Upload
dodien
View
306
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
13
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Model matematis suatu sistem :
Persamaan matematis yang menunjukan hubungan input dan output dari suatu sistem
yang bersangkutan.
Dengan mengteahui model matematis ini, maka kita dapat menganalisa tingkah laku sistem.
Sistem
INPUT OUPUT
R(s) C(s)
Diagram diatas menunjukan diagram model matematis suatu sistem.
R(s) = transformasi Laplace dari input
C(s) = transformasi Laplace dari output
G(s) = transformasi Laplace dari hubungan input dan output dari sistem.
C(s) = G(s).R(s)
∴∴∴∴ Transfer function : )()(
)(sG
sR
sC =
model matematis sistem ekuivalen dengan transfer function.
Transfer function / fungsi alih :
Perbandingan antara transformasi laplace dari output dengan transformasi laplace dari
inputnya, dengan anggapan semua kondisi awal = 0.
1. F = input (gaya) ; x = output (pergeseran)
k = konstanta pegas
m = massa f
= koefisien gesekan (piston)
carilah transfer function sistem mekanis diatas !
Solusi :
ΣF = m.a
F – k.x – f..x = m.
..x
F(s) – kX(s) – fsX(s) = ms2X(s)
F(s) = (ms2 + fs + k) X(s)
kfs2ms
1
F(s)
X(s)
++=
1.
G(s)
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
14
J = momen inersia
f = koefisien gesek
ω = kecepatan sudut (output)
T = torsi (input)
α = percepatan sudut
Ω = pergeseran sudut
Jα = ΣT
J.ω = T-f.ω
JsΩ(s) = T(s) – fΩ(s)
T(s) = (Js +f) Ω(s)
fJs
1
T(s)
Ω(s)
+=
eI = ∫++ i.dtc
1R.i
dt
diL. ……………… (1)
e0 = ∫ i.dtc
1 ………………(2)
Transformasi Laplace :
1° EI(s) = Ls I(s) + R I(s) + I(s)Cs
1
2° E0(s) = I(s)Cs
1 → I(s) = C s E0(s)
2°→1°: EI(s) = L C s2 E0(s) + R C E0(s) + E0(s)
EI(s) = C L C s2 + R (s +1) E0(s)
1RCs2LCs
1
(s)i
E
(s)0
E
++=
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
15
1RCs
1
(s)i
E
(s)0
E
+= (Buktikan !!!)
Bila kedua rangkaian RC
disamping tidak dianggap
terpisah.
EI = R1.i1 + ∫ − )dt2
i1
(i ………………… (1)
`` 0 = ∫++∫ − .dt2
i2
C
12
.i2
R)dt1i
2(i
1C
1 ………..(2)
e0 = ∫ .dt2
i
2C
1 ………………….(3)
Transformasi Laplace :
1° (s))2
I(s)1
(I(s)
1C
11
.i1
R(s)i
E −+=
2° (s)2
Is
2C
1(s)
2.I
2R(s))
1I(s)
2(I
s1
C
10 ++−=
3° (s)2
Is
2C
1(s)
0E =
Eliminasi I1(s) dan I2(s) dari ketiga persamaan diatas menghasilkan :
1)s
2C
1R
2C
2R
1C
1(R2s
2C
2R
1C
1R
1
(s)1
E
(s)0
E
++++=
Bila Kedua rangkaian RC diatas dianggap terpisah.
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
16
1s
1C
1R
1
(s)i
E
(s)m
E
+=
1s
2C
2R
1
(s)i
E
(s)m
E
+=
Transfer Function :
1s
1C
1R
1.
1s2
C2
R
1
(s)i
E
(s)m
E.
(s)m
E
(s)0
E
(s)i
E
(s)0
E
++==
1)s
2C
2R
1C
1(R2s
2C
2R
1C
1R
1
+++=
X1(s) X2(s) X3(s) X
≅
X1(s) X3(s)
(s)
2X
(s)3
X(s)
2G,
(s)1
X
(s)2
X(s)
1G ==
(s)2
(s).G1
G(s)
2X
(s)3
X.
(s)1
X
(s)2
X
(s)1
X
(s)3
XG(s) ===
)1s
2C
2R
1)(K)(
1s1
C1
R
1(
(s)i
E
(s)0
E
++=
1)s
2C
21)(Rs
1C
1(R ++
= K
BLOK DIAGRAM (DIAGRAM KOTAK)
Blok diagram : Suatu pernyataan grafis untuk menggambarkan sistem pengaturan.
