Dim Na Poprecne, Torziju i Probijanje

BETONSKE KONSTRUKCIJE I(god. 2007/2008.)

Predmetni nastavnik:V.pred. mr.sc. Vladica Herak-Marović, dipl.ing.građ.

KATEDRA ZA BETONSKE KONSTRUKCIJE I MOSTOVESTRUČNI STUDIJ GRAĐEVINARSTVA

mr. sc. V. Herak-Marović, 2007/08 2

Nastavne jedinice kolegija:

(1) Fizikalno mehanička svojstva betona i čelika za armiranje; deformacije betona;

(2) Uvjeti zajedničkog rada betona i armature; prionljivost, sidrenje, nastavljanje, oblikovanje, zaštitni slojevi; razmaci šipki; odredbe propisa;

(3) Osnove proračuna armiranobetonskih elemenata prema GSN;

(4) Dimenzioniranje presjeka na savijanje (pravokutni presjeci, T-presjeci, jednostruko i dvostruko armirani presjeci);

(5) Dimenzioniranje presjeka na centrični i ekscentrični tlak i vlak;

(6) Dimenzioniranje na poprečne sile; dimenzioniranje na torziju; proboj;

(7) Lokalni tlačni naponi;

(8) Vitki elementi naprezani centričnom i ekscentričnom tlačnom silom; stupovi;

(9) Osnove proračuna armiranobetonskih elemenata prema GSU (naprezanja, pukotine, progibi);

(10) Konstruiranje armature u različitim elementima konstrukcija; neki detalji; odredbe propisa.


REZNE SILE U GREDI:


Glavni naponi u elementim naprezanim savijanjem

(a)Naponsko stanje I (bez pojave pukotina)


RAVNINSKO STANJE NAPREZANJA(uzimamo da je raspodjela napona po širini grede jednaka):

- Promatramo element grede dx/dy:

Diferencijalno mali element grede dx/dy s odgovarajućim naponima:

σx – normalni napon u smjeru osi xσy – normalni napon u smjeru osi yτxy – posmični napon


- Pod određenim kutem ϕ posmični naponi τϕ= 0, a normalni naponi dosižu maksimalnu vrijednost i to su glavni naponi (djeluju međusobno pod kutemod 90°:

- Kod grednih nosača može se zbog svoje male vrijednosti s obzirom napona (σx, τxy) napon σy zanemariti (σy =0), pa se izrazi za glavne napone pojednostavljuju:


- Glavni kosi naponi u nekim točkama grede:


- Ako se glavni naponi odrede u više presjeka jednog nosača i njihovi pravci nanesu u tim presjecima, dobiva se niz krivulja napona σ1 i σ2 koje se sijeku pod kutem od 90° i zovu se trajektorije glavnih napona (ne pokazuju veličinu napona nego smjer napona).

- Naponsko stanje I (bez pojave pukotina)

- Naponsko stanje II (pojava pukotina u vlačnoj zoni, pa je vlačna zona presjeka isključena u prijenosu vlačnih napona)


- Gredu bi trebalo armirati čeličnim šipkama oblikovanim tako da prate trajektorije vlačnih napona što bi u praksi dovelo do dugotrajnih proračuna i kompliciranih detalja.

- To se izbjegava pojednostavljenjem armature (greda se armira ravnim i kosim šipkama te sponama), tako da armatura prati trajektorije vlaka samo u glavnim obrisima.


Dimenzioniranje presjeka na poprečne sile


REŠETKASTI NOSIVI MEHANIZAM FORMIRAN U GREDI

Dimenzioniranje greda na poprečne sile temelji se na proširenoj analogiji s Morsch-Ritterovom rešetkom - poboljšana metoda (metoda graničnih stanja).

Greda armirana s vertikalnim sponama

Greda armirana s kosim šipkama


- Dijagram napona u sponi s obzirom na poprečnu silu:

- kod sile VRd1 nastaju kose pukotine i to je početak linearnog porasta napona u poprečnoj armaturi

- Vcd – dio poprečne sile prihvačen betonom i ostalim čimbenicima


- Uvjet nosivosti na poprečne sile:

VSd ≤ VRd

gdje je:VSd – proračunska poprečna silaVRd – proračunska nosivost na poprečne sile

- Proračunska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih napona) neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:

VSd ≤ VRd1= [τRd · k · (1.2+40·ρl) + 0.15 · σcp] · bw · d

gdje je:τRd – proračunska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih napona


k = 1.6 – d ≥ 1.0 – korekcijski faktor kojim se povećava nosivost na poprečne sile (d je u metrima)

ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturomρl = As1/(bw · d) ≤ 0.02

As1 – ploština vlačne armature koja se sidri za najmanje d+lb,net iza promatranog presjeka

bw – najmanja širina poprečnog presjekad – statička visina presjekaσcp = Nsd/Ac – središnji napon (+ za tlak, - za vlak)Nsd – proračunska uzdužna sila u presjeku od opterećenja i prednapinjanjaAc – ploština betonskog poprečnog presjeka


- Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:

VSd ≤ VRd2 = 0.5 · ν · fcd · bw · z

ν = 0.7 – (fck/200) ≥ 0.5 - redukcijski faktor (fck u N/mm2)z ≈ 0.9 · d – krak unutrašnjih sila

- Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova:

- Pri čemu je:

- tlačno naprezanje u betonu

- Potrebno je proračunati proračunsku armaturu za prihvaćanje poprečnih sila ako je:

VRd1 < VSd ≤ VRd2

cs

2syksdeffcp AAfN ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−=σ ,

2Rdcd

effcp2Rdred2Rd V

f1V671V ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−⋅⋅= ,

, .


(a) Standardna (normirana) metoda

Ova metoda pretpostavlja nagib tlačnih štapova pod kutom od 45°.Poprečna armatura (spone) se proračunava iz uvjeta:

VSd ≤ VRd3 = VRd1 + Vwd

odnosno nosivost vertikalnih spona:

gdje je:A1

sw – ploština jedne grane sponam – reznost sponaz – krak unutrašnjih silasw – razmak spona fyw,d – proračunska granica popuštanja poprečne armature

w

d,ywsw1

wd szmfA

V⋅⋅⋅

=


Nosivost kose armature može se proračunati po izrazu:

gdje je:s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementaα - kut nagiba kosih šipki prema osi nosača

( ) αα sinctg1s

zfAV d,ywsw

wd ⋅+⋅⋅⋅

=


(b) Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova

- Ova metoda se primjenjuje kada na presjek istodobno djeluje poprečna sila i moment torzije.

Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi se bira u granicama:

21.8° ≤ θ ≤ 68.2°⇒0.4 ≤ ctgθ ≤ 2.5 kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja

26.6° ≤ θ ≤ 63.4° ⇒0.5 ≤ ctgθ ≤ 2.0 kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju

Njemački propisi predlažu izraz:

o39,0zaf

325.1ctg eff,cpcd

eff,cp ==⋅−= θσσ

θ


Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:

θ⋅⋅⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ν⋅≤

⋅⋅⋅

θ⋅⋅⋅⋅

==

ctgV

mzfAs

f21

sbmfA

uvjetuz

ctgs

mzfAVV

Sd

dywsw1

w

cdww

dywsw1

w

dywsw1

wd3Rd

,

,

,

:

;

;tgctg

zbfV wcd2Rd θθν

+⋅⋅⋅=


Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:

Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu će biti:

te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅⋅≤

⋅⋅

⋅+⋅⋅

==

++

⋅⋅⋅⋅=

ααν

ααθ

θαθ

ν

cos1sinf

21

sbfA

:uvjetuz

sinctgctgs

zfAVV

;ctg1ctgctgzbfV

cd

ww

d,ywsw

d,ywswwd3Rd

2wcd2Rd

( )αθ ctgctgV21

zMF Sd

sdsd −⋅⋅+=


Minimalna armatura

Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne:

Tablica 5.13.

ρw,min - minimalni koeficijent armiranja poprečnom armaturom

mbs

A wwwsw

1 ⋅⋅ρ= max,min,

min,



ELEMENTI NAPREZANI TORZIJOM


Dimenzioniranje presjeka na moment torzije


Momenti torzije uzrokuju samo posmične napone, pa će glavni kosi naponi biti jednaki posmičnim naponima, tj. σ1 = - σ2 = τt .

Proračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne sile.

Torzijska nosivost presjeka proračunava se uz pretpostavku tankostijenogzatvorenog presjeka. Puni presjeci zamjenjuju šupljim presjecima debljine t.


- Uvjet nosivosti na moment torzije:

TSd ≤ TRd

gdje je:TSd – proračunska moment torzijeTRd – proračunska nosivost na torziju


- Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:

- redukcijski faktor tlačne čvrstoće betona u kosim štapovima elementa armiranog sponama (fck u N/mm2)

- ako su spone s obje strane šupljeg presjeka ili na svakoj stijenki sandučastog presjeka

θ - kut između betonskih tlačnih štapova i uzdužne osi nosača koji mora zadovoljiti uvjet0.4 ≤ ctgθ ≤ 2.5 ili 21.8° ≤ θ ≤ 61.2°

t=A/u – debljina stijenke zamjenjujućeg šupljeg presjeka

Ak – ploština unutar srednje konture; Ak =(b-t)·(h-t)

u – opseg vanjske konture

A – ukupna ploština presjeka

50200f70

350200f7070

tgctgtAf2TT

ck

ck

kcd1RdSd

..

...

