Vai trò của hài hước trong giảng dạy ToánDành cho giáo viênTác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ năm, 10 Tháng 5 2012 16:08

Có một định lý trong giáo dục học là: Tâm trạng của học sinh khi học ảnh hưởng rất lớn đến khả năng tiếp thu và kết quả học tập.

 

 

Trạng thái tâm lý thuận lợi cho việc học là: thoải mái, vui vẻ, phấn khích, tập trung. Học mà vui sướng, tập trung và hăng say như là đang được chơi một trò thú vị, là học nhanh vào nhất. Ngược lại, nếu rơi vào một trong các trạng thái như hoang mang, sợ hãi, cáu kỉnh, bực bội, buồn chán, lơ đãng thì sẽ khó học được kiến thức vào đầu.

Nhiều phương pháp giáo dục cổ điển chỉ chú trọng đến phần kiến thức, nhồi nhét kiến thức, mà không đếm xỉa đến tâm lý học sinh. Thậm chí phản giáo dục, cầm doi đánh học sinh liên tục, khiến học sinh đi học mà như là bị tra tấn, học vị sợ đòn chứ mất hết niềm vui, học trong trạng thái ức chế, đọc đi đọc lại như con vẹt nhưng vẫn bị não thải ra vị trong trạng thái ức chế đó não khó chấp nhận ghi lại kiến thức mới mà chỉ muốn quên nó đi (vì muốn quên đi sự đau khổ khi học, nên quên luôn cả kiến thức đi kèm, vì cái này gợi nhớ đến cái kia)

Các phương pháp giáo dục hiện đại đang chú ý hơn đến việc làm sao cho học sinh “học mà phấn khởi như chơi”, nhằm tăng hiệu quả của quá trình tiếp thu kiến thức. Một trong các phương pháp đó thậm chí có tên rất ngộ là CheCha (viết tắt của hai chữ Cheerful và Challenging gép lại với nhau), được giới thiệu trong bài báo của Shmakov & Hannula. Phương pháp CheCha dựa trên các câu truyện tranh ảnh hài hước và các “riddles” (bài toán đố) cũng như các trò chơi để kích thích trí tò mò của học sinh, và tạo không khí vui vẻ trong quá trình học.

Một ví dụ truyện cười trong bài báo của Shmakov và Hannula là:

Pooh và Piglet đang ngồi trên ghế băng nói chuyện với nhau, có Eeyore gửi 1 hộp kẹo có 10 cái kẹo trong đó, và kèm theo mẩu thư: gửi cho Pooh và Piglet, chia đều mỗi bạn 7 cái kẹo. Pooh thắc mắc “tớ không hiểu sao lại thế; cậu nghĩ thế nào ?” Piglet bốc kẹo ăn rồi trả lời: “Tớ chả nghĩ gì cả, nhưng tớ ăn hết phần 7 cái kẹo của tớ rồi”.

Tôi không quen dạy trẻ em nhỏ tuổi nên không biết câu chuyện trên có thuộc loại hóm hỉnh đối với trẻ nhỏ không (bản thân tôi thì thấy nó cũng hơi hóm hỉnh, nhưng có lẽ có những chuyện khác còn hóm hơn). Đối với toán ở bậc đại học, cũng có nhiều câu chuyện hóm hỉnh. Và bản thân các anecdotes về các nhà toán học và lịch sử phát minh ra các khái niệm toán học cũng rất ly kỳ, kể cho SV nghe có thể làm tăng kích thích tính tò mò của họ.

Một vài ví dụ về chuyện hài hước dùng cho dạy toán:

* Số nhị phân: Có 10 loại người trên thế giới: loại biết số nhị phân, và loại không biết số nhị phân.

* Logic: Pinocchio mỗi khi nói dối thì mũi dài ra, còn khi nói thật thì mũi không dài ra. Thế khi Pinocchio nói là “mũi tôi sẽ dài ra bây giờ” thì sao ?!

* Chuỗi số (khi nói về hội tụ & phân kỳ). Một nhà toán học tổ chức một giải xổ số, quảng cáo là “ai được giải sẽ được vô hạn tiền”. Sau khi một người trúng giải đến đòi giải, nhà toán học mới nói: Thế này nhé, tuần đầu anh sẽ nhận được 1 đồng, tuần thứ hai 12, tuần thứ ba 13, và cứ như thế …* Lý thuyết tập hợp (khi nói về cardinal). Các bạn có biết câu “mọi người đều bình đẳng, nhưng có những người bình đẳng hơn những người khác?” (Orwell). Trong toán cũng vậy, các tập vô hạn đều … vô hạn, nhưng có những tập vô hạn hơn những tập khác!

* Giê Su là nhà toán học. Chứng minh: Giê Su cầm một cái bánh mì, rồi dùng định lý Banach-Tarskinhân ra thành nhiều cái bánh mì để chia cho mọi người ăn

* Số lớn. (Theo Richard Feynman). Giải ngân hà có đến 1011 ngôi sao, nên trước đây cụm từ “số thiên văn” được dùng để chỉ các con số rất lớn, hơn chục chữ số. Nhưng nợ chính phủ (của Mỹ) ngày nay là hàng nghìn tỷ đô la, tức là những 13 chữ số, và bởi vậy bây giờ các con số rất lớn được gọi là “số kinh tế” !

Lời Ban Biên Tập: kì thi học sinh giỏi Quốc gia được diễn đàn trong hai ngày 11 và 12 tháng 1 năm 2012. Dưới đây chúng tôi xin giới thiệu đề thi chính thức của cả hai ngày. Thời gian làm bài mỗi ngày là 180 phút. Đáp án của kì thi sẽ nhanh chóng được cập nhật.

 

Ngày thi thứ nhất (11-01-2012)

Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực(xn) xác định bởi

x1=3 và xn=n+23n(xn−1+2) với mọi n≥2.

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n→+∞. Tìm giới hạn đó.

Bài 2 (5,0 điểm). Cho các cấp số cộng (an), (bn) và số nguyên m>2. Xét m tam thức bậc

hai: Pk(x)=x2+akx+bk, k=1,2,3,....,m. Chứng minh rằng nếu hai tam

thức P1(x), Pm(x) đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.

Bài 3 (5,0 điểm). Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp

cạnh đối không song song. Gọi M,N tương ứng là giao điểm của các đường

thẳng AB và CD, AD và BC. Gọi P,Q,S,T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong

của các cặp MANˆ và MBNˆ,MBNˆ và MCNˆ,MCNˆ và MDNˆ,MDNˆ và MANˆ. Giả

sử bốn điểm P,Q,S,T đôi một phân biệt.

1. Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,S,T cùng nằm trên một đường tròn. Gọi I là tâm của đường tròn đó.

2. Gọi E là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng ba

điểm E,O,I thẳng hàng.

