SISTEM KENDALI OTOMATISFungsi Alih dan Diagram Blok

Model Matematis Sistem

Persamaan matematis yang menunjukkan hubunganantara input dan output sistem.

Dengan mengetahui model matematisnya, maka tingkahlaku sistem dapat dianalisa

G(s)INPUT OUTPUT

U(S) Y(S)

( )( ) = ( ) Transfer Function / Fungsi Alih

Transfer Function/Fungsi Alih

)(,

01

11

1

)(,0

11

11 ......

tuInput

m

m

m

m

tyOutput

n

n

n

n ububububyayayaya

nolawalkondisi

nolawalkondisi

tuL

tyLsG

_

_

)()(

)(

Persamaan differensial suatu sistem yang menghubungkanoutput dengan input

Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas dengan kondisi awalsama dengan nol

011

1

011

1

...

...

)()()(

asasasa

bsbsbsbsUsY

sGn

n

n

n

m

m

m

m

FungsiTransfer

4Transformasi Laplace PersDifferensial

Linieritas

sFsFtftfL

saFtafL2121

dtdffsFs

dttfdL

fssFdt

tdfL

00

0

22

2

dts

fs

sFdttfL 0

ssFtfst limlim0

ssFtfst 0limlim

sFetfL s

Differensiasi

Integrasi

Nilai awal

Nilai akhir

Pergeseran waktu

5Contoh:Solusi Persamaan Differensial

s

sYyssYysysYs 15)(2)0(33)0(02

tftydt

tdydt

tyd 52322

Diberikan persamaan differensial sbb:

Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y(0)=2.Transformasi Laplace menghasilkan:

)23(5)(

5)()23(

5)(2332

2

2

22

2

sss

sssY

sssYssss

sYssYssYs

Fungsi unit step dari tabeltransformasi Laplace

Menggunakan teoremadifferensiasi transformasi

Laplace

Solusi dalam domain tdiperoleh dengan invers

transformasi Laplace

6)2)(1(5

)23(5)(

2

2

2

sss

ss

sss

sssY

23

)1(5)]()2[(

5)2(5)]()1[(

25

)2)(1(5)]([

2

2

2

1

2

0

ss

sssYsC

ss

sssYsB

ss

ssssYA

s

s

s

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator)dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

)2)(1(5

)2()1()(2

sss

ss

s

Cs

Bs

AsY

Ekpansi dalam pecahan parsial,

Dimana A, B dan C adalah koefisien

7)2(23

)1(5

25)( ssssY

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktuy(t) menjadi

tt eety 2235

25)(

Dengan t0

8Diagram Blok

Hubungan antara output dan input suatu sistem dapat digambarkandengan suatu blok (=diagram blok) yang mengandung fungsi transfer.

Diagram Blok merupakan technical drawing (atau standard drawing)suatu sistem kontrol

Dengan representasi diagram blok, keserupaan (similarity) berbagaitipe sistem kontrol dapat dipelajari.

G(s)U(s) Y(s)

)()()(

sUsY

sG

Fungsi Transfer,

Diagram Blok suatu sistem

9Diagram Blok sistem tertutup:Ideal

G(s)E(s) Y(s)

-+

H(s)

R(s)

B(s)

Titik PenjumlahanTitik Percabangan

R(s)=Referensi sinyal inputE(s)=Sinyal error [E(s)=R(s)-B(s)]G(s), H(s)=Fungsi TransferB(s)= Sinyal feedbackY(s)=Sinyal output

10

)()()(

sGsEsYFFTF

)()()()(

sHsGsEsBOLTF

)()(1)(

)()(

sHsGsG

sRsYCLTF

)()()(1)()( sR

sHsGsG

sY

Feed-forward Transfer Function, FFTF

Open-Loop Transfer Function, OLTF

Closed-Loop Transfer Function, CLTF

Hubungan Input Output (LihatDiagram Blok):

Y(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)Y(s)

AtauY(s)=G(s)[R(s)-H(s)Y(s)]Y(s)+G(s)H(s)Y(s)=G(s)R(s)(1+G(s)H(s))Y(s)= G(s)R(s)

Atau,

Dr.-Ing. Mohamad Yamin 11

Diagram Blok sistem tertutupdengan gangguan

G1(s)E(s) Y(s)

-+

H(s)

R(s)

B(s)

Jika dalam suatu sistem terdapat dua input (reference input dan gangguan), makatiap input dapat diperlakukan independen, output yang berkorespondensi pada tiapinput dapat dijumlahkan untuk menentukan output sistem keseluruhan.

++

D(s)

G2(s)U1(s) U2(s)

12

)()()(1)(

)()(

21

2

sHsGsGsG

sDsYD

)()()(1)()(

)()(

21

21

sHsGsGsGsG

sRsYR

)]()()([)()()(1)()()()( 1

21

2 sDsRsGsHsGsG

sGsYsYsY DR

Response Y(s) terhadap gangguan D(s),

Response Y(s) terhadap referensi input R(s), dengan measumsikan gangguansama degan nol

Total Response Y(s),

Buatlah Transfer Function-nya Gambarkan diagram blok

* Persamaan Sistem

idtC

eR

eei i 1; 00

* Transformasi Laplace dari persamaan

RsEsE

sI i )()()( 0 )(1)(0 sICssE

Diagram Blok dari Persamaan

11 RCs)s(E

)s(E

i

o

16

Diagram Blok: Seri

G1(s)R(s) Y(s)

G2(s) Gk(s)

G(s)

)()...()()()( 211

sGsGsGsGsG kk

ii

Fungsi Transfer

17

Paralel

R(s) Y(s)G2(s)

G(s)

)(...)()()()( 211

sGsGsGsGsG kk

ii

Fungsi Transfer hubungan paralel:

G1(s)

Gk(s)

+++

18

Feedback

R(s) Y(s)G1(s)

G(s)

)()(1)()(

21

1

sGsGsG

sG Fungsi Transfer

G2(s)

++-

19

Penyederhanaan Diagram Blok

RG +

+-B

++-

B

G

1/G

Y YR

++-

B

YRG G

G

++-

R

B

Y

20

RG

BY

G

G

Y YR

R

YRG G

1/G

R

R

Y

21

RG +

+-B

++-

H

H

Y YR

++-

YRG 1/H GH+

+-

R Y

G/H

H

22

Contoh1

)()()()()(

sHsGsCsEsBOLTF

+-U

C

H

YR

B

EG

Diagram blok dari suatu sistem diberikan seperti gambar berikut, Tentukan:a). Open-Loop Transfer Function, OLTFb). Closed-Loop Transfer Function, CLTF

Jawaba). Open-Loop Transfer Function, OLTF

)()()(1)()(

)()(

sHsGsCsGsC

sRsYCLTF

b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF

23

Contoh2

+- C2

H3

YRG1

Sederhanakan diagram blok berikut:

C1

+-

H1

G2

H2

+

24

Contoh2

+- C2

H3

YRG1

Jawab

C1

+-

H1

G2

H2

+

25

Contoh2

+- C1+C2

H2H3

YR G11+G1H1

Jawab

G2

+-

H2H3

YR (C1+C2)G1G21+G1H1

26

Contoh2

Diagram Blok yang disederhanakan menjadi:

YR (C1+C2)G1G21+G1[H1+(C1+C2)G2H2H3]

Tugas

1. Tentukan transfer function dangambarkan diagram blok dari rangkaianRLC berikut:

eieo

Tugas

2. Sederhanakan diagram blok berikut

TERIMA KASIH