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Didaktik der Arithmetik Klasse 1-3 SS 2009 Hans-Dieter Rinkens

InhaltLehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW

Arithmetische Vorkenntnisse am SchulanfangArithmetische Vorkenntnisse am Schulanfang

Zahlaspekte, Zählen, Zahlzeichen

Zum Gleichheitszeichen

M t i li i A f t i htMaterialien im Anfangsunterricht

Addieren und Subtrahieren: Grundvorstellungen und Grundverständnis

Beginn der Rechenfertigkeit bei Erstklässlern

Addieren und Subtrahieren: Rechen-Strategien

Der Zahlenraum bis 100: Aufbau und additives Rechnen

Multiplizieren und Dividieren: Grundvorstellungen Grundverständnis EinmaleinsMultiplizieren und Dividieren: Grundvorstellungen, Grundverständnis, EinmaleinsPrinzipien des Übens

Der Zahlenraum bis 1 Million: Stellenwertsystem

Halbschriftliches Rechnen

Umgang mit Größen: Geld, Zeit, Länge, Gewicht

Umgang mit Dateng g

Heterogenität: Hochbegabung und Dyskalkulie

Was ist eine gute Lehrerin/ ein guter Lehrer?

Multiplizieren und Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins

• Kernlehrplan Mathematik für die Grundschule

• Multiplizieren: Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins-Reihen• Phasen der Begriffsbildung

G d ll (A k ) d M l i li i• Grundvorstellungen (Aspekte) des Multiplizierens

• Grundverständnis des Multiplizierens

Ei l i R ih• Einmaleins-Reihen

• Dividieren: Grundvorstellungen und Grundverständnis

• Grundvorstellungen (Aspekte) des Dividierens

• Grundverständnis des Dividierens

• Stoff-Abfolge Multiplikation - Division

• Division mit Rest: Schreibweise

Stoff Abfolge Multiplikation Division

3• Einmaleins-Zahlen in der Hundertertafel

Ministerium für Schule und Weiterbildung – NRWLehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW

Bereich: Zahlen und Operationen Schwerpunkt: Operationsvorstellungen

Kompetenzerwartungen am Ende der Schuleingangsphase

Die Schülerinnen und Schüler

• ordnen Grundsituationen (z.B. dem wiederholten Hinzufügen oder wiederholten Wegnehmen gleicher Anzahlen) Malaufgaben oder Ver- bzw. Aufteilaufgaben zu

• wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Operationen (mit Material, bildlich, symbolisch und sprachlich) hin und her

• entdecken, nutzen und beschreiben Operationseigenschaften (z. B. Umkehrbarkeit) und Rechengesetze an Beispielen (Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz usw )(Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz usw.)

• verwenden Fachbegriffe richtig (plus, minus, mal, geteilt)


Bereich: Zahlen und Operationen Schwerpunkt: Schnelles Kopfrechnen



• geben die Kernaufgaben Erläuterung und einzelne weitere Aufgaben des kleinen Einmaleins automatisiert wieder

Kompetenzerwartungen am Ende der Klasse 4


• geben alle Zahlensätze des kleinen Einmaleins automatisiert wieder und leiten deren Umkehrungen sicher ab


Bereich: Zahlen und Operationen Schwerpunkt: Zahlenrechnen



• nutzen Zahlbeziehungen (z. B. Nachbarzahlen) und Rechengesetze (z. B. Kommutativgesetz) für vorteilhaftes Rechnen

• beschreiben (eigene) Rechenwege für andere nachvollziehbar mündlich oder in schriftlicher Form

Multiplizieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins

•• MultiplizierenMultiplizieren:Grundvorstellungen Grundverständnis Einmaleins-ReihenGrundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins Reihen

• Phasen der Begriffsbildung

• Grundvorstellungen (Aspekte) des Multiplizierens• Grundvorstellungen (Aspekte) des Multiplizierens

• Grundverständnis des Multiplizierens

• Einmaleins Reihen• Einmaleins-Reihen

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Multiplizieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins

Interview mit Julia

Der Peter, der geht 3-mal zum Schrank und nimmt immer 4 Teller auf einmal Wie viele Teller hat er dann weggebracht?einmal. Wie viele Teller hat er dann weggebracht?

(sofort) 12

Oh toll, wie hast du denn das so schnell rausgefunden, mmh?

Ich habe erst 4 plus 4 gerechnet und dann 2, das sind dann 10 und dann nochmal 2, d i d d 12das sind dann 12.

