Determinação dos parâmetros longitudinais de um cabo trifásico · conta o efeito pelicular e o efeito de proximidade. O método utilizado baseou-se na discretização do condutor

Determinação dos parâmetros longitudinais de um cabo

trifásico

Fábio Miguel Simões Castelo Silva

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e Computadores

Orientadores: Prof. Manuel Ventura Guerreiro das Neves

Prof. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Júri

Presidente: Prof. João Manuel Torres Caldinhas Simões Vaz

Orientador: Prof. Manuel Ventura Guerreiro das Neves

Vogal: Prof. Artur Fernando Delgado Lopes Ribeiro

Outubro 2014

i

Agradecimentos

Primeiro gostaria de agradecer aos meus orientadores, Professor Manuel Ventura Guerreiro das Neves

e Professora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro, pela paciência, orientação e

dedicação ao trabalho aqui apresentado.

Um grande agradecimento à minha família, pois sem a oportunidade dada e o apoio ao longo de todo

o curso não seria possível concluir esta importante etapa da minha vida. Especial agradecimento à

minha namorada, Mónica Marciano, pela paciência e motivação dada ao longo destes anos, o que

facilitou o meu percurso académico.

Por fim, mas não menos importantes, e como não poderia deixar de fora, um grande agradecimento

aos meus colegas e amigos do IST, nomeadamente, Pedro Oliveira, Diogo Carranço e André Baleiras,

pela ajuda e companheirismo ao longo de todo o percurso académico.

ii

Resumo

O trabalho apresentado nesta dissertação teve como objectivo o cálculo dos parâmetros longitudinais

por unidade de comprimento – resistência, reactância e indutância – dos cabos de energia tendo em

conta o efeito pelicular e o efeito de proximidade.

O método utilizado baseou-se na discretização do condutor em subcondutores com secção rectangular

variável, considerando uniforme a densidade de corrente em cada um deles. O número de

subcondutores a usar depende da geometria do condutor real, pois é necessário que a forma do

condutor real fique bem caracterizada após a discretização, e depende da frequência em análise. De

notar que o aumento da frequência exige uma diminuição da secção rectangular dos subcondutores.

Com recurso à ferramenta MATLAB foi desenvolvido um algoritmo informático capaz de calcular os

parâmetros longitudinais por unidade de comprimento, a densidade de corrente nos condutores e o

campo de indução magnética por estes criado.

O método utilizado foi validado comparando os resultados de simulação com resultados teóricos. Os

casos em análise foram o condutor cilíndrico isolado e o condutor cilíndrico isolado com núcleo de aço.

Foram também estudados cabos de diferentes tipologias, nomeadamente com vários condutores, de

diversas geometrias (cilíndrica e não cilíndrica), diferentes condutividades eléctricas e diferentes

permeabilidades magnéticas.

Palavras-chave: Cabos de energia, impedância longitudinal, efeito pelicular, efeito de proximidade e

densidade de corrente.

iii

Abstract

The work presented in this thesis aimed to calculate the longitudinal parameters per unit length -

resistance, reactance and inductance – of power cables taking into account the skin effect and proximity

effect.

The method used was based on the discretization of the conductor in sub-conductors with variable

rectangular section, whereas uniform current density in each. The number of sub-conductors to use

depends on the geometry of the real conductor, as it is necessary that the actual form of the conductor

will have a good characterization after discretization, and it depends on the frequency analysis. Note

that the increase of the frequency requires a reduction of rectangular section of the sub-conductors.

Using the MATLAB tool, it was developed a computer algorithm that can calculate the longitudinal

parameters per unit length, the current density in the conductors and the magnetic induction field created

by them.

The method was validated by comparing simulation results with theoretical results. The cases in study

were the isolated cylindrical conductor and the cylindrical isolated conductor with steel core.

We also studied different types of cables, in particular with several conductors, different geometries (the

cylindrical and non-cylindrical), different electrical conductivities and different magnetic permeabilities.

Keywords: Power cables, longitudinal impedance, skin effect, proximity effect and current density.

iv

Índice

Agradecimentos ................................................................................................................................... i

Resumo .............................................................................................................................................. ii

Abstract ............................................................................................................................................. iii

Lista de Figuras .................................................................................................................................. v

Lista de Tabelas ............................................................................................................................... vii

Lista de Símbolos ............................................................................................................................ viii

1 – Introdução .....................................................................................................................................1

2 – Determinação do potencial vector para um conjunto de condutores percorridos por correntes .......3

2.1 – Solução para um sistema de condutores com permeabilidade magnética uniforme .................3

2.2 – Solução para um sistema de condutores com permeabilidades magnéticas diferentes .......... 12

3 – Validação de resultados .............................................................................................................. 17

3.1 – Um condutor cilíndrico .......................................................................................................... 18

3.2 – Um condutor cilíndrico com alma de aço ............................................................................... 25

4 – Resultados .................................................................................................................................. 29

4.1 – Dois condutores cilíndricos – linha bifilar ............................................................................... 29

4.2 – Três condutores cilíndricos com bainha ................................................................................ 35

4.3 – Quatro condutores com bainha ............................................................................................. 40

5 – Conclusões ................................................................................................................................. 48

6 - Referências bibliográficas ............................................................................................................ 50

7 - Anexos ........................................................................................................................................ 51

v

Lista de Figuras

Figura 1 – Matriz de divisão de um condutor em subcondutores com Nd=20........................................4

Figura 2 – Divisão de um condutor cilíndrico em subcondutores com Nd=20 (220 subcondutores) .......4

Figura 3 – Dimensões da secção transversal do subcondutor i. ...........................................................5

Figura 4 – Representação do caminho s entre um subcondutor i e o de referência N para aplicação da

lei geral da indução. ............................................................................................................................5

Figura 5 – Geometria e distribuição dos subcondutores e linhas de separação de um condutor com dois

meios com permeabilidade magnética diferente para Nd=30.............................................................. 12

Figura 6 – Representação de dois meios com a mesma permeabilidade magnética e a existência da

corrente de superfície. ...................................................................................................................... 13

Figura 7 – Distribuição dos subcondutores para um condutor cilíndrico com Nd=135 (N=9113

subcondutores). ................................................................................................................................ 18

Figura 8 – Variação dos valores obtidos por simulação e teóricos de Resistência, Reactância e

Indutância num condutor para vários valores de frequência. ............................................................. 20

Figura 9 – Distribuição de corrente ao longo da superfície transversal do condutor a 50Hz. .............. 21

Figura 10 – Curvas de nível da densidade de corrente do condutor a 50Hz ....................................... 21

Figura 11 – Distribuição de corrente ao longo da superfície transversal do condutor a 1kHz .............. 22

Figura 12 – Curvas de nível da densidade de corrente do condutor a 1kHz. ...................................... 22

Figura 13 – Módulo do campo de indução magnética criado pelo condutor para uma frequência de

50Hz. ................................................................................................................................................ 23

Figura 14 – Módulo do campo de indução magnética criado pelo condutor para uma frequência de

1kHz. ................................................................................................................................................ 24

Figura 15 – Direção do campo de indução magnética provocado pelo condutor a 50Hz num determinado

instante. ............................................................................................................................................ 24

Figura 16 – Geometria, distribuição dos subcondutores e dimensão do núcleo do cabo com núcleo de

permeabilidade magnética diferente. ................................................................................................. 25

Figura 17 - Variação da resistência, reactância e indutância num condutor com alma de aço para vários

valores de frequência. ....................................................................................................................... 27

Figura 18 – Distribuição da densidade de corrente ao longo do corte transversal de um condutor com

alma de aço a 1kHz. ......................................................................................................................... 28

Figura 19 – Curvas de nível da densidade de corrente de um condutor com alma de aço a 1kHz. ..... 28

Figura 20 – Geometria e divisão de dois condutores cilíndricos próximos. ......................................... 29

Figura 21 – Variação da resistência, reactância e impedância em dois condutores com a variação da

frequência. ........................................................................................................................................ 30

Figura 22 – Distribuição da corrente ao longo do corte transversal dos condutores a 50Hz. .............. 31

Figura 23 – Distribuição da corrente ao longo do corte transversal dos condutores a 5kHz. ............... 31

Figura 24 – Variação da resistência, reactância e indutância da linha bifilar com a variação da distância

entre centros e para uma frequência igual a 50Hz. ............................................................................ 33

vi

Figura 25 – Curvas de nível da densidade de corrente de dois condutores próximos, a 5kHz e a 15mm

de distância. ..................................................................................................................................... 33

Figura 26 – Curvas de nível da densidade de corrente de dois condutores próximos a 5kHz e a 50mm

de distância. ..................................................................................................................................... 34

Figura 27 – Campo de indução magnética provocado pelos dois condutores próximos a 50Hz. ........ 34

Figura 28 – Geometria e distribuição dos subcondutores num cabo de três condutores e bainha. ..... 35

Figura 29 – Valores de resistência, reactância e indutância própria para um cabo com três condutores

com bainha de alumínio para vários valores de frequência. ............................................................... 36

Figura 30 - Valores de resistência, reactância e indutância mútua para um cabo com três condutores

com bainha de alumínio para vários valores de frequência ................................................................ 37

Figura 31 – Distribuição da densidade de corrente de um cabo com três condutores e bainha de

alumínio para um modo de funcionamento a 50Hz. ........................................................................... 37

Figura 32 – Distribuição da densidade de corrente de um cabo com três condutores e bainha de

alumínio para um modo de funcionamento a 500Hz. ......................................................................... 38

Figura 33 – Campo de indução magnética provocado por um cabo de três condutores se bainha de

alumínio para um modo de funcionamento a 50Hz. ........................................................................... 38

Figura 34 – Direção do campo de indução magnética provocado por um cabo de três condutores e

bainha de alumínio para um modo de funcionamento a 50Hz. ........................................................... 39

Figura 35 – Geometria e distribuição dos subcondutores num cabo de quatro condutores e bainha. . 40

Figura 36 – Valores de resistências próprias para os quatro condutores nos vários valores de

frequência. ........................................................................................................................................ 41

Figura 37 – Valores das reactâncias próprias para os quatro condutores nos vários valores de

frequência. ........................................................................................................................................ 42

Figura 38 - Valores das indutâncias próprias para os quatro condutores nos vários valores de

frequência. ........................................................................................................................................ 43

Figura 39 – Distribuição da densidade de corrente num cabo de quatro condutores e bainha a 50Hz.

