Metode Numerice Inginerie Electrica an II 2011-2012 Curs 5 + 6
Metode numerice de interpolare i aproximare a funciilor Aplicaii n
ingineria electric Parte I
Noiuni de interpolare a funciilor numerice
dr. ing. mat. Dan D. MICU Director - Laborator de Cercetare n
Metode Numerice Departamentul de Electrotehnic, Inginerie Electric
E-mail: [email protected]
Exemple de aplicaii practice din ingineria electric n care
intervine aproximarea prin interpolare a funciilor
Aplicaie 1 - Amplasarea tablourilor de distribuie Amplasarea
tablourilor de distribuie a energiei electrice ntr-o construcie
industrial se face n faza proiectrii instalaiei electrice, pe baza
determinrii momentelor minime ale curenilor cerui. n relaiile de
calcul a acestor momente ale curenilor cerui n instalatie, intr
coeficientul numit: de influen. Acest coeficient este determinat
experimental in cateva valori in functie de numarul receptoarelor!
Dac se cunoate o form analitic de variaie a acestui coeficient,
identificarea punctelor de minim ale momentelor curenilor cerui
devine o problem relativ simpl, fiindc se reduce la evaluarea unei
funcii analitice, datorat coeficientului dependent de numrul de
receptoare Aplicatia se rezolva prin aproximarea unei curbe de
variatie a coeficientului de influenta cu ajutorul metodelor
numerice
Este dat un set de valori experimentale pentru coeficientul de
influenta, care cu functii elementare adoptate dupa modul de
variatie grafica a punctelor, se va proceda la aproximare
Aplicatia 2- Testarea izolatorilor liniilor electrice aeriene n
faza de fabricaie a izolatorilor siliconici de pe liniile electrice
aeriene, testarea rezistenei superficiale a acestora reprezint o
problem de importan considerabil!
Strpungerea izolatorilor
Metoda de testare presupune alimentarea bornelor unui izolator
cu o tensiune foarte ridicat i efectuarea mai multor msurtori de
ncercare, pn la strpungerea izolaiei, conform schemei electrice de
principiu de mai jos
Montaj de testarea a izolatorilor n urma efecturii ncercrilor se
stabilesc funcii numerice de dependen ntre valorile rezistenei de
izolaie i nivelul tensiunilor aplicate. Pentru aflarea rezistenei
pentru orice nivel de tensiune electric, se apeleaz la interpolarea
numeric a funciilor de dependen reieite.
Aplicatia 3 - Stabilirea cantitilor de energie consumate, pe
baza nregistrrilor de putere curba de sarcin zilnic (prelucrarea
curbelor de sarcin prin interpolare)Se consider un receptor de
energie electric pentru care se cunoate curba de sarcin zilnic
referitoare la puterea activ consumat. Se cere s se determine
energia activ zilnic consumat de receptor, pe baza prelucrrii
curbei de sarcin prin integrare numeric
Aplicatie 4 - Aproximarea numeric a caracteristicii de mers n
gol a unui generator sincron cu polinoame de interpolare i funcii
spline Se consider un generator sincron, pentru care s-a obinut
experimental (prin msurarea tensiunii la bornele generatorului
pentru anumite valori, de regul echidistante, ale curentului de
excitaie, n condiii de mers n gol) caracteristica de mers n gol
care reprezint dependena tensiunii la borne U de curentul de
excitaie Ie, n condiii de funcionare n gol (curent statoric I=0
sau, cu alte cuvinte, sarcin nul la bornele generatorului).U 1.251
0.75 0.5 0.25 0 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 I e
Valorile determinate pe cale experimental constituie cele n +1
puncte distincte cunoscute ale funciei y = f (x) n intervalul [ a ,
b ] , unde y reprezint tensiunea la borne , iar x curentul de
excitaie Ie
ncrcarea inteligent a vehiculelor electrice smart charging,
pentru mentinerea echilibrului n sistemele de distributie a
energiei electrice; Evaluarea dinamic a ncarcarii LEA, datorit
fermelor eoliene i variatiei vitezei vntului; pe masur ce crete
viteza vntului, crete i puterea generat de fermele eoliene, dar se
realizeaz i o ventilaie natural accentuat a liniilor electrice de
evacuare a puterii, deci crete capacitatea de ncrcare a liniilor
existente; Alimentarea ventilatoarelor electrice de la panouri
fotovoltaice aproximarea curbelor de functionare; Aplicatie: ferme
avicole; Evaluarea rezistivitii volumice a materialelor utilizate
la terminalele cablurilor de medie tensiune; Se studiaz
posibilitatea apariiei unor defecte prin descrcri pariale;
Determinarea caracteristicilor de strpungere a gazelor de stingere
a arcului electric din ntreruptoarele de nalta tensiune;
Discriminarea ntre curenii interni de defect i curentii de
magnetizare ntr-un transformator; Aplicaie: implementare curb
analitic n relee digitale de protecie; Standardizarea prin
aproximare a variaiei spaiale a curenilor de ntoarcere ai
trsnetelor, pe baza unor curbe numerice; Aproximarea curbelor de
magnetizare corespunztoare fenomenului de fero-rezonan - poate
genera supratensiuni i supracureni n sistemele energetice;
Aproximarea variaiei spaiale a inductivitii unui motor liniar cu
reluctan variabil; pe baza acestei caracteristici, se studiaz
performanele motorului n diferite condiii de alimentare; Stabilirea
caracteristicii flux curent n proiectarea senzorilor de cmp
magnetic; Aplicaii: detectarea conductelor metalice, detecia