Bài 4 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương n. Có n học sinh nam và n học sinh nữ xếp thành một hàng

ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số 2n học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng

đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của X. Chứng minh rằng tổng

số kẹo mà tất cả 2n học sinh nhận được không vượt quá 13n(n2−1).

 

Ngày thi thứ hai (12-01-2012)

Bài 5 (7,0 điểm). Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G1,G2,G3,G4,G5, và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

1. Mỗi ghế có đúng một người ngồi;

2. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là G1,G2,G3,G4,G5;

3. Giữa G1 và G2 có ít nhất 3 chàng trai;

4. Giữa G4 và G5 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy? (Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).

Bài 6 (7,0 điểm). Xét các số tự nhiên lẻ a,b mà a là ước số của b2+2 và b là ước số của a2+2.

Chứng minh rằng a và b là các số hạng của dãy số tự nhiên (vn) xác định bởi

v1=v2=1 và vn=4vn−1−vn−2 với mọi n≥3.

Bài 7 (6,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực R, lấy giá trị trong R và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. f là toàn ánh từ R đến R;

2. f là hàm số tăng trên R;

3. f(f(x))=f(x)+12x với mọi số thực x.

 

Kosovo Team Selection Test 2012Tài liệu và Đề thi - Olympic

Tác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ ba, 24 Tháng 4 2012 00:16

 

Câu 1. 

Một học sinh có 18 tờ giấy. Anh ta chọn ra một số tờ, sau đó cắt mỗi tờ trong số vừa chọn thành 18 mảnh. Anh

ta lại lấy một số mảnh và một lần nữa cắt mỗi mảnh thành 18 mảnh. Anh ta cứ tiếp tục như thế cho đến khi mệt.

Sau một thời gian, anh ta đếm lại và thấy có 2012 mảnh. Chứng minh rằng học sinh đã sai trong quá trình kiểm

đếm.

Câu 2.

Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó bằng 90. 

Câu 3

Giả sử a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và ma,mb,mc là độ dài các đường trung tuyến. Chứng

minh rằng

(m2a+m2b+m2c)=3(a2+b2+c2)

Câu 4.

Mỗi số hạng tiếp theo của dãy 1,0,1,0,1,0,... đều là chữ số hàng đơn vị của tổng 6 số hạng liền trước nó.

Chứng minh rằng trình tự ...0,1,0,1,0,1,... không bao giờ xảy ra trong dãy.

Câu 5

Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương

4n=1x+1y+1z 

Canada National Olympiad 2012Tài liệu và Đề thi - OlympicTác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ hai, 07 Tháng 5 2012 00:00

  

Câu 1. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng x2+xy2+xyz2≥4xyz−4

Câu 2. Với các số nguyên dương bất kì n và k,đặt L(n,k) là bội chung nhỏ nhất của k số nguyên liên

tiếp n,n+1,…,n+k−1. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên b, tồn tại các số nguyên n và k sao

cho L(n,k)>bL(n+1,k).

Câu 3. Cho ABCD là 1 tứ giác lồi, P là giao điểm của AC và BD. Giả sử AC+AD=BC+BD. Chứng

minh rằng đường phân giác trong các góc ∠ACB, ∠ADB và ∠APB đồng quy.

Câu 4. Một số robot được đặt trên các ô vuông của một mạng lưới hữu hạn. Một hình vuông có thể chứa 1 số

lượng robot bất kì. Mỗi cạnh của mỗi ô vuông của mạng lưới được chia làm 2 loại: loại vượt qua được và loại

không thể đi qua. Tất cả các cạnh trên biên giới của mạng lưới là không thể đi qua. Bạn có thể ra bất cứ lệnh nào

(lên, xuống, trái, hoặc bên phải) cho các robot.

 

 Tất cả các robot sau đó đồng thời cố gắng di chuyển theo hướng quy định. Nếu các cạnh liền kề với một robot

theo hướng đó là vượt qua được, robot di chuyển trên cạnhvà vào vuông tiếp theo. Nếu không, robot vẫn còn trên

ô hiện tại của nó. Sau đó, bạn có thể ra cho một lệnh khác (lên, xuống, trái, hoặc bên phải), miễn là bạn muốn. Giả

sử rằng đối với bất kỳ robot , và hình vuông bất kỳ trên mạng lưới, có là một dãy hữu hạn các lệnh sẽ di chuyển

robot tới hình vuông đó. Chứng minh rằng bạn cũng có thể ra cho một chuỗi hữu hạn các lệnh như vậy mà tất cả

các robot kết thúc trên cùng một hình vuông cùng một lúc.

  

Câu 5. Một kệ sách có các cuốn sách được đánh thứ tự nhãn từ 1 đến n. Thủ thư muốn đặt chúng theo đúng thứ

tự như sau. Thủ thư lựa chọn một cuốn quá xa bên phải, với nhãn k, lấy nó ra, và chèn nó vào vị trí thứ k. Ví dụ,

nếu giá sách có chứa các cuốn 1,2,3,4, thủ thư có thể lấy ra cuốn 2 và đặt nó ở vị trí thứ hai. Những cuốn

sách sau đó sẽ được theo đúng thứ tự 1,2,3,4.

(a) Chứng minh rằng nếu quá trình này được lặp đi lặp lại, thì dù thủ thư làm ngẫu nhiên, tất cả các cuốn sách

cuối cùng sẽ được theo thứ tự đúng.

(b) số lượng lớn nhất các bước mà quá trình này có thể bao hhiêu?

Macedonia National Olympiad 2012Tài liệu và Đề thi - Olympic

Tác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ bảy, 23 Tháng 6 2012 00:00

Bài 1Giải phương trình nghiệm nguyên x4+2y4+4z4+8t4=16xyzt Bài 2Nếu a,b,c∧d là các số thực dương thỏa abcd=1 chứng minh rằng

1bc+cd+da−1+1ab+cd+da−1+1ab+bc+da−1+1ab+bc+cd−1≤2.

Đẳng thức xảy ra khi nào

Bài 3

Tìm hàm số  f:R→Z thỏa mãnf(x+y)<f(x)+f(y)f(f(x))=⌊x⌋+2Bài 4. Cho một đường tròn cố định k và các điểm E,F,G thẳng hàng sao cho E và G nằm ngoài k và F nằm trong k. Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì nội tiếp k sao cho E,F,G lần lượt thuộc AB,AD và DC thì BC đi qua điểm cố định cộng tuyến với  E,F∧G, không phụ thuộc vào tứ giác  ABCD

(Ispectorgadget dịch) 

Bài 5. Cho một bàn hình lục giác như hình trên, bàn có tất cả 2012 cột. Có 2012 hình lục giác trong mỗi cột lẻ và 2013 hình lục giác trong mỗi cột chẵn. Sau đó, ta viết số i vào mỗi hình lục giác của cột thứ i. Chỉ có thể thay đổi các số trong bàn theo cách sau: Ta chọn tùy ý 3 hình lục giác kề nhau và đảo các số lại, nếu đảo thuận chiều kim đồng hồ thì cả ba số giảm đi một đơn vị, còn nếu quay ngược chiều kim đồng hồ thì 3 số trên tăng thêm một đơn vị (xem hình dưới).  Hỏi ta có nhiều nhất bao nhiêu số 0 khi thực hiện cách trên ?

