupljuje (Slika 1.20, faze B-D). Već prvo klizanje u drugoj fazi uzrokuje jako malo povećanje pukotine Δa. Prilikom uklanjanja opterećenja (ili tlačnog opterećenja) vrh pukotine ponovno postaje oštar. U slijedećem ciklusu opterećivanja proces se ponavlja, pukotina raste ponovno za Δa. Povećanje pukotine po ciklusu, Δa, je veoma malo, reda veličine 10-10–10-6 m, međutim nakon dovoljno velikog broja ciklusa opterećivanja konstrukcije, npr. 104–108 ciklusa, pukotina može narasti za 20 do 30 mm. Pukotina može uzrokovati lom konstrukcije. Postoje tek dva mehanizma nastajanja loma: krhki lom (eng. cleavage) i žilavi lom (eng. rupture). Krhki lom predstavlja razdvajanje atomskih ravnina. Svako zrno ima zasebnu ravninu pogodnu za razdvajanje atomskih ravnina što uzrokuje ravninski lom (Slika 1.21). Ravnine loma su dobri reflektori zraka upadne svjetlosti. Rezultat toga je da krhki lom sjaji dok je svjež, dok nakon nekog vremena gubi sjaj uslijed oksidacije.


- 21 -

Slika 1.20 Jedan od mogućih mehanizama zamornog napredovanja pukotine.

Slika 1.21 Krhki lom započet u vrhu pukotine. Dolje: Lomne ravnine sjaje zbog odbijanja upadne svjetlosti.

Drugi mehanizam, žilavi lom, prikazuje Slika 1.22. Svi konstrukcijski materijali sadrže čestice i uključine. Čestice su uglavnom složeni sastojci legirnih elemenata koji se koriste kako bi se poboljšala željena svojstva materijala. Ispočetka čestice ili ne prijanjaju, ili


- 22 -

popucaju, čime se formiraju široke praznine u blizini vrha pukotine. U krajnjoj fazi više takvih manjih praznina se ujedine u jednu veliku i nastupa žilavi lom. Zbog nepravilne površine žilavi lom propušta svjetlost zbog čega ima tamno sivu boju.

Slika 1.22 Četiri faze napredovanja žilavog loma.

I krhki i žilavi lom su brzi procesi. Krhki lom može napredovati brzinama do 1600 m/s, dok žilavi lom napreduje brzinama od oko 500 m/s, iako može biti i sporiji. Lom konstrukcije je stabilan sve dok je uzrokovan nekim od mehanizama napredovanja pukotine. Nakon određenog vremena nastupaju krhki ili žilavi lom, tj. lom konstrukcije ulazi u nestabilnu fazu.

1.10 Dopušteno oštećenje i mehanika loma

Metode mehanike loma su razvijene kako bi se omogućilo određivanje preostale čvrstoće konstrukcije i analizu napredovanja pukotine uzrokovanog nekim od mehanizama. Mehanika loma (kao i sve inženjerske mehanike) koriste naprezanja umjesto opterećenja. Prema tome, dijagram preostale čvrstoće se uobičajeno temelji na naprezanju koje konstrukcija može podnijeti prije pojave loma, σres.

Slika 1.23 Dijagram preostale čvrstoće temeljen na nominalnom naprezanju.

Dijagram preostale čvrstoće temeljen na naprezanju prikazuje Slika 1.23. Lom nastupa kada se naprezanje izjednači s σres. Budući da se događanja u vrhu pukotine temelje na


- 23 -

lokalnim naprezanjima u samom vrhu, potrebno je dovesti u vezu ta lokalna naprezanja s primijenjenim naprezanjem. S tim u vezi potrebno je razlikovati tri glavna načina otvaranja pukotine (Slika 1.24).

Slika 1.24 Načini (modovi) otvaranja pukotina.

Načini otvaranja pukotine se uobičajeno označavaju rimskim brojevima I, II i III. pri tome vrijedi sprega: odcjepni način (način I), smicanje (način II) i poprečno smicanje (način III). Jednadžbe naprezanja u vrhu pukotine su vrlo slične za sva tri moda. U praksi se većina pukotina otvara prema načinu I, dok se druga dva načina ne pojavljuju zasebno, ali se mogu pojaviti kao kombinacija s načinom I, npr. I-II, I-III, ili I-II-III.


- 24 -

2 EFEKTI ZAREZA I PUKOTINA: KOLAPS

2.1 Pregled

Unutar ovog poglavlja razmatrani su uvjeti potrebni za nastanak kolapsa. Kolapsu će prethoditi zarez i nastanak faktora koncentracije naprezanja pri vrhu zareza. Za objašnjavanje kolapsa također je neophodno razmotriti stanje naprezanja. Pojava faktora koncentracije naprezanja uzrokovati će pojavu ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacije, što će biti pobliže objašnjeno u daljnjem tekstu. Uz pojavu zareza veže se i pojava popuštanja koja će ovisiti o stanju naprezanja. Naprezanje potrebno za pojavu popuštanja pri ravninskom stanju deformacije, tri puta je veće nego li kod ravninskog stanja naprezanja što je objašnjeno u odjeljku 2.5. U odjeljku 2.6. prikazana je raspodjela naprezanja koja će uzrokovati pojavu plastičnog kolapsa. Na kraju je objašnjen krhki lom pri vrhu zareza.

2.2 Poremećaj linija toka opterećenja

U prisutnosti diskontinuiteta, suženja, zareza i naročito pukotina u materijalu, doći će do pojave koncentracije naprezanja. Koncentracija naprezanja uzrokovat će pojavu naprezanja viših od nominalnih ili prosječnih. Slika 2.1 prikazuje dvije šipke istih dimenzija i istog materijala. Svaka šipka preuzima pola opterećenja, te je deformacija u obje šipke jednaka i uzrokuje produljenje ∆L. U slučaju da se prepolovi lijeva šipka, desna šipka će preuzeti čitavo opterećenje. Naprezanje i produljenje će u tom slučaju biti dvostruko veće nego prije, odnosno produljenje će iznositi 2∆L, a naprezanje 2σ.

Slika 2.1 Efekt presijecanja jedne od dvaju paralelnih šipki.

Slika 2.2 prikazuje dvije šipke koje su spojene (zavarene) te tvore jedno tijelo. U inicijalnom (neoštećenom) stanju naprezanje i produljenje će biti isto kao u prethodnom slučaju dvaju opterećenih šipki, tj. naprezanje po čitavom presjeku iznosi σ, a produljenje ∆L. U slučaju kada je lijeva šipka presječena, desna šipka preuzima čitavo opterećenje u ravnini rascjepa, dok ispod presjeka rascjepa, gdje su obje šipke spojene i neoštećene, naprezanje će


- 25 -

biti jednako u obje šipke. Nominalno naprezanje u desnoj šipki na presjeku rascjepa lijeve šipke iznositi će F/A. Naprezanje u desnoj šipki neće biti ravnomjerno raspoređeno već će najveće naprezanje biti uz sami vrh rascjepa (koncentracija naprezanja) te će postupno opadati s lijeva na desno u desnoj šipki. Ukupno produljenje u ovom slučaju iznosi nešto više od ∆L, ali dosta manje od 2∆L.

Slika 2.2 Efekt presijecanja jedne od dvaju zavarenih šipki.

Od pomoći je ako se zamisle linije toka opterećenja (eng. load-flow lines) koje pokazuju tok jediničnog opterećenja od jednog hvatišta opterećenja do drugog. Kod jednolikog opterećenja, linije toka opterećenja su neporemenćene, tj. ravne i ekvidistantno raspoređene, kako prikazuje Slika 2.3a. Ako je narušena cjelovitost opterećenog dijela zarezom, linije toka opterećenja moraju zaobići rascjep unutar vrlo male širine (Slika 2.3b).

Slika 2.3 Linije toka opterećenja.

Pri vrhu zareza linije toka opterećenja su međusobno zgusnute, što znači da će se pri vrhu rasjepa javiti veća naprezanja negoli u ostatku opterećenog dijela. Pri obilasku vrha rascjepa linije toka opterećenja su zakrivljene, tj. tu opterećenje mijenja smjer (segment A, Slika 2.3c). Pri vrhu zareza naprezanje će imati vertikalnu i horizontalnu komponentu, odnosno biti će prisutno dvoosno polje naprezanja (σx i σy) za jednoosno opterećenje. Jednoosno polje naprezanja pojavljuje se lokalno.


- 26 -

2.3 Faktor koncentracije naprezanja

U slučaju zareza raspodjela naprezanja je vrlo slična situaciji koju prikazuje Slika 2.3, gdje je vidljivo da će se pri rubovima rascjepa javiti koncentracija naprezanja. Slika 2.4 prikazuje primjere linija toka opterećenja te mjesta koncentracije naprezanja s obzirom na diskontinuitete geometrije tijela.

Slika 2.4 Linije toka opterećenja oko diskontinuiteta oblika.

Generalno je pravilo da će tupi zarezi proizvesti manja lokalna naprezanja, a oštriji veća. Nominalno naprezanje σnom, pri vrhu zareza biti će uvećano za teorijski faktor koncentracije naprezanja kt (eng. theoretical stress concentration factor). Tada se lokalno najveće naprezanje σl pri vrhu zareza može prikazati jednadžbom:

nomtl k σσ ⋅= (2.1)

Za eliptične zareze, Slika 2.5, teorijski faktor koncentracije naprezanja može se odrediti preko jednadžbe:

bakt 21+= (2.2)

gdje a i b definira Slika 2.5. Polumjer zakrivljenosti elipse na kraju poprečne poluosi ρ definiran je izrazom ρ=a2/b. pa se teorijski faktor koncentracije naprezanja može se odrediti pomoću jednadžbe:

ρα

ρbbkt +=+= 121 (2.3)

gdje α predstavlja faktor oblika zareza. U slučaju kada je zarez okruglog oblika, tj. a=b, teorijski faktor koncentracije naprezanja iznositi će kt=3. Faktori koncentracije naprezanja određeni su za mnoge oblike i mogu se naći u mnogim priručnicima. Gornja jednadžba pokazuje da polumjer zakrivljenosti vrha zareza uvelike utječe na faktor koncentracije naprezanja. Ako je vrh pukotine oštriji, odnosno polumjer zakrivljenosti manji, kt je veći. Za elipse za koje vrijedi b/a=3 (ρ=b/9), faktor koncentracije naprezanja iznosi kt=7, dok za elipsu a/b=3, faktor koncentracije naprezanja iznosi samo kt=1.67.


- 27 -

Slika 2.5 Eliptični zarezi: (a) visoka koncentracija naprezanja, (b) niska koncentracija naprezanja, (c) plohe

zareza bez naprezanja.

2.4 Stanje naprezanja na mjestu koncentracije naprezanja

Kao što je već pokazano u odjeljku 2.2, koncentracija naprezanju uzrokuje promjene u stanju naprezanju. Dakle, iako jednoosno stanje naprezanja vrijedi za ostatak tijela, pri vrhu zareza vrijedit će barem dvoosno polje naprezanja. Na slobodnoj plohi (eng. free surface) na kojoj nema vanjskog opterećenja, vrijediti će ravninsko stanje naprezanja (na slobodnoj plohi naprezanje je jednako nuli). Lice zareza (Slika 2.5c) predstavlja slobodnu plohu, na kojoj nema naprezanja. Korijen zareza također predstavlja slobodnu plohu, što znači da naprezanje u smjeru osi x također mora biti nula (σx=0). Malo od vrha zareza prema unutra naprezanje će bit različito od nula u smjeru osi x (σx≠0). Lice opterećenog dijela i dalje će predstavljati slobodnu plohu (površina koju os z sječe okomito) te će i tu naprezanje biti nula (σz=0). U takvoj situaciji na maloj udaljenosti od vrha zareza biti će dvoosno stanje naprezanja. Ipak na nekoj udaljenosti od vrha zareza također se može pojaviti naprezanje u sve tri osi (troosno), što će biti objašnjeno u daljnjem tekstu. S obzirom da će se javiti naprezanja u smjeru osi x i y (σx i σy), koja su ujedno i glavna naprezanja (σ1 i σ2), postoje i pripadajuće deformacije u smjeru te dvije osi (εx i εy). Prema Hookovom zakonu εx i εy uzrokovati će i deformaciju u smjeru osi z (εz):

Ev

Ev yx

z

σσε −−= (2.4)


- 28 -

gdje v predstavlja Poissonov koeficijent, uz pretpostavku da je σz=0. εz predstavlja negativnu deformaciju, odnosno kontrakciju dijela (sužavanje oplate) u smjeru osi z. Naprezanja su velika isključivo u blizini korijena zareza, dok je dalje od korijena zareza σy znatno manje, a naprezanje u smjeru osi x u potpunosti nestaje (σx=0). Također, odmicanjem od vrha zareza εz postaje sve manja dok ne poprimi vrijednost nula. Samo mali dio materijala, u blizini vrha zareza, imati će velike iznose εz. Taj dio materijala približno će biti cilindričnog oblika, kao što je prikazuje Slika 2.6.

Slika 2.6 Kontrakcija pri vrhu zareza.

