Capitol 1 Curbe

CAPITOLUL 1

CURBE N PLAN

Rezumat. Se definete noiunea de curb plan i se stabilesc reprezentrile analitice: ( ), r r t t I R= ! ! , ( ) ( )' 0, ,r t y f x x I = "! ! # , ( ), 0F x y = cu 2 2 0x yF F+ > . Se scrie ecuaia tangentei i normalei ntr-un punct n toate cele trei cazuri. Se definete lungimea arcului de curb C, se stabilete

formula ( ) ( ) ( )'2 '2b

a

L C x t y t dt= + i se introduce funcia lungime de arc ca parametru natural. Se consider reperul Serret Frenet format din versorii tangentei t

! i normalei n

!. Variaia acestui reper este descris de formulele

Serret Frenet: ( ) ( ),dt d nk s n k s tds ds

= =

! !! !, unde ( )s k s , cu s lungime

de arc, este funcia curbur. Se arat c ntr-o parametrizare oarecare avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3'2 '2 2

' '' ' ''x t y t y t x tk t

x t y t

=

+. Cu ( ) ( ),s t i = ! !$ se arat c are loc

formula ( ) ( )d sk sds

= . Pe baza acesteia se demonstreaz c dat funcia

continu ( ):k s k s exist o infinitate de curbe pentru care s este lungimea de arc i k este funcia curbur. In final se d procedeul de reprezentare grafic a curbelor plane date n forma ( ) ( ), , x x t y y t t I= = # .

1. Definiii. Reprezentri analitice ale curbelor n plan

Fie un plan structurat ca spaiu euclidian 2E cu spaiu director 2V , mulimea vectorilor din acel plan. n prezena unui reper ortonormat ( ){ }, ,O i j= ! !R n 2E , unei aplicaii 2:c I E ! , unde I este un interval deschis n ! , i se asociaz aplicaia vectorial 2:r I

"! definit prin

(1.1) ( ) ( ) ( )( ), , r t x t y t t I= " , unde funciile ( )t x t , ( )t y t sunt coordonatele punctului ( )c t n reperul

( ){ }, ,O i j= ! !R sau funciile coordonate ale vectorului ( )Oc t#####" n baza ortonormat ( ),i j , adic

Capitolul 1. Curbe n plan 11

(1.2) ( ) ( ) ( )Oc t x t i y t j= +#####" " " . Imaginea aplicaiei c n 2E corespunde noiunii intuitive de curb n plan:

traiectoria unui mobil, urma lsat de un spot luminos pe un ecran .a.. Aceast imagine poate fi simpl: un segment de dreapt, un arc de cerc, o curb clopot a lui Gauss, dar poate fi i foarte complicat, cum este de exemplu o electrocardiogram. Pentru a studia curbele complicate, trebuie mai nti s studiem pe cele simple care se obin cnd aplicaia c are proprieti convenabile din punctul de vedere al calculului diferenial. O ipotez natural este aceea c aplicaia c este difereniabil de clas ( )1sC s sau, echivalent, aplicaiile coordonate ( )t x t i ( )t y t sunt de clas ( )1sC s pe I.

Matricea Jacobian a aplicaiei c este c

dxdtJdydt

=

i deci c este imersie pe I

dac i numai dac

(1.3) 2 2

0 pe dx dy Idt dt

+ > ! .

Aceast condiie este echivalent cu

(1.4) 0 pe dr t Idt

!

.

Amintim c imersia c este scufundare dac aplicaia vectorial r"

este homeomorfism pe imaginea sa.

Definiia 1.1. O submulime C n 2E se numete arc elementar de curb dac ( )C c I= , cu I interval deschis n ! i aplicaia c scufundare a lui I n 2E . Perchea ( ),I c se numete parametrizare a arcului elementar C.

Fie J un alt interval deschis din ! i ( ): , J I t = un difeomorfism, adic este bijecie i 0, d t J

d .

Propoziia 1.1. Fie C un arc elementar de curb cu parametrizarea ( ),I c . Atunci ( ),J c c =$ % este o nou parametrizare a lui C.

Demonstraie. Avem, mai nti, ( ) ( )( ) ( )c J c J c I C= = =$ . Prin derivare n raport cu a funciei vectoriale ( ) ( )( )r =#" " obinem dd

=

#" ( )( )d r d

dt d

=

"


i deci ( )( )d dr dd dt d

=

#" ". Rezult c 0d

d

#" pe J, adic aplicaia c$ este

imersie. Ea este chiar scufundare pentru c aplicaia ( ):r J J = #" " #"% este compunerea a dou homeomorfisme.

Fie :f I ! ! cu I interval deschis, o funcie difereniabil de

clas ( )1sC s . Mulimea ( )( ){ }, ,fG x f x x I= din plan se numete graficul (graful) funciei f.

Propoziia 1.2. Mulimea fG este un arc elementar de curb. Demonstraie. Definim 2:c I E ca aplicaia care asociaz lui x I

punctul P de coordonate ( )( ),x f x i avem evident ( )fG c I= . Aplicaia vectorial asociat aplicaiei c este ( ) ( )( ),x r x x f x =" i funcia vectorial ( )( )'1,dr f xdx =

"

are norma egal cu ( )'21 0f x+ pe I. Aadar c este imersie. Aplicaia : ( )r I r I"

este evident injectiv. Ea este continu pentru c este de clas ( )1sC s . Inversa ei este de forma ( )( ),x f x x , evident continu. Aadar c este

scufundare. Observaia 1.1. n mod similar cu demonstraia Propoziiei 1.2 se arat c

mulimea de forma ( )( ){ }, , cu :g y y y I g I ! o funcie de clas ( )1sC s este un arc elementar de curb.

Exist mulimi n plan despre care intuiia ne spune c sunt curbe dar care nu sunt arce elementare de curb. Aceast situaie a condus la

Definiia 1.2. Se numete curb n plan o submulime & a planului cu

proprietatea c orice punct al ei aparine cel puin unui arc elementar de curb inclus n & .

