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Curso de Probabilidad y EstadísticaTema: (7) Estadística Descriptiva
Dr. José Antonio Camarena Ibarrola
[email protected] de Ingeniería Eléctrica
El campo de la Estadística
Recopilación, Presentación, Análisis y Uso de Información para resolver
problemas, tomar decisiones, hacer estimaciones y diseñar productos y procedimientos
La variabilidad
La Estadística sirve para presentar, describir y entender la variabilidad
Un proceso produce un resultado, al repetirse un proceso, los resultados cambian a pesar de que el proceso se reprodujo aparentemente en las mismas circunstancias.
Población
Colección de mediciones de un universo respecto al cual queremos obtener conclusiones o tomar decisiones.
Ej. Conjunto de valores de consumo de energía (KWH) facturados en el primer bimestre de 2008
Tipos de datos
Datos numéricos (continuos o discretos)
Datos categóricos (Ej. Sexo, marca, ..)
Datos identificadores de unidades
Muestreo de datos
PoblaciónMuestraMuestreo aleatorio
Nota: Si la muestra es igual a la población, al muestreo le llamamos censo
Estadística
Descriptiva. Organización, resumen y presentación de datos
Inferencial. Llegar a una conclusión acerca de la población, el proceso o el modelo de asignación de las variables
Presentación gráfica de la información
Diagrama de puntos Gráficas de dispersión Diagramas de tallos y hojas Histogramas Diagramas de cajas con bigotes Gráficas de Pareto Series de tiempo
Diagrama de puntos
16.0 16.0 16.5 16.5 17.0 17.0 17.5 17.5 18.0 18.0 18.5 18.5
* * ** * * * * * ** * ** * * * * * * + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +
* = Mortero modificado* = Mortero modificado
+ = Mortero sin modificar+ = Mortero sin modificar
Ejemplo: Datos de resistencia a la tensión de Ejemplo: Datos de resistencia a la tensión de muestras de mortero Portland (Kg/cm2) con muestras de mortero Portland (Kg/cm2) con polímero agregado:polímero agregado:16.85 16.40 17.21 16.35 16.52 16.85 16.40 17.21 16.35 16.52 17.04 16.96 17.15 16.59 16.5717.04 16.96 17.15 16.59 16.57mortero Portland sin modificar:mortero Portland sin modificar:17.50 17.63 18.25 18.00 17.8617.50 17.63 18.25 18.00 17.8617.75 18.22 17.90 17.96 18.1517.75 18.22 17.90 17.96 18.15
Graficas de dispersión
Gráfica de dispersión
Grafica de dispersión 3D
Gráfica de burbujas
Ejemplo: Resistencia a la tensión de 80 muestras de aleación Aluminio-Litio
105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146 194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149196 201 200 176 150 170 118 149
Diagrama de tallos y hojasTalloTallo HojaHojaFrecuenciaFrecuencia77 66 1 188 77 1 199 77 1 11010 5 15 1 2 21111 5 8 05 8 0 3 31212 1 0 31 0 3 3 31313 4 1 3 5 3 54 1 3 5 3 5 6 61414 2 9 5 8 3 1 6 92 9 5 8 3 1 6 9 8 81515 4 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 84 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 8 12 121616 3 0 7 3 0 5 0 8 7 93 0 7 3 0 5 0 8 7 9 10101717 8 5 4 4 1 6 2 1 0 68 5 4 4 1 6 2 1 0 6 10101818 0 3 6 1 4 1 00 3 6 1 4 1 0 7 71919 9 6 0 9 3 49 6 0 9 3 4 6 62020 7 1 0 87 1 0 8 4 42121 88 1 12222 1 8 91 8 9 3 32323 77 1 12424 55 1 1