U slučaju kada je cilindar vrlo dug, odnosno ako je ploča deblja, εz neće moći biti velika. Materijal u neposrednoj blizini cilindra neće dopustiti kontrakciju cilindra, osim u jednom malom djelu na licu ploče. S obzirom da okolni materijal sprečava kontrakciju cilindra, javiti će se vlačna naprezanja u cilindru. Ograničenje kontrakcije zbog okolnog materijala izaziva javljanje vlačnog naprezanja σz. Ako je kontrakcija u potpunosti spriječena, tada je εz=0:

0=−−=E

vE

vE

yxzz

σσσε (2.5)

i nadalje:

)(3.0)( yxyxz v σσσσσ +≈+= (2.6)

Iz jednadžbe ( )(3.0)( yxyxz v σσσσσ +≈+= (2.6) vidi se da se veliko vlačno naprezanje javlja u smjeru debljine kada je


- 29 -

kontrakcija onemogućena. Ovo naprezanje izazvano je okolnim materijalom koje ograničava kontrakciju. Iz svega navedenog slijedi da na površini, odnosno dijelu materijala gdje su naprezanja samo u smjeru osi x i y, prevladava dvoosno stanje. Odmicanjem od vrha zareza pojavljuje se troosno stanje naprezanja, gdje je deformacija εz=0 (ravninsko stanje deformacije).

Slika 2.7 Ograničavanje cilindra kod deblje i tanke ploče.

Slika 2.7 prikazuje zarez kod tanke i kod deblje ploče. Kod tanke ploče materijal koji je obuhvaćen cilindrom je veće debljine, te će se kontrakcija dogoditi slobodno prema jednadžbi (2.4). Kod nešto deblje ploče javit će se troosno stanje naprezanja, gdje će kontrakcija biti djelomično ograničena. Pri dovoljno debeloj ploči kontrakcija će biti u potpunosti ograničena, odnosno onemogućena. Moglo bi se konstatirati da stanje naprezanja u korijenu zareza ovisi o duljini cilindra (debljini ploče). Ipak ova ovisnost o debljini ploče je slučajna. Slika 2.8 prikazuje zarez kod kojeg pojava cilindra nije vezena uz debljinu ploče.

Slika 2.8 Slučaj zareza kada cilindar nije povezan s debljinom ploče.


- 30 -

2.5 Popuštanje kod vrha zareza

Naprezanje potrebno za plastičnu deformaciju ovisi u velikoj mjeri o stanju naprezanja. Pri ravnisnkom stanju naprezanja popuštanje nastupa kad je najveće glavno naprezanje jednako granici popuštanja materijala. Pri troosnom troosnom stanju naprezanja potrebno je mnogo veće naprezanje za pojavu popuštanja. Popuštanje je plastična deformacija smicanjem zbog djelovanja smičnog naprezanja. Plastična deformacija neće se pojaviti ako smično naprezanje nije dovoljno veliko da uzrokuje pojavu smicanja. U epruveti koja se ispituje na vlačno opterećenje vlada jednoosno stanje naprezanja, kako prikazuje Slika 2.9a. U ovom slučaju ostvarena je plastična deformacija. Smično naprezanje biti će maksimalno u ravnini pod kutem od 450. Kod kuta od 450, smično naprezanje iznosi τ=σ/2. Naprezanje σ odgovara granici popuštanja Fty, mjerenoj statičkim vlačnim pokusom. Iz navedenog proizlazi da će smično naprezanje potrebno za pojavu popuštanja (Slika 2.9a) iznositi τty=Fty/2. U slučaju koji prikazuje Slika 2.9b, situacija je slična kao kod prethodnog slučaja te smično naprezanje potrebno za pojavu tečenja iznosi isto τty=Fty/2. Za slučaj koji prikazuje Slika 2.9c, uz pretpostavku da je materijal dvodimenzionalan, smično naprezanje je u oba smjera jednako, te se poništava. Kada nema smičnog naprezanja nema pojave smicanja i nema plastične deformacije. Da bi došlo do plastične deformacije jedno od smičnih naprezanja mora biti veće od drugog za Fty. U ovom slučaju to znači da ako je vertikalno naprezanje 3Fty tada horizontalno mora iznositi 4Fty.

Slika 2.9 Odgađanje plastične deformacije uslijed višeosnog naprezanja.


- 31 -

Realni materijali su trodimenzionalni, kao što prikazuje Slika 2.9d, i pojava izvanravninskog smičnog naprezanja je moguća. Ipak, jednostavno je primijetiti da u slučaju kada su sva tri naprezanja u sve tri osi jednaka (Mohrova kružnica postaje točka) nema smika. Zapravo, da bi došlo do popuštanja, razlika između najvećeg i najmanjeg glavnog naprezanja mora biti jednaka ili veća od Fty, tj. plastična deformacija će nastupiti kada je:

( ) tyF=− 21 σσ ili ( ) tyF=− 31 σσ (2.7)

Kako je već spomenuto, pri vrhu zareza može se javiti troosno stanje naprezanja. Ako razmatramo slučaj ravninskog stanja deformacije, gdje je σz dan izrazom (2.6) i pretpostavimo da je σx=σy, u slučaju vrlo oštrog zareza, tada će najmanje glavno naprezanje σz biti σz=0.33(σx+σy)=σy, a za pojavu plastične deformacije biti će potrebno naprezanje σy=3Fty. Slika 2.10 prikazuje slučaj kada pri vrhu zareza lokalno naprezanje iznosi σy. Opadanjem opterećenja lokalno naprezanje će biti manje od 3Fty te će se u tom slučaju javiti isključivo elastična deformacija.

Slika 2.10 Popuštanje kod oštrog vrha zareza pri ravninskom stanju deformacije.

Slika 2.11 Popuštanje kod zareza pri ravninskom stanju naprezanja.

U slučaju koji prikazuje Slika 2.11, odnosno pri ravninskom stanju deformacije plastična deformacije će se pojaviti kada je σy=Fty. Razlog tome je (σy-σz)=(σy-0)=σy. Kada bi


- 32 -

se dalje povećavalo opterećenje, tada bi distribucija naprezanja bila kao u prethodnom slučaju. Povećavanjem opterećenja čitav dio bi popustio ako se prije ne bi pojavio lom.

2.6 Plastični kolaps na vrhu zareza

Osim velikog lokalnog naprezanja koje može uslijed zamora materijala dovesti do pukotina, naponska korozija može postupno dovesti do pojave loma, naročito kada se naponska korozija pojavi pri vrhu oštrog zareza. Do oštećenja može doći i uslijed plastičnog kolapsa nakon kojeg je uvijek slijedi lom. Ako se distribucije naprezanja, koje prikazuje Slika 2.11 i Slika 2.12, mogu ostvariti prije pojave loma, može doći do pojave plastičnog kolapsa. Presjek koji je obuhvaćen utjecajem zareza pri pojavi potpunog popuštanja više ne može podnijeti nikakvo dodatno opterećenje, jer će se popuštanje nesputano nastaviti sve do pojave loma. Ovo se zove plastični kolaps.

Slika 2.12 Propagacija poopuštanja kod tupog vrha zareza.

Dakle, kod ravninskog stanja naprezanja naprezanje u cijelom presjeku jednako je granici popuštanja materijala u trenutku kolapsa, Slika 2.11, a maksimalna nosivost tada je:

Kolaps: tyFaWBF )(max −= (2.8)

gdje je a dubina zareza, W predstavlja ukupnu širinu dijela, a B je debljina koja u ovom slučaju odgovara debljini ploče. Ovo opterećenje (Fmax) naziva se kolapsno opterećenje ili granično opterećenje. Nominalno naprezanje kroz cijeli dio iznosi σ=F/BW. Kod dijela koji prikazuje Slika 2.11 dolazi do kolapsa kada je nominalno naprezanje:

Kolaps: tyfc FW

aWWP −==σ (2.9)

Ovo je jednadžba ravne linije (kao funkcije zareza dubine a). Ako je a=W, tada kolaps nastupa već pri nominalnom naprezanju σfc=0. Ovisnost ovog graničnog naprezanja o dubini zareza prikazuje Slika 2.13. Ako lom nastupa kao posljedica kolapsa naprezanje σfc će predstavljati preostalu čvrstoću, kako je opisano u prvom poglavlju. Ako kod materijala dolazi do očvršćivanja, na presjeku zareza materijal može podnijeti veće opterećenje. Treba


- 33 -

napomenuti da ne može doći do situacije kada materijal na presijeku zareza, nosi naprezanje jednako vlačnoj čvrstoći. Popuštanje počinje u korijenu zareza i propagira kroz čitavi ligament, zbog čega su deformacije najveće u korijenu zareza (Slika 2.14).

Slika 2.13 Kolaps presjeka.

Slika 2.14 Raspodjela naprezanja i deformacije kod zareza (ravninsko stanje naprezanja). (a) deformacija; (b)

naprezanje s horizontalnom krivuljom naprezanje-deformacija; (c) naprezanje s rastućom krivuljom naprezanje-deformacija.

Dokle god je naprezanje u elastičnom području ponašanja materijala, koncentracija naprezanja dana je jednadžbom σl=ktσnom. Za elastično područje ponašanja materijal generalno vrijedi σ=Eε, iz čega slijedi da je koncentracija deformacija:

nomnomtnom

tl kkE

k εεσ

ε ε ⋅=⋅=⋅= (2.10)

gdje kε predstavlja koncentraciju deformacija (kε=kt). Kada je cijeli ligament popustio koncentracija naprezanja nestaje, ali je još uvijek prisutna koncentracija deformacija. Neuber


- 34 -

označava faktor koncentracije naprezanja sa kσ i faktor koncentracije deformacija sa kε, te postulira:

2tkkk =⋅ εσ (2.11)

gdje je kt teorijski faktor koncentracije naprezanja. U elastičnom slučaju kσ=kε, dakle tada su oboje jednaki kt. Faktor koncentracije naprezanja kσ reducira se kada dođe do popuštanja materijala, dok se faktor koncentracije deformacija povećava. Kod slučaja koji prikazuje Slika 2.14b, gdje je kσ poprimio vrijednost kσ=1, faktor koncentracije deformacija iznosi kε=kt

2/kσ=kt2/1=kt

2. Kod slučaja kt=3 koncentracija naprezanja opada od kσ=kt=3 u elastičnom slučaju, do kσ=1 kod potpunog plastičnog slučaja. S druge strane koncentracija deformacija raste od kε=kt=3 u elastičnom slučaju, do kε=kt

2=9 u plastičnom slučaju. U slučaju materijala kojeg karakterizira očvršćivanje, naprezanje u ligamentu može porasti iznad Fty. Zaostati će određena koncentracija naprezanja (Slika 2.14c), ali će zato koncentracija deformacija biti vrlo velika. Kada se čitav ligament plastificira, na vrhu zareza (plastična) deformacija biti će mnogostruko veća. Ta vrlo velika deformacija kod vrha zareza uzrokovati će pojavu loma mnogo prije nego što naprezanje u području dalje od zareza dosegne vrijednosti veće od Fty. Nastankom loma vrh zareza postaje mnogo oštriji, što znači da se situacija pogoršava, tj. da lom propagira. Kada započne rascjepljivanje ili plastični kolaps u vrhu zareza naprezanje je u ligamentu je približno Fty. Dakle, čak i kod očvrščivajućeg materijala i ravninskog stanja naprezanja, prosječno naprezanje u području presjeka pukotine ne doseže vrijednost Ftu. Ftu predstavlja vlačnu čvrstoću materijala. Kolaps će nastupiti pri prosječnom naprezanju ligamenta nešto većem od Fty, ali manjim od Ftu. Prosječno naprezanje u ligamentu pri kojem kolaps nastupa naziva se kolapsna čvrstoća Fcol. Kod materijala koje ne karakterizira pojava očvršćivanja vrijedi Fcol=Fty, ili u najboljem slučaju Fcol=Ftu. Kao što se Ftu i Fty najtočnije određuju preko statičkog vlačnog testa, tako se i Fcol određuje testiranjem epruvete sa zarezom. Iznos Fcol ovisi o veličini zareza (kσ i kt). Za kružne provrte s kt=3, kolapsna čvrstoća će približno biti jednaka vlačnoj čvrstoći materijala (Fcol≈Ftu). U slučaju oštrog vrha zareza kolapsna čvrstoća će približno biti jednaka granici popuštanja materijala (Fcol≈Fty). Slijedi da za materijale koje karakterizira očvršćivanje vrijedi:

colfc FW

aW −=σ (2.12)

Ako je prisutno ravninsko stanje deformacija, ili u slučaju općeg ne-ravninskog stanja naprezanja, raspodjela naprezanja poslije popuštanja nije uniformna (Slika 2.12). Gornja diskusija odnosila se isključivo na uniformno aplicirano opterećenje. Ako se u razmatranje želi dodati i utjecaj savijanja, tada se uvjeti za nastanak kolapsa nešto kompliciraju. Potpunu plastičnu raspodjelu naprezanja na ligamentu za slučaj savijanja prikazuje Slika 2.15c. Maksimalni moment savijanja dagađa se kada je naprezanje u presjeku jednako Fcol. Moment oko točke A iznosi:

( )2max 41

422 aWBFaWaWBFM colcol −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= (2.13)

Općenito, u inženjerskoj praksi sva rješenja morala bi biti dana preko nominalnog naprezanja. Za slučaj savijanja to je također moguće, jer nominalno naprezanje savijanja pri Mmax iznosi σ=6Mmax/BW2. Uvrštavanjem u gornju jednadžbu slijedi:


- 35 -

colfc FW

aW 2

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=σ (2.14)

Slika 2.15 Analiza kolapsa: centralna pukotina (a); kolapsno naprezanje (b); raspodjela naprezanja za rastući

moment savijanja (c); kolapsna čvrstoća (e); kombinacija savijanja i razvlačenja (e).