Aceast definiie nu acoper n totalitate noiunea intuitiv de curb n plan. Ea numai delimiteaz o clas de curbe n plan, suficient de ampl pentru a merita s fie studiat i care are proprieti interesante i utile. Aceast clas de curbe este obiectul prezentului capitol. Vom ncepe prin a vedea cum se reprezint analitic, n repere ortonormate, aceste curbe.

n reperul ortonormat ( ){ }, ,O i j= ! !R notat uneori i prin Oxy , vom scrie ( ),P x y sau ( )P r" pentru a indica faptul c punctul P din 2E are coordonatele

carteziene ( ),x y sau vectorul de poziie r xi yj= +" .


Teorema 1.1. Mulimea ( ) ( ) ( ){ , ,P r r r t t a b= = " "& cu aplicaia vectorial ( )t r t" de clas ( )1sC s i cu ( )' 0r t ! ! pe ( )},a b este o curb n plan.

Demonstraie. Vom arta c orice punct din & aparine cel puin unui arc elementar de curb, coninut n & .

Fie ( )00P r " & cu ( ) ( )0 0 0, ,r r t t a b= " " . Aadar ( ) ( )( )0 0' , ' 0x t y t . S presupunem, pentru a face o alegere, c ( )0' 0x t . Rezult din continuitate c

' 0x pe ( )0 0, , 0I t t = + > i, n consecin, funcia real ( ):x t x t definit pe I este strict monoton pe I, deci injectiv i, ca atare, bijecie de la I n

( )J x I= . Notm inversa ei prin ( )1 :x x t h x = . Mai mult, pentru c funcia real x este difereniabil de clas sC i ' 0x pe I, 1x este de asemenea difereniabil de clas sC . nlocuim ( )t h x= n ecuaia ( )y y t= i obinem ( )( ) ( )y y h x f x= = cu x J , interval deschis n ! . Funcia :f J ! este difereniabil de clas

( )1sC s pentru c este compunerea a dou funcii difereniabile de clas sC . Considerm graficul ( )( ){ }, ,fG x f x x J= al aplicaiei f. Dup

Propoziia 1.2, acesta este un arc elementar de curb. Punctul 0 fP G . El se obine

pentru valoarea ( )0 0x x t= . Mulimea fG este inclus n & pentru c este format din punctele lui & date de valorile t din intervalul I. Aadar 0P aparine unui arc elementar de curb coninut n & .

n cursul demonstraiei am fcut presupunerea c ( )0' 0x t . Dac ( )0' 0x t = atunci, n mod necesar, ( )0' 0y t i cu acelai raionament artm c 0P

aparine unui arc elementar de forma ( )( ){ },g y y cu y ntr-un interval deschis, coninut n & .

Pe baza Teoremei 1.1, ecuaia (1.5) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ' 0, , ,r r t t a b r t t a b= " " "

reprezint analitic o curb n plan. Aceast reprezentare se numete reprezentarea vectorial parametric a unei curbe n plan. Reprezentarea (1.5) se poate explicita n forma

(1.5) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , ' ' 0 ,

x x t

y y t t a b x t y t t a b

== + >

i se obine aa numita reprezentare parametric a unei curbe n plan.


Fie D o mulime deschis n 2! i o aplicaie ( ) ( ): , , ,F D x y F x y # difereniabil de clas ( )1sC s . Vom nota derivatele

pariale ale ei prin , , ,x y xx xyF F F F etc.

Teorema 1.2. Dac mulimea ( ) ( ){ , , 0,P x y F x y= =C unde 2:F D ! ! cu D mulime deschis, este o funcie difereniabil de clas

( )1sC s i }2 2 0 pe x yF F D+ > este nevid, atunci ea este o curb n plan. Demonstaie. Fie ( )0 0 0,P x y C , adic ( )0 0, 0F x y = . Vom arta c 0P

aparine cel puin unui arc elementar de curb coninut n C . Condiia ( ) ( )2 20 0 0 0, , 0x yF x y F x y+ > ne arat c fie ( )2 0 0, 0xF x y , fie ( )2 0 0, 0yF x y fr a

exclude posibilitatea ca ambele situaii s aib loc. Presupunem ( )0 0, 0yF x y . n caz contrar, avem ( )0 0, 0xF x y i se face un raionament asemntor cu cel ce urmeaz. Din continuitatea funciei yF rezult c 0yF pe o mulime deschis D

centrat n ( )0 0,x y . Printr-o eventual micorare a sa, putem lua D de forma 'D I J= cu I un interval deschis centrat n 0x i J un interval deschis centrat n 0y .

Teorema funciilor implicite ne spune c putem explicita y din ecuaia ( ), 0F x y = cu ( ), 'x y D D . Mai precis, exist o aplicaie unic :f I J , ( )x f x difereniabil de clas sC nct i) ( )0 0f x y= , ii) ( )( ), 0 pe F x f x I . Mulimea

( )( ){ }, ,x f x x I= C este un arc elementar de curb conform Prop. 1.2. Egalitatea i) ne spune c acesta conine 0P iar identitatea ii) ne arat c el este coninut n C .

Pe baza Teoremei 1.2, ecuaia (1.6) ( ) ( ), 0, ,F x y x y D=

cu D deschis n 2! i condiia 2 2 0x yF F+ > pe D, reprezint analitic o curb n plan. Aceast reprezentare se numete reprezentare implicit a curbei n plan.

La reprezentrile analitice (1.5) i (1.6) ale unei curbe n plan vom aduga i reprezentrile analitice

(1.7) ( ) ( ), ,y f x x a b= sau

(1.7) ( ) ( ), ,x g y y c d= , numite i reprezentri explicite ale unei curbe n plan. Ecuaiile (1.7) i (1.7) reprezint analitic ntotdeauna arce elementare de curb n plan dar, cum acestea sunt curbe plane particulare, vom spune c ecuaiile (1.5), (1.5), (1.6), (1.7) i (1.7) constituie reprezentri analitice ale curbelor n plan.