Italy NMO 2012

Tài liệu và Đề thi - OlympicTác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ năm, 14 Tháng 6 2012 00:00

1. 

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên các cạnh BC,AC và AB lấy tương ứng ba điểm D,E and Fthỏa mãn tứ giác AFDE là hình vuông. Gọi x là độ dài cạnh hình vuông. CMR : 

1x=1AB+1AC 2. 

Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn số đó bằng 300 lần tổng các chữ số của nó.  3. 

Cho số nguyên n (n≥2). Giả sử có n người, trong đó có những người luôn nói dối và những người luôn nói thật . Tất cả mọi người ( trừ người đầu tiên)  chỉ về người phía trước họ và nói : : "Đây là người luôn nói dối" hoặc "Đây là người luôn nói thật". Biết rằng người luôn nói dối nhiều hơn người luôn nói thật. CMR : có thể xác định mỗi người là người luôn nói dối hoặc luôn nói thật nhờ các dữ kiện trên.

Vấn đề 3 (David Arthur, Canada) Các trò chơi đoán của kẻ nói dối là một trò chơi được chơi giữa hai người chơi \ (A \) \ (B \). Các quy tắc của trò chơi phụ thuộc vào hai số nguyên dương \ (k \) \ (\ n) được biết là cả hai người

chơi. A và B . Các quy tắc của trò chơi phụ thuộc vào hai số nguyên dương k và n được biết là cả hai người chơi.Khi bắt đầu của trò chơi, người chơi \ (A \) chọn số nguyên \ (x \) \ (N \) \ (1 \ Leq x \ Leq N \). Player \ (A \) ngườid \ (x \) bí mật, và trung thực nói với \ (N \) để các cầu thủ \ (B \). Người chơi \ (B \) bây giờ cố gắng để có được thông tin về \ (x \) bằng cách yêu cầu người chơi \ (A \) câu hỏi như sau: mỗi câu hỏi bao gồm \ (B \) xác định một thiết lập tùy ý \ (S \) tích cực số nguyên (có thể là một quy định trong một số câu hỏi trước đó), và yêu cầu \ (A \) cho dù \ (x \) thuộc về \ (\). Player \ (B \) có thể yêu cầu như nhiều câu hỏi như ông mong muốn. Sau mỗi câu hỏi, người chơi \ (A \) ngay lập tức phải trả lời có hoặc không có, nhưng được phép nói dối nhiều lần như cô ấy muốn, những hạn chế duy nhất là, trong bất kỳ \ (k 1 \) câu trả lời liên tiếp, ít

nhất một câu trả lời phải trung thực. A chọn số nguyên x và N với 1 ≤ x ≤ N . Thủ giữ x bí mật, và trung thực nói với N cho người chơi B . Các cầu thủ B bây giờ sẽ cố gắng để có được thông tin về x bằng cách yêu cầu người chơi Một câu hỏi như sau: mỗi câu hỏi bao gồm B xác định một thiết lập tùy ý S các số nguyên dương (có thể là một quy định trong một số câu hỏi

trước đó), và yêu cầu A cho dù x thuộc để S .Thủ B có thể yêu cầu càng nhiều câu hỏi như ông mong muốn. Sau mỗi câu hỏi, người chơi A ngay lập tức phải trả lời có hoặc không có, nhưng được phép nói dối nhiều lần như cô ấy muốn, những hạn chế duy nhất là, trong số những câu trả lời liên tiếp bất kỳ 1 k , ít nhất một câu trả lời phải trung

thực. AxNBBxABSAxSBAK + 1Sau khi \ (B \) đã hỏi càng nhiều câu hỏi anh muốn, anh ta phải xác định một tập hợp \ (X \) tại hầu hết \ (\ n) số nguyên dương. Nếu \ (x \ in X \), sau đó \ (B \) chiến thắng, nếu không, ông

mất. Chứng minh rằng:B đã hỏi càng nhiều câu hỏi anh muốn, anh ta phải chỉ định một thiết

lập X của hầu hết n số nguyên dương. Nếu x ∈ X , sau đó B thắng, nếu không, ông mất. Chứng minh rằng:

(A) Nếu \ (n \ geq 2 ^ k \) sau đó \ (B \) có một chiến lược chiến thắng. n ≥ 2k sau đó B có một chiến lược chiến thắng.(B) Có tồn tại một số nguyên dương \ (k_0 \) như vậy mà cho mỗi \ (k \ geq k_0 \) có tồn tại 1 số

nguyên \ (n \ geq 1,99 ^ k \) mà \ (B \) không có thể đảm bảo chiến thắng 1 .k0 như vậy cho

mỗi k ≥ K0 có tồn tại một số nguyên n ≥ 1,99k mà B không thể đảm bảo một chiến thắng.Hide giải phápTrò chơi có thể cải tiến công tương đương: Người chơi \ (A \) chọn một phần tử \ (x \) từ các thiết lập \ (S \) (\ (| S | = N \)) và máy nghe nhạc \ ( B \) yêu cầu trình tự của câu hỏi. Câu hỏi \ (j \) thứ bao gồm \ (B \) chọn một tập hợp \ (D_j \ subseteq S \) và máy nghe nhạc \ (A \) chọn một tập hợp \ (P_j \ \ left \ {Q_j, Q_j ^ C \ right \} \). Các cầu thủ \ (A \) để đảm bảo rằng đối với mỗi \ (j \ geq 1 \) liên quan dưới đây có: \ [x \ in P_j \ cup P_ {k +1} \ cup \ cdots \ cup P_ {j + k} \] Người chơi \ (B \) thắng nếu sau khi một số hữu hạn các bước, ông có thể chọn một tập hợp \ (X

\) \ (| X | \ Leq n \) như vậy mà \ (x \ in X \). A lựa chọn một phần tử x từ tập

hợp S(với | S| = N ) và B yêu cầu các cầu thủ trình tự của câu hỏi. j câu hỏi thứ bao

gồm B lựa chọn một bộ Dj⊆ S và máy nghe nhạc lựa chọn một tập P_j \ \ left \ {Q_j, Q_j C \ ngay ^ \} . Các cầu thủ A có để đảm bảo rằng đối với mỗi \ j geq 1 mối quan hệ dưới đây có: x \ trong P_j \ cup P_ {k +1} \ cup \ cdots \ cup P_ {j + k}. Người chơi B thắng nếu sau khi một số hữu hạn các bước, ông có thể chọn một tập hợp X với | X | \ Leq n như vậy mà x \ in

X . APj∈ { Qj, QCj}Aj ≥ 1x ∈ Pj∪ Pj + 1∪ ⋯ ∪ Pj + K.

