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Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad UD 4
EstadísticaDistribuciones continuas:
• Uniforme• Exponencial
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
¿Por dónde vamos?
PoblaciónEstadística descriptiva
§ gráficos§ parámetros§ tablas
muestreo
Inferencia estadística
Muestra
Conclusiones válidas con razonable seguridad
ProbabilidadUD2
DistribucionesUD4
UD3
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v.a. y distribuciones de probabilidad
Existen modelos (expresiones matemáticas) que se adecuan a las diferentes pautas de variabilidad de las variables aleatorias:
v.a. discretas• Binomial • Poisson
v.a. continuas• Exponencial• Uniforme• Normal
v.a. DISCRETA àFunción de Probabilidad: P(X)
v.a. CONTINUAà Función de Densidad: f(x)
¡Recordar! UD4Parte 1
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Contenido UD41. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS
1.1 Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidad1.2 Distribuciones de probabilidad discretas1.3 Distribuciones de probabilidad continuas1.4 Esperanza matemática1.5 Valor medio: concepto y propiedades1.6 Varianza: concepto y propiedades
2. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.2.1 La distribución Binomial
2.2 La distribución de Poisson
2.3 La distribución de Uniforme
2.4 La distribución Exponencial
2.5 La distribución Normal
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Contenido Uniforme y Exponencial3.- Distribución Uniforme
- Definición, aplicaciones y ejemplos- Función de densidad f(x) y probabilidad acumulada- Parámetros poblacionales: media y varianza- Población y muestra- Ejercicios
4.- Distribución Exponencial- Definición, aplicaciones y ejemplos- Función de densidad f(x) y probabilidad acumulada- Parámetros poblacionales: media y varianza- Población y muestra- Fiabilidad- Propiedad: “Falta de memoria”- Ejercicios
Ejercicios resueltos- Exponencial- Uniforme
Objetivos de aprendizajeFases en la resolución de problemas
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La distribución Uniforme
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• Se utiliza en v.a. continuas en las que la única información de la que se dispone sobre su comportamiento es que toman valores en un intervalo, y que la densidad de probabilidad para todos los valores de ese intervalo es la misma.
• La distribución uniforme tiene una aplicación muy importante en simulación.
Ejemplos:• Tiempo de acceso a un archivo en un disco duro ~ 1 y 3 ms• Tamaño de un tipo de archivo ~ entre 100 y 1000 Kb• Distancia (entre origen y destino) que recorre un mensaje en una
red regular tipo toro• Tiempo entre la generación de mensajes en un procesador• etc
3 – Distribución Uniforme
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Para pensar…
El lenguaje de programación BASIC (o una calculadora) tiene unafunción RND que genera un número “al azar” entre 0 y 1.
¿Qué crees que se entiende en este caso como un número “alazar” entre 0 y 1?
¿Cuál será la función de distribución de la variable aleatoria cuyosvalores genera la función RND?
Respuesta en el Anejo al final del tema UD 5
Libro de texto
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
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3 – Distribución Uniforme: Definición
• Una v.a continua X tiene una Distribución Uniforme en (a,b) si su función de densidad es:
• constante en un intervalo (a,b)
• nula fuera de dicho intervalo
• Se simboliza como:
X ~U(a,b)
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Función de densidadX ~ U (a, b)
ba
f(x)
X
1b
Ka=
-
b a-
Toda la probabilidad (1) se reparte uniformemente entre el tramo de a a b (b - a)
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Obtención de k
• Obtención del valor de la constante K :
+¥
-¥
£ +¥ = = = =ò òb
a
P(X ) 1 f(x)dx f(x)dx
= = = - =é ùë ûòbb
a a
Kdx K x K(b a) 1
=-1K
(b a)
F(+∞) =
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Histograma y Función de densidad
X ~ U (2, 2,5)Lower Limit,Upper Limit
2,2,5
Uniform Distribution
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5x
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
dens
ity
Histogram
1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6X
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
percentage
muestra
población
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
F(x) y Esperanza Matemática
(2
XE ) a b+=
22 b(( )
12X a)s -
=
Media Varianza
X ~ U (a, b)
¡Recordar! UD4-Parte 1
Cómo se calcula la Esperanza matemática
F(x) = P(X ≤ x): La probabilidad acumulada puede calcularse integrando la función de densidad.