Schön, ja.

(aus Selter/Spiegel)8

Multiplizieren Phasen der Begriffsbildung

GrundvorstellungenGrundvorstellungenbilden die Grundlage für die

Von der Handlung zur Operation:Mengen/Mengen/ Größen Handlung Neue Menge/

Größe

zählen/ messen zählen/ Grundmessen messenGrund-

vorstellung

Zahlen ZahlZahlen Zahl

Operation9


„Sach-Rechnen“:GrundvorstellungenGrundvorstellungen

bilden die Grundlage für die

Mengen/„Sach-Rechnen“:

Mengen/ Größen Handlung Neue Menge/

Größe

zählen/ messen Grundmessen Grund-

vorstellung

Zahlen ZahlZahlenOperation

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Eine GrundvorstellungGrundvorstellung ermöglicht eine Übersetzung aus der Handlung in die mal-Aufgabe.

Die Frage nach dem Ergebnis wird anfangs situativ und subjektiv unterschiedlich beantwortet.

SachsituationPeter geht 3-mal...

Grundvorstellungder Operation

Mal-Aufgabe 3 • 4

Später: Peter geht 3 mal... ...jedesmal 4Teller

der Operation 3 4 Einmaleins

Ergebnis4 + 4 + 4

Beantwortunganfangs: situativ

FrageWie viele Teller ?Teller...?

Anfangsphase mit demAnfangsphase mit dem

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Multiplizieren Grundvorstellungen

räumlich-simultan

zeitlich-sukzessiv

„mal“proportional kombinatorischp p kombinatorisch

HandlungRollenspiel

ErzählungBeschreibungRollenspiel

(„enaktiv“)Beschreibung(„Sprache“)

Bildbildhafte Darstellung

( ik i h“)(„ikonisch“)

Rechensatz(„symbolisch“) 12


räumlich-simultan Wiederholung derselben Anordnung

• Auf dem Tisch stehen drei Teller, auf jedem Teller vier Äpfelauf jedem Teller vier Äpfel.

• Das Regal hat drei Bretter, g ,auf jedem Brett stehen vier Kartons.

„Feld-Darstellung“

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zeitlich-sukzessiv Wiederholung derselben Handlung

• Peter geht dreimal in den Keller, er holt jedesmal vier Äpfel.

HandlungRollenspiel

ErzählungBeschreibung

(„enaktiv“)g

(„Sprache“)

Bildbildhafte Darstellung

(„ikonisch“)(„ikonisch )

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proportional Proportionale Zuordnung

• Tim hat 4 Euro, Anne hat dreimal so viel.

D lb G öß b i hDerselbe Größenbereich

1 1 1 1 1 1 1 1

Tim AnneOperator-Aspekt

11 11 11 11

Operator Aspektder Zahl

• Anne kauft drei Stück Seife, jedes Stück kostet 4 Euro.

V hi d G öß b i h

4 €

Verschiedene GrößenbereicheMenge Preis1 Stück 4 €

4 €4 €

1 Stück 4 €

2 Stück 8 €

3 Stück 15


kombinatorisch Kombination von Möglichkeiten

• Anne hat für ihre Puppe drei Röckchen und vier Pullis. Si i ht i j d T dSie zieht sie jeden Tag anders an.

• Vom Turm zur Mühle gibt es drei Wege, von der Mühle zum See vier. Und vom Turm zum See?

Turm Mühle SeeSee

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räumlich-simultan

zeitlich-sukzessiv

„mal“+ + + + + ‐

proportional kombinatorisch

+ + + ‐ ‐0

+ ‐ 0

Wichtige Einfache situative

Ermittlung desBegriffserweiterungauf Dezimalzahlen

AnwendungenErmittlung des Ergebnisses

auf Dezimalzahlen möglich

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Multiplizieren Grundverständnis

Einsicht in die Gesetzmäßigkeit der „Nachbar-Aufgaben“

„Wenn du einen Faktor um 1vergrößerst oder verkleinerst,

l i h di vergrößert oder verkleinert sich das Ergebnis

d d F kt “

vergleiche die

um den anderen Faktor.“

Aufgabe: 9 • 7 = ? 7 • 19 = ?Lö 10 7 70 7 20 140Lösung: 10 • 7 = 70 7 • 20 = 140 Also 9 • 7 = 63 7 • 19 = 133

von der KernKern--AufgabeAufgabe 5 • 4

NachbarNachbar AufgabeAufgabe 6 4zur NachbarNachbar--AufgabeAufgabe 6 • 4

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Multiplizieren Grundverständnis