......................................................................................................................................................... 45

Figura 40 – Distribuição da densidade de corrente para um cabo de quatro condutores e bainha a

500Hz. .............................................................................................................................................. 46

Figura 41 – Curvas de nível da densidade de corrente para um cabo de quatro condutores e bainha a

50Hz. ................................................................................................................................................ 46

Figura 42 – Campo de indução magnética provocado por um cabo de quatro condutores e bainha a

50Hz. ................................................................................................................................................ 47

Figura 43 – Direção do campo de indução magnética provocado pelo cabo de quatro condutores com

bainha a uma frequência de 50Hz. .................................................................................................... 47

vii

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Valores teóricos de resistência, reactância e indutância calculados para diversos valores de

frequência. ........................................................................................................................................ 19

Tabela 2 – Valores de resistência, reactância e indutância, determinados pelo método proposto, para

diversos valores de frequência. ......................................................................................................... 19

Tabela 3 – Erros relativos obtidos entre os valores teóricos e os de simulação.................................. 19

Tabela 4 – Valores teóricos de resistência, reactância e indutância para um cabo com permeabilidades

diferentes e para diversos valores de frequência. .............................................................................. 26

Tabela 5 – Valores de resistência, reactância e indutância, determinados pelo método proposto, para

um cabo com permeabilidades diferentes e para diversos valores de frequência. .............................. 26

Tabela 6 – Erros relativos obtidos entre os valores teóricos e os de simulação para um cabo com

permeabilidades diferentes e para diversos valores de frequência. ................................................... 26

Tabela 7 – Valores de resistência, reactância e indutância para dois condutores (d=0,015m) e para


Tabela 8 – Resistência e indutância para dois condutores a 50Hz para diversos valores de distância

entre condutores. .............................................................................................................................. 32

Tabela 9 – Parâmetros longitudinais próprios e mútuos de um cabo com três condutores e bainha de

alumínio para diversos valores de frequência. ................................................................................... 36

Tabela 10 – Valores de resistência própria, utilizando o método proposto, para os quatro condutores

para diversos valores de frequência. ................................................................................................. 41

Tabela 11 - Valores de reactância própria, utilizando o método proposto, para os quatro condutores,


Tabela 12 – Valores de indutância própria, utilizando o método proposto, para os quatro condutores,


Tabela 13 – Valores de resistência mútua, utilizando o método proposto, para os quatro condutores


Tabela 14 – Valores de reactância mútua, utilizando o método proposto, para os quatro condutores


Tabela 15 – Valores de indutância mútua, utilizando o método proposto, para os quatro condutores para


viii

Lista de Símbolos

A Potencial vector

B Campo de indução magnética

E Campo eléctrico

H Campo magnético

U Tensão

𝝍 Fluxo magnético

J Densidade de corrente

f Frequência

𝜔 Frequência angular

𝜎 Condutividade eléctrica

𝜇 Permeabilidade magnética

𝜇0 Permeabilidade magnética no vácuo

𝜇𝑟 Permeabilidade magnética relativa

Z Impedância

R Resistência

R0 Resistência em corrente contínua

X Reactância

L Indutância

I Intensidade de corrente

d Distância entre dois condutores

𝑟0 Raio interior do condutor

𝑟𝑒 Raio exterior do condutor

𝛿 Profundidade de penetração

1

1 – Introdução

Actualmente, a energia eléctrica é algo de constante presença nas nossas vidas. Desde a inauguração

da primeira central eléctrica em Nova Iorque, nos anos 80 do seculo XIX, até aos dias de hoje,

deparamo-nos com um enorme crescimento a nível mundial, chegando, em 2008, a uma produção

global de 20 183TWh. Em Portugal, a taxa de crescimento anual, desde 1990, foi na ordem dos 3,5%,

chegando em 2010 a produção a atingir os 50 613GWh [1].

O transporte e distribuição da energia eléctrica é efectuado com recurso a linhas aéreas e cabos

subterrâneos, pelo que é de extrema importância o estudo de todos os parâmetros característicos

destes componentes de forma a efectuar-se o seu correcto dimensionamento.

Este trabalho tem como objectivo o estudo dos parâmetros longitudinais – resistência e indutância por

unidade de comprimento – de cabos subterrâneos com diferentes configurações, tendo em conta o

efeito pelicular e o efeito de proximidade.

O efeito pelicular está associado ao facto dos condutores terem condutividade finita e caracteriza-se

pela tendência dos electrões circularem pela periferia dos condutores à medida que a frequência

aumenta, sendo inexistente em corrente contínua. Este efeito é responsável pelo aumento da

resistência do condutor devido à diminuição da área efectiva do condutor. Qualquer alteração na

frequência, na permeabilidade magnética ou na condutividade eléctrica contribuem para este efeito.

O efeito de proximidade está associado à alteração do campo criado por um determinado condutor

quando existem na sua vizinhança outros condutores. Este efeito acentua-se quando a distância entre

condutores diminui.

Este trabalho vem na sequência de duas outras teses anteriormente apresentadas, [2] e [3], que

seguem uma metodologia idêntica, baseada na discretização dos condutores do sistema através de

subcondutores.

No trabalho [2], e respectivo artigo [4], desenvolveu-se o algoritmo para o cálculo dos parâmetros

transversais (coeficiente de capacidade por unidade de comprimento) do cabo subterrâneo polifásico,

apresentando camadas de isolamento com características diferentes. Em [2] os subcondutores do

sistema são constituídos por fitas de carga que se distribuem à superfície do condutor real.

Em [3] desenvolveu-se o algoritmo do cálculo dos parâmetros longitudinais (coeficiente de resistência

e indutância por unidade de comprimento) de uma linha aérea com secção transversal não homogénea.

Em [3] foram usados subcondutores de secção transversal rectangular para caracterizar cada condutor

do sistema (quer os cilíndricos que constituem a linha, quer a terra).

No trabalho aqui apresentado, que tem por objectivo o cálculo dos parâmetros longitudinais do cabo

subterrâneo polifásico, utiliza-se o mesmo tipo de discretização usado em [3]. Assim, tal como em [3],

considera-se que os subcondutores que caracterizam cada condutor do sistema têm comprimento

2

infinito, secção rectangular e densidade de corrente uniforme. O número de subcondutores a utilizar

depende da geometria do condutor e da frequência em análise. Este aspecto será analisado com

detalhe no próximo capítulo. Faz-se ainda a generalização do método para cabos com condutores de

permeabilidades magnéticas diferentes, por exemplo, cabos com condutores de alumínio ou cobre e

com bainha de aço.

Será utilizada a ferramenta de cálculo MATLAB na implementação do algoritmo desenvolvido para

vários tipos de cabo. O programa recebe como dados de entrada o número de condutores do cabo, os

seus raios, a distância entre condutores, a permeabilidade magnética, a condutividade eléctrica e a

frequência. O programa desenvolvido determina os parâmetros longitudinais do cabo, a densidade de

corrente nos condutores e o campo magnético produzido pelo cabo.

A divisão deste trabalho está efectuada em 5 capítulos. No primeiro faz-se a apresentação do trabalho,

no segundo descreve-se o método utilizado, no terceiro apresenta-se a validação do método, no quarto

apresentam-se resultados para cabos com diferentes configurações e meios magnéticos, e por fim no

quinto referem-se as principais conclusões.

Falta apenas referir a nomenclatura usada neste trabalho. Para caracterizar as grandezas escalares

utiliza-se itálico, para caracterizar grandezas vectoriais utiliza-se negrito e itálico, e por fim, para

caracterizar matrizes utiliza-se negrito.

3

2 – Determinação do potencial vector para um

conjunto de condutores percorridos por correntes

2.1 – Solução para um sistema de condutores com

permeabilidade magnética uniforme

A metodologia utilizada neste trabalho permite obter, com grande rigor, os parâmetros longitudinais do

cabo. O principal ponto da metodologia consiste na divisão dos condutores, com qualquer geometria,

em subcondutores, de secção rectangular mais reduzida, com densidade de corrente uniforme na sua

secção.

Ao utilizar este tipo de metodologia e ao efectuar a divisão do condutor em subcondutores, é preciso

ter especial atenção para frequências elevadas, pois devido ao efeito pelicular, a densidade de corrente

na superfície do condutor passa a ser maior que no interior. Para que os resultados sejam rigorosos e

não sejam muito pesados do ponto de vista computacional, a divisão do condutor não é efectuada com

subcondutores com secção constante, mas sim com secção decrescente em direção à superfície do

condutor, ou seja, os subcondutores da periferia do condutor têm uma secção menor que os da zona

interior.

A divisão de um condutor com raio 𝑟0 é efectuada através de uma grelha com dimensão no eixo dos

xx entre −𝑟0 e 𝑟0 e dimensão no eixos dos yy entre −𝑟0 e 𝑟0, contendo Nd x Nd subcondutores (Nd

condutores em cada eixo).

As divisões acima descritas foram feitas de acordo com o seguinte cálculo:

𝑥𝑖 = −𝑟0 cos (

𝜋

𝑁𝑑(𝑖 − 1))

𝑦𝑖 = 𝑟0 cos (𝜋

𝑁𝑑(𝑖 − 1))

( 1 )

Com i=1,…,Nd+1;

A Figura 1 representa a grelha com dimensão 20x20 que será utilizada para discretizar o condutor

cilíndrico, onde é bem visível a diferença de tamanho entre os elementos pertencentes ao centro da

grelha com os pertencentes à periferia da mesma. Facilmente se verifica que nem todos os rectângulos

pertencem ao interior do condutor, pelo que será necessário excluí-los. O algoritmo utilizado para a

escolha dos rectângulos no interior do condutor baseia-se na escolha dos rectângulos em que o centro

pertence ao interior do condutor.

4

Figura 1 – Matriz de divisão de um condutor em subcondutores com Nd=20

Na Figura 2 está representado o condutor cilíndrico bem como os subcondutores que serão usados na

sua caracterização. Para este exemplo em que foi utilizado Nd=20 (matriz 20x20) obteve-se um total de

220 subcondutores.

Figura 2 – Divisão de um condutor cilíndrico em subcondutores com Nd=20 (220 subcondutores)

5

Os rectângulos selecionados, denominados daqui em diante de subcondutores, têm dimensões

variáveis entre eles, sendo que possuem comprimento e largura, 2𝑎𝑖 e 2𝑏𝑖 respectivamente, como

mostra a Figura 3.

Para facilitar a explicação do método considera-se um sistema constituído por um condutor cilíndrico

de comprimento infinito imerso num meio dielétrico homogéneo. Admite-se o condutor discretizado por

N subcondutores de secção rectangular, sendo N o subcondutor de referência.

A lei geral da indução aplicada ao caminho fechado s, que se encontra em [5], é dada por:

∮ 𝑬. 𝑑𝒔 = −𝑑

𝑑𝑡𝝍𝒔𝑠

( 2 )

sendo E o vector do campo eléctrico e 𝜓𝑠 o fluxo ligado com o caminho s. Considere agora o caminho

representado na Figura 4, que percorre o subcondutor i e N e que é delimitado pelas coordenadas

longitudinais z e z+∆z.

Figura 4 – Representação do caminho s entre um subcondutor i e o de referência N para aplicação da lei geral da indução.

2𝑎𝑖

2𝑏𝑖

Figura 3 – Dimensões da secção transversal do subcondutor i.

6

Considerando o sistema em regime forçado sinusoidal, a aplicação da lei geral da indução conduz a:

𝛥𝑧𝑬𝒊 +𝑼(𝑧 + 𝛥𝑧) − 𝛥𝑧𝑬𝑵 − 𝑼(𝑧) = −𝑗𝜔𝝍𝑠 ( 3 )

sendo 𝜔 a frequência angular (𝜔 = 2𝜋𝑓 e 𝑓 a frequência), 𝑼(𝑧) e 𝑼(𝑧 + 𝛥𝑧) as tensões nos

subcondutores i e N nas coordenadas 𝑧 e 𝑧 + 𝛥𝑧 e 𝛥𝑧𝑬𝒊 e 𝛥𝑧𝑬𝑵 a queda de tensão longitudinal nos

subcondutores i e N respectivamente.

A equação (3) pode ser escrita na forma:

𝑼(𝑧 + 𝛥𝑧) − 𝑼(𝑧) = 𝛥𝑧(𝑬𝑵 −𝑬𝒊) − 𝑗𝜔𝝍𝒔 ( 4 )

ou seja:

𝑼(𝑧+𝛥𝑧)−𝑼(𝑧)

𝛥𝑧= 𝑬𝑵 −𝑬𝒊 −

𝑗𝜔𝝍𝒔

𝛥𝑧 ( 5 )

Sabendo que se pode relacionar o potencial vector, A, com o campo de indução magnética,

𝑩 = rot𝑨 ( 6 )

pode-se escrever 𝝍𝒔 da seguinte forma:

𝝍𝒔 = ∫ 𝑩. 𝒏𝒔d𝒔 =Ss∫ rot𝑨. 𝒏𝒔d𝒔Ss

( 7 )

Tendo em conta o teorema de Stokes,

∫ rot𝑨.𝒏𝒔d𝒔 =Ss∮ 𝑨.𝒏𝒔s

( 8 )

Substituindo (8) em (7) e considerando o caminho representado na Figura 4 obtém-se:

𝝍𝒔 = 𝑨𝒊Δz− 𝑨𝑵Δz = (𝑨𝒊 −𝑨𝑵)Δz ( 9 )

7

Substituindo a equação ( 9 ) em ( 5 ) e fazendo Δz → 0 , chega-se a:

−d𝑼

dz= 𝑬𝒊 −𝑬𝑵 + j𝜔(𝑨𝒊 −𝑨𝑵) ( 10 )

Para se poder resolver o sistema de equações que envolve todos os subcondutores que constituem o

condutor, adiciona-se uma outra equação que relaciona a corrente total do condutor com a densidade

de corrente existente em todos os subcondutores. A corrente total obtém-se somando os produtos da

densidade de corrente com a secção do subcondutor:

𝑰 = ∑ 𝑱𝒊2𝑎𝑖2𝑏𝑖𝑁𝑖=1 ( 11 )

onde 𝐼 é a corrente total no condutor e 𝐽𝑖 a densidade de corrente no subcondutor i.