Tallos y Hojas ordenadoTalloTallo HojaHojaFrecuenciaFrecuencia77 66 1 188 77 1 199 77 1 11010 1 51 5 2 21111 0 5 8 0 5 8 3 31212 0 1 30 1 3 3 31313 1 3 3 4 5 51 3 3 4 5 5 6 61414 1 2 3 5 8 6 9 91 2 3 5 8 6 9 9 8 81515 0 0 1 3 4 4 6 7 8 8 8 80 0 1 3 4 4 6 7 8 8 8 8 12 121616 0 0 0 3 3 5 7 7 8 90 0 0 3 3 5 7 7 8 9 10101717 0 1 1 2 4 4 5 6 6 80 1 1 2 4 4 5 6 6 8 10101818 0 0 1 1 3 4 60 0 1 1 3 4 6 7 71919 0 3 4 6 9 9 0 3 4 6 9 9 6 62020 0 1 7 80 1 7 8 4 42121 88 1 12222 1 8 91 8 9 3 32323 77 1 12424 55 1 1
Los datos ordenados
76 87 97 101 105 110 115 118 120 121 123 131 133 133 134 135 135 141 142 143 145 146 148 149 149 150 150 151 153 154 154 156 157 158 158 158 158 160 160 160 163 163 165 167 167 168 169 170 171 171 172 174 174 175 176 176 178 180 180 181 181 183 184 186 190 193 194 196 199 199 200 201 207 208 218 221 228 229 237 245
Son 80 datos, como es un numero par, la mediana será el promedio de los que ocupan los lugares 40 y 41, o sea (160+163)/2=161.5El primer cuartil es el valor en (0.25)*80+0.5=20.5, es decir, el promedio de los valores en los puestos 20 y 21, o sea (143+145)/2=144El tercer cuartil es el promedio de los valores en los puestos 60 y 61, es decir, (181+181)/2=181
El rango intercuartil
RIC=Q3-Q1 Es una medida de dispersión de
datos En el ejemplo anterior: RIC=181-
144=37
Tabla de Frecuencias
ClaseClase Frecuencia Frecuencia Frec. RelativaFrec. Relativa Frec. Rel. Frec. Rel. Acum.Acum.70 a 9070 a 90 22 0.02500.02500.02500.025090 a 11090 a 110 33 0.03750.0375 0.06250.0625110 a 130110 a 130 66 0.07500.0750 0.13750.1375130 a 150130 a 150 1414 0.17500.1750 0.31250.3125150 a 170150 a 170 2222 0.27500.2750 0.58750.5875170 a 190170 a 190 1717 0.21250.2125 0.80000.8000190 a 210190 a 210 1010 0.12500.1250 0.92500.9250210 a 230210 a 230 44 0.05000.0500 0.97500.9750230 a 250230 a 250 22 0.02500.0250 1.00001.0000
Histograma
0
5
10
15
20
25
70 90 110 130 150 170 190 210 230 250
Cajas con bigotes Presenta al mismo tiempo una medida de dispersión, de
tendencia central y de valores extremos Se debe determinar la mediana, el primero y el tercer
cuartil y los valores máximo y mínimo Rango Intercuartílico RIC=Q3-Q1
Las gráficas de Caja son útiles para hacer comparaciones
Supongamos que un corredor entrena para una determinada carrera y se toman los tiempos que necesita para recorrer los 100m, durante 10 días consecutivos (cada día se toman varios tiempos y se calculan mediana, cuartiles, valores mínimo y máximo)
El desplazamiento de las gráficas de caja hacia la izquierda indica que el entrenamiento ha dado resultado, ya que se tardan menos segundos en recorrer la misma distancia, siendo la diferencia entre el máximo y el mínimo menor, como así también la diferencia intercuartílica
Ejemplo
En un diario presentan el siguiente gráfico de caja y bigotes. La variable en estudio es “calificación en un examen de ingreso”
Teniendo en cuenta esta gráfica indique en forma aproximada:a)¿Qué calificación obtuvo el estudiante con menor nota? b)¿Qué calificación obtuvo el estudiante con mayor nota? c)¿Cuál es el primer cuartil?d)¿Cuál es el tercer cuartil?e)¿Cuál es la mediana?
Ejercicio
En un aeropuerto se registran los vuelos que arriban en una semana determinada y los datos se vuelcan en la siguiente tabla:
Ordene en forma creciente y calcule mediana y cuartiles.¿Cuántos vuelos hay el día que hay menos vuelos?¿Cuántos vuelos hay el día que hay más vuelos? Represente mediante un diagrama de caja y bigotes.
