-
CAPITOLUL 11
DEFORMAIILE GRINZILOR SOLICITATE LA NCOVOIERE
11.1. Starea plan de deformaie Un element de volum
paralelipipedic dintr-un element de rezisten solicitat se afl n
stare plan de deformaie dac au loc deformaii ntr-un singur plan
(xOy). n acest caz tensorul deformaiilor specifice este:
=yyx
xyx
5,05,0
T
Considerm elementul de volum ABCD, de grosime unitar, cu
laturile AB de
lungime dx, BC de lungime dy, n planul xOy (Fig.11.1).
Fig.11.1 Datorit solicitrilor exterioare elementul de volum
sufer att o deplasare, ct
i o deformare. Poziia i forma final a elementului, A1B3C3D3, se
obine printr-o
-
Capitolul 11 142
suprapunere de deplasri i deformri: 1) o deplasare liniar, de
vector 1AA , avnd componentele u (deplasarea pe
orizontal) i v (deplasarea pe vertical). n urma acestei deplasri
elementul de volum ajunge n poziia A1B1C1D1.
2) deformarea liniar a laturilor elementului de volum (muchiile
se lungesc sau se scurteaz), acesta ajungnd n poziia A1B2C2D2.
3) deformarea unghiular a elementului de volum, prin rotirea
muchiilor cu unghiurile < xy i < yx , elementul ajungnd n
poziia A1B3C3D3.
Analizm deplasrile diferitelor puncte ale elementului de volum:
a. Punctul A, de coordonate (x;y) ajunge n poziia A1, vectorul
deplasare
total AA1 avnd componentele u i v. b. Punctul B(x+dx;y) ajunge n
punctul B3, vectorul deplasare total BB3
avnd componentele:
dxxvvv;dx
xuuu BB
+=
+=
c. Punctul D ajunge n D3, componentele vectorului deplasare
fiind:
dyyvvv;dy
yuuu DD
+=
+=
Cu ajutorul acestor deplasri se pot calcula deformaiile
specifice ale
elementului de volum. Deformaiile specifice liniare ale
muchiilor elementului de volum:
( )xu
dx
udxxuu
dxdxuudx
dxdxuAE
ABABBA B21
x
=
+=
+=
=
=
(11.1)
( )yv
dy
vdyyvv
dydyvvdy
dydyVAF
ADADDA D21
y
=
+=
+=
=
=
Deformaia specific unghiular Unghiurile < xy i < yx cu
care se modific unghiurile iniial drepte ale elementului de
volum:
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 143
=
++
+=
+
=
==udx
xuudx
vdxxvv
uudxvv
uAEEBEB
BABBtg
B
B23
21
32xy
x1xv
dxxu1
dxxv
+
=
+
=
Deoarece unghiul xy este foarte mic i deformaia specific liniar
x
-
Capitolul 11 144
11.2. Ecuaia diferenial a fibrei medii deformate Studiul
deformaiilor grinzilor solicitate la ncovoiere este important att n
problemele n care se impun condiii de rigiditate (anumite valori
pentru deformaii) ct i n rezolvarea sistemelor static
nedeterminate. n acest studiu se cerceteaz forma pe care o ia dup
ncovoiere axa geometric a unei bare drepte. Aceast form este o curb
plan, numit fibra medie deformat a barei (f.m.d.) sau linie
elastic.
Fig.11.2
Starea de deformaie dintr-o seciune oarecare K de ordonat x a
unei grinzi solicitate la ncovoiere (Fig.11.2.a) se caracterizeaz
prin urmtoarele mrimi:
a. Deplasarea centrului de greutate al seciunii transversale. n
Fig.11.2.b. s-a reprezentat seciunea K nainte i dup deformare. Se
observ
c centrul de greutate al seciunii G sufer o deplasare liniar, de
componente v deplasarea vertical i u deplasarea orizontal.
Deplasarea orizontal u este
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 145
neglijabil n raport cu deplasarea vertical, deci se consider c
centrul de greutate al seciunii sufer doar o deplasare vertical.