Cele trei reprezentri analitice ale curbelor n plan sunt local echivalente n sensul c fiecare punct al curbei este coninut de un arc elementar de curb pe care se poate trece de la una din oricare cele trei reprezentri la celelalte dou. De exemplu, dac curba (arc elementar) este dat prin ecuaia ( ) ( ), ,y f x x a b= , cu notaia x t= obinem reprezentarea parametric

( ) ( ), , , x ty f t t a b==

( )2 2 2pentru ca ' ' 1 ' 0 pe , .x y f a b+ = + > Cu notaia ( ) ( ),F x y y f x= obinem reprezentarea implicit

( ), 0F x y = ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,x y D a b f a f b = pentru c

2 2 21 ' 0x yF F f+ = + > pe D. Dac avem curba dat parametric, n demonstraia Teoremei 1.1 am vzut

cum, pentru orice punct P, putem gsi un arc elementar ce-l conine, de ecuaie explicit (1.7) sau (1.7). De la (1.7) sau (1.7) putem trece la (1.6). n sfrit, dac dispunem de reprezentarea analitic (1.6), n demonstraia Teoremei 1.2 am vzut cum pentru orice punct P al curbei se gsete un arc elementar ce-l conine, de ecuaie (1.7) sau (1.7) iar de la acestea se trece imediat la reprezentarea parametric (1.5).

Funciile care apar n cele trei reprezentri analitice ale unei curbe n plan sunt difereniabile de clas ( )1sC s pe domeniul lor de definiie. n continuare vom folosi numai adjectivul difereniabile fr a mai meniona explicit clasa de difereniabilitate. Dar vom presupune c aceasta este suficient pentru a deriva ori de cte ori avem nevoie. n cele mai multe situaii, clasa de difereniabilitate 3C se dovedete a fi suficient.

2. Tangent i normal ntr-un punct al unei curbe n plan

Pentru nceput vom descrie proprieti punctuale (care au loc ntr-un punct al curbei) i proprieti locale (care au loc pe un arc elementar) ale curbelor n plan. De regul, nu vom lua curba n ntregime ci ne vom plasa pe un arc elementar al ei care admite toate cele trei reprezentri analitice gsite n 1. Un asemenea arc va fi notat prin C i-l vom numi curb plan, pentru simplitate.

Fie, pentru nceput, arcul elementar de curb C dat explicit prin (2.1) ( ) ( ), ,y f x x a b= .


Fie ( )( )0 0 0,P x f x C i ( )( )1 1 1,P x f x un punct pe C vecin cu 0P n sensul c ( )1 0 0, , 0x x x + > , suficient de mic. Dreapta 0 1P P are panta ( ) ( ) ( )1 01 0

1 0

,f x f x

m x xx x

=

. Dac fixm 0x rezult ( ) ( )1 0

1 0 0lim , 'x x m x x f x = (limita

exist!). Dreapta prin 0P , de pant ( )0'f x poate s se numeasc dreapt tangent la

curb pentru c exist un arc elementar ce conine 0P care are n comun cu ea numai

0P . Consideraii de Mecanic justific, de asemenea, aceast denumire. Aadar avem Definiia 2.1. Fie o curb C n plan reprezentat de ecuaia (2.1). Dreapta

prin punctul ( )0 0 0,P x y C de pant ( )0'f x se numete tangent la C n 0P . Observaia 2.1. Dac 0'( ) 0x t = , vom lua tangenta paralel cu Oy.

Ecuaia tangentei la C n 0P este (2.2) ( ) ( )( )0 0 0'y f x f x x x = . Fie curba C reprezentat parametric prin (1.5). Ne propunem s scriem

ecuaia tangentei la curb ntr-un punct ( )0 0 0,P x y cu ( )0 0x x t= i ( )0 0y y t= , pentru care ( )0' 0x t . Dup cum am vzut n demonstaia Teoremei 1.1, pentru

( )0 0,t t t + putem inversa funcia ( )t x t i obinem funcia invers ( )t t x= care nlocuit n ecuaia ( )y y t= ne conduce la reprezentarea explicit a unui arc elementar ce conine punctul 0P i este inclus n C de forma ( ) ( )( )y f x y t x= = , unde evident ( ) ( )( )0 0 0y f x y t x= = i ( )0 0t x t= .

Pentru a folosi ecuaia (2.2) avem nevoie de ( )0'f x . Prin derivare compus n raport cu x n egalitatea ( ) ( )( )f x y t x= obinem ( ) ( )( ) ( )0 0 0' dy dtf x t x xdt dx= . Prin derivarea identitii ( )( )t x t t n raport cu ( )0 0,t t t + obinem

( )( ) ( )0 0 1dt dxx t tdx dt = , deci ( ) ( )0 01dt x dxdx t

dt

= . Aadar ( ) ( )( )0

00

''

'y t

f xx t

= i dup (2.2)

ecuaia tangentei n 0P la C se scrie n forma ( )( ) ( )

00 0

0

''

y ty y x x

x t = sau n forma

(2.3) ( )( )( )( )

0 0

0 0' 'x x t y y t

x t y t

= .


Forma (2.3) a ecuaiei tangentei la C n punctul 0P ne spune c direcia

tangentei este dat de vectorul ( ) ( ) ( )( )0 0 0' ' , 'r t x t y t=" , unde r" este funcia vectorial care d reprezentarea vectorial parametric a curbei.

