Curbe ın spatiu(strambe) (II); Suprafete

Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea

U.T. Cluj-Napoca

Fie (C ) o curba neteda (admitem existenta tuturor derivatelor ),data parametric:

(C ) : x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Presupunem ca toate punctele ei sunt ordinare ordinare((x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2 6= 0). Fie un punct M(x , y , z) ∈ (C ).

Fie (C ) o curba neteda (admitem existenta tuturor derivatelor ),data parametric:

(C ) : x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Presupunem ca toate punctele ei sunt ordinare ordinare((x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2 6= 0). Fie un punct M(x , y , z) ∈ (C ).

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

exista un triedru mobil, care se schimba odata cu punctul,numit triedrul lui Frenet format din

1) Planul normal (Pn) si tangenta (MT ) la (C ) ın M;

2) Planul osculator (Po) si binormala (MB) la (C ) ın M;

3) Planul rectifiant (Pr ) si normala principala (MN) la (C ) ınM;

Definitii:

2) S.n. binormala ın M la curba (C ) perpendiculara pe planulosculator. Ecuatia ei:

(MB)X − x

A=

Y − y

B=

Z − z

C.

3) S.n. plan rectifiant, planul determinat de tangenta sibinormala. Ecuatia lui:

(Pr )

∣∣∣∣∣∣X − x Y − y Z − zx ′ y ′ z ′

A B C

∣∣∣∣∣∣ = 0;

Normala principala este intersectia dintre planul normal si planulosculator (sau normala ın M la planul rectifiant).

Ecuatia:

(MN)

{(Pn) x ′(X − x) + y ′(Y − y) + z ′(Z − z) = 0(Po) A(X − x) + B(Y − y) + C (Z − z) = 0

Triedrul lui Frenet

Normala principala este intersectia dintre planul normal si planulosculator (sau normala ın M la planul rectifiant).

Ecuatia:(MN)

{(Pn) x ′(X − x) + y ′(Y − y) + z ′(Z − z) = 0(Po) A(X − x) + B(Y − y) + C (Z − z) = 0

Triedrul lui Frenet

Normala principala este intersectia dintre planul normal si planulosculator (sau normala ın M la planul rectifiant).

Ecuatia:(MN)

{(Pn) x ′(X − x) + y ′(Y − y) + z ′(Z − z) = 0(Po) A(X − x) + B(Y − y) + C (Z − z) = 0

Triedrul lui Frenet

Versorii triedrului mobil:

Din ecuatiile parametrice scriem imediat ecuatia vectoriala a curbei(C ) :

−→r = −→r (t) = x(t)−→i + y(t)

−→j + z(t)

−→k .

Deoarece am presupus (C ) neteda rezulta:

−→r ′ = x ′(t)−→i + y ′(t)

−→j + z ′(t)

−→k ;

−→r ′′ = x ′′(t)−→i + y ′′(t)

−→j + z ′′(t)

−→k .

Versorii triedrului mobil:

Din ecuatiile parametrice scriem imediat ecuatia vectoriala a curbei(C ) :

−→r = −→r (t) = x(t)−→i + y(t)

−→j + z(t)

−→k .

Deoarece am presupus (C ) neteda rezulta:

−→r ′ = x ′(t)−→i + y ′(t)

−→j + z ′(t)

−→k ;

−→r ′′ = x ′′(t)−→i + y ′′(t)

−→j + z ′′(t)

−→k .

Versorii triedrului mobil:

a) Versorul tangentei (MT ) notat cu−→t este

−→t =

−→r ′

|−→r ′|;

b) Versorul binormalei (MB) notat cu−→b este

−→b =

−→r ′ ×−→r ′′

|−→r ′ ×−→r ′′|;

C) Versorul normalei principale (MN) notat cu −→n este

−→n =−→b ×−→t

Versorii triedrului mobil:

a) Versorul tangentei (MT ) notat cu−→t este

−→t =

−→r ′

|−→r ′|;

b) Versorul binormalei (MB) notat cu−→b este

−→b =

−→r ′ ×−→r ′′

|−→r ′ ×−→r ′′|;

C) Versorul normalei principale (MN) notat cu −→n este

−→n =−→b ×−→t

Versorii triedrului mobil:

a) Versorul tangentei (MT ) notat cu−→t este

−→t =

−→r ′

|−→r ′|;

b) Versorul binormalei (MB) notat cu−→b este

−→b =

−→r ′ ×−→r ′′

|−→r ′ ×−→r ′′|;

C) Versorul normalei principale (MN) notat cu −→n este

−→n =−→b ×−→t

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

Curbura unei curbe ın spatiu

se defineste similar cu curbura unei curbe plane;

se calculeaza dupa formula K = |−→r ′×−→r ′′|

|−→r ′ |3

;

O curba din spatiu este dreapta daca si numai daca K = 0.