Aceasta se mai numete i sgeat.
Legea de variaie a sgeii n lungul axei grinzii reprezint tocmai
ecuaia analitic a fibrei medii deformate v(x).
b. Rotirea seciunii transversale Din Fig.11.2.b. se observ ca
seciunea K se rotete cu unghiul . Unghiul de
rotire fiind foarte mic se poate aproxima prin tangenta sa:
)x('vdxdvtg == (11.3)
Problema const n stabilirea legilor de variaie v(x) i ( ) (
)x'vdxdvx == .
Notm cu raza de curbur a fibrei medii deformate n seciunea
considerat K (Fig.11.2.a). n capitolul 6.1 s-a demonstrat c pe o
fibr a seciunii de cot y tensiunea normal produs de un moment
ncovoietor are expresia:
yE
= (11.4)
Utiliznd formula lui Navier ( )y
IxM
z
= i relaia (11.4) se poate determina
curbura fibrei medii deformate:
( )
zEIxM1
=
(11.5)
Din geometria diferenial se cunoate relaia diferenial a curburii
unei curbe plane de ecuaie v(x):
23
2
2
2
dxdv1
dxvd
1
+
=
Deoarece ne aflm n domeniul deformaiilor mici se poate considera
c:
dxdv
-
Capitolul 11 146
22
dxvd1
=
(11.6)
Deoarece un moment ncovoietor pozitiv micoreaz curbura fibrei
medii deformate, n relaia (11.6) se va utiliza semnul minus. Din
(11.5) i (11.6) se va obine ecuaia diferenial a fibrei medii
deformate:
22
dxvd ( )
zEIxM
= (11.7)
innd cont de relaia diferenial dintre eforturi i sarcini
22
dxMd
dxdTp ==
se obin urmtoarele relaii difereniale:
33
dxvd ( )
zEIxT
= ; 44
dxvd ( )
zEIxp
=
11.3. Metoda integrrii analitice a ecuaiei difereniale a fibrei
medii deformate Dac grinda are un singur tronson i se cunoate
funcia de efort M(x), ecuaia diferenial (11.7) se rezolv printr-o
dubl integrare:
( ) 1z CdxxMdxdvEI +=
(11.8)
( ) ( )[ ] 21z CdxCdxxMxvEI +
+=
C1 i C2 sunt constante de integrare. Dac grinda are n tronsoane,
numrul constantelor de integrare este 2n, pe fiecare tronson funcia
de efort M(x) fiind diferit. Considerm grinda cu dou tronsoane (I,
II), simplu rezemat din Fig.11.3. Se noteaz cu v2I, 2I sgeat,
respectiv rotirea seciunii 2, calculat utiliznd funcia de efort
M(x) de pe tronsonul I. n mod analog, v2II, 2II reprezint sgeata,
respectiv rotirea aceleiai seciuni calculat utiliznd funcia de
efort M(x) de pe tronsonul II. Utiliznd relaiile (11.8) pe cele dou
tronsoane vor apare 4 constante de integrare.
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 147
Fig.11.3
Determinarea constantelor de integrare se face impunnd dou
tipuri de condiii:
a. Condiii la limit
- n reazeme sgeile sunt nule: 0vv 31 == - n ncastrri att sgeile
ct i rotirile sunt nule: 0,0v == (fibra medie
deformat este tangent la axa nedeformat a grinzii).
b. Condiii de continuitate a fibrei medii deformate
Prin natura sa fizic fibra medie deformat trebuie s fie continu,
fr puncte de inflexiune, adic n fiecare punct al axei grinzii
tangenta este unic. Pentru grinda din Fig.11.3. cele dou condiii de
continuitate sunt:
II2I2II2I2 ,vv ==
Pentru exemplificarea metodei integrrii analitice a ecuaiei
difereniale a fibrei medii deformate se consider grinda de
rigiditate constant ( ctEIz = ) din Fig.11.4, ncastrat la un capt i
ncrcat n captul liber cu o for concentrat.