2.7 Lom na zarezu: krhko ponašanje

Kolapsno opterećenje ili granično opterećenje predstavlja najveće opterećenje koje se može ostvariti, tj. apsolutni maksimum nosivosti definiran je kolapsnim opterećenjem. Lom automatski nastupa kada su ostvareni uvjeti kolapsa. Ipak prijelom može nastupiti prije negoli su ostvareni uvjeti kolapsa. U slučaju kada lom nastupa uslijed kolapsa, preostala čvrstoća određuje se pomoću jednadžbe (2.9) ili (2.14): σres=σcf. Preostala čvrstoća nikad ne može biti veća od toga. Ako lom nastupi prije kolapsa, preostala čvrstoća manja je od nominalnog naprezanja pri kolapsu (σres<σcf). Deformacije i naprezanja većeg su iznosa pri vrhu zareza negoli igdje drugdje na opterećenom dijelu. U slučaju vrlo visokog kt ovo može dovesti do pojave lokalnog loma mnogo prije neko ostatak presjeka kolapsira. Uvjeti za lom stoga se mogu ostvariti još dok je cijeli zarezani presjek u elastičnom području ponašanja. Jednom kada se inicira lom, zarez je sve veći i oštriji pri vrhu, te lom propagira kroz ligament. Pukotine koje nastaju uslijed zamora materijala ili pri naponskoj koroziji smatraju se veoma oštrim zarezima.


- 36 -

Kolaps nastupa kada naprezanje u cjelom presjeku još nije jednako granici popuštanja materijala. Tada su sve plastične deformacije ograničene na presjek kroz zarez. Ako je kolapsno naprezanje veće od granice popuštanja materijala, tada se primjenjuje jednadžba (2.12). U tom slučaju naprezanje u cjelom presjeku može doseći ili preći granicu popuštanja materijala, ako je kolapsno naprezanje veliko, a veličina zareza mala. U općem slučaju, međutim, naprezanje pri gubitku nosivosti presjeka biti će ispod granice popuštanja materijala. Dakle, u velikoj većini slučaja loma kod zareza i pukotina, plastična deformacija pojavljuje se samo u presjeku zareza. Ograničavanje popuštanja na presjek zareza ima značajni utjecaj na sveukupno produljenje dijela u trenutku loma. Kod statičkog vlačnog pokusa s ne zarezanom epruvetom deformacija u trenutku pojave suženja je obično 10% ili više (Slika 2.16). Kod epruvete sa zarezom plastična deformacija nastupa samo u presjeku zareza. Iako će se ovaj presjek deformirati oko 10 % prije nastanka loma, ukupno produljenje biti će značajno manje u usporedbi s ne zarezanom epruvetom (Slika 2.16). Zbog toga je produljenje nakon loma teško uočljivo kod epruvete sa zarezom. Ako nastupa generalno jako mala deformacija, tada se takav lom smatra krhkim. Lomovi mogu biti duktilni ili krhki, ali s obzirom da većina prijeloma nastupa uz prisutnost zareza većina prijeloma je krhkog karaktera.

Slika 2.16 Krhkost uslijed zareza i pukotina kao rezultat lokalizirane plastične deformacije u području visokih

naprezanja.


- 37 -

3 LINEARNO ELASTIČNA MEHANIKA LOMA

3.1 Naprezanje pri vrhu pukotine

Slika 3.1 prikazuje tijelo proizvoljnog oblika sa pukotinom proizvoljne veličine i proizvoljnog opterećenja (mod I). Materijal tijela idealizira se elastičnim, tj vrijedi Hookeov zakon. Za takav slučaj teorija elastičnosti se može upotrijebiti za utvrđivanje polja naprezanja. Razmatrati će se dvoosno stanje naprezanja s komponentama naprezanja barem u smjeru osi x i y. Može se razmatrati i troosno stanje naprezanja ako se uzme u obzir sprečavanje lokalnog smanjenja debljine.

Slika 3.1 Tijelo proizvoljnog oblika, proizvoljne pukotine i proizvoljnog opterećenja prema modu I.

Naprezanja u materijalnom elementu kojeg prikazuje Slika 3.1 može se odrediti pomoću sljedećih jednadžbi (zanemarujući ograničavanje smanjenja debljine):

(3.1)

U slučaju kada je θ=0 (ravnina presjeka s pukotinom) vrijedi (x=r za θ=0):

(3.2)


- 38 -

Za ravninu y=0 (za koju gornje jednadžbe vrijede) poprečna i uzdužna naprezanja (σx i σy) su istog iznosa. Naprezanja ovise o udaljenosti x od vrha pukotine (što je veća udaljenost od vrha pukotine naprezanja su manja) i o faktoru intenziteta naprezanja (eng. stress intensity factor) K. K se obično označava sa KI, KII, KIII, sukladno modovima opterećenja I, II, III, ali s obzirom da se ovdje razmatra samo mod opterećenja I, KI će se označavati kao K. Jednadžbe su izvedene za proizvoljno tijelo, opterećenje i pukotinu, stoga jednadžbe (3.2) vrijede za bilo koje elastično tijelo i primjenjive su za svu problematiku vezano uz pukotine. Razmatrati će se beskonačno velika ploča sa centralnom pukotinom, opterećena jednolikim jednoosnim nominalnim naprezanjem σ (Slika 3.2a).

Slika 3.2 Centralna pukotina s jednolikim opterećenjem: (a) beskonačna ploča, (b) konačna ploča.

Veličina pukotine je 2a. Sve pukotine u mehanici loma koje imaju dva vrha se označavaju sa 2a. Sve pukotine sa jednim vrhom se označavaju sa a. Naprezanje pri vrhu pukotine biti će proporcionalno narinutom opterećenju, a ovisit će i o veličini pukotine (što je veća pukotina, veća će biti i naprezanja), te vrijedi:

(3.3)

gdje je C bezdimenzionalno parametar te za slučaj beskonačno velike ploče vrijedi C=π1/2, te je stoga:

(3.4)

Iz gornjih jednadžbi zaključuje se da za konfiguraciju koju prikazuje Slika 3.2a vrijedi:

(3.5)

3.2 Opći izraz za faktor intenziteta naprezanja

Pristup korišten za prikaz značaja K nije limitiran samo na beskonačno veliku ploču. Kada je u pitanju ploča konačne širine (Slika 3.2b) dimenzije će imati utjecaj na naprezanje pri vrhu pukotine, tj. naprezanje će biti veće kada je W manji, a C mora biti funkcija od W i od a. Za konfiguraciju koju prikazuje Slika 3.2b vrijedi:


- 39 -

(3.6)

gdje je L unificirana dimenzija duljine geometrije napuknutog dijela. Ako je a vrlo mali, a W vrlo velik, onda vrijedi (sec(πa/W))1/2=1. U praktičnoj primjeni gornjih jednadžbi svi C su podijeljeni sa π1/2, a funkcija C(a/L)/π1/2 je preimenovana u β i dobiva se konačni izraz za faktor geometrije (eng. geometry factor):

(3.7)

Jednadžbe vrijede za sve vrste pukotina jer su izvedene iz proizvoljno odabranog tijela, pukotine i proizvoljnog opterećenja moda I. Za svaku pukotinu u praksi potrebno je jedino izvesti vrijednost ili funkciju β. Za mnoge slučajeve β je već unaprijed izračunat i može se naći u raznim priručnicima. U svim jednadžbama ovog poglavlja naprezanje σ je nominalno naprezanje u presjeku bez pukotine. Činjenica da su naprezanja veća u presjeku sa pukotinom kada se W smanjuje je uzeta u obzir u izrazu za parametar β.


- 40 -

3.3 Lomna žilavost

Lom nastupa kada naprezanje pri vrhu pukotine postane veće nego što materijal može izdržati. Kako K određuje cijelo polje naprezanja oko vrha pukotine može se reći da će pucanje nastupiti kada K postane prevelik za dani materijal. Koliko veliki K može biti, ovisi o materijalu i mora se utvrditi pokusom. Najveća vrijednost K koju može izdržati napuknuta komponenta zove se lomna žilavost (eng. toughness) materijala. Jedinica lomne žilavosti je MPa·m1/2 , tj. naprezanje·(duljina pukotine)1/2. Univerzalnost prethodnih jednadžbi dolazi do izražaja kada ako imamo dva različita predmeta od istog materijala koji imaju isti K, jer će naprezanja kod vrha pukotine u oba predmeta biti jednaka. Do loma dolazi kada je K jednak lomnoj žilavosti. Izraz za nominalno naprezanje kod kojeg dolazi od loma:

ažilavostLomna

fr πβσ = (3.8)

Slika 3.3 Ovisnost σfr o duljini pukotine a.

σfr predstavlja preostalu čvrstoću materijala u kojem je prisutna pukotina.

3.4 Plastična zona i ravninsko stanje naprezanja i deformacije

Jednadžbe iz prethodnih odjeljaka ovog poglavlja podrazumijevaju da dalje od vrha pukotine (x je velik) σx i σy postaju nula. Za σx to ne čudi, ali za σy ta tvrdnja nije točna, jer će se dalje od pukotine σy izjednačiti s apliciranim opterećenjem σ. Potpuni izraz za σy je dan je sljedećim redom:

(3.9)

drugi član reda naročito osigurava da je σy=σ za veliki x, a kada je x=0 vrijedi σy=∞. Što znači da je na samom vrhu pukotine naprezanje beskonačno veliko. Također, beskonačno veliko naprezanje djeluje samo u jednoj točki, a ne na nekom određenom području. Međutim, u nekom realnom materijalu doći će do plastične deformacije pa se naprezanje ne može puno povećavati nakon što započne popuštanje. Polje naprezanja na zarezima i pukotinama, kao i vrsta stanja naprezanja, ovisit će o debljini razmatranog dijela, jer dolazi do pojave kontrakcije u smjeru debljine visoko napregnutog cilindra kod vrha pukotine. Kontrakcija se može odvijati slobodno u slučaju


- 41 -

tanke ploče, što odgovara ravninskom stanju naprezanja. Kod debljih ploča kontrakcija je ograničena, što dovodi do ravninskog stanja deformacije. Pri tome je poprečno naprezanje σx jednako je uzdužnom σy na vrhu pukotine, pa vrijedi:

(3.10)

što uz ν≈0.33 daje:

(3.11)

Tresca kriterij popuštanja definira sljedeći uvijet plastične deformacije za ravninsko stanje deformacije:

tyyy F=− σσ 66.0 ili tyy F3=σ (3.12)

Dakle, naprezanje σy mora biti tri puta veće od granice popuštanja Fty da bi se inicirala plastična deformacija. Kod ravninskog stanja naprezanja, kada je σz=0, popuštanje će započeti kada je σy=Fty. Slika 3.4 prikazuje raspodjele naprezanja, pod pretpostavkom da se naprezanja ne povećavaju značajnije nakon popuštanja. Na slici se vidi da su unutar određene udaljenosti od vrha pukotine (tp) zadovoljeni uvjeti za popuštanje pa stoga uvijek postoji malo područje pri vrhu pukotine unutar kojeg će doći do plastične deformacije. To područje se zove plastična zona, čija se veličina za ravninsko stanje naprezanja (σy=Fty) i/ili deformacije (σy=3Fty) određuje prema sljedećim izrazima:

Ravninsko stanje naprezanja: typ

Fr

K=

π2 ili 2

2

2 typ

FKrπ

=

(3.13)

Ravninsko stanje deformacije: typ

Fr

K 32

=π

ili 2

2

18 typ F

Krπ

=

(a) (b)

Slika 3.4 Raspodjela naprezanja (σy) na vrhu pukotine: (a) ravninsko stanje naprezanja; (b) ravninsko stanje deformacije.


- 42 -

Realne plastične zone približno su dvostruko veće u odnosu na iznose dobivene gornjim izrazima radi puno većih stvarnih naprezanja unutar plastične zone, pa se duljina plastične zone obično računa prema izrazu:

2

2

typ F

Krαπ

= (3.14)

gdje je α=2 za ravninsko stanje naprezanja i α=6 za ravninsko stanje deformacije.

3.5 Ovisnost lomne žilavosti o debljini

Jednadžba (3.14) pokazuje da veličina plastične zone ovisi samo o K. Međutim, raspodjela naprezanja nije ista u slučajevima ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacije. Treba napomenuti da je jednadžba (3.14) nastala samo od prvog člana jednadžbe (3.9), a ako se dogodi da je plastična zona dovoljno velika, tada njena veličina neće ovisiti samo o K, nego i o ostalim članovima reda (tj. C, D, itd.). Ako razmotrimo dvije različite ploče, od kojih je jedna tanka (ravninsko stanje naprezanja), a druga deblja (ravninsko stanje deformacije) te obije imaju pukotine i karakterizira ih isti KI. Za očekivati je da je lomna žilavost veća kod ravninskog stanja naprezanja nego kod ravninskog stanja deformacije, Slika 3.5a.