Torsiunea unei curbe ın spatiu

Fie s parametrul natural al curbei (C )

se demonstreaza ca exista numarul T , ce depinde de s astfelıncat

d−→b

ds= −T−→n

T s.n. torsiunea curbei (C ) ın M si se calculeaza dupa:

T = (−→r ′,−→r ′′,−→r ′′′)|−→r ′×−→r ′′|2 ;

O curba din spatiu este curba plana daca si numai daca aretorsiunea nula ın orice punct. In acest caz, planul curbei esteplanul osculator.

SUPRAFETE

Fie D ⊆ R× R o multime plana.

S.n. suprafata data parametric multimea punctelor din spatiudate de ecuatiile parametrice

P© (S)

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈ D.

S.n. suprafata data explicit multimea punctelor din spatiudate de

E© (S) z = f (x , y), (x , y) ∈ D.

ImplicitI© (S) F (x , y , z) = 0.

SUPRAFETE

Fie D ⊆ R× R o multime plana.

S.n. suprafata data parametric multimea punctelor din spatiudate de ecuatiile parametrice

P© (S)

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈ D.

S.n. suprafata data explicit multimea punctelor din spatiudate de

E© (S) z = f (x , y), (x , y) ∈ D.

ImplicitI© (S) F (x , y , z) = 0.

SUPRAFETE

Fie D ⊆ R× R o multime plana.

S.n. suprafata data parametric multimea punctelor din spatiudate de ecuatiile parametrice

P© (S)

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈ D.

S.n. suprafata data explicit multimea punctelor din spatiudate de

E© (S) z = f (x , y), (x , y) ∈ D.

ImplicitI© (S) F (x , y , z) = 0.

Ex. SFERA cu centru originea si raza R:

I© (S) x2 + y2 + z2 = R2

E© (S) z = ±√R2 − x2 − y2;

P© (S) x = R cos u sin v , y = R sin u sin v , z = R cos v , u ∈[0, 2π], v ∈ [0, π]

Ex. SFERA cu centru originea si raza R:

I© (S) x2 + y2 + z2 = R2

E© (S) z = ±√R2 − x2 − y2;

P© (S) x = R cos u sin v , y = R sin u sin v , z = R cos v , u ∈[0, 2π], v ∈ [0, π]

Ex. SFERA cu centru originea si raza R:

I© (S) x2 + y2 + z2 = R2

E© (S) z = ±√

R2 − x2 − y2;

P© (S) x = R cos u sin v , y = R sin u sin v , z = R cos v , u ∈[0, 2π], v ∈ [0, π]

Ex. SFERA cu centru originea si raza R:

I© (S) x2 + y2 + z2 = R2

E© (S) z = ±√

R2 − x2 − y2;

P© (S) x = R cos u sin v , y = R sin u sin v , z = R cos v , u ∈[0, 2π], v ∈ [0, π]

Planul tangent si normala la o suprafata

Fie M(x , y , z) ∈ (S) un punct. (In cazul ecuatiilor parametriceM(u, v) unde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)).Presupunem ca toate derivatele partiale cu care lucram exista sitoate punctele de pe suprafata sunt ordinare. Reamintimdeterminantii functionali

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ x ′u x ′vy ′u y ′v

∣∣∣∣ D(y , z)

D(u, v)=

∣∣∣∣ y ′u y ′vz ′u z ′v

∣∣∣∣ D(z , x)

D(u, v)=

∣∣∣∣ z ′u z ′vx ′u x ′v

∣∣∣∣Definitie: Se numeste plan tangent la (S) ın M, notat (Pt),planul format din toate tangentele la curbele de pe suprafata caretrec prin M. Normala la suprafata ın punctul M, notata (MN)este normala la planul tangent ın acest punct.