-
Capitolul 11 148
Fig.11.4
Funcia de efort M(x): ( ) FxxM = Aplicnd relaiile (11.8) se
obin:
12
1z C2xFCFxdx
dxdvEI +=+= ( )
+= 1
2
z
C2
xFEI1x
( ) 212
z CdxC2xFxvEI +
+= ( )
++= 21
3
z
CxC6xF
EI1xv
Din condiiile la limit (n ncastrare) se determin constantele C1,
C2:
( ) 02 = 2FC0C2F2
11
2
==+
( ) 0v2 = 3F6F2FC0CC6F333
221
3
===++
Funciile (x) i v(x):
( ) ( )22z
xEI2Fx =
( ) ( )323z
2x3xEI6Fxv +=
Cu ajutorul acestor funcii se poate determina rotirea i sgeata
oricrei seciuni a grinzii n funcie de distana pn la captul liber x.
De exemplu, rotirea i sgeata maxim din seciunea 1 se calculeaz
pentru 0x = :
( )z
2
max EI2F0 == ; ( )
z
3
max EI3F0vv ==
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 149
11.4. Metoda Mohr- Maxwell de calcul a deformaiilor Aceast metod
de calcul face parte din categoria metodelor energetice. Aceste
metode se bazeaz pe expresiile energiei de deformaie a elementelor
de rezisten solicitate. Sub efectul solicitrilor exterioare
corpurile se deformeaz. Ca urmare, punctele de aplicaie ale forelor
sufer deplasri, deci forele i momentele exterioare produc lucru
mecanic. Ct timp solicitrile se afl n domeniul elastic, lucrul
mecanic produs de solicitrile exterioare se acumuleaz practic n
ntregime ca energie potenial a corpului deformat. Mohr i Maxwell au
stabilit urmtoarele expresii pentru deformaii:
( ) ( )dx
IExmxMv
n
1i zii
ii
i
=
= (11.9)
( ) ( )dx
IExmxMn
1i zii
,ii
i
=
= (11.10)
n expresiile (11.9) i (11.10) n este numrul de tronsoane al
grinzii; Mi(x) funcia de efort moment ncovoietor produs de forele
exterioare pe tronsonul i; Ei modulul de elasticitate longitudinal
al materialului grinzii pe tronsonul i i Izi momentul de inerie
axial al seciunii grinzii pe tronsonul i. Pentru calculul deplasrii
liniare verticale sau orizontale a unei seciuni oarecare a grinzii,
v sau u, se ncarc grinda, eliberat de toate ncrcrile exterioare, cu
o for unitar ( 1f = ) n seciunea respectiv pe direcia deplasrii
care trebuie determinat (v pe vertical, u pe orizontal). Pentru
aceast ncrcare se determin funciile de efort mi(x) pe toate
tronsoanele grinzii i se aplic relaia (11.9). Pentru calculul
rotirii unei seciuni a grinzii, , se ncarc grinda eliberat de toate
ncrcrile exterioare cu un moment ncovoietor unitar ( 1m = ) n
seciunea respectiv, se determin funciile de efort ( )xm,i pe
tronsoanele grinzii, aplicndu-se apoi relaia (11.10). Pentru
exemplificare, vom determina pentru grinda din Fig.11.4 sgeata i
rotirea seciunii de capt 1 prin metoda Mohr-Maxwell. n Fig.11.5.
s-a reprezentat grinda ncrcat cu fora exterioar F, cu o for unitar,
respectiv cu un moment unitar n seciunea 1.