Slika 3.5 Ovisnost lomne žilavosti o debljini: (a) Utjecaj debljine na plastičnu zonu i stanje naprezanja; (b)

Utjecaj debljine na lomnu žilavost.

Za slučaj ravninskog stanja deformacije lomna žilavost se označava sa KIc, dok se u slučaju ravninskog stanja naprezanja, kao i u prijelaznim slučajevima između ta dva stanja naprezanja, lomna žilavost označava sa Kc ili KIc. Lomna žilavost kao funkcija debljine može se mjeriti testovima na epruvetama različite debljine, te se potom može koristiti za računanje preostale čvrstoće napuknutih konstrukcija:

(3.15)

Isto tako, debljina pri kojoj dolazi do ravninskog stanja deformacije može se izračunati koristeći sljedeći izraz (Slika 3.6):

Q

FKB

DL

ty

Ic>=

2

2

α

(3.16)


- 43 -

gdje koristeći supstituciju Q/α=q, dobijamo:

2

2

ty

Ic

FKqB ⋅= (3.17)

Vrijednost q se ne može odrediti matematički, nego se dobija na temelju mjerenja lomne žilavosti na epruvetama raznih debljina i iznalaženja debljine pri kojoj se krivulja ujednačuje. Treba naglasiti da je debljina relevantna samo u slučaju pukotine orijentirane u smjeru debljine ploče.

Slika 3.6 Debljina i stanje naprezanja: utjecaj debljine ploče na kontrakciju.

Lomna žilavost se može mjeriti na bilo kakvoj epruveti s pukotinom. Lom nastupa kada je jednadžba (3.15) zadovoljena. Iako se testovi mogu vršiti na bilo kakvom tijelu, nekoliko je vrsta epruveti standardizirano te jednu takvu epruvetu prikazuje Slika 3.7.

Slika 3.7 Standardna KIc epruveta. Lijevo: konfiguracija; Desno: zarez.

3.6 Energetski kriterij

Zakon očuvanja energije nalaže da je rad (F) utrošen na deformiranje neke konstrukcije jednak akumuliranoj unutarnjoj energiji deformiranja (U), tj.:

F–U=0 (3.18)

Rad uslijed djelovanja opterećenja jednak je ∫Pdδ gdje je P vanjsko opterećenje, a δ je pomak hvatišta opterećenja. U slučaju linearno-elastičnog materijala rad i/ili energija deformiranja jednaki su ½Pδ (Slika 3.8), ali se energija deformiranja također može odrediti i na drugi način.


- 44 -

Slika 3.8 Dijagram opterećenja spram pomaka za linearno-elastično tijelo.

Promatrat će se mali materijalni element jedinične veličine koji je podvrgnut jednoosnom razvlačenju. Ukupni rad naprezanja σ potreban da se pojavi deformacija veličine dε je ∫σdε, što za linearno-elastični materijal iznosi ½σε. Uvodeći Hooke-ov zakon u izraz i uzimajući u obzir cjelokupno tijelo ili konstrukciju (integral po cjelokupnom volumenu, odnosno u sva tri smjera), dobiva se:

(3.19)

U slučaju linearno-elastičnog štapa opterećenog vlačno, naprezanje je jednako u svim volumnim elementima te je ukupna energija deformacije jednaka radu jednog materijalnog elementa pomnoženim s volumenom tijela AL, gdje je A površina poprečnog presjeka štapa, a L njegova duljina. Ako se dobivena energija deformacije za razmatrani štap uvrsti u zakon očuvanja energije, dobiva se:

(3.20)

Ova jednadžba je općenita i vrijedi za slučaj pukotine u konstrukciji duljine 2a (Slika 3.9). U slučaju ograničene plastifikacije odnos opterećenja i pomaka je i dalje linearan. Ako konstrukcija sadrži pukotinu nešto veće duljine a+da, njena krutost je manja (Slika 3.10). Ako se pukotina produlji za da, zakon očuvanja energije sadržavati će i dodatni član koji opisuje rad uslijed širenja pukotine (W).

Slika 3.9 Konstrukcija sa pukotinom.


- 45 -

(3.21)

Gornja jednadžba sada opisuje samo promjenu energije, a ne njen apsolutan iznos. Ako lom nije nastupio ova jednadžba ne vrijedi, a ako jest, jednadžba mora vrijediti. Drugim riječima, možemo je shvatiti kao kriterij nastanka loma.

Slika 3.10 Dijagram opterećenja spram pomaka prilikom nastanka pukotine pri konstanom pomaku i konstantom

opterećenju.

3.7 Promjena energije deformiranja

Mogu se razmotriti dva različita slučaja: prvi, kada se pomak ne mijenja pri pojavi loma preko duljine da i drugi, kada je opterećenje konstantno pri pojavi loma preko duljine da. U prvom slučaju je dF=0, pošto nema pomaka, dok je u drugom rad jednak razlici pomaka prije i nakon nastanka pukotine. U oba slučaja dobiva se:

(3.22)

Lijeva strana izraza naziva se promjenom energije deformiranja (eng. strain energy release rate), a desna strana energija loma (eng. fracture energy or fracture resistance). Kako je energija deformiranja pod utjecajem pukotine, može se pisati: U=Ubez pukotine+Uuslijed pukotine. Za vrlo veliku ploču jedinične debljine (s centralnom pukotinom duljine 2a) u konačnici se dobija izraz:

(3.23)

Ukoliko se izraz derivira po a i uzme u obzir pukotina sa dva vrha, dobija se sljedeći izraz po vrhu pukotine i po jedinici debljine:

(3.24)

Tako izraz za kriterij loma postaje:

(3.25)

Pri tome se dW/da naziva otpornost lomu (eng. fracture resistance) i često označava s R, dok se dU/da, tj. promjena energije deformiranja označava s G, te vrijedi G=R.


- 46 -

3.8 Značenje energetskog kriterija loma

Zadnja jednadžba pokazuje da se lom pojavljuje kada produkt πσ2a dosegne vrijednost ER, pri čemu πσ2a predstavlja kvadrat koeficijenta intenzivnosti naprezanja, K. Stoga, može se zaključiti da će doći do pojave loma kada vrijedi K=(ER)1/2, pri čemu (ER)1/2 predstavlja žilavost Kc, a otpornost lomu jest R=Kc

2/E. Možemo zaključiti da je kriterij loma izveden preko zakona očuvanja energije identičan kriteriju loma prethodno izvedenom na temelju naprezanja u vrhu pukotine.

3.9 Porast otpornosti lomu: redefinicija žilavosti

Razumno je pretpostaviti da je R konstantan i neovisan o napredovanju loma. To bi značilo da bi bilo potrebno jednako mnogo energije za nastanak kako prvog da, tako i svakog sljedećeg da, što je prikazano ravnom horizontalnom krivuljom koja predstavlja ovisnost između R i Δa, kako prikazuje Slika 3.11a.

(a) (b)

Slika 3.11 R-krivulja: (a) Horizontalna; (b) Rastuća.

U slučaju da je β=1, G(a) je pravac, sa nagibom ovisnim o σ. Ako se u dijagramu uzmu dvije različite vrijednosti G za dva različita naprezanja, očito je G1 manji od R, a G2 je upravo jednak R. Iz toga možemo zaključiti da se pri naprezanju σ1 neće dogoditi lom, dok pri naprezanju σ2 hoće, te će G2 preći u G3 (koji je veći od R), tj. pukotina se počinje nekontrolirano širiti. U realnosti R nije horizontalna linija, jer se energija loma povećava kako se pukotina širi kod materijala s nižom žilavošću (Slika 3.11b), dok kod materijala veće žilavosti R-krivulja brže raste, kako prikazuje Slika 3.12. Slika 3.12 prikazuje da za naprezanje σi vrijedi Gi=R, kada je pukotina širine a te da će lom nastati, ali se neće širiti, tj. lom je stabilan. Ako se pukotina počne širiti preko Δa, G raste od Gi do G1, ali R raste brže, te se pukotina ne može širiti. Daljnjim povećanjem naprezanja na σ2 pukotina se nastavlja širiti, ali je opet G2 jednak R, te se pukotina neće širiti nestabilno. Ako se pak poveća naprezanje na σfr1, G će rasti brže nego R, te nastupa nestabilni lom, tj. pukotina će se nekontrolirano širiti. Tijekom stabilne faze širenja pukotine, ista se širi od a1 do a2, mada se na prvi pogled čini da konstrukcija sa pukotinom duljine a2 ima čvrstoću σfr, to nije točno. Promjena sa a1 na a2 je uslijed loma, a ne uslijed nekog drugog procesa (npr. naponska korozija ili zamor materijala). Pukotina uslijed zamora materijala će se širiti i na naprezanju manjem od σfr.


- 47 -

Pukotina velične a1 nastala uslijed zamora materijala uzrokuje čvrstoću materijala od σfr1. To što pukotina propagira do a2 prije nego što se počne nestabilno širiti je zanemarivo spram konačnog rezultata. Analogno tome, pukotina duljine a2 uzrokuje nižu čvrstoću σfr2. Zaključujemo da ako se ne postigne naprezanje loma σfr, konstrukcija zadržava svoju cjelovitost pa čak i u slučaju nestabilnog loma.

(a) (b) Slika 3.12 Rastuće R-krivulje: (a) Stabilni lom od Gi do G3; (b) Stabilni lom za pukotine različitih duljina.

Nestabilnost loma događa se kada G linija tangira R-krivulju (Slika 3.12), tj. kada imaju isti nagib. Kako je nagib opisan sa prvom derivacijom, uvjet nestabilnosti glasi:

(3.26)

Ako je prva jednadžba zadovoljena, dolazi do pojave loma, dok zadovoljavanje druge jednadžbe uvjetuje nestabilnost (nekontroliranost) loma. Ove jednadžbe imaju važne implikacije pri definiranju žilavosti. Unutar prethodnih poglavlja žilavost se definirala kao intenzitet naprezanja kod kojeg se pojavljuje lom. Sada je razvidno da se (nestabilni) lom može pojaviti pri različitim vrijednostima G i za različite veličine pukotine. Slika 3.12 pokazuje da se pri pukotini veličine a1 lom javlja pri GA, dok se za pukotinu a2 lom javlja pri GB. Kako je K2=(EG)1/2, slijedi da su različite vrijednosti K prisutne pri pojavi loma u dva slučaja. U prethodnim razmatranjima je pretpostavljeno da se lom javlja uvijek pri jednoj vrijednosti K (nazvali smo je Kc). Očito je da ova pretpostavka nije točna ako se prvo pojavi stabilni lom. Iako ovaj problem može izazvati komplikacije pri analizi loma, može se riješiti na inženjerski način. Trebalo bi prvo spomenuti da su Slika 3.11 i Slika 3.12 prikazane za vrijednost β=1, tj. za beskonačnu ploču. Za stvarne pukotine u konstrukciji β nije jednaka jedinici, tako da su G-linije zakrivljene. Zakrivljenost je veća za veće pukotine, kako prikazuje Slika 3.13. S obzirom da su vrijednosti G (i K) pri lomu više-manje jednake za pukotine različitih duljina, može se zaključiti da pretpostavka o konstantnom K pri lomu i nije tako nerealna sa inženjerskog stajališta.


- 48 -

Slika 3.13 Približna konstantnost Gi i Kc: zakrivljene prema ravnim G linijama.

Ukoliko razmotrimo dijagram preostale čvrstoće (Slika 3.14), u prisutnosti pukotine veličine jednog palca, lom se javlja pri naprezanju koje odgovara točki A, dok se nestabilnost loma javlja pri naprezanju koje odgovara točki B. To znači da ako je prisutna pukotina od jednog palca, izdržljivost konstrukcije je definirana sa točkom B. To ne znači da je preostala čvrstoća konstrukcije sa pukotinom od tri palca definirana sa točkom B. Iz slike se može zaključiti da takav lom postaje nestabilan u točki D, koja pak predstavlja preostalu čvrstoću u tom slučaju. Unatoč tome što pukotina od jednog palca ukazuje na stabilni lom sve do tri palca, pukotina uslijed zamora bi uzrokovala lom pri D, a ne B.

Slika 3.14 Približna konstantnost Gi i Kc: krivulje preostale čvrstoće za ravninsko stanje naprezanja.

Dvije krivulje koje prikazuje Slika 3.14 mogu biti definirane pomoću kritičnog intenziteta naprezanja (eng. critical stress intensity). Gornja krivulja je određena sa kritičnim G za nestabilnost loma, a donja linija je definirana za G pri pojavi loma, stoga:

Nastanak loma:

(3.27)

Pojava nestabilnosti:

Na temelju prethodnih jednadžbi slijede izrazi za računanje naprezanja pri pojavi loma σi i naprezanja pri pojavi nestabilnog loma σc:


- 49 -

(3.28)

Krivulje definirane gornjim izrazima prikazuje Slika 3.15a, kao gornju i donju krivulju. Očito, vrijednost K u gornjim relacijama nije konstantna nego ovisi o veličini pukotine. S druge strane, vrijednost Kc neće značajnije varirati u realnim konstrukcijama. Niti gornja niti donja krivulja ne definira stvarnu preostalu čvrstoću. Pokazano je da je stvarna čvrstoća konstrukcije sa pukotinom od npr. jednog palca definirana točkom B (Slika 3.14). Kako bi odredili stvarnu preostalu čvrstoću sa ovom pukotinom, trebali bi prikazati čvrstoću u B pri početnoj veličini pukotine, što prikazuje Slika 3.15.