Día Lunes Martes
Miércoles
Jueves Viernes
Sábado
Domingo
Vuelos 25 37 45 50 32 40 30
Diagrama de Pareto Se ordenan la frecuencias en orden
descendente La escala horizontal no es necesariamente
numérica La línea indica los porcentajes acumulados Útiles en análisis de datos de defectos en
procesos de producción Muy usada en los programas de mejoramiento
de calidad pues permite a los ingenieros concentrarse en los problemas realmente importantes
Ejemplo, Proceso de fabricación de un puerta de automóvil
Tipo de Defecto
Cant
Mancha 21
Rayón 35
Defecto en manija
17
Floja 29
Abollada 3
Defecto en vidrio
5
TOTAL 110
Tipo de Defecto
Cant
Rayón 35
Floja 29
Mancha 21
Defecto en manija
17
Otros 8
TOTAL 110
%
32
26
19
16
7
100
Diagrama de Pareto
Serie de tiempo
0
50
100
150
200
250
300
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Resist a la tensión
Descripción numérica de los datos Media Varianza Moda Mediana Sesgo Curtosis Covarianza Factor de correlación
La media
n
ii
n xnn
xxxx
1
21 1...
La media muestral
La media de la población
N
iixN 1
1
La media geométrica
nn
n
n
ii xxxxMg ...21
1
La varianza
2
1
2
1
22 1)(
1xx
nxx
ns
n
ii
n
iin
La varianza muestral
La varianza de la población
N
iixN 1
22 )(1
Varianzas muestrales, Covarianza muestral y correlación muestral
2
1
2
1
22 1)(
1xx
nxx
ns
n
ii
n
iix
2
1
2
1
22 1)(
1yy
nyy
ns
n
ii
n
iiy
yxyxn
yyxxn
sn
iii
n
iiixy
11
1))((
1
yx
xyxy SS
Sr
La cuasi-varianza muestral
2
11
21
2
21
111
1
)( n
ii
n
ii
n
ii
n xn
xnn
xxs
Esta medida de dispersión tiene la propiedad de insesgadez
La moda
El valor de mayor frecuencia Si hay dos, la distribución es bi-
modal
El rango dinámico
La diferencia entre el máximo y el mínimo de los valores de la población
Sesgo y Curtosis
31
3)(
)2)(1( s
xx
nnn
sesgo
n
ii
41
4)(
)3)(2)(1()1(
s
xx
nnnnn
curtosis
n
ii
Regresión lineal
Es una técnica estadística para investigar la relación entre dos o mas variables
Se utiliza para realizar predicciones de una variable (respuesta) en términos de otras (regresivas)
El término “regresión” fue acuñado por el frances Francis Galton quien lo usó en sus estudios de la herencia
La regresión simple o bivariada consiste de hacer predicciones de una variable en términos de otra solamente
En la regresión múltiple, la predicción se hace tomando en cuenta a varias variables
Regresión lineal simple Asumimos que la relación entre la
variable respuesta y la variable regresiva es una línea recta
Cada observación cumple La suma de los cuadrados de los
errores es
xxyE 10]|[ ii xy 10
n
i
n
iii xy
1 1
210
2 )(
Regresión lineal simple Para minimizar el error derivamos e
igualamos a cero respecto a
De la misma manera derivando respecto a
Simplificando estas dos ecs:
00)(2 10
1
i
n
ii xy
10)(2 10
1
ii
n
ii xxy
n
ii
n
ii yxn
1110
n
iii
n
ii
n
ii xyxx
11
21
10
Regresión lineal simple
Reconociendo que
La ecuación Se convierte en Esto lo reemplazamos
en
Para obtener
n
ii
n
ii yxn
1110
n
iixn
x1
1
xy 10
n
iii
n
ii
n
ii xyxx
11
21
10
n
iii
n
ii
n
ii xyxxxy
11
21
11 )(
n
iiyn
y1
1
Regresión lineal simple De la ecuación
Despejamos
Para obtener
n
iii
n
ii
n
ii xyxxxy
11
21
11 )(
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii xyxxxxy
11
2
11
1
1
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
xxx
xyxy
1
2
1
111
Regresión lineal simple Es lo mismo que
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
xxx
xyxy
1
2
1
111
xx
xyn
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
S
S
xx
xxy
xn
x
xyn
xy
2
1
12
11
2
1111
)(
)(
1
1
Ejemplo Un Ingeniero está investigando el
efecto de la temperatura sobre el rendimiento de un producto, sus experimentos arrojan los siguientes resultados
Temp
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Rend
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
La gráfica de dispersión Esta gráfica nos indica una fuerte suposición
de que la relación entre las dos variables puede ser lineal
Haciendo los cálculos
10
1
673i
iy
10
1
1450i
ix10n
10
1
2 500,218i
ix
10
1
2 225,47i
iy
10
1
570,101i
ii yx
145x 3.67y
10
1
2210
1
2 250,810)1450(
500,218101
i iiixx xxS
10
1
10
1
10
1
985,310
)673)(1450(570,101
101
i ii
iiiixy yxyxS
Finalmente483.0
82503985
1 xx
xy
S
S
739.2)145)(483.0(3.6710 xy
xxy 483.0739.210
48
Perspectiva histórica de la teoría de la fiabilidad
• Estudios para poder evaluar la mortalidad derivada de las epidemias.