Funcia de efort M(x) pentru ncrcarea cu fora F este: ( ) FxxM
=
Pentru calculul deplasrii verticale v1 a seciunii 1 se ncarc
grinda cu o for unitar vertical n seciunea 1 i se determin funcia
de efort m(x):
( ) x1xm =
-
Capitolul 11 150
Fig.11.5
Utiliznd relaia (11.9) pentru un singur tronson va rezulta:
( )( )z
3
0
3
z0 z1 EI3
F3x
EIFdx
EIx1Fxv ===
Pentru calculul rotirii 1 a seciunii 1 se ncarc grinda cu un
moment unitar n seciunea 1 i se determin funcia de efort m(x):
( ) 1xm, = Aplicnd relaia (11.10) va rezulta rotirea seciunii
1:
( )( )z
2
0
2
z0 z1 EI2
F2
xEIFdx
EI1Fx
==
= Se observ c metoda Mohr-Maxwell necesit un volum de munc mult
mai mic dect metoda integrrii analitice a ecuaiei difereniale a
fibrei medii deformate, putnd fi utilizat att la bare drepte ct i
la bare curbe. 11.5. Regula de integrare grafic a lui Vereceaghin n
formula Mohr-Maxwell apare sub integral produsul a dou funcii M(x)
i m(x), ultima funcie fiind, la barele drepte, liniar. Considerm o
poriune din diagramele de efort M, respectiv m pentru o grind
dreapt (Fig.11.6).
Notm cu aria de sub diagrama M, G centrul de greutate al ariei ,
xG poziia centrului de greutate G n raport cu originea axei Ox i
yG=c valoarea momentului m (diagrama m) n dreptul centrului de
greutate G.
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 151
Fig.11.6 Consideram un element de arie d de lungime dx i nlime M
la ordonata oarecare x: Mdxd = . Acestui element de arie i
corespunde valoarea m, de pe diagrama m. Integrala Mohr Maxwell
este:
==== xdtgdxtgmdMmdxI
Mrimea
xd reprezint un moment static al suprafeei de arie , deci se
poate scrie: ==
GxxdS .
Integrala Mohr-Maxwell devine: === cytgxI GG (11.11) n concluzie
integrala Mohr-Maxwell este egal cu produsul dintre aria de sub
diagrama M i ordonata c pe care o are diagrama m n dreptul
centrului de greutate al ariei .
n cazul cnd grinda are n tronsoane deformaia (sgeata sau
rotirea) se calculeaz cu relaia (11.12):
=
=
n
1i zii
ii
IEc
(11.12)
-
Capitolul 11 152
La aplicarea acestei metode se ine cont de urmtoarea regul de
semn: - dac ambele diagrame, M i m, sunt de aceeai parte a axei Ox
produsul
ici este pozitiv, - dac cele dou diagrame nu sunt de aceeai
parte a axei Ox produsul ici
este negativ. Regula de integrare grafic Vereceaghin este
aplicabil doar n cazul barelor
drepte. 11.6. Aplicaii I. Pentru grinda din Fig.11.7.a. se
cunosc m5,o;Nmm10EI 12z == i .m/KN24p = Se cer sgeata seciunii 3,
v3 i rotirea seciunii 2, 2.
Pentru rezolvarea acestei probleme se aplic metoda integrrii
grafice
Verceaghin. Diagrama de moment se traseaz prin metoda
suprapunerii efectelor. n Fig.11.7.b. s-a reprezentat grinda ncrcat
doar cu sarcina uniform distribuit p i diagrama de moment pentru
aceast ncrcare Mp. n Fig.11.7.c. s-a reprezentat grinda ncrcat doar
cu fora F i diagrama de moment pentru aceast ncrcare MF. Diagrama M
se obine prin suprapunerea celor dou diagrame Mp i MF. Ariile
diagramei de moment i vor fi:
32
1 p32
2p2
32
==
32
2 p32p32
=
=
32
3 p23
2p3
=
=
Pentru calculul sgeii seciunii 3 se ncarc grinda cu o for unitar
vertical
n seciunea 3 i se traseaz diagrama mv pentru aceast ncrcare
(Fig.11.7.d). Din aceast diagram vor rezulta ordonatele ci din
dreptul centrelor de greutate Gi ale ariilor i:
32cc;
2c 321 ===
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 153
Fig.11.7. a, b, c
-
Capitolul 11 154
Fig.11.7.d, e Sgeata seciunii 3 se calculeaz cu relaia
(11.12):
( )
++=++=
=
=
444
z332211
z
n
1i zii
ii3 pp2p3
1EI1ccc
EI1
IEc
v
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 155
mm99,310
5002466,2EI
p66,2v 124
z
4
3 =
==
Pentru calculul rotirii seciunii 2 se ncarc grinda cu un moment
unitar n seciunea 2 i se traseaz diagrama m pentru aceast ncrcare
(Fig.11.7.e). Din aceast diagram vor rezulta ordonatele ,ic din
dreptul centrelor de greutate Gi ale ariilor i:
;121c,1 = ;13
2c,2 = 0c,3 =
Rotirea seciunii 2 va fi:
( ) =
=+=
=
=
33
z
,22
,11
z
n
1i zii
,ii
2 p2p31
EI1cc
EI1
IEc
z
3
EIp66,1
rad108,410
5002466,1 312
3
2=
=
Semnul minus arat c rotirea seciunii 2 nu se produce n sensul
momentului ncovoietor unitar (ales arbitrar), ci n sens invers. II.