Slika 3.15 Upotreba Kef u analizi loma: (a) Preostala čvrstoća i inicijalna duljina pukotine; (b) Predviđena

krivulja i eksperimentalni podaci na temelju Kef.

Preostalu čvrstoću uz prisutnost pukotina nije određena niti sa donjom niti gornjom krivuljom, već sa srednjom linijom na istoj slici. Ovoj krivulji mogla bi se pridružiti kritična vrijednost efektivne žilavosti (eng. effective toughness), Kef, koja je opisana sljedećim jednadžbama:

(3.29)

U ovim jednadžbama ai je duljina pukotine uzrokovana zamorom materijala ili naponskom korozijom, dok je σfr čvrstoća konstrukcije sa pukotinom. Gornje jednadžbe kombiniraju naprezanje i pukotinu koje se ne pojavljuju istovremeno. Kao takve, ove jednadžbe se fizikalno pogrešne, ali su sa inženjerskog stajališta potpuno prihvatljive sve dok je Kef više ili manje konstantan (značajka materijala). Gornja krivulja koju prikazuje Slika 3.15a može definirati jednadžbom:

(3.30)


- 50 -

Ovo bi bila dobra definicija ako bi Kc bio približno konstantan. Međutim, njenim korištenjem u analizi loma došlo bi do pogrešnog korištenja izraza:

(3.31)

Naprezanje računato pomoću gornje jednadžbe bilo bi (npr. pukotina od tri palca uslijed zamora koju prikazuje Slika 3.14) određeno sa točkom B, a stvarno naprezanje je određeno točkom D. Očito, korištenje Kc bi dovelo do krivog rezultata. Korištenje efektivne vrijednosti Kef bi rezultiralo točnim rješenjem, ukoliko je inženjerska aproksimacija prihvatljiva. Kao oznaku za žilavost uobičajeno je koristiti Kc, ali s velikim naglaskom da je korištena efektivna vrijednost žilavosti. Gornja diskusija je valjana kako za ravninsko stanje naprezanja, tako i za ravninsko stanje deformacije (kao i za tranzijentne slučajeve). Očito, gornje inženjerske aproksimacije nisu potrebne ako se analiza loma temelji na R-krivulji. U tom slučaju može se diskutirati o vćoj točnosti i/ili pouzdanosti rezultata. S akademskog stajališta, rezultat će biti više pouzdan, dok s praktičnog stajališta nije, jer takav pristup podrazumijeva poznavanje R-krivulje koja se može dobiti mjerenjem propagacije loma. Takva mjerenja su po svojoj prirodi netočna, tako da se R-krivulja određuje aproksimativno. Njezina daljnja upotreba ne pruža točnije rezultate od gore navedenog inženjerskog pristupa.


- 51 -

4 ELASTO-PLASTIČNA MEHANIKA LOMA

4.1 Energijski kriterij plastičnog loma

Neovisno o tome razmatra li se materijal u elastičnom ili plastičnom području, zakon očuvanja energije mora vrijediti. U prethodnom poglavlju izveden je kriterij loma:

dU dW ili G Rda da

= = (4.1)

Za elastično ponašanje dobiven je izraz:

2 2a dW ili R GE da

β πσ= = (4.2)

Gdje R predstavlja energiju loma, dok G predstavlja promjenu energije deformiranja. U inženjerskoj analizi korisno je prethodnu jednadžbu izraziti pomoću naprezanja:

2c

frKE R

a aπβ β πσ ⋅

== (4.3)

U slučaju plastičnih deformacija geometrijski faktor β se mijenja, ali je i dalje bezdimenzionalan te se označava sa H. U tom slučaju, izraz za promjenu energije deformiranja glasi:

H a Rσε = (4.4)

Nadalje, G se u slučaju nelinearnih materijala označava sa J, dok se R kod nelinearnih materijala označava sa JR. Time se jednadžbe dobivene za elastično ponašanje materijala pretvaraju u jednadžbe za plastično ponašanje materijala:

RJ JH a Jσε=

= (4.5)

Na umu treba imati da su to iste jednadžbe dobivene iz zakona očuvanja energije, samo su se promijenile pojedine oznake. Iako je u prethodnom poglavlju korišten Hookeov zakon za linearno ponašanje materijala (linearna veza između naprezanja i deformacije), iste jednadžbe se mogu primijeniti i na plastično područje ako postoji nelinearna funkcija između ε i σ, takva da odgovara ponašanju materijala. Najpogodnija (empirijska) funkcija nelinearnog odnosa naprezanja i deformacije je eksponencijalna funkcija, poznata kao Ramberg-Osgood jednadžba:

n

E Fσ σε = + ili el plε ε ε= + (4.6)


- 52 -

4.2 Kriterij loma

S obzirom da se Ramberg-Osgoodova jednadžba može se koristiti za evaluaciju kriterija loma te kako prvi pribrojnik te jednadžbe predstavlja već diskutirani elastični (linearni) dio krivulje naprezanje-deformacija, potrebno je razmotriti efekte plastičnog dijela (drugog pribrojnika) Ramberg-Osgoodove jednadžbe:

n

pl Fσε = (4.7)

Razvidno je da se za slučaj n=1 (F=E) gornji izraz svodi na Hookeov zakon, dok se uvrštavanjem jednadžbe (4.5) u jednadžbu (4.7) dobiva:

1n

RH a J

Fσ +

= (4.8)

Za n=1 (F=E) gornji izraz implicira da je H=πβ2. Kriterij loma, nakon što je definiran i plastični dio, sada se može zapisati na sljedeći način:

2 2 1na H a dWE F da

πβ σ σ +

+ = (4.9)

odnosno u skraćenom zapisu G+R=JR. Iz prethodnih razmatranja vidi se da primjena elasto-plastične mehanike loma (EPFM) u odnosu na linearno-elastičnu mehaniku loma (LEFM) nije ništa kompliciranija i/ili nezgodnija. Najveća razlika je u tome što se kod EPFM treba primijeniti iterativni postupak za rješavanje jednadžbe (4.9) te što H ne ovisi samo o geometriji nego i o n, te je zbog toga H teže odrediti nego β.

4.3 Porast energije loma

Elasto-plastična mehanika loma bavi se materijalima visoke žilavosti. Kod takvih materijala energija loma (JR) se povećava tokom procesa loma. To se očituje mogućim sporim i stabilnim lomom u početku do određene točke kada se pojavi nestabilnost koja uzrokuje brz i nekontrolirani lom.

Slika 4.1 J-krivulje za različita naprezanja i JR krivulja.


- 53 -

Slika 4.1 prikazuje rastuću JR krivulju te nekoliko J-krivulja dobivenih za različita naprezanja. Za naprezanje σa vrijednost J(a) dana je točkom A. U tom slučaju je J<JR te lom nije moguć. Povećanjem naprezanja na σi vrijednost J(a) dana je točkom B. Ovdje je J=JR te dolazi do stabilnog loma. Ako opterećenje ostane na σi dolazi se u točku C za koju vrijedi J<JR te neće doći do loma. Povećanjem opterećenja na σb lom se širi za vrijednost ∆ab te je vrijednost J(a) dana točkom D. Daljnjim povećanjem naprezanja lom se širi stabilno. Za slučaj kada naprezanje dosegne σfr funkcija J tangira JR u točki E nakon koje slijedi nestabilan lom (J>JR). Slika 4.1jasno prikazuje uvjete nestabilnosti:

R

R

J JdJdJ

da da

=

= (4.10)

koji označavaju tangiranje J(a) krivulje i JR krivulje. Ova procedura vrijedi kada je zadovoljen uvjet kontrole opterećenja (naprezanja ne padaju kada lom postane nestabilan). U slučaju kontrole pomaka naprezanja mogu pasti, npr. kada je opterećenje uzrokovano toplinskim naprezanjima krajnji pomaci su predodređeni te se tokom loma krutost konstrukcije smanjuje, što može dovesti do vrlo naglog pada naprezanja. S obzirom da J ovisi o σ, možda neće biti moguće održavati J>JR čime se odgađa pojava nestabilnosti. U tom slučaju pad naprezanja mora se izračunati na temelju smanjene krutosti konstrukcije.

4.4 Parametri krivulje naprezanje-deformacija

Unutar jednadžbe (4.7) eksponent n naziva se eksponent očvršćivanja deformacije (eng. strain hardening exponent), dok F predstavlja konstantu proporcionalnosti na jednaki način kao što E predstavlja konstantu proporcionalnosti između naprezanja i deformacije u elastičnom području te ju nazivamo modul plastičnosti (eng. plastic modulus). Vrijednosti za n i F ovise o razmatranom materijalu te se dobivaju eksperimentalno. Ako se razmatrani drugi pribrojnik Ramberg-Osgoodove jednadžbe raspiše logaritamski dobiva se:

log log logpl n Fε σ= ⋅ − (4.11)

Ramberg-Osgoodova jednadžba može se prikazati dijagramski te usporediti sa eksperimentalnim podatcima dobivenim za promatrani materijal.

Slika 4.2 Ramberg-Osgoodova jednadžba za inženjersku krivulju naprezanje-deformacija: (a) Logaritamski prikaz; (b) Normalni prikaz.


- 54 -

U logaritamskom prikazu odnosa naprezanja i deformacije podaci bi trebali pratiti ravnu liniju (pravac), kako prikazuje Slika 4.2a. Pri tome n predstavlja nagib pravca a log(F) odsječak na osi abscisa. Ukoliko se eksperimentalni podaci ne grupiraju u ravnu liniju, ponašanje materijala ne može se dobro opisati Ramberg-Osgoodovom jednadžbom. Treba napomenuti bitno ograničenje Ramberg-Osgoodove krivulje, a to je da jednadžba odstupa od stvarnog ponašanja materijala u području nakon najvećeg opterećenja (Slika 4.2b), te ju se stoga može koristiti samo za područje do najvećeg opterećenja. Na temelju eksperimentalnih podataka koje prikazuje Slika 4.2 napravljen je prikaz postupka određivanja relevantnih parametara materijala. Eksperimentalne podatke prikazuje Tablica 4.1.

Deformacija Naprezanje Plastična deformacija

Udio plastične

deformacije

0 0 0 0

0,00156 275790280 0,000227 0,145299

0,003125 310264065 0,001625 0,52

0,0046 344737850 0,002933 0,637681

0,00625 379211635 0,004417 0,706667

0,00875 413685420 0,00675 0,771429

0,01235 448159205 0,010183 0,824561

0,01875 482632990 0,016417 0,875556

0,02925 517106775 0,02675 0,91453

0,0425 551580560 0,039833 0,937255

0,05925 586054345 0,056417 0,95218

0,079 620528130 0,076 0,962025

0,095 634317644 0,091933 0,967719

0,118 641212401 0,1149 0,973729

Tablica 4.1 Eksperimentalni podatci.

Prva dva stupca u tablici prikazuju eksperimentalne podatke, dok je plastična deformacija dobivena oduzimanjem elastične deformacije od ukupne deformacije. Linearnom interpolacijom linearnog područja dobiva se konstanta elastičnosti. Nadalje, računaju se logaritmi deformacija i naprezanja, koje prikazuje Tablica 4.2 i Slika 4.4. Logaritamske vrijednosti posložene na dijagramu, mogu se aproksimirati pravcem čija je jednadžba opisana jednadžbom (4.11). Nakon izvršene aproksimacije mogu se očitati vrijednosti za konstante F i n. Usporedba poklapanja eksperimentalnih podataka i Ramberg-Osgood krivulje koja koristi konstante dobivene iz eksperimentalnih podataka prikazuju Slika 4.3 i Slika 4.4. Odabrana je krivulja 3 koja najbolje odgovara eksperimentalnim podacima. Vrijednosti konstanti te krivulje su: n=6.2; F=5x1055 [Pan].


- 55 -

Naprezanja Deformacije

8,440579 -3,64461

8,491731 -2,78915

8,537489 -2,53264

8,578882 -2,35491

8,61667 -2,1707

8,651432 -1,99211

8,683617 -1,78472

8,71358 -1,57268

8,741609 -1,39975

8,767938 -1,24859

8,792761 -1,11919

8,802307 -1,03653

8,807002 -0,93968

Tablica 4.2 Logaritamske vrijednosti naprezanja i deformacija.

Slika 4.3 Eksperimentalni podaci i aproksimacijske krivulje za ukupno (elastično i plastično) područje.

Slika 4.4 Logaritamski prikaz eksperimentalnih podataka i aproksimacijskih krivulja za plastično područje.