Ecuaia (2.3) se mai poate scrie n forma

(2.3) ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

'

' ,

x x t x t

y y t y t

= += + #

sau vectorial (2.3) ( ) ( )0 0' , r r t r t = +

" " "! .

n sfrit, fie curba C reprezentat implicit prin (1.6). Ne propunem s scriem ecuaia tangentei la C ntr-un punct ( )0 0 0,P x y C . Presupunem c ( )0 0, 0yF x y . Exist un arc elementar care conine 0P , inclus n C, reprezentat

explicit n forma ( )y f x= cu ( )0 0y f x= i ( )( ), 0F x f x pe I (ne referim la notaiile din demonstaia Teoremei 1.2). Prin derivare n raport cu x a identitii

( )( ), 0F x f x obinem ' 0x yF F f+ = i deci ( ) ( )( )0 0

00 0

,'

,x

y

F x yf x

F x y= . Dup (2.2),

ecuaia tangentei la C n punctul 0P se scrie n forma ( )( ) ( )

0 00 0

0 0

,,

x

y

F x yy y x x

F x y =

sau n forma (2.4) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , 0x yx x F x y y y F x y + = . Continum s considerm curba plan C i punctul 0P C . Definiia 2.2. Perpendiculara pe tangenta la C n punctul 0P se numete

normala la curba C n 0P . Dac avem pentru C reprezentarea explicit (2.1), cum panta tangentei este

( )0'f x , panta normalei va fi ( )01

'f x dac ( )0' 0f x sau va fi paralel cu

Oy dac ( )0' 0f x = i deci ecuaia normalei n acest caz este (2.5) ( ) ( ) ( )0 00

1'

y f x x xf x

=

dac ( )0' 0f x , respectiv 0x x= dac ( )0' 0f x = . n cazul reprezentrii parametrice, am constatat c direcia tangentei este

dat de vectorul ( ) ( )( )0 0' , 'x t y t . Direcia normalei va fi dat de un vector perpendicular pe acesta, de exemplu de vectorul ( ) ( )( )0 0' , 'y t x t .

Ecuaia normalei este n acest caz


(2.6) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0' ' 0x x t x t y y t y t + =Fie acum C reprezentat implicit. Panta tangen

este ( )( )0 0

0 0

,,

x

y

F x yF x y

. Deci panta normalei este ((

0

0

,,

y

x

F x yF x y

normala este paralel cu Oy dac ( )0 0, 0xF x y = . Ecuai(2.7) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, ,y xx x F x y y y F x y

respectiv 0x x= dac ( )0 0, 0xF x y = . Tangenta i normala fiind perpendiculare, pot

cartezian de coordonate cu originea n 0P , sistem de coorpunctul 0P pe C adic este mobil pe curba C. Vom reveidei.

3. Lungimea unui arc de curb plan. P

Fie un arc elementar de curb plan reprezentat(3.1) ( ) [ ], ,y f x x a b= . Considerarea intervalului nchis [ ],a b cree

difereniabilitii funciei f. Dar se convine c f este d

exist o funcie 'f difereniabil pe [ ],I a b cu ' [ ],a bfun interval deschis n ! .

Fie ( )0 1 1... ...i i na x x x x x b+ = = < < < < < < =[ ],a b . Punctele ( )( )0 0 0, ,A A x f x= ( )( ) (1 1 1, ,..., iA x f x Adetermin o linie poligonal nscris n arcul elementarlinii poligonale este

(3.2) ( ) ( ) ( )( )1 221 10

n

i i i ii

l x x f x f x

+ +=

= + . Inegalitatea triunghiular ne arat c la o rafina

l nu descrete (Fig. 1 ).

A

x0 = a xi xi+1 O

y .

tei n punctul ( )0 0,P x y C ))

0

0

dac ( )0 0, 0xF x y sau a normalei este n acest caz

0= ,

fi luate ca axele unui sistem donate care variaz odat cu ni mai trziu asupra acestei

arametrizaii naturale.

explicit n forma

az probleme n definirea

ifereniabil pe [ ],a b dac f= , unde ca mai sus I este

o diviziune a intervalului

( )) ( )( ), ,... ,i i n n nx f x A x f x B= (AB dat. Lungimea acestei

re a diviziunii , lungimea B

b = xn x


Aceast observaie ne atrage atenia asupra mrginirii superioare a mulimii

{ }l cnd parcurge mulimea diviziunilor lui [ ],a b . Definiia 3.1. Se spune c arcul de curb (AB are lungime sau c este

rectifiabil dac mulimea { }l este mrginit superior. Marginea superioar a acestei mulimi se numete lungimea arcului (AB .

Pe baza teoremei lui Lagrange aplicat funciei f pe intervalele [ ]1,i ix x + , lungimea l se scrie n forma

(3.3) ( ) ( )1 2 1 10

1 ' , n

i i i i i ii

l f x x x x

+ +=

= + < i deci funcia ( )x x t= se poate inversa obinndu-se funcia ( )t h x= [ ]cu ,x a b . nlocuind t n ecuaia ( )y y t= obinem reprezentarea explicit ( ) ( )( )y f x y h x= = cu f difereniabil. Din consideraiile precedente, este suficient ca f s fie difereniabil de clas 1C pentru ca arcul (AB s

Fig. 1


aib lungime. Ori f este astfel dac funciile ( )t x x i ( )t y t sunt difereniabile de clas 1C . Ne intereseaz o formul de calcul a lungimii cnd se d reprezentarea (3.5) a arcului (AB .

Cu experiena din 2, formula (3.4) ne d

( ( )( ) ( )2

1b

AB a

dy dhl h x x dxdt dx

= +

Prin derivarea identitii ( )( )x h x x obinem ( )( ) ( )' 1dhx h x xdx =

sau

( ) ( )( )1

'dh xdx x h x

= .

Deci

(*) ( ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2' '

'b

AB a

dxl x h x y h xx h x

= + , unde prin x, y am notat derivatele acestor funcii n raport cu t.

n integrala obinut efectum schimbarea de variabil ( )h x t= mai nti n ipoteza c ( )( ) [ ]' 0 pe ,x h x a b> . Avem ( ) ( )0 1,h a t h b t= = i

( ) ( )( )'dh dxdt x dxdx x h x

= = nct integrala devine

(3.6) ( ( ) ( )10

2 2 ' 'AB

t

tl dtx t y t= + .