Tendo em conta que a relação entre a densidade de corrente e o campo eléctrico é da forma:

𝑱 = σ𝑬 ( 12 )

o sistema de equações fica completo para N-1 equações do tipo (10) e uma única do tipo (11). A

resolução do sistema de equações permite obter a densidade de corrente em cada um dos

subcondutores que constituem o condutor.

[ −

𝑑𝑈1𝑑𝑧⋮

−𝑑𝑈𝑁−1𝑑𝑧𝐼 ]

=

[ 𝐾11 ⋯ 𝐾1𝑁

⋮ ⋱ ⋮

𝐾(𝑁−1)1 ⋯ 𝐾(𝑁−1)𝑁

2𝑎12𝑏1 … 2𝑎𝑁2𝑏𝑁]

[ 𝐽1

⋮

𝐽𝑁−1

𝐽𝑁 ]

ou na forma matricial

𝐃 = 𝐊𝐉 ( 13 )

onde,

𝐾𝑖𝑖 = 𝑗𝜔(𝐴𝑖𝑖 −𝐴𝑁𝑖) +

1

𝜎𝑖

𝐾𝑖𝑗 = 𝑗𝜔(𝐴𝑖𝑗 − 𝐴𝑁𝑗)

𝐾𝑖𝑁 = 𝑗𝜔(𝐴𝑖𝑁 −𝐴𝑁𝑁)−1

𝜎𝑁

𝐾𝑁𝑖 = 2𝑎𝑖2𝑏𝑖

( 14 )

8

Os coeficientes 𝑨𝑖𝑗 são determinados tendo em conta que o potencial vector de um filamento de

comprimento infinito de obtém através de [1]:

𝑨 =μ0

2π𝑱𝒛Δsln (

1

𝑟) ( 15 )

sendo 𝑱𝒛 a densidade de corrente e Δs a secção transversal do filamento. O potencial vector num ponto

qualquer do espaço, devido a um condutor é calculado, de acordo com [1] através de:

𝐀 =μ0

2π𝑱𝒛∬ln(

1

𝑟)d𝑺 ( 16 )

onde 𝑟 = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 representa a distância entre um ponto genérico de coordenadas

(𝑥0, 𝑦0) e um ponto (𝑥, 𝑦) no interior do subcondutor.

Para o subcondutor i (com i=1,…,N-1) a equação (16) pode ser escrita como

𝐀𝑖 = ∑ 𝑨𝑖𝑥𝑱𝑥𝑁𝑥=1 ( 17 )

Os coeficientes 𝑨𝑖𝑥 são a solução de:

𝑨𝑖𝑥 = ∫ ∫𝜇0𝐽

2𝜋ln (

1

√(𝑥−𝑥0)2+(𝑦−𝑦0)

2)

𝑏

−𝑏

𝑎

−𝑎dydx ( 18 )

onde (𝑥0, 𝑦0) são as coordenadas de um ponto genérico em relação ao centro do rectângulo e (𝑥, 𝑦) a

coordenada de um ponto no interior do rectângulo variando respectivamente entre [-a,a] e [-b,b]

(dimensões do rectângulo).

No anexo 1 apresenta-se a resolução do integral da expressão (18), que permite obter o valor de todos

os coeficientes 𝑨𝑖𝑥.

Os elementos do vector D, que representam a variação de potencial entre os subcondutores são iguais

(e podem assumir-se iguais a zero, potencial de referencia) uma vez que no caso de um único condutor

constituído por vários subcondutores, todos eles se encontram ao mesmo potencial. Dado a linearidade

do sistema e sem perder a generalidade assume-se que a corrente I tem valor unitário.

9

As densidades de corrente dos vários subcondutores podem então ser determinadas a partir de (13)

fazendo,

𝐉 = 𝐊−1𝑫 ( 19 )

No caso do condutor isolado, a sua impedância longitudinal pode ser determinada dividindo o valor do

campo eléctrico à superfície do condutor (ou seja, o valor do campo num dos subcondutores periféricos)

pelo valor da corrente total I, ou seja:

𝒁 =𝑱𝒌

𝜎𝑰 ( 20 )

em que 𝑱𝒌 representa a densidade de corrente do subcondutor k situado na periferia do condutor.

Para sistemas mais complexos, com Nc condutores, o sistema de equações a resolver pode ser

formulado usando (13) mas com algumas alterações relativamente ao caso do condutor isolado.

O número de equações a resolver continua a ser N+1 mas agora o N corresponde ao número total de

subcondutores que caracterizam os Nc condutores do sistema. A corrente total do sistema (último

elemento do vector D) é agora igual a zero. Os restantes elementos de D referem-se à queda de tensão

longitudinal de cada condutor relativamente ao condutor de referência. Assim, para subcondutores

relacionados com o mesmo condutor do sistema, os valores de 𝑑𝑢

𝑑𝑧 serão iguais e podem assumir o valor

zero para todos os subcondutores que caracterizam o condutor de referência.

A matriz Z pode ser determinada resolvendo (13) para vários modos de funcionamento, impondo em

cada modo apenas um condutor em tensão e todos os outros ligados ao condutor de referência. De

(13) retira-se para cada modo de funcionamento as correntes que percorrem cada condutor do sistema.

Os elementos da matriz Z podem então ser obtidos dado que −𝑑𝑢

𝑑𝑧= 𝑍𝐼 .

Este último passo pode ser melhor compreendido através de um exemplo, considerando apenas três

condutores no sistema. Considerando que Iik representa a corrente no condutor i para o modo de

funcionamento k (ou seja, só o condutor k está em tensão enquanto que os outros estão ligados ao

condutor de referência) então pode escrever-se a equação (21),

10

[1 0 00 1 00 0 1

] = −[𝒁11 𝒁12 𝒁13𝒁21 𝒁22 𝒁23𝒁31 𝒁32 𝒁33

] [𝑰11 𝑰12 𝑰13𝑰21 𝑰22 𝑰23𝑰31 𝑰32 𝑰33

] ( 21 )

Além da distribuição da densidade de corrente pelos condutores e o cálculo dos seus parâmetros

longitudinais, será possível também calcular e representar o campo de indução magnética por estes

produzidos.

Sabendo que o rotacional de A é em coordenadas cartesianas:

𝛻 × 𝑨 = (𝜕𝑨𝒛

𝜕𝑦−

𝜕𝑨𝒚

𝜕𝑧) + (

𝜕𝑨𝒙

𝜕𝑧−

𝜕𝑨𝒛

𝜕𝑥) + (

𝜕𝑨𝒚

𝜕𝑥−

𝜕𝑨𝒙

𝜕𝑦) ( 22 )

em que , e são os vectores unitários segundo as direções x, y e z e como A tem apenas direção

segundo z (Ax = Ay = 0) a equação pode-se simplificar, ficando apenas com as derivadas parciais de

Az:

𝛻 × 𝑨 = (𝜕𝑨𝒛

𝜕𝑦) + (−

𝜕𝑨𝒛

𝜕𝑥) ( 23 )

No anexo 2 encontra-se toda a resolução desta derivação, obtendo-se assim as componentes do

campo de indução magnética segundo x e y, 𝑩𝒙 e 𝑩𝒚 respectivamente. As equações (24) e (25)

permitem determinar as componentes do campo criado no ponto (𝑥0, 𝑦0) por um determinado

subcondutor do sistema (com secção transversal 2a x 2b).

𝑩𝒙 =𝜕𝑨𝒛

𝜕𝑦= −

𝜇0𝑱

4𝜋[(−𝑏 − 𝑦0) [2tan

−1 (𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

) + 2 tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

)]

− (𝑏 − 𝑦0) [2tan−1 (

𝑎 − 𝑥𝑜𝑏 − 𝑦0

) + 2 tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜𝑏 − 𝑦0

)]

+ (𝑎 − 𝑥𝑜)[ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2)]

+ (𝑎 + 𝑥𝑜)[ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2)]]

( 24 )

11

𝑩𝒚 = −𝜕𝑨𝒛

𝜕𝑥=𝜇0𝑱

4𝜋[(𝑎 − 𝑥𝑜) [2tan

−1 (−𝑏 − 𝑦0𝑎 − 𝑥𝑜

) + 2 tan−1 (𝑏 − 𝑦0𝑎 − 𝑥𝑜

)]

− (𝑎 + 𝑥𝑜) [2tan−1 (

−𝑏 − 𝑦0𝑎 + 𝑥𝑜

) + 2 tan−1 (𝑏 − 𝑦0𝑎 + 𝑥𝑜

)]

+ (−𝑏 − 𝑦0)[ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2)]

+ (𝑏 − 𝑦0)[ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2)]]

( 25 )

O campo de indução magnética total em cada ponto é obtido somando as contribuições de todos os

subcondutores do sistema.

12

2.2 – Solução para um sistema de condutores com

permeabilidades magnéticas diferentes

Neste parágrafo procede-se à generalização da metodologia apresentada anteriormente para um

sistema de condutores com permeabilidades magnéticas diferentes.

Considere-se um condutor cilíndrico com duas camadas com meios magnéticos diferentes. O núcleo

do condutor apresenta uma permeabilidade magnética 𝜇1 e a camada exterior uma permeabilidade

magnética 𝜇2. Utilizando a metodologia anterior, o condutor é discretizado em subcondutores de secção

rectangular, tal como se representa na Figura 5.

Figura 5 – Geometria e distribuição dos subcondutores e linhas de separação de um condutor com dois meios com permeabilidade magnética diferente para Nd=30.

A abordagem seguida na resolução do problema, proposta em [6], consiste em: substituir os dois meios

por um meio de permeabilidade 𝜇0; introduzir uma corrente fictícia, 𝑱𝒔, na superfície de separação dos

dois meios; e considerar a corrente em cada subcondutor i multiplicada pela permeabilidade relativa 𝜇𝑟

do meio onde ele está inserido, o que de facto corresponde a acrescentar uma corrente fictícia igual a

(𝜇𝑟 − 1) 𝑱𝒊 .

Na Figura 5 é ainda possível observar as pequenas linhas de separação entre os dois meios que

contornam os rectângulos periféricos do condutor interior criando assim uma aproximação do núcleo

13

de forma circular. Neste caso específico e para um valor de Nd=30 são criadas 56 linhas de separação

entre meios, o que origina P=56 correntes fictícias de superfície.

A Figura 6 representa a linha de separação entre os dois meios inicialmente diferentes, e que agora se

consideram iguais com a introdução de uma corrente de superfície, 𝑱𝒔

Figura 6 – Representação de dois meios com a mesma permeabilidade magnética e a existência da corrente de superfície.