BX| X| ≤ nx ∈ X(A) đủ để chứng minh rằng nếu \ (N \ geq 2 ^ k 1 \) sau đó người chơi \ (B \) có thể xác định một tập hợp \ (S ^ {\ thủ} \ subseteq S \) \ (| S ^ {\ thủ} | \ Leq N-1 \) như vậy mà \ (x \ in S ^ {\

thủ} \). N≥ 2k+ 1 sau đó các cầu thủ B có thể xác định một tập hợp S'⊆ S với |S'| ≤ n- 1 như vậy mà x ∈ S' .Giả sử rằng \ (N \ geq 2 ^ n 1 \). Trong động thái đầu tiên \ (B \) chọn bất kỳ tập hợp \ (D_1 \ subseteq S \) như vậy mà \ (| D_1 | \ geq 2 ^ {k-1} \) \ (| D_1 ^ C | \ geq 2 ^ {k-1} \). Sau khi nhận được các thiết lập \ (P_1 \) từ \ (A \), \ (B \) làm cho việc di chuyển thứ hai. Người chơi \ (B \) lựa chọn một tập hợp \ (D_2 \ subseteq S \) như vậy mà \ (| D_2 \ cap P_1 ^ C | \ geq 2 ^ {k-2} \) \ (| D_2 ^ C \ cap P_1 ^ C | \ geq 2 ^ {k-2} \). Người chơi \ (B \) tiếp tục theo cách này: trong di chuyển \ (j \) anh / cô ấy lựa chọn một tập hợp \ (D_j \) như vậy mà \ (| D_j \ cap P_j ^ C | \ geq 2

^ {KJ} \ ) và \ (| D_j ^ C \ cap P_j ^ C | \ geq 2 ^ {KJ} \). N≥ 2n+ 1 . Trong động thái 1 B lựa

chọn bất kỳ tập hợp D1⊆ S như vậy mà | D1| ≥ 2k - 1 và | DC1| ≥ 2k - 1 . Sau khi

nhận được các thiết lập P1 từ A, B làm cho di chuyển thứ hai. Các cầu thủ B lựa chọn một

bộ D2⊆ S như vậy mà | D2∩ PC1| ≥ 2k - 2 và | DC2∩ PC1| ≥ 2k - 2 . Các cầu

thủ B tiếp tục theo cách này: di chuyển j anh / cô ấy lựa chọn một

bộ Dj| Dj∩ PCj| ≥ 2k - j và | DCj∩ PCj| ≥ 2k - j .Bằng cách này người chơi \ (B \) đã thu được những bộ \ (P_1 \), \ (P_2 \), dấu chấm \ (\ \), \ (P_k \) như vậy mà \ (\ left (P_1 \ cup \ cdots \ cup P_k \ right) ^ C \ geq 1 \). \ (B \) chọn các thiết lập \ (D_ {k +1} \) là một singleton có chứa bất kỳ yếu tố bên ngoài của \ (P_1 \ cup \ cdots \ cup

P_k \). Có hai trường hợp: B đã thu được bộ P1 , P2 , ... , Pk như vậy

mà ( P1∪ ⋯ ∪ Pk)C≥ 1 .Sau đó, B chọn bộ DK + 1 là một singleton có chứa bất kỳ yếu

tố bên ngoài của P1∪ ⋯ ∪ Pk . Có hai trường hợp:

1∘ Người chơi lựa chọn P_ {k +1} = D_ {k +1} ^ C . Sau đó B có thể mất S ^ {\ thủ} = S \ setminus D_ {k +1} và tuyên bố được chứng

minh. APK + 1= DCK + 1BS'= S∖ DK + 1

2∘ Người chơi lựa chọn P_ {k +1} = D_ {k +1} . Bây giờ các cầu thủ B lặp đi lặp lại các thủ tục trước đây về các thiết lập S_1 = S \ setminus D_ {k +1} để có được trình tự của bộ P_ {k 2} , P_ {k +3} \ dấu chấm , P_ {2k +1 } . Bất bình đẳng dưới đây có:\ left | S_1 \ setminus \ left (P_ {k 2} \ cdots P_ {2k +1} \ right) \ right | \ geq 1, kể từ | S_1 | \ geq 2 ^ k . Tuy nhiên, bây giờ chúng ta có \ left | \ left (P_ {k +1} \ cup P_ {k 2} \ cup \ cdots \ cup P_ {2k +1} \ right) ^ C \ right | \ geq 1, và chúng ta có thể mất S ^ {\ thủ} = P_ {k +1} \ cup \ cdots \ cup P_ {2k

+1} . APK + 1= DK + 1BS1= S∖ DK + 1PK + 2PK + 3...P2 k + 1

|S1∖ ( PK + 2⋯ P2 k + 1) | ≥ 1 ,

|S1| ≥ 2k

||( PK + 1∪ PK + 2∪ ⋯ ∪ P2 k + 1)C||≥ 1 ,

S'= PK + 1∪ ⋯ ∪ P2 k + 1

(B) Hãy để \ (\) \ (q \) là hai số nguyên dương như vậy mà \ (1,99 \ lneq p \ lneq q \ lneq 2 \). Chúng ta hãy chọn \ (k_0 \) như vậy mà \ [\ left (\ frac {p} {q} \ right) ^ {k_0} \ Leq 2 \ cdot \ left (1 - \ frac {q} 2 \ right) \ quad \ quad \ quad \ mbox {và} \ quad \ quad \ quad p ^ k-1,99 ^ k \ gneq 1 \] Chúng tôi sẽ chứng minh cho mọi \ (k \ geq k_0 \) \ (| S | \ \ left (1,99 ^ k, p ^ k \ right) \) sau đó có một chiến lược cho người chơi \ (A \) để lựa chọn bộ \ (P_1 \), \ (P_2 \), \ (\ chấm \) (dựa trên bộ \ (D_1 \), \ (D_2 \), dấu chấm \ (\ \) được cung cấp bởi \ (B \)) như vậy mà cho mỗi \

(j \) liên quan dưới đây có: \ [P_j \ chén P_ {k +1} \ cup \ cdots \ cup P_ {j + k} = S. \]p và q là hai

số nguyên dương là 1,99 ⪇ p ⪇ q⪇ 2 . Hãy để chúng tôi chọn k0 như vậy mà

( pq)k0≤ 2 ⋅ ( 1 - q2)vàpk- 1,99k⪈ 1.Chúng tôi sẽ chứng minh rằng đối với mỗi k ≥ K0 nếu | S| ∈ ( 1,99k, pk) sau đó có một chiến lược cho người chơi để lựa chọn bộ P_1 , P_2 , \ dấu chấm (dựa trên bộ D_1 , D_2 , \ chấm được cung cấp bởi B ) như vậy mà cho mỗi j mối quan hệ dưới đây có:P_j \ cup P_ {j 1 } \

cup \ cdots \ cup P_ {j + k} = S.AP1P2...D1D2...BjPj∪ Pj + 1∪ ⋯ ∪ Pj + K= S.