X < a
xb
x)a
F( a-=
-X > bF(x) = 1
F(x) = 0
a bX£ £
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Frecuencias y Probabilidades acumuladas
X ~ U (2, 2,5)Lower Limit,Upper Limit
2,2,5
Uniform Distribution
1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
Histogram
1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8X
0
20
40
60
80
100
percentage
P(X < x)
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Ejercicio 11 ampliado
El tiempo de acceso o búsqueda de un fichero en una antigua unidad de disco (HD) fluctúa uniformemente entre 0,1 y 0,5 s.
a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?
b) ¿Cuál es la población asociada?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea exactamente 0,125 segundos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea inferior a 0,125 segundos?
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Ejercicio 11 ampliado
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea superior a 0,125 segundos?
f) ¿Cuál es la media del tiempo de acceso a un fichero? ¿y la desviación típica?
g) ¿Qué porcentaje de las búsquedas superan los 0,2 segundos?
h) ¿Cuál es valor de tiempo de búsqueda t que es no es superado por el 50% de dichas búsquedas?
i) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero estéentre 0,125 y 0,2 segundos?
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Ejercicio 11 ampliado
El tiempo de acceso o búsqueda de un fichero en una antigua unidad de disco (HD) fluctúa uniformemente entre 0,1 y 0,5 s.a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?
Variable aleatoria T: t de búsqueda de ficheros en HD duro E = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5} à [0,1 , 0,5] seg.
T ~ U (0,1, 0,5)
b) ¿Cuál es la población asociada?Población = {búsquedas de ficheros en un HD}
¡Recordar! UT3
Ejemplo Concepto Probabilidad
Continuaa b
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Ejercicio 11 ampliado
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea exactamente 0,125 segundos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea inferior a 0,125 segundos?
P(T < 0,125) = P(T ≤ 0,125) = F(0,125)
P(T = 0,125) = 0
tb
t)a
F( a-=
-£ £ ®0,120 5,1 0,5
0,10,5 0,10,125 0,0625-
= =-
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Ejercicio 11 ampliadoe) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero sea superior a 0,125 segundos?
P(T > 0,125) = P(T ≥ 0,125) = F(0,125)
P(T > 0,125) = P(T ≥ 0,125) = 1 - P(T ≤ 0,125) =
= 1- F(0,125) = 1 – 0,0625 = 0,9375
f) ¿Cuál es la media del tiempo de acceso a un fichero? ¿y la desviación típica?
a b 0,E 1( ) 0,3T s2
0,52
+ += = =
2 22 2b a 0,5 0,1T ( ) ( )( ) 0,0133 s
12 12s - -
= = =
( ) 0,0133 0,T 115 ss = =
¡Recordar! UT5
Ejem. 3 va continua
Media Desv. Típica
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Ejercicio 11 ampliadog) ¿Qué porcentaje de las búsquedas superan los 0,2 segundos?
P(T > 0,2) = P(T ≥ 0,2) = F(0,2)
P(T > 0,2) = P(T ≥ 0,2) = 1 - P(T ≤ 0,2) = 1- F(0,2) =
h) ¿Cuál es valor de tiempo de búsqueda t que es no es superado por el 50% de dichas búsquedas?
0,10,5 00,21 1 0,2
,15 0,75-
= - = - =-
à 75%
P(T < t) = P(T ≤ t) = F(t) = 0,5 (50% )
0,10,5tF( ) 0,t 5
0,1-
= =-
0,3 segu ot nd s® =Despejando
Mediana
Como es simétrica, la mediana coincide con la media.