P©: (Pt)D(y ,z)D(u,v)(X −x)+ D(z,x)

D(u,v)(Y −y)+ D(x ,y)D(u,v)(Z−z) = 0

(MN)X − xD(y ,z)D(u,v)

=Y − yD(z,x)D(u,v)

=Z − zD(x ,y)D(u,v)

Planul tangent si normala la o suprafata

Fie M(x , y , z) ∈ (S) un punct. (In cazul ecuatiilor parametriceM(u, v) unde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)).

Presupunem ca toate derivatele partiale cu care lucram exista sitoate punctele de pe suprafata sunt ordinare. Reamintimdeterminantii functionali

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ x ′u x ′vy ′u y ′v

∣∣∣∣ D(y , z)

D(u, v)=

∣∣∣∣ y ′u y ′vz ′u z ′v

∣∣∣∣ D(z , x)

D(u, v)=

∣∣∣∣ z ′u z ′vx ′u x ′v

∣∣∣∣Definitie: Se numeste plan tangent la (S) ın M, notat (Pt),planul format din toate tangentele la curbele de pe suprafata caretrec prin M. Normala la suprafata ın punctul M, notata (MN)este normala la planul tangent ın acest punct.

P©: (Pt)D(y ,z)D(u,v)(X −x)+ D(z,x)

D(u,v)(Y −y)+ D(x ,y)D(u,v)(Z−z) = 0

(MN)X − xD(y ,z)D(u,v)

=Y − yD(z,x)D(u,v)

=Z − zD(x ,y)D(u,v)

Planul tangent si normala la o suprafata

Fie M(x , y , z) ∈ (S) un punct. (In cazul ecuatiilor parametriceM(u, v) unde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)).Presupunem ca toate derivatele partiale cu care lucram exista sitoate punctele de pe suprafata sunt ordinare.

Reamintimdeterminantii functionali

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ x ′u x ′vy ′u y ′v

∣∣∣∣ D(y , z)

D(u, v)=

∣∣∣∣ y ′u y ′vz ′u z ′v

∣∣∣∣ D(z , x)

D(u, v)=

∣∣∣∣ z ′u z ′vx ′u x ′v

∣∣∣∣Definitie: Se numeste plan tangent la (S) ın M, notat (Pt),planul format din toate tangentele la curbele de pe suprafata caretrec prin M. Normala la suprafata ın punctul M, notata (MN)este normala la planul tangent ın acest punct.

P©: (Pt)D(y ,z)D(u,v)(X −x)+ D(z,x)

D(u,v)(Y −y)+ D(x ,y)D(u,v)(Z−z) = 0

(MN)X − xD(y ,z)D(u,v)

=Y − yD(z,x)D(u,v)

=Z − zD(x ,y)D(u,v)

Planul tangent si normala la o suprafata

Fie M(x , y , z) ∈ (S) un punct. (In cazul ecuatiilor parametriceM(u, v) unde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)).Presupunem ca toate derivatele partiale cu care lucram exista sitoate punctele de pe suprafata sunt ordinare. Reamintimdeterminantii functionali

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ x ′u x ′vy ′u y ′v

∣∣∣∣ D(y , z)

D(u, v)=

∣∣∣∣ y ′u y ′vz ′u z ′v

∣∣∣∣ D(z , x)

D(u, v)=

∣∣∣∣ z ′u z ′vx ′u x ′v

∣∣∣∣

Definitie: Se numeste plan tangent la (S) ın M, notat (Pt),planul format din toate tangentele la curbele de pe suprafata caretrec prin M. Normala la suprafata ın punctul M, notata (MN)este normala la planul tangent ın acest punct.

P©: (Pt)D(y ,z)D(u,v)(X −x)+ D(z,x)

D(u,v)(Y −y)+ D(x ,y)D(u,v)(Z−z) = 0

(MN)X − xD(y ,z)D(u,v)

=Y − yD(z,x)D(u,v)

=Z − zD(x ,y)D(u,v)

Planul tangent si normala la o suprafata

Fie M(x , y , z) ∈ (S) un punct. (In cazul ecuatiilor parametriceM(u, v) unde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)).Presupunem ca toate derivatele partiale cu care lucram exista sitoate punctele de pe suprafata sunt ordinare. Reamintimdeterminantii functionali

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ x ′u x ′vy ′u y ′v

∣∣∣∣ D(y , z)

D(u, v)=

∣∣∣∣ y ′u y ′vz ′u z ′v

∣∣∣∣ D(z , x)

D(u, v)=

∣∣∣∣ z ′u z ′vx ′u x ′v

∣∣∣∣Definitie: Se numeste plan tangent la (S) ın M, notat (Pt),planul format din toate tangentele la curbele de pe suprafata caretrec prin M.