Dac ( )( ) [ ]' 0 pe ,x h x a b< n formula (*) apare un semn minus i o inversare a limitelor de integrare, fenomene care se anuleaz reciproc i se obine aceeai formul (3.6) care este formula de calcul a lungimii unui arc de curb reprezentat parametric.

Este evident c integrala (3.4) este un caz particular al integralei (3.6) i

anume cnd parametrizarea arcului este de forma ( ) [ ], , .x xy f x x a b==

Ele dau acelai rezultat, lungimea arcului (AB . Observaia sugereaz c ar trebui s ne asigurm c integrala din (3.6) nu depinde de parametrizarea arcului (AB . Acest lucru se poate face efectund o schimbare de parametru pe (AB (exerciiu!) dar rezult i direct din observaia c orice parametrizare am lua pe (AB , prin explicitare ajungem la aceeai funcie f din (3.1).


Continum s folosim reprezentarea parametric (3.5) a arcului (AB . Considerm funcia

(3.7) ( ) ( ) ( )0

2 2' 't

ts t dx y = + ,

numit funcie lungime de arc.

Din ( ) ( ) (0 10, ABs t s t l L= = = i ( ) ( )2 2

' ' 0ds x t y tdt= + > rezult c [ ] [ ]0 1: , 0,s t t L ,

( )t s t este o funcie strict monoton cresctoare, deci inversabil cu inversa [ ] [ ] ( )0 1: 0, , , h L t t s t h s = . n plus, funcia s este difereniabil. Pentru c funcia

s este bijectiv i 0 dsdt

[ ]0 1pe ,t t , aceast funcie este difeomorfism. Efectum schimbarea de parametru pe (AB prin nlocuirea lui t cu ( )t h s= .

Obinem

(3.8) ( ) ( )( )( ) ( )( ) [ ], 0,

x x s x h s

y y s y h s s L

= == =

$

$ .

Vom spune c am parametrizat arcul (AB prin lungimi de arc. Aceasta nseamn c precizm poziia unui punct P pe (AB prin indicarea lungimii arcului (AP , motiv pentru care aceast parametrizare se numete i natural sau canonic.

Parametrizarea prin lungime de arc are o proprietate special i anume

(3.9) 2 2

1,d x d yds ds

+ =

$ $

adic mrimea vectorului tangent la curb este constant egal cu 1.

ntr-adevr, ( )( )'d x dhx t sds ds

=

$ i ( )( )'d y dhy t s

ds ds=

$ i prin ridicare la ptrat i

nsumare obinem ( )( ) ( )( )( )2 2 2

' 'd x d y dhx t s y t sds ds ds

+ = +

$ $.

Prin derivarea identitii ( )( )h s t t rezult 1dh dsds dt

= . Obinem funcia

( )( ) ( )( )2 21

' '

dhds x t s y t s

=

+ care nlocuit mai sus conduce la (3.9).


n continuare vom folosi frecvent parametrizarea natural pentru rezolvarea unor probleme teoretice. n practic, integrala din (3.7) nu este uor de calculat nct se opereaz cu parametrizri care nu satisfac n mod necesar (3.9). Se poate arta c egalitatea (3.9) este verificat n esen numai pentru parametrizrile prin lungime de arc (exerciiu!).

4. Reperul Serret Frenet ntr-un punct al unei curbe plane. Curbur.

Fie o curb plan reprezentat parametric, cu lungimea de arc s ca

parametru.

(4.1) ( ) [ ] ( ), 0, , 1d rr r s s L r sds

= = =

) "" " ".

Versorul tangentei la curb este ( ) ( )( )

( )r st s r sr s

= =

))

)

"" "

". Notm prin ( )n s"

versorul normalei la curb n punctul ( )P s . Alegem sensul lui n! nct baza ( ),t n! ! s fie pozitiv orientat.

Definiie. Reperul ( ) ( ) ( )( ){ }, ,P s t s n s = " " se numete reperul Serret Frenet al curbei plane (4.1). Cu s variabil n [ ]0, L avem un reper mobil pe curba (4.1).

n reperul ( ){ }, ,O i j" " fixat n plan, ecuaia curbei se scrie pe componente n forma

(4.2) ( )( ) [ ] ( ) ( )

2 2

,

, 0, , 1.

x x s

y y s s L x s y s

= = + =) )

Rezult ( ) ( ) ( ),t s x s y s = ) )"

iar condiia , 0t n =" "

ne arat c putem lua

( ) ( ) ( ),n s y s x s = ) )"

. Poziia semnului - se impune pentru a ne asigura c baza

( ),t n" " este pozitiv orientat, adic matricea schimbrii acestei baze cu baza ( ),i j! ! s


fie de determinat 1. ntr- adevr, cu aceast alegere, matricea n discuie este

x y

y x

) )

) ) i are determinantul egal cu 1.

Prin derivare n raport cu s a egalitii ( )2 1,t s =" obinem ( ) ( ), 0t s t s =)" "

.

Aadar vectorul ( )t s)"

este perpendicular pe ( )t s" . El este deci coliniar cu ( )n s" . Punem ( ) ( ) ( )t s s n s=

)" ". Prin acelai raionament dar plecnd de la ( )2 1n s ="

obinem ( ) ' ( ) ( )n s s t s=)"

. Prin derivarea egalitii ( ) ( ), 0t s n s =" " obinem

( ) ( ) ( ) ( ), , 0t s n s t s n s+ =) )" " " "

i folosind expresiile tocmai gsite pentru ( )t s)"

i ( )n s)"

rezult ' ( ) ( ) 0s s + = . Rezumnd, am obinut formulele lui Serret Frenet pentru o curb plan

(4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), t s s n s n s s t s = = ) )" " " "

.

n aceste formule apare funcia [ ]: 0, L # numit curbura curbei plane (4.1). Din prima formul (4.3) rezult ( ) ( )

2 2

s t s x y = = +% %% %%!