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Ejercicio 11 ampliadoi) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de acceso a un fichero estéentre 0,125 y 0,2 segundos?
P(0,125 ≤ T ≤ 0,2) = P(T ≤ 0,2) - P(T ≤ 0,125) =
= F(0,2) - F(0,125) = 0,25 – 0,0625 = 0,1875
Calculado anteriormente
la probabilidad de que la variable tome valores dentro de cualquier intervalo que nos interese se puede calcular
como: P(a < X £ b) = F(b) - F(a)
¡Recordar! UT5
Propiedades de F(x)
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Lower limit,Upper limit0,1,0,5
Uniform Distribution
x
cum
ulat
ive p
roba
bility
-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70
0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
Gráficamente: F(x) T ~ U (0,1, 0,5)
P(T < 0,125) = P(T ≤ 0,125) = F(0,125) = 0,0625
F(x)
T
0,0625
0,125
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Ejercicio 11 ampliado
Con los datos anteriores:
Sea Y el tiempo que se tarda en acceder consecutivamente a 10 ficheros situados al azar en el disco.
j) ¿Cuánto valdrá en promedio Y?
k) ¿Cuál sería la varianza de Y?
l) ¿Aproximadamente entre qué valores fluctuará Y en el 95% de los casos? Se verá en la U4-3 y UD5
¡Recordar! UT4-0
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La distribución ExponencialReliability
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones25
• Esta distribución es frecuentemente utilizada para modelar el comportamiento de variables que representan:
• Vida o duraciones de equipos y/o componentes (Fiabilidad y Teoría de Supervivencia):
• Tiempo hasta el fallo en equipos industriales
• Tiempo hasta el fallo de componentes electrónicos, …
• Tiempo que se tarda en realizar un proceso (Sistemas de Colas):
• Tiempo de espera en cola hasta que un proceso es atendido.
• Tiempo de ejecución de una instrucción,…
4– Distribución Exponencial
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4– Distribución Exponencial: Definición • Una v.a X sigue una distribución Exponencial cuando la v.a.
representa :• el tiempo que transcurre hasta que se produce un determinado
suceso o evento.• el tiempo transcurrido entre dos sucesos consecutivos.• Los valores que puede tomar son siempre mayores o iguales a 0
(R+)
• Se simboliza como:
X~Exp( )a! es la tasa de ocurrencia del suceso o evento
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Función de densidad-= ³xf(x) e x 0aa
= <f(x) 0 x 0
Mean210,66666
Exponential Distribution
x
dens
ity
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0,20,40,60,8
11,21,41,6
α=0,5α=1α=1,5
Mean210,66666
Exponential Distribution
x
dens
ity
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0,20,40,60,8
11,21,41,6
Mean210,66666
Exponential Distribution
x
dens
ity
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0,20,40,60,8
11,21,41,6
Mean210,66666
Exponential Distribution
x
dens
ity
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0,20,40,60,8
11,21,41,6
f(x)
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F(x) y Esperanza Matemática• La probabilidad acumulada P(X ≤ x), x ≥ 0 puede obtenerse sin más que
integrar la función de densidad f(x) entre 0 y x.• El resultado proporciona la siguiente función:
=E(X 1)a
=221( )Xsa
media varianza
¡Recordar! UD4-Parte 1
Cómo se calcula la Esperanza matemática
P(X > t) = e-at! " ≤ $ = & − ()∝$ " ≥ ,! " ≤ $ = , " < ,
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Histograma y Función de densidad
X ~ Exp (1/3)
Histogram
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30X
0
2
4
6
8
10
percentage
Mean3
Exponential Distribution
0 3 6 9 12 15 18x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
dens
ity
población
muestra
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
Frecuencias y Probabilidades acumuladas
P(X ≤ x)
Mean3
Exponential Distribution
0 3 6 9 12 15 18x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1cu
mul
ativ
e pr
obab
ility
X ~ Exp (1/3)
Histogram
-2 8 18 28 38X
0
20
40
60
80
100
percentage
poblaciónmuestra
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Fiabilidad de un componente
• Si X (Tiempo que transcurre hasta que se avería un componente electrónico) sigue una distribución Exponencial de parámetro α, X es tal que la probabilidad P(X > t) disminuye exponencialmente conforme aumenta t.• P(X > t) proporciona lo que se conoce por Fiabilidad del componente a
las t unidades de tiempo (horas, días, etc.) o Reliability
S(t) = P(X > t) = e-at
Función de Fiabilidad o Supervivencia
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Fiabilidad de un componente
P(X > t) = e-at
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Ejercicio 12 ampliado
La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan o dejan defuncionar correctamente) de las pantallas LCD de gama media fluctúaexponencialmente. Se sabe que la vida media de las pantallas es de 40años, suponiendo un funcionamiento de 4 horas al día.