Einsicht in die Gesetzmäßigkeit der „Tauschaufgaben“

Wenn du beide Faktoren vertauschst, bleibt das Produkt gleich.

nicht in jederg

Kommutativ-Gesetz a • b = b • a

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Multiplizieren Einmaleins-Reihen

Übersetzung aus der Handlung

i di l A f bin die mal-Aufgabeüber

anfangsErmittlung des Ergebnisses der mal-Aufgabeanfangs

situativ und subjektiv unterschiedlich

ddanndurch Aufbau der

-KenntnisseKenntnisse

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Das „wiederholte Hinzufügen“

von der Aufgabe 3 • 4von der Aufgabe 3 • 4

zur Nachbar-Aufgabe 4 • 4

von der Aufgabe 3 • 4


von der Aufgabe 3 • 4


... 5 • 45 • 4

6 • 4

drängt zur Reihenbildung

„Vierer-Sprünge“

„Vierer-Reihe“

3 • 43 • 4In den meisten Anwendungssituationen

des Malnehmens ist die erste ZahlMultiplikaMultiplikatortor • MultiplikandMultiplikaMultiplikatortor • Multiplikand

des Malnehmens ist die erste Zahl

die „handelnde Zahlhandelnde Zahl“. 21


UmstrukturierungUmstrukturierungAnwendung Reihenbildung

1- Wie oft? 1

der SichtweiseAnwendung Reihenbildung

12-3-4- mal 7

Wie oft? 1234 mal 74- mal

5-6-

7 456

mal 7

... ...

4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe

7 • 4 ist eine Aufgabe der Vierer-Reihe

4 • 7 ist eine Aufgabe der Siebener-Reihe

7 • 4 ist eine Aufgabe der Vierer-Reihe

Starre ReihenbildungReihenbildung durch TauschTausch--AufgabenAufgaben öffnen.22


„Veranschaulichung“„Veranschaulichung“ der Reihenbildung durch

PunktePunkte--FeldFeld

• Betonung des räumlich simultanen Aspektes

• Unterstützung der Einsicht in den Zusammenhang zwischen Aufgabe und Tauschaufgabe

Sprünge am ZahlenstrahlSprünge am Zahlenstrahl

• Betonung des zeitlich-sukzessiven Aspektes

• Unterstützung des Zusammenhangs zur Zahlenreihe

TabelleTabelle

• abstrakteste Darstellungsform des „rhythmischen Zählens“• Betonung des proportionalen Aspektes

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MaschinenMaschinen ModellModell

„Veranschaulichung“„Veranschaulichung“ der Reihenbildung durch

MaschinenMaschinen--ModellModell

Die „mal-4-Maschine“ 41 2 3 4 vervierfacht alle Zahlen, die

man in sie hineinsteckt.4 8 12 16• 4

OperatorOperator--PfeilPfeilals Kurzschreibweise

• 4

TabelleTabelle• 4

verdeutlicht den funktionalen Aspekt

TabelleTabelle1 42 8

funktionalen Aspektdes Multiplizierens. 3 12

4 16 24


Abfolge der Behandlung der Einmaleins-Reihen

Zwei Kriterien:

• kleine Schritte vor großen Schritten

• Betonung der Verwandtschaft der Reihen

Vorschläge in der Schulbuch-Literatur:

• Variante A:

• Variante B:

• Variante C: 3 43 4

QuadratzahlQuadratzahl--SätzeSätze


Gib jeder

eineneinen

ZumZum

Zweier-Reihe

Fünfer-ReiheSechser-Reihe

Achter ReiheZehner Reihe

Vierer-Reihe Siebener-Reihe

Achter-ReiheZehner-Reihe

Dreier-Reihe Neuner-Reihe


Behandlung der Einmaleins-Reihen

von den KernKern--AufgabenAufgaben

zu den NachbarNachbar--AufgabenAufgaben

KernKern--AufgabenAufgaben:

Aufgaben und TauschTausch--Aufgaben Aufgaben der ZweierZweier--, ZehnerZehner-- und FünferFünfer--ReiheReihe,

Q d t hlQ d t hl SätSätQuadratzahlQuadratzahl--SätzeSätze

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EinmaleinsEinmaleins--TafelnTafeln

ErgebnisErgebnis TafelTafelErgebnisErgebnis--TafelTafel

• gibt in der Aufbauphase den wachsenden eigenen• ist Informationsspeicher• gibt in der Aufbauphase den wachsenden eigenen