Sendo que as componentes tangenciais de H do sistema inicial são iguais,

𝑯1t = 𝑯2t ( 26 )

e que por sua vez o meio 1 e 2 têm respectivamente uma permeabilidade magnética 𝜇1 e 𝜇2,

𝑩1t

𝜇1=

𝑩2t

𝜇2 ( 27 )

dado que:

𝑯 =𝑩

𝜇 ( 28 )

podem então criar-se as componentes tangenciais do sistema alterado H’ onde será necessário

adicionar a corrente de superfície:

𝑯′1t = 𝑯

′2t + 𝑱𝒔 ( 29 )

Assim sendo, sabendo que os dois meios têm agora permeabilidade magnética igual a 𝜇0, e aplicando

(28) a (29), chega-se a:

𝑯′1t =

𝑩1t

𝜇0 ( 30 )

14

e

𝑯′2t =

𝑩2t

𝜇0 ( 31 )

Substituindo (30) e (31) em (29) tendo em conta também a equação (28) obtém-se:

𝑩1t

𝜇0=

1

𝜇0

𝜇2

𝜇1𝑩1t + 𝑱𝒔 ( 32 )

que resolvida em ordem a 𝑱𝒔,

𝑱𝒔 =1

𝜇0(1 −

𝜇2

𝜇1)𝑩1t ( 33 )

Sabendo que o campo de indução resulta na soma da contribuição de todas as correntes, agora é

necessário ter em conta também a contribuição provocada pelas correntes de superfície adicionadas.

Assim, pode-se escrever que:

𝑩1t = ∑ 𝑩1t_rect,𝑖𝑁𝑖=1 + ∑ 𝑩1t_sup,𝑗

𝑃𝑗=1 ( 34 )

onde P é o número de linhas da superfície de separação criadas entre os dois meios e 𝑩1t_rect,𝑖, 𝑩1t_sup,𝑗

são os campos de indução magnética provocados pelo elemento rectangular i e pela linha de separação

j, respectivamente.

Juntado as equações (33) e (34), chega-se à expressão final:

1

𝜇0(1−

𝜇2

𝜇1) (∑ 𝑩1t_rect,𝑖

𝑁𝑖=1 +∑ 𝑩1t_sup,𝑗

𝑃𝑗=1 ) − 𝑱𝒔 = 0 ( 35 )

O cálculo do campo de indução magnética provocado pelos elementos rectangulares do sistema pode

ser efectuado através das expressões já deduzidas, (24) e (25) que definem 𝑩1t_rect𝑥 e 𝑩1t_rect𝑦,

respectivamente.

Para o cálculo do campo de indução magnética provocado pelos elementos das linhas de separação

entre superfícies, 𝑩1t_sup , é necessário calcular primeiro o potencial vector por este criado.

15

Pegando na equação (15) é possível calcular o potencial vector em qualquer ponto do espaço devido

a uma corrente de superfície através de:

𝐀 =μ0

2π𝑱𝒛 ∫ ln (

1

𝑟)d𝒍 ( 36 )

onde 𝑟 = √(𝑥 − 𝑥0)2+𝑦0

2 representa a distância entre um ponto genérico de coordenadas (𝑥0, 𝑦0) e um

ponto (𝑥, 𝑦) com y=0 pois este é calculado para uma linha horizontal centrada na origem dos eixos e

de tamanho 2a [-a,a].

À semelhança da equação (18), os coeficientes de 𝑨𝑙𝑖𝑥 são a solução de:

𝑨𝑙𝑖𝑥 = ∫𝜇0𝐽

2𝜋ln (

1

√(𝑥−𝑥0)2+(𝑦0)

2)

𝑎

−𝑎dx ( 37 )

em que a resolução do integral se encontra no anexo 3.

Agora que temos o potencial vector definido, devido a uma corrente de superfície, já é possível calcular

o campo de indução magnética por esta criada.

Aplicando mais uma vez o rotacional ao potencial vector, através da equação (22) e aplicando a mesma

simplificação que em (23) obtêm-se as componentes segundo x e y do campo de indução magnética

provocado por uma linha de corrente em superfície.

No anexo 4 encontra-se a resolução da derivação, obtendo-se assim as equações (38) e (39) que

permitem determinar o campo de indução magnética segundo x e y respectivamente.

𝑩𝒙_𝒔𝒖𝒑 = −𝜇0𝑱𝒔𝒊

2π[tan−1 (

𝑎−𝑥0

𝑦0) + tan−1 (

𝑎+𝑥0

𝑦0)] ( 38 )

𝑩𝒚_𝒔𝒖𝒑 = −𝜇0𝑱𝒔𝒊

4π[ln(𝑦0

2 + (𝑎 − 𝑥0)2) − ln(𝑦0

2 + (𝑎 + 𝑥0)2)] ( 39 )

Pegando na equação matricial (13) e aplicando-a agora a esta solução, de modo a resolver o sistema,

é necessário a introdução das equações adicionais, assim como dos valores das correntes de

superfície.

Assim, o novo sistema de equações resulta num vector D com N+P elementos, assim como o vector J

que contém também N+P elementos, pois foi necessário adicionar os P elementos referentes às

correntes de superfície.

16

[ −

𝑑𝑢1

𝑑𝑧

⋮

−𝑑𝑢𝑁−1

𝑑𝑧

𝐼0⋮0 ]

= [𝐾𝐴 𝐾𝐵𝐾𝐶 𝐾𝐷

]

[ 𝐽1

⋮

𝐽𝑁−1

0𝐽𝑆1⋮𝐽𝑆𝑃 ]

( 40 )

A matriz K, que agora tem dimensão (N+P) x (N+P), é a junção de quatro submatrizes KA, KB, KC e KD.

As matrizes KA e KB incluem os elementos referentes ao potencial vector dos rectângulos e das

correntes de superfície, sendo que os elementos da matriz KA são dados pelas equações (14) e da

matriz KB dados por:

𝐊𝐁𝑖𝑗 = j𝜔 (𝑨𝒍𝑖𝑗 −𝑨𝒍𝑁𝑗)

𝐊𝐁𝑁𝑖 = 0

( 41 )

Os elementos das matrizes KC e KD são resultado da inclusão das P equações do tipo (35) no sistema,

dando origem aos elementos referentes ao campo de indução magnética relativamente às correntes

dos subcondutores e às correntes de superfície. A matriz KC é preenchida de acordo com (42):

𝐊𝐂𝑖𝑗 =1

𝜇0(1 −

𝜇1

𝜇2)𝑩𝒓𝒆𝒄𝒕𝑖𝑗 ( 42 )

sendo a matriz KD preenchida com os elementos dados por:

𝐊𝐃𝑖𝑖 =

1

𝜇0(1 −

𝜇1

𝜇2)𝑩𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂𝑖𝑖 − 1

𝐊𝐃𝑖𝑗 =1

𝜇0(1−

𝜇1

𝜇2)𝑩𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂𝑖𝑗

( 43 )

Finalmente, tendo todos estes elementos, é possível aplicar a equação (19) e assim obter a resolução

da equação matricial. Agora devido às novas dimensões e à adição de novas parcelas, este resultado

devolve não só a densidade de corrente nos rectângulos correspondentes aos subcondutores

rectangulares, mas também as correntes fictícias nas superfícies de separação.

17

3 – Validação de resultados

Para poder validar o método desenvolvido, apresentam-se dois exemplos com condutores cujos

parâmetros podem ser obtidos analiticamente, usando expressões publicadas na literatura.

Os sistemas analisados são:

Um condutor cilíndrico;

Um condutor cilíndrico com alma de aço.

Para os valores teóricos da impedância de um único condutor cilíndrico utiliza-se a equação presente

em [7]:

𝒁 = 𝑅0𝒌𝑟0𝐽0(𝒌𝑟0)

2𝐽1(𝒌𝑟0) ( 44 )

onde 𝑅0 é a resistência por unidade de comprimento do condutor em corrente contínua, sendo que:

𝑅0 =1

𝜎𝜋𝑟02 ( 45 )

𝑟0 é o raio do condutor, 𝐽0 e 𝐽1 são as funções de Bessel de 1ª espécie, de ordem 0 e 1, respectivamente

e 𝒌 é dado por:

𝒌 = (−𝑗𝜔𝜇𝜎)12⁄ ( 46 )

Para o condutor cilíndrico com alma de aço, com raio interior 𝑟0 e raio exterior 𝑟𝑒, a equação para o

cálculo da impedância do condutor por unidade de comprimento surge como uma versão mais

complexa de (44) pois é necessário ter em conta as duas permeabilidades magnéticas.

De acordo com [8], a equação da impedância é dada por:

𝒁𝟐 =𝛼𝒁+𝛽

𝛾𝒁+𝛿 ( 47 )

onde Z é dado pela equação (44) e os elementos 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝛿 são resultado da equação matricial:

[𝛼 𝛽𝛾 𝛿

] = [−jω 0

02𝜋𝑘2𝑟𝑒

𝜇2

] [𝐽0(𝑘2𝑟𝑒) 𝑁0(𝑘2𝑟𝑒)𝐽1(𝑘2𝑟𝑒) 𝑁1(𝑘2𝑟𝑒)

] [𝑁1(𝑘1𝑟0) −𝑁0(𝑘1𝑟0)−𝐽1(𝑘1𝑟0) 𝐽0(𝑘1𝑟0)

] [

𝑗

𝜔0

0𝜇2

2𝜋𝑘1𝑟0

]𝜋𝑘1𝑟0

−2 ( 48 )

18

onde que 𝑁0 e 𝑁1são as funções de Bessel de 2ª espécie de ordem 0 e 1, respectivamente, e 𝑘2 é

determinada através de (46) usando agora os parâmetros característicos do meio 2 (𝜇2 e 𝜎2).

3.1 – Um condutor cilíndrico

Neste exemplo, foi utilizado um único condutor cilíndrico de raio 𝑟0=5mm, condutividade eléctrica

σ=5,7x107 S/m e permeabilidade magnética µ=µ0=4πx10-7 H/m.

Utilizou-se uma grelha de 135x135 (Nd=135) para efectuar a divisão do condutor em subcondutores

com dimensões mais reduzidas, obtendo-se assim N=9913 subcondutores, ver Figura 7.

Figura 7 – Distribuição dos subcondutores para um condutor cilíndrico com Nd=135 (N=9113 subcondutores).

Na Tabela 1 apresentam-se os valores teóricos, obtidos através de (44) para diversos valores de

frequência, correspondentes à resistência, à reactância e ao coeficiente de auto-indução por unidade

de comprimento (p.u.c.) do condutor. Na Tabela 2 apresentam-se os valores obtidos na simulação

através do modelo proposto em 3.1, e na Tabela 3 apresentam-se os erros relativos entre os valores

teóricos e os obtidos na simulação.

19

Tabela 1 – Valores teóricos de resistência, reactância e indutância calculados para diversos valores de frequência.

Frequência [Hz] Resistência [µΩ/m] Reactância [µΩ/m] Indutância [nH/m]

0 223,375 0 50,024

50 223,743 15,695 49,959

100 224,840 31,313 49,836

500 255,957 145,747 46,393

1000 321,504 247,922 39,458

5000 651,995 587,534 18,702

10000 896,303 834,512 13,282

Tabela 2 – Valores de resistência, reactância e indutância, determinados pelo método proposto, para diversos valores de frequência.


0 223,3804 0 49,98080

50 223,7480 15,68901 49,93967

100 224,8451 31,30093 49,81698

500 255,9553 145,6913 46,37497

1000 321,4983 247,8219 39,44207

5000 651,9943 587,0362 18,68594

10000 896,3055 833,5158 13,26582

Tabela 3 – Erros relativos obtidos entre os valores teóricos e os de simulação.

Frequência [Hz] Erro

Resistência [%]

Erro

Reactância [%]

Erro

Indutância [%]

0 0,00% 0,00% 0,09%

50 0,00% 0,04% 0,04%

100 0,00% 0,04% 0,04%

500 0,00% 0,04% 0,04%

1000 0,00% 0,04% 0,04%

5000 0,00% 0,08% 0,09%

10000 0,00% 0,12% 0,12%

20

Como se pode verificar analisando as tabelas, os resultados obtidos encontram-se bastante próximos

dos valores teóricos. Deste modo pode-se dizer que a metodologia utilizada é bastante exacta. De ter

em conta que o maior erro obtido é de apenas 0,12% no cálculo da reactância e indutância para

frequências de 10kHz, sendo sempre inferior a 0,1% para todos os parâmetros a frequências inferiores.