a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?
b) ¿Cuál es la población asociada?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla sea exactamente 5 años?
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Ejercicio 12 ampliado
d) ¿Qué porcentaje de las pantallas durarán más de 10 años?
e) Suponiendo que las pantallas tienen 1 año de garantía, ¿Qué porcentaje de las mismas tendrán que usar la garantía?
f) ¿Cuál es la media de la duración de las pantallas? ¿y la desviación típica?
g) ¿Cuál es la mediana de la duración de estas pantallas LCD?
h) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla estéentre 5 y 10 años?
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La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan) de las pantallas LCD de gama media fluctúa exponencialmente. Se sabe que la vida media de las pantallas es de 40 años, suponiendo un funcionamiento de 4 horas al día.a) ¿Cuál es la variable aleatoria implicada en el estudio? ¿quédistribución sigue? ¿es continua o discreta?
Variable aleatoria T: duración de la pantalla hasta que falla E = {0, 0,1, 0,123, …, ¥} años
T ~ Exp(a)b) ¿Cuál es la población asociada?Población = {todas las pantallas LCD de esas características que se fabriquen}
Continua
Ejercicio 12 ampliado
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c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla sea exactamente 5 años?
d) ¿Qué porcentaje de las pantallas durarán más de 10 años?
P(T = 5) = 0
P(T > 10) = P(T ≥ 10) = F(10)
P(T > 10) = P(T ≥ 10) = 1 - P(T ≤ 10) =¿Cuánto vale a?= 1- F(10) = 1- (1-e-a10) = e-a10
Se sabe:E(T) = media = promedioE(T) = 1/a
= 40 años= 40 años a = 1/40
Ejercicio 12 ampliado
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P(T > 10) = P(T ≥ 10) = e-a10 = e-10/ 40 = 0,7788
El 77,88% de las pantallas durarán más de 10 años
e) Suponiendo que las pantallas tienen 1 año de garantía, ¿qué porcentaje de las mismas tendrán que usar la garantía?
P(T < 1) = P(T ≤ 1) = F(1) = 1- e-1/ 40 = 0,025El 2,5% de las pantallas tendrán que usar la garantía
f) ¿Cuál es la media de la duración de una pantalla? ¿y la desviación típica?
1E( ) 40 añosTa
= =
2 221( ) E( ) 1600 añT oT sa
s = = =
( ) 1600 40 aT ñoss= = =Desv. Típica
Ejercicio 12 ampliado
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g) ¿Cuál es la mediana de la duración de estas pantallas LCD?
P(T ≤ med) = P(T ³ med) = 0,5 = e-med/ 40
(50% de los valores de T) £ mediana £ (50% de los valores de T)
Ln( 0,5 ) = ln (e-med/ 40 ); Ln( 0,5 ) = - med/ 40; med = 27,72 años
h) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de una pantalla esté entre 5 y 10 años?