Kenntnisstand wieder• kann als Lösungskontrolle genutzt werdeng g• zeigt Strukturen wie die Kommutativität explizit auf

AufgabenAufgaben--TafelTafel• ist Übungsform• betont den Zusammenhang der Reihen• enthält die Kommutativität nur implizit

b t t B d h it i di Q d t hl• betont Besonderheiten wie die Quadratzahlen

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ErgebnisErgebnis--TafelTafel

SonnenSonnen--AufgabenAufgaben

in derin derin derin der

EinmaleinsEinmaleins--TafelTafel

29


AufgabenAufgaben--TafelTafel

30


RechenRechen--StrategienStrategien

hier Kannst d die Ta sch A fgabe?hier: Kannst du die Tausch-Aufgabe?

hier: Findest du eine Nachbar Aufgabe die du kannst?hier: Findest du eine Nachbar-Aufgabe, die du kannst?

hier: Kannst du die passende Einmaleins-Reihe?p


Verschiedene Fragestellungen

• Produkt gesucht 6 • 3 = x

1 F kt ht 3 18 Wi i l D i S ü• 1. Faktor gesucht x • 3 = 18 Wie viele Dreier-Sprünge

brauchst du?

Untersuche die Dreier-Reihe.

• 2. Faktor gesucht 6 • x = 18 Suche die passende Reihe.

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Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins

•• DividierenDividieren:


Grundvorstellungen und Grundverständnis


• Grundverständnis des Dividierens

Di i i i R S h ib i

StoffStoff Abfolge MultiplikationAbfolge Multiplikation DivisionDivision

• Division mit Rest: Schreibweise

• StoffStoff--Abfolge Multiplikation Abfolge Multiplikation -- DivisionDivision

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Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins

Erlebnisbericht einer Referendarin (V.S. Dez. 1999)

Im 1 Schuljahr habe ich heute Weihnachtskerzen mit Teelichtern undIm 1. Schuljahr habe ich heute Weihnachtskerzen mit Teelichtern und Wellpappe gebastelt. Jedes Kind hat 3 Kerzen in verschiedenen Größen gebastelt. Als Verzierungen sollten kleine Goldsterne auf die Kerzen geklebt werden.

Jedes Kind hat für seine Kerzen 12 Sternchen abgeschnitten bekommen.

Irgendwie kam mir die Idee zu sagen, dass auf jeder Kerze gleich viele Sterne sein müssen!

Fast alle Kinder begannen die Sterne einzeln zu verteilen.

Dominik (ein Kind mit dem hohen IQ am Rande der Hochbegabung - Tests sind gelaufen) klebte gleich 4 auf jede Kerze.

Folgender Dialog entstand:

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Multiplizieren und Dividieren Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins

LAA: Woher weißt du, dass 4 auf jede Kerze müssen?

D: Gut ne?

LAA: Ja sehr gut, aber wie bist du darauf gekommen? Kannst du mir das erklären?

D: Ja guck mal, ich habe erst gedacht 2 auf jede, dann hätte ich 6 verbraucht …

LAA H j d?LAA: Hmm, ja - und?D: Ja, dann sind doch nochmal 6 da, also kann ich nochmal 2 auf jede machen,

also 4!LAA: O.k. Das ist richtig. Was wäre denn, wenn du 4 Kerzen bekleben müsstest?

D: Vier?LAA Ja!LAA: Ja!

D: (überlegt über eine Minute) LAA: Gut wie hast du das heraus bekommen?

3. Auf jede 3.LAA: Gut, wie hast du das heraus bekommen?

D: Ja wieder so.LAA: Hmm, sags nochmal!

D: Ja erst wieder auf jede 2. Dann sind es 8. Und noch 4. Dann sind es 3.

LAA: Super! 35

Dividieren Grundvorstellungen

aufteilenaufteilen verteilenverteilen

durch

Auf dem Schulhof sind 56 Kinder.

Immer 8 Kinder bilden eine Gruppe.

Es werden 8 Gruppen gebildet, alle gleich groß.

Wie viele Gruppen Wie viele Gruppen gibt es? Wie viele Kinder Wie viele Kinder sind in einer Gruppe?

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Die Standard-Situation des Dividierens:

Bekannt: Anzahl der GesamtmengeBekannt: Anzahl der GesamtmengeBedingung: Gleich große (disjunkte) Teilmengen

• • •


Bekannt :Größe der Teilmengen

Bekannt: Anzahl der Teilmengen

durchGröße der Teilmengen. Anzahl der Teilmengen.