G1(s) G2(s)
G1(s) G2(s)
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
17
Elemen-elemen blok diagram :
a. PROSES atau TRANSFER FUNCTION
b. ELEMEN PENJUMLAHAN
A C C = A - B
B
c. PERCABANGAN
BLOK DIAGRAM LENGKAP UNTUK SISTEM SEDERHANA :
R(s) = input
C(s) = output
G(s) = transfer function “feedforward”
H(s) = transfer function “feedback”
G(s)H(s) = transfer function “open-loop”
Transfer function “closed-loop” :
E(s) = R(s) – B(s) ……….. (1)
B(s) = C(s) . H(s) ………. (2)
C(s) = E(s) . G(s) ………..(3)
2°→1° : E(s) = R(s) – C(s).H(s) ……..(4)
4°→3° : C(s) = (R(s) – C(s).H(s)) G(s)
C(s) + G(s)H(s)C(s) = G(s)R(s)
∴ G(s)H(s)1
G(s)
R(s)
C(s)
+=
Contoh :
TRANSFER FUNCTION G(s)
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
18
(s)H(s)
2(s)G
1G1
(s)2
(s)G1
G
R(s)
C(s)
+=
SISTEM CLOSED-LOOP (SISTEM TERTUTUP) DENGAN DISTURBANSI :
N(s) = Disturbance
a. N(s) = 0
(s)H(s)
2(s)G
1G1
(s)2
(s)G1
G
R(s)
C(s)
+=
R(s)(s)H(s)
2(s)G
1G1
(s)2
(s)G1
GC(s)
+=
b. R(s) = 0
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
19
Atau
(s).H(s)
2(s)G
1G1
(s)2
G
N(s)
C(s)
+=
N(s)(s).H(s)
2(s)G
1G1
(s)2
GC(s)
+=
∴ output total :
N(s)(s)H(s)
2(s)G
1G1
(s)2
GR(s)
(s)H(s)2
(s)G1
G1
(s)2
(s)G1
GC(s)
++
+=
BLOK DIAGRAM SISTEM FISIS :
EI = R.i + ∫ i.dtC
1 .…. (1)
E0 = ∫ i.dtC
1 ….. (2)
Transformasi Laplace :
1° EI(s) = RI(s) + I(s)Cs
1
2° E0(s) = I(s)Cs
1
2°→1° : EI(s) = RI(s) + E0(s)
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
20
RI(s) = EI(s) – E0(s)
I(s) = R
(s)0
E(s)i
E −
BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : I(s) = R
(s)0
E(s)i
E −
BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : E0(s) = I(s)Cs
1 I(s) E0(s)
BLOK DIAGRAM RANGKAIAN RC
Atau :
RCs1
1
1/RCs1
1/RCs
(s)i
E
(s)0
E
+=
+=
ATURAN PENYEDERHANAAN BLOK DIAGRAM
Cs
1
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
21
Contoh : Hitung R(s)
C(s)u/ sistem yang mempunyai blok diagram sebagai berikut :
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
22
MENDAPATKAN TRANSFER FUNCTION DARI SISTEM FISIS
1° MOTOR DC DENGAN PENGATURAN JANGKAR
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
23
Ra = tahanan jangkar
La = induktansi jangkar
ia = arus jangkar
if = arus medan
ea = tegangan jangkar
eb = emf terinduksi
θ = perpindahan sudut dari poros / batang meter
T = torsi
J = momen inersia total
f = koefisien geseran total
Persamaan Sistem :
(1) ea = Ra.ia + La. be
dta
di+
(2) eb = K . n . φ = c . n = c . ω
(3) T = KI . φ . Ia = cI . ia
(4) J. .ω+ f . ω = T
......?(s)
aE
Ω(s) =
Transformasi Laplace :
(1) Ea(s) = Ia(s) [Ra + La . s] + Eb(s)
(2) Eb(s) = c . Ω(s)
(3) T(s) = CI.Ia(s)
(4) T(s) = Ω(s) [Js +f]
(1) Ia(s) [Ra + Las] = Ea(s) – Eb(s)
(2) Eb(s) = c . Ω(s)
Ω(s) Eb(s)
C
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
24
fJs
1
+
(3) T(s) = cI . Ia(s)
Ia(s) T(s)
(4) Ω(s) = fJs +
1 T(s)
Ω(s) T(s)
Blok Diagram Sistem :
∴ )
1ccf
a(RJ)s
aRf