P(5 ≤ T ≤ 10) = F(10) - F(5) = 1- (1-e-a10) - [1- (1-e-a5) ] =
= e-5/ 40 - e-10/ 40 = 0,8825 – 0,7788 = 0,1037
¡Recordar! UT5 Función de Distribución. Propiedades
P(a < X £ b) = F(b) - F(a)
Ejercicio 12 ampliado
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Gráficamente: f(t) T ~ Exp (α= 1/40)
Mean40
0 20 40 60 80 100 120140 160180 200220 2400
0,0030,0060,0090,0120,0150,0180,0210,0240,027
T ≥ 0
f(t)
10
El área rayada bajo la curva es
la probabilidad: P(T > 10)
0,7788
Esto es válido para cualquier distribución de probabilidad de v.a.continua. Sólo cambiará la forma de las áreas.
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
Gráficamente: f(t) T ~ Exp (α= 1/40)
Mean40
0 20 40 60 80 100 120140 160180 200220 2400
0,0030,0060,0090,0120,0150,0180,0210,0240,027
T ≥ 0
f(t)
10
El área que queda debajo de f(t) representa
toda la probabilidad (1).
En el ejemplo es el área rayada en azul.
Si al área en azul le quitamos el área rayada
en rojo queda el área correspondiente a la
probabilidad P(T < 10)
P(T < 10) = 1 - P(T > 10) = 0,2212
0,7788
0,2
21
2
Esto es válido para cualquier distribución de probabilidad de v.a.
continua. Sólo cambiará la forma de las áreas.
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
Gráficamente: F(t) T ~ Exp (α= 1/40)
T ≥ 0
F(t) Mean40
Exponential Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
0 40 80 120 160 200 2400
0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
10
0,2212P(T < 10)
P(T < med)
27,72
P(T ≤ mediana) = 0,5 = P( T ≥ mediana) Para cualquier distribución
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Gráficamente: relación f(t) y F(t)
Mean40
0 20 40 60 80 100 120140 160180 200220 2400
0,0030,0060,0090,0120,0150,0180,0210,0240,027
10
0,7788
T ≥ 0
Mean40
Exponential Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
0 40 80 120 160 200 2400
0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
10
0,2212P(T < 10)
F(t)
f(t)
0,2212
T ~ Exp (α= 1/40)
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Ejercicio 13
El tiempo transcurrido hasta el fallo de un componente electrónico sigue una distribución exponencial cuya mediana es 69,3 horas.
a) ¿Qué porcentaje de los componentes tendrán una duración superior a 90 horas?
b) ¿Cuál es el tiempo de vida medio?
c) Sabiendo que ya han transcurrido 300 horas sin que se produzca ningún fallo, ¿cuál es la probabilidad de que en las próximas 50 horas el componente funcione correctamente?
Sol: a) 40,6% b) 100 h c) 0’606
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
Ejemplo: la probabilidad de que un sistema siga funcionando (sin fallar) dentro de 2 años (x) es la misma para un sistema que a fecha de hoy lleva funcionando 5 años (x0) que para otro lleva 10 años (x’0) sin fallar.
PropiedadLa probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando
la distribución exponencial no tiene memoria
0
0
xx )(00
x0 0
xP(X x ) eX xP eX x P(X x )xx
e
aa
a
+--
-
> +> +æ ö = = =ç ÷> >è ø
00
xX xP P(Xx ) eX x x a-> +æ ö = > =ç ÷>è ø
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Ejercicio 14
La duración T (horas de funcionamiento hasta que fallan) de ciertos componentes electrónicos fluctúa aleatoriamente siguiendo una distribución exponencial. Se sabe que las componentes duran en promedio 400 horas.
Estos componentes se utilizan para el montaje de un dispositivo electrónico (D) que debe conectar dos bornes A y B. Se desea que el dispositivo tenga una fiabilidad de al menos 99% a las 400 horas.