Frage: Wie viele Teilmengen?

Frage: Wie groß ist eine Teilmenge?Wie viele Teilmengen? Wie groß ist eine Teilmenge?

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ermöglichen eine Übersetzung aus der Handlung in die durch Aufgabeaus der Handlung in die durch-Aufgabe.

Die Frage nach dem Ergebnis wird anfangs

Sit ti Lö b h ft f

g g gsituativ und subjektiv unterschiedlich beantwortet.

Situative Lösungen beruhen oft auf fortgesetztem Wegnehmen/Subtrahieren.

Beim Aufteilen weiß man, wie viel man jedesmal von der Gesamtmenge wegnehmen soll

beim Verteilen nicht ( >mühsam)beim Verteilen nicht (->mühsam).

Kinder wählen beim Verteilen oft Probierverfahren, die dem Aufteilen ähneln.

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Dividieren Grundverständnis

Situative Lösungen von durch-Aufgaben sind mühsam und im Hinblick auf strukturelle Einsicht meist unergiebig.

Daher gehört fundamental zumG d tä d iG d tä d i d Di idiGrundverständnis Grundverständnis des Dividierens:

die Einsicht in den Zusammenhang zum MultiplizierenZusammenhang zum Multiplizieren

• • •

A hl d T il l G öß d T il l i h G t hlAnzahl der Teilmengen mal Größe der Teilmengen gleich Gesamtzahl

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Dividieren Grundverständnis

Die Standard-Situation des Dividierens:

Bekannt: GesamtzahlBedingung: Gleich große (disjunkte) Teilmengen

Bekannt: Gesamtzahl Größe der Teilmengen Gesucht: Anzahl der Teilmengen

Anzahl der Teilmengen mal Größe der Teilmengen gleich Gesamtzahl

Bekannt: Gesamtzahl, Größe der Teilmengen Gesucht: Anzahl der Teilmengen

aufteilenaufteilen

• • •

verteilenverteilenverteilenverteilen

Bekannt: Gesamtzahl, Anzahl der Teilmengen Gesucht: Größe der Teilmengen

Anzahl der Teilmengen mal Größe der Teilmengen gleich Gesamtzahl40

Dividieren Division mit Rest


durch

Auf dem Schulhof sind 50 Kinder.

Immer 8 Kinder bilden eine Gruppe.

Es werden 8 Gruppen gebildet, alle gleich groß.

Wie viele Gruppen Wie viele Gruppen gibt es?

g g

Wie viele Kinder Wie viele Kinder sind in einer Gruppe?einer Gruppe?

Antwort: Antwort:Es gibt 6 GruppenGruppen,zwei KinderKinder bleiben übrig.

In jeder Gruppe sind 6 KinderKinder,zwei KinderKinder bleiben übrig. 41


50 : 8 = ?Wie schreibt man die Antwort in Kurz-Form?

RestRest--SchreibweiseSchreibweise („traditionell“ und immer noch sinnvoll):(„ )

50 : 8 = 6 Rest 250 : 8 = 6 Rest 2, manchmal abgekürzt zu 50 : 8 = 6 R 2

Algorithmischer Gebrauch des Gleichheitszeichens

Konflikt mit dem logisch/algebraischen Aspekt des Gleichheitszeichens:

Algorithmischer Gebrauch des Gleichheitszeichens

„Sind zwei Dinge einem dritten gleich, dann sind sie auch einander gleich“.

7 : 2 = 3 Rest 113 : 4 = 3 Rest 1aber 7 : 2 ≠ 13 : 4

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„Korrektur-Versuch“ der Rest-Schreibweise:

Z l h ib iZ l h ib i 50 6 8 + 250 6 8 + 2Zerlegungsschreibweise:Zerlegungsschreibweise: 50 = 6 • 8 + 250 = 6 • 8 + 2

Nachteile:• Beschreibt die Anwendungssituation meist nicht angemessen.• Macht aus einer Divisions-Aufgabe einen Rechen-Satz,

i d d Di i i Z i h i ht h k tin dem das Divisions-Zeichen gar nicht mehr vorkommt. Häufiger Schülerfehler: 50 : 8 = 6 + 2

• Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Term der wie eine Aufgabe• Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Term, der wie eine Aufgabe aussieht, nicht wie ein Ergebnis;richtig wäre auch: 50 = 5 • 8 + 10 , ist aber kein „Ergebnis“.g g