Normala la suprafata ın punctul M, notata (MN)este normala la planul tangent ın acest punct.

P©: (Pt)D(y ,z)D(u,v)(X −x)+ D(z,x)

D(u,v)(Y −y)+ D(x ,y)D(u,v)(Z−z) = 0

(MN)X − xD(y ,z)D(u,v)

=Y − yD(z,x)D(u,v)

=Z − zD(x ,y)D(u,v)

Planul tangent si normala la o suprafata

Fie M(x , y , z) ∈ (S) un punct. (In cazul ecuatiilor parametriceM(u, v) unde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)).Presupunem ca toate derivatele partiale cu care lucram exista sitoate punctele de pe suprafata sunt ordinare. Reamintimdeterminantii functionali

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ x ′u x ′vy ′u y ′v

∣∣∣∣ D(y , z)

D(u, v)=

∣∣∣∣ y ′u y ′vz ′u z ′v

∣∣∣∣ D(z , x)

D(u, v)=

∣∣∣∣ z ′u z ′vx ′u x ′v

∣∣∣∣Definitie: Se numeste plan tangent la (S) ın M, notat (Pt),planul format din toate tangentele la curbele de pe suprafata caretrec prin M. Normala la suprafata ın punctul M, notata (MN)este normala la planul tangent ın acest punct.

P©: (Pt)D(y ,z)D(u,v)(X −x)+ D(z,x)

D(u,v)(Y −y)+ D(x ,y)D(u,v)(Z−z) = 0

(MN)X − xD(y ,z)D(u,v)

=Y − yD(z,x)D(u,v)

=Z − zD(x ,y)D(u,v)

Planul tangent si normala la o suprafata

Fie M(x , y , z) ∈ (S) un punct. (In cazul ecuatiilor parametriceM(u, v) unde x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)).Presupunem ca toate derivatele partiale cu care lucram exista sitoate punctele de pe suprafata sunt ordinare. Reamintimdeterminantii functionali

D(x , y)

D(u, v)=

∣∣∣∣ x ′u x ′vy ′u y ′v

∣∣∣∣ D(y , z)

D(u, v)=

∣∣∣∣ y ′u y ′vz ′u z ′v

∣∣∣∣ D(z , x)

D(u, v)=

∣∣∣∣ z ′u z ′vx ′u x ′v

∣∣∣∣Definitie: Se numeste plan tangent la (S) ın M, notat (Pt),planul format din toate tangentele la curbele de pe suprafata caretrec prin M. Normala la suprafata ın punctul M, notata (MN)este normala la planul tangent ın acest punct.

P©: (Pt)D(y ,z)D(u,v)(X −x)+ D(z,x)

D(u,v)(Y −y)+ D(x ,y)D(u,v)(Z−z) = 0

(MN)X − xD(y ,z)D(u,v)

=Y − yD(z,x)D(u,v)

=Z − zD(x ,y)D(u,v)

Planul tangent si normala

E©: (Pt) f ′x(X − x) + f ′y (Y − y)− (Z − z) = 0

(MN)X − x

f ′x=

Y − y

f ′y=

Z − z

−1

I©: (Pt) F ′x(X − x) + F ′y (Y − y) + F ′z(Z − z) = 0

(MN)X − x

F ′x=

Y − y

F ′y=

Z − z

F ′z

Planul tangent si normala

E©: (Pt) f ′x(X − x) + f ′y (Y − y)− (Z − z) = 0

(MN)X − x

f ′x=

Y − y

f ′y=

Z − z

−1

I©: (Pt) F ′x(X − x) + F ′y (Y − y) + F ′z(Z − z) = 0

(MN)X − x

F ′x=

Y − y

F ′y=

Z − z

F ′z

Prima forma patratica fundamentala

Fie ds elementul de arc al unei curbe trasate pe suprafata (S). Nepropunem sa calculam aceste element de arc si obtinem primaforma patratica fundamentala:

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.