Con el fin de garantizar esta fiabilidad se montan en paralelo N componentes del tipo estudiado. ¿Cuánto debe valer como mínimo N?
DEIOAC – Estadística – Prof. E. Vázquez UD-4 Distribuciones
v.a T ={horas de funcionamiento hasta el fallo del componente electrónico}m = E(T) = duración media del componente = 400 hT ~ Exp(a=1/400)
Aplicaciones a la fiabilidad
A1
A2
An
..........
D
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Aplicaciones a la fiabilidad
SUCESOSA1 = Duración componente 1 > 400h
A2 = Duración componente 2 > 400h
..........................................................
An = Duración componente n > 400h
D = Duración de las n componente en paralelo > 400h
P(T>400)=e-(400/400) = 0,367 à P(A1) = P(A2) = ..... = P(An) = 0,367
Fiabilidad de D: al menos 99% a las 400 horas
P(Duración dispositivo > 400h) ³ 0,99 à P(D) ³ 0,99
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Aplicaciones a la fiabilidad
( ) ( ..... ) ( ..... ) ( ...... )= + + + = - + + + = - =n n nP D P A A A P A A A P A A A1 2 1 2 1 21 1
[ ] [ ]( ) ( )..... ( ) ( ) , ,é ù é ù= - = - = - - = -ë û ë ûn n n
n iP A P A P A P A1 21 1 1 1 0 367 1 0 632
[ ] [ ]( ) , , ; , , ;= - ³ £n nP D 1 0 632 0 99 0 632 0 01
[ ] ln( , )ln , ln( , ); ln( , ) ln( , ); ,ln( , )
£ £ ³ =n n n 0 010 632 0 01 0 632 0 01 10 03590 632
n ³ 11
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Ejercicios
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Ejercicio 1
En el Departamento de Consultas de una empresa informática se sabe que el tiempo de procesado de éstas (T) se distribuye como una exponencial de parámetro α y que se requieren menos de 10 segundos para procesar el 95% de las consultas.a) ¿Cuánto vale en promedio el tiempo de procesado?.
b) ¿Qué probabilidad tienen los clientes de esperar más de 20 segundos en una consulta?
c) ¿Cuánto tiempo tienen que transcurrir para que el 50% de las consultas se hayan procesado? ¿A qué parámetro de los estudiados corresponde este valor?
Sol: a) 200 s b) 0,904 c) 138’63 s
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Ejercicio 2
El tiempo medio de impresión de láminas en un determinado plottervaría uniformemente entre 3 y 5 minutos.
a) ¿Cuál será el tiempo medio de impresión de 50 láminas?
b) ¿Y la desviación típica?
c) Calcula la probabilidad de que se necesite más de 199 minutos para imprimir 50 láminas.
Sol: a) 200 min b) 4,08d min c) Solo plantear. Se hará después de ver la Normal
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Ejercicio 3 (Examen ETSINF)
Un dispositivo está formado por seis componentes idénticos (CA, CB, CC, CD, CE, CF) montados como aparece en la siguiente figura:
Se sabe que el tiempo de funcionamiento de cada componente hasta el fallo sigue una distribución exponencial de mediana 650 horas.
CA
CB
CC
CD
CE
CF
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Ejercicio 3 (Examen ETSINF)
a) Sabiendo que una componente lleva funcionando 300 horas, ¿cuál es la probabilidad de que siga funcionando correctamente más de 400 horas en total?. (5 puntos)
b) Asumiendo que las 6 componentes del dispositivo funcionan independientemente, calcular la fiabilidad del dispositivo a las 800 horas y definir todas las variables y sucesos empleados. (5 puntos)
Sol: a) 0,899 b) 0,22
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Ejercicio 4 (Práctica GII)
Una empresa que fabrica chips considera un chip defectuoso si su vida no supera las 100 horas de funcionamiento. Sabiendo que la duración en horas de un chip sigue una distribución exponencial de media 100 horas. Se pide:a) Si un chip lleva 500 horas funcionando, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total de funcionamiento del mismo sea superior a las 1000 horas?b) Esta empresa vende los chips que fabrica en cajas de 50 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que una caja contenga más de un chip defectuoso?