.

Vom da o interpretare geometric foarte util a curburii unei curbe plane. Fie ( )s unghiul format de versorul ( )t s" cu versorul i" . Acest unghi este

desenat n Fig. 2.

Fig. 2

y

x

t s"!

j""!


Rezult imediat ( ) ( ) ( ), cos ,x s t s i s= =) " " ( ) ( ) ( ) , siny s t s j s= =) " " i prin derivare n raport cu s obinem ( ) ( ) ( ) ( )sin , cos ,x s s y s s = =)) ) )) ) ( ) ( )d ss

ds =

). Prima formul Serret Frenet se scrie pe componente n forma

, x y y x = =)) ) )) )

, care combinat cu formulele tocmai obinute pentru x))

i y))

ne conduce la

(4.4) ( ) [ ], 0,ds s Lds

= .

Aceasta este interpretarea geometric a curburii unei curbe n plan. Formula (4.4) ne permite s obinem o formul de calcul a curburii n parametrizaie natural s.

Un calcul simplu ne arat c are loc egalitatea ( ) ( )x s y s ) )) ( ) ( ) ( )y s x s s=) )) ) i deci

(4.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ], 0,s x s y s y s x s s L = ) )) ) )) . S presupunem c lungimea de arc s provine de la o parametrizare a curbei cu t,

adic ( ) ( )0

't

ts t r d = " . Integrala care d s se calculeaz greu i de multe ori

funcia ( )t s t nu se poate determina explicit. nct n practic formula (4.5) nu este satisfctoare pentru calculul funciei curbur. Vom deduce o formul care ne permite s calculm curbura plecnd de la o parametrizare oarecare. Reinem c

( ) ( ) ( )2 2' ' 'ds r t x t y tdt

= = +"

. Punem ( )s s t= n ecuaiile (4.2) i obinem ( )( ) ( )( ),x x s t y y s t= = . Derivm aceste funcii, n raport cu t de dou ori i

obinem: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' , 'ds dsx t x s t y t y s tdt dt

= =

) ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2'' ,ds d sx t x s t x s tdt dt

= + )) )

( ) ( )( ) ( )( )2 2

2''ds d sy t y s t y s tdt dt

= + )) )

.

Evalum expresia ( ) ( ) ( ) ( )' '' ' ''x t y t y t x t . Folosind i (4.5) obinem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3

' '' ' '' dsx t y t y t x t s tdt

= Aadar avem urmtoarea formul de calcul a curburii unei curbe plane


(4.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )32 2 2

' '' ' ''

' '

x t y t y t x tt

x t y t

=

+

.

Observaia 4.1. Funcia curbur a curbei plane C nu depinde de reperul ortonormat ales n 2E . Faptul decurge din (4.4). ntr-adevr, la o translaie a reperului, funcia ( )s s rmne aceeai iar la o rotaie de unghi (acesta nu depinde de s) funcia ( )s s trece n ( )s s . Aceste funcii au aceeai derivat.

Observaia 4.2. Fixm reperul ( ){ }, ,O i j= ! !R i efectum o translaie i apoi o rotaie de unghi a planului 2E . Curba C i modific poziia n plan dar, ca mai sus, se constat c derivata funciei ( )s s este aceeai adic funcia curbur a curbei rmne aceeai. Compunerea unei translaii cu o rotaie direct se numete deplasare n planul 2E . Deplasrile sunt izometrii ale lui 2E .

Observaia 4.3. Pentru diverse parametrizri ale curbei obinem funcii curbur care au domenii de definiie diferite dar au aceeai mulime de valori. ntr-adevr, cu un calcul asemntor celui prin care am obinut (4.6) se arat c avem

( )( ) ( ), t t t I = cu : I J un difeomorfism al intervalelor deschise I i J din ! .

5. Teorema fundamental a geometriei curbelor plane

Am vzut c oricrei curbe n plan i se asociaz funcia curbur care se poate calcula prin formula (4.6) sau (4.5).

Aceast funcie curbur determin complet curba n sensul teoremei urmtoare, numit i teorema fundamental a curbelor plane.

Teorema 5.1. Fiind dat o funcie [ ] ( ): 0, , k L s s # , de clas , 0rC r , exist o curb, unic pn la o deplasare n plan, pentru care s este

lungime de arc i funcia k este funcia curbur a curbei. Demonstraia existentei. Fie [ )0 0,s L . Considerm ecuaia diferenial

( ) ( )s k s =) . Prin integrarea ei obinem (5.1) ( ) ( )

00 ,

s

ss k d = +

unde ( )0 0s = este un numr real oarecare. Fie sistemul de ecuaii difereniale n necunoscutele x, y


( ) ( )( ) ( )

cos

sin ,

x s s

y s s

= =

)

)

cu [ ]0,s L i unghiul ( )s dat de (5.1). Prin integrarea acestui sistem obinem

(5.2) ( ) ( )( ) ( )

0

0

0

0

cos

sin

s

s

s

s

x s x d

y s y d

= + = +

cu ( ) ( )0 0 0 0,x x s y y s= = numere reale oarecare. Aplicaia ( ) ( )( ),s x s y s este curba cutat, adic o curb plan pentru

care s este lungime de arc i k funcia curbur a ei. ntr-adevr, lungimea ei de arc

( ) ( )2 2

0 0

s sx y d ds s + = = ) ) , iar curbura ( ) ( ) [ ]2 2cos sin 0,x y y x s k s s L = + = = ) )) ) )) ) ) ) .