a(L2Js
aL
1c
(s)a
E
Ω(s)
++++=
2° SISTEM LEVEL CAIRAN
A)
qI = aliran air yg masuk
q0 = aliran air yang keluar
R = tahanan kran
C = kapasitas tangki
h = tinggi air
(1) h = q0 . R → H(s) = R Q0(s)
CI
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
25
(2) 0
qi
qdt
dhC −= → C.sH(s) = QI(s) – Q0(s)
.....?(s)
iQ
H(s) =
H(s) = R [QI(s) – CsH(s)]
[RC.s + 1] H(s) = RQi(s)]
∴ 1)R(s
R
(s)i
Q
H(s)
+=
B)
......?(s)
iQ
(s)0
Q=
Tangki 2 :
q0 =
2R
2h
→ Q0(s) =
2R
(s)2
H …. (1)
C2dt
2dh
= qm – q0 → C2sH2(s) = Qm(s) – Q0(s) ….(2)
Tangki 1 :
(s)....(4)m
Q(s)i
Q(s)1
sH1
Cm
q1
qdt
1dh
1C
.....(3)1
R
(s)2
H(s)1
H(s)
mQ
1R
2h
1h
mq
−=→−=
−=→
−=
(1) H2(s) Q0(s)
2
R
1
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
26
Penggabungan :
∴
s1
C2
Rs1
C1
R2s2
C2
R1
C1
R
1s2
C2
R1
s1
C2
Rs1
C1
R2s2
C2
R1
C1
R
1
(s)i
Q
(s)0
Q
++
++
++=
= 1)s
1C
2R
2C
2R
1C
1(R2s
2C
2R
1C
1R
1
++++
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
27
SIGNAL FLOW GRAPH (GRAF ALIRAN SINYAL)
HUBUNGAN ANTARA SIGNAL FLOW GRAPH DENGAN BLOK DIAGRAM
BLOK DIAGRAM SIGNAL FLOW GRAPH
R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)
SIFAT-SIFAT SIGNAL FLOW GRAPH
(a) x a y y = a . x
(b) x a y b z x a.b z
≡
(c)
(d)
G(s)
x1 x1 a ac x3 c ≡ x4 x4 b bc x2 x2
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
28
DEFINISI
→ x1, x2, x3, x4 → node (simpul)
→ G1, H2, G2, G3, H1 → transmittance / gain
→ x1 → input node (source)
→ x4 → output node (sink)
→ x2, x3 → mixed node
→ G1 G2 G3 = gain lintasan maju / kedepan (forward path gain)
→ Gain lintasan tertutup :
G1, G2, H2 / G2, H2, G1
G2, G3, H1
→ Dua atau lebih lintasan tertutup dikatakan tidak bersentuhan bila lintasan-lintasan tersebut tidak melintasi suatu transmittance yang sama.
Contoh :
MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS
Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT
29
Gain lintasan maju : 1) G1 G2 G3 G4 G5
2) G1 G2 G6 G5
gain lintasan tertutup : 1) G1 G2 H1 3) G4 G5 H3
2) G2 G3 H2 4) G2 G6 G5 H3 H2
TEORI MASON
P = fungsi alih / tranfer function total
∆ = ....kj,i,
kL
jL
iL
ji,j
Li
Li
iL1 +∑−∑+∑−
PI = gain / transmittance lintasan maju ke I
LiLj = gain total dari dua buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan
LiLjLk = gain total dari tiga buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan
∆I = ∆ bila lintasan maju ke i dihilangkan, atau bila lintasan-lintasan tertutup yang
menyentuh lintasan maju ke i dihilangkan
Contoh :
P1 = G1 G2 G3 G4 G5
P2 = G1 G2 G5 G6
L1 = G1 G2 H1 L3 = G4 G5 H3
L2 = G2 G3 H2 L4 = G2 G5 G6 H2 H3
Dua buah lintasan tertutup yang tidak bersinggungan
L1 L3 = G1 G2 G4 G5 H1 H3
L2 L3 = G2 G3 G4 G5 H2 H3
∆ = 1 – L1 – L2 – L3 – L4 + L1 L3 + L2 L3
∆1 = 1
∆2 = 1
32543231542132652354232121
652154321
32314321
2211
HHGGGGHHGGGGHHGGGHGGHGGHGG1
GGGGGGGGG
R(s)
C(s)
LLLLLLLL1
∆P∆PP
R(s)
C(s)
++−−−−+
=
++−−−−+==∴
∑==i
i∆
iP
∆
1P
R(s)
C(s)