• Compañías de seguros, para determinar los riesgos de sus pólizas de seguro de vida.
• Tablas de vida: La primera tabla de vida data de 1693 y es debida a Edmund Halley
Orígenes:
se utilizaban los métodos actuariales tanto para estimar la supervivencia de pacientes sometidos a distintos tratamientos como para estudiar la fiabilidad de equipamientos, en particular de los ferrocarriles.
Siglo XX:
En 1939 Waloddi Weibulll, cuando era profesor del Royal Institute of Technology en Suiza, propuso una distribución para describir la duración de materiales, que más tarde llevaría su nombre.En 1951 Epstein y Sobel empezaron a trabajar con la distribución exponencial como modelo probabilístico para estudiar el tiempo de vida de dispositivos
49
Fiabilidad y Mantenimiento
Desde el punto de vista de la ingeniería, la fiabilidad es la probabilidad de que un aparato, dispositivo o persona desarrolle una determinada función bajo condiciones fijadas durante un periodo de tiempo determinado.
• La confiabilidad de un elemento puede ser caracterizada a través de distintos modelos de probabilidades.
• Podemos describir varias distribuciones de fallas comunes y ver qué podemos aprender de ellas para gestionar los recursos de mantenimiento. Convirtiendo el conocimiento ganado de ellas en acciones PROACTIVAS de Mantenimiento y aplicarlas en el Diseño.
50
Herramientas de Fiabilidad
Se estudia mediante el análisis estadístico de datos de supervivencia.
ISO define fiabilidad como la probabilidad de que un componente o sistema, desarrolle durante un periodo de tiempo dado, la tarea que tiene encomendada sin fallos, y en las condiciones establecidas.
Estudiar Duraciones de Procesos que es común en muchas ciencias:
• Duración de un componente (Fiabilidad)
• Supervivencia de un paciente a un tratamiento (Medicina)
• Duración del desempleo (Economía)
• Edad de las personas (Demografía y sociología)
51
Veamos, a partir de un histograma podemos desarrollar las cuatro funciones de importancia para la caracterización de la fiabilidad.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE
Meses
Fal
los Serie1
Serie2
MES fallasENERO 2
FEBRERO 5MARZO 7ABRIL 8MAYO 7J UNIO 6J ULIO 5
AGOSTO 4SEPTIEMBRE 3
OCTUBRE 1TOTAL 48
52
En estudios de mantenimiento necesitamos pasar del anterior histograma a funciones continuas, debido que la variable tiempo de fallo es continua. Esta funciones nos dan una idea clara de la distribución de fallos. Empezamos por la f(t) ó pdf que indica la densidad probable de fallas en cada intervalo t.
Serie1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE
Meses
f(t)
Pudiendo llamar a t1 y t2, -∞ y ∞ respectivamente
2
1( ) ( ) ( )
t
tf t f t d t
53
F(t) ó CDF Cumulative Density Function: aquí de -∞ a Tiempo t, seria la probabilidad de que la falla ocurra antes del tiempo t.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE
Meses
f(t)
el área bajo la curva - transcurrido t (Función Repartición ) cdf=14/48
Intervalo -∞ a t, la acumulación de fallasTiempo t
( ) ( )t
F t f t dt
54
R(t) Reliability (confiabilidad)
Esta es la probabilidad de éxito o sea que no ocurra la falla antes de t. Representando por el área bajo la curva desde t hasta infinito.
