DEFORMAŢIILE GRINZILOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

CAPITOLUL 11

DEFORMAŢIILE GRINZILOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

11.1. Starea plană de deformaţie Un element de volum paralelipipedic dintr-un element de rezistenţă solicitat se află în stare plană de deformaţie dacă au loc deformaţii într-un singur plan (xOy). În acest caz tensorul deformaţiilor specifice este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡εγγε

=εyyx

xyx

5,05,0

T

Considerăm elementul de volum ABCD, de grosime unitară, cu laturile AB de

lungime dx, BC de lungime dy, în planul xOy (Fig.11.1).

Fig.11.1 Datorită solicitărilor exterioare elementul de volum suferă atât o deplasare, cât

şi o deformare. Poziţia şi forma finală a elementului, A1B3C3D3, se obţine printr-o

Capitolul 11 142

suprapunere de deplasări şi deformări: 1) o deplasare liniară, de vector 1AA , având componentele u (deplasarea pe

orizontală) şi v (deplasarea pe verticală). În urma acestei deplasări elementul de volum ajunge în poziţia A1B1C1D1.

2) deformarea liniară a laturilor elementului de volum (muchiile se lungesc sau se scurtează), acesta ajungând în poziţia A1B2C2D2.

3) deformarea unghiulară a elementului de volum, prin rotirea muchiilor cu unghiurile < xyα şi < yxα , elementul ajungând în poziţia A1B3C3D3.

Analizăm deplasările diferitelor puncte ale elementului de volum: a. Punctul A, de coordonate (x;y) ajunge în poziţia A1, vectorul deplasare

totală AA1 având componentele u şi v. b. Punctul B(x+dx;y) ajunge în punctul B3, vectorul deplasare totală BB3

având componentele:

dxxvvv;dx

xuuu BB ∂

∂+=

∂∂

+=

c. Punctul D ajunge în D3, componentele vectorului deplasare fiind:

dyyvvv;dy

yuuu DD ∂

∂+=

∂∂

+=

Cu ajutorul acestor deplasări se pot calcula deformaţiile specifice ale

elementului de volum. Deformaţiile specifice liniare ale muchiilor elementului de volum:

( )xu

dx

udxxuu

dxdxuudx

dxdxuAE

ABABBA B21

x ∂∂

=−

∂∂

+=

−−+=

−−=

−=ε

(11.1)

( )yv

dy

vdyyvv

dydyvvdy

dydyVAF

ADADDA D21

y ∂∂

=−

∂∂

+=

−−+=

−−=

−=ε

Deformaţia specifică unghiulară Unghiurile < xyα şi < yxα cu care se modifică unghiurile iniţial drepte ale

elementului de volum:

Deformaţiile grinzilor solicitate la încovoiere 143

=−

∂∂

++

−∂∂

+=

−+−

=−−

==αudx

xuudx

vdxxvv

uudxvv

uAEEBEB

BABBtg

B

B23

21

32xy

x1xv

dxxu1

dxxv

ε+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

∂∂

=

Deoarece unghiul αxy este foarte mic şi deformaţia specifică liniară εx<<1, se poate face aproximarea:

xvtg xyxy ∂∂

≅α≅α

În mod analog se determină unghiul αyx:

yutg yxyx ∂∂

≅α≅α

Prin definiţie deformaţia specifică unghiulară în planul xOy este unghiul total cu care se modifică unghiul iniţial drept <(BAD):

yu

xv

yxxyyxxy ∂∂

+∂∂

=α+α=γ=γ (11.2)

În cazul general al stării spaţiale de deformaţie tensorul deformaţiilor are forma:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

εγγγεγγγε

=ε

zzyzx

yzyyx

xzxyx

5,05,05,05,05,05,0

T

Notând deplasările după cele trei axe de coordonate rectangulare u, v, w, componentele tensorului deformaţiilor se calculează cu expresiile:

xu

x ∂∂

=ε ; yv

y ∂∂

=ε ; zw

z ∂∂

=ε

yu

xv

yxxy ∂∂

+∂∂

=γ=γ ; zv

yw

zyyz ∂∂

+∂∂

=γ=γ ; xw

zu

xzzx ∂∂

+∂∂

=γ=γ

Capitolul 11 144

11.2. Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate Studiul deformaţiilor grinzilor solicitate la încovoiere este important atât în problemele în care se impun condiţii de rigiditate (anumite valori pentru deformaţii) cât şi în rezolvarea sistemelor static nedeterminate. În acest studiu se cercetează forma pe care o ia după încovoiere axa geometrică a unei bare drepte. Această formă este o curbă plană, numită fibra medie deformată a barei (f.m.d.) sau linie elastică.