O erro tende a aumentar com a frequência porque se utiliza sempre a mesma dimensão dos

subcondutores, e porque com o aumento do efeito pelicular a aproximação de corrente uniforme em

cada subcondutor é cada vez pior.

A Figura 8 apresenta graficamente a variação dos parâmetros longitudinais com a variação da

frequência utilizando o método proposto e os respectivos valores teóricos (representados com cruzes).

Figura 8 – Variação dos valores obtidos por simulação e teóricos de Resistência, Reactância e Indutância num condutor para vários valores de frequência.

Ao analisar os resultados obtidos nas simulações, observa-se que os valores de resistência e

reactância aumentam com o aumento da frequência. Pelo contrário, a indutância diminui com o

aumento da frequência. Este resultado era de esperar, pois com o aumento da frequência a

profundidade de penetração δ (δ = √2 ωμσ⁄ ) diminui e a densidade de corrente tende a concentrar-se

à superfície do condutor.

0

10

20

30

40

50

60

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

L [n

H/m

]

R,X

[µΩ/m

]

f [Hz]

Parâmetros Longitudinais

Resistência [µΩ/m] Reactância [µΩ/m] Resistência Teórica [µΩ/m]

Reactância Teórica [µΩ/m]2 Indutância [nH/m] Indutância Teórica [nH/m]3

21

Da Figura 9 à Figura 12 ilustra-se o efeito da frequência na distribuição de corrente no condutor. A

Figura 9 e Figura 10 foram obtidas com f=50Hz e a Figura 11 e Figura 12 foram obtidas com f=1kHz.

Figura 9 – Distribuição de corrente ao longo da superfície transversal do condutor a 50Hz.

Figura 10 – Curvas de nível da densidade de corrente do condutor a 50Hz

22

Figura 11 – Distribuição de corrente ao longo da superfície transversal do condutor a 1kHz

Figura 12 – Curvas de nível da densidade de corrente do condutor a 1kHz.

23

Nas Figura 9 e Figura 10 a distribuição de corrente é praticamente uniforme ao longo de todo o corte

transversal do condutor, enquanto que na Figura 11 e Figura 12 a distribuição de corrente é mais

elevada na superfície do condutor.

Na Figura 13 e Figura 14 representa-se o módulo do campo de indução magnética provocado pelo

cabo para as frequências de 50Hz e 1kHz, respectivamente.

Para a frequência de 50Hz verifica-se que o módulo do campo tem um crescimento linear desde o

centro do condutor até à superfície do mesmo e um decréscimo com 1/r quando nos afastamos do

condutor. Este resultado não deixa de ser um resultado conhecido, pois aproxima-se bastante do

campo de indução magnética provocado por um condutor com densidade de corrente uniforme.

Para a frequência de 1kHz a variação do módulo do campo no interior do condutor sofre uma ligeira

alteração, pois como este depende da densidade de corrente, o seu valor tem um crescimento mais

acentuado quando nos aproximamos da superfície do condutor.

Figura 13 – Módulo do campo de indução magnética criado pelo condutor para uma frequência de 50Hz.

24

Figura 14 – Módulo do campo de indução magnética criado pelo condutor para uma frequência de 1kHz.

Através do Figura 15 pode-se observar a direção do campo de indução magnética a 50Hz. Para este

cabo verifica-se que tem direção azimutal em torno do centro do condutor.

Figura 15 – Direção do campo de indução magnética provocado pelo condutor a 50Hz num determinado instante.

25

3.2 – Um condutor cilíndrico com alma de aço

Para finalizar a validação do método, e para colocar em prática a metodologia utilizada para cabos com

núcleos de permeabilidade diferente, será estudado um cabo com um raio exterior re=5mm e com um

raio interior, zona onde a permeabilidade magnética é diferente, 𝑟0=3,33mm.

De modo a que os resultados se aproximem da realidade, a parte interior do cabo tem uma

condutividade eléctrica σ1=2,0x107 S/m e permeabilidade magnética µ1=50µ0, e a parte exterior tem

uma condutividade eléctrica σ2=3,5x107 S/m e permeabilidade magnética µ2=µ0.

Este condutor foi simulado com Nd=120, o que originou uma divisão em subcondutores da forma

representada na Figura 16 com um total de 2324 subcondutores na parte interior do cabo e 4996

subcondutores na parte exterior.

Figura 16 – Geometria, distribuição dos subcondutores e dimensão do núcleo do cabo com núcleo de permeabilidade magnética diferente.

Os valores teóricos de resistência, reactância e indutância p.u.c. presentes na Tabela 4 foram obtidos

utilizando a equação (47) para diversos valores de frequência. A Tabela 5 apresenta os valores obtidos

na simulação através do modelo proposto em 3.2 e a Tabela 6 apresenta os erros relativos entre os

valores teóricos e os obtidos na simulação.

26

Tabela 4 – Valores teóricos de resistência, reactância e indutância para um cabo com permeabilidades diferentes e para diversos valores de frequência.


0 449,379 0 279,480

50 482,700 68,210 217,1120

100 524,990 87,871 139,851

500 602,343 123,208 39,2184

1000 629,469 182,991 29,1240

5000 816,539 653,754 20,810

10000 1119,166 1059,924 16,870

Tabela 5 – Valores de resistência, reactância e indutância, determinados pelo método proposto, para um cabo com permeabilidades diferentes e para diversos valores de frequência.


0 445,045 0 274,199

50 477,928 66,764 212,517

100 519,551 85,633 136,290

500 595,256 117,090 37,271

1000 620,631 171,857 27,352

5000 779,292 625,695 19,916

10000 1065,694 1048,360 16,685

Tabela 6 – Erros relativos obtidos entre os valores teóricos e os de simulação para um cabo com permeabilidades diferentes e para diversos valores de frequência.

Frequência [Hz] Erro

Resistência [%]

Erro

Reactância [%]

Erro

Indutância [%]

0 0,96% 0,00% 1,89%

50 0,99% 2,12% 2,12%

100 1,04% 2,55% 2,55%

500 1,18% 4,97% 4,97%

1000 1,40% 6,08% 6,08%

5000 4,56% 4,29% 4,29%

10000 4,78% 1,09% 1,09%

27

Como se pode observar os erros entre os valores teóricos e os de simulação são inferiores a 6,1%.

Mais uma vez, o erro tende a aumentar com a frequência pois com o aumento do efeito pelicular a

aproximação de corrente uniforme em cada subcondutor é cada vez pior. Desta forma, a metodologia

utilizada também é valida para o cálculo dos parâmetros longitudinais em condutores com

permeabilidades magnéticas diferentes.

A Figura 17 representa a variação dos parâmetros longitudinais p.u.c com a frequência, sendo que

estes têm um comportamento idêntico ao do condutor estudado no parágrafo 3.1. A resistência e a

reactância aumentam com o aumento da frequência, enquanto que a indutância, ao contrário dos dois

parâmetros anteriores, diminui com o aumento da frequência.

Figura 17 - Variação da resistência, reactância e indutância num condutor com alma de aço para vários valores de frequência.

Na Figura 18 encontra-se representada a distribuição da densidade de corrente ao longo do corte

transversal do cabo a 1kHz, onde esta é substancialmente superior na camada exterior do condutor,

ou seja, no alumínio. Isto deve-se, não só ao facto de termos um núcleo com condutividade eléctrica

inferior, mas também pelo material ter uma permeabilidade magnética superior, neste caso µ=50µ0.

0

50

100

150

200

250

300

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

L [n

H/m

]

R,X

[µΩ/m

]

f [Hz]


Resistência [µΩ/m] Reactância [µΩ/m] Resistência Teórica [µΩ/m]

Reactância Teórica [µΩ/m] Indutância [nH/m] Indutância Teórica [nH/m]

28

Figura 18 – Distribuição da densidade de corrente ao longo do corte transversal de um condutor com alma de aço a 1kHz.

A Figura 19 representa as curvas de nível da densidade de corrente a 1kHz.

Figura 19 – Curvas de nível da densidade de corrente de um condutor com alma de aço a 1kHz.

29

4 – Resultados

Neste capítulo estão presentes os resultados e simulações efectuados para várias tipologias de cabos

com as suas diferentes características.

Os cabos que serão alvo de estudo mais aprofundado são:

Dois condutores cilíndricos – linha bifilar;

Três condutores cilíndricos com bainha;

Quatro condutores com bainha.

4.1 – Dois condutores cilíndricos – linha bifilar

O sistema aqui analisado é constituído por dois condutores próximos cilíndricos de raio 𝑟𝑒=5mm,

condutividade eléctrica σ=5,7x107 S/m e permeabilidade magnética µ0. Para estudar a influência do

efeito de proximidade nos parâmetros longitudinais da linha bifilar faz-se variar a distância d entre os

centros dos condutores.

Utilizou-se uma matriz de 95x95 (Nd=95) para efectuar a divisão dos condutores em subcondutores

com dimensões mais reduzidas, obtendo-se assim N=4513 subcondutores em cada condutor. A Figura

20 representa a geometria de dois condutores, assim como a divisão em subcondutores.

Figura 20 – Geometria e divisão de dois condutores cilíndricos próximos.

30

Na Tabela 7 apresentam-se os valores da resistência, reactância e indutância p.u.c, obtidos por

simulação, para dois condutores a uma distância d=0,015mm e para diversos valores de frequência.

Tabela 7 – Valores de resistência, reactância e indutância para dois condutores (d=0,015m) e para diversos valores de frequência.


0 446,771 0 539,472

50 448,499 169,371 539,124

100 453,585 338,100 538,104

500 570,438 1624,828 517,199

1000 756,839 3090,177 491,817

5000 1632,472 13670,98 435,161

10000 2286,043 26430,12 420,648

Os valores obtidos mostram um aumento da resistência e a diminuição da indutância com o aumento

da frequência. Este resultado era expectável, pois trata-se de uma simulação muito semelhante à

apresentada em 3.1.

A Figura 21 representa a variação dos parâmetros longitudinais p.u.c. com a frequência.

Figura 21 – Variação da resistência, reactância e impedância em dois condutores com a variação da frequência.

0

100

200

300

400

500

600

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

L [n

H/m

]

R,X

[µΩ/m

]

f [Hz]


Resistência [µΩ/m] Reactância [µΩ/m] Indutância [nH/m]

31

Tratando-se de dois condutores próximos (ou seja com 𝑑 2⁄

𝑟𝑒⁄ ≫ 1) verifica-se um aumento da

densidade de corrente junto à superfície mais próxima do outro condutor. Este efeito, denominado de

efeito proximidade, é bem visível na Figura 22 e Figura 23 onde, para a mesma distância d=0,015m,

se apresenta a distribuição da densidade de corrente para as frequências de 50Hz e 1kHz,

respectivamente.

Figura 22 – Distribuição da corrente ao longo do corte transversal dos condutores a 50Hz.

Figura 23 – Distribuição da corrente ao longo do corte transversal dos condutores a 5kHz.

32

A distribuição da densidade de corrente na secção transversal dos condutores é influenciada pela

distância entre os condutores (efeito de proximidade) e pela frequência (efeito pelicular). Como é bem

visível na Figura 23, além da densidade de corrente aumentar, ao longo do caminho entre o centro do

cabo e a superfície do mesmo, com o aumento da frequência, ela tende a intensificar-se junto à

superfície mais próxima do outro condutor, e deste modo, provocar uma alteração nos parâmetros

longitudinais do condutor.

Sendo este ponto sobre o estudo de dois condutores, não poderia deixar de ser estudado, a variação

dos parâmetros com a variação da distância entre centros dos condutores. Na Tabela 8 apresentam-

se os valores de resistência, reactância e indutância p.u.c. para uma frequência de 50Hz e para uma

variação da distância entre centros dos condutores entre 1cm e 20cm.

