INSTITUTO TECNOLGICO DE COSTA RICAESCUELA DE INGENIERA EN ELECTRNICAESCUELA DE INGENIERA EN CIENCIAS DE LOS MATERIALESDESCOMPOSICIN LU Y MATRIZ INVERSA

Prof. Ing. Marvin Hernndez C.

AGENDAIntroduccinObjetivosDesarrollo de los temasEjercicios resueltos en MATLABConclusiones

INTRODUCCINSe tratar una clase de mtodos de eliminacin llamada tcnica de descomposicin de matrices LU.Adems la descomposicin LU proporciona un medio eficiente para calcular la matriz inversa.La matriz inversa ofrece un medio para evaluar la condicin de un sistema.

OBJETIVOSEstudiar el mtodo de descomposicin LU y la inversin de matrices con la finalidad de facilitar la solucin de sistemas de ecuaciones lineales.Realizar ejercicios programados empleando MATLAB.Ver las ventajas de utilizar descomposicin LU en vez de resolver sistemas usando Gauss-Jordan.

DESCOMPOSICIN LUEs un mtodo directo para resolver sistemas de ecuaciones de la forma [A] {X}= {B} El principal recurso es que el paso de la eliminacin, que toma mucho tiempo, se puede formular de tal manera que solo involucre operaciones con la matriz de coeficientes [A].Muestra cmo el mtodo de eliminacin de Gauss se implementa como una descomposicin LU.Una ventaja de este mtodo es que proporciona un medio eficiente para evaluar diversos vectores del lado derecho.

Pasos en la descomposicin LU

PROCEDIMIENTOPaso de descomposicin LU: [A] se factoriza o descompone en las matrices triangular inferior [L] y superior [U].Paso de sustitucin: [L] y [U] determinan una solucin {X} para un lado derecho {B}.De acuerdo a la Ec. [L]{D}={B} genera un vector {D} mediante sustitucin hacia delante.El resultado se sustituye en la Ec. [U]{X}={D} mediante sustitucin hacia atrs para X.

PROCEDIMIENTO(continuacin)

PROCEDIMIENTO(continuacin)

PROCEDIMIENTO (continuacin)

Ejemplo (Descomposicin LU)

EJEMPLO (continuacin)

EJEMPLO (continuacin)

DESCOMPOSICIN CROUTUtiliza una matriz [U] con nmeros 1 sobre la diagonal.Genera [U] y [L] barriendo las columnas y los renglones de la matriz.

FRMULAS PARA DESCOMPOSICIN CROUT

MATRIZ INVERSASi una matriz [A] es cuadrada, existe otra matriz [A]-1, conocida como la inversa de [A], en donde:[A][A]-1=[A]-1[A]=[I]En esta seccin se estudiar como calcular la inversa por medio del algoritmo de descomposicin LU.

PROCEDIMIENTOSe efecta sustitucin hacia delante para calcular la primera columna de la matriz inversa, utilizando un vector unitario (el nmero 1 en el primer regln) como el vector del lado derecho.

PROCEDIMIENTO (continuacin)De lo anterior se obtiene {D}T, este vector se utilizar como el lado derecho en la siguiente ecuacin:

Donde se obtiene por sustitucin hacia atrs {X}T, estos valores sern la primera columna de la matriz inversa.

PROCEDIMIENTO (continuacin)Para calcular la segunda columna se formula la siguiente ecuacin:

De esta forma se obtiene {D}, y los resultados se usan para calcular {X}T, que es la segunda columna de la inversa.

PROCEDIMIENTO (continuacin)Para el clculo de la tercera columna se realiza de igual manera que las anteriores empleando {B}T=[O,O,1], para obtener {X}T.Finalmente la validez del resultado se comprueba al verificar que [A][A]-1=[I]

CONCLUSIONESEl uso de la descomposicin de matrices LU es de gran utilidad ya que permite alivianar la cantidad de operaciones para resolver un sistema.Proporciona un medio eficiente para calcular matrices inversas, y stas poseen un importante nmero de aplicaciones en la prctica de la ingeniera, sin dejar de lado que dichas inversas proporcionan un medio para evaluar la condicin de un sistema.El uso de descomposicin LU, debido que es un proceso ms abreviado, provee una ganancia de tiempo para un programador a la hora de elaborar un programa.