Giả sử rằng \ (S = \ {1,2, \ dấu chấm, N \} \), người chơi \ (A \) sẽ duy trì trình tự sau đây \ (N \)-tuples: \ ((\ mathbf {x} ) _ {j = 0} ^ {\ infty} = \ left (x_1 ^ j, x_2 ^ j, \ dots, x_N ^ j \ right) \). Ban đầu chúng tôi thiết lập \ (x_1 ^ 0 = x_2 ^ 0 = \ cdots = x_N ^ 0 = 1 \). Sau khi tập hợp \ (P_j \) được chọn sau đó chúng tôi xác định \ (\ mathbf x ^ {k +1} \) dựa trên \ (\ mathbf x ^ j \) như sau: \ [x_i ^ {k +1} = \ left \ {\ begin {array} {rl} 1 & \ mbox {nếu} i \ in P_j \ \ q \ cdot x_i ^ j, & \ mbox {nếu} i \ không \ trong P_j. \ End {array} \ right \] Các cầu thủ. \ (A \) có thể giữ \ (B \) từ chiến thắng nếu \ (x_i ^ j \ Leq q ^ k \) cho mỗi cặp \ ((i, j) \ ). Đối với một chuỗi \ (\ mathbf x \), chúng ta hãy xác định \ (T (\ mathbf x) = \ sum_ {i = 1} ^ N x_i \). Nó đủ cho người chơi \ (A \) để đảm bảo rằng \ (T

\ left (\ mathbf x ^ j \ right) \ Leq q ^ {k} \) cho mỗi \ (j \). S= { 1 , 2 , ... , N} , người chơi sẽ duy trì trình tự sau đây của N -tuples: (\ mathbf {x}) _ {j = 0} ^ {\ infty} = \ left ( x_1 ^ j, x_2 ^ j, \ dots, x_N ^ j \ right) . Ban đầu chúng tôi thiết lập x_1 ^ 0 = x_2 ^ 0 = \ cdots = x_N ^ 0 = 1 . Sau khi tập hợp P_j được chọn sau đó chúng tôi xác định \ mathbf x ^ {k +1} \ mathbf x ^ j như sau: x_i ^ {k +1} = \ left \ {\ begin {array} {rl} 1, & \ mbox {nếu} i \ in P_j \ \ q \ cdot x_i ^ j, & \ mbox {nếu} i \ không \ trong P_j. \ End {array} \ right. Người chơi có thể giữ B từ chiến thắng nếu x_i ^ j \ Leq q ^ k cho mỗi cặp (i, j) . Đối với một chuỗi \ mathbf x , cho phép chúng tôi xác định T (\ mathbf x) = \ sum_ {i = 1} ^ N x_i . Nó đủ cho người chơi để đảm bảo rằng T \ left (\

mathbf x ^ j \ right) \ Leq q ^ {k} cho

mỗi j . AN( x )∞j = 0= ( xj1, xj2, ... , xjN)x01= x02= ⋯ = x0N= 1Pjxj + 1xj

xj + 1tôi= { 1 ,q⋅ xjtôi, nếu  i ∈ Pj nếu  i ∉ Pj.ABxjtôi≤ qk( i , j )xT( x ) = ΣNi = 1xtôiAT( xj) ≤ qkjChú ý rằng \ (T \ left (\ mathbf x ^ 0 \ right) = N \ Leq p ^ k \ lneq q ^

k \). T( x0) = n≤ pk⪇ qk .Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng cho \ (\ mathbf x ^ j \) như vậy mà \ (T \ left (\ mathbf x ^ j \ right) \ Leq q ^ k \), và một bộ \ (D_ {k +1} \) người chơi \ (A \) có thể chọn \ (P_ {k +1} \ in \ left \ {D_ {k +1}, D_ {k +1} ^ C \ right \} \) như vậy mà \ ( T \ left (\ mathbf x ^ {k +1} \ right) \ Leq q ^ k \). Hãy để \ (\ mathbf y \) là trình tự mà có thể thu được nếu \ (P_ {k +1} = D_ {k +1} \), và để cho \ (\ mathbf z \) là trình tự mà có thể thu được nếu \ (P_ {k +1} = D_ {k +1} ^ C \). Sau đó, chúng ta có \ [T \ left (\ mathbf y \ right) = \ sum_ {i \ trong D_ {k +1} ^ C} qx_i ^ j + \ left | D_ {k +1} \ right | \] \ [ T \ left (\ mathbf z \ right) = \ sum_ {i \ trong D_ {k +1}} qx_i ^ j + \ left | D_ {k +1} ^ C \ right | \] Tổng hợp hai equalities cho: \ [T \ left (\ mathbf y \ right) + T \ left (\ mathbf z \ right) = q \ cdot T \ left (\ mathbf x ^ j \ right) + N \ Leq q ^ {k + 1} + p ^ k \ mbox {do đó} \] \ [\ min \ left \ {T \ left (\ mathbf y \ right), T \ left (\ mathbf z \ right) \ right \} \ Leq \ frac {q} 2 \ cdot q ^ k + \ frac {p ^

k} 2 \ Leq q ^ k \] của sự lựa chọn của chúng tôi \ (k_0 \). xj như vậy mà T( xj) ≤ qk , và một

bộ Dj + 1 người chơi có thể chọn P_ {k +1} \ in \ left \ {D_ {k +1}, D_ {j 1} ^ C \ right \} như vậy mà T \ left (\ mathbf x ^ {k +1} \ right) \ Leq q ^ k . Hãy để \ mathbf y là trình tự mà có thể thu được nếu P_ {k +1} = D_ {k +1} , và để cho \ mathbf z là trình tự mà có thể thu được nếu P_ {k +1} = D_ {j + 1} ^ C . Sau đó, chúng ta có T \ left (\ mathbf y \ right) = \ sum_ {i \ trong D_ {k +1} ^ C} qx_i ^ j + \ left | D_ {k +1} \ right | T \ left (\ mathbf z \ right) = \ sum_ {i \ trong D_ {k +1}} qx_i ^ j + \ left | D_ {k +1} ^ C \ right | Tổng hợp hai equalities trước cho: T \ left (\ mathbf y \ right) + T \ left (\ mathbf z \ right) = q \ cdot T \ left (\ mathbf x ^ j \ right) + N \ Leq q ^ {k +1} + p ^ k, \ mbox { do đó} \ min \ bên trái \ {T \ bên trái (\ mathbf y \ right), T \ bên trái (\ mathbf z \ right) \ right \} \ Leq \ frac {q} 2 \ cdot q ^ k + \ frac {p ^ k} 2 \ Leq q ^ k, bởi vì sự lựa chọn của chúng tôi

của k_0 . APj + 1∈ { Dj + 1, DCj + 1}T( xj + 1) ≤ qkyPj + 1= Dj + 1zPj + 1= DCj + 1

T( y ) = Σ∈ DCj + 1qxjtôi+ ||Dj + 1||T( z ) = Σ∈ Dj + 1qxjtôi+ ||DCj + 1||.

