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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 1
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Con frecuencia se requiere describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno real, ya sea físico, sociológico, o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se denomina modelo matemático, el cual se construye con ciertos objetivos en mente. Por ejemplo, es posible que deseemos comprender los mecanismos presentes detrás de cierto ecosistema aplicándonos al estudio del crecimiento de las poblaciones animales localizadas en dicho sistema, o fechar un fósil por medio del análisis de la degeneración de una sustancia radiactiva contenida en el fósil o en el estrato donde se descubrió. La construcción de un modelo matemático de un sistema inicia con la identificación de las variables responsables del cambio que se produzca en el sistema. Es posible que al principio decidamos no incorporar todas estas variables en el modelo. En este primer paso se especifica el nivel de resolución del modelo. A continuación, formulamos un conjunto de premisas razonables o hipótesis acerca del sistema que intentamos describir. Estos supuestos también incluirán cualquier ley empírica aplicable al sistema. Para ciertos propósitos es perfectamente razonable aceptar modelos de baja resolución. Por ejemplo, podemos estar conscientes de que para modelar el movimiento de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra, la fuerza de desaceleración correspondiente a la fricción del aire ocasionalmente se ignora en los cursos básicos de física; sin embargo, para un científico cuya labor es predecir de forma precisa la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, la resistencia del aire y otros factores como la curvatura de la Tierra tienen que ser tomados en cuenta. Ya que las suposiciones acerca de un sistema con frecuencia implican una tasa de cambio de una o más variables, la representación matemática de todas estas suposiciones puede implicar una o más ecuaciones que involucren derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado un modelo matemático equivalente a una ecuación diferencial o a un sistema de ecuaciones diferenciales, se enfrenta el no menos importante problema de intentar resolverlo. Si podemos resolverlo, entonces consideramos que el modelo será razonable cuando su solución sea consistente con datos experimentales o con hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema.
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Miguel Valverde Morales Página 2
1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL
Uno de los primeros intentos por modelar el crecimiento poblacional humano mediante las matemáticas fue realizado por el economista inglés Thomas Malthus, en 1798. Básicamente, la idea del modelo de Malthus representa la suposición de que el ritmo con que la población de un país crece en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese tiempo. En otras palabras, mientras más personas existan en el tiempo t, más serán en el futuro. Todo problema de crecimiento y decrecimiento exponencial, tiene como ecuación diferencial
0 0, ( )dx
kx x t xdt
Donde x es la población por unidad de tiempo, t representa el tiempo y k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen
crecimiento, decaimiento o desintegración y por último 0x es la población existente en cierto
instante inicial 0t .
Resolviendo mediante un método de variables separables, se tiene:
Ahora como se tiene unas condiciones iniciales tal que ( ) entonces:
Suponiendo, como en casi todos los problemas, que entonces se tiene la solución
general:
Cabe destacar que si k>0, el problema es de crecimiento, del mismo modo si k<0, el problema
será de decrecimiento, tal como lo muestra la siguiente figura:
𝑥 𝑒𝑘𝑡
x
y
k>0
k<0
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Miguel Valverde Morales Página 3
Problema 1 Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la
cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en 5 años
¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?
Solución:
La ecuación diferencial a utilizar es:
dx
K dtx
Cuya solución general ya sabemos que es:
0 ktx x e
De acuerdo al problema, se tiene como condiciones iniciales ( ) . Por consiguiente se
tiene:
5
0 0
5
2
2
2 5
12
5
K
K
e
x x e
Ln ln e
Ln k
Ln k
Con lo cual obtenemos la solución:
1ln 2
5
0( )t
x t x e
Ahora se determina en cuanto tiempo se triplicará la población, es decir:
03x t x
Entonces:
2
5
0 0
12
5
2
5
3
3
23
5
35 31 7.92
2 2
5
lnt
ln t
lnt
e
x x e
3 e
Ln ln e
lnLn t
ln
lnt
ln ln
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Miguel Valverde Morales Página 4
Y para determinar en cuanto tiempo se cuadruplicará la población, es decir ( )
1( ln 2)5
0
ln 2( )
50 0
ln 2( )
5
( )
4
ln 4 ln
ln(2)ln 4
5
ln 45ln1 10
ln 2 ln 2
5
t
t
t
e
x t x e
x x e
e
t
t
Respuesta:
Por consiguiente se concluye que se necesitan 7,92 años para triplicar la población y 10 años
para cuadruplicarla.
