Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Curbe in plan si calculul lungimii lor
Curbele in plan pot fi definite implicit, explicit sau parametric
Fie f : @a, bD�R o functie derivabila, cu derivata f' continuape Ha, bL. Graficul lui f defineste o curba in intervalul @a, bD,avand ecuatia explicita
y = f HxL, x Î @a, bD
Exemple :
1. Ecuatia unui segment de dreapta
y = Αx + Β, x Î @a, bDPlot@-x � 3 + 1, 8x, -3, 4<, PlotRange ® 88-5, 5<, 8-1, 3<<D
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
2. Ecuatia parabolei
y = Αx2
+ Βx + Γ, x Î @a, bD
Plot@x^2 + 2 * x + 3, 8x, -4, 4<D
-4 -2 2 4
5
10
15
20
25
3. Ecuatia semicercului de raza r si centrul in origine
y = r2
- x2
, x Î @-r, rDPlot@Sqrt@1 - x^2D, 8x, -1, 1<, AspectRatio ® AutomaticD
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2 aplicatie07.nb
O curba poate fi definita si prin ecuatii parametrice
x = u HtLy = v HtL, t Î @Α, ΒDunde u, v : @Α, ΒD�R sunt functii derivabile,
cu derivatele u' si v' continue pe HΑ, ΒL
Exemple :
1. Ecuatia cercului de raza r si centrul in origine
x = r × cos HtLy = r × sin HtL, t Î @0, 2 ΠDParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD<, 8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticD
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
aplicatie07.nb 3
2. Ecuatia elipsei de semiaxe Α, Β si centrul in origine
x = Α × cos HtLy = Β × sin HtL, t Î @0, 2 ΠDParametricPlot@82 * Cos@tD, 1 * Sin@tD<, 8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticD
-2 -1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
3. Ecuatia spiralei lui Arhimede cu centrul in origine
x = tΑ
× cos HtLy = t
Α× sin HtL, t Î @0, 2 kΠD, k Î N, Α Î R
4 aplicatie07.nb
ParametricPlot@8t * Cos@tD, t * Sin@tD<, 8t, 0, 8 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticDParametricPlot@8Sqrt@tD * Cos@tD, Sqrt@tD * Sin@tD<,
8t, 0, 8 * Pi<, AspectRatio ® AutomaticD
-20 -10 10 20
-20
-10
10
20
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
aplicatie07.nb 5
4. Ecuatia cardioidei
x = 2 cos HtL - cos H2 tLy = 2 sin HtL - sin H2 tL, t Î @0, 2 ΠDParametricPlot@82 Cos@tD - Cos@2 tD, 2 Sin@tD - Sin@2 tD<,
8t, 0, 2 Pi<, PlotRange ® 88-3, 3<, 8-3, 3<<, AspectRatio ® AutomaticD
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
6 aplicatie07.nb
Cum putem calcula lungimea curbelor plane?
Interpretarea geometrica a integralei Riemann
Plot@8-Hx - 1L^5 + x + 2<, 8x, 0.2, 2.2<, Filling ® Bottom,
Ticks ® None, PlotRange ® 88-0.5, 2.5<, 80, 3.8<<D
àa
b
f HxL â x
Plot@8-Hx - 1L^5 + x + 2<, 8x, 0.2, 2.2<, Filling ® None,
Ticks ® None, PlotRange ® 88-0.5, 2.5<, 8-0.5, 3.8<<D
aplicatie07.nb 7
Consideram o curba definita prin ecuatia explicita
y = f HxL, x Î @a, bDLungimea L a acesteia este
L = àa
b
1 + Hf' HxLL2âx
Daca curba este definita prin ecuatiile parametrice
x = u HtLy = v HtL, t Î @Α, ΒDatunci
L = àΑ
Β Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2
ât
Demonstratie
Fie D = Hx0, x1, …, xnL o diviziune a intervalului @a, bD
Notam lk = Hxk - xk-1L2+ Hf HxkL - f Hxk-1LL2
, k = 1, n
� L » l1 + l2 + … + ln
x0 x1xk-1 xk xn
f Hxk-1Lf HxkL
lk
8 aplicatie07.nb
Din teorema de medie a lui Lagrange
$ ck Î Hxk-1, xkL a.i. f' HckL =f HxkL - f Hxk-1L
xk - xk-1
Ξ = Hc1, c2, …, cnL este s.p.i. pentru diviziunea D
L = lim°D´®0
âk=1
n
lk = lim°D´®0
âk=1
n
1 +f HxkL - f Hxk-1L
xk - xk-1
2
× Hxk - xk-1L
= lim°D´®0
âk=1
n
1 + Hf' HckLL2× Hxk - xk-1L = lim°D´®0
Σg HD, ΞL
= àa
b
g HxL âx
unde g HxL = 1 + Hf' HxLL2
si astfel L = àa
b
1 + Hf' HxLL2âx
Din legatura ecuatiilor parametrice cu ecuatia explicita
y = f HxL, x Î @a, bDx = u HtL, y = v HtL, t Î @Α, ΒDv HtL = f Hu HtLL, t Î @Α, ΒDv' HtL = f' Hu HtLL × u' HtL
facand substitutia x = u HtL, a = u HΑL, b = u HΒL obtinem
L = àa
b
1 + Hf' HxLL2âx = à
Α
Β
1 + Hf' Hu HtLLL2u' HtL ât
= àΑ
Β Hu' HtLL2+ Hf' Hu HtLL × u' HtLL2
ât
= àΑ
Β Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2
ât
aplicatie07.nb 9
Exemple :
1. Lungimea unui segment de dreapta
f HxL = 1 - x, x Î @0, 1Df' HxL = -1
1 + Hf' HxLL2= 2
L = à0
1
2 âx = 2
2. Lungimea semicercului de raza r
f HxL = r2- x2 , x Î @-r, rD
f' HxL = -x
r2 - x2
1 + Hf' HxLL2=
r
r2 - x2
L = à-r
r r
r2 - x2
âx = Πr
10 aplicatie07.nb
3. Lungimea unui arc de parabola
f HxL = x2, x Î @0, 1D
f' HxL = 2 x
1 + Hf' HxLL2= 1 + 4 x2
L = à0
1
1 + 4 x2
âx =5
2+
ln J2 + 5 N4
4. Lungimea unui arc din spirala lui Arhimede
u HtL = t × cos HtLv HtL = t × sin HtL, t Î @0, 2 ΠDu' HtL = cos HtL - t × sin HtLv' HtL = sin HtL + t × cos HtL
Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2
= 1 + t2
L = à0
2 Π
1 + t2
ât = Π 1 + 4 Π2
+
Ln 2 Π + 1 + 4 Π2
2
aplicatie07.nb 11
5. Lungimea cardioidei
u HtL = 2 cos HtL - cos H2 tLv HtL = 2 sin HtL - sin H2 tL, t Î @0, 2 ΠDu' HtL = -2 sin HtL + 2 sin H2 tLv' HtL = 2 cos HtL - 2 cos H2 tL
Hu' HtLL2+ Hv' HtLL2
= 8 - 8 cos HtL = 4 sint
2
L = à0
2 Π
4 sint
2ât = 16
12 aplicatie07.nb