T( y ) + T( z ) = q⋅ T( xj) + n≤ qK + 1+ Pk,  do đómin { t( y ) , T( z ) } ≤ q2⋅ qk+ Pk2≤ qk,

k0

4.

Cho dãy (xn) được xác định bởi công thức : 

{x1=4xn+1=x1x2x3⋯xn+5 \  for n≥1

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương {a,b} thỏa mãn xaxb là số chính phương.

5. 

Cho hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích của điểm P (P≠A,B,C,D) trên mặt phẳng sao cho : APBˆ+CPDˆ=180o

6. 

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương {a,b} có tính chất: khi bạn tô màu các số nguyên dương với hai màu A và B, luôn tồn tại hai số nguyên dương màu A khác số nguyên dương a hoặc màu Bkhác số b.

Mời bạn cùng thảo luận về đề thi này tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=73077

Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XVIII khối 10 năm học 2011 - 2012Tài liệu và Đề thi - Olympic

Tác giả: BAN BIÊN TẬP   Chủ nhật, 08 Tháng 4 2012 20:52

Ngày 07 tháng 04 năm 2012

Bài 1. Giải phương trình: 7x2−10x+14=5x4+4−−−−−√ 

Bài 2. Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d tại H. M và N di động

trên d thỏa HM¯¯¯¯¯¯.HN¯¯¯¯¯¯=−k2 (k là số khác 0 cho trước). Từ M và N kẻ tiếp

tuyến MA,NB tới (O) (A,B là tiếp điểm khác H).

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua hai điểm cố định.

b) Chứng minh đường thẳng AB qua một điểm cố định.

Bài 3. Cho a,b,c dương thỏa a2+b2+c2≤3. Chứng minh:

ab+c−−−−√+ba+c−−−−√+cb+a−−−−√≥2√2(a+b+c)

Bài 4. Chứng minh với mọi số nguyên tố p không tồn tại x,y nguyên dương thỏa 2p+3p=xy+1.

 

Bài 5. Cho hình vuông kích thước 8×8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị. Hỏi có thể viết các

số 1;2;3;4;...;64 vào 64 ô vuông (mỗi ô chứa đúng 1 số) sao cho tổng của 4 số nằm trong 4 ô

của 1 hình bất kì (đính kèm) sau đây đều chia hết cho 4?

 

Bài 6. Tìm hàm số f:Q→R thỏa f(x+y)+f(x−y)=2f(x)+2f(y);∀x,y∈Q.

 

Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XVIII

khối 11 năm học 2011 - 2012Tài liệu và Đề thi - OlympicTác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ bảy, 07 Tháng 4 2012 19:34

Ngày 06/04/2012

 

Bài 1.

Giải hệ phương trình sau: {x3−y3=92x2+y2−4x+y=0

Bài 2.

Cho dãy số (xn) xác định bởi: x1;xn+1=x4n+9x3n−xn+6a) Chứng minh rằng limxn=+∞b) Với mỗi số nguyên dương n đặt yn=∑k=1n1x3k+3

Bài 3.

Cho tam giác ABC đều cạnh a tâm G. Một đường d thay đổi luôn đi qua G và cắt các đường

thẳng BC,CA,AB lần lượt tại M,N,P.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=GM.GN.GP.

Bài 4.

Tìm tất cả các cặp hàm số f,g:R→R thỏa các điều kiện sau:

i) f(0)=g(0)=1;g(1)=2ii) f(x)−f(y)=(x−y)g(x+y)

Bài 5.

Một số nguyên dương n>1 được gọi là hoàn toàn không chính phương nếu n không có ước chính phương

khác 1. Chứng minh rằng nếu n là hợp số và n−1 chia hết cho φ(n) thì n hoàn toàn không chính phương

và n có ít nhất là 3 ước nguyên tố (trong đó φ(n) là các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng

nhau với n).

Bài 6.

Trên mỗi ô của một bảng 4x4 ô vuông, người ta điền một trong hai số 1 hoặc −1 sao cho tổng các số trong mỗi

hàng và trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền như trên?

 

----HÊT----

Vietnam Team Selection Test 2012Tài liệu và Đề thi - Olympic

Tác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ hai, 16 Tháng 4 2012 19:40

Hôm nay, ngày 16/04/2012 Bộ GD và ĐT đã tổ chức kì thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi Olympic Toán

quốc tế năm 2012 diễn ra ở Argentina. Kì thi sẽ diễn ra trong hai ngày 16 - 17/04/2012. Các thí sinh phải giải 3 bài

toán trong thời gian 270 phút cho mỗi ngày.

Sau đây là đề thi VN TST 2012.

 

Ngày thi thứ nhất 16/04/2012

Thời gian làm bài: 270 phút

 

 

Bài 1. (7,0 điểm) Cho đường tròn (O) và 2 điểm cố định B,C trên đường tròn sao cho BC không là đường kính

của (O), A là một điểm di động trên đường tròn, A không trùng với B,C. Gọi D,K,J lần lượt là trung điểm

của BC,CA,AB và E,M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B,C trên BC,DJ,DK. Chứng minh

rằng các tiếp tuyến tại M,N của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn cắt nhau tại T cố định khi A thay đổi.

 

Bài 2. (7,0 điểm) Trên một cánh đồng hình chữ nhật kích thước m×n ô vuông gồm m hàng và n cột người ta

đặt một số máy bơm nước vào các ô vuông. Biết rằng mỗi máy bơm nước có thể tưới nước cho các ô vuông có

chung cạnh với nó và các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông. Tìm số nhỏ nhất các máy bơm

nước sao cho các máy bơm nước có thể tưới hết cả cánh đồng trong 2 trường hợp:

a) m=4b) m=3 

Bài 3. (7,0 điểm) Cho số nguyên tố p≥17. Chứng minh rằng t=3 là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều

kiện: Với các số nguyên bất kì a,b,c,d sao cho abc không chia hết cho p và a+b+c chia hết cho pthì tồn

tại các số nguyên x,y,z thuộc tập {0;1;...;[pt]−1} sao cho ax+by+cz+d⋮p.