Tabela 8 – Resistência e indutância para dois condutores a 50Hz para diversos valores de distância entre condutores.

d [m] Resistência [µΩ/m] Reactância [µΩ/m] Indutância [nH/m]

0,010 449,802 118,340 376,687

0,015 448,499 169,371 539,124

0,020 448,060 205,557 654,307

0,050 447,594 320,742 1020,953

0,080 447,540 379,809 1208,970

0,100 447,528 407,852 1298,232

0,200 447,512 494,957 1574,495

Os resultados apresentados na Tabela 8 mostram que o aumento da proximidade entre condutores tem

como consequência aumentar o valor de resistência e diminuir o valor da indutância.

33

A Figura 24 representa a variação dos parâmetros com a variação da distância entre centros.

Figura 24 – Variação da resistência, reactância e indutância da linha bifilar com a variação da distância entre centros e para uma frequência igual a 50Hz.

A Figura 25 e a Figura 26 representam as curvas de nível da densidade de corrente para uma

frequência igual a 5kHz, considerando dois valores diferentes para a distância entre condutores,

d=15mm e d=50mm, respectivamente. Deste modo é possível observar o efeito provocado apenas pelo

efeito de proximidade.

Figura 25 – Curvas de nível da densidade de corrente de dois condutores próximos, a 5kHz e a 15mm de distância.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

100

200

300

400

500

600

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22

L [n

H/m

]

R,X

[µΩ/m

]

d[m]


Resistência [µΩ/m] Reactância [µΩ/m] Indutância [nH/m]

34

Figura 26 – Curvas de nível da densidade de corrente de dois condutores próximos a 5kHz e a 50mm de distância.

No caso em que d=15mm a densidade de corrente é visivelmente superior na superfície perto do outro

condutor, enquanto que no caso em que d=50mm este efeito praticamente não existe tendo a

densidade de corrente uma distribuição semelhante ao do condutor isolado

O efeito do campo de indução magnética provocado pela diferença da densidade de corrente está

representado na Figura 27 a 50Hz e a uma distância entre centros de 15mm. O campo tem um valor

máximo junto à periferia mais próxima do outro condutor, um valor intermédio entre os dois condutores

e este decresce à medida que nos afastamos dos condutores, com era de esperar.

Figura 27 – Campo de indução magnética provocado pelos dois condutores próximos a 50Hz.

35

4.2 – Três condutores cilíndricos com bainha

Neste ponto será analisado um cabo de três condutores cilíndricos com bainha de alumínio.

Os condutores de fase e a bainha são de alumínio com condutividade eléctrica σ=3,5x107 S/m e

permeabilidade magnética µ0.

As dimensões utilizadas são:

Raio exterior do cabo: 𝑟𝑒=2,5cm;

Raio interior da bainha: 𝑟𝑖𝑛𝑡_𝑏𝑎𝑖𝑛ℎ𝑎=2,3cm;

Raio dos condutores interiores: 𝑟𝑐_𝑖𝑛𝑡=8mm;

Distância entre o centro do cabo e o centro dos condutores interiores: 𝑟𝑐_𝑐=12mm.

A matriz de divisão utilizada contem Nd=135, o que resulta numa distribuição de subcondutores por

todo o cabo de 703 subcondutores em cada condutor interior e 2424 em toda a bainha, como é visível

na Figura 28.

Figura 28 – Geometria e distribuição dos subcondutores num cabo de três condutores e bainha.

36

Como o cabo em estudo é perfeitamente simétrico, a matriz R e L apresenta apenas dois valores

diferentes, ou seja, todos os parâmetros próprios são iguais e mútuos também. Na Tabela 9 estão

representados os valores de todos os parâmetros longitudinais p.u.c. para diversos valores de

frequência e no caso de a bainha ser de alumínio.

Tabela 9 – Parâmetros longitudinais próprios e mútuos de um cabo com três condutores e bainha de alumínio para diversos valores de frequência.

Frequência

[Hz]

Resistência

Própria

[µΩ/m]

Reactância

Própria

[µΩ/m]

Indutância

Própria

[nH/m]

Resistência

Mutua

[µΩ/m]

Reactância

Mutua

[µΩ/m]

Indutância

Mutua

[nH/m]

0 237,891 0 267,974 94,328 0 26,699

50 245,347 81,862 260,574 92,468 9,268 29,500

100 261,307 154,440 245,798 89,565 21,682 34,509

500 369,407 602,621 191,820 99,278 124,086 39,498

1000 467,081 1083,415 172,431 113,659 233,572 37,174

5000 908,897 4532,273 144,267 207,738 1032,402 32,862

10000 1301,330 8562,588 136,278 311,345 1948,229 31,007

A Figura 29 e a Figura 30 apresentam graficamente a variação dos parâmetros longitudinais próprios e

mútuos p.u.c., respectivamente, com a variação da frequência utilizando o método proposto.

Figura 29 – Valores de resistência, reactância e indutância própria para um cabo com três condutores com bainha de alumínio para vários valores de frequência.

0

50

100

150

200

250

300

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

L [n

H/m

]

R,X

[µΩ/m

]

f [Hz]

Parâmetros Longitudinais Próprios

Resistência Própria [µΩ/m] Reactância Própria [µΩ/m] Indutância Própria [nH/m]

37

Figura 30 - Valores de resistência, reactância e indutância mútua para um cabo com três condutores com bainha de alumínio para vários valores de frequência

Analisando os valores e os gráficos obtidos, conclui-se que os valores de resistência e reactância

aumentam com o aumento da frequência, ao contrário da indutância que decresce com o aumento da

frequência.

A Figura 31 mostra a distribuição da densidade de corrente a 50Hz num modo de funcionamento, onde

apenas um condutor se encontra em tensão. A densidade de corrente, como seria de esperar, é mais

elevada no condutor que se encontra ao potencial não nulo e devido ao efeito de proximidade,

crescente na direção do centro do cabo.

Figura 31 – Distribuição da densidade de corrente de um cabo com três condutores e bainha de alumínio para um modo de funcionamento a 50Hz.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

500

1000

1500

2000

2500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

L [n

H/m

]

R,X

[µΩ/m

]

f [Hz]

Parâmetros Longitudinais Mútuos

Resistência Mutua [µΩ/m] Reactância Mutua [µΩ/m] Indutância Mutua [nH/m]

38

O efeito de proximidade tende a aumentar com o aumento da frequência, como se ilustra na Figura 32,

obtida para uma frequência igual a 500Hz. O feito da bainha com a variação da frequência torna-se

evidente visto que para uma frequência de 50Hz a distribuição da densidade de corrente é praticamente

uniforme, enquanto que para 500Hz tende a intensificar-se junto do condutor ao potencial não nulo.

Figura 32 – Distribuição da densidade de corrente de um cabo com três condutores e bainha de alumínio para um modo de funcionamento a 500Hz.

O módulo do campo de indução magnética provocado por este cabo com bainha de alumínio, para o

mesmo modo de funcionamento representa-se na Figura 33. O módulo do campo é um pouco variável

no interior do cabo, sendo mais intenso na periferia do condutor em tensão acabando-se por atenuar

quando nos afastamos do mesmo.

Figura 33 – Campo de indução magnética provocado por um cabo de três condutores se bainha de alumínio para um modo de funcionamento a 50Hz.

39

A Figura 34 representa a direção do campo de indução magnética provocado pelo cabo a 50Hz, no

mesmo modo de funcionamento

Figura 34 – Direção do campo de indução magnética provocado por um cabo de três condutores e bainha de alumínio para um modo de funcionamento a 50Hz.

40

4.3 – Quatro condutores com bainha

Por fim, será alvo de estudo um cabo de bainha de alumínio com quatro condutores, três de fase (F1,

F2 e F3) e um de neutro (N). Consideraram-se todos os condutores e bainha de alumínio com uma

condutividade eléctrica σ=3,5x107 S/m e permeabilidade magnética µ0.

Este cabo diferencia-se dos outros já estudados pois os três condutores de fase não são cilíndricos

mas sim, quartos de cilindro. O cabo tem um raio exterior 𝑟𝑒=2,5cm e um isolamento interior entre

condutores de aproximadamente 3mm.

Os resultados foram obtidos com Nd=105, o que resultou num total de 1305 subcondutores em cada

condutor não cilíndrico, 890 no condutor cilíndrico e 1348 na bainha, como representado na Figura 35.

Figura 35 – Geometria e distribuição dos subcondutores num cabo de quatro condutores e bainha.

Da mesma forma que o cabo estudado no ponto anterior continha parâmetros próprios e mútuos, este

também os tem pelas mesmas razões. Este cabo, pelo facto de não ter simetria, as matrizes R e L

apresentam valores diferentes para os coeficientes próprios bem como para os coeficientes mútuos.

A Tabela 10 contém os valores das resistências próprias nos quatro condutores, enquanto a Figura 36

os representa graficamente, sendo que os assinalados como F1, F2, e F3 são os condutores não

cilíndricos e N o condutor cilíndrico.

41

Tabela 10 – Valores de resistência própria, utilizando o método proposto, para os quatro condutores para diversos valores de frequência.

Frequência

[Hz]

Resistência

Própria F1

[µΩ/m]

Resistência

Própria F2

[µΩ/m]

Resistência

Própria F3

[µΩ/m]

Resistência

Própria N

[µΩ/m]

0 190,024 190,024 190,024 235,049

50 201,875 201,353 201,353 246,815

100 224,132 223,269 223,269 268,315

500 336,848 337,260 337,260 386,472

1000 414,285 414,856 414,856 493,420

5000 781,410 783,702 783,702 984,074

10000 1111,166 1118,626 1118,626 1408,209

Figura 36 – Valores de resistências próprias para os quatro condutores nos vários valores de frequência.

Como seria de esperar, tendo em conta as simulações e os resultados obtidos anteriormente, a

resistência própria dos condutores aumenta com o aumento da frequência. Outra conclusão que se

pode retirar é que as resistências dos três condutores de fase são bastante idênticas, enquanto que a

do condutor de neutro permanece um pouco mais elevada ao longo de toda a variação da frequência.

Isto deve-se à geometria do cabo visto que o condutor de neutro tem uma secção inferior aos restantes.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

R [µΩ/m

]

f [Hz]

Resistência Própria

Resistência Própria F1 [µΩ/m] Resistência Própria F2 [µΩ/m]

Resistência Própria F3 [µΩ/m] Resistência Própria N [µΩ/m]

42

Da mesma forma, representa-se na Tabela 11 e na Figura 37 os valores da reactância própria dos 4

condutores.

Tabela 11 - Valores de reactância própria, utilizando o método proposto, para os quatro condutores, para diversos valores de frequência.

Frequência

[Hz]

Reactância

Própria F1

[µΩ/m]

Reactância

Própria F2

[µΩ/m]

Reactância

Própria F3

[µΩ/m]

Reactância

Própria N

[µΩ/m]

0 0 0 0 0

50 64,899 65,306 65,306 79,009

100 114,017 115,631 115,631 142,275

500 347,327 355,652 355,652 503,643

1000 579,862 595,469 595,469 875,348

5000 2174,281 2251,493 2251,493 3396,087

10000 3923,371 4074,748 4074,748 6237,155

Figura 37 – Valores das reactâncias próprias para os quatro condutores nos vários valores de frequência.

Da mesma forma que acontece para os valores de resistência própria, a reactância própria aumenta

com a frequência em todos os condutores, sendo que é praticamente igual para os três condutores de

fase e um pouco mais elevada no de neutro.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

X [µΩ/m

]

f [Hz]

Reactância Própria

Reactância Própria F1 [µΩ/m] Reactância Própria F2 [µΩ/m]

Reactância Própria F3 [µΩ/m] Reactância Própria N [µΩ/m]

43

A Tabela 12 e a Figura 38 apresentam os valores de indutância própria nos quatro condutores.