Fig.11.2

Starea de deformaţie dintr-o secţiune oarecare K de ordonată x a unei grinzi solicitate la încovoiere (Fig.11.2.a) se caracterizează prin următoarele mărimi:

a. Deplasarea centrului de greutate al secţiunii transversale. În Fig.11.2.b. s-a reprezentat secţiunea K înainte şi după deformare. Se observă

că centrul de greutate al secţiunii G suferă o deplasare liniară, de componente v – deplasarea verticală şi u – deplasarea orizontală. Deplasarea orizontală u este


neglijabilă în raport cu deplasarea verticală, deci se consideră că centrul de greutate al secţiunii suferă doar o deplasare verticală. Aceasta se mai numeşte şi săgeată.

Legea de variaţie a săgeţii în lungul axei grinzii reprezintă tocmai ecuaţia analitică a fibrei medii deformate v(x).

b. Rotirea secţiunii transversale ϕ Din Fig.11.2.b. se observă ca secţiunea K se roteşte cu unghiul ϕ. Unghiul de

rotire ϕ fiind foarte mic se poate aproxima prin tangenta sa:

)x('vdxdvtg ==ϕ≅ϕ (11.3)

Problema constă în stabilirea legilor de variaţie v(x) şi ( ) ( )x'vdxdvx ==ϕ .

Notăm cu ρ raza de curbură a fibrei medii deformate în secţiunea considerată K (Fig.11.2.a). În capitolul 6.1 s-a demonstrat că pe o fibră a secţiunii de cotă y tensiunea normală produsă de un moment încovoietor are expresia:

yEρ

=σ (11.4)

Utilizând formula lui Navier ( )y

IxM

z

=σ şi relaţia (11.4) se poate determina

curbura fibrei medii deformate:

( )

zEIxM1

=ρ

(11.5)

Din geometria diferenţială se cunoaşte relaţia diferenţială a curburii unei curbe plane de ecuaţie v(x):

23

2

2

2

dxdv1

dxvd

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

±=ρ

Deoarece ne aflăm în domeniul deformaţiilor mici se poate considera că:

ϕ≅dxdv

<<1. Atunci curbura fibrei medii deformate este:

Capitolul 11 146

2

2

dxvd1

±=ρ

(11.6)

Deoarece un moment încovoietor pozitiv micşorează curbura fibrei medii deformate, în relaţia (11.6) se va utiliza semnul minus. Din (11.5) şi (11.6) se va obţine ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate:

2

2

dxvd ( )

zEIxM

−= (11.7)

Ţinând cont de relaţia diferenţială dintre eforturi şi sarcini

2

2

dxMd

dxdTp ==−

se obţin următoarele relaţii diferenţiale:

3

3

dxvd ( )

zEIxT

−= ; 4

4

dxvd ( )

zEIxp

=

11.3. Metoda integrării analitice a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate Dacă grinda are un singur tronson şi se cunoaşte funcţia de efort M(x), ecuaţia diferenţială (11.7) se rezolvă printr-o dublă integrare:

( ) 1z CdxxMdxdvEI +−= ∫

(11.8)

( ) ( )[ ] 21z CdxCdxxMxvEI +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−= ∫ ∫

C1 şi C2 sunt constante de integrare. Dacă grinda are n tronsoane, numărul constantelor de integrare este 2n, pe fiecare tronson funcţia de efort M(x) fiind diferită. Considerăm grinda cu două tronsoane (I, II), simplu rezemată din Fig.11.3. Se notează cu v2I, ϕ2I săgeată, respectiv rotirea secţiunii 2, calculată utilizând funcţia de efort M(x) de pe tronsonul I. În mod analog, v2II, ϕ2II reprezintă săgeata, respectiv rotirea aceleiaşi secţiuni calculată utilizând funcţia de efort M(x) de pe tronsonul II. Utilizând relaţiile (11.8) pe cele două tronsoane vor apare 4 constante de integrare.