Comentariu asupra unicitii. n demonstraia existenei apar condiiile iniiale: punct ( )0 0,x y , direcie 0 , arbitrare. Deci exist o infinitate de curbe pentru care s este lungime de arc i k funcie curbur. Sintagma unic pn la o deplasare n plan nseamn c oricare dou dintre aceste curbe se pot suprapune printr-o deplasare n plan. Pentru demonstraie a se vedea [1, p.25]. Rezult c prin deplasri convenabile le putem suprapune pe toate peste una fixat.

Aplicaie. S se determine curbele plane de curbur constant 0k . Rezult ( ) ( )0 0s k s s = + i

( ) ( )( )( ) ( )( )

0 0

0 0

1 sin

1 cos

x s k s sk

y s k s sk

= + = +

Aadar ( ) ( )2 2 21x s y s k+ = , deci curba plan de curbur constant 0k este un arc de cerc de raz 1

k.

Curbele plane de curbur zero sunt, evident, drepte n plan.


6. Forma arcului unei curbe plane n vecintatea unui punct. Puncte singulare

Fie curba plan (C) ( )( ) [ ], 0,

x x s

y y s s L

==

, cu s parametru natural i

( ) ( )( ),P x s y s un punct al curbei C. Considerm un punct vecin lui P, ( ) ( )( ),Q x s s y s s+ + cu s o mic variaie a lui s. n punctul P avem reperul

Serret Frenet ( ) ( )( ){ }, ,P t s n s! ! . n acest reper vectorul PQ"""! se scrie n forma (6.1) & ( ) ( ) & ( ) ( )PQ x s t s y s n s= + """! ! ! . Pe de alt parte ( ) ( )PQ r s s r s= + ="""! ! ! ( ) ( ) ( ) ( )( ),x s s x s y s s y s+ +

sau, dup aplicarea formulei lui Taylor i omiterea termenilor care conin puteri 3

ale lui s , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

,1! 2! 1! 2!

s ss sPQ x s x s y s y s = + + = % %% % %%"""! ( ) ( ) ( )

2

1! 2!ssr s r s

+% %%! !

.

Continum prin aplicarea formulelor lui Frenet. Rezult ( ) ( ) ( )2

1! 2!

ssPQ t s kn s

= +"""! ! !

.

Prin comparaie cu (6.1) obinem

(6.2)

& ( )& ( ) ( ) ( )

2

,1!

, , ,2!

sx s

sy s k s

=

=

cu suficient de mic n valoare absolut. Formula (6.2) ne permite s desenm arcul de curbur n vecintatea

punctului P. Din (6.2) rezult

(6.2) & &2

2ky x= ,

formul care ne arat c arcul de curbur n vecintatea lui P are forma unui arc de parabol cu vrful n P i deschiderea indicat de sensul normalei principale (baza

( ),t n! ! este pozitiv orientat) dac are loc k > 0 i cu deschiderea n sens opus dac are loc k < 0. Consideraiile de mai sus sunt valabile pentru punctul P neinflexionar.

Dac P este inflexionar, considernd n dezvoltarea Taylor a funciilor ( ) ( ),s x s s y s i termeni ce conin ( )3s formulele (6.2) se nlocuiesc cu


(6.2) & ( ) ( )

& ( ) ( ) ( ) ( )

32

2 3

,1! 3!

, ,2! 3!

ssx s k

s sy s k k s

=

= +

%

care n ipoteza ( ) 0k s = se reduc la

(6.3)

& ( )& ( ) ( ) ( )

3

,1!

, ,3!

sx s

sy s k s

=

=

%

Rezult

(6.3) & &3

y k x=%

. Deci arcul curbei C n vecintatea punctului inflexionar P are forma unui

arc de parabol cubic (Fig. 4)

Fig. 4. Arcul plin reprezint cazul 0k >

% iar cel punctat reprezint cazul 0k #

n acest scop se studiaz variaia semnelor derivatelor ', 'x y i '', ''x y . Dar nainte de aceasta trebuie s ne ocupm de

Asimptote pentru curbe plane Fie ( ) ( )( ),P x t y t un punct pe curba C de ecuaie (6.5). S presupunem c pentru 0t t ( 0t finit sau ), fie ( )x t fie ( )y t tinde

ctre + sau . Vom spune c punctul P tinde ctre infinit pe curba C i arcul descris de P se va numi ramur infinit a curbei C. Este posibil ca acest arc s se apropie orict de mult de o dreapt d n sensul c ( )

0

lim , 0t t

dist P d

= . n acest caz se

spune c dreapta d este asimptot pentru curba C. Apar urmtoarele situaii: a) Pentru ( )

00 0, limt tt I x t x =# (finit) i ( )0limt t y t = . n aceast

situaie dreapta 0x x= este asimptot (vertical) pentru c distana lui P la aceast dreapt are limita zero pentru 0t t .

b) Pentru ( )0

0 , limt tt I x t = # , ( )0 0limt t y t y = (finit). Atunci dreapta de ecuaie 0y y= este asimptot (orizontal) la curba C.

c) Pentru ( )0

0 , limt tt I x t = # , ( )0limt t y t = . n aceast situaie cutm asimptote (oblice) de forma y mx n= + . Condiia de asimptot,

( ) ( )0 2

lim 01t t

mx t y t n

m +

=

+, rescris n forma ( ) ( )( ) ( )0 2lim 01t t

x t y t nmx t x tm

+ = + , ne

arat c n mod necesar, ( )( )0limt t

y tm

x t= . Forma ecuaiei asimptotei ne conduce la

( ) ( )( )0

limt t

n y t mx t

= . Invers, dac limitele care definesc m i n exist i sunt finite,

distana de la ( ) ( )( ),P x t y t la dreapta y mx n= + tinde la zero pentru 0t t , deci dreapta y mx n= + este asimptot a curbei C.