 

Ngày thi thứ hai 17/04/2012

Thời gian làm bài: 270 phút

Bài 4. (7,0 điểm)

Cho dãy số (xn) xác định bởi

x1=1,x2=2011,xn+2=4022xn+1−xn,∀n∈N

Chứng minh rằng x2012+12012 là số chính phương.

 

Bài 5. (7,0 điểm)

Chứng minh rằng c=1024−−√ là hằng số lớn nhất thỏa mãn điều kiện: nếu có các số

dương a1,a2,...a17 sao cho: $$\sum_{i=1}^{17}{a_i^2}=24;\qquad \sum_{i=1}^{17}{a_i^3}+\sum_{i=1}^{17}

{a_i}<j<="" p="">

 

Bài 6. (7,0 điểm)

Có 42 học sinh tham dự kì thi chọn đội tuyển Olympic toán quốc tế. Biết rằng một học sinh bất kì quen

đúng 20 học sinh khác. Chứng minh rằng ta có thể chia 42 học sinh thành 2 nhóm hoặc 21 nhóm sao cho số

học sinh trong các nhóm bằng nhau và 2 học sinh bất kì trong cùng nhóm thì quen nhau.

 

 

BBT trân trọng cảm ơn bạn hoangduc đã gửi cho chúng tôi đề thi này. Mời các bạn cùng tham gia thảo luận tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=71284 

 

Tài liệu và Đề thi - OlympicTác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ bảy, 23 Tháng 6 2012 00:00

Bài 1Giải phương trình nghiệm nguyên x4+2y4+4z4+8t4=16xyzt Bài 2Nếu a,b,c∧d là các số thực dương thỏa abcd=1 chứng minh rằng

1bc+cd+da−1+1ab+cd+da−1+1ab+bc+da−1+1ab+bc+cd−1≤2.

Đẳng thức xảy ra khi nào

Bài 3

Tìm hàm số  f:R→Z thỏa mãn

f(x+y)<f(x)+f(y)f(f(x))=⌊x⌋+2Bài 4. Cho một đường tròn cố định k và các điểm E,F,G thẳng hàng sao cho E và G nằm ngoài k và F nằm trong k. Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì nội tiếp k sao cho E,F,G lần lượt thuộc AB,AD và DC thì BC đi qua điểm cố định cộng tuyến với  E,F∧G, không phụ thuộc vào tứ giác  ABCD

(Ispectorgadget dịch) 

Bài 5. Cho một bàn hình lục giác như hình trên, bàn có tất cả 2012 cột. Có 2012 hình lục giác trong mỗi cột lẻ và 2013 hình lục giác trong mỗi cột chẵn. Sau đó, ta viết số i vào mỗi hình lục giác của cột thứ i. Chỉ có thể thay đổi các số trong bàn theo cách sau: Ta chọn tùy ý 3 hình lục giác kề nhau và đảo các số lại, nếu đảo thuận chiều kim đồng hồ thì cả ba số giảm đi một đơn vị, còn nếu quay ngược chiều kim đồng hồ thì 3 số trên tăng thêm một đơn vị (xem hình dưới).  Hỏi ta có nhiều nhất bao nhiêu số 0 khi thực hiện cách trên ?

 

British Mathematical Olympiad 2012Tài liệu và Đề thi - Olympic

Tác giả: BAN BIÊN TẬP   Chủ nhật, 05 Tháng 2 2012 22:04

Kì thi British Mathematical Olympiad 2012 có 2 vòng. Vòng 1 thi ngày 2/12/2011, vòng 2 thi ngày 26/01/2012. Mời các bạn cùng tham gia giải đề thi này.

 

 

 

Vòng 1

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2+20n+11 là số chính phương.

Bài 2: Tìm số nguyên t (theo n) lớn nhất sao cho khi sắp sếp các số nguyên từ 1 đến n thành một hàng mà hai số đứng cạnh nhau hơn kém nhau ít nhất t đơn vị.Bài 3: Cho đường tròn S và điểm P nằm ngoài S. Một đường thẳng kẻ qua P, cắt S tại 2 điểm phân biệt X và Y. Các đường tròn S1,S2 qua P và tiếp xúc với S tại X và Y tương ứng. Chứng minh rằng sự khác nhau của bán kính S1 và S2 không phụ thuộc vào vị trí của P, X, Y.

Bài 4: Ban đầu có m quả bóng trong một cái bao và n quả trong cái bao khác, (m,n>0).Hai hành động sau được phép thực hiện: 

 

a.  Giảm một lượng bóng bằng nhau ở cả 2 bao.

b.  Tăng gấp đôi số bóng của một trong 2 bao.

Hỏi có thể luôn đưa về thành hai bao rỗng sau hữu hạn lần hành động được không?Nếu thay hành động b. thành hành động

b'.  Tăng gấp ba số bóng của một trong 2 bao.

Hỏi có thể luôn đưa về thành hai bao rỗng sau hữu hạn lần hành động được không?

Bài 5:Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể bằng tích của 2 số nguyên dương liên tiếp.

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, gọi AD,BE,CF là ba đường cao. Chứng minh rằng DE+DF≤BC và với điều kiện nào của tam giác ABC thì dấu bằng xãy ra.

Vòng 2

Bài 1: Hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt nhau tại E. Gọi P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác EPS và EQR có cùng bán kính.

Bài 2: Hàm f được định nghĩa trên tập các số nguyên dương như sau:

f(1)=1 f(n)=f([2n−13])+f([2n3]) với n>1

Hỏi f(n)−f(n−1)≤n với mọi n>1 hay không ?

Bài 3: Tập hợp tất cả các số thực được chia thành hai tập hợp rời nhau. Chứng minh rằng với mỗi cặp các số nguyên dương (m,n) luôn tồn tại các số thực $xBài 4: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k thoả tính chất sau: Nếu a,b,c,d,e,f là các số nguyên vàm là ước nguyên dương của

an+bn+cn−dn−en=fn,∀1≤n≤k

thì m cũng là ước nguyên dương củaan+bn+cn−dn−en=fn,∀n∈N∗.

Niels Henrik Abel Mathematics Competition 2012Tài liệu và Đề thi - Olympic

Tác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ ba, 13 Tháng 3 2012 20:14

 

Bài 1.a. Berit có 11 tờ tiền loại 20 đô, 14 tờ loại 10 đô và 12 tờ loại 5 đô. Một máy đổi tiền có thể đổi 3 tờ 10 đô thành 1 tờ 20 đô và 2 tờ 5 đô và có thể đổi

ngược lại. Nó cũng có thể đổi 2 tờ 20 đô thành 3 tờ 10 đô và 2 tờ 5 đô và có thể đổi ngược lại.

∗ Hỏi Berit có thể có số tờ 20 đô bằng số tờ 10 đô và không có tờ 5 đô nào?