• Schreibaufwand43


Divisionsschreibweise:Divisionsschreibweise: 50 : 8 = 6 + 2 : 850 : 8 = 6 + 2 : 8„Korrektur-Versuch“ der Rest-Schreibweise:

Divisionsschreibweise:Divisionsschreibweise: 50 : 8 6 + 2 : 8 50 : 8 6 + 2 : 8 im Lehrplan 2003 NW vorgesehene Endform Hintergrund: Distributiv-Gesetz (48 + 2) : 8 = 48 : 8 + 2 : 8

Vorteil:Vorform für die Entwicklung der Bruchzahlen in der Sekundarstufe

Nachteile:ac te e• Beschreibt die Anwendungssituation oft nicht angemessen.• Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Term, der wie eine Aufgabe

aussieht, nicht wie ein Ergebnis; richtig wäre auch: 50 : 8 = 5 + 10 : 8 , ist aber kein „Ergebnis“. Es erscheint fremd im Ergebnis einer durch Aufgabe wieder eineEs erscheint fremd im Ergebnis einer durch-Aufgabe wieder eine durch-Aufgabe zu notieren. Häufiger Schülerfehler: 50 : 8 = 6 + 2

• „Punkt-vor-Strich“-Konvention muss beachtet werden:„6 + 2 : 8 ist nicht gleich (6 + 2) : 8

• Schreibaufwand 44



Es bietet sich an:

• die RestRest--Schreibweise Schreibweise zu benutzen, solange der Zusammenhang

zwischen Situation und Rechen-Satz im Vordergrund steht.

Die Restschreibweise beschreibt die Situation angemessenDie Restschreibweise beschreibt die Situation angemessen.

• die DivisionsDivisions--SchreibweiseSchreibweisefrühestens im Zusammenhang mit dem halbschriftlichen

oder erst mit dem schriftlichen Dividieren i füheinzuführen.

45

Dividieren Stoff-Abfolge Multiplikation - Division

Aus zwei Zahlen kann man immer eineplus-Aufgabe oder eine mal-Aufgabeplus Aufgabe oder eine mal Aufgabe (mit der Tausch-Aufgabe sogar zwei)und eine minus-Aufgabe machen,

Aber nicht immer Aber nicht immer eine durcheine durch--Aufgabe!Aufgabe!

wobei das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist.

3

54

20

11

310 8

46


Beim Dividieren geht dies nur, wenn

Aus zwei Zahlen kann man immer eineplus-Aufgabe oder eine mal-Aufgabe ( it d T h A f b i) wenn...

...die 1. Zahl, der Dividend, zur 2. Zahl, dem Divisor,

(mit der Tausch-Aufgabe sogar zwei)und eine minus-Aufgabe machen,

wobei das Ergebnis wieder eine , ,passt.

wobei das Ergebnis wieder eine natürliche Zahl ist.

Passen heisst:Der DividendDividend ist Ergebniszahl in der Einmaleins-Reihe des Divisors.

Erfolgreiches Dividieren setzt die Kenntnis der EinmaleinsKenntnis der Einmaleins--Reihen Reihen voraus.

Deshalb ist die Herausstellung des Z h i hZ h i h Di i i dDi i i d M lti lik tiM lti lik tiZusammenhangs zwischen Zusammenhangs zwischen Division und Division und MultiplikationMultiplikation

besonders wichtig. 47


48


49

V hlä St ff Abf l M lti lik ti Di i i


Vorschläge zur Stoff-Abfolge Multiplikation - Division in der Schulbuch-Literatur:A Trennung nach Operationen:A. Trennung nach Operationen:

1. Entwicklung des MultiplizierensMultiplizierens von den Grundvorstellungen bis zu den Einmaleins-Reihen mit einer gewissen Rechen-Fertigkeitzu den Einmaleins Reihen mit einer gewissen Rechen Fertigkeit

2. Einführung des DividierensDividierens ohne und mit Rest Zusammenhang zum MultiplizierenEntwicklung der Rechenfertigkeit unter Ausnutzung der Einmaleins-Kenntnisse

B. Integration der Division:1. Grundvorstellungen des MultiplizierensMultiplizierens und des DividierensDividierens, sowie

der Zusammenhang des Dividierens mit dem Multiplizieren2. Durcharbeitung der Einmaleins-Sätze einschließlich der durch-

f fAufgaben als Umkehr-Aufgaben3. Division mit Rest 50

Einmaleins-Zahlen in der Hundertertafel

51

Einmaleins-Zahlen in der Hundertertafel

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