Tabela 12 – Valores de indutância própria, utilizando o método proposto, para os quatro condutores, para diversos valores de frequência.

Frequência

[Hz]

Indutância

Própria F1

[nH/m]

Indutância

Própria F2

[nH/m]

Indutância

Própria F3

[nH/m]

Indutância

Própria N

[nH/m]

0 221,365 221,365 221,365 266,683

50 206,580 207,876 207,876 251,495

100 181,463 184,033 184,033 226,438

500 110,558 113,208 113,208 160,315

1000 92,288 94,772 94,772 139,319

5000 69,210 71,667 71,667 108,101

10000 62,442 64,852 64,852 99,267

Figura 38 - Valores das indutâncias próprias para os quatro condutores nos vários valores de frequência.

A indutância própria dos condutores segue o mesmo padrão dos cabos simulados anteriormente, onde

esta decresce com o aumento da frequência. Para este cabo, as indutâncias próprias dos três

condutores de fase são bastante idênticas, enquanto que para o condutor de neutro, apesar de ter o

mesmo comportamento, é um pouco superior ao longo de toda a variação de frequência.

0

50

100

150

200

250

300

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

L [n

H/m

]

f [Hz]

Indutância Própria

Indutância Própria F1 [nH/m] Indutância Própria F2 [nH/m]

Indutância Própria F3 [nH/m] Indutância Própria N [nH/m]

44

A Tabela 13, a Tabela 14 e a Tabela 15 apresentam os valores de resistência mútua, reactância mútua

e indutância mútua, respectivamente, dos quatro condutores para os diversos valores de frequência.

De notar que apenas estão apresentados os valores mútuos entre dois condutores uma vez, pois, por

exemplo, a resistência mútua entre F1 e F2 é igual entre F2 e F1.

Os valores de resistência e reactância mútua aumentam com o aumento da frequência, enquanto que

os valores de indutância mútua decrescem como aumento da frequência.

Tabela 13 – Valores de resistência mútua, utilizando o método proposto, para os quatro condutores para diversos valores de frequência.

Frequência

[Hz]

Resistência

Mútua

F1-F2

[µΩ/m]

Resistência

Mútua

F1-F3

[µΩ/m]

Resistência

Mútua

F1-N

[µΩ/m]

Resistência

Mútua

F2-F3

[µΩ/m]

Resistência

Mútua

F2-N

[µΩ/m]

Resistência

Mútua

F3-N

[µΩ/m]

0 93,472 93,472 93,472 93,472 93,472 93,472

50 94,798 94,798 88,077 88,075 95,128 95,128

100 98,074 98,074 81,566 80,587 98,579 98,579

500 115,807 115,807 77,594 72,689 115,721 115,721

1000 128,803 128,803 80,369 75,353 130,734 130,734

5000 228,012 228,012 133,966 126,568 237,983 237,983

10000 338,676 338,676 200,301 189,153 351,728 351,728

Tabela 14 – Valores de reactância mútua, utilizando o método proposto, para os quatro condutores para diversos valores de frequência.

Frequência

[Hz]

Reactância

Mútua

F1-F2

[µΩ/m]

Reactância

Mútua

F1-F3

[µΩ/m]

Reactância

Mútua

F1-N

[µΩ/m]

Reactância

Mútua

F2-F3

[µΩ/m]

Reactância

Mútua

F2-N

[µΩ/m]

Reactância

Mútua

F3-N

[µΩ/m]

0 0 0 0 0 0 0

50 13,015 13,015 11,981 9,648 13,886 13,886

100 24,431 24,431 15,240 13,657 25,600 25,600

500 86,105 86,105 45,564 41,220 93,623 93,623

1000 156,507 156,507 81,162 72,898 170,862 170,862

5000 646,187 646,187 365,058 327,473 699,359 699,359

10000 1166,559 1166,559 659,167 587,640 1265,716 1265,716

45

Tabela 15 – Valores de indutância mútua, utilizando o método proposto, para os quatro condutores para diversos valores de frequência.

Frequência

[Hz]

Indutância

Mútua

F1-F2

[nH/m]

Indutância

Mútua

F1-F3

[nH/m]

Indutância

Mútua

F1-N

[nH/m]

Indutância

Mútua

F2-F3

[nH/m]

Indutância

Mútua

F2-N

[nH/m]

Indutância

Mútua

F3-N

[nH/m]

0 266,300 266,300 241,453 198,948 288,700 288,700

50 260,300 260,300 239,620 192,960 277,720 277,720

100 244,310 244,310 152,403 136,570 256,012 256,012

500 172,210 172,210 91,128 82,440 187,246 187,246

1000 156,507 156,507 81,162 72,898 170,862 170,862

5000 129,237 129,237 73,012 65,495 139,872 139,872

10000 116,656 116,656 65,917 58,764 126,572 126,572

A Figura 39 e a Figura 40 representam a densidade de corrente nos condutores a 50Hz e 500Hz,

respectivamente. Foi aplicado aos condutores de fase um sistema trifásico de tensões equilibrado

encontrando-se o condutor de neutro ligado à bainha. A 500Hz o efeito de proximidade torna-se

bastante evidente quando comparado com a mesma simulação a 50Hz.

Figura 39 – Distribuição da densidade de corrente num cabo de quatro condutores e bainha a 50Hz.

46

Figura 40 – Distribuição da densidade de corrente para um cabo de quatro condutores e bainha a 500Hz.

Analisando as curvas de nível da densidade de corrente a 50Hz, representadas na Figura 41, é possível

verificar as diferenças entre os condutores de fase e o de neutro assim como a diferente intensidade

da densidade de corrente nos condutores.

Figura 41 – Curvas de nível da densidade de corrente para um cabo de quatro condutores e bainha a 50Hz.

47

Por fim, a Figura 42 e Figura 43 representam o módulo e a direção do campo de indução magnética

provocado pelo cabo, respectivamente. Este tem um aspecto irregular dentro do cabo, devido à

geometria dos condutores que o constituem, sendo que se atenua quando nos afastamos do cabo.

Figura 42 – Campo de indução magnética provocado por um cabo de quatro condutores e bainha a 50Hz.

Figura 43 – Direção do campo de indução magnética provocado pelo cabo de quatro condutores com bainha a uma frequência de 50Hz.

48

5 – Conclusões

Neste trabalho propõe-se um método de cálculo dos parâmetros longitudinais por unidade de

comprimento – resistência e indutância – de um sistema constituído por vários condutores com

permeabilidades diferentes, tendo em conta o efeito pelicular e o efeito de proximidade.

Com a metodologia desenvolvida é possível caracterizar sistemas de condutores com diversas

geometrias, além da circular cilíndrica. Neste trabalho foi estudada a influência de diversos factores

nos valores dos parâmetros longitudinais do cabo. Os factores analisados foram a frequência, a

distância entre condutores e a existência de meios de permeabilidades magnéticas diferentes.

A validação do método foi efectuada com base em expressões analíticas publicadas na literatura para

dois tipos de cabos: um condutor cilíndrico isolado e um condutor cilíndrico isolado com núcleo de

permeabilidade magnética diferente.

Para o caso de um condutor cilíndrico verificou-se um aumento da resistência e reactância com o

aumento da frequência. A indutância, ao contrário destes, sofre um decréscimo com o aumento da

frequência. Comparando os resultados obtidos e comprando-os com os valores teóricos dados pelas

expressões analíticas, chegou-se a um erro relativo inferior a 0,12% em toda a gama de frequência

estudada e nos três parâmetros obtidos.

No caso do condutor cilíndrico com núcleo de permeabilidade magnética diferente, obteve-se da

mesma forma, um aumento dos parâmetros resistência e reactância e um decréscimo da indutância

com o aumento da frequência. Os valores obtidos contêm um erro superior ao do condutor cilíndrico

mas sempre com um erro relativo inferior a 6,1%. O aumento do erro relativo com a frequência deve-

se eventualmente ao facto de, no material ferromagnético, a profundidade de penetração diminuir

bastante com o aumento da frequência o que exigiria utilizar uma discretização com um maior número

de subcondutores. Tendo em conta as limitações computacionais não foi possível aumentar o número

de subcondutores e por isso não foi possível obter estes resultados com maior precisão.

Os erros relativos poderiam eventualmente ser menores, efectuando um aumento do número de

subcondutores usados na discretização dos condutores do sistema em ambos os casos.

Além dos valores destes parâmetros, o algoritmo desenvolvido permite obter gráficos da densidade de

corrente no interior dos condutores, bem como as curvas de nível correspondentes e permite ainda

obter a intensidade e direção do campo de indução magnética dentro e fora dos condutores.

O efeito pelicular é bem visível nos gráficos que representam a densidade de corrente nos condutores

quando comparando o mesmo cabo a 50Hz e 500Hz ou 1kHz, onde há um aumento da densidade de

corrente junto à superfície do condutor para frequências mais elevadas.

O efeito de proximidade apesar de estar presente em todos os casos com mais de um condutor é bem

visível no estudo da linha bifilar, uma vez que se faz variar a distância entre os dois condutores. O

49

aumento da corrente na superfície mais próxima do outro condutor é visível quando estes se encontram

próximos, diminuindo quando estes se separam.

Deixam-se como propostas de trabalho futuro os seguintes aspectos que não foram aqui abordados:

Uso de condutores de secção triangular, com densidade de corrente variável linearmente

dentro de cada subcondutor;

Aferição de resultados por via experimental;

Consideração da terra no cálculo dos parâmetros;

Utilização de outro método de resolução do sistema de equações usando um método iterativo,

por exemplo, de modo a poder aumentar o número de subcondutores;

Aumentar a eficiência do algoritmo a alta frequência, discretizando os condutores apenas na

camada periférica, uma vez que a corrente e os campos se distribuem apenas na camada

superficial.

50

6 - Referências bibliográficas

[1] J. P. S. Paiva, Redes de Energia Eléctrica – Uma análise sistémica, 3º Edição, IST Press, 2011.

[2] J. Peres, Determinação dos parâmetros de um cabo trifásico simétrico, Dissertação IST, 2010.

[3] D. Freitas, Determinação dos parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão aérea,

transversalmente não homogénea, Dissertação IST, 2012.

[4] J. Peres, M. G. Neves, M. E. Almeida and V. M. Machado, Accurate numerical method to evaluate

the capacitances of multi-conductor power cables, Electric Power Systems Research 103 (2013) 184-

191

[5] Kraus and Caver, Electromagnetics, MCGraw-Hill Kogakusha.

[6] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 3rd Edition 1999

[7] J. F. B. d. Silva, Electrotecnia Teórica – 2º Parte, Associação de estudantes do Instituto Superior

Técnico.