Fig.11.3

Determinarea constantelor de integrare se face impunând două tipuri de condiţii:

a. Condiţii la limită

- în reazeme săgeţile sunt nule: 0vv 31 == - în încastrări atât săgeţile cât şi rotirile sunt nule: 0,0v =ϕ= (fibra medie

deformată este tangentă la axa nedeformată a grinzii).

b. Condiţii de continuitate a fibrei medii deformate

Prin natura sa fizică fibra medie deformată trebuie să fie continuă, fără puncte de inflexiune, adică în fiecare punct al axei grinzii tangenta este unică. Pentru grinda din Fig.11.3. cele două condiţii de continuitate sunt:

II2I2II2I2 ,vv ϕ=ϕ=

Pentru exemplificarea metodei integrării analitice a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate se consideră grinda de rigiditate constantă ( ctEIz = ) din Fig.11.4, încastrată la un capăt şi încărcată în capătul liber cu o forţă concentrată.

Capitolul 11 148

Fig.11.4

Funcţia de efort M(x): ( ) FxxM −= Aplicând relaţiile (11.8) se obţin:

1

2

1z C2xFCFxdx

dxdvEI +=+−−= ∫ ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ϕ⇒ 1

2

z

C2

xFEI1x

( ) 21

2

z CdxC2

xFxvEI +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫ ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⇒ 21

3

z

CxC6xF

EI1xv

Din condiţiile la limită (în încastrare) se determină constantele C1, C2:

( ) 02 =ϕ 2

FC0C2

F2

11

2

−=⇒=+⇒

( ) 0v2 = ⇒3

F6

F2

FC0CC6

F333

221

3

=−=⇒=++

Funcţiile ϕ(x) şi v(x):

( ) ( )22

z

xEI2Fx −=ϕ

( ) ( )323

z

2x3xEI6Fxv +−=

Cu ajutorul acestor funcţii se poate determina rotirea şi săgeata oricărei secţiuni a grinzii în funcţie de distanţa până la capătul liber x. De exemplu, rotirea şi săgeata maximă din secţiunea 1 se calculează pentru 0x = :

( )z

2

max EI2F0 −=ϕ=ϕ ; ( )

z

3

max EI3F0vv ==


11.4. Metoda Mohr- Maxwell de calcul a deformaţiilor Această metodă de calcul face parte din categoria metodelor energetice. Aceste metode se bazează pe expresiile energiei de deformaţie a elementelor de rezistenţă solicitate. Sub efectul solicitărilor exterioare corpurile se deformează. Ca urmare, punctele de aplicaţie ale forţelor suferă deplasări, deci forţele şi momentele exterioare produc lucru mecanic. Cât timp solicitările se află în domeniul elastic, lucrul mecanic produs de solicitările exterioare se acumulează practic în întregime ca energie potenţială a corpului deformat. Mohr şi Maxwell au stabilit următoarele expresii pentru deformaţii:

( ) ( )dx

IExmxMv

n

1i zii

ii

i

∑∫=

= (11.9)

( ) ( )dx

IExmxMn

1i zii

,ii

i

∑∫=

=ϕ (11.10)

În expresiile (11.9) şi (11.10) n este numărul de tronsoane al grinzii; Mi(x) funcţia de efort moment încovoietor produs de forţele exterioare pe tronsonul i; Ei modulul de elasticitate longitudinal al materialului grinzii pe tronsonul i şi Izi momentul de inerţie axial al secţiunii grinzii pe tronsonul i. Pentru calculul deplasării liniare verticale sau orizontale a unei secţiuni oarecare a grinzii, v sau u, se încarcă grinda, eliberată de toate încărcările exterioare, cu o forţă unitară ( 1f = ) în secţiunea respectivă pe direcţia deplasării care trebuie determinată (v – pe verticală, u – pe orizontală). Pentru această încărcare se determină funcţiile de efort mi(x) pe toate tronsoanele grinzii şi se aplică relaţia (11.9). Pentru calculul rotirii unei secţiuni a grinzii, ϕ, se încarcă grinda eliberată de toate încărcările exterioare cu un moment încovoietor unitar ( 1m = ) în secţiunea respectivă, se determină funcţiile de efort ( )xm,

i pe tronsoanele grinzii, aplicându-se apoi relaţia (11.10). Pentru exemplificare, vom determina pentru grinda din Fig.11.4 săgeata şi rotirea secţiunii de capăt 1 prin metoda Mohr-Maxwell. În Fig.11.5. s-a reprezentat grinda încărcată cu forţa exterioară F, cu o forţă unitară, respectiv cu un moment unitar în secţiunea 1.