Problema 2 Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta
clase presente en el paquete. Al cabo de 60 días el numero N ha aumentado a 1000 N. Sin
embargo, el número 200 N es considerado como el límite saludable. A cuantos días, después
de elaborado, vence el alimento.
Solución:
Usamos el siguiente modelo
( ) ktN t ce
Al cabo de 60 días el número N aumento a 1000 N, es decir (60) 1000N N , además según el
modelo, tenemos:
60(60) kN Ne
Igualamos
60
60
1000
ln( ) ln(1000)
k
k
Ne N
e
ln10000.1151
60k
Luego el modelo queda
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0.1151( ) tN t Ne
Sin embargo el número 200 N es considerado como el límite saludable, entonces
0.1151200 tN N e
ln(200)46.03
0.1151t
Respuesta:
Lo que deberías hacer como empleado de la secretaria de salud es proponer que los paquetes
de alimentos tengan una fecha límite de consumo o fecha de vencimiento de 46 días
aproximadamente después de su fabricación.
Problema 3 Se ha determinado que el 0.5 por ciento del radio desaparece en 12 años. Determine: ¿Qué
porcentaje desaparecerá en 1000 años? y ¿Cuál es la vida media del radio?
Solución:
La cantidad de sustancia al cabo de t años está dada por 0( ) ktM t M e
Además como (0)
0(0) 1kM M e 0 1M
Luego: ( ) ktM t e
Si 12 0.995t M (pues 0.5 por ciento del radio desaparece)
120.995
ln 0.995 12
ln 0.9950.0004177
12
ke
k
k
Luego el modelo quedaría:
0.0004177( ) tM t e
El porcentaje que queda de la sustancia radioactiva después de 1 000 años, es:
1000( 0.0004177)(1000)
(1000) 0.65856
M e
M
Este resultado indica que a los 1 000 años quedará el 65.856% de la sustancia radioactiva
original, es decir, desaparecerá 34.144% de dicha sustancia.
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Para hallar la vida media usamos el valor de 1
( )2
M t . Sustituyendo y resolviendo en,
0.0004177( ) tM t e
0.00041771
2
te
1659.44 1660 .t años años
Problema 4 (CRECIMIENTO BACTERIANO)
La población de una comunidad de bacterias crece a razón proporcional a su población en
cualquier momento t. al cabo de 3 horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas las 10
horas, 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de las bacterias?
Solución:
La solución viene dada por:
( )
Sustituyendo las condiciones del problema en la solución, tenemos:
{
Dividiendo las ecuaciones, tenemos:
Resolviendo, para ello tome logaritmos a ambos lados:
Remplazamos k en una de las ecuaciones del sistema, obtenemos 0x .
( )
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( )
Respuesta:
Por lo tanto se concluye que la población inicial de las bacterias era de 200.
Problema 5 (ANTIGÜEDAD DE UN FOSIL – CARBONO 14)
Luego de analizar un hueso fosilizado, se verificó que poseía la centésima parte de la cantidad
original de C-14. Determine le edad un fósil sabiendo que el periodo medio (tiempo en
desintegrarse la mitad del compuesto) del C 14 es aproximadamente 5600 años.
Solución:
Como se sabe la ecuación a utilizar para este tipo de problema es:
( )
De acuerdo a lo planeado 0(5600)2
xx , por lo tanto se tiene:
(
) ( ) ⟨ | | ⟩
Por consiguiente se obtiene la solución general:
( )
Ahora como actualmente se tiene una centésima parte de la cantidad inicial de C 14, entonces:
( )
(
) ( )
(
)
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2. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
El nombre de Isaac newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas
contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto
de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la
acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó
que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más
rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se
acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos
con el nombre de ley de enfriamiento de newton.
La ley de enfriamiento de newton se escribe como:
Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo dT
dt representa la rapidez del
enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo, k una constante que define el
ritmo de enfriamiento y mT es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el
cuerpo luego de suficiente tiempo.
Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables separables, con
lo cual se tiene:
Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la temperatura del
cuerpo es T0.