- 56 -

4.5 H-funkcije

Desni pribrojnik s lijeve strane jednadžbe (4.9) može se označiti s Jpl, te ga je moguće raspisati i u opširnijem, detaljnijem obliku:

1

0 0 10

n

plPJ chP

ασ ε+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.12)

U gornjoj jednadžbi P predstavlja opterećenje, a P0 kolapsno opterećenje, dok je σ0 kolapsna čvrstoća. Član c predstavlja preostali ligament, čime se zamjenjuje veličinu pukotine a. Konačno, h1 je geometrijski faktor. Kako je opterećenje proporcionalno naprezanju, kolapsno opterećenje kolapsnoj čvrstoći, a preostali ligament duljini pukotine, može se pisati:

0 0

12

P gP k

Wc a la

σσ

==

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.13)

U gornjim izrazima članovi g, k, l su isključivo funkcije geometrije. Nadalje, vrijede sljedeće veze:

00

0

0

nE

F

σε

σαε

=

= (4.14)

Uvrštavanjem jednadžbi (4.13) i (4.14) u (4.12) dobija se:

110

0 0 10 0

nnn

plgJ lah

F kσ σσ εε σ

++ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.15)

Jednadžba se može zapisati u reduciranom obliku:

1n

plH aJ

Fσ +

= (4.16)

gdje je:

1ngH lhk

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.17)

4.6 Točnost

Razlog za zabrinutost vezano uz točnost gornjih razmatranja leži u velikoj varijabilnosti vrijednosti J i (posljedično) JR. Razlog tako velike varijabilnosti je u tome što J ovisi o naprezanju na n-tu potenciju. Zbog toga male greške u proračunu naprezanja mogu dovesti do velikih grešaka u energiji deformiranja. No s obzirom da se proračun vraća na naprezanje loma, greška se smanjuje sa n-tom potencijom.


- 57 -

(a) (b)

Slika 4.5 Predviđanje naprezanja loma za različite R-krivulje (paneli s centralnom pukotinom): (a) R-krivulje; (b) Naprezanje loma i napredovanje loma.

Slika 4.5 prikazuje da čak i ako su razlike u R-krivuljama velike (>50%), greška u naprezanjima loma je zadovoljavajuća (<10%). Sama veličina odstupanja ovisi o materijalu s obzirom da je potencija n svojstvena Ramberg-Osgood opisu materijala.

4.7 Ograničenja EPFM modela

Jedna od najvećih opaski elasto-plastičnog modela je što zapravo ne razmatra elasto-plastično ponašanje materija nego nelinearno elastičnog materijala.

Slika 4.6 Temeljni koncepti elasto-plastične mehanike loma.

Kao što prikazuje Slika 4.6, kod elasto-plastičnih materijala nakon opterećenja i naknadnog rasterećenja ostaju plastične deformacije. Kod EPFM modela to nije slučaj, već kod rasterećenja (vrijednost naprezanja jednaka nuli) nema zaostalih plastičnih deformacija (vrijednost deformacije jednaka nuli). Primjena gornjih razmatranja je u potpunosti opravdana dokle god nema procesa rasterećenja. U slučaju rasterećenja dolazi do odstupanja između predviđenog i stvarnog ponašanja materijala konstrukcije. No ovaj problem je nemoguće izbjeći na najvažnijem dijelu koji se razmatra - vrhu pukotine. Problem je u tome što u vrhu pukotine vlada visoko naprezanje čime se stvara plastična zona. Za slučaj stabilnog loma, dolazi do rasterećenja (pada naprezanja) materijala pri vrhu pukotine kada lom prođe odrađeno područje materijala. Pri tome su greške inicijalno male, ali se povećavaju s porastom Δa. Zbog toga će predložena analiza imati smisla samo kada J-krivulje naglo rastu, tako da postoji vrlo malo stabilnog loma prije maksimalnog opterećenja.


- 58 -

5 KONCEPTI ANALIZE RASTA PUKOTINE Zamor materijala predstavlja tehnički najvažniji mehanizam rasta pukotine. Iako se kod mnogih konstrukcija zamor materijala vrlo teško ili nikako ne može spriječiti, svakako ga se treba kontrolirati. Oštećenje uslijed cikličkog opterećenja ima četiri razine: inicijacija pukotine, propagacija kratke pukotine, propagacija duge pukotine i konačni lom, što ilustrira Slika 5.1. Duljina pukotine od 1mm se obično uzima kao granica između stadija propagacije kratke i duge pukotine. Ta vrijednost je također prihvaćena i kao granična vrijednost duljine pukotine koja se može utvrditi nerazarajućim metodama testiranja na konstrukciji u eksploataciji. Općenito je primijećeno da komponenta u radu provede oko 80% svog životnog vijeka u stadiju propagacije kratke pukotine. Nakon što se prisutnost pukotine detektira važno je znati kako će napredovati da bi se mogao popraviti ili zamijeniti oštećeni dio.

Slika 5.1 Nivo oštećenja za razne duljine pukotine kao funkcija broja ciklusa (opterećenja).

5.1 Temeljni koncept rasta pukotine uslijed zamora materijala

Da bi se u potpunosti opisala ciklička naprezanja uslijed opterećenja s konstantnom ili promjenjivom amplitudom dovoljna je jedna od kombinacija dvaju različitih parametara, kao što prikazuje Slika 5.2: Δσ i R, σmin i R, σmax i R, σa i R te σm i R. σmin označava najmanje naprezanje, dok σmax označava najveće naprezanje unutar ciklusa. Δσ predstavlja raspon naprezanja (eng. stress range), definaran kao Δσ=σmax-σmin. R označava omjer naprezanja (eng. stress ratio), definiran kao R=σmin/σmax, dok su σa i σm amplituda naprezanja (eng. stress amplitude) i srednje naprezanje (eng. mean stress). Životni vijek pukotine (eng. crack growth life) izražava se kao broj ciklusa potreban da bi zamorna pukotina (eng. fatigue crack) narasla na određenu veličinu, pri čemu se broj ciklusa označava sa N. Slika 5.2a prikazuje mehanizam napredovanja pukotine kao geometrijsku posljedicu otupljenja vrha pukotine sa svakim ciklusom opterećenja, dok ponovno zaoštravanje vrha pukotine prilikom rasterećenja uvjetuje povećanje pukotine tijekom sljedećeg ciklusa opterećenja. Može se zaključiti da će rast pukotine Δa po ciklusu biti veći ako je najveće naprezanje po ciklusu veće (veće otvaranje vrha pukotine) i ako je minimalno naprezanje po ciklusu manje (veće zaoštravanje vrha pukotine). Lokalna naprezanja na vrhu pukotine mogu se opisati faktorom intenziteta naprezanja K, gdje je K=βσ(πa)1/2, pri čemu σ predstavlja aplicirano nominalno naprezanje (eng. nominal stress).


- 59 -

(a) (b)

Slika 5.2 Parametri rasta pukotine uslijed zamora materijala: (a) Otupljivanje i ponovno zaoštravanje vrha pukotine; (b) Δσ, ΔK.

Kako unutar ciklusa aplicirano naprezanje varira unutar Δσ između σmax i σmin, tako će i lokalna naprezanja varirati u skladu s sljedećim izrazima:

(5.1)

Iz gornjih jednadžbi slijedi da će rast pukotine po ciklusu biti veći ukoliko je Kmax veći i/ili ukoliko je ΔK veći. Prema jednadžbi (5.1) slijedi da za bilo koju veličinu pukotine a vrijednost omjera naprezanja iznosi:

(5.2)

Može se nadalje primijetiti da pukotina više raste u slučaju kada su ΔK i/ili R veći, tako da funkciju brzine rasta pukotine možemo općenito matematički zapisati u obliku:

(5.3)


- 60 -

5.2 Utvrđivanje funkcije brzine rasta (napredovanja) pukotine

Egzaktni oblik funkcije brzine rasta pukotine nemoguće je dobiti teorijskim putem jer je riječ o iznimno složenom procesu ovisnom o mnoštvu parametara same strukture materijala (kristalna zrna materijala različite orijentacije, granice zrna, uključine, itd.). Jedini pouzdani način određivanja oblika tražene funkcije je ispitivanje materijala. Podatci o rastu pukotine dobivaju se ispitivanjem epruvete podvrgnute cikličkom opterećenju. Tip epruvete je irelevantan dok god je β poznata veličina, što omogućava razmatranje faktora intenziteta naprezanja. Dok god su pukotine male u odnosu na dimenzije epruvete (npr. a/W<0.4) geometrijski faktor β jednak je jedinici, tako da je K=σ(πa)1/2.

Slika 5.3 Epruveta i opterećenje pri utvrđivanju funkcije rasta pukotine.

Epruveta koju prikazuje Slika 5.3 sadrži mali i oštri centralni zarez, tako da će pukotine biti inicirane gotovo istovremeno sa obje strane. Epruveta je podvrgnuta cikličkom opterećenju konstantne amplitude u stroju za ispitivanje zamora materijala tj. umaralici. Ako razmatramo slučaj kada je σmin=0, tada će biti i R=0, odnosno σmax=Δσ. Napredovanje pukotine utvrđuje se mjerenjem duljine pukotine u jednakim vremenskim intervalima, npr. svakih 10000 ciklusa. Rezultati se prikazuju dijagramski, kao što prikazuje Slika 5.3, gdje su prikazani rezultati ispitivanja za različite iznose naprezanja. To su sve informacije koje se mogu dobiti izravno iz ispitivanja, a njihovom daljnjom interpretacijom dobija se formalan oblik funkcije brzine rasta pukotine.

Slika 5.4 Dijagramski prikazi izmjerenih podataka.


- 61 -

Ako se promotri jedan konačno mali prirast pukotine, Δa1 (Slika 5.4, lijevo), prema dobivenoj krivulji slijedi da je potrebno ΔN1 ciklusa kako bi pukotina napredovala za Δa1. Stoga, brzina napredovanja je (Δa/ΔN)1. Želja nam je dobiti ovisnost brzine napredovanja pukotine o ΔK, što zahtijeva određivanje raspona intenzivnosti naprezanja. Srednja veličina pukotine kod Δa1 je a1. Raspon naprezanja je Δσ, tako da je ΔK1=β1Δσ(πa1)1/2. Očito, vrijednost ΔK=ΔK1 je proizvela rast pukotine brzinom (Δa/ΔN)1. Ova činjenica je prikazana kao točka u dijagramu kojemu su osi da/dN (odnosno Δa/ΔN) i ΔK, (Slika 5.4, desno). Ova procedura se ponavlja za niz točaka duž krivulje napredovanja pukotine. Kod veće veličine pukotine a2, za iznos porasta Δa2 potrebno je samo ΔN2 ciklusa. Budući da je krivulja strmija, brzina napredovanja pukotine je veća. Stoga, zaključujemo da veći ΔK znači i veću brzinu napredovanja pukotine. Dobivene točke koje prikazuje Slika 5.4 to i potvrđuju. Slika 5.4 desno prikazuje brzinu rasta pukotine za bilo koji ΔK. U trećem poglavlju pokazano je da je raspodjela naprezanja na vrhu pukotine jedinstvena i da ovisi samo o faktoru intenzivnosti naprezanja. Ako dvije različite pukotine u istom materijalu imaju iste faktore intenzivnosti naprezanja, znači da imaju i jednaka polja naprezanja. Stoga, ako su intenzivnosti naprezanja jednake, odziv pukotina mora biti isti. To znači da će brzina rasta pukotine biti ista ukoliko je ΔK isti. Stoga, Slika 5.4 desno predstavlja odziv razmatranog materijala za sve slučajeve te se može koristiti za analizu rasta pukotina u bilo kojoj konstrukciji napravljenoj od tog materijala. Do sada razmatrani rezultati ispitivanja su svi bili za isti omjer naprezanja R, tj. R=0. Prema jednadžbi (5.3) brzina također ovisi i o R. Ova ovisnost se može utvrditi provođenjem ispitivanja za različite omjere naprezanja. Ako se rezultati prikažu u ovisnosti o ΔK, dobiva se dijagram koji prikazuje Slika 5.5.

Slika 5.5 Brzina rasta pukotine pri različitim omjerima naprezanja.

Uistinu, veći R rezultira većom brzinom rasta pukotine, međutim isti tako je razvidno da R nema tako značajan utjecaj na relativno napredovanje pukotine kao ΔK. Podaci se uvijek prikazuju u logaritamskom mjerilu, jer se brzina mijenja preko nekoliko redova veličina. Pored gore razmatranih parametara, na brzinu rasta pukotine značajan utjecaj mogu imati i okoliš (ambijent) konstrukcije, temperatura te učestalost opterećenja.


- 62 -

5.3 Jednadžbe brzine rasta pukotine

Oblik jednadžbe brzine rasta pukotine slijedi iz rezultata ispitivanja, jer se ne može dobiti teorijskom analizom, tj. funkcijski oblik dobija se provlačenjem krivulje kroz dobivene podatke. Na taj način dobivene jednadžbe su korisne, jer nije potrebno koristiti razne grafove. Na temelju prethodnih slika vidljivo je da podatci o brzni rasta pukotine za jednu vrijednost omjera naprezanja formiraju približno ravnu liniju u logaritamskom prikazu, što se može prikazati jednadžbom pravca y=mx+b. Kako je y=log(da/dN), a x=log(ΔK), dolazimo do jednadžbe:

(5.4)

Antilogaritmiranjem dolazimo do jednadžbe koja je poznata kao Parisova jednadžba:

(5.5)

Parametri mp i Cp lako se određuju pomoću točki A i B kako prikazuje Slika 5.6. Parametri se dobivaju tako da se koordinate točaka uvrste u jednadžbu brzine rasta pukotine te se riješi dobiveni sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice.

Slika 5.6 Parisova jednadžba.

Vrijednost parametra mp je za većinu materijala uglavnom između 3 i 5, dok vrijednost Cp puno više ovisi o vrsti materijala. Parisova jednadžba vrijedi samo za jednu vrijednost omjera naprezanja R dok su za druge vrijednosti linije često paralelne. Sve te linije bi imale istu vrijednost parametra mp te različitu vrijednost parametra Cp, koji je ovisan o R. Za mnoge materijale ovisnost Cp o R se može izraziti kao:

( )R

W

mn

W KR

CdNda

Δ−

=1

(5.6)

Gornji izraz poznat je kao Walkerova jednadžba, gdje je CW vrijednost Cp pri R=0. Drugi od generaliziranih oblika Parisove jednadžbe uzima u obzir žilavost, odnosno kritičnu vrijednost Kc te se naziva Formanova jednadžba:

( ) KKRKC

dNda

C

m

FF

Δ−−Δ

=1

(5.7)


- 63 -

Rezultati napredovanja pukotina koje prikazuje Slika 5.6 pokrivaju određeni raspon vrijednosti ΔK te ne daju informacije o rastu pukotina izvan tog raspona. Prema literaturi, ispitivanja su pokazala da se u da/dN-ΔK dijagramu pojavljuju dvije vertikalne asimptote, Slika 5.7. Dijagramski prikaz koji daje Slika 5.7 pokriva tri područja, označena brojevima I, II i III. Odgovarajuća ΔK-područja nazivaju se redom: (I) Područje praga intenzivnosti naprezanja, (II) Parisovo područje, (III) Područje nestabilnog rasta pukotine.

Slika 5.7 ΔK područja propagacije pukotine.

Asimptota na desnoj strani pojavljuje se u ciklusima gdje je Kmax=Kc. To znači da Kmax dostiže kritičnu vrijednost koja dovodi do loma čitave konstrukcije. Brzina napredovanja pukotine u ovom području je velika, reda veličine oko 0.01 mm/ciklusu, ili više. Još nije došlo do potpunog sloma konstrukcije jer još ne postoji popuštanje materijala po cijelom presjeku fronte pukotine, ali sa daljnjim povećanjem broja ciklusa slom postaje neizbježan. Životni vijek pukotine u ovom području je relativno kratak, što nam ukazuje na ograničenu inženjersku važnost. Predviđanje konačnog sloma konstrukcije je relativno jednostavno, pojavljuje se ako je Kmax=Kc. Po definiciji Kc je faktor intenzivnosti naprezanja koji izaziva konačni slom konstrukcije. Međutim, Kc obično nije konstantno svojstvo materijala. Za neke materijale konačni slom se javlja kada u preostalom presjeku nastaje plastično popuštanje preko cijelog poprečnog presjeka. U takvim slučajevima vrijednost Kc kao faktor intenzivnosti naprezanja ima beznačajnu vrijednost. Faktor intenzivnosti naprezanja se temelji na elastičnom ponašanju materijala koji ima samo malo plastično popuštanje pri vrhu pukotine. Poznati je efekt da kod cikličkog opterećenja do otvaranja pukotine dolazi tek kada Kmin dosegne takozvani prag (eng. threshold) Kth. Lijeva asimptota, ΔK=ΔKth pokazuje da su vrijednosti ΔK ispod ovog praga preniske da bi izazvale daljnje napredovanje pukotine. Podrazumijeva se da se vrijednost ΔKth odnosi na pukotine koje su nastale kao posljedica zamora materijala kada vrijednost ΔK premašuje ΔKth. Ako ΔK padne ispod te vrijednosti, napredovanje pukotine usporava i pretpostavlja se da se u potpunosti zaustavlja. Pitanje je da li postoji jedinstvena vrijednost ΔKth i kako se ta vrijednost određuje u testovima zamora materijala. Očito je da je, prilikom izvođenja eksperimenta, potrebno smanjivati vrijednost ΔK kako bi se postigla nulta propagacije pukotine kod vrijednosti praga. To se može postići na više načina, kao što prikazuje Slika 5.8. Smanjenje vrijednosti ΔK bi se trebalo postići smanjenjem vrijednosti Δσ u malim koracima, zapravo u manjim koracima nego što predlaže Slika 5.8. Nakon svakog koraka potrebno je provesti veliki broj ciklusa ΔN, kako bi se vidjelo da li pukotina i dalje napreduje ili je zaustavljena. Ukoliko pukotina više ne propagira, ΔK za posljednji Δσ je upravo ispod vrijednosti ΔKth. Redoslijed opterećenja koji prikazuje Slika 5.8a nije preporučljiv jer


- 64 -

smanjenje σmax podrazumijeva smanjenje Kmax, a s time i smanjenje plastične zone na vrhu pukotine. Usporavanje se ne treba očekivati niti u slučaju koji prikazuje Slika 5.8b gdje se σmax održava konstantnim, a vrijednost σmin se postupno povećava u malim koracima. Ukoliko se napredovanje pukotine zaustavi, moguće je izračunati odgovarajući R. Ukoliko je potrebno odrediti vrijednost ΔKth za konstantan R, istovremeno se moraju smanjivati σmax i σmin, Slika 5.8c. U tom slučaju je potrebno prihvatiti nedostatak smanjenja vrijednosti ΔK.

Slika 5.8 Mogući načini smanjivanja nominalnog naprezanja.

Ispitivanja su pokazala da ΔKth nije jedinstvena vrijednost koja ovisi o materijalu, već i da ovisi o omjeru naprezanja R. Preporuke za provođenje eksperimenata sa svrhom utvrđivanja ΔKth su dane u literaturi. Problem ispitivanja ΔKth jest odrediti da li je zaustavljena propagacija pukotine. Prema standardu, možemo reći da je to postignuto ukoliko brzina propagacije padne ispod 10-10 m/ciklusu, odnosno porast pukotine od samo 1 mm na 107 ciklusa, što je uistinu mala vrijednost. Za predviđanje napredovanja pukotine bi bilo praktično kad bi se mogla primijeniti ista veza između da/dN i ΔK za vrlo male i za vrlo velike pukotine. Ovaj problem je privukao veliku pažnju kod Al legura, gdje su rezultati ispitivanja pokazali da se veza između da/dN i ΔK može primijeniti i za pukotine veličine do 100 µm. Wanhill je dobio rezultate sa podatcima za mikropukotine i makropukotine. Izgleda da je pronađena vrijednost ΔKth za makropukotine, a podatci dobiveni povećanjem i smanjenjem ΔK su pali u isto područje rasipanja. Ipak, Wanhillovi rezultati za mikropukotine pokazuju da su te pukotine napredovale sa relativno visokim brzinama pri vrijednostima ΔK ispod ΔKth za makropukotine. Sada se mogu postaviti dva pitanja: (1) zašto makropukotine prestaju napredovati pri vrijednostima ΔK kod kojih mikropukotine i dalje napreduju i (2) koja je važnost ΔKth? Odgovor na prvo pitanje nije predmet ovog rada pa ćemo se usredotočiti na drugo pitanje. U skladu sa drugim pitanjem možemo reći da je pokretačka sila (eng. driving force) sporo propagirajuće pukotine vrlo mala. Ukoliko je vrijednost ΔK niska, teško je aktivirati mehanizam širenja pukotine na vrhu pukotine. Razni smjerovi širenja pukotine na mikroskopskoj razini izazivaju daljnje usporenje. Mikro strukturalne karakteristike mogu ponovno postati važne. Štoviše, pokretačka sila pukotine ΔK za krivudavu frontu pukotine je puno niža nego za ravnu frontu. Sam vrh pukotine se više ne otvara lako i pukotina prestaje propagirati. Ovaj proces nije lako detaljno opisati, a i može biti različit za različite materijale. Međutim, inženjerska važnost faktora ΔKth je ograničena. Ukoliko je zamorna pukotina pronađena u materijalu, pitanje je da li će ona dalje napredovati pod očekivanim dijapazonom (spektrom) opterećenja. Može se pretpostaviti da neće, ukoliko se ne prijeđe prag intenzivnosti naprezanja ΔKth, ali to nije nužno sigurna pretpostavka. Fronta zamorne pukotine nastale u praktičnim slučajevima je samo slična fronti nastaloj u eksperimentima. Uvjeti za primjenu principa sličnosti možda nisu postignuti. Pukotina može biti približno zatvorena u području blizu praga intenzivnosti naprezanja, ali zbog nesavršenosti materijala mogu postojati otvoreni prekidi materijala, koji puno lakše propagiraju. Isto vrijedi i za


- 65 -

pukotinu nastalu od opterećenja promjenjive amplitude. Sada se čini realnijim i konzervativnijim ekstrapolirati vezu da/dN-ΔK Parisovog područja dolje niže kako bi smanjili vrijednosti ΔK za koje vrijedi ΔK<ΔKth, Slika 5.7. Vlačno naprezanje nametnuto na uzorak sa iniciranom pukotinom će izazvati njezino otvaranje, kao što je prikazano u prethodnim poglavljima. Predstavljeni su izrazi za pomake vrha pukotine temeljeni na elastičnom ponašanju materijala. Prema tim izrazima, nakon što uklonimo nametnuto opterećenje, pukotina se zatvara. Teoretski, tlačno naprezanje bi trebalo izazvati negativne pomake vrha pukotine, što je fizički nemoguće. Pukotina će se zatvoriti pod pritiskom, a tlačno naprezanje se može prenijeti kroz pukotinu. U kasnim šezdesetima, Elber je utvrdio da pukotina opterećena na vlak se zatvara prije nego narinuto opterećenje padne natrag na nulu. To pokazuje da je vrh pukotine zatvoren kod pozitivnog vlačnog naprezanja, što je bio poprilično neočekivan rezultat za ono doba. Pitanje je bilo kako to dokazati eksperimentom i kakav to ima utjecaj na predviđanje napredovanja pukotine temeljem principa sličnosti. Promatrani uzorak je ploča sa središnjom pukotinom. Tijekom cikličkog opterećenja, javlja se plastična deformacija vrha pukotine. Iako je malog razmjera, ukazuje da se stvara plastična zona kad se naprezanje mijenja od σmin do σmax. Veličina plastične zone kod σmax je proporcionalna (Kmax/ σyield)2. Plastična zona je plastično izdužena u smjeru opterećenja, te se produžuje. Kao posljedica, zona će biti tlačno opterećena prilikom rasterećenja, te se pojavljuje obrnuta plastičnost pri vrhu pukotine.

Slika 5.9 Plastične zone propagirajuće pukotine.

Elber je promatrao pojavu zatvaranja pukotine promatrajući razmak između dviju točaka A i B na sredini uzorka blizu ruba pukotine, Slika 5.9. Mjerio je razmak ΔAB kao funkciju nominalnog naprezanja σ. Mjerenje ΔAB-σ započinje sa nelinearnim dijelom dok se ne dosegne vrijednost σ=σop. Iznad ovog nivoa naprezanja ustanovljena je linearna veza, što se i očekuje od elastičnog ponašanja. Rasterećenje od σmax do σ=0 se događa praktički uzduž iste ΔAB-σ krivulje, što prikazuje strelicama Slika 5.10. Uzorak sa zapiljenim inicijalnim zarezom nema zaostalih plastičnih deformacija, pa dijagram pokazuje potpuno linearno ponašanje. Ako zamorna pukotina i zarez imaju istu duljinu, linearni dijelovi dijagrama su paralelni. Isti nagib znači istu krutost. Štoviše, nagib se slaže sa izračunatom krutošću uzorka sa otvorenom pukotinom. Zamorna pukotina stoga mora biti potpuno otvorena tijekom linearnog dijela ΔAB-σ dijagrama. Za σ manji od σop, nagib nelinearnog dijela postaje veći, krutost je veća, a uzorak se ponaša kao da je pukotina kraća. To je posljedica toga što je pukotina dijelom zatvorena, zbog viška plastično izduljenog materijala u tragu pukotine. Po


- 66 -

rasterećenju, zatvaranje pukotine počinje na vrhu pukotine, što se nastavlja dalje od vrha pukotine sa smanjenjem intenziteta naprezanja.

Slika 5.10 Mjerenje otvaranja pukotine (COD).