In caz parametric P©:

E = x ′u2

+ y ′u2

+ z ′u2

F = x ′ux′v + y ′uy

′v + z ′uz

′v

G = x ′v2

+ y ′v2

+ z ′v2

Prima forma patratica fundamentala

Fie ds elementul de arc al unei curbe trasate pe suprafata (S). Nepropunem sa calculam aceste element de arc si obtinem primaforma patratica fundamentala:

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.

In caz parametric P©:

E = x ′u2

+ y ′u2

+ z ′u2

F = x ′ux′v + y ′uy

′v + z ′uz

′v

G = x ′v2

+ y ′v2

+ z ′v2

Prima forma patratica fundamentala

Fie ds elementul de arc al unei curbe trasate pe suprafata (S). Nepropunem sa calculam aceste element de arc si obtinem primaforma patratica fundamentala:

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.

In caz parametric P©:

E = x ′u2

+ y ′u2

+ z ′u2

F = x ′ux′v + y ′uy

′v + z ′uz

′v

G = x ′v2

+ y ′v2

+ z ′v2

Prima forma patratica fundamentala

Fie ds elementul de arc al unei curbe trasate pe suprafata (S). Nepropunem sa calculam aceste element de arc si obtinem primaforma patratica fundamentala:

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.

In caz parametric P©:

E = x ′u2

+ y ′u2

+ z ′u2

F = x ′ux′v + y ′uy

′v + z ′uz

′v

G = x ′v2

+ y ′v2

+ z ′v2

Prima forma patratica fundamentala

Fie ds elementul de arc al unei curbe trasate pe suprafata (S). Nepropunem sa calculam aceste element de arc si obtinem primaforma patratica fundamentala:

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.

In caz parametric P©:

E = x ′u2

+ y ′u2

+ z ′u2

F = x ′ux′v + y ′uy

′v + z ′uz

′v

G = x ′v2

+ y ′v2

+ z ′v2

Materia pentru Examen:

De la CURSUL 9 SI SEMINARUL 9 intra doar Procedeul deortogonalizare Gram-Schmidt (teoria si tipul deproblema-PENTRU SERIA C +I Ec); respectiv, doardefinitiile pentru Forme Biliniare si Patratice cuexemple(- PENTRU SERIA B);

NU se cere pentru examen CURSUL 14 (ultimul curs);

NU se cere pentru examen partea de curbe ın spatiu de laCURSUL SI SEMINARUL 13;

NU se cere pentru examen ”Reducerea la forma canonica aconicelor” (de la CURSUL X numit ”CONICE”);

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE: 1. Vectori si Valori Proprii; 2.Baza unui spatiu vectorial; 3. Produsul Mixt; 4.ProdusulVectorial; 5. Produsul Scalar; 6. Elipsoid si Hiperboloizi(ecuatie, desen, proprietati, exemple); etc.

Materia pentru Examen:

De la CURSUL 9 SI SEMINARUL 9 intra doar Procedeul deortogonalizare Gram-Schmidt (teoria si tipul deproblema-PENTRU SERIA C +I Ec); respectiv, doardefinitiile pentru Forme Biliniare si Patratice cuexemple(- PENTRU SERIA B);

NU se cere pentru examen CURSUL 14 (ultimul curs);

NU se cere pentru examen partea de curbe ın spatiu de laCURSUL SI SEMINARUL 13;

NU se cere pentru examen ”Reducerea la forma canonica aconicelor” (de la CURSUL X numit ”CONICE”);

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE: 1. Vectori si Valori Proprii; 2.Baza unui spatiu vectorial; 3. Produsul Mixt; 4.ProdusulVectorial; 5. Produsul Scalar; 6. Elipsoid si Hiperboloizi(ecuatie, desen, proprietati, exemple); etc.

Materia pentru Examen:

De la CURSUL 9 SI SEMINARUL 9 intra doar Procedeul deortogonalizare Gram-Schmidt (teoria si tipul deproblema-PENTRU SERIA C +I Ec); respectiv, doardefinitiile pentru Forme Biliniare si Patratice cuexemple(- PENTRU SERIA B);

NU se cere pentru examen CURSUL 14 (ultimul curs);

NU se cere pentru examen partea de curbe ın spatiu de laCURSUL SI SEMINARUL 13;

NU se cere pentru examen ”Reducerea la forma canonica aconicelor” (de la CURSUL X numit ”CONICE”);

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE: 1. Vectori si Valori Proprii; 2.Baza unui spatiu vectorial; 3. Produsul Mixt; 4.ProdusulVectorial; 5. Produsul Scalar; 6. Elipsoid si Hiperboloizi(ecuatie, desen, proprietati, exemple); etc.