∫
∫
( )
𝑑𝑇
𝑑𝑡 𝐾(𝑇 𝑇𝑚) 𝑐𝑜𝑛 𝑇( ) 𝑇
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Problema 6
Una cabilla de acero es sacada de un horno a una temperatura de 1000 °C, y es llevada a un
espacio cuya temperatura ambiente es de 30°C. si luego de 1 hora la temperatura de la cabilla
es de 60°C. Determine, ¿Qué temperatura tendrá la cabilla luego de 30 minutos de haber
salido el horno? Y ¿en cuánto tiempo la temperatura de la cabilla será de 40°C?
Solución:
De acuerdo a los datos del problema se tiene que la temperatura del medio ambiente es de
30°C, con lo cual de acuerdo a la solución de todo problema de enfriamiento se tiene
( ) ( )
Además de acuerdo a las condiciones iniciales del problema T (0) = 1000°C, se tiene:
( )
Por lo tanto se obtiene:
( )
Ahora como luego de una hora la temperatura que experimenta la cabilla es de 60°C, entonces
T (1) = 60°C se tiene:
Entonces la solución general del problema es:
( )
Para determinar la temperatura de la cabilla luego de 30 minutos (0.5 horas) de haber salido
del horno se tiene:
( ) ( )
Por último el tiempo trascurrido para la cabilla este a 40°C, es:
(
)
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Problema 7
Un cuerpo se calienta a 1100°C y se expone al aire libre a una temperatura de 100°C. Si al cabo
de una hora su temperatura es de 600°C. ¿Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que
se enfríe a 300°C?
Solución:
( )
1100 ( )
C= 1000
600 = 1100 +1000 ( )
( )
300°C = 1100 +1000 ( )( )
(
)
(
)
T= 2,3219
Problema 8
Un cuerpo a una temperatura desconocida que se pone en un refrigerador a una temperatura
constante de un 1 .Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40 y 40
minutos más tarde la temperatura del cuerpo es de 20 Determinar la temperatura inicial de
éste.
Solución:
El modelo que da solución al problema, es:
( )
Sustituyendo las condiciones del problema, tenemos:
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40 ( )
20 ( )
Reescribiendo estas ecuaciones, se tiene:
39 ( )
19 ( )
Dividiendo estas ecuaciones para eliminar C , quedaría
4039
19
ke
ln(39 /19)
40k
0.0179k
Ahora sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones reducidas, por ejemplo en la
primera
39 ( )
Tendríamos
39 ( )
Despejando el valor de C , tenemos:
55.788C
Reemplazando el modelo del problema:
( )
Tendríamos:
( )
Nos piden la temperatura inicial, hacer 0t
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3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN MEZCLAS
Una mezcla o solución es la unión de un soluto (gaseoso, líquido o sólido) con un solvente (líquido o gaseoso). La mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. Todo problema de mezclado viene dado por la ecuación diferencial:
e s
dAR R
dt
Donde:
dA
dt: Cantidad de soluto presente en la mezcla para cierto tiempo.
eR : Tasa de entrada de la mezcla.
sR : Tasa de salida de la mezcla.
Problema 9
Un tanque está lleno con 20 gal. de salmuera, en la cual están disueltas 10 lb. de sal por gal.
Entra al tanque a 2 gal/min de salmuera con una concentración de 4 lb. de sal por gal. Sale del
tanque una mezcla a la misma tasa que la que entra. Determinar, ¿Cuánta sal está presente en
el tanque luego de 12 min? Y ¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de un tiempo largo?