R(t)= 1- F(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE
Meses
f(t)
( ) ( )R t f t dtt
Tiempo t
121
2121
1)()()(
),(tttR
tRtRttTF
La tasa de falla del intervalo t1 a t2 se define como
Es la probabilidad de que ocurra una falla en el intervalo de t1 a t2 dado que no ha habido falla al tiempo t1la función de Riesgo, o tasa de mortalidad h(t) es
)()('
)(1)()(
lim1
)()()(
lim)(00 tR
tRtRt
tRttRttR
ttRtRth
tt
)(1)(
)()(
)(tFtf
tRtf
th
Y como R(t)=1-F(t), entoncesR’(t)=-F’(t)=-f(t), de ahí
Es muy común asumir que las fallas tienen una distribución exponencial, entonces:
t
t
ee
tRtf
th)()(
)(
Y entonces se dice que la tasa de falla es constante, la constante λ
56
(t)
constanteHipótesis exponencial
desarrollo
Madurez (fallos aleatorios)Inicio utilización
obsolescencia
desclasificación
1 2 3Edad t
DOMINIO ELECTRONICO
Función de Riesgo típica
57
(t)
Curva debida a los fallos precoces
rodaje
Madurez
obsolescencia
desclasificación
1 2 3Edad t
Puesta en servicio
Influencia del desgaste sobre (t)
DOMINIO MECANICO
( ) ( )( )
( ) 1 ( )
f t f th t
R t F t
Función de Riesgo típica
58
Cuando la tasa de fallo del elemento responde a la curva de la bañera es conveniente realizar un ensayo acelerado del mismo (en condiciones de stress) para que supere la zona de mortalidad infantil o fallas infantiles.
– determinar cuando comienza la vida útil del producto y ofrecer a los clientes una garantía de funcionamiento durante ese periodo de funcionamiento problemático.
– Una vez superado el periodo crítico, la empresa está razonablemente segura de que el producto tiene una posibilidad de fallos reducida
59
La distribución de fallas de diferentes tipos de maquinaria no son las mismas. Aun varían en una misma maquina durante su operación. Sus formas pueden ser estudiadas a partir de las funciones pdf, cdf y tasa de falla de los datos reales de mantenimiento o de ensayos de fiabilidad. Estos dan forma a determinadas expresiones matemáticas conocidas como distribuciones obteniendo:
•Dist. Exponencial
•Dist. Normal
•Dist. Lognormal
•Dist. Weibull
60
f (t) = exp (-t), t 0 F(t) = 1 - exp(-t), t 0 R(t) = exp (-t ), t 0
EL MODELO EXPONENCIAL
cdf
R(t) = h(t)
61
f (x)
=1x)
=2x)
=5x)
=3,6
=2,5x)
f (t)
t
=0,5x)
t
(t)
2
1
0,5
=4
3
2
1,5
0,5t1
EL MODELO DE WEIBULL
1
( )tt
f t e
parámetro de forma > 0;
parámetro de escala > 0;
parámetro de posición - < < +
( ) 1
t
F t e
62
Las características de la distribución de Weibull
63
Las características de la distribución de Weibull
64
f(t)
t2 < 0 2 = 0 2 > 0
- El parámetro de posición (en unidad de tiempo)
Se llama también parámetro de diferenciación o de localización.
Significado: indica la fecha de inicio de los fallos.
-- si > 0, hay supervivencia total entre t = 0 y t = ;
-- si = 0, los fallos empiezan en el origen del tiempo;
-- si < 0, los fallos han empezado antes del origen del tiempo.
Las características de la distribución de Weibull
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EjemploObtención de la fiabilidad de neumáticos a través del Análisis de la degradación
Siete marcas de neumáticos fueron controlados en su desgaste cada 5.000 millas, midiendo la profundidad de cada uno. La tabla que contiene las mediciones desde su inicio hasta las 30.000 millas
Degradación Critica y= 2 mm
f (t) = exp (-t), t 0 F(t) = 1 - exp(-t), t 0 R(t) = exp(-t ), t 0
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Diagrama de Ishikawa
El diagrama de Ishikawa conocido también como causa-efecto, es una forma de organizar y representar las diferentes teorías propuestas sobre las causas de un problema. Nos permite, por tanto, lograr un conocimiento común de un problema complejo, sin ser nunca sustitutivo de los datos.