Pentru cadrul plan din Fig.11.8.a, de rigiditate constant EIz se
cer:
a. deplasarea orizontal a seciunii 1, u1 b. rotirea seciunii 1,
1 c. deplasarea vertical a seciunii 2, v2
Deoarece cadrul plan are o poriune curb (tronsonul 1-2) metoda
integrrii
grafice nu este aplicabil. Se va utiliza metoda Mohr-Maxwell. Pe
o bar curb elementul de lungime dx este de fapt un element de arc
de cerc
ds, acesta exprimndu-se prin unghiul la centru d: == Rddsdx . n
acest caz formula Mohr-Maxwell devine:
( ) ( )
= =
RdIEmMn
1i zii
ii
-
Capitolul 11 156
Fig.11.8
Funcia de efort M pe tronsoane: Tronsonul 1-2, [0,/2]: M)= -Ft=
-FRsin Tronsonul 2-3, x[0,R] : M(x)= -FR Pentru calculul deplasrii
orizontale u1 se ncarc bara cu o for unitar orizontal n seciunea 1,
ca n Fig.11.8.b, stabilindu-se funciile de efort mu pe tronsoane
pentru aceast ncrcare: Tronsonul 1-2: mu()= - 1 Rsin Tronsonul 2-3:
mu(x)= - R1 Calculul deplasrii orizontale u1
( ) ( ) ( ) ( ) +=+= R
0
22/
0
23R
0u
2/
0u1z dxFRdsinFRdxxmxMRdmMuEI
-
Deformaiile grinzilor solicitate la ncovoiere 157
=1zuEI =+
=+
32/
0
2/
0
2/
03R
023 FR
42sin
21FRxFRd
22cos1FR
+
=
+
= 14EI
FRu14
FRz
3
13
Pentru calculul rotirii 1 se ncarc bara cu un moment ncovoietor
unitar n seciunea 1, ca n Fig.11.8.c, stabilindu-se funciile de
efort m pentru aceast ncrcare: Tronsonul 1-2: m()= - 1 Tronsonul
2-3: m(x)= - 1 Calculul rotirii 1
( ) ( ) ( ) ( ) =+=+=
R
0
2/
0
2R
0
2/
01z FRdxdsinFRdxxmxMRdmMEI
z
2
1222/
02
EIFR2FR2FRcosFR ==+=
Pentru calculul deplasrii verticale v2 se ncarc bara cu o for
unitar
vertical n seciunea 2, ca n Fig.11.8.d, stabilindu-se funciile
de efort mv pentru aceast ncrcare: Tronsonul 1-2: mv()=0 Tronsonul
2-3: mv(x)= - x1 Calculul deplasrii verticale v2
( ) ( )2
FR2xFRFRxdxdxxmxMvEI
3R
0
2R
0
R
0v2z ====
z
3
2 EI2FRv =