Exemplu. S se reprezinte grafic curba, numit foliul lui Descartes, de ecuaie 3 3 3 0, , 0x y axy a a+ = ># .

ncercm s gsim o parametrizare a curbei prin intersecia ei cu dreapta y tx= (Procedeu demn de reinut!). nlocuind y tx= n ecuaia curbei, obinem

(6.6) 3

2

3

313 , .1

atxt

aty tt

=

+

= +

#

Observm c pentru 1t , funciile x i y devin simultan infinite. Cutm

asimptote oblice. Avem ( )( )1lim 1t

y tx t

= i ( ) ( )( )1

limt

y t mx t a

= . Aadar dreapta

0x y a+ + = este asimptot oblic.

Primele derivate sunt ( ) ( )( ) ( )( )

( )3 3

2 23 3

3 1 2 3 2' , '

1 1

a t at tx t y t

t t

= =

+ +. Ele se

anuleaz pentru 3

12

i respectiv pentru t = 0 i 3 2t = . Introducem aceste valori i

semnele funciilor x, y ntr-un tabel ca mai jos.

t -1 0 312

3 2

x + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - y - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - -

x 0 ' ' +

' 0 '

32 2a ( ( ( 0

y 0 ( ( +

( 0 ' ' 3 4a ( ( 0

Din acest tabel reiese graficul curbei C (pentru 3 2a = ).


Fig. 5

Sgeile indic deplasarea punctului P al curbei cnd t variaz de la la

+ . Se constat imediat c axa Ox este tangent la curb n punctul O. Acesta este i punct dublu pentru curb. El se obine pentru 0,t t= = . Dup schimbarea de

parametru 1 , ' 0t tt

= , calculnd primele derivate se constat c i axa Oy este

tangent curbei n originea O. Reprezentarea parametric (6.6) ne arat c foliul lui Descartes este curb n sensul Definiiei 1.2.

Amintim c n reprezentrile parametric, (1.5), implicit, (1.6), i explicit, (1.7), ale curbelor plane se impuneau urmtoarele condiii:

a) Funciile folosite s fie de clas ( )1sC s , b) n reprezentarea parametric (1.5), derivatele x i y s nu fie simultan

nule, c) n reprezentarea implicit (1.6), derivatele xF i yF s nu fie simultan

nule. Exist mulimi n plan descrise, ntr-un reper cartezian, de ecuaii de tipul

(1.5), (1.6), (1.7) care au puncte n care nu toate condiiile a), b), c) sunt satisfcute. Asemenea puncte se numesc puncte singulare i mulimile n cauz se numesc curbe cu singulariti.

Lsm n seama Analizei matematice studiul curbelor cu singulariti produse de nesatisfacerea condiiei a) i ne ocupm de puncte singulare date de nesatisfacerea condiiei b), respectiv c).

Fie o curb cu singulariti dat parametric prin (1.5). ntr-un punct singular avem ' ' 0x y= = . Constatm c nu mai putem folosi (2.3) pentru a scrie ecuaia


tangentei n acest punct. Amintim c ntr-un punct nesingular dat de 0t t= , panta

tangentei la curb este ( )( )

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

00 0 0

'lim

' ty t y t t y t

mx t x t t x t

+ = =

+ .

Aceast formul conduce la ideea de a defini tangenta ntr-un punct singular dup cum urmeaz. S presupunem mai general c n punctul singular dat de valoarea 0t u= avem

( ) ( )1 1' '' ... ' '' ... 0,s sx x x y y y = = = = = = = = i c cel puin una din derivatele ( ) ( ),s sx y este diferit de zero n acest punct.

Formula lui Taylor ne permite s scriem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1!s

stx u t x u x u ts

+ = + ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 2 ,!s

sty u t y u y u ts

+ = + ,

unde 1 i 2 sunt numere reale din intervalul (0,1). Definind panta tangentei ca i n puncte nesingulare, rezult ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 1 0

00 1 0

,lim

,

s s

s st

y u t y um

x u t x u

+ = =

+ . Limita exist pentru c funciile n cauz sunt

de clas ( )1sC s . Ecuaia tangentei se scrie n forma

( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 0

0 0s s

x x u y y ux u y u

= .

Fie acum o curb cu singulariti dat de ecuaia ( ), 0F x y = . Coordonatele ( ),x y ale unui punct singular sunt soluii ale sistemului

( ) ( ) ( ), 0, , 0, , 0x yF x y F x y F x y= = = . Cutm panta tangentei ntr-un asemenea punct. Fie ( )' ,P x x y y+ + un punct vecin lui ( ),P x y . Panta tangentei n P va

fi 0

limx

ymx

=

. Punctul P fiind pe curb, avem

( ), 0F x x y y+ + = . Aplicm funciei F formula lui Taylor, oprindu-ne la termeni de ordin 2.

Obinem ( )( ) ( ) ( )( )2 2, 2 , , 0xx xy yyF x y x F x y x y F x y y + + = .

mprim prin ( )2x i facem 0x . Rezult


( ) ( ) ( ) 2, 2 , , 0xx xy yyF x y mF x y F x y m+ + = . Presupunem c cel puin una din derivatele de ordinul al doilea a funciei F

este diferit de zero n P. Ecuaia de gradul 2 n m conduce la urmtoarea discuie. 1) Dac 2 0xy xx yyF F F > n P, avem dou tangente n P, de pante 1m i

2m . Curba arat ca n Fig. 6.

Fig. 6

2) Dac 2 0xy xx yyF F F = n P, avem o singur tangent care trebuie totui

socotit de dou ori. Curba are una din formele

Fig. 7

3) Dac 2 0xy xx yyF F F < n P, atunci P este un punct izolat al mulimii de

puncte definit de ecuaia ( ), 0F x y = , n sensul c exist un disc centrat n P care nu conine nici un punct al acestei mulimi.

Dac toate derivatele de ordinul al doilea ale funciei F sunt nule n P, se face un raionament similar considernd n formula lui Taylor derivate de ordin 3 sau i mai mare dac derivatele de ordinul al treilea etc. ale funciei F sunt nule n P.

Documents

Capitol 1 Curbe