Sol: a) 0,6065 b) 0,9575
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Ejercicio 5 (Examen)
3. A un procesador llegan lotes de código para su procesamiento. El tiempo de procesamiento de un lote se distribuye exponencialmente con media 3 unidades de tiempo (u.t.).
Calcular:
a) Probabilidad de que el procesamiento de un lote dure más de 5 u.t.?
b) Si un lote lleva procesándose 2 u.t. ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total de procesamiento sea inferior a 5 u.t.?
c) Si se extraen 10 lotes al azar ¿cuál es la probabilidad de que 8 o más tengan un tiempo de procesamiento mayor de 3 u.t.?
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Ejercicio 5 (Examen)
a) v.a. T = {Tiempo de procesamiento de un lote} ~ Exp(a=1/3)
P(T>5)=e-(1/3)x5 = 0,189
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( )< < > - > -< = = = => > >
P T P T P T e eTP T P T P T e
523 3
23
2 5 2 55 0 6312 2 2
P(X < 3)
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Ejercicio 5 (Examen)
c) v.a. Y = {Nº de lotes, en un grupo de 10 cuyo tiempo de procesamiento es > 3 ut}
Y~ B(n=10, p=P(T>3)=0,368) P(T>3)=e-3/3 = 0,368
( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
³ = = + = + = =
æ ö æ ö æ ö= + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
P Y P T P T P T
x x x8 2 9 1 10 0
8 8 9 10
10 10 100 368 0 362 0 368 0 362 0 368 0 362 0 007
8 9 10
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Objetivos de aprendizaje
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Objetivos de aprendizaje• Para aprobar esta UD, deberás de ser capaz de resolver problemas de
Estadística sobre las distribuciones continuas Uniforme y Exponencial del tipo que aparecen en las Unidad Didáctica 4, en las transparencias, en los exámenes de otros cursos y en las Presentaciones (todos estos documentos los tienes disponibles en PoliformaT).
• Para ello deberás ser capaz de…
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Debes ser capaz de…
• Identificar y definir la o las variables aleatorias implicadas en un ejercicio 1
• Precisar y escribir correctamente la distribuciónde probabilidad que sigue o siguen las variables definidas y sus parámetros (U y Exp)2
• Calcular las probabilidades asociadas a dichas variables3
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Debes ser capaz de …Como ves, para resolver un ejercicio hay adquirir cierto grado de competencia en diferentes niveles:
• Calcular probabilidades asociadas a la distribución Exponencial (Exp)
• Calcular los parámetros poblacionales (m, s2 y s) de variables aleatorias continuas (independientes entre sí) (Exp y U)
• Calcular los parámetros poblacionales (m, s2 y s) de una combinación lineal de variables aleatorias continuas Uniformes e independientes entre sí.
• Precisar y escribir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua (U y Exp)
• Identificar las variables aleatorias que aparecen implícitamente o explícitamente en el enunciado de un problema y definirlas correctamente
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Fases en la resolución de problemas
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Resolución de problemas
1 • ¿Qué nos piden calcular?
2 • ¿Cuál es la variable aleatoria?
3 • ¿Cuál es la población asociada?
4 • ¿v.a. continua o discreta?
5 • ¿Qué distribución (modelo) sigue?
6 • ¿Cuáles son sus parámetros?
7 • Calcula las probabilidades solicitadas
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Fin
Fuentes: Romero y Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería”Estas transparencias NO son unos apuntes, son solo un guión de las explicaciones hechas en clase y algunos ejemplos adicionales.
Elaborado por: Prof. E. Vázquez
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