Solución:
Determinación de la Tasa de Entrada:
2 / 4 /( ) ( )eR gal min lb gal
8 /eR lb min
Determinación de la Tasa de Salida:
2 / / 2( )(( ) 0
/ 1
( )
0
)
( ) ( )
s
s
R gal min Alb gal
R Alb min
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Ecuación Diferencial:
/ 8 /10dA dt A
Método de Variables Separables:
/ 8 /10dA dt A
/ 80( /10)dA A dt
80( ) /10ln A t C
(( /10) )80 t CA e
( /10)80 .eC tA e
( /10)
180 teA C
( /10)
1A(t) 80 teC
Para hay 10 lb de sal:
(0) 10A
Entonces:
(0/10)
110 80 .eC
10 80 C
80 10C
70C
Solución General del Problema:
( /10)A(t) 80 70 te
Sal Presente en el Tanque después de 12 min:
( 12/10)A(12) 80 70e
12 80 7( ) 0 0.3011A
12 80 2( ) 1.08A
12 58.9( 2 )A lb
Sal Presente en el Tanque luego de mucho tiempo:
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( /10)lim ( ) lim(80 70 )t
t tA t e
lim ( ) 80t
A t
Problema 10
Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual contiene 2 libras
de sal/galón de salmuera entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a
una velocidad de 2 gal/min. Si la concentración es de 1,8 libras de sal/galón de salmuera al
cabo de una hora. Calcular las libras de sal que había inicialmente en el tanque.
Solución:
Determinación de la Tasa de Entrada:
(3 ) )/( 2/eR gal min lb gal
6 /eR lb min
Determinación de la Tasa de Salida:
( )(( ) (102 0 ))
( ) 0/ (5
/ /
)
s
s
R gal min Alb gal
R Alb min
Ecuación Diferencial:
/ 6 / 50dA dt A
Método de Variables Separables:
/ 6 / 50dA dt A
(30/ 0 / 50)dA A dt
(30 )0 / 50ln A t C
(( /50) )300 t CA e
( /50)300 .eC tA e
( /50)
1300 teA C
( /50)
1A(t) 300 tC e
Determinando C:
(60) 1,8 / (160 )A lb gal gal
( 60/50)
1 1,8 / (1603 )00 e lb gC al gal
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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300 (0,3011) 288C
0,3011 12C
39.85C
Libras de Sal Inicial:
( 0/50)A(0) 300 39.85e
(0) 260.15A
Problema 11
Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 12 libras
de sal/galón de salmuera fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 gal/min. y la mezcla
bien homogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Después de 10 minutos el proceso
se detiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 gal/min. abandonando el
tanque a la misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado
un total de 20 minutos.
Solución:
Determinación de la Tasa de Entrada 1:
(2 )( / /12 )eR gal min lb gal
24 /eR lb min
Determinación de la Tasa de Salida 1:
( )(( ) (102 0 ))
( ) 0/ (5
/ /
)
s
s
R gal min Alb gal
R Alb min
Ecuación Diferencial:
/ 24 / 50dA dt A
Método de Variables Separables:
/ 24 / 50dA dt A
/ 0(120 ) / 50dA A dt
(120 )0 / 50ln A t C
(( /50) )1200 t CA e
( /50)1200 .eC tA e
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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( /50)
11200 tA C e
( /50)
1A(t) 1200 tC e
Determinando C:
(0) 0A
(0/50)
11200 0eC
1200 (1) 0C
1200C
Libras de Sal tras 10 minutos:
( 10/50)A(10) 1200 1200 e
(10) 217,52A
Determinación de la Tasa de Entrada 2:
(2 ) )/( 0/eR gal min lb gal
0 /eR lb min
Determinación de la Tasa de Salida 2:
( )(( ) (102 0 ))
( ) 0/ (5
/ /
)
s
s
R gal min Alb gal
R Alb min
Ecuación Diferencial:
/ 0 / 50dA dt A
Método de Variables Separables:
/ 0 / 50dA dt A
/ / 50dA A dt
( ) / 50ln A t C
(( /50) )t CA e
( /50).eC tA e
( /50)
1
teA C
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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R
C
( /50)
1A(t) teC
Determinando C:
(0) 217,52A
(0/50)
1 217,52C e
217,52C
Libras de Sal tras 20 minutos:
( 20/50)A(20) 217,52 e
(20) 145,8A
4. APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN CIRCUITOS
4.1. CIRCUITOS RC
Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se
caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero,
el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el
condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio
entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza
una resistencia. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es
igual a cero.
Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado ( )E t , un resistor o
resistencia R y un capacitador C , tal como lo muestra la figura
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 18
Aplicando la segunda regla de Kirchoff y sabiendo que RV iR y c
qV
C ,
Donde q es la carga del capacitador, entonces se obtiene que:
( ) ( )c R
qE t V V E t i R
C
Ahora como dq
idt
, y además dividiendo toda la ecuación por R se obtiene:
1 ( )dq E tq
dt RC R
Problema 12
Una fuerza electromotriz ( ) , se conecta con una resistencia de 20
ohmios y un capacitor de 0.01 faradios. Determine la carga y la corriente en cualquier
tiempo. Calcule la carga máxima y determine cuando se obtiene.
Solución:
De acuerdo al problema se tiene la ecuación diferencial para un circuito RC:
( )
Datos:
( )
Reemplazamos:
( )( )
La cual se resuelve como una ecuación lineal de primer orden, por lo tanto primero se
obtiene el factor integrante:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 19
( ) ∫ ( )
Por consiguiente, multiplicamos el factor integrante a ambos lados de la ecuación:
(
) = ( )
( )
Realizamos separación de variables:
∫ ∫
( ) ( )
Ahora con las condiciones iniciales: Al inicio el capacitor esta descargado.
t=0 ; ( )
Reemplazamos:
( ) ( ( ) ) ( )
La carga para cualquier tiempo es:
( ) ( )
Hallamos la corriente para cualquier instante de tiempo, teniendo en cuenta:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 20
Derivamos ambos lados
Derivamos la ecuación de la carga para cualquier instante de tiempo
( ( )) (( ) )
( )
La corriente para cualquier instante de tiempo
( ) ( )
Hallamos la carga máxima y el instante en que ocurre.
( )
( )
( ) ( )
( ) s
Finalmente, reemplazamos:
( ) ( ) ( )
( )
Problema 13
Una resistencia R varia con respecto al tiempo de acuerdo a . Se conecta en
serie con un capacitor de 0.1 faradios y un generador con una fuerza electromotriz de 100
voltios. Si la carga inicial en el condensador es de 5 culombios. Determine la carga y la
corriente en función del tiempo y además la carga máxima del condensador.
Solución:
Datos:
C= 0.1 Faradios
E(t)=100 V
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 21
q(0)= 5 culombios
Hallamos la carga en función al tiempo.
Teniendo en cuenta la ecuación diferencial de un circuito RC, reemplazamos datos:
( )( )
( )
( )
( )
La solución general de la ecuación diferencial es:
( ) ( )
Empleando la condición inicial q(0)=5, encontremos C.
( )
La ecuación de la carga en función al tiempo es:
( ) ( )
Hallamos la corriente en función al tiempo.
Derivamos la ecuación de la carga:
( ( )) ( ( ) )
( )
La ecuación de la corriente en función del tiempo es:
( ) ( )
Hallamos la carga máxima del condensador.
La carga máxima del condensador es mayor que 0, por lo tanto es una función creciente. Se
aplica límites:
( ( ) )
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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4.2. Circuito RL.
Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado ( )E t un resistor o
resistencia R y un inductor L , tal como lo muestra la figura.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que RV i R y L
diV L
dt
se tiene:
( ) ( )L R
diE t V V E t L i R
dt
Con lo cual luego de dividir por L, se obtiene:
( )
Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin
embargo si el voltaje aplicado ( )E t es constante es posible resolver la ecuación
utilizando la técnica de variables separables.
Problema 14
Un generador con una fuerza electromagnética de 100 voltios se conecta en serie con una
resistencia de 10 ohmios y un inductor de 4 henrios. Determine una ecuación, la corriente que
circula por el circuito a los 2 s .
Solución:
Suponga que el circuito inicialmente se encuentra abierto.
De acuerdo a los datos del problema y a la ecuación diferencial que modela un circuito en serie
RL, se tiene:
Entonces resolviendo la ecuación obtenida como una lineal de primer orden, se determina
primero el factor integrante, el cual viene dado por:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 23
Por consiguiente:
En conclusión se obtiene que la intensidad de corriente viene dada por:
Como el circuito inicialmente está abierto, entonces para un instante t = 0, no circula corriente
por el circuito, es decir i = 0, por lo tanto:
Por lo tanto se tiene la ecuación de la corriente en función del tiempo para este circuito:
Entonces la corriente que circula por el circuito a los 2 microsegundos es:
Problema 15
Un generador con una fuerza electromotriz de E t 10sen7t se conecta en serie con una
resistencia de 6 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si para t 0 no circula corriente por el
circuito. Determine la corriente para cualquier instante de tiempo.
Solución:
Reemplazamos en la formula general, los datos propuestos en el ejercicio.
Hallamos el factor integrante.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 24
∫
Multiplicamos ambos miembros por el factor integrante “u”.
(
) ( )
( )
Realizamos el cambio de variable.
( )
( )
Integramos a ambos lados.
( )
∫ ( ) ∫
∫
Para poder integrar ∫ , se necesita usar la siguiente fórmula:
∫ ( )
+ C
Aplicamos la fórmula:
∫ ( )
+c
∫ ( )
Reemplazamos en la ecuación:
∫
( ( )
)
( )
( )
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 25
Despejamos la “ ”
( )
(
( ) )
( )
( )
Asumimos que ( ) para hallar
( )
( ( ) ( )) ( )
( )
Reemplazamos en la ecuación ( ):
( )
( )
( )
( )
Rpta: ( )
( )
5. VARIABLES SEPARABLES APLICADA A LA ABSORCION DE DROGAS EN ORGANOS Y
CELULAS
Cuando hablamos de la absorción de drogas en el organismo, no nos referimos a nada más
sino al proceso de asimilación de los medicamentos en el cuerpo estos tienen ciertas
características y procesos que influyen tanto grupal como individualmente.
Es necesario resaltar el uso que podemos darla a esta aplicación: nuestro principal objetivo
será conseguir una ecuación que nos exprese la concentración del medicamento en un
determinado órgano después de cierto intervalo de aplicación. Dicha ecuación puede tener
diversos usos:
Para propósitos de análisis matemático en biología, a menudo es conveniente considerar un
organismo (tal como un humano, animal, o planta) como una colección de componentes
individuales llamados compartimientos. Un compartimiento puede ser un órgano (tal como el
estómago, el páncreas o hígado) o un grupo de células que actúan como una unidad. Un
problema importante consiste en determinar la absorción de químicos, tales como drogas, por
células u órganos. Esto tiene aplicación práctica en el campo de la medicina, puesto que puede
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 26
suceder que ciertas drogas fatales puedan acumularse en un órgano o en un grupo de células
llevando a su destrucción. El tipo de problema más simple trata solamente con un
compartimiento. Sin embargo, puede ser importante para ciertos propósitos tratar con
sistemas que involucran dos o más compartimientos los cuales interactúan entre sí. Como se
podría esperar, la dificultad del análisis matemático tiende a crecer con el número de
compartimientos.
Supongamos que un líquido transporta una droga dentro de un órgano de volumen V
cm3 a una tasa de a cm3/seg, y sale a una tasa de b cm 3 /seg, tal como lo muestra la figura
La concentración de la droga en el líquido es c g/cm. Entonces si x , representa la
concentración de la droga en el órgano (esto es el número de gramos de la droga por
cm), la cantidad de droga en el órgano en cualquier tiempo t está dado por xV . Además el
número de gramos por segundo que entran al órgano en un tiempo t , está dado por ac , y el
número de gramos por segundo que salen del órgano viene dado por bx .
Ahora, la tasa de cambio de la cantidad de droga en el órgano es igual a la tasa a la cual entra
la droga menos la tasa a la cual sale, así que podemos decir que:
( )d xVac bx
dt
La forma como se resolverá la ecuación diferencial dependerá de cuáles de los elementos que
intervienen en la ecuación son constantes y cuales variables. Asumiendo que , ,a b c y V son
constantes, entonces resolvemos utilizando la técnica de variables separables con la condición
inicial es 0(0)x x
0
bt
Vdx ac ac
V ac bx x x edt b b
En efecto
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 27
[
]
( )
( )
( )
( )
*
+
De acuerdo a los datos se nos pueden presentar dos casos:
CASO I
Cuando a es igual a b, tendríamos que la tasa de entrada es igual a la tasa de salida,
por lo tanto:
0
0
0
0
ln
1
1 1(ln( ) ln( )
ln
x
x
ac bx btac bx V
dxV dt
ac bx
dxdt
ac bx v
ac bx ac bx tb V
ac bx bt
ac bx V
e e
0
bt
Vac ac
x x eb b
0
bt
Vbc bc
x x eb b
0
bt
Vx c x c e
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 28
CASO II
Cuando a es igual a b y igual a 0
Problema 16
Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de de volumen, a una tasa
de ⁄ y sale a la misma tasa. La concentración de la droga en el líquido es
de ⁄ . Asumiendo que inicialmente la droga no está en el órgano encuentre:
a) La concentración de la droga en el órgano después de 30 segundos.
b) ¿Cuánto tiempo demoraría para que la concentración de la droga en el órgano alcance
⁄ a los 30 segundos?
c) La concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si la concentración inicial
es de ⁄ .