submarinelor, msurtori geofizice; Aproximarea polinomial sau cu
funcii hiperbolice a curbelor de magnetizare a materialelor
magnetice Variaia cu temperatura a punctului optim de funcionare al
pilelor electrice de combustie;
LEA de nalt tensiune se modeleaz prin cuadripoli; Atunci cnd
lungimea unei linii este mai mare de 300 km, iar tensiunea de linie
mai mare de 220 kV, acestea pot fi asimilate unor linii electrice
lungi. n consecin, n calculul parametrilor cuadripolilor trebuie
aplicate anumite funcii de corecie, pentru luarea n considerare a
caracterului uniform distribuit al acestor parametri; Aproximarea
caracteristicii de mers n gol a hidrogeneratoarelor: dependena
tensiune la borne curent de excitaie; n funcie de aceast
caracteristic i reglajele efectuate, se realizeaz cuplarea la reea
/ intrarea n sistemul energetic al generatoarelor
Aproximare polinomial pentru caracteristica semiconductoare si
eroarea introdusa prin aproximare: u v i(u ) = Is e 1, Is = 10 6 (A
), v = 0.027(V )
unei
diode
S se determine o aproximare polinomial pentru caracteristica de
magnetizare si eroarea introdusa prin aproximare H , 0 = 410 7 , Bs
= 1.7(T ), = 10 4 0 B = 0 H + Bs th B s
Determinarea valorilor tensiunii electrice induse n conductele
metalice subterane, datorit influenelor electromagnetice exercitate
de ctre liniile electrice aeriene de nalt tensiune; Determinarea
valorilor magnetostriciunii n miezul magnetic al motoarelor
electrice; magnetostriciunea conduce la vibratii nedorite;
Investigarea fenomenului corona n gazele compozite care formeaz
mediul de izolaie al ntreruptoarelor de nalta i medie tensiune;
Interpretarea rezultatelor pneumografiei (tomografie pulmonar),
aplicat pacienilor din zonele miniere; pune n eviden prezena
prafului feromagnetic; Studiul descreterii cu temperatura a
rezistenei nfurrilor mainilor electrice utilizate n pompajul
fluidelor criogenice; Aplicaii: transportul gazelor naturale sub
form lichid;
Introducere
n aplicaiile din domeniul electrotehnic nu se cunoate expresia
analitic a funciei care trebuie aproximat ci doar valorile ei ntrun
anumit numr de puncte (tabelate - obinute din calcule sau msurtori
experimentale) urmrindu-se determinarea aproximativ a valorilor
corespunztoare unor alte puncte diferite de cele date. Aproximarea
unei funcii exprimat analitic sub forma unor formule explicite,
implicite sau parametrice, sub forma unor serii, sau a unui
algoritm se face cu scopul simplificrii calculelor de evaluare a
mrimii funciei , a derivatelor acesteia sau a integralei
definite.
Evaluarea unei funcii definit sub form numeric (dat tabelar) n
urma unor msurtori experimentale, presupune aproximarea ei
(interpolarea) n intervalele dintre nodurile reelei n orice punct
al domeniului de definiie. Cea mai simpl metod de interpolare a
unei funcii definit sub form numeric prin coordonatele (xi,yi) ale
unor puncte numite noduri, const n aproximarea funciei cu un
polinom pentru a putea fi prelucrat n continuare (interpolare,
derivare, integrare etc) evaluarea funciei reducndu-se la operaii
aritmetice elementare (adunri i nmuliri). Se msoar la momente
discrete x0, x1...,xn (noduri), valorile unor funcii f(x) i se pune
problema de a gsi valorile sale n alte puncte diferite de
noduri.
Funcia de aproximare este de forma:
f ( x ) g ( x; a 0 , a1 ,..., a n )
- model matematic.
g ( x, a 0 ,..., a n ) = a 0 g 0 ( x) + a1 g1 ( x) + ... + a n g
n ( x)g ( x; a 0 , a1 ,..., a n ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a
n x n
- interpolare liniar - interpolare polinomial
g ( x; a0 , a1 ,..., a n ) = a0 + a1e xi + a 2 e 2 xi + ... + a
n e nxi , i = 1- interpolare trigonometric
a 0 + a1 x + ... + a n x n g ( x; a 0 ,..., a n , b0 ,..., bm )
= b0 + b1 x + ... + bm x m
- interpolare raional
Dac nu exist informaii asupra problemei tehnice care a generat
modelul matematic, atunci cel mai des se utilizeaz pentru
interpolare polinoame! Avantaje: valoarea polinoamelor se calculeaz
uor; sumele, diferenele, produsele de polinoame au ca rezultat
polinoame; prin derivare i integrare (care se fac uor), rezult tot
polinoame; teoria interpolrii polinomiale este simpl i bine pus la
punct.
Aproximarea prin polinoame a funciilorSe pornete de la teorema
lui Weierstrass care are urmtorul enun:
Fie f o funcie definit i continu pe intervalul [a , b], f C[a ,
b ], > 0, p n (x ) polinom de gradul n
x [a , b]
f (x ) p n (x ) <
I. Interpolarea polinomial n aplicaiile electrotehnice alegerea
funciei de aproximare se bazeaz i pe cunoaterea formei funciei care
trebuie aproximat innd cont de informaiile asupra aplicaiei
practice care a generat modelul matematic. Problema care se pune
este determinarea polinomului pn(x) care satisface relaia de mai
sus.x 0 , x1 , ..., x n [a , b] f (x 0 ), f (x1 ), ..., f (x n ), x
i x j , i j
p n (x i ) = f (x i ), i = 0, n
Demonstratie pe tabla 1: Unicitatea polinomului de
interpolare
Problema interpolrii presupune parcurgerea etapelor:
determinarea coeficienilor polinomului de interpolare prin
rezolvarea unui sistem liniar de ecuaii algebrice evaluarea
polinomului de interpolat
Aceast variant de interpolare poate fi aplicat doar pentru
valori mici ale gradului polinomului (n