Funcţia de efort M(x) pentru încărcarea cu forţa F este: ( ) FxxM −=

Pentru calculul deplasării verticale v1 a secţiunii 1 se încarcă grinda cu o forţă unitară verticală în secţiunea 1 şi se determină funcţia de efort m(x):

( ) x1xm −=

Capitolul 11 150

Fig.11.5

Utilizând relaţia (11.9) pentru un singur tronson va rezulta:

( )( )z

3

0

3

z0 z1 EI3

F3x

EIFdx

EIx1Fxv ==

−−= ∫

Pentru calculul rotirii ϕ1 a secţiunii 1 se încarcă grinda cu un moment unitar în secţiunea 1 şi se determină funcţia de efort m’(x):

( ) 1xm, −= Aplicând relaţia (11.10) va rezulta rotirea secţiunii 1:

( )( )z

2

0

2

z0 z1 EI2

F2

xEIFdx

EI1Fx

==−−

=ϕ ∫

Se observă că metoda Mohr-Maxwell necesită un volum de muncă mult mai mic decât metoda integrării analitice a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate, putând fi utilizată atât la bare drepte cât şi la bare curbe. 11.5. Regula de integrare grafică a lui Vereşceaghin În formula Mohr-Maxwell apare sub integrală produsul a două funcţii M(x) şi m(x), ultima funcţie fiind, la barele drepte, liniară. Considerăm o porţiune din diagramele de efort M, respectiv m pentru o grindă dreaptă (Fig.11.6).

Notăm cu Ω aria de sub diagrama M, G centrul de greutate al ariei Ω, xG poziţia centrului de greutate G în raport cu originea axei Ox şi yG=c valoarea momentului m (diagrama m) în dreptul centrului de greutate G.


Fig.11.6 Consideram un element de arie dΩ de lungime dx şi înălţime M la ordonata oarecare x: Mdxd =Ω . Acestui element de arie îi corespunde valoarea m, de pe diagrama m. Integrala Mohr –Maxwell este:

∫∫∫∫ΩΩΩ

Ωα=Ωα=Ω== xdtgdxtgmdMmdxI

Mărimea ∫

Ω

Ωxd reprezintă un moment static al suprafeţei de arie Ω, deci se

poate scrie: Ω=Ω= ∫Ω

GxxdS .

Integrala Mohr-Maxwell devine: Ω=Ω=Ωα= cytgxI GG (11.11) În concluzie integrala Mohr-Maxwell este egală cu produsul dintre aria Ω de sub diagrama M şi ordonata c pe care o are diagrama m în dreptul centrului de greutate al ariei Ω.

În cazul când grinda are n tronsoane deformaţia (săgeata sau rotirea) se calculează cu relaţia (11.12):

∑=

Ω=δ

n

1i zii

ii

IEc

(11.12)

Capitolul 11 152

La aplicarea acestei metode se ţine cont de următoarea regulă de semn: - dacă ambele diagrame, M şi m, sunt de aceeaşi parte a axei Ox produsul

Ωici este pozitiv, - dacă cele două diagrame nu sunt de aceeaşi parte a axei Ox produsul Ωici

este negativ. Regula de integrare grafică Vereşceaghin este aplicabilă doar în cazul barelor

drepte. 11.6. Aplicaţii I. Pentru grinda din Fig.11.7.a. se cunosc m5,o;Nmm10EI 12

z == şi .m/KN24p = Se cer săgeata secţiunii 3, v3 şi rotirea secţiunii 2, ϕ2.

Pentru rezolvarea acestei probleme se aplică metoda integrării grafice

Verşceaghin. Diagrama de moment se trasează prin metoda suprapunerii efectelor. În Fig.11.7.b. s-a reprezentat grinda încărcată doar cu sarcina uniform distribuită p şi diagrama de moment pentru această încărcare Mp. În Fig.11.7.c. s-a reprezentat grinda încărcată doar cu forţa F şi diagrama de moment pentru această încărcare MF. Diagrama M se obţine prin suprapunerea celor două diagrame Mp şi MF. Ariile diagramei de moment Ωi vor fi:

32

1 p32

2p2

32

=⋅=Ω

32

2 p32

p32=

⋅=Ω

32

3 p23

2p3

=⋅

=Ω

Pentru calculul săgeţii secţiunii 3 se încarcă grinda cu o forţă unitară verticală

în secţiunea 3 şi se trasează diagrama mv pentru această încărcare (Fig.11.7.d). Din această diagramă vor rezulta ordonatele ci din dreptul centrelor de greutate Gi ale ariilor Ωi:

32cc;

2c 321 ===


Fig.11.7. a, b, c

Capitolul 11 154

Fig.11.7.d, e Săgeata secţiunii 3 se calculează cu relaţia (11.12):

( ) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=Ω+Ω+Ω−=

Ω= ∑

=

444

z332211

z

n

1i zii

ii3 pp2p

31

EI1ccc

EI1

IEc

v


mm99,310

5002466,2EI

p66,2v 12

4

z

4

3 =⋅⋅

==

Pentru calculul rotirii secţiunii 2 se încarcă grinda cu un moment unitar în secţiunea 2 şi se trasează diagrama mϕ pentru această încărcare (Fig.11.7.e). Din această diagramă vor rezulta ordonatele ,

ic din dreptul centrelor de greutate Gi ale ariilor Ωi:

;121c,

1 = ;132c,

2 = 0c,3 =

Rotirea secţiunii 2 va fi:

( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Ω−Ω+=

Ω=ϕ ∑

=

33

z

,22

,11

z

n

1i zii

,ii

2 p2p31

EI1cc

EI1

IEc

⇒−

z

3

EIp66,1

rad108,410

5002466,1 312

3

2−⋅−=

⋅⋅−=ϕ

Semnul minus arată că rotirea secţiunii 2 nu se produce în sensul momentului încovoietor unitar (ales arbitrar), ci în sens invers. II. Pentru cadrul plan din Fig.11.8.a, de rigiditate constantă EIz se cer:

a. deplasarea orizontală a secţiunii 1, u1 b. rotirea secţiunii 1, ϕ1 c. deplasarea verticală a secţiunii 2, v2

Deoarece cadrul plan are o porţiune curbă (tronsonul 1-2) metoda integrării

grafice nu este aplicabilă. Se va utiliza metoda Mohr-Maxwell. Pe o bară curbă elementul de lungime dx este de fapt un element de arc de cerc

ds, acesta exprimându-se prin unghiul la centru dϕ: ϕ== Rddsdx . În acest caz formula Mohr-Maxwell devine:

( ) ( )

ϕϕϕ

=δ ∑∫= ϕ

RdIEmMn

1i zii

ii

Capitolul 11 156

Fig.11.8

Funcţia de efort M pe tronsoane: Tronsonul 1-2, ϕ∈[0,π/2]: Mϕ)= -Ft= -FRsinϕ Tronsonul 2-3, x∈[0,R] : M(x)= -FR Pentru calculul deplasării orizontale u1 se încarcă bara cu o forţă unitară orizontală în secţiunea 1, ca în Fig.11.8.b, stabilindu-se funcţiile de efort mu pe tronsoane pentru această încărcare: Tronsonul 1-2: mu(ϕ)= - 1 Rsinϕ Tronsonul 2-3: mu(x)= - R1 Calculul deplasării orizontale u1

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒+ϕϕ=+ϕϕϕ= ∫∫∫∫ππ R

0

22/

0

23R

0u

2/

0u1z dxFRdsinFRdxxmxMRdmMuEI


=1zuEI =+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ϕ−ϕ=+ϕ

ϕ−∫π π

π 32/

0

2/

0

2/

03R

023 FR

42sin

21FRxFRd

22cos1FR

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

= 14EI

FRu14

FRz

3

13

Pentru calculul rotirii ϕ1 se încarcă bara cu un moment încovoietor unitar în secţiunea 1, ca în Fig.11.8.c, stabilindu-se funcţiile de efort mϕ pentru această încărcare: Tronsonul 1-2: mϕ(ϕ)= - 1 Tronsonul 2-3: mϕ(x)= - 1 Calculul rotirii ϕ1

( ) ( ) ( ) ( ) =+ϕϕ=+ϕϕϕ=ϕ ∫∫∫∫π

ϕ

π

ϕ

R

0

2/

0

2R

0

2/

01z FRdxdsinFRdxxmxMRdmMEI

z

2

1222/

02

EIFR2FR2FRcosFR =ϕ⇒=+ϕ−= π

Pentru calculul deplasării verticale v2 se încarcă bara cu o forţă unitară

verticală în secţiunea 2, ca în Fig.11.8.d, stabilindu-se funcţiile de efort mv pentru această încărcare: Tronsonul 1-2: mv(ϕ)=0 Tronsonul 2-3: mv(x)= - x1 Calculul deplasării verticale v2

( ) ( )2

FR2xFRFRxdxdxxmxMvEI

3R

0

2R

0

R

0v2z ==== ∫∫

z

3

2 EI2FRv =⇒

Documents

DEFORMAŢIILE GRINZILOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE