Ćwiczenia z MATLAB’em - eia.pg.edu.pl - T1... · Przypadek szczególny, dla macierzy kwadratowej wymiaru 2 zachodzi: (28) Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

PODSTAWY AUTOMATYKI

MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowo-

inżynierskich - podstawowe operacje na liczbach

i macierzach.

Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych -

część III - termin T1

Opracowanie:

Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.

Michał Grochowski, dr inż.

Robert Piotrowski, dr inż.

Tomasz Rutkowski, dr inż.

Rafał Łangowski, dr inż.

Gdańsk

Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1

- 2 -

1. Macierze - podstawowe informacje

Macierzą nazywamy funkcję dwóch zmiennych, która każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje dokładnie jeden element , który może być

liczbą rzeczywistą lub zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania) lub wielomianem. Ogólna postać macierzy dana jest wzorem:

(1)

Element nazywamy współczynnikiem macierzy; elementy

nazywamy i-tym wierszem macierzy; elementy nazywamy j-tą kolumną macierzy.

Wymiarami macierzy (1) nazywamy uporządkowaną parę liczby wierszy i kolumn i oznaczamy przez . Macierz, w której liczba wierszy jest różna od liczby kolumn nazywamy macierzą prostokątną. W przypadku, gdy liczba wierszy jest równa liczbie kolumn to mamy do czynienia z macierzą kwadratową.

Macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero

nazywamy macierzą diagonalną:

(2)

Macierz diagonalna może być zapisana w następujący sposób:

(3)

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz skalarna, której elementy na głównej przekątnej mają tą samą wartość :

(4)

Szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej jest macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są jednościami:

(5)


- 3 -

2. Podstawowe operacje na macierzach

Niech macierze i są postaci:

(6)

Sumą (różnicą) macierzy i (macierze muszą być jednakowych wymiarów) nazywamy macierz

, której elementy są sumą (różnicą) odpowiednich elementów macierzy dodawanych lub

odejmowanych:

(7)

Zadanie 1

Wyznaczyć sumę następujących macierzy:

(8)

Rozwiązanie

Dokonując obliczeń uzyskujemy:

(9)

Suma macierzy jest operacją łączną i przemienną:

oraz istnieje macierz zerowa , która jest elementem neutralnym dodawania:

Iloczynem macierzy i nazywamy macierz równą:

(10)

której elementy są określone zależnością:

(11)

Mnożenie macierzy przez macierz jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy (mnożonej) jest równa liczbie wierszy macierzy (mnożnika). Dlatego też w ogólności mnożenie macierzy nie jest przemienne.


- 4 -

Zadanie 2

Znaleźć iloczyn liczby p przez macierz :

(12)

Rozwiązanie

Po obliczeniach otrzymujemy:

(13)

Zadanie 3

Wyznaczyć iloczyn następujących macierzy:

(14)

Rozwiązanie

Dokonując obliczeń mamy:

(15)

Macierzą transponowaną (lub ) macierzy o wymiarach nazywamy macierz o wymiarach otrzymaną w wyniku zamiany wierszy na kolumny, czyli przez zastąpienie elementu macierzy

elementem :

(16)

(17)

Obowiązują następujące prawa:

Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczamy jako (lub jako ) i obliczamy na podstawie następującego wzoru:

rozwinięcie względem i-tego wiersza:

(18a)


- 5 -

lub

rozwinięcie względem j-tej kolumny:

(18b)

gdzie jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

W ogólnym przypadku obliczenie wyznacznika może odbywać się poprzez wykreślenie dowolnego wiersza i dowolnej kolumny.

Zadanie 4

Obliczyć wyznacznik następujących macierzy:

(19)

Rozwiązanie

Wyznacznik macierzy :

(20)


(21)


Skreślając np. pierwszy wiersz i kolejno pierwszą, drugą, trzecią i czwartą kolumnę obliczamy poszczególne wyznaczniki:

(22)

Rozwijając macierz według elementów pierwszego wiersza mamy:

(23)

Macierz kwadratową nazywamy macierzą nieosobliwą (regularną) wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy . W przypadku, gdy wyznacznik macierzy jest równy zero to taką macierz kwadratową nazywamy macierzą osobliwą.


- 6 -

Macierz dołączona macierzy kwadratowej jest to macierz powstała przez zastąpienie każdego

elementu macierzy transponowanej odpowiadającym temu elementowi jego dopełnieniem algebraicznym opisanym wzorem:

(24)

gdzie jest minorem macierzy tzn. wyznacznikiem macierzy powstałej przez wykreślenie

z macierzy i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Minorem stopnia macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wyznacznik macierzy

powstałej z macierzy przez usunięcie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

Zadanie 5

Wyznaczyć macierz dołączoną następującej macierzy:

(25)

Rozwiązanie

Dokonując obliczeń mamy:

(26)

Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej stopnia nazywamy macierz postaci:

(27)

UWAGA

Przypadek szczególny, dla macierzy kwadratowej wymiaru 2 zachodzi:

(28)


- 7 -

Zadanie 6

Obliczyć macierz odwrotną dla następujących macierzy:

(29)

Rozwiązanie

Dla macierzy mamy:

(30)

Dla macierzy uzyskujemy:

(31)

Rzędem macierzy nazywamy najwyższy stopień niezerowego minora tej macierzy. Jeżeli macierz ma wymiar rząd tej macierzy spełnia warunek:

(32) Zadanie 7

Znaleźć rząd następujących macierzy:

(33)

Rozwiązanie

Dla macierzy otrzymujemy:

(34)

Dla macierzy mamy:

(35)

Macierzą sprzężoną macierzy o wymiarach nazywamy macierz o wymiarach otrzymaną w wyniku zastąpienia elementu macierzy elementem , gdzie jest elementem sprzężonym

względem .

(36)

Algorytm wyznaczania macierzy sprzężonej jest następujący: 1. Wyznaczyć macierz transponowaną . 2. Zastąpić każdy element macierzy transponowanej elementem sprzężonym.


- 8 -

Zadanie 8

Wyznaczyć macierz sprzężoną dla następującej macierzy:

(37)

Rozwiązanie

Krok 1

Wyznaczamy macierz transponowaną:

(38)

Krok 2

Zastępujemy każdy element tej macierzy elementem sprzężonym:

(39)

Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wielomian postaci:

(40)

natomiast równanie:

(41)

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy .

Wartościami własnymi macierzy kwadratowej nazywamy pierwiastki jej równania charakterystycznego.

Zbiór wartości własnych nazywamy widmem tej macierzy.

Podstawowe własności wartości własnych:

Jeżeli wszystkie współczynniki macierzy są rzeczywiste, to jej wartości własne są rzeczywiste lub zespolone parami sprzężone.

Jeżeli są wartościami własnymi macierzy to są również wartościami własnymi macierzy .

Jeżeli są wartościami własnymi macierzy (a macierz ta nie jest macierzą

jednostkową) to

są wartościami własnymi macierzy .

Zadanie 9

Wyznaczyć wielomian charakterystyczny i wartości własne macierzy postaci:

(42)


- 9 -

Rozwiązanie

Na podstawie zależności (40) wielomian charakterystyczny wynosi:

(43)

Zatem zgodnie z (41) obliczamy wartości własne:

(44)

;

Prawostronnym wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy kwadratowej stopnia nazywamy niezerowy n-wymiarowy wektor kolumnowy , który jest rozwiązaniem równania:

(45)

Lewostronnym wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy kwadratowej stopnia

nazywamy niezerowy n-wymiarowy wektor wierszowy , który jest rozwiązaniem równania:

(46)

Prawostronne i lewostronne wektory własne nazywane są często po prostu wektorami własnymi.

Twierdzenie 1:

Każda niezerowa kolumna (wiersz) macierzy dołączonej jest prawostronnym

(lewostronnym) wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy .

3. Liczby zespolone - podstawowe informacje

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę , gdzie . Zbiór wszystkich liczb zespolonych określamy symbolem : .

Jeżeli , to liczbę nazywamy częścią rzeczywistą liczby i oznaczamy: , natomiast liczbę nazywamy częścią urojoną liczby i oznaczamy: .

Dwie liczby zespolone i są sobie równe, gdy:

(47)

Liczbę nazywamy jednostką urojoną i oznaczmy lub , czyli ; jednostka urojona spełnia warunek: .

Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci:

(48)

zwanej postacią algebraiczną liczby zespolonej.


- 10 -

Jeżeli i to ich sumę, różnicę oraz iloczyn uzyskujemy tak jak sumę, różnicę oraz iloczyn dwumianów, z uwzględnieniem tego, że . Zatem:

(49)

(50)

(51)

Jeżeli i to ich iloraz uzyskujemy:

(52)

Zadanie 10

Dla następujących liczb zespolonych: oraz , wyznaczyć: sumę, różnicę, iloczyn oraz iloraz.

Rozwiązanie

Na podstawie zależności (49) - (52) uzyskujemy:

(53)

(54)

(55)

(56)

Sprzężeniem liczby zespolonej (albo liczbą sprzężoną) nazywamy liczbę: .

Modułem liczby zespolonej jest liczba rzeczywista: .

Argumentem liczby zespolonej nazywamy każdą liczbę taką, że: ,

. Argument liczby oznaczmy symbolem . Każde dwa argumenty liczby różnią się

o parzystą krotność . Argumentem głównym liczby nazywamy ten z argumentów liczby , który należy do przedziału lub ; oznaczamy go symbolem .


(57)

gdzie: jest modułem, a jest argumentem liczby . Postać ta zwana jest postacią trygonometryczną liczby zespolonej.


- 11 -

Zadanie 11

Przejdź z algebraicznej postaci liczby zespolonej: do jej postaci trygonometrycznej.

Rozwiązanie

Na podstawie zależności (57) uzyskujemy:

(58)

Jeżeli , to:

(59)

Wyrażenie: stanowi wzór de Moivre’a.

Zadanie 12

Oblicz:

:

Rozwiązanie

Na podstawie zależności (58) postać trygonometryczna liczby jest następująca:

.

Wykorzystując (59) otrzymujemy:

(60)


(61)

gdzie: jest modułem, a jest argumentem liczby . Postać ta zwana jest postacią wykładniczą liczby zespolonej.

Zadanie 12

Przejdź z algebraicznej postaci liczby zespolonej: do jej postaci wykładniczej.

Rozwiązanie

Na podstawie zależności (61) uzyskujemy:


- 12 -

(62)

4. Bibliografia

Banaszak G., Gajda W. Elementy algebry liniowej. Część 1. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2002. Tarnawski E. Matematyka. Część pierwsza. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967. Trajdos-Wróbel T. Matematyka dla inżynierów. Kurs wyższy. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1965.

Documents

Ćwiczenia z MATLAB’em - eia.pg.edu.pl - T1... · Przypadek szczególny, dla macierzy kwadratowej wymiaru 2 zachodzi: (28) Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część