[8] J. F. B. d. Silva, Electromagnetismo Aplicado, Curso de Electromagnetismo Aplicado, IST,1985

51

7 - Anexos

Anexo 1

Sabendo que

𝐴𝑧 = ∫ ∫𝜇0𝐽

2𝜋ln (

1

√(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2)

𝑏

−𝑏

𝑎

−𝑎

𝑑𝑦𝑑𝑥 = −𝜇0𝐽

4𝜋∫ ∫ ln (√(𝑥 − 𝑥0)

2 + (𝑦 − 𝑦0)2)

𝑏

−𝑏

𝑎

−𝑎

𝑑𝑦𝑑𝑥

fazendo o integral em y chega-se a

= −𝜇0𝐽

4𝜋∫ [(𝑦 − 𝑦0) ln((𝑥 − 𝑥0)

2 + (𝑦 − 𝑦0)2) − 2(𝑦 − 𝑦0) − 2(𝑥 − 𝑥0) tan

−1 (𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0

)]𝑏

−𝑏𝑑𝑥

𝑎

−𝑎

desenvolvendo para y=b e y=-b, obtém-se

= −𝜇0𝐽

4𝜋∫ [(𝑏 − 𝑦0) ln((𝑥 − 𝑥0)

2 + (𝑏 − 𝑦0)2) − 2(𝑏 − 𝑦0) − 2(𝑥 − 𝑥0) tan

−1 (𝑥 − 𝑥0𝑏 − 𝑦0

) 𝑎

−𝑎

− (−𝑏 − 𝑦0) ln((𝑥 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2) − 2(−𝑏 − 𝑦0) − 2(𝑥 − 𝑥0) tan−1 (

𝑥 − 𝑥0−𝑏 − 𝑦0

)]𝑑𝑥

fazendo novamente o integral mas agora em x chega-se a

= −𝜇0𝐽

4𝜋[(𝑏 − 𝑦0) [(𝑥 − 𝑥0) ln((𝑥 − 𝑥0)

2 + (𝑏 − 𝑦0)2) − 2(𝑥 − 𝑥0) − 2(𝑏 − 𝑦0) tan

−1 (𝑏 − 𝑦0𝑥 − 𝑥0

)]𝑎

−𝑎

− [2𝑥(𝑏 − 𝑦0)]𝑎

−𝑎− [((𝑥 − 𝑥0)

2 + (𝑏 − 𝑦0)2) tan−1 (

𝑥 − 𝑥0𝑏 − 𝑦0

)− (𝑏 − 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0)]𝑎

−𝑎

− [(−𝑏 − 𝑦0) [(𝑥 − 𝑥0) ln((𝑥 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2) − 2(𝑥 − 𝑥0)

− 2(−𝑏 − 𝑦0) tan−1 (

−𝑏 − 𝑦0𝑥 − 𝑥0

)]𝑎

−𝑎+ [2𝑥(−𝑏 − 𝑦0)]

𝑎

−𝑎

+ [((𝑥 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2) tan−1 (𝑥 − 𝑥0−𝑏 − 𝑦0

) − (−𝑏 − 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0)]𝑎

−𝑎]]

52

desenvolvendo novamente mas agora para x=a e x=-a obtém-se

= −𝜇0𝐽

4𝜋[(𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥0) ln((𝑎 − 𝑥0)

2 + (𝑏 − 𝑦0)2) − 2(𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥0) − 2(𝑏 − 𝑦0)

2 tan−1 (𝑏 − 𝑦0𝑎 − 𝑥0

)

− (𝑏 − 𝑦0)(−𝑎 − 𝑥0) ln((−𝑎 − 𝑥0)2 + (𝑏 − 𝑦0)

2) + 2(𝑏 − 𝑦0)(−𝑎 − 𝑥0)

+ 2(𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

𝑏 − 𝑦0−𝑎 − 𝑥0

) − 2𝑎(𝑏 − 𝑦0) − 2𝑎(𝑏 − 𝑦0)

− ((𝑎 − 𝑥0)2 + (𝑏 − 𝑦0)

2) tan−1 (𝑎 − 𝑥0𝑏 − 𝑦0

) + (𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥0)

+ ((−𝑎 − 𝑥0)2 + (𝑏 − 𝑦0)

2) tan−1 (−𝑎 − 𝑥0𝑏 − 𝑦0

) − (𝑏 − 𝑦0)(−𝑎 − 𝑥0)

− (−𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥0) ln((𝑎 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2) + 2(−𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥0)

+ 2(−𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

−𝑏 − 𝑦0𝑎 − 𝑥0

) + (−𝑏 − 𝑦0)(−𝑎 − 𝑥0) ln((−𝑎 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2)

− 2(−𝑏 − 𝑦0)(−𝑎 − 𝑥0) + 2(−𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

−𝑏 − 𝑦0−𝑎 − 𝑥0

) + 2𝑎(−𝑏 − 𝑦0) + 2𝑎(−𝑏 − 𝑦0)

+ ((𝑎 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2) tan−1 (𝑎 − 𝑥0−𝑏 − 𝑦0

) − (−𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥0)

− ((−𝑎 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2) tan−1 (−𝑎 − 𝑥0−𝑏 − 𝑦0

) + (−𝑏 − 𝑦0)(−𝑎 − 𝑥0)]

desenvolvendo e agrupando chega-se a

= −𝜇0𝐽

4𝜋[−2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑥0 + 2𝑦0𝑎 − 2𝑦0𝑥0 − 2𝑎𝑏 − 2𝑏𝑥0 + 2𝑦0𝑎 + 2𝑦0𝑥0 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑦0 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑦0 + 𝑎𝑏

− 𝑏𝑥0 − 𝑦0𝑎 + 𝑦0𝑥0 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑥0 − 𝑦0𝑎 − 𝑦0𝑥0− 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑥0 − 2𝑦0𝑎 + 2𝑦0𝑥0 − 2𝑎𝑏

− 2𝑏𝑥0 − 2𝑦0𝑎 − 2𝑦0𝑥0 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑦0 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑦0 + 𝑎𝑏 − 𝑏𝑥0 + 𝑦0𝑎 − 𝑦0𝑥0 + 𝑎𝑏

+ 𝑏𝑥0 + 𝑦0𝑎 + 𝑦0𝑥0 + (𝑎 − 𝑥0)2 tan−1 (

𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

) + (−𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

)

− (−𝑎 − 𝑥0)2 tan−1 (

−𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

) − (−𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

−𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

)

+ 2(−𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

−𝑏 − 𝑦𝑜𝑎 − 𝑥0

) − 2(−𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

−𝑏 − 𝑦𝑜−𝑎 − 𝑥0

)

− 2(𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

𝑏 − 𝑦𝑜𝑎 − 𝑥0

) + 2(𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

𝑏 − 𝑦𝑜−𝑎 − 𝑥0

) − (𝑎 − 𝑥0)2 tan−1 (


)

− (𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (


) + (−𝑎 − 𝑥0)2 tan−1 (

−𝑎 − 𝑥𝑜𝑏 − 𝑦0

) + (𝑏 − 𝑦0)2 tan−1 (

−𝑎 − 𝑥𝑜𝑏 − 𝑦0

)

− (𝑎 − 𝑥0)(−𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2)

− (𝑎 + 𝑥0)(−𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 + 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2)

+ (𝑎 − 𝑥0)(𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 − 𝑥0)2 + (𝑏 − 𝑦0)

2)

+ (𝑎 + 𝑥0)(𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 + 𝑥0)2 + (𝑏 − 𝑦0)

2)]

53

e por fim simplificando chega-se à expressão final

𝐴𝑧 = −𝜇0𝐽

4𝜋[−12𝑎𝑏 − (−𝑏 − 𝑦0)

2 [tan−1 (𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

)+ tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

)]

− (𝑎 − 𝑥0)2 [tan−1 (

−𝑏 − 𝑦𝑜𝑎 − 𝑥0

) − tan−1 (𝑏 − 𝑦𝑜𝑎 − 𝑥0

)]

− (𝑎 + 𝑥0)2 [tan−1 (

−𝑏 − 𝑦𝑜𝑎 + 𝑥0

) − tan−1 (𝑏 − 𝑦𝑜𝑎 + 𝑥0

)]

+ (𝑏 − 𝑦0)2 [tan−1 (


) + tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜𝑏 − 𝑦0

)]

− (𝑎 − 𝑥0)(−𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 − 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2)

− (𝑎 + 𝑥0)(−𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 + 𝑥0)2 + (−𝑏 − 𝑦0)

2)

+ (𝑎 − 𝑥0)(𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 − 𝑥0)2 + (𝑏 − 𝑦0)

2)

+ (𝑎 + 𝑥0)(𝑏 − 𝑦0) ln((𝑎 + 𝑥0)2 + (𝑏 − 𝑦0)

2)]

54

Anexo 2

Sabendo que

𝐵 = 𝑟𝑜𝑡𝐴 = ∇ × 𝐴 = 𝑥 (𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦−𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧) + (

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧−𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥) + (

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑥−𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦) = 𝑥 (

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦) + (−

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥)

Chega-se a 𝐵𝑥 através de

𝐵𝑥 =𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦= −

𝜇0𝐽

4𝜋[(−𝑏 − 𝑦0) [2tan

−1 (𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

)

+ 2 tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

) +(−𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥𝑜)

(−𝑏 − 𝑦0)2+(𝑎 − 𝑥𝑜)

2+

(−𝑏 − 𝑦0)(𝑎 + 𝑥𝑜)

(−𝑏 − 𝑦0)2+(𝑎 + 𝑥𝑜)

2]

− (𝑎 − 𝑥𝑜)2 [

−(𝑎 − 𝑥𝑜)

(𝑎 − 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2+

(𝑎 − 𝑥𝑜)

(𝑎 − 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2]

− (𝑎 − 𝑥𝑜)2 [

−(𝑎 + 𝑥𝑜)

(𝑎 + 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2+

(𝑎 + 𝑥𝑜)

(𝑎 + 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2]

− (𝑏 − 𝑦0) [2tan−1 (


)

+ 2 tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜𝑏 − 𝑦0

) +(𝑏 − 𝑦0)(𝑎 − 𝑥𝑜)

(𝑏 − 𝑦0)2+(𝑎 − 𝑥𝑜)

2+

(𝑏 − 𝑦0)(𝑎 + 𝑥𝑜)

(𝑏 − 𝑦0)2+(𝑎 + 𝑥𝑜)

2]

− (𝑎 − 𝑥𝑜) [− ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) −2(−𝑏 − 𝑦0)

2

(𝑎 − 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2]

− (𝑎 + 𝑥𝑜) [− ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) −2(−𝑏 − 𝑦0)

2

(𝑎 + 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2]

+ (𝑎 − 𝑥𝑜) [− ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2) −2(𝑏 − 𝑦0)

2

(𝑎 − 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2]

+ (𝑎 + 𝑥𝑜) [− ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2) −2(𝑏 − 𝑦0)

2

(𝑎 + 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2]]

e simplificando chega-se à expressão final

𝐵𝑥 =𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦= −

𝜇0𝐽

4𝜋[(−𝑏 − 𝑦0) [2tan

−1 (𝑎 − 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

) + 2 tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜−𝑏 − 𝑦0

)]

− (𝑏 − 𝑦0) [2tan−1 (


) + 2 tan−1 (𝑎 + 𝑥𝑜𝑏 − 𝑦0

)]

+ (𝑎 − 𝑥𝑜)[ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2)]

+ (𝑎 + 𝑥𝑜)[ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2)]]

55

Da mesma forma se chega à expressã final de 𝐵𝑦

𝐵𝑦 = −𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥=𝜇0𝐽

4𝜋[(𝑎 − 𝑥𝑜) [2tan

−1 (−𝑏 − 𝑦0𝑎 − 𝑥𝑜

) + 2 tan−1 (𝑏 − 𝑦0𝑎 − 𝑥𝑜

)]

− (𝑎 + 𝑥𝑜) [2tan−1 (

−𝑏 − 𝑦0𝑎 + 𝑥𝑜

) + 2 tan−1 (𝑏 − 𝑦0𝑎 + 𝑥𝑜

)]

+ (−𝑏 − 𝑦0)[ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(−𝑏 − 𝑦0)

2)]

+ (𝑏 − 𝑦0)[ln((𝑎 + 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2) − ln((𝑎 − 𝑥𝑜)2+(𝑏 − 𝑦0)

2)]]

Anexo 3

Alz = ∫μ0J

2πln(

1

√(x − x0)2 + y02)

a

−a

dx

= −μ04π(2𝑦0 [tan

−1 (𝑎 − 𝑥0𝑦0

) − tan−1 (−𝑎 − 𝑥0𝑦0

)] − (𝑎 − 𝑥0)[−2 + ln((𝑎 − 𝑥0)2 + 𝑦0

2)]

− (−𝑎 − 𝑥0)[−2 − ln ((−𝑎 − 𝑥0)2 + 𝑦0

2)]

Documents

Determinação dos parâmetros longitudinais de um cabo trifásico · conta o efeito pelicular e o efeito de proximidade. O método utilizado baseou-se na discretização do condutor