∗ Hỏi Berit có thể có số tờ 20 đô, 10 đô và 5 đô bằng nhau không?b. Mọi số nguyên được tô bởi một trong hai màu trắng và đen, biết rằng nếu m tô màu trắng thì m+20cũng tô

màu trắng và nếu k tô màu đen thì k+35 cũng tô màu đen. Tìm n biết có đúng n số trong các

số 1,2,...,50 được tô màu trắng.

Bài 2.

a. Cho hai đường tròn S1,S2 nằm ngoài nhau có tâm lần lượt là O1,O2. Từ O1 kẻ O1L2 và O1M2 tiếp xúc

với S2, từ O2 kẻ O2L1 và O2M1 tiếp xúc với S1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đường tròn đồng thời

tiếp xúc với bốn đường thẳng O1L2,O1M2,O2L1,O2M1.

b. Cho bốn đường tròn S1,S2,S3,S4 có tâm lần lượt là O1,O2,O3,O4 đôi một nằm ngoài nhau. Với mỗi cặp $(S_i,S_j),(1\leq i<="" span="">

1R12+1R23+1R34+1R14=2(1R13+1R24).

Bài 3.

a. Tìm ba chữ số tận cùng của tích 1.3.5....2009.2011.

b. Tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho km−1 chia hết cho 2m với mọi k≥3 lẻ.

Bài 4.

a. Cho x,y là các số thực dương. Chứng minh rằng

(1+xy)3+(1+yx)3≥16.

b. Cho các số thực dương b1,b2,...,bn sao cho b1+b2+...+bn≤10.Đặt a1=b1 và am=sam−1+bm,∀m>1 với 0≤s<1. Chứng minh rằng

a21+a22+...+a2n≤1001−s2. 

Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013Tài liệu và Đề thi - OlympicTác giả: BAN BIÊN TẬP   Thứ bảy, 04 Tháng 8 2012 00:53

BBT: Trường hè Toán học 2012 với chủ đề Hướng tới Olympic Toán 2013 được tổ chức bởi Câu lạc bộ Toán học từ ngày 29/07 đến ngày 04/08/2012. Sau đây BBT xin giới thiệu đến các bạn toàn bộ Đề thi Hướng tới Olympic Toán 2013 dành cho ba khối 10, 11 và 12.

 

 

Khối 10

Bài 1.

Cho dãy số nguyên dương {an} thỏa mãn điều kiện m+n chia hết cho am+an với mọi m,nnguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của a2012.

Bài 2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi UV là một dây cung của (O). Giả sử UV cắt AB,AC lần lượt tại Q và P. Gọi M,N,J,R theo thứ tự là trung điểm BP,CQ,PQ và UV. Chứng minh rằng R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ. 

Bài 3.Chứng minh rằng với mọi x,y,z>0 ta có:

3xy+4yz+16z3x+y−−−−−−√≥15

Bài 4.Hỏi có thể phủ bàn cờ 8×8 bằng 9 hình vuông 2×2 và 7 hình chữ Z được hay không? Giải thích rõ câu trả lời.

Khối 11

Bài 1.

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:1a2+1b2+1c2+1(a+b+c)2≥725(1a+1b+1c+1a+b+c)2

Bài 2.

Cho tứ giác lồi ABCD thỏa mãn ABCˆ+BCDˆ<1800. Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng ta có ABCˆ=ADCˆ khi và chỉ khi AC2=|AB.AE−CD.CE|

Bài 3.

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 2011 chữ số có

dạng a2011a2010...a2a1¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ thỏa mãn điều kiện ai≡i (mod2) với

mọi i=1,2,3...,2011. Tính số tất cả các cặp số (x,y) với x,y∈Z,x<ysao cho x+y chia hết

cho 52011.

Bài 4.Trong chương trình Gặp gỡ Toán học lần IV có tổng cộng 673 tựa sách và quyết định tổ chức đăng ký mua sách cho các thành viên tham gia. Sau khi thu phiếu đăng ký, ban tổ chức phát hiện các điều thú vị sau:

1) Tất cả các bạn đều đăng ký mua đúng ba tựa sách.2) Hai bạn bất kì đăng ký mua giống nhau ít nhất một tựa sách.3) Không có tựa sách nào được tất cả các thành viên đăng ký mua.4) Không có ba bạn nào mua ba tựa sách giống nhau.Chứng minh rằng ở kỳ Gặp gỡ Toán học lần này có nhiều nhất 2011 bạn tham gia giao lưu và học tập.

Khối 12

Bài 1.

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 

⎧⎩⎨2x=y3−y2+22y=z3−z2+22z=x3−x2+2

Bài 2.Cho hai đường tròn (O) và (O′) có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi PQ là tiếp tuyến chung gần A hơn của hai đường tròn với P thuộc (O) và Q thuộc (O′). Gọi C là điểm đối xứng với A qua đường thẳng PQ. Chứng minh rằng:

1) Tiếp tuyến kẻ từ C đến hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn (O), (O′).2) Đường thẳng qua P vuông góc với BQ, đường thẳng qua B vuông góc với PB và đường thẳng OO′ đồng quy.

Bài 3.Tìm tất cả các số nguyên dương n chẵn sao cho nếu đặt

an=11!.(n−1)!+13!.(n−3)!+...+1(n−1)!.1!

thì phương trình 2xn=an(2yn+1) có nghiệm nguyên dương (xn,yn).

Bài 4.Trong một đất nước có 54 thành phố, mỗi thành phố có một sân bay. Giữa hai thành phố bất kì có đúng một đường bay nối trực tiếp giữa chúng và mỗi đường bay thuộc sỡ hữu của một hãng hàng không duy nhất. Biết rằng có 4 hãng hàng không đang hoạt động trên nước này. Chứng minh rằng tồn tại một hành trình bay vòng quanh một số thành phố (lớn hơn 2) sao cho tất cả các đường bay trên hành trình đó đều thuộc sở hữu của một hãng hàng không.

 

Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XVIII khối 10 năm học 2011 - 2012

Ngày 07 tháng 04 năm 2012

 

Bài 5. Cho hình vuông kích thước 8×8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị. Hỏi có thể viết các

số 1;2;3;4;...;64 vào 64 ô vuông (mỗi ô chứa đúng 1 số) sao cho tổng của 4 số nằm trong 4 ô

của 1 hình bất kì (đính kèm) sau đây đều chia hết cho 4?

 

 

Bài số học thấy cũng hài hài.Theo giả thiết bài toán: 2p≡3p (mod xy+1)(1)Nếu giả sử x chia hết cho p.Theo định lý Fecma ta có 5 chia hết cho p dẫn đến p=5. Thay vào ta thấy ngay vô lý.Nếu x không chia hết cho p.(2)(1) (2) suy ra 2≡−3 (mod xy+1)Lại kéo theo 5 chia hết cho p. Thay vào thấy vô lý luônVậy bài toán luôn luôn không có nghiệm