Materia pentru Examen:

De la CURSUL 9 SI SEMINARUL 9 intra doar Procedeul deortogonalizare Gram-Schmidt (teoria si tipul deproblema-PENTRU SERIA C +I Ec); respectiv, doardefinitiile pentru Forme Biliniare si Patratice cuexemple(- PENTRU SERIA B);

NU se cere pentru examen CURSUL 14 (ultimul curs);

NU se cere pentru examen partea de curbe ın spatiu de laCURSUL SI SEMINARUL 13;

NU se cere pentru examen ”Reducerea la forma canonica aconicelor” (de la CURSUL X numit ”CONICE”);

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE: 1. Vectori si Valori Proprii; 2.Baza unui spatiu vectorial; 3. Produsul Mixt; 4.ProdusulVectorial; 5. Produsul Scalar; 6. Elipsoid si Hiperboloizi(ecuatie, desen, proprietati, exemple); etc.

Materia pentru Examen:

De la CURSUL 9 SI SEMINARUL 9 intra doar Procedeul deortogonalizare Gram-Schmidt (teoria si tipul deproblema-PENTRU SERIA C +I Ec); respectiv, doardefinitiile pentru Forme Biliniare si Patratice cuexemple(- PENTRU SERIA B);

NU se cere pentru examen CURSUL 14 (ultimul curs);

NU se cere pentru examen partea de curbe ın spatiu de laCURSUL SI SEMINARUL 13;

NU se cere pentru examen ”Reducerea la forma canonica aconicelor” (de la CURSUL X numit ”CONICE”);

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE: 1. Vectori si Valori Proprii; 2.Baza unui spatiu vectorial; 3. Produsul Mixt; 4.ProdusulVectorial; 5. Produsul Scalar; 6. Elipsoid si Hiperboloizi(ecuatie, desen, proprietati, exemple); etc.

Materia pentru Examen:

De la CURSUL 9 SI SEMINARUL 9 intra doar Procedeul deortogonalizare Gram-Schmidt (teoria si tipul deproblema-PENTRU SERIA C +I Ec); respectiv, doardefinitiile pentru Forme Biliniare si Patratice cuexemple(- PENTRU SERIA B);

NU se cere pentru examen CURSUL 14 (ultimul curs);

NU se cere pentru examen partea de curbe ın spatiu de laCURSUL SI SEMINARUL 13;

NU se cere pentru examen ”Reducerea la forma canonica aconicelor” (de la CURSUL X numit ”CONICE”);

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE: 1. Vectori si Valori Proprii; 2.Baza unui spatiu vectorial; 3. Produsul Mixt; 4.ProdusulVectorial; 5. Produsul Scalar; 6. Elipsoid si Hiperboloizi(ecuatie, desen, proprietati, exemple); etc.

Materia pentru Examen:

De la CURSUL 9 SI SEMINARUL 9 intra doar Procedeul deortogonalizare Gram-Schmidt (teoria si tipul deproblema-PENTRU SERIA C +I Ec); respectiv, doardefinitiile pentru Forme Biliniare si Patratice cuexemple(- PENTRU SERIA B);

NU se cere pentru examen CURSUL 14 (ultimul curs);

NU se cere pentru examen partea de curbe ın spatiu de laCURSUL SI SEMINARUL 13;

NU se cere pentru examen ”Reducerea la forma canonica aconicelor” (de la CURSUL X numit ”CONICE”);

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE: 1. Vectori si Valori Proprii; 2.Baza unui spatiu vectorial; 3. Produsul Mixt; 4.ProdusulVectorial; 5. Produsul Scalar; 6. Elipsoid si Hiperboloizi(ecuatie, desen, proprietati, exemple); etc.

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (de pe site-ul

personal) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (de pe site-ul

personal) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (de pe site-ul

personal) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA=

=Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (de pe site-ul

personal) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (de pe site-ul

personal) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (de pe site-ul

personal) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (de pe site-ul

personal) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!