Solución:
a) La concentración de la droga en el órgano después de 30 segundos.
Datos:
Volumen (V) =
Tasa de entrada (a) = ⁄
Tasa de salida (b) = ⁄
Concentración (c) = ⁄
0
bt
Vac ac
x x eb b
0
bt
Vac ac
x x eb b
bt
Vbc bc
x o eb b
1b
tVx c e
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Miguel Valverde Morales Página 29
Sustituimos los datos en la fórmula
Luego después de 30 segundos.
Respuesta: La concentración de la droga después 30s es 0,0361 ⁄ .
b) ¿Cuánto tiempo demoraría para que la concentración de la droga en el órgano alcance
⁄ a los 30 segundos.
Datos:
Concentración = ⁄
Tiempo = 30seg
Sustituir los datos:
Respuesta: El tiempo que demora para que la concentración de la droga en el órgano alcance
⁄ será 34,65s.
c) La concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si la concentración inicial
es de ⁄ .
Datos:
Concentración Inicial
⁄
Tiempo = 30seg
10
500(10)(0,08) (10)(0,08)
(10) (10)
t
x o e
0,02( ) 0,08 0,08 tx t e
0,02(30)(30) 0,08 0,08
(30) 0,08 0,0439
(30) 0,0361
x e
x
x
0,02( ) 0,08 0,08 tx t e
0,02
0,02
0,02
0,02
0,04 0,08 0,08
0,08 0,04
0,08
0,5
ln 0,5 ln
ln 0,5 0,02
ln 0,5
0,02
34,65
t
t
t
t
e
e
e
e
t
t
t s
10
30500
0,6
(30) 0,08 0,20 0,08
(30) 0,08 (0,12)
(30) 0,08 0,066
(30) 0,146
x e
x e
x
x
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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Aplicamos la fórmula del caso I
Respuesta: La concentración de la droga en el organismo a los 30 seg cuando la concentración
inicial es de ⁄ es de 0,146.
Problema 17
Suponga que en el problema del texto la tasa (a) a la cual entra el líquido con concentración de
droga constante (C) al órgano es mayor que la tasa (b)a la cual sale. Como consecuencia,
suponga que el volumen del órgano se expande a una tasa constante (r) de modo que V= V0 +
mt si la concentración inicial de la droga en el órgano es X0, muestre que la concentración en
cualquier tiempo t>0 es :
00
0
b mmVac ac
x xb m b m V mt
Demostración:
Tasa de entrada= a
Tasa de salida= b
Concentración de droga en el líquido= c
Volumen del órgano V=V0+rt
Entonces se sustituye en la ecuación
0
dxV ac bx
dt
dx V rt ac bx
dt
Derivando el producto tenemos que:
0( )b
tVx t c x c e
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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0
11
0
0 0
0
0
0
00
0 0 0
0
00
ln ln
1 1ln ln ln ln
1 1ln ln
b m
x t
X
ac b m x V mt
ac b m X V
dxV mt xm ac bx
dt
dxV mt ac bx mx
dt
dx V mt ac b m x dt
dx dt
V mtac b m x
ac b m x ac b m X V mt Vb m m
ac b m x V mt
b m m Vac b m X
e e
1 1
0
00
1 1
0 0
0
m
b m m
b m m
ac b m x V mt
Vac b m X
ac b m X V mt
Vac b m x
1
0 0
0
0 0
0
0
00
00
0
0
0
b mb m
m
b m
b m
m
b m
m
b m
m
b m
m
b m
m
b m
m
ac b m X V mt
Vac b m x
ac b m X V mt
Vac b m x
ac b m x V
ac b m XV mt
Vac b m x ac b m X
V mt
Vb m x ac ac b
V mt
0
00
0
b m
m
m X
Vac acx X
b m V mt b m