≥−=ν=ν′

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=ν′

θ+θ⋅⋅⋅ν′⋅

=≤


- Površina poprečne armature (ili razmak sw) za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

- Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:

gdje je:A1

swT – ploština presjeka jedne grane spone na razmaku sw (sw ≤ uk/8)AslT – ploština svih uzdužnih šipki torzijske armature (raspoređuju se

jednoliko po opsegu, s tim da u svakom kutu po jednu šipku na razmaku ne većem od 35 cm)

fyw,d; fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armatureuk – opseg jezgre ploštine Ak; uk = 2· [(b-t)+(h-t)]

wd,ywkswT

12RdSd s

ctgfAA2TT θ⋅⋅⋅⋅=≤

kd,ylkslT3RdSd u

tgfAA2TT θ⋅⋅⋅⋅=≤



Torzijska armatura mora se sastojati od zatvorenih spona i uzdužne armature raspoređene po opsegu presjeka. U svakom kutu presjeka mora se predvidjeti barem jedna uzdužna šipka.

Armiranje pravokutnog presjeka pri djelovanju momenta torzije:


TORZIJA I POPREČNA SILA

Treba biti zadovoljen uvjet:

gdje je:TRd1 – proračunska nosivost presjeka na torzijski moment (kNm)

- proračunska nosivost tlačnih štapova (kN)

ili VRd2 = 0.5 · ν · fcd · bw · z - prorač. nosivost tl. štapova (standardna m.)

Proračun spona provodi se odvojeno za prihvaćanje torzije (swT) i odvojeno za poprečnu silu (sw). Konačni razmak spona (s) je:

Kut nagiba θ tlačnih betonskih štapova uzima se isti za torziju i poprečnu silu.

θθν

tgctgzbfV wcd2Rd +

⋅⋅⋅=

wTw

wTw

sssss

+⋅

=

1VV

TT

2

2Rd

Sd

2

1Rd

Sd ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


TORZIJA SA SAVIJANJEM I/ILI UZDUŽNOM SILOM

U vlačnom području zbog savijanja treba torzijsku uzdužnu armaturu dodati armaturi potrebnoj za preuzimanje naprezanja zbog savijanja i uzdužne sile. U tlačnom području redovito nije potrebno dodavati armaturu zbog torzije, jer je ona često manja od konstruktivne.

Kad istodobno djeluje moment torzije i veliki moment savijanja (sandučastipresjeci), može biti kritično glavno naprezanje u tlačnom području od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet:


PRORAČUN PLOČE NA PROBOJ

Nastaje: Zbog koncentriranog opterećenja ili ležajne reakcije koja djelujenamaloj površini.

Kada debljina stropne ili temeljne ploče nije dovoljna za osiguranje nosivosti na proboj, potrebno je predvidjeti poprečnu armaturu, pojačanje vrha stupa (kapitel) ili sl.


Dimenzioniranje ploče na proboj


- Uvjet nosivosti na proboj je:vSd ≤ vRd

gdje je:vSd – proračunska poprečna sila po jedinici kritičnog opsegavRd – proračunska nosivost na proboj po jedinici kritičnog opsega

gdje je:VSd – proračunska sila proboja od vanjskog djelovanjaucr – duljina kritičnog opsegaβp – korekcijski faktor kojim se uzima u obzir ekscentrično

djelovanje sile proboja u odnosu na kritični presjekβp = 1.0 – za simetrično naprezane stupoveβp = 1.15 – za unutrašnje stupove nesimetrično naprezaneβp = 1.4 – za stupove na rubuβp = 1.15 – za stupove u kutu

cr

pSdSd u

Vvβ⋅=


- Određivanje kritičnog opsega:


- Armatura za za osiguranje od proboja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:

vSd ≤ vRd1= τRd · k · (1.2+40·ρl) · d

gdje je:τRd – proračunska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naponak – koeficijent visine presjeka ploče (kao dimenzioniranje na poprečne sile)d – srednja statička visina presjeka ploče (=(dx+dy)/2)ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom

0.5% ≤ ρl ≤ 1.5%

- Ako gornji uvjet nije zadovoljen, potrebno je kontrolirati nosivost na tlak te proračunati poprečnu armaturu:

vSd ≤ vRd2 = 1.6 · vRd1 – nosivost tlačnih štapova u ploči

– nosivost poprečne armature za osiguranje od proboja

lylxl ρρρ ⋅=

crydsw1Rd3RdSd u

sinfAvvv α⋅⋅∑+=≤


Asw – ukupna ploština poprečne armatureα - kut nagiba poprečne armature prema ravnini ploče

Minimalna armatura

Minimalna poprečna armatura proračunava se prema izrazu:

ρ′w,min = 0.6 · ρw,min

ρw,min – minimalni koeficijent armiranja na poprečne sileAcrit – ploština unutar kritičnog presjekaAload – ploština djelovanja opterećenje

( )α

ρsin

AAA loadcritmin,w

min,sw

−⋅′=∑


Armiranje ploča za osiguranje od proboja:


Documents

Dim Na Poprecne, Torziju i Probijanje