Tokom naizmjeničnog opterećenja prisutno je zatvaranje pukotine ako σmin<σop, Slika 5.11. Pukotina je djelomično (ili potpuno) zatvorena pri σmin. Vrh pukotine tijekom opterećenja je potpuno otvoren kad je σ=σop, te ostaje otvoren do σmax. Po rasterećenju, pukotina je otvorena dok ne počne zatvaranje pri vrhu pukotine. Pretpostavka je da odgovarajući nivo naprezanja kod kojeg dolazi do zatvaranja σcl je približno jednak naprezanju otvaranja σop. Iako se male razlike mogu pojaviti, teško ih je precizno izmjeriti jer su to točke prijelaza između linearnog i nelinearnog dijela. Važno je primijetiti da jedinstvenost naprezanja pri vrhu pukotine prilikom otvaranja, definirana faktorom intenzivnosti naprezanja K, postoji dok god je vrh pukotine otvoren. Čim se pukotina zatvori, jedinstvenost naprezanja više ne postoji. Drugim riječima, velike varijacije naprezanja pri vrhu potpuno otvorene pukotine prestaju čim se ona zatvori. Elber je predložio da varijacija opterećenja na uzorku pridonosi samo ako je vrh pukotine otvoren. Definirao je efektivni raspon naprezanja Δσeff kao što prikazuje Slika 5.11.

Slika 5.11 Zatvaranje pukotine.


- 67 -

Podrazumijeva se da vrijedi:

thresholdeff

opeff

σσσ

σσσ

−=Δ

−=Δ

max

max (5.8)

Odgovarajući efektivni raspon faktora intenzivnosti naprezanja je:

aK effeff πσβΔ=Δ (5.9)

Prema Elberovom principu, brzina napredovanja pukotine ovisi samo o ΔKeff:

( )effKfdNda

Δ= (5.10)

Prag faktora intenzivnosti naprezanja ΔKth svoju primjenu nalazi u jednadžbi napredovanja pukotine. Zheng i Hirt modificiraju generalni oblik Parisove jednadžbe kako bi izmodelirali gladak prijelaz kod uvjeta blizu praga faktora intenzivnosti naprezanja te se dobiva jedan od oblika jednadžbe (5.10), tj. Zheng-Hirtova jednadžba:

( )

( ) P

P

mthP

meffP

KKCdNda

KCdNda

Δ−Δ=

Δ= (5.11)

Izraz (5.10) uključuje utjecaj omjera naprezanja R jer obrnuta plastičnost vrha pukotine ovisi o σmin, a kao posljedica toga veličina zone obrnute plastičnosti pukotine ovisi o R. Elber je provodio ispitivanja na Al leguri 2024-T3 i zaključio je da je σop približno konstantno tokom ispitivanja zamora. Ovakvo empirijsko razmatranje pokazuje da je σop neovisno o duljini pukotine a i ovisi jedino o primijenjenom izmjeničnom naprezanju. U literaturi nam je na raspolaganju još nekoliko generalizacija već prije opisanog Parisovog zakona. Većina njih je nastala kako bi dozvolila jedinstvenom skupinu svojstava materijala da uzmu u obzir osjetljivost na omjer naprezanja R. Druge generalizacije Parisovog zakona su namijenjene za modeliranje glatkog prijelaza kod uvjeta blizu praga naprezanja. Jedna od često korištenih generalizacija pretpostavlja da je učinkovit parametar razlika između raspona faktora intenzivnosti naprezanja i raspona praga faktora intenzivnosti naprezanja, kao i kod već spomenute Zheng–Hirtove jednadžbe, ali na malo drugačiji način. Klesnil-Lukaševa jednadžba:

( )PP mth

mP KKC

dNda

Δ−Δ= (5.12)

Objašnjenje zadnje dvije jednadžbe bi moglo biti upitno te postoji puno rasprava o njihovim ispravnostima, međutim, pa čak i Parisov zakon pronalazi svoju opravdanost samo u poklapanju sa eksperimentalnim podatcima. Navedene jednadžbe se slažu u smislu asimptota: kod visokih opterećenja daju isti nagib i isto relativno napredovanje pukotina, ali u srednjem području se značajno razlikuju, budući da vrijedi:

( ) ( )PPP mth

mP

mthP KKCKKC Δ−ΔΔ−Δ ≺ (5.13)


- 68 -

Sve navedene jednadžbe nemaju neko bitno fizikalno značenje, one su samo jednadžbe koje dovoljno točno opisuju eksperimentalne podatke. Ali ne postoji jedna jednadžba koja dovoljno točno opisuje sve podatke, stoga se preporuča koristiti onu koja se najbolje poklapa sa podacima pojedinačnog slučaja. Treba primijetiti da su parametri za različite jednadžbe različiti, čak i ako se odnose na iste podatke. Iz tog razloga, koeficijenti CP, CW, CF ... te eksponenti mP, mW, mF ... se koriste kako bi naznačili pripadnost pojedinoj jednadžbi. Korištenje parametara jedne jednadžbe u drugoj može dovesti do dramatičnih pogrešaka, čak i za isti materijal.

5.4 Primjer analize životnog vijeka uzoraka ploče

Simulacija je provedena za uzorak sa središnjom pukotinom bez orebrenja. Eksperimentalni podatci su uzeti iz literature, te su komparirani sa rezultatima simulacija. Korišteni su programski paketi Ansys 10, te Matlab 9.0. Svi uzorci su od mekog konstrukcijskog čelika za zavarene konstrukcije sa slijedećim svojstvima: vlačna čvrstoća je iznad 400 Mpa, čvrstoća popuštanja je iznad 235 Mpa, modul elastičnosti je 206 GPa, Poissonov omjer je 0.3. Ploča sa središnjom pukotinom je simetrično opterećena na vlak silom koja je rezultirala naprezanjem od 80 Mpa. Rezultate ispitivanja prikazuje Slika 5.13.

Slika 5.12 Opis geometrije ispitnog uzorka.

Kako bismo uspješno proveli simulaciju životnog vijeka potrebne su nam vrijednosti faktora intenzivnosti naprezanja K za svaku vrijednost pukotine a. Ova analiza je provedena metodom konačnih elemenata koristeći programski paket Ansys. Koristeći dvostruku simetriju rubnih uvjeta i opterećenja moguće je modelirati samo četvrtinu ploče, što znatno skraćuje vrijeme analize (Slika 5.14).


- 69 -

Slika 5.13 Rezultati ispitivanja.

Slika 5.14 Četvrtina modela ploče sa središnjom pukotinom i detalj mreže oko pukotine.

Najvažniji dio modela je područje oko vrha pukotine. Koristeći preporuke literature, područje oko vrha pukotine je modelirano singularnim elementima, kako bi se uspješno opisala singularnost naprezanja i pomaka. Nakon provedene analize u području propagacije pukotine, dobivamo približno linearnu ovisnost faktora intenzivnosti naprezanja o veličini pukotine. Nakon obrade eksperimentalnih podataka dobivamo dijagram brzine napredovanja pukotine (Slika 5.16), gdje primjećujemo da vrijednosti padaju približno na pravac. Opisivanjem jednadžbe tog pravca, koristeći metodu opisanu u ovom poglavlju, dobivamo konstante Parisove jednadžbe CP i mP. Vrijednosti tih konstanti su CP=0.82×10-12 i mP=3.5. Nakon izvršene simulacije životnog vijeka i usporedbe sa rezultatima provedenog eksperimenta, dobivamo konačne rezultate koje prikazuje Slika 5.17.


- 70 -

Slika 5.15 a-K dijagram uzorka P1.

Slika 5.16 Dijagram brzine napredovanja pukotine.

Slika 5.17 Usporedba simulacije i eksperimentalnih rezultata za uzorak P1, Parisova jednadžba.


- 71 -

Iz dijagrama je vidljivo vrlo dobro poklapanje rezultata simulacije i eksperimenta u prvom dijelu životnog vijeka. Kako bi dobili bolje poklapanje rezultata i u drugom dijelu simulacije, koristimo jedan od generaliziranih oblika Parisove jednadžbe: Zheng-Hirtovu jednadžbu.

Slika 5.18 Dijagram brzine napredovanja pukotine.

Slika 5.19 Usporedba simulacije i eksperimentalnih rezultata za uzorak P1, Zheng – Hirtova jednadžba.

Zheng–Hirtova jednadžba pokazuje poklapanje sa rezultatima eksperimenata samo u početnom dijelu simulacije. Sa daljnjim napretkom simulacije dolazi do znatnog skraćivanja u životnom vijeku uzorka. Korištene vrijednosti konstanti su CH=3.35*10-11, mH=2.75. Vrijednost praga faktora intenzivnosti je Kth=6.6 mMPa .


- 72 -

6 LITERATURA [1] Eastin, R.G., 'WFD' – what is it and what's LOV' got to do with it?, First International Conference on Damage Tolerance of Aircraft Structures, TU Delft, The Netherlands, 2007:1. [2] Schijve, J., Fatigue damage in aircraft structures, not wanted, but tolerated?, First International Conference on Damage Tolerance of Aircraft Structures, TU Delft, The Netherlands, 2007:3-6,23,28. [3] Zehnder, A.T., Lecture Notes on Fracture Mechanics, Cornel University, Ithaca, NY, 2008:2. [4] Wanhil, R.J.H., Milestone Case Histories in Aircraft Structural Integrity, National Aerospace Laboratory NLR, S.I.B.3, NLR-TP-2002-521. [5] Atkinson, R.J., Winkworth, W.J., Norris, G.M., Behaviour of Skin Fatigue Cracks at the Corners of Windows in a Comet I Fuselage, Ministry of Aviation, London, 1962:1- 38. [6] Aloha Airlines Flight 243, National Transportation Safety Board Aircraft Accident Report, NTSB AAR-89/03, 1989. [7] Kobayashi, H. On the Examination Report of the Crashed Japan Airlines Boeing 747 Plane; Failure Analysis of the Rear Pressure Bulkhead, J. Japan Soc. Safety Eng., 1987;26:363-372. [8] Fawaz, S.A., Application of the virtual crack closure technique to calculate stress intensity factors for through cracks with an elliptical crack front, Engineering Fracture Mechanics, 1998;59:327-342. [9] Fawaz, S.A., Stress intensity factors for part-elliptical through cracks, Engineering Fracture Mechanics, 1999;63:209-226. [10] Fawaz, S.A., Rijck, J.J.M., Thin-sheet, combined tension and bending specimen, Experimental Mechanics, 1999;39:171-176. [11] Lanciotti, A., Polese, C., Fatigue crack propagation of through cracks in thin sheets under combined traction and bending stresses, Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 2003;26:421-428. [12] Phillips, E.P., An experimental study of fatigue crack growth in aluminium sheet subjected to combined bending and membrane stresses, Nasa Technical Memorandum 4784, 1997. [13] Swift, T., Important Considerations in Commercial Aircraft Damage Tolerance, International Journal of Vehicle Design, 1986;7:264-287. [14] Swift, T., Development of the Fail-Safe Design Features of the DC-10, ASTM Special Technical Publication, 1971;486:164-214. [15] Zhang, X., Li, Y., Damage Tolerance and Fail Safety of Welded Aircraft Wing Panels, AIAA Journal, 2005;43:1613-1623. [16] Swanson Analysis System, Inc., Ansys – User's Manual, Revision 11.0, 2008. [17] Leblanc, F., Contribution to a methodology for the analysis of fracture phenomena in encapsulated components, University of Valenciennes, France, 2004:12-15. [18] Broek, D., Elementary engineering fracture mechanics, 3rd printing, Martinus Nijhoff Publishers; Hague, The Netherlands, 1984.


- 73 -

[19] Paris, P.C., Sih, G.C., Stress Analysis of Cracks, Fracture Toughness and Testing and its Applications, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1965;381:30-83. [20] Henshell, R.D., Shaw, K.G., Crack tip finite elements are unnecessary, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 1975;9:495-507. [21] Barsoum, R.S., On the use of isoparametric finite elements in linear fracture mechanics, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 1976;10:25- 37. [22] Mallory, J., Fatigue Crack Growth in 2324 Aluminium Alloy, Western Michigan University, Journal of Young Investigators, 2008;19. [23] Broek, D., The practical use of fracture mechanics, Kluwer Academic Publishers; Dordrecht, The Netherlands, 1989. [24] Sumi, Y., Božić, Ž., Iyama, H., Kawamura, Y., Multiple Fatigue Cracks Propagating in a Stiffened Panel, Journal of The Society of Naval Architecturs of Japan, 1996;179. [25] Božičević, D., Diplomski rad, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje; Zagreb, 2008. [26] Zhixue, W., On the through-thickness crack with a curve front in center-cracked tension specimens, Engineering Fracture Mechanics, 2006;73:2600-2613. [27] Kwon, S.W., Sun, C.T., Characteristics of three-dimensional stress fields in plates with a through-the-thickness crack, International Journal of Fracture, 2000;104:291- 315. [28] Agrawal, A.K., Kishore, N.N., A study of free surface effects on through cracks using BEM, Engineering Fracture Mechanics, 2001;68:1297-1316. [29] Fadljević, M. Utjecaj debljine ploče na vrijednosti faktora intenzivnosti naprezanja duž 3-D ravne fronte pukotine. Rad prijavljen za rektorovu nagradu Sveučilišta u Zagrebu, ak. god. 2008./2009., Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2009. [30] Liu, Y., Mahadevan, S., Treshold stress intensity factor and crack growth rate prediction under mixed-mode loading, Engineering Fracture Mechanics, 2007;74:338.

Documents

DINAMI ČKA - fsb.unizg.hr · PDF fileSVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet strojarstva i brodogradnje Studij zrakoplovtva DINAMIČKA ČVRSTOĆA TANKOSTJENIH KONSTRUKCIJA SKRIPTA Verzija: