Click here to load reader

Culegere Fizica - V. Paun

  • View
    469

  • Download
    23

Embed Size (px)

Text of Culegere Fizica - V. Paun

Probleme de zicaEmilPetrescuViorelPaunOctober6,2004Cuprins1 OSCILATII 52 MECANICAANALITICA 353 TERMODINAMICA 734 FIZICASTATISTICA 1685 CAMPULELECTROMAGNETIC 2121Capitolul1OSCILATIIPROBLEMA1.1 Cunoscand vitezele v1 si v2ce corespund elonga-t iilor x1si x2ale unui oscilator armonic, sa se determine amplitudinea siperioadaoscilat iiloracestuia.SOLUTIEDinexpresiileelongat ieix1siavitezeiv1x1= Asin(t1 + )v1= Acos (t1 + )rezultax1A= sin (t1 + ) (1.1)v1A= cos (t1 + ) (1.2)Prin nsumareapatratelorexpresiilor1.1 si1.2rezulta:x21A2+v212A2= 1 (1.3)Inmodanalog,seobt inerelat iadintreelongat iax2sivitezav2.x22A2+v222A2= 1 (1.4)5CAPITOLUL1. OSCILAT II 6A m k

kFHOFigura1.1: Resoartelegate nserieDinsistemulformatdinrelat iile1.3 si1.4rezultapulsat ia=

v22v21x21x22siamplitudineaA =

x21v22x22v21v22v21Perioadaoscilat iiloresteT=2= 2

x21x22v22v21PROBLEMA1.2 OmasamestelegatadeunpunctfixOprinintermediul adouaresorturi cuconstanteleelasticek1si k2montate nserie, apoinparalel. Sasedeterminenfiecarecazperioadamiciloroscilat ii.SOLUTIEa)Cazulresoartelorlegate nserie(Fig. 1.1)Se noteaza cu x1 si x2 deplasarile punctului Asi a masei mdin pozit iilelor de echilibru. Aceasta nseamn a ca deformarea celui de-al doilea resorteste: x2x1.Ecuat iademiscareamaseimeste:m..x2= k (x2x1) (1.5)Deoarecetensiunea nceledouaresoarteesteegala:k1x1= k2 (x2x1) (1.6)CAPITOLUL1. OSCILAT II 7m

k

kOFigura1.2: Resoartelegate nparalelSeeliminax1dinecuat iile1.5 si1.6 siseobt inem..x2+k1k2k1 + k2x2= 0Aceastaesteecuat iaunuioscilatorarmoniccupulsat ia=

k1k2m(k1 + k2)Inacestcazperioadamiciloroscilat iieste:T=2

m(k1 + k2)k1k2b)Cazulresoartelorlegate nparalel(Fig. 1.2)Inacestcazdeformareacelordouaresoarteesteegala. Ecuat iademiscareacorpuluidemasamestem..x= (k1 + k2) xiarperioadadeoscilat ieT= 2

mk1 + k2PROBLEMA1.3 Unareometru(densimetru) demasamcudi-ametrul tubului cilindric d efectueaza mici oscilat ii verticale cu perioadaTntr-unlichidcudensitatea. Sasedeterminedensitatealichidului.CAPITOLUL1. OSCILAT II 8).H).H/H/HN N +

N = >Figura1.3: Areometrucareoscileaza nlichidSOLUTIEAsupra areometrului act ioneaza fort a gravitat ionala si fort a arhimedica.InFig. 1.3suntprezentatedouasituat ii:a)areometruleste nechilibrub)areometrulestescosput indinpozit iadeechilibru.Candareometruleste npozit iadeechilibru,FA= G,adicad24x0g= mg (1.7)undemestemasaareometrului.Cand areometrul este scos din pozit ia de echilibru si este introdus maiadanc n lichid fort a arhimedica este mai mare decat fort a gravitat ional a.Rezultantacelordouafort eeste:R = FAG =d24(x0 + x) g mg (1.8)In expresia de mai sus s-a notat cu x deplasarea areometrului fat a depozit iadeechilibru.T inandcontderelat ia1.7,din1.8rezultaR =d24gx = kx (1.9)CAPITOLUL1. OSCILAT II 9mFigura1.4: Pistoncareoscileaza ntr-untubDeoarecerezultantafort eloresteproport ionalacudeplasareasi estendreptat a n sensul revenirii areometrului n pozit ia de echilibru, rezulta=2T=

d24mgsi =16mgd2T2PROBLEMA1.4Incazulrecipientuluireprezentat nFig. 1.4unpistondemasampoateculisa ninteriorultubuluicilindricdesect iuneS.Cand pistonul este n pozit ia de echilibru, volumul aerului din recipi-ent este V , iar presiunea sa este egala cu presiunea atmosferica p0. Dacapistonulestescosdinpozit iadeechilibruel ncepesaoscileze. Dacaseconsideracainteriorul cilindrului esteizolatadiabatic, sasedetermineperioadamiciloroscilat ii.SOLUTIEDacapistonul estedeplasatdinpozit iadeechilibrucudistant axvolumulaeruluidinrecipientcrestecu:V= xSDinecuat iatransformariiadiabaticepV= constCAPITOLUL1. OSCILAT II 10seobt ineVp + V1pV= 0Rezultaastfelvariat iapresiuniigazuluidininteriorulrecipientului:p = p0VVSe arata ca daca volumul de gaz din recipient creste presiunea acestuiascade astfel ca fort a rezultant a act ioneaz a din exterior nspre interior, iardacavolumul degazsemicsoreaza, rezultantaact ioneazaspreexterior.Rezulta ca fort a are tendint a de a readuce pistonul n pozit ia de echilibru.Expresiaeieste:F= pS= p0SVV= p0S2VxAceastafort aestedetipelasticastfelcapulsat iaeste:=

p0S2V miarperioadamiciloroscilat iiT=2= 2

V mp0S2PROBLEMA1.5 Unpunct material msemiscafar afrecareninteriorul unei cicloide plasate n plan vertical. Ecuat iile parametrice alecicloideisunt:x = R( + sin ) (1.10)z= R(1 cos ) (1.11)Sasecalculezeabscisacurbilinies nfunct iedeparametrul.Sa se arate ca perioada oscilat iilor n jurul pozit iei de echilibru x = 0siz= 0esteindependent adeamplitudineaacestoroscilat ii.CAPITOLUL1. OSCILAT II 11OxzFigura1.5: Formauneicicloide nvecin atateaoriginiiSOLUTIEInFig. 1.5estearatat aformacicloidei. Punctul x=0si z =0corespundevalorii = 0.Deoarece:ds =

dxd

2+

dzd

2d (1.12)Introducand1.10 si1.11 n1.12rezulta:ds = R

(1 + cos )2+ sin2d = 2Rcos 2dsiintegr ands = 4Rsin 2(1.13)Energiacineticaapunctuluimaterialeste:Ec=12m

dsdt

2=12m.s2(1.14)Energiapotent ialaestedenaturagravitat ional asi estedatadeex-presia:Ep= mgz= mgR(1 cos ) = 2mgRsin2 2=mgs28R(1.15)CAPITOLUL1. OSCILAT II 12

kkmm

kFigura1.6: Sistemdetreiresoarte sidouacorpuricareoscileazEnergiatotalaeste:E= Ec + Ep=12m.s2+mg8Rs2(1.16)Deoarece nsistemnuexistafort eneconservative, energiamecanicaseconserva. Derivand nraportcutimpulrelat ia1.16seobt ine:..s +g4Rs = 0 (1.17)Relat ia1.17esteecuat iaunuioscilatorarmoniccupulsat ia=

g4RPerioadamiciloroscilat iiloresteT= 4

RgPROBLEMA1.6 Se considera un sistem compus din doua corpuride mase m legate cu ajutorul a 3 resoarte cu constantele de elasticititatek0sik(veziFig. 1.6).La momentul init ial se aplica un impuls corpului 1 astfel nc at vitezaacestuiasadevinaegalacuv0.Sasedetermineecuat iiledemiscarealecelordouacorpuri.SOLUTIECAPITOLUL1. OSCILAT II 13Pozit iile celor doua corpuri vor fi date de deplasarile acestora fat a depozit iiledeechilibru: x1pentrucorpul1 six2pentrucorpul2.Ecuat iiledemiscarealecelordouacorpurisunt:m..x1= k0x1k (x1x2) (1.18)m..x2= k0x2k (x2x1) (1.19)Seadunaceledouarelat iim(..x1+..x2) = k0 (x1 + x2) (1.20)sisescadceledouarelat iim(..x1 ..x2) = (k0 + 2k) (x1x2) (1.21)Atuncisepotfaceschimbariledevariabile:q1= x1 + x2(1.22)q2= x1x2(1.23)Ecuat iiledemiscare1.20 si1.21devin:..q1+k0m q1= 0 (1.24)..q2+k0 + 2kmq2= 0 (1.25)Solut iilegeneralealeacestorecuat iisuntq1= A1 sin (1t + 1) ; 1=

k0m(1.26)q2= A2 sin (2t + 2) ; 2=

k0 + 2km(1.27)Condit iileinit ialelamomentult0CAPITOLUL1. OSCILAT II 14x1= 0 ;.x1= v0x2= 0 ;.x2= 0devinpentrunoilevariabile:q1= 0 ;.q1= v0q2= 0 ;.q2= v0Utilizandcondit iileinit ialerezulta1= 2= 0A1=v01A2=v02Astfelrelat iile1.26 si1.27devin:q1=v01sin 1t (1.28)q2=v02sin 2t (1.29)T inandcontdemoduldedefinireavariabilelorq1siq2,rezulta:x1=v02sin 1t1+sin 2t2

x2=v02sin 1t1sin 2t2

PROBLEMA1.7 Unpunct material demasamsi sarcinaq seafla ntr-un plan xOy sub act iunea unei fort e

F= kr, unde reste razavectoareapunctului material. Daca naceastaregiuneexistauncampmagnetic

Bperpendicular pe planul xOy sa se calculeze pulsat ia miscariioscilatoarii. Sevaconsideracazulunuicampmagneticslab.CAPITOLUL1. OSCILAT II 15SOLUTIEInacestcazlegeaadouaadinamiciieste:md2rdt2= kr + qv

B (1.30)InplanulxOyseobt ine:..x + kmx =qBm.y(1.31)..y+ kmy= qBm.x (1.32)Sefacurmatoarelenotat ii: 20= k/m sil= qB/2m.Se nmult esteecuat ia1.32cui siseadunacu1.31. Rezulta:

..x +i..y

+ 20(x + iy) = i2l

.x +iy

(1.33)Introducandonouavariabil a:u = x + iyecuat ia1.33devine..u +2i.u l + 20u = 0 (1.34)Relat ia 1.34 este o ecuat ie diferent ial a de ordinul al doilea cu coeficient iconstant iacareiecuat iecaracteristicaeste:r2+ 2ilr + 20= 0siaresolut iiler1,2= ili

2l+ 20IncazulcampurilormagneticeslabeBestemicastfel ncatsepoateconsideracal 2/m2. Solut iaecuat iei1.36este:x = Aet/mexp i (t + ) (1.38)unde:=

km 2m2(1.39)In cazul n care sfera oscileaza n aer, fort a de frecare este neglijabila.Atuncisepoateconsidera = 0iarpulsat iaoscilat iiloreste0=

km(1.40)Din1.39 si1.40rezulta: = m

202Deoarece = 3r,0= 2/T0si= 2/T=2m3r

1T201T2PROBLEMA1.9 O particula este legata de un resort cu constantaelastica k. Ea poate executa oscilat ii fara amortizare. La momen-tul init ial particulase aflanpozit iade echilibru. Asupraparticuleiact ioneaz aofort aFuntimpegalcusecunde. Sasedetermineampli-tudineaoscilat iilordupacefort a nceteaza.SOLUTIEEcuat iademiscare nintervaluldetimp[0, ]estem..x= kx + F (1.41)CAPITOLUL1. OSCILAT II 18cucondit iileinit ialex (0) = 0 (1.42).x (0) = 0Solut iaecuat ieidemaisusestedeformax = Acos (t + ) +Fk(1.43)unde: =

k/mPentrudeterminareaconstantelor Asi set inecont decondit iileinit iale. Rezultax = (1 cos t) Fk(1.44)Ecuat iademiscarepentrut > estem..x= kx (1.45)Solut iaecuat iei1.45este:x = A

cos [ (t ) + ] (1.46)Pentru determinarea amplitudinii A

se pune condit ia de continuitatepentruelongat ie siviteza nmomentult = Seobt ine(1 cos ) Fk= A

cos Fksin = A

sin Celedouarelat iiseridicalapatrat siseaduna. RezultaA

=2Fmsin 2PROBLEMA1.10 O masa m legata de un resort oscileaza , decre-mentul logaritmical amortizarii fiind. Dupatimpul t1, energiaos-cilatorului scadedenori. Sasedetermineconstantadeelasticitatearesortului.CAPITOLUL1. OSCILAT II 19SOLUTIEDeoareceenergiaunui oscilator esteproport ional acupatatrul am-plitudiniioscilat ieiraportulenergiiloroscilatoruluicorespunzatoaremo-mentelort0sit1este:E1E0=

A1A0

2=1n(1.47)Notandcucoeficientuldeamortizare:A1A0= exp (t1) (1.48)Dinrelat iile1.47 si1.48rezulta:lnn = t1sidecrementullogaritmiceste:= T=lnnt1T (1.49)Cum2= 202=km 2k = m

2+ 2

= m

42T2+ 2

(1.50)Dacaset inecontderelat ia1.49dinrelat ia1.50seobt ineconstantadeelasticitatearesortului:k =

2 lnnt1

2+ 2PROBLEMA1.11 Un corp de masa m este suspendat de un resortcuconstantadeelasticitatek. Fort adeatract ieesteproport ional acuviteza. Dupasoscilat ii amplitudineascadedenori. Sasedetermineperioadadeoscilat ie sidecrementullogaritmic.CAPITOLUL1. OSCILAT II 20SOLUTIEMiscareacorpuluiesteomiscareamortizata. Eaarelocdupalegeax = A0etcos (t + ) (1.51)unde:=2T=

202(1.52)0=

km(1.53)Amplitudinea n timpul misc arii oscilatorii scade exponent ial n timp:A = A0etConformdatelorproblemei:A0n= A0esT(1.54)Rezulta:ln n = sT (1.55)Dinrelat iile1.52 sidin1.55seobt ine:=0 ln n

42s2+ ln2nT=ln ns=

42s2+ ln2ns0Decrementullogaritmiceste= T=ln nsPROBLEMA1.12 Uncorpdemasam=5kgestesuspendat deunresortcareoscileaza.Inabsent afort elorderezistent aperioadadeoscilat ie este T0=0, 4s. Atunci candexistaofort ade rezistent aproport ional acuviteza, perioadadeoscilat iedevineT=0, 5s. Sasedetermineecuat iademiscareacorpului presupunandcanmomentulinit ial acesta se gaseste la distant a x0= 4 cm fat a de pozit ia de echilibrusiapoiestelasatliber.CAPITOLUL1. OSCILAT II 21SOLUTIEMiscarea corpului este o miscare cvasiperiodica amortizata cu pulsat iasiperioadaTdatederelat iile:2= 20242T2=42T202Rezultaca:= 2

T2T20T2T20=2T0T

T2T20= 3 s1Deoareceecuat iademiscareacorpuluiestedeforma:x = A0etsin (t + ) (1.56)vitezasaeste:v=dxdt= A0etsin (t + ) + A0etcos (t + ) (1.57)Aplicandcondit iileinit ialex(0) = x0v(0) = 0seobt ine:0 = A0 sin + A0 cos (1.58)x0= A0 sin (1.59)Dinrelat iile1.58 si1.59rezultaA0=5cm si = arcsinx0A0= arcsin 45Ecuat iademiscareeste:x = 5e3tsin (4t + arcsin 4/5) cmPROBLEMA1.13 Sase scrie ecuat iade miscare aunui punctmaterial de masa m care este supus act iunii unei fort e elastice kx si uneifort econstanteF0avandaceiasi direct iecafort aelastica. Seconsideracalamomentult = 0 npunctulx = 0vitezaestenula.CAPITOLUL1. OSCILAT II 22SOLUTIELegeaadouaamecaniciieste:m x + kx = F0(1.60)Solut ia acestei ecuat ii diferent iale neomogene este suma dintre solut iageneralaaecuat ieidiferent ialeomogenex1= Asin (t + 0) cu =

km(1.61)siosolut ieparticularaaecuat ieineomogenex2=F0k(1.62)Atuncisolut iaecuat iei1.60este:x = x1 + x2=F0k+ Asin (t + 0) (1.63)Vitezapunctuluimaterialestev=dxdt= A cos (t + 0) (1.64)Dincondit iileinit ialex(0) = 0 si v(0) = 0sidinecuat iile1.63 si1.64seobt ine:A = F0ksi 0=2iarecuat iademiscareeste:x = F0k(1 cos t)CAPITOLUL1. OSCILAT II 23PROBLEMA1.14 Sasescrieecuat iademiscareunidimensionalaaunui punct material de masamcare este supus act iunii unei fort eelastice kxsi unei fort eF =at careareaceiasi direct iecasi fort aelastica. Lamomentult = 0 npunctulx = 0vitezaestenul a.SOLUTIELegeaadouaamecaniciisescrie:m x + kx = at (1.65)Solut ia acestei ecuat ii diferent iale neomogene este suma dintre solut iageneralaaecuat ieidiferent ialeomogenex1= Asin (t + ) cu =

km(1.66)siosolut ieparticularaaecuat ieineomogenex2=atk(1.67)Atuncisolut iaecuat iei1.65este:x = x1 + x2=atk+ Asin (t + ) (1.68)Vitezapunctuluimaterialestev=dxdt=ak+ A cos (t + ) (1.69)Dincondit iileinit ialex(0) = 0 si v(0) = 0sidinecuat iile1.68 si1.69seobt ine:Asin = 0 (1.70)ak+ A cos = 0 (1.71)CAPITOLUL1. OSCILAT II 24Din1.70 sidin1.71rezulta: = 0 A = akEcuat iademiscare1.68devine:x =ak

t 1 sin t

PROBLEMA1.15 Sa se scrie ecuat ia de miscare unidimesionala aunui punct material de masa m care este supus act iunii unei fort e elasticekx si unei fort e F= F0 exp (t). La momentul t = 0 n punctul x = 0vitezaestenula.SOLUTIELegeaadouaamecaniciisescrie:m x + kx = F0 exp (t) (1.72)Solut ia acestei ecuat ii diferent iale neomogene este suma dintre solut iageneralaaecuat ieidiferent ialeomogenex1= A1 sin (t + ) cu =

km(1.73)siosolut ieparticularaaecuat ieineomogenedeforma:x2= A2 exp (t) (1.74)Pentruadeterminavaloareaconstantei A2introducem1.74 n1.72.Seobt ine:m2A2 exp (t) + kA2 exp (t) = F0 exp (t)Rezulta:A2=F0m2+ k(1.75)CAPITOLUL1. OSCILAT II 25Atuncisolut iageneralaaecuat iei1.72este:x = x1 + x2=F0m2+ k exp (t) + A1 sin (t + ) (1.76)Vitezapunctuluimaterialestev=dxdt=F0m2+ k exp (t) + A1 cos (t + ) (1.77)Dincondit iileinit ialex(0) = 0 si v(0) = 0sidinecuat iile1.76 si1.77seobt ine:F0m2+ k+ A1 sin = 0 (1.78)F0m2+ k+ A1 cos = 0 (1.79)Din1.78 sidin1.79seobt ine:A1=F0m2+ k

1 +22si,prin mp art ireaacestora,unghiul:tg = PROBLEMA1.16 Osursaaflata ntr-unmediuelasticunidimen-sionaloscileazadupalegeay= 0, 5 sin 100t mmLungimeadeundaaundelorlongitudinaleemiseeste = 20m.a) Dupacat timpvancepesaoscilezeunpunct aflat ladistant ax1= 8mfat adesursa?b)Cedefazajexista ntreoscilat iapunctului aflatladistant ax1desursa sioscilat iasursei?c) La ce distant a se afla doua puncte ale caror oscilat ii sunt defazatecu/3?CAPITOLUL1. OSCILAT II 26SOLUTIEa)Dinecuat iadeoscilat ieasurseirezultaca= 100astfelca:T=2100= 2 102sDeoarece lungimea de unda este = vT, viteza de propagare a undeieste:v=T= 103m/sTimpul dupa care punctul aflat la distant a x1 ncepe sa oscileze este:t =x1v=8103= 8 103sb)Ecuat iaundeieste:y1= 0, 5 sin 100

t x1v

mmDefazajuldintreoscilat iasursei sioscilat iapunctuluiconsiderateste: = sp= 100t 100

t x1v

= 100x1v=810radc)Seconsideradefazajul dintredouapuncteaflateladistant axunuldealtul = 100

t x2v

100

t x1v

=100 (x1x2)vAtunci:x = (x1x2) =v100= 3, 3 mPROBLEMA1.17 Un avion cu react ie zboara cu viteza constant av= 1000 m/s la n alt imea h = 10, 2 km. Care este forma frontului undeide soc produsa de avion?La ce distant a de o casa se va afla avionul candgeamurileacesteia ncepsavibreze?Vitezasunetuluiestec = 340m/s.CAPITOLUL1. OSCILAT II 27* )+?JLJ== >,Figura1.7: Undade socprodusadeunavionSOLUTIEDaca un corp (glont , avion supersonic) se deplaseaza ntr-un fluid cuo viteza mai mare decat a undelor sonore apare asa numita unda de soc.Undele produse de avion se propaga n toate direct iile sub forma de undesferice. Deoarecevitezavaavionului estemai maredecatasunetului,frontul deundaareformaunui con nvarful caruiaseaflaavionul nfiecaremoment(Fig. 1.7).Dacalaunmomentdatavionul seafla npunctul Adupatrecereatimpului t, el s-a deplasat n punctul B iar AB= vt. Frontul undei emisenAvaavearazaAC=ct.Inpunctul Csepresupunecaseaflacasaundeestesimt itaundadesoc. Seobserva nFig.1.7ca:sin =ctvt=cvDistant aBCfat adeocasaaflata npunctulCdepesoleste:d =hsin =hvc= 30 kmPROBLEMA1.18 O sursa punctiforma emite unde sonore cu frec-vent a. Sasegaseascafrecvent elesunetuluipecare-lrecept ioneaz aunobservator care se apropiede sursa cuvitezav. Sa se gaseasc a frecvent asunetului pecareacelasiobservator lrecept ioneazadacasedeparteaz adesursacuvitezav. Vitezasunetului naerestec.CAPITOLUL1. OSCILAT II 28SOLUTIESursa fiind punctiforma undele emise de aceasta sunt sferice. Suprafe-t ele de unda sunt sfere concentrice distant ate una de alta cu lungimea deunda. Daca observatorul ar fi n repaus el ar recept iona ct/ unde n tim-pult. Dacaobservatorulseapropiedesursaelvarecept iona(c + v) t/unde ntimpul t. Frecvent acucareobservatorul recept ioneaz aundeleeste =(c + v)tt=c + v=(c + v)cT=

1 +vc

Daca observatorul se departeaza de sursa cu viteza vel va recept iona(c v) t/unde ntimpult. Frecvent areceptionatadeobservatorvafi: =(c v)tt=c v=(c v)cT=

1 vc

Putem astfel sa exprimam frecvent a receptionata de observatorul careseapropiesausedeparteaz adesursaastfel: =

1 vc

unde semnul + corespunde cazului cand observatorul se apropie de sursaiar semnulcorespunde cazului candobservatorul se departeaza desursa. AcestaesteefectulDoppler.PROBLEMA1.19 O sursa punctiforma emite unde sonore cu frec-vent a. Sasegaseascafrecvent elesunetuluipecare-lrecept ioneaz aunobservator n cazul n care sursa se apropie de observator cu viteza v. Sase gaseasca frecvent a sunetului pe care acelasi observator l recept ioneazadacasursasedeparteazadeobservatorcuvitezav. Vitezasunetului naerestec.SOLUTIEDeoarece viteza de propagare a sunetului depinde numai de pro-prietat ile mediului, n timpul unei oscilat ii unda se va propaga nainte cudistant a. Dar ntimpuluneiperioadesisursasedeplaseaza nsensulCAPITOLUL1. OSCILAT II 29dedeplasarealundeicuvT,undeTesteperioada. Atuncilungimeadeundavafi:

= vT= cT vT= (c v) TFrecvent aperceputadeobservatorvafi: =c

=cc v Daca sursa se departeaz a de observator cu viteza vlungimea de undavafi:

= + vT= cT+ vT= (c + v) TFrecvent aperceputadeobservatorvafi: =c

=cc + v Astfel n cazul n care sursa se apropie sau se departeaz a de observatorfrecvent aperceputadeacestaeste: =c

=cc v unde semnul + corespunde cazului n care sursa se apropie de observatoriarsemnul corespundecazului ncaresursasedeparteazadeobserva-tor.PROBLEMA1.20 Saserezolveecuat iaundelor2ux2=1v22ut2pentruocoardadelungimel =1careinit ial este nrepaussi prezintaproprietat ile:u(x, 0) =

x/5 daca 0 x 1/2(1 x) /5 daca 1/2 x 1CAPITOLUL1. OSCILAT II 30SOLUTIESolut iageneralaaecuat ieiundeloresteosuprapuneredeforma:u(x, t) =n=1(An cos nvt + Bn sin nvt) sin nx (1.80)deoarecel = 1. Avand nvederecaut

t=0=n=1nv (An sin nvt Bn cos nvt)t=0 sin nx = 0coeficient iiBnsuntnuli.Atuncirelat ia1.80devine:u(x, t) =n=1An cos nvt sin nx (1.81)Lamomentult = 0din1.81seobt ine:u (x, 0) =n=1An sin nxCoeficient iiAnsecalculeazacuformulele:An= 2

10u(x, 0) sin nxdx (1.82)T inandseamadeproprietat ilefunct ieiu(x, 0)1.82devine:An=25

1/20x sin nxdx +25

11/2(1 x) sin nxdxSeefectueazasubstitut ia:nx = x =ndx =dnAtunci:An=25

n/20n sin dn+25

nn/2

1 n

sin dnCAPITOLUL1. OSCILAT II 31An=25 (n)2

n/20 sin d + n

nn/2sin d

nn/2 sin dDar

sin d= sin cos si

sin d= cos Atunci:An=25 (n)2

(sin cos )[n/20n cos [nn/2(sin cos )[nn/2

siAn=45 (n)2 sin n2(1.83)Solut iaecuat ieieste:u (x, t) =n=145 (n)2 sin n2sin nx cos nvtPROBLEMA1.21 Sasegaseasc aundarezultant aobt inutaprinsuprapunerea a doua unde care au aceiasi amplitudine dar a caror lungimedeunda sipulsat iediferaput in.u1 (x, t) = Asin 21(x v1t)u2 (x, t) = Asin 22(x v2t)SOLUTIEDeoarecek =2si = 2=2vu = u1 + u2= 2Asin k1x 1t + k2x 2t2cos k1x 1t k2x + 2t2CAPITOLUL1. OSCILAT II 32u = 2Asink1 + k22x 1 + 22t

cosk1k22x 122t

Inrelat iademaisusvomintroducenotat iile:k1= k + dk k2= k dk1= + d 2= dAtunci:u = 2Acos (xdk td) sin (kx t)Termenul2Acos (xdk td)reprezint aamplitudineaundeiprogresiveiarfactoruldefazaeste:sin (kx t) = sin 2

x kt

PROBLEMA1.22 Sasegaseascalegaturadintrevitezadefaza sivitezadegrup.SOLUTIEvg=ddk=d (vfk)dk= vf+ kdvfdkDarkdvfdk=2

dvfdddk

=2

2k2

dvfdkdvfdk= 42242dvfd= dvfdAtunci:vg= vf dvfdMarimea dvf/d masoar a dispersia cauzata de mediu. Daca nu existadispersie,energiavafitransportatacuvitezadefazaiarvf= vg.CAPITOLUL1. OSCILAT II 33PROBLEMA1.23 Sasereducaecuat iaundelorneomogene2ux2=1v22ut2+ v (x)latreiecuat iidiferent iale.SOLUTIEDacase ncearc asubstitut iau = X (x) T (t)seobt ine:T d2Xdx2=Xv2d2Tdt2+ vSeobservacavariabilelenupotfiseparate.Sealegeurmatoareasubstitut ie:u = X (x) T (t) + (x)Atunci:ux= T dXdx+ddx2ux2= T d2Xdx2+d2dx2si2ut2= Xd2Tdt2AtunciT d2Xdx2+d2dx2=Xv2d2Tdt2+ v (x) (1.84)Sealegefunct iaastfel:d2dx2= v (x) (1.85)Atunci1.84devine:T d2Xdx2=Xv2d2Tdt2CAPITOLUL1. OSCILAT II 34Aceastaecuat iesemaipoatescrie:v2Xd2Xdx2=1Td2Tdt2Admit andsolut ii periodicesepoatefaceosepararedevariabileastfelnc at:d2Xdx2+

v

2X= 0d2Tdt2+ 2T= 0Seobt inastfeldouaecuat iidiferent ialelacaresemaipoateadaugasiecuat ia1.85.Capitolul2MECANICAANALITICAPROBLEMA2.1 Sasescrieecuat iilediferent ialedemiscarealeunui pendul matematicdemasam2si lungimel al carui punctdesus-pensiedemasam1sedeplaseazaorizontal(Fig. 2.1).SOLUTIESe aleg coordonatele generalizate ca fiind x coordonata pe axa Ox apunctului cu masa m1 si unghiul facut de firul pendului cu verticala.x1= x x2= x + l sin y1= 0 y2= l cos Componentelevitezelorsunt: x1= x x2= x + l cos y1= 0 y2= l sin Energiacineticaasistemuluieste:Ec=m12( x12+ y12) +m22( x22+ y22) (2.1)sauEc=m12 x2+m22( x2+ 2l x cos + 2l2) (2.2)Energiapotent ial aestedatoratacampuluigravitat ional:35CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 36Oxlm1m2jxy

x

x

m

m OjFigura2.1: PendulalcaruipunctdesuspensiesedeplaseazaorizontalEp= m2gy2= m2gl cos (2.3)Funct ialuiLagrangeseobt inedinrelat iile2.2 si2.3L = EcEp=m1 + m22 x2+m22( 2l2+ 2l x cos ) + m2gl cos (2.4)Ecuat iiledemiscaresunt:ddt

L x

Lx= 0 (2.5)ddt

L

L= 0 (2.6)Pentruadeterminaformaconcretaaacestor ecuat ii se vacalculafiecaretermenseparat.L x= (m1 + m2) x + m2l cos ddt

L x

= (m1 + m2) x + m2l( cos 2sin )CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 37Deoarecefunct ialuiLagrangenudepindedex(L/x) = 0siecuat ia2.5devine:(m1 + m2) x + m2l( cos 2sin ) = 0 (2.7)Ecuat ia2.7sepoateintegra nraportcutimpul. Seobt ine:(m1 + m2) x + m2l cos = const (2.8)Se observa ca expresia din stanga reprezint a componenta dupa direct iaOx a impulsului total. Relat ia 2.8 exprima conservarea componentei im-pulsuluidupaaxaOx.Pentru a obt ine forma concreta a ecuat iei 2.6 se vor calcula urmatoarelederivatepart iale:L = m2l2 + m2l x cos ddt

L

= m2l2 + m2l x cos m2l x sin L= m2l x sin m2gl sin Atunciecuat ia2.7devine:m2l2 + m2l x cos + m2gl sin = 0 (2.9)Ecuat iiledemiscaresuntdatederelat iile2.7 si2.9.PROBLEMA2.2 Sasedetermineecuat iademiscareaunuielec-tronncampul creat deunnucleucunum arul atomicZpresupusfix(Fig. 2.2).SOLUTIECandnucleulestefix,fort adeinteract iuneesteofort acentral a:

F(r) = F(r)rCAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 38xyOrZemGFigura2.2: Electronul ncampulelectricalnucleuluiMiscarea are locntr-un plan. Astfel, prin derivarea egalitat ii

l = r prezulta:d

ldt=drdtp +r d pdt= v mv +r

F(r) = 0ceeacearatacamomentulcineticseconserva. Rezultaca rseafla ntr-unplancareesteperpendicularpe

l. Miscareaseface ntr-unplansiexista doar doua grade de libertate. Se aleg coordonatele polare r si cafiindcoordonatelegeneralizate. Centrul Oal sistemului decoordonateseconsideranucleulcusarcinaZe. Atuncix = r cos y= r sin x = r cos r sin y= r sin + r cos Energiacineticaeste:Ec=m2

x2+ y2

=m2

r2+ r2 2

(2.10)Energiapotent ial asedeterminaporninddelafaptulcafort eleelec-trostaticesuntconservative. DeoarecedEp= Fdr =Ze240r2drprinintegrareseobt ine:CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 39Ep(r) =r

Ze240r2dr = Ze240r

r= Ze240r(2.11)Funct ialuiLagrangeeste:L = EcEp=m2

r2+ r2 2

+Ze240r(2.12)Ecuat iiledemiscaresunt:ddt

L

L= 0 (2.13)siddt

L r

Lr= 0 (2.14)Pentruadeterminaformaconcretaaacestor ecuat ii se vacalculafiecaretermen nparte.L = mr2 ;ddt

L

= mr2 + 2m rrDeoareceLnudepindeexplicitdeL= 0Relat ia2.13devine:mr2 + 2m rr = 0 (2.15)Prinintegrareaacesteirelat iiseobt ine:mr2 = mr2= mrv= constRelat iareprezintalegeadeconservareamomentuluicinetic.l = mr2 = mvr = const (2.16)Marimeamr2 esteointegral aprimaamisc arii.Pentruaobt ineformaconcretaaecuat iei2.14secalculeaza:CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 40L r= m r;ddt

L r

= m rLr= mr2Ze240r2Ecuat ia2.15devine:m r mr2+Ze240r2= 0 (2.17)Aceastaecuat iepoatefi scrisadoar nfunct ieder. Pentruaceastaset inecontderelat iile2.16 si2.17. Rezulta:m r l2mr3+Ze240r2= 0 (2.18)PROBLEMA2.3Sasedemonstrezeca ncazul ncareLnudepindedetimp(sistemeconservative)marimeaH=k qkL qkL (2.19)este o integral a prima a miscarii si reprezint a energia totala a sistemului.SOLUTIEDeoareceL = L(qk, qk)atunci:dLdt=kLqkdqkdt+kL qkd qkdt(2.20)Set inecontdeecuat iiledemiscareddt

L qk

Lqk= 0siseobt ine:dLdt=kddt

L qk

qk +kL qkd qkdtCAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 41saudLdt=kddt

L qk qk

deunderezulta:ddtL kL qk qk = 0 (2.21)Atunci:H=k qkL qkL = constMarimeaHpoartadenumireadehamiltonian, iarncazul defat aesteointegralaprimaamiscarii.Inplus:k qkL qk=k qkEc qk= 2EcdeoareceEcesteofunct ieomogena(formapatratic a) nraportcu qk.AtunciH== 2EcL = 2EcEc + Ep= Ec + Ep= constRezultacahamiltonianulsistemului nacestcazcoincidecuenergiamecanicaasistemuluiconsiderat.PROBLEMA2.4 Peoparabola(Fig. 2.3)cuvarful njos,av andcaaxadesimetrieverticalasi careserotestecuvitezaunghiulara=const njurulacesteiaxe,sepoatemiscafarafrecareunpunctmaterialdemasam. Sasedeterminelacen alt imehsepoateridicapunctulmaterial daca la momentul init ial acesta se afla n varful parabolei si arevitezav0.SOLUTIEProblemasevadiscuta ntr-unsistemneinert ialcucentrul nvarfulparabolei sicareserotesteodatacuaceasta.Deoarecepunctul material sepoatemiscadoarpeaceastaparabolasistemul areunsingurgraddelibertate. CoordonatageneralizataesteCAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 42mxyOFigura2.3: Particul acaresemiscapeoparabolacoordonataxapunctuluinsistemul considerat. Ordonatapunctuluimaterialeste: y=ax2. Aceastareprezint asiecuat iaparabolei(a >0).Energiacineticaapunctuluimaterialeste:Ec=m2

x2+ y2

=m2

1 + 4a2x2

x2(2.22)Miscarea de rotat ie face ca asupra punctului sa act ioneze o fort a cen-trifugaFc= m2x. Energiapotent ialadatoratarotat ieieste:Epc=

x0Fcdx =

x0m2xdx = m2x22(2.23)Particula se aflan camp gravitat ional iar energia potent iala gravitat i-onalaeste:Epg= mgy= amgx2(2.24)Energiapotent ial atotalaapunctuluimaterialesteEp= Epc + Epg= m2x22+ amgx2(2.25)Atuncifunct ialuiLagrangeeste:L = EcEp=m2 (1 + 4a2x2) x2+m2x22mgax2(2.26)DeoareceLnudepindeexplicitdetimp,hamiltonianulsistemuluiCAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 43H= xL x L (2.27)seconserva sireprezint aenergiapunctuluimaterial. Cum:L x= m(1 + 4a2x2) xrelat ia2.27devine:H=m2 (1 + 4a2x2) x2m2x22+ gmax2= const (2.28)Lamomentul init ial x=v0si x=0. Lamomentul final x=0(punctulmaterials-aoprit) six = xf.Deoarecehamiltonianul esteomarimecareseconservavaloarealuiesteaceiasi nstareainit iala sifinala. Atunci:12mv20= 12m2x2f+ gmax2f(2.29)deundex2f=v202ag 2sih = ax2f=av202ag 2(2.30)Daca2>2agatunci expresialui hdin2.30nuaresens. Aceastanseamn a ca viteza punctului nu poate deveni nul a si el urca pan a ajungelamargineaparabolei.Se observacadaca2

g cos 020 sin20rcreste ntimp sibilaurca ntub.b)0= /2r = R0ch0ttubulesteorizontal sibilasedeparteazadeorigine.c)0> /2Tubul esteorientat njosastfel cabilavacobor depart andu-sedeorigine.CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 50PROBLEMA2.7 Sa se discute miscarea unui punct material greu,demasamcaresedeplaseaza, far afrecare, de-alungul unei cicloide,aflata nplanverticalcareareecuat iileparametrice:x = a( + sin )y= a(1 cos )unde [, ]SOLUTIESealegedreptcoordonatageneralizataparametrul.Atunci: x = a(1 + cos ) y= a sin Energiacineticaeste:Ec=m2

x2+ y2

= ma2 2(1 + cos ) (2.48)iarenergiapotent ial a:Ep= mgy= mga(1 cos ) (2.49)Funct ialuiLagrangeeste:L = EcEp= ma2 2(1 + cos ) mga(1 cos ) (2.50)sauL = 2ma2 2cos2 2 2mga sin2 2(2.51)Seefectueazaschimbareadevariabila:z= sin 2si z=2 cos 2Atuncifunct ialuiLagrangedevine:CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 51L = 8a2m z22mgaz2(2.52)Considerand znoua coordonata generalizata ecuat ia de miscare se vascrieastfel:ddt

L z

Lz= 0Secalculeazafiecaretermen nparte:L z= 16a2m z;ddt

L z

= 16a2m zLz= 4mgazAtunciformaecuat ieidemiscaredevine:4a z + gz= 0 (2.53)Ecuat iaobt inut aesteoecuat iediferent ial aomogenadeordinul aldoilea. Solut iileecuat ieicaracteristicesunt i

g/4aSolut iaecuat ieidemiscaresepoatepunesubforma:z= a1 sin

g4at + b1 cos

g4at (2.54)Saconsideramcalamomentul init ial =0si =0. Atunci lat = 0, z= z0= sin(0/2), z(0) = 0T inandcontdecondit iileinit ialeobt inem:a1= 0b1= z0Atuncirelat ia2.54devine:z= z0 cos

g4at = sin 02cos

g4at (2.55)Cum:sin 2= sin 02cos

g4atCAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 52mkl kFigura2.6: Particulaceoscileaza ntredouaresoartedin2.55obt inem:= 2 arcsin02cos

g4at

PROBLEMA2.8 Sa se determine perioada micilor oscilat ii execu-tatedeoparticulademasamlegatadedouaresoarteprecumsi legeademiscareaacesteia(Fig. 2.6). Sistemulseafla ncampgravitat ional,particulasepoatemiscanumai peverticalaiar lungimeanedeformataafiecarui resortestel. Lamomentul init ial particulaseafla nrepausntreceledouaresoartenedeformate.SOLUTIEAlegemca sistemde referint a axa Oy cu originean punctul delegaturacusuportularesortuluiinferior. Fieycoordonataparticuleidemasam. Energiasacineticaeste:Ec=m y22(2.56)Energia potent iala este suma dintre energia potent ial a gravitat ional aaparticulei sienergiapotent ialaaresoartelor:Ep= mgy +k2(y l)2+k2(l y)2= mgy + k(y l)2(2.57)CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 53Pozit iadeechilibrustabil sedeterminadincondit iademinimae-nergieipotent iale:dEpdy= 0 (2.58)Din2.57 si2.58rezulta:y0= l mg2k(2.59)Funct ialuiLagrangeasistemuluieste:L =m y22mgy k(y l)2(2.60)Seintroduceonouacoordonata:z= y y0carereprezintadeplasareaparticuleifat adepozit iadeechilibru. Atunci2.60devine:L =m z22kz2mgl +3m2g24k(2.61)Ecuat iademiscareeste:ddt

L z

Lz= 0 (2.62)adica z +2kmz= 0Aceastaesteecuat iaunuioscilatorarmonicliniarcusolut ia:z= Asin(t + ) cu =

2kmRezulta:y= y0 + Asin(t + )Vitezaparticuleieste:v= y= Acos (t + )CAPITOLUL2. MECANICAANALITICA 54Ox q

q

qFigura 2.7: Particulanc arcata electric care oscileazantr-untublacapetelecaruiaseaasarcinideacelasisemncuceleaparticuleiConstanteleAsi sedeterminadincondit iileinit ialey(0) =l siv(0) = 0.Rezulta =2si A =mg2kPROBLEMA2.9 La capetele unui tub neconductor de lungime 2lsuntfixatedouasarcini q0(Fig2.7).Incentrul tubului sepoatemiscafarafrecareobilademasam nc arcatacusarcinaqdeacelasisemncasarcinileq0. Sasedeterminepulsat iamiciloroscilat iialebilei.SOLUTIESealegecasistemdereferint aoaxa nlungultubuluicuoriginea ncentrul tubului. Coordonatageneralizataestecoordonataxlacareseaflaparticula sieareprezintadeplasareafat adepozit iadeechilibru.Energiacineticaeste:Ec=12m x2(2.63)Energiapotent ial aaparticulei demasamestedatoratainteract ieiacesteiacusarcinileq0delacapeteletubului.Ep=qq0401l x+qq0401l + x=qq040

1l x+1l + x

Ep=qq0402ll2x2=qq020l

11 (x2/l2)

(2.64)Considerandcazulmiciloroscilat ii(x V1rezultacaT2< T1Pentrugazulrealdestindereaareloccuscadereatemperaturiisale.PROBLEMA3.22Incursul unui procesJoule- Thomsongazulaflat lapresiuneap1este lasat satreacaprintr-undopporosntr-uncompartiment ncarepresiuneaestep2. Candgazul dinvolumul V1sedestinde nvolumul V2sasearateca ncursul acestui procesentalpiaH=U+pV se conserva. Se presupune caperet ii exteriori izoleazaadiabaticsistemul.SOLUTIEProcesul esteilustratat nFig. 3.4. Pereteledinstangaeste mpinsusor astfelnc at volumul compartimentului dinstangasascadadelavaloareaV1lavaloarea0iarvolumul compartimentului dindreaptasacreascadelavaloarea0lavaloareaV2.Lucrulmecanicefectuatdesistemeste:L =0

V 1p1dV+V2

0p2dV= p1V1 + p2V2(3.160)Se aplica primul principiu al termodinamicii acestui proces si se obt ine:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 99Perete porosPiston Piston

F

FFigura3.4: ProcesulJoule-ThomsonU2U1= L = p1V1p2V2(3.161)deunde:U2 + p2V2= U1 + p1V1(3.162)adica:H1= H2(3.163)PROBLEMA3.23 Sa se arate ca variat ia de temperatura n cursulunui proces Joule-Thomsonpentruungaz oarecare se poate exprimaastfel:T= 1Cp

HV

T

Vp

Tp (3.164)SOLUTIEIntr-unprocesJoule-ThomsonH=0. Pentruunastfel deprocesseconsideraentalpiafunct iedeparametrip,T siatunci:H=

HT

pT+

Hp

Tp = 0 (3.165)deundeseobt ine:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 100T=

Hp

T

HT

pp (3.166)Deoarece:H= U+ pV (3.167)dH= Q + V dp (3.168)Candp =constrezultacadH= Q siCp=

QdT

p=

HT

pAtunciT= 1Cp

Hp

Tp (3.169)PentruH= H(p, V )dH=

HT

pdT+

Hp

Tdp (3.170)Darcump = p (V, T)dp =

pT

VdT+

pV

TdVAstfelrelat ia3.170devine:dH=

HT

p+

Hp

T

pT

VdT+

Hp

T

pV

TdV(3.171)PentruH= H(V, T)dH=

HV

TdV+

HT

VdT (3.172)CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 101Comparandrelat iile3.171cu3.172obt inem:

HV

T=

Hp

T

pV

TDeaicirezulta:

Hp

T=

HV

T

Vp

T(3.173)Astfelrelat ia3.169devine:T= 1Cp

HV

T

Vp

Tp (3.174)Deoarececrestereapresiuniiconducelamicsorareavolumului

Vp

T< 0sepottrageurmatoareleconcluzii:Daca

HV

T> 0atunciTsipauacelasisemnDaca

HV

T< 0atunciTsipausemnecontrareDaca

HV

T= 0atunciT= 0PROBLEMA3.24 Asupraunei bare realizatadintr-unmaterialelastic de lungime L1, avandsect iuneaS1, aflatalatemperaturaT1,act ioneaz aofort aF1. DacasecunoastecoeficientuldedilatareliniarCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 102 =

1L

LT

F(3.175)precum simodululluiYoungE=

LS

FL

T(3.176)sasedeterminelungimeaL2candtemperaturacrestelavaloareaT2,iarfort adevineegalacuF2.SOLUTIEConsiderandL = L(T, F)seobt ine:dL =

LT

FdT+

LF

TdFsiintroducand3.175 si3.176:dL = LdT+LESdF (3.177)deunde:L2

L1dLL= T2

T1dT+1SEF2

F1dFRezulta:ln

L2L1

= (T2T1) +F2F1SE(3.178)Observat ii:a)F=constln

L2L1

= (T2T1) (3.179)L2= L1 exp [(T2T1)]CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 103Pentru variat ii mici de temperatura se poate dezvoltan serie exponent ialaret in andprimiitermeni sirezulta:L2= L1[1 + (T2T1)]b)T=constln L2L1=F2F1SEL2= L1 exp

F2F1SE

(3.180)Incazul ncareF1= 0,iarF2ES bSe studiaza variat ia acestei funct ii. Pentru aceasta se considera derivatasa nfunct iedev:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 107> 27 / 4) (L BL> 3 >Figura3.5: Funct iaf(v)dfdv=v bv4(3b v) (3.196)Candv< 3bfunct iaestecrescatoaredeoareceprimaeiderivataestepozitiva.Candv >3b funct iaeste descrescatoare deoarece derivataei estenegativa. Candv= 3bseobt inevaloareamaximaaluif(v) sianume:f (3b) =427bMent ionamcadaca: v b f (v) 0iardaca: v f (v) 0Graficulacesteifunct iiestereprezentat nFig.3.5.Daca:427b8a27RbDaca:427b>RT2aadicaT 3bCandv (b, v1),(v b)2v3RT2a< 0si:

pv

T< 0Candv (v1, v2)(v b)2v3RT2a> 0si:

pv

T> 0Candv> v2(v b)2v3RT2a< 0si:

pv

T< 0CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 109VBA

v

vpOFigura3.6: IzotermaVan-der-WallsCandv1= v2= vv=8a27RbAlurauneiizotermeesteceaprezentat a nFig.3.6.Seobservaca npunctul v1, presiuneaareunminimiarcandvolu-mulesteegal cuv2, presiuneaareunmaxim. Candtemperaturacrestev1 3b , v2 3badicapuncteledeextremseapropiedince ncemai multpanaajungsacoincida. AcestlucruareloclaotemperaturacriticaTc. CandTFFigura3.7: Cicluformatdindouaadiabate siob) Din formularea Thomson a principiului al II-lea rezulta ca sistemulnupoateefectualucrumecanicasupramediului. Atunci:L 0 (3.216)DacaL < 0 nseamn acamediulexternefectueazaunlucrumecanicasuprasistemului.Seconsideraacelasi procesciclicizotermparcurs nsensinvers.Incursulacestuiproceslucrulmecanicefectuatdemediueste-L.Atunci:L 0 (3.217)Dinrelat iile3.216 si3.217rezultacaL=0.PROBLEMA3.32 Sasearatecapentruaceeasicantitatedesub-stant adouaadiabatenusepotintersecta.SOLUTIEFie doua transformari adiabatice a si b precumsi transformarea izoter-maA1A2reprezentate nFig.3.7. A3estepunctuldeintersect ie alcelordouaadiabate.Se considera ciclul A1A2A3parcurs n sensul acelor de ceasornic. Sis-temulpreiacaldur adoar ncursultransformariiA1A2si, nplus,L > 0.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 115VpV1+V2V1p1p2p1V1V2Figura3.8: Destindereadiabatica nvidAceastanseamna ca sistemul ia caldur a de la o singura sursasipoate efectualucrumecanic asupramediului extern, ns aacest lucruesteinterzisdeprincipiul IIal termodinamiciisi ipotezafacutanuesteadevarata. (Se observa si faptul ca daca A1A2nu este izoterma, nu avemosingurasursadecaldur a)Rezultacadouaadiabatealeaceleiasi cantitat i desubstant anusepotintersecta.PROBLEMA3.33 Sa se arate ca procesul de destindere adiabaticaaunuigazidealdintr-oincintacuvolumul V1sitemperaturaT1, ntr-oincint avidatacuvolumulV2esteireversibil. Sasecalculezevariat iadeentropie ncursulacestuiproces.SOLUTIEDeoarecedestindereaesteadiabaticasi s-arealizat nvidQ=0siL=0. RezultacaU=0si cumpentruungazideal U=CV TrezultacaT=0, adicatemperaturafinalaesteegalacuceainit ial a.Procesulestereprezentat nFig.3.8.Procesul ar fi reversibil dacasistemul si mediul ar puteareveni lastareainit ial aprinaceleasistariintermediare,lucrucarenuesteposibildeoarecegazul artrebui satreacadelasine nincintacuvolumV1nincintacuvolumul V2raman andvid. Procesul este ireversibil si esteasociatcucresteredeentropie.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 116Calculul variat iei deentropieserealizeazaporninddelafaptul caaceasta este o funct ie de stare si exista posibilitatea evalu arii ei n cursulunui proces reversibil ntre cele doua stari.In aceasta situat ie se consideraotransformareizotermareversibila ntreceledouastari.Atunci:dS=QT(3.218)Cumtransformareaesteizotermaiarpentrugazulideal:dU= QL = 0seobt ine:Q = L = pdV (3.219)Seutilizeazaecuat iatermicadestareagazuluiidealpV= RTsirezulta:pT=RV(3.220)T inandcontde3.219 si3.220relat ia3.218devine:dS= RdVVIntegrand:S= RV1+V2

V1dVV= Rln (V1 + V2)V1> 0PROBLEMA3.34 Douacantit at ideapademasaMsegasesclatemperaturile T1si T2(T1> T2). Cele doua cantitat i de apa se introducntr-uncalorimetrucareleconferaoizolareadiabatica. Sasecalculezevariat iadeentropie nprocesuldeatingereaechilibruluitermic.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 117SOLUTIEDeoarece ncursul procesului deatingereastarii deechilibru, can-titat ii de apacutemperaturamai micai se transmite ocantitate decalduradelaapacutemperaturamai mare, pentrucaprocesul safiereversibil caldura cedata ar trebui sa treaca napoi de la sine. Din formu-larea lui Clausius a principiului II rezulta ca acest lucru nu este posibil; nconsecint aprocesulnupoatefidecatunulireversibil. Ca si nproblemaprecedent a, pentrucalculul variat iei deentropieseconsideraunprocesreversibil ntreceledouastari.Seutilizeazaecuat iacalorimetrica:Mc (TeT2) = Mc (T1Te)Pentrutemperaturadeechilibrurezulta:Te=T1 + T22(3.221)Se considera ca are loc un proces de racire reversibil pentru cantitateadeapadelatemperaturaT1latemperaturaTe(T1>Te). Variat iadeentropieeste:S1=Te

T1QT=Te

T1McdTT= Mc ln TeT1(3.222)InmodanalogpentrucantitateadeapaaflatalatemperaturaT2seconsideraunprocesreversibilde nc alzirelatemperaturaTeS2=Te

T2QT=Te

T2McdTT= Mc ln TeT2(3.223)Din3.222 si3.223rezulta:S= S1 + S2= Mc

ln TeT1+ ln TeT1

siconsiderand3.221seobt ine:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 118S= Mc lnT2eT1T2= Mc ln (T1 + T2)24T1T2> 0 (3.224)PROBLEMA3.35 Sasearateca ncazul unei substant eacareiecuat ietermicadestareareformap = p (V, T),esteadevaratarelat ia

UV

T= T

pT

Vp (3.225)SOLUTIEIncazulunuiprocesreversibil:dS=dU+ pdVT(3.226)DacaU= U(T, V )dU=

UV

TdV+

UT

VdT (3.227)relat ia3.226devine:dS=1T

UV

T+pT

dV+1T

UT

VdT (3.228)Cumentropiapoatefi consideratacafunct iedeVsi Tsi cumdSesteodiferent ialatotalaexacta2STV=2SV Tseobt ine:T1T

UV

T+pT

V=V1T

UT

V

Tdeunderezulta:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 1191T2

UV

T+1T2UTV pT2+1T

pT

V=1T2UV T(3.229)Ufiind sieaodiferent ialatotalaexacta2UTV=2UV Tsidin3.229rezultarelat iaceruta:

UV

T= T

pT

VpPROBLEMA3.36 Sa se arate ca energia intern a a unei substant epentrucareecuat iadestareareformap = Tf(V )esteindependent adevolum.SOLUTIEInproblemaprecedent as-adedusca:

UV

T= T

pT

Vp (3.230)Cum:

pT

V= f (V ) (3.231)atunci:

UV

T= 0adicaenergiaintern anudepindedevolum.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 120PROBLEMA3.37 Sasedemonstrezepentruunfluidrelat ia:CpCV= T

pT

V

VT

p= TV2KT(3.232)undeestecoeficientul dedilatareizobar iar KTestecoeficientul decompresibilitateizoterm.SOLUTIESet inecontderelat ialuiRobert-MayerCpCV=p +

UV

T VT

p(3.233)siderelat ia

UV

T= T

pT

Vp (3.234)Seobt ine:CpCv= T

pT

V

VT

p(3.235)dar:

pT

V=

VT

p

Vp

T(3.236)Atunci3.235devine:CpCV= T

VT

2p

Vp

T(3.237)Cum:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 121

VT

p= V

Vp

T= KTVseobt ine:CpCV= TV2KTPROBLEMA3.38 Sa se determine energia interna a unui gaz pen-trucareecuat iatermicadestareestep =u3(3.238)unde ueste energia unitat ii de volum care depinde doar de temperatura.SOLUTIEPentru un gaz care ocupa volumul Vla temperatura Tenergia intern aeste:U= V u(T) (3.239)Cum:p =u (T)3(3.240)folosindrelat ia:

UV

T= T

pT

Vp (3.241)densitateadeenergieintern adevine:u(T) =13T du(T)dTu(T)3(3.242)Deaicirezulta:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 122du(T)u(T)=4dTT(3.243)Integrandseobt ine:ln u(T) = 4 ln T+ constu(T) = constT4PROBLEMA3.39 Utilizand relat ia lui Stefan-Boltzmann care pen-tru sistemul radiat ie termica leaga densitatea de energie de temperaturau=T4(esteoconstant a)precumsi relat iaceleagadensitateadeenergiedepresiunep=u/3, sasedetermineentropiasi ecuat iatrans-formariiadiabaticepentruacestsistem.SOLUTIEEnergiainternaaunuivolumV ocupatderadiat iatermicaeste:U= V udeunde:dU= udV+ V du (3.244)Atuncidiferent ialaentropieidS=QT=dU+ pdVTdevinet in andcontderelat ia3.244dS=udV+ V du + pdVT(3.245)Cumexpresiadensitat ideenergieeste:u = T4iarpresiuneaeste p =u4=T44CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 123relat ia3.245devine:dS= 4V T2dT+43T3dV (3.246)Prinintegrareseobt ine:S=43T3V (3.247)Ecuat iaadiabateiseobt inepunandS=const.T3V= constPROBLEMA3.40 Sa se determine expresia entropiei unui gazidealalcatuitdinkmoli,cunoscandu-seCVcalduramolaralavolumconstant siCpcalduramolaralapresiuneconstant a.SOLUTIEUtilizamecuat iafundamentalapentruprocesereversibile:TdS= dU+ pdV (3.248)ncaredU= CVdTiarp =RTVAtunci:dS= CVdTT+ RdVV(3.249)Integrandrezulta:S(T, V ) = CVln T+ Rln V+ const (3.250)CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 124Pentruaobt ineexpresiaentropiei nfunct iedeparametripsiT senlocuieste n relat ia 3.250 volumul obt inut din ecuat ia termica de stare:V=RTp(3.251)Rezulta:S (T, p) = CVln T+ Rln

RTp

+ constS (T, p) = Cp ln T Rln p + const (3.252)Pentru a obt ine expresia entropiei n coordonate p si Vse nlocuiestetemperaturaTdinecuat iadestare:T=pVRnecuat ia3.250. Seobt ine:S (p, V ) = CVln

pVR

+ Rln V+ constS (p, V ) = CVln p + Cp ln V+ constPROBLEMA3.41 Fieungazreal caresatisfaceecuat iadestareVan-der-Waals:

p +2aV2

(V b) = RT (3.253)Considerandconstant acalduramolaralavolumconstant CVsasestabileasca:a)expresiaenergieiinterneb)expresiaentropieic)ecuat iatransformariiadiabatice.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 125SOLUTIEa)Seconsideraenergiafunct iedevolum sitemperatura:U= U(V, T)Atunci:dU=

UV

TdV+

UT

VdT (3.254)Inaceastarelat ie:

UT

V= CV(3.255)undeCVestecalduramolaralavolumconstant.Inplus

UV

T= T

pT

Vp (3.256)Dinecuat iadestareagazuluirealrezulta:p =RTV b 2aV2(3.257)Atunci:

pT

V=RV b(3.258)T inandcontderelat iile3.257 si3.258relat ia3.256devine:

UV

T=2aV2(3.259)Considerand3.255 si3.259relat ia3.254devine:dU= CVdT+ 2adVV2(3.260)Prinintegrareseobt ine:U= CVT 2aV+ const (3.261)CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 126Se observa can cazul gazului real n afara termenului CVT n expre-siaenergiei interneintr asi termenul 2a/V careexprimacontribut iaenergiilorpotent ialedeinteract iedintremoleculelegazului.b)Dinrelat iafundamentalapentruproceselereversibilerezulta:dS=QT=dU+ pdVT(3.262)Considerandrelat iile3.257 si3.260,relat ia3.262devine:dS=CVdTT+RdVV b(3.263)Seintegreazaaceastarelat ie siseobt ine:S= CVln T+ Rln (V b) + S0(3.264)c)Incazul unui proces adiabaticS=const. Dinrelat ia3.264seobt ineecuat iaprocesuluiadiabatic.TCVR(V b) = constPROBLEMA3.42 Sa se demonstreze relat iile lui Maxwell n cazulunor procese reversibile pentru un fluid oarecare caracterizat de parametrip,V ,T.

TV

S=

pS

V(3.265)

Tp

S=

VS

p(3.266)

pT

V=

SV

T(3.267)

Sp

T=

VT

p(3.268)CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 127SOLUTIEDemostrat iilese fac pornindde lafaptul caU, F, G, H suntfunct ii de stare. Atunci dU, dF, dG, dH sunt diferent iale totaleexacte. Aceastaimplicafaptulcadacaformadiferent ialadF= Xdx + Y dyesteodiferent ialaexactaestevalabil arelat ia:Xy=Yxa)dU= TdS pdV

TV

S=

pS

V(3.269)b)H= U+ pVdH= dU+ V dp + pdV= TdS pdV+ V dp + pdV= TdS + V dp

Tp

S=

VS

p(3.270)c)F= U TSdF= dU SdT TdS= TdS pdV SdT TdS= pdV SdT

pT

V=

SV

T(3.271)d)G = U TS pVCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 128dG = SdT+ V dp

Sp

T=

VT

p(3.272)PROBLEMA3.43 Sa se determine variat ia marimilor T, V, UsiH ncazuluneicomprimariadiabatice.SOLUTIEVariabileleindependente pecareleconsideram nacestcazsuntSsip. Acesta nseamn acaT= T (S, p) siatunci:dT=

TS

pdS +

Tp

SdpDar cumdS= 0pentruotransformareadiabatica, pentruvariat iatemperaturiiseobt ine:dT=

Tp

SdpConformrelat iei3.270:

Tp

S=

VS

pastfelcarelat iademaisusdevine:dT=

VS

pdp =

VT

p

TS

pdp (3.273)T inandcontdeexpresiacoeficientuluidedilatareizobar: =1V

VT

prezulta:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 129

VT

p= V (3.274)Din:Cp=

QdT

p= T

ST

prezulta:

TS

p=TCp(3.275)T inandcontderelat iile3.274 si3.275,relat ia3.273devine:dT=V TCpdp (3.276)Dinexpresiacoeficientuluidecompresieadiabatic:KS= 1V

Vp

Srezulta:

Vp

S= KSVsivariat iavolumuluieste:dV=

Vp

Sdp = KSV dp (3.277)Variat iaenergieiinternesescrie:dU=

Up

Sdp =

UV

S

Vp

Sdp (3.278)Dinrelat ia:dU= TdS pdVrezulta:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 130

UV

S= pInplus:

Vp

S= KSVAstfelrelat ia3.278devine:dU= pV KSdp (3.279)Variat iaentalpieieste:dH=

Hp

Sdp (3.280)Cum:dH= TdS + V dpatunci:

Hp

S= VAstfelrelat ia3.280devine:dH= V dpPROBLEMA3.44 Sa se determine variat ia entropiei S, volumuluiV , energiei interne U, si a entalpiei H n cazul unei comprimari izoterme.SOLUTIEVariabileleindependentesuntTsi p.Incazul unui procesizotermvariat iaentropieieste:dS=

Sp

Tdp (3.281)CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 131Darconformrelat iei3.270:

Sp

T=

VT

p= V Atuncirelat ia3.281devine:dS= V dp (3.282)Variat iavolumuluieste:dV=

Vp

Tdp = V KTdp (3.283)Pentru a exprima variat ia energiei interne se considera S= S(T, p) siV= V (T, p).Atunci:dS=

Sp

Tdp +

ST

pdT (3.284)dV=

Vp

Tdp +

VT

pdT (3.285)CumdU= TdS pdV (3.286)dacaseconsiderarelat iile3.284 si3.285relat ia3.286devine:dU= T

Sp

Tdp +

ST

pdTp

Vp

Tdp +

VT

pdTdU=T

Sp

Tp

Vp

T

dp +T

ST

pp

VT

pdT(3.287)Atunci:

Up

T= T

Sp

Tp

Vp

T(3.288)Cum:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 132

Sp

T=

VT

p= V (3.289)

Vp

T= V KT(3.290)relat ia3.288devine:

Up

T= V T+ pV KT(3.291)Astfel ntr-unprocesizoterm:dU=

Up

Tdp = V(T+ pKT) dp (3.292)Variat iaentalpieieste:dH=TdS+Vdpiarcuajutorulrelat iei3.284seobt ine:dH= T

Sp

Tdp +

ST

pdT+ V dpdH=T

Sp

T+ V

dp + T

ST

pdTDeoarece Heste o diferent ial a totala exacta, folosind relat ia 3.289 seobt ine:

Hp

T= T

Sp

T+ V= T

VT

p+ V= TV + VAstfel ntr-unprocesizoterm:dH= V(1 T) dpCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 133PROBLEMA3.45 Sa se determine variat ia energiei interne U, en-tropieiSsiatemperaturiiTncazuldilatariiizobare.SOLUTIEIn acest caz variabilele independente sunt presiunea si volumul. CumS(p, V )seobt ine:dS=

Sp

Vdp +

SV

pdV (3.293)DeoarecedU= TdS pdV (3.294)considerandrelat ia3.293seobt ine:dU= T

Sp

Vdp +T

SV

ppdV (3.295)Cumpresiuneaesteconstanta:dU=T

SV

ppdV (3.296)si

SV

p=

ST

p

TV

p=CpT1V(3.297)iarCp=

QdT

p= T

ST

pAtuncirelat ia3.296devine:dU=

CpTV p

dV (3.298)Variat iaentropieidS=

SV

pdVCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 134sepoatepunesubforma:dS=CpTV dVdacaseconsiderarelat ia3.297.Variat iatemperaturii sepoateexprima nfunct iedecoeficientul dedilatareizobar:dT=

TV

pdV=1VdVPROBLEMA3.46 SasedetermineQ=TdSnfunct iedevari-abilele(p, V ),(p, T),(V, T)considerandcunoscut icoeficient iicaloricisitermiciaisistemului.SOLUTIEa) InvariabileleV,Tdiferent ialaentropieieste:dS=

SV

TdV+

ST

VdT (3.299)Utilizamrelat ia3.271:

SV

T=

pT

V=

VT

p

Vp

T=KT(3.300)undes-at inutcontdedefinit iilelui siKT.Inplus:

ST

V=CVT(3.301)Relat iaestejustificatadeoarece:CV=

QdT

V= T

ST

VCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 135Atunci3.299devine:dS=CVTdT+KTdV (3.302)siQ = CVdT+TKTdVb) IncoordonatepsiT diferent ialaentropieieste:dS=

Sp

Tdp +

ST

pdT (3.303)Seutilizeazarelat ia3.272 siseobt ine:

Sp

T=

VT

p= V (3.304)precum sirelat ia

ST

p=CpT(3.305)demonstratainproblemaprecedentaAtunci3.303devine:dS=CpTdT V Tdp (3.306)si:Q = CpdT V dp (3.307)c) IncoordonateV,p diferent ialaentropieieste:dS=

Sp

Vdp +

SV

pdV (3.308)Seutilizeazarelat ia3.272 siseobt ine:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 136

Sp

V=

VT

S=

ST

V

SV

T(3.309)unde:

ST

V=CVT(3.310)iar:

SV

T=

pT

V=

VT

p

Vp

T=KT(3.311)In3.311s-at inutcontdedefinit iilelui si KT(date nproblema3.6).Atunci3.309devine:

Sp

V=CVTKT(3.312)Deoarece:

SV

p=

pT

S=

ST

p

Sp

T(3.313)si:

ST

p=CpT

Sp

T=

VT

p= V (3.314)atuncirelat ia3.313devine:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 137

SV

p=CpTV(3.315)Considerandrelat iile3.312 si3.313expresia3.308devine:dS=CVKTTdp +CpV TdV (3.316)deunderezulta:Q = TdS=CVKTdp +CpV dV (3.317)PROBLEMA3.47 SasearatecaciclulCarnotireversibilareran-damentul cel mai mare ncomparat iecuoricealtciclucefunct ioneazantredouatemperaturiextremedate.SOLUTIEDininegalitateapentruproceseireversibile:dS QT(3.318)seobt inepentruunciclu:

dS>

QT(3.319)Cumentropiaesteofunct iedestare

dS= 0 (3.320)atuncidin3.319seobt ine:

QT 0 (3.321)Senoteazacu:Q1=

pQ > 0 (3.322)calduraprimita ncursulciclului.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 138Senoteazacu:[Q2[ =

CQ > 0 (3.323)calduracedata ncursulciclului.Atunci dacaset inecontderelat iile3.322si 3.323, relat ia3.321sepoatescrie:

QT=

pQT+

CQT 0 (3.324)sau:

pQT

CQT(3.325)Se noteaza cu TMtemperatura maxima atinsan cursul ciclului. Atunci

pQT

pQTM=Q1TM(3.326)sau:Q1TM

pQT(3.327)Se noteaza cu Tm temperatura minima atinsan cursul ciclului. Atunci:

cQT

cQTm= [Q2[Tm(3.328)Dinrelat iile3.325,3.327,3.328obt inem:Q1TM [Q2[Tm(3.329)TmTM [Q2[Q11 TmTM 1 [Q2[Q1adica randamentul ciclului Carnot este randamentul cel mai mare pentruciclurilecaresedesfasoara ntredouatemperaturidate.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 139PROBLEMA3.48Incazul unei masini termicecelucreazadupauncicluCarnotexistaposibilitateacadiferent aT1T2dintretempera-turilesurseicalde sirecisafiemaritacuTprin nc alzireasurseicaldesi prinracireasursei reci. Cumtrebuiedistribuitavariat iaTpeceledouasursepentrucarandamentulsafiemaxim?SOLUTIESeconsidera:T= T1 + T2(3.330)unde T1reprezint acrestereade temperaturaasursei calde iar T2reprezint ascaderea ntemperaturaasurseireci.Inacestecondit iirandamentuldevine:= 1 T2T2T1 + T1(3.331)Dinrelat ia3.330seobt ine:T2= T T1astfelcarelat ia3.331devine:= 1 T2T+ T1T1 + T1=T1 + T T2T1 + T1(3.332)Randamentul este maxim cand numitorul este minim, adica T1= 0.Aceasta nseamn a ca este mai eficient sa se scada temperatura surseirecipentruamarirandamentulmasiniitermice.PROBLEMA3.49 Sa se determine randamentul ciclului Otto for-mat din doua adiabate si doua izocore ( Fig. 3.9) avand ca substant a delucruungazideal. SecunoscV1/V2= si= Cp/CV .SOLUTIECaldurileschimbatedesistempentrufiecaretransformare npartesunt:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 140

!"8FFigura3.9: CiclulOttoQ12= 0Q23= Cp (T3T2)Q34= 0Q41= Cp (T1T4)Atunci:= 1 [Q41[Q12= 1 T4T1T3T2= 1 T1T2

T4T11

T3T11 (3.333)Dintransformarea1-2seobt ine:T1T2=

V1V2

1=11(3.334)Sescriutransformarile1-2,3-4 ncoordonatep, TT1V11= T2V12(3.335)T4V11= T3V12(3.336)Dinacesteultimedouarelat iiprin mpart ireseobt ine:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 141!"

F8

Figura3.10: CiclulDieselT4T1=T3T2(3.337)T inandcontderelat iile3.334 si3.57relat ia3.333devine:= 1 1PROBLEMA3.50 Sa se determine randamentul ciclului Dieselformat dindouaadiabate, oizobarasi oizocora(Fig.3.10) avandcasubstant adelucruungazideal. Secunosc=Cp/CV , V1/V2=siV3/V2= .SOLUTIESecalculeazacaldurileschimbatedesistempentrufiecaretransfor-mare npartecorespunzatoarecicluluireprezentat nFig. 3.10.Rezulta:Q12= 0Q23= Cp (T3T2) > 0Q34= 0Q41= CV(T1T4) < 0CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 142Randamentuleste:= 1 [Q41[Q23= 1 1T1T2

T4T11T3T21

(3.338)Dintransformarea1-2rezulta:T1T2=

V2V1

1=11(3.339)iardintransformarea2-3:T3T2=V3V2= (3.340)PentruacalcularaportulT4/T1acestavafiexprimatsubforma:T4T1=

T4T3

T3T2

T2T1

(3.341)Dintransformareaadiabatica3-4rezulta:T4T3=

V3V1

1=

V3V2V2V1

1=

1(3.342)T inandcontderelat iile3.339 si3.340relat ia3.341devine:T4T1= (3.343)Atuncirandamentuleste:= 1 1(1)1( 1)PROBLEMA3.51 Sasecalculezerandamentul unei masini ter-micecelucreazadupaunciclul Joulecareestecompusdindouaadia-bate si din doua izobare (p1, p2), substant a de lucru fiind un gaz ideal cuexponentuladiabatic. Secunoasteraportul = p2/p1,(p2> p1).CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 143 ! "

F

FF8Figura3.11: CiclulJouleSOLUTIEReprezentareaciclului ncoordonate(p, V )estedata nFig. 3.11Caldurileschimbatedesistemcumediulexternsunt:Q12= Cp (T2T1) > 0Q23= 0Q34= CV(T4T3) < 0Q41= 0Atuncirandamentuleste:= 1 [Q34[Q12= 1 T3T4T2T1= 1 T3T2

1 T4T3

1 T1T2 (3.344)Dintransformarile1-4,2-3seobt ine:T2p11= T3p12(3.345)T1p11= T4p12(3.346)deundeprin mpart irerezulta:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 144T2T1=T3T4(3.347)T inandcontderelat iile3.345,3.346 si3.347,relat ia3.341devine:= 1

p1p2

1= 1

1

1PROBLEMA3.52 Sasedemonstrezerelat ia:

Hp

T= T

VT

p+ V (3.348)SOLUTIESepornestedelaexpresiaentalpiei:H= U+ pV (3.349)Prindiferent iereobt inem:dH= TdS + V dp (3.350)dS=dH V dpT(3.351)dar:dH=

HT

pdT+

Hp

Tdp (3.352)astfel nc at:dS=1T

Hp

TVT

dp +1T

HT

pdT (3.353)CumdSesteodiferent ialatotalaexacta:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 145T1T

Hp

TVT

p=p1T

HT

pT(3.354)deunderezulta:1T2HTp 1T2

Hp

T+VT2 1T

VT

p=1T2HpTAtunci:

Hp

T= T

VT

p+ VPROBLEMA3.53 Sasegaseascaexpresiadiferent ial apentruen-tropiaunuigazpentrucare: =1V

VT

p= const (3.355)Cp= const (3.356)SOLUTIECum:H= U+ pV (3.357)dH= TdS + V dp (3.358)Atunci:dS=dHTVT dp (3.359)ConsiderandH= H(T, p):dH=

HT

pdT+

Hp

Tdp = CpdT+

Hp

Tdp (3.360)CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 146Asacums-ademonstrat nproblema3.52:

Hp

T= T

VT

p+ V (3.361)Atuncirelat ia3.360devine:dH= CpdT+T

VT

p+ Vdp (3.362)T inandcontde3.362,3.359devine:dS=CpTdT

VT

pdp (3.363)Utilizandexpresiacoeficientuluidedilatareizoterm =1V

VT

p(3.364)relat ia3.363devine:dS=CpTdT V dp (3.365)PROBLEMA3.54 SasedemonstrezecaS=1V

VT

S(3.366)coeficientuldedilatareadiabaticpoatefiexprimat sisubforma:S= CVV T

Tp

V(3.367)SOLUTIESeconsideraS=S(T,V):dS=

ST

VdT+

SV

TdV (3.368)Rezulta:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 147

VT

S=

ST

V

SV

T(3.369)Dar:

ST

V=CVT(3.370)sicum:

SV

T=

pT

V(3.371)relat ia3.368devine:

VT

S= CVT

Tp

V(3.372)Atunci:S= CVV T

Tp

VPROBLEMA3.55 Sasedemonstrezerelat iile:

CVV

T= T

2pT2

V(3.373)

Cpp

T= T

2VT2

p(3.374)SOLUTIECum:CV= T

ST

V(3.375)CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 148seobt ine:

CVV

T=VT

ST

V

T= TTSV

T

V(3.376)Cum:

SV

T=

pT

V(3.377)dinrelat ia3.376seobt ine:

CVV

T= T

2pT2

V(3.378)Deoarece:Cp= T

ST

p(3.379)seobt ine:

Cpp

T=pT

ST

pT= TTSp

T

p(3.380)Cum:

Sp

T=

VT

p(3.381)seobt ine:

Cpp

T= T

2VT2

VPROBLEMA3.56 La o substant a paramagnetica susceptibilitateavariazacutemperaturadupaolegedeforma=C/TundeCesteoconstant apozitiva. SasedeterminecalduraschimbatadeunitateadeCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 149volumasubstant ei cumediul externcandtemperaturaestement inutalavaloareaT1iarintensitateacampului magneticcrestedela0laH1.Variat iavolumuluisevaconsideraneglijabila.SOLUTIESeutilizeazaformaprimuluiprincipiualtermodinamiciipentrusub-stant e magnetice (marimile se considera raportate la unitatea de volum)du = q pdv + 0HdM (3.382)Lucrulmecaniclamagnetizareafostcalculat nproblema3.4.CumT=const,v=constrezultadu=0astfelcadinrelat ia3.382rezulta:q= 0HdM (3.383)Dar:M= H=CHT(3.384)Atunci:dM=CdHT(3.385)CumT= T1dinrelat iile3.383 si3.385rezulta:q= 0CHT1dH (3.386)Seintegreaza siseobt ine:q= H1

00CHT1dH= 0C2T1H21PROBLEMA3.57 Pentruosubstant as-agasitcadensitateademagnetizare este funct ie de raportul H/T. Sa se arate ca energia intern aaunitat iidevolumesteindependentadeMsisasedetermineexpresiaentropiei(sevaneglijavariat iavolumului).CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 150SOLUTIEAplicandprimul principiual termodinamicii pentrusubstant emag-netice:du = Tds 0HdMrezulta:ds =du + 0HdMT(3.387)undes,usereferalaentropia sienergiaunitat iidevolum.Seconsiderau = u(T, M) sisearataca

uM

T= 0Intr-adevar:du =

uT

MdT+

uM

TdM (3.388)sirelat ia3.387devine:ds =1T

uT

MdT+1TuM

T0H

dM (3.389)Deoarece dseste o diferent ial a totala exacta, din relat ia 3.390 rezulta:M1T

uT

M

T=T

1TuM

T0H

Msau:1T2uMT= 1T2

uM

T+1T2uTM 0T

HT

Mdeunde:

uM

T= 0T2T

HT

M(3.390)CumM= f (H/T) siM=constrezultacaH/T=const si:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 151

uM

T= 0 (3.391)Aceastarelat iearatacaenergiainternaaunitat ii devolumestein-dependent ademagnetizare.Deoarece:dM= f

HT

d

HT

(3.392)relat ia3.387devine:ds =du (T)T0HTf

HT

d

HT

(3.393)Pentrux = H/Tseobt ine:s =

du(T)T0H/T

0xf

(x) dxIntegrandprinpart icelde-aldoileatermenobt inem:s =

du(T)T0HTf

HT

+ 0H/T

0f (x) dxPROBLEMA3.58Incazul unei substant eparamagneticeidealedensitateademagnetizarevariaz acutemperaturadupalegeaCurie:M=CHT(3.394)undeCesteoconstanta.Sasearateca ncondit iile ncarecampul magneticvariaz aiarsis-temulesteizolatadiabatic:dT= 0

CHcHT

dH (3.395)undecHestecapacitateacaloricaaunitat iidevolum.CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 152SOLUTIESe considera u , senergia intern a si entropia unitat ii de volum depen-dentedoardeTsi H(deoarecevariat iadevolumpoatefi considerataneglijabila)q= Tds = T

sT

HdT+ T

sH

TdH (3.396)rezulta:cH=

qdT

H= T

sT

H(3.397)Seexprimadiferent ialaentropiei:ds =

sT

HdT+

sH

TdH (3.398)Set inecontderelat ia3.397 siseobt ine:ds =cHTdT+

sH

TdH (3.399)Cum ntr-otransformareadiabaticads=0dinrelat ia3.399rezulta:dT= TcH

sH

TdH (3.400)Pentruaexprimaultimaderivatapart ialaseconsideradiferent ialadensitat iidemagnetizare.dM=

MT

HdT+

MH

TdH (3.401)T inandcontderelat iile3.398 si3.401,diferent ialaenergieiinternedu = Tds + 0HdM (3.402)sepoateexprimaastfel:CAPITOLUL3. TERMODINAMICA 153du =T

sT

H+ oH

MT

H

dT++T

sH

T+ 0H

MH

T

dH (3.403)Cumduesteodiferent ialatotalaexactarezultaca:HT

sT

H+ 0H

MT

H

T=TT

sH

T+ 0H

MH

T

H(3.404)Seobt ine:0

MT

H=

sH

T(3.405)Atuncirelat ia3.400devine:dT= 0TcH

MT

HdH (3.406)DeoareceM= CH/T

MT

H= CHT2(3.407)astfel3.406devine:dT= 0CHcHT dH (3.408)PROBLEMA3.59 Sasedemonstrezerelat ia

VH

T,p= 0

Mp

T,H(3.409)undeCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 154

VH

T,p(3.410)senumestecoeficientdemagnetizareiar0

Mp

T,H(3.411)senumestecoeficientparamagnetic(Mestemagnetizareatotala).SOLUTIEForma diferent iala a primului principiu al termodinamicii n acest cazeste:dU= TdS pdV+ 0HdM (3.412)Latemperaturaconstanta:dS=

Sp

Hdp +

SH

pdH (3.413)dV=

Vp

Hdp +

VH

pdH (3.414)dM=

Mp

Hdp +

MH

pdH (3.415)Atuncirelat ia3.412devine:dU= T

Sp

Hdp +

SH

pdHp

Vp

Hdp +

VH

pdH++0H

Mp

Hdp +

MH

pdHsaudU=T

Sp

Hp

Vp

H+ 0H

Mp

H

dpCAPITOLUL3. TERMODINAMICA 155T

SH

pp

VH

p+ 0H

MH

pdHCumdUesteodiferent ialatotalaexacta:HT

Sp

Hp

Vp

H+ 0H

Mp

H

=pT

SH

pp

VH

p+ 0H

MH

pRezulta:0

Mp

T,H=

VH

T,pPROBLEMA3.60 Sa se arate ca atunci cand campul magnetic estevariatizotermdelavaloarea0laH,variat iavolumului(V =2

2kBTm2r+12(r + 1)! (4.38)PROBLEMA4.10 Sa se gaseasc a media patratului abaterii vitezeiabsolute de la valoarea ei medie (v)2=(v v)2, adica abatereapatraticamedieavitezeiabsolute, ncazuldistribut ieimaxwelliene.SOLUTIESe folosesc proprietat ile mediei si se calculeazaabatereapatraticamedieavitezeiabsolute:(v)2= (v2) + (v)22vv= (v2) (v)2Incazuldistribut ieiMaxwell,s-aobt inutanterior:v2=3kBTm(v)2=8kBTm.Atunci:(v)2=

3 8

kBTm.PROBLEMA4.11 Sasecalculezeabatereapatratic amedieae-nergiei cinetice de translat ie a moleculelor unui gaz ideal ()2= ( )2,ncazuldistribut ieimaxwelliene.CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 179SOLUTIESe folosesc proprietat ile mediei si se calculeazaabatereapatraticamedieaenergieicinetice:()2= ( )2= (2) ()2.T inemcontderezultateleobt inute nproblema4.10. Atunci:()2=14m2

v4

14m2

v2

2.Seau nvedererezultateleunorproblemeanterioare siseobt ine:()2=154(kBT)294 (kBT)2=32 (kBT)2adica()2=32 (kBT)2.PROBLEMA4.12 Aratat i ca pentru o distribut ie Maxwell, a mole-culelordupaviteze,estevalabilrezultatulgeneral:[vx[n= [vy[n= [vz[n.SOLUTIEConformdefinit ieivalorilormedii[vi[n=

[vi[nF (v) dvxdvydvz,undei = x, y, zDatoritaizotropiei, nici odirect ienueprivilegiata. Valoareainte-graleinuseschimbadacasefaceoschimbaredevariabila:CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 180[vx[n=

[vx[nF (v) dvxdvydvz== C

[vx[nem(v2x+v2y+v2z)2kBTdvxdvydvz==

m2kBT

3/2

[vx[nemv2x2kBTdvx

em(v2y+v2x)2kBTdvydvz==

m2kBT

3/2

[vx[nemv2x2kBTdvx

emv2y2kBTdvy

emv2z2kBTdvz

Cumultimeledouaecuat iisuntintegralePoissonseobt ine:[vx[n=

m2kBT

3/22kBTm

[vx[nemv2x2kBTdvx(4.39)Inmodanalog:[vy[n=

m2kBT

3/22kBTm

[vy[nemv2y2kBTdvy(4.40)si[vz[n=

m2kBT

3/22kBTm

[vz[nemv2z2kBTdvz(4.41)Rezulta:[vx[n= [vy[n= [vz[n(4.42)PROBLEMA4.13 Stabilit i legatura dintre [vz[nsi [v[n, unde n esteun ntreg.CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 181SOLUTIESe determina forma funct iei de distribut ie a lui Maxwell dupa vitezencoordonate sferice. Pentru aceasta se t ine cont de definit ia coordonatelorsferice sideformafunct ieidedistribut iealuiMaxwell.Atunci:f (vx, vy, vz) =

m2kBT32emv22kBTdvxdvydvz==

m2kBT32emv22kBTv2sin dvdd = f (v, , ) dvdddeunde:f (v, , ) =

m2kBT32emv22kBTv2sin (4.43)Incoordonatesfericevz= v cos (4.44)Secalculeazamedia [vz[n,atatpentrunpar(n = 2r)cat sipentrunimpar(n = 2r + 1).v2rz=2

0d

0cos2r sin d

0v2r

m2kBT32emv22kBTv2dv (4.45)Pentruefectuareacalculului sefolosestefunct iadedistribut iedupavitezaabsoluta.f (v) = 4

m2kBT32emv22kBTv2Seobt ine:[vz[2r=142

0d

0(cos )2rsin d

0v2rf (v) dv (4.46)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 182Deoarece:2

0d = 2si

0cos2r sin d = cos2r+12r + 1

0=22r + 1relat ia4.46devine:[vz[2r=12r + 1

ov2rf (v) =12r + 1v2r(4.47)Inmodanalogseobt ine:[vz[2r+1=142

0d

0(cos )2r+1sin d

0v2r+1f (v) dv==12

/2

0(cos )2r+1sin d

/2(cos )2r+1sin d[vz[2r+1=12 (r + 1)v2r+1(4.48)cur = 1Atunci:[vz[n=1n + 1vn, n = 1,Darcum [vx[n=[vy[n=[vz[n,avemdeci [vx[n=1n+1vn,n = 1.Cazuriparticulare:1) n = 1[vx[ = [vy[ = [vz[ =12vCAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 1832) n = 2v2x=v2y=v2z=13v2PROBLEMA4.14 Ungaz,compusdinmoleculedemasem,esten repaus si n echilibru termic la temperatura absoluta T. Sa se gaseascaurmatoarelevalorimedii:a)vx,v2x,v2vx,v2xvyb)(vx + bvy)2,undebesteoconstant a.SOLUTIEa)Prindefinit ievnx=

vnxf (v) dvxdvydvz(4.49)cuf (v) = Cemv22kBTundeC=

m2kBT32vx= C

vxemv2x2kBTem(v2y+v2z)2kBTdvxdvydvz== C

vxemv2x2kBTdvx

em(v2y+v2z)2kBTdvydvz= 0,deoarece

vxemv2x2kBTdvx= 0CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 184(Integralauneifunct iiimparecareseefectueazapeunintervalsimetricfat adeorigineestenula.)Atunci:vx= 0 (4.50)v2x=

m2kBT

3/2

v2xem(v2x+v2y+v2z)2kBTdvxdvydvz==

m2kBT

3/2

v2xemv2x2kBTdvx

emv2y2kBTemv2z2kBTdvydvz==

m2kBT

3/2

2kBTm

12

2kBTm

3/2Astfelca:v2x=kBTm(4.51)Rezulta:v2vx=

v2x + v2y + v2z

vx= v3x + v2yvx + v2zvx== v3x + v2yvx + v2zvx= 0,deoarecev3x= C

v3xemv2x2kBTem(v2y+v2z)2kBTdvxdvydvz= 0,ntruc at

v3xemv2x2kBTdvx= 0estefunct ieimparaintegratapeuninterval simetric.Inmodsimilarrezultaca:v2yvx= 0CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 185v2zvx= 0deoarecev2yvx=

m2kBT

3/2

v2yvxemv2x2kBTemv2y2kBTemv2z2kBTdvxdvydvz==

m2kBT

3/2

vxemv2x2kBTdvx

vy2emv2y2kBTdvy

emv2z2kBTdvz= 0Analog,v2xvy=

m2kBT

3/2

vyemv2y2kBTdvy

v2xemv2x2kBTdvx

emv2z2kBTdvz= 0b)Seaplicarezultateledemaisus siseobt ine:(vx + bvy)2=

v2x + 2bvxvy + b2v2y

== v2x + 2bvxvy + b2v2y=kBTm+ b2kBTm==kBTm

1 + b2

,PROBLEMA4.15In cadrul fizicii statistice clasice sa se gaseascadistribut ia de probabilitate a vitezelor unghiulare de rotat ie si distribut iade probabilitate pentrucomponentele momentului de rotat ie ale uneimolecule.SOLUTIEDistribut ia probabilitat ilor pentru miscarea de rotat ie a fiecarei mole-culesepoatescrieseparat. Energiacineticaderotat ieauneimolecule,considerataunsolidrigid,esteCAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 186rot=12

I121 + I222 + I323

=12

M21I1+M22I2+M23I3

(4.52)undeI1, I2, I3sunt momenteleprincipaledeinert ie, 1, 2, 3suntproiect iile vitezei unghiulare pe axele principale de inert ie, iar M1= I11,M2= I22, M3= I33suntcomponentelemomentului derotat ie, carejoaca (n mecanica analitica) rolul impulsurilor generalizate pentru viteze-legeneralizate1,2,3.Distribut iadeprobabilitatepentrucomponentelemomentuluiestedM= C1 exp12kBT

M21I1+M22I2+M23I3

dM1dM2dM3. (4.53)funct iadedistribut iefiind:f (M1, M2, M3) = C1 exp12kBT

M21I1+M22I2+M23I3

(4.54)Seface nlocuireaMi= Iii,i=1,2,3,siseobt inedistribut iadepro-babilitatepentruvitezeleunghiulared= C2 exp12kBT

I121 + I222 + I323

d1d2d3(4.55)Atuncifunct iadedistribut ieeste:f (1, 2, 3) = C2 exp12kBT

I121 + I222 + I323

(4.56)PROBLEMA4.16 Sa se gaseasc a constantele de normare C1 si C2din formula de definit ie a distribut iei de probabilitate normata la unitatepentrucomponentelemomentului, respectivadistribut iei deprobabili-tatenormatalaunitatepentruvitezeleunghiulare.CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 187SOLUTIECondit iiledenormareimpun:

C1e12kBT

M21I1+M22I2+M23I3

dM1dM2dM3= 1 (4.57)

C2e12kBT(I121+I222+I323)d1d2d3= 1 (4.58)unde s-a t inut cont de formele funct iilor de distribut ie dupa componentelemomentuluiderotat ie(relat ia4.55)sidupavitezeleunghiulare(relat ia4.56).Astfel:C1=1

e12kBT

M21I1+M22I2+M23I3

dM1dM2dM3C1=1

eM212kBTI1dM1

eM222kBTI2dM2

eM232kBTI3dM3

(4.59)Deoarece

eM2i2kBTIidMi= (2kBTIi)1/2n = 1, 2, 3Valoareaconstanteieste:C1= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2(4.60)Analog,CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 188C2=1

eI1212kBTeI2222kBTeI3232kBTd1d2d3==1

eI1212kBTd1

eI2222kBTd2

eI3232kBTd3==1

2kBTI1

1/2

2kBTI2

1/2

2kBTI3

1/2C2= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2(4.61)deoarece

eIi2i2kBTdi=

2kBTIi

1/2InconcluzieconstanteledenormareauvalorileC1= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2siC2= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2.PROBLEMA4.17 Folosinddistribut iadeprobabilitatenormatapentru componentele momentului de rotat ie, sa se gaseasc a media patra-tuluivaloriiabsoluteamomentuluiderotat ieamoleculei.SOLUTIEDistribut iadeprobabilitatenormata, pentrucomponentelemomen-tuluiderotat ie,estedM= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2[exp (A)] dM1dM2dM3(4.62)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 189undeA =12kBT

M21I1+M22I2+M23I3

Media patratului valorii absolute a momentului de rotat ie este prin definit ie:M2=

DM2dM(4.63)undeDestedomeniuldedefinit ie.Atunci:M2= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2

M21+ M22+ M23

e12kBT

M21I1+M22I2+M23I3

dM1dM2dM3== (2kBT)3/2(I1I2I3)1/23i=1

Mi exp (A) dM1dM2dM3Sarezolvamunadinintegraleledinsuma,pentrui =1:

M21e12kBT

M21I1+M22I2+M23I3

dM1dM2dM3==

M21e12kBTM21I1dM1

e12kBTM22I2dM2

e12kBTM23I3dM3

==1/22(2kBTI1)3/2(2kBTI2)1/2(2kBTI3)1/2== (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2I1kBT.Rezulta:M2= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/23i=1

(2kBT)3/2(I1I2I3)1/2IikBT

CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 190M2= kBT3i=1Ii= kBT (I1 + I2 + I3)Rezultatulcautateste< M2>= M2= kBT (I1 + I2 + I3) (4.64)PROBLEMA4.18 Folosinddistribut iadeprobabilitatenormatapentruvitezeleunghiularederotat ie, sasegaseascamediapatratuluivaloriiabsoluteavitezeiunghiularederotat ieamoleculei.SOLUTIEDistribut iadeprobabilitatenormatapentruvitezeleunghiularederotat ie,ested= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2Ad1d2d3undeA = exp12kBT

I121 + I222 + I323

Media patratului valorii absolute a vitezei unghiulare prin definit ie,estedatade2= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/2

21 + 22+ 23

Ad1d2d32= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/23i=1

2iAd1d2d32= (2kBT)3/2(I1I2I3)1/23i=1(2kBT)3/2(I1I2I3)1/2 kBTIi

2= kBT3i=11IiCAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 191xyzFigura4.1: IncintaparalelipipedicaCalculeleseefectueazanmodsimilar cuceledinproblemaprece-dent a.Rezultatulceruteste< 2>= 2= kBT

1I1+1I2+1I3

.PROBLEMA4.19Intr-ocutieparalelipipedicaseaflaungazlatemperaturaT. Considerandcamoleculelegazului avandfiecaremasamse supunlegii de distribut ie alui Maxwell, sase determine vitezamedieamoleculelorcepar asescincintaprintr-unorificiumic,practicatnunuldincolt uri.SOLUTIEFieunsistemdeaxexOyzcuaxeleparalelecumuchiilecutiei(Fig.4.1). Seconsideraoriciul ncolt ul unei muchii perpendicularapeaxaOy. Atuncivitezacerutaestevy.Prindefinit ievy=

m2kBT

3/2

0

vyem(v2x+v2y+v2z)2kBTdvxdvydvz(4.65)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 192Dupacumseobservas-aconsideratvy (0, ), deoareceprinacelorificiuvoriesi numaimoleculelecuvitezaparalelacuaxaOy, darori-entate nsensulpozitivalaxei(acoloundeestepracticatorificiul).Prinurmarevy=

m2kBT

3/2

emv2x2kBTdvx

0vyemv2y2kBTdvy

emv2z2kBTdvz

vy=

m2kBT

3/2

2kBTm

2kBTm=

kBT2m.Rezultacavitezamedieamoleculelorceparasescincintaestevy=

kBT2m(4.66)PROBLEMA4.20 Aplicanddistribut iaMaxwell sasedetermineprobabilitateacadirect iavitezeisafiecuprinsa ntr-ununghisoliddat.SOLUTIESefolosestefunct iadedistribut iealuiMaxwelldupavitezescrisa ncoordonatesferice(relat ia4.43). Cumd = sin2dd (4.67)distribut iadeprobabilitatedevine:dP=

m2kBT

3/2emv22kBTv2dvd (4.68)Pentruaseobt inedistribut iadupaunghiulsolidseintegreazadupamodululvitezei:dP () =

m2kBT

3/2

0emv22kBTv2dv

d (4.69)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 193Pentruacalculaintegralasepornestedelaidentitatea:

0eax2dx =12

acaresederiveaza nfunct iedeparametrula. Seobt ine:

0x2eax2dx =41a3/2Sederiveaza nc aodata siseobt ine:

0x4eax2dx =38a52Astfelsepoatedetermina:

0x2neaxdx =122n(2n 1)!!1a2n+12(4.70)Incazuldata = m/2kBTsin = 1astfelca:

0emv22kBTv2dv=4

2kBTm32(4.71)Atuncirelat ia4.69devine:dP=

m2kBT324

2kBTm32d =14d (4.72)PROBLEMA4.21Inapaseaflaosuspensiedeparticulefoartefine de densitate >0, 0fiinddensitateaapei.Indouastraturiparaleleaflateladistant ahsemasoar aconcentrat iaparticulelorsi segasestecaraportul acestoraesten1/n2. Sasedeterminenum arul luiAvogadro. (Se va t ine seama ca dimensiunile particulelor sunt de ordinulmicrometriloriarhdeordinulsutelordemicrometri).CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 194SOLUTIEParticuleleaflatensuspensiesecomportacaungazideal acaruidistribut ieestedetipBoltzmann.n = n0eEp/kBTiarenergiapotent ial aeste:Ep= m0hg

1 0

S-at inut cont caasupraparticulelor act ioneaz afort aarhimedica. Ladistant eleh1, respectivh2num aruldemoleculeeste:n1= n0 expm0gh1kBT

1 0

n2= n0 expm0gh2kBT

1 0

iarraportulloreste:n1n2= expm0gkBT(h2h1)

1 0

Se logaritmeaza expresia de mai sus si observand ca 1/kB= NA/R seobt ine:ln n1n2=NAm0gRT(h2h1)

1 0

Atunci:NA=RT ln n1/n2m0g (h2h1)

1 0

PROBLEMA4.22 Un gaz ideal se gaseste ntr-un cilindru verticaldenalt imeh0si razar0careserotestenjurul axei saleverticalencampul gravitat ional terestrucuvitezaunghiularaconstant a. Sasecalculezedistribut iamoleculelordupacoordonate.CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 195SOLUTIEDistribut iamoleculelorestedetipBoltzmanndN (r ) = C exp

pkBT

dxdydzSe alege unsistemde coordonate cilindrice cuaxaOz verticalade-alungulcilindrului. Atunci:x = r cos y= r sin Dar:dxdydz= rdrddzAtunci:dN (r, , z) = C exp

EpkBT

rdrddz (4.73)Energiapotent ial aeste datorataenergiei gravitat ionale (Ep1) si e-nergiei potent iale ncampul fort ei centrifuge(Ep2). Energiapotent ialasescrieastfel:Ep= Ep1 + Ep2(4.74)unde:Ep1= mgh (4.75)Pentrudeterminareaenergieipotent ialedatoratefort eicentrifugesepornestedelarelat ia:dEp2= dL = Fdr = m2rdrPrinintegrare:Ep2=

m2rdrEp2= m2r22+ const (4.76)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 196In4.76constantasepoatepresupunenul a. T inandcontde4.75si4.76relat ia4.74devine:Ep= mgz m2r22(4.77)atunci:dN (r, , z) = expmgz + (m2r2) /2kBT

rdrddz (4.78)Constanta Cse determina din condit ia de normare. Se pune condit iaca ninteriorulvasuluidevolumV numaruldemoleculesafieN.N= C

r00exp

m2r22kBT

rdr

h00exp

mgzkBT

dz

20d(4.79)Integraleleauurmatoarelevalori:

r00exp

m2r22kBT

rdr =kBTm2exp

m2r202kBT

1

(4.80)

20d = 2 (4.81)

h00exp

mgzkBT

dz=kBTmg1 exp

mgh0kBT

(4.82)Seobt ine:N= C

kBTm

22g1 exp

mgh0kBT exp

m2r202kBT

1

(4.83)Atunci:C= N

kBTm

22g1 exp

mgh0kBT exp

m2r202kBT

1

1CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 197PROBLEMA4.23Incazulproblemeiprecedentesasedeterminedistribut iadensitat ii ninteriorulcilindrului.SOLUTIEConsideramdistribut iaparticulelorobt inut a nproblemaprecedent adN (r, , z) = Cexp

mgz +m2r22kBTrdrddz (4.84)Deoarecen situat ia data simetria este cilindrica se poate integra dupadN (r, , z) = 2Cexp

mgz +m2r22kBTrdrdz (4.85)Elementul de volum fiind 2rdrdz concentrat ia moleculelor din sistemeste:n(r, z) =dN (r, , z)2rdrdz= Cexpmgz +m2r22kBT(4.86)Deoarecedensitateaesteproport ional acuconcentrat iaparticulelor(densitateaesteprodusul dintremasaunei moleculesi concentrat iademolecule)seobt ine:(r, z) = Cexpmgz m2r22kBTPROBLEMA4.24 Sa se determine traiectoria punctului reprezen-tativ nspat iulfazelor ncazulunuioscilatorarmonicliniar.SOLUTIECoordonatele canonice sunt coordonata q corespunzatoare axei deoscilat ii si impulsul p. Legaturadintreacesteaestedatadelegeacon-servariienergieiEc + Ep= E0(4.87)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 198undeEc=p22mesteenergiacineticaaparticuleiceoscileazaiarEp=m2q22esteenergiapotent ial aaoscilatoruluidemasamsipulsat ie. E0esteenergiatotala(careram aneconstanta ntimp). Rezulta:p22mE0+q2m22E0= 1 (4.88)Traiectoria nspat iulfazeloresteoelipsacusemiaxelea =

2mE0sib =

2E0m2PROBLEMA4.25 Sasestudiezecuajutorul distribut iei micro-canonice un sistem format din Nparticule libere (gaz monoatomic) cont i-nute nvolumulV .SOLUTIEGazul ideal monoatomicsecaracterizeazaprinaceeacaparticulelesuntpunctiforme sinuinteract ioneaza ntreele.Fiecareparticulaarecatetrei gradedelibertate. Astfel ntregsis-temul poseda 3Ngrade de libertate. Se aleg ca variabile canonice ansam-blul format din coordonatele carteziene ale particulelor precumsi proiect i-ileimpulsuluifiecareiparticuledupaaxeledecoordonate.Senoteazacu(qi, pi),i = 1, 2, ...., 3N,ansamblulvariabilelorcano-nice sisealeg:q3i2= xiq3i1= yiq3i= zi(4.89)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 199coordonatelecartezienealeparticulei i. Analogpentruimpulsul parti-culeiiavem:P3i2= pxiP3i1= pyiP3i= pzi(4.90)Deoareceparticulelenuinteract ioneaz a ntreele, energiasistemului,care nacestcazestedatadoardenaturacinetica,areexpresia:W0= H0=Ni=1p2xi + p2yi + p2zi2m=3Ni=1P2i2m(4.91)Volumul din spat iul fazelor cuprins n interiorul suprafet ei de energieconstant aH= W0este:0= (W0) =

...

HWdq1...dq3NdPi...dP3N(4.92)T inand cont ca fiecare particula se misca doar n volumul V expresiademaisussescrieca:0=

Vdq1dq2dq3...

Vdq3N2dq3N1dq3N

HW0(dP1dP2dP3) ... (dP3N2dP3N1dP3N)

Cum:

Vdq3i2dq3i1dq3i=

Vdxidyidzi= Vi = 1., 2, ..., NAtunci:0= VN

HW0...

(dP1dP2dP3) ... (dP3N2dP3N1dP3N) (4.93)Condit iacaH W0sescrie:CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 2003Ni=1(Pi)2 2mW0(4.94)Atunciintegralademaisusreprezintapracticvolumuluneisferesi-tuate ntr-unspat iu3N-dimensionalderaza2mW0.Nusevacalculacuexactitateacestvolum, ci sevafaceoevaluare.Dacanspat iul tridimensional volumul sferei esteproport ional cuR3,prin generalizare,se presupune ca si n spat iul 3N- dimensional volumulsfereivafiproport ionalcuR3N. Atunci:0= CVN(2mW0)3N2(4.95)undeCesteunfactordeproport ionalitate. Astfel:0W

W=W0= C3N2(2m)3N2VNW3N210(4.96)Atuncientropiasistemuluivafi:S= kB ln

0W

W=W0 = kB lnCVNW3N2103N2(2m)3N2

(4.97)sau:S= kBN ln V+ kB

3N21

ln W0 + kB ln3N2(2m)3N2

+ kB ln C(4.98)Numaruldeparticulefiindfoartemaresepoateconsideraca:3N21=3N2(4.99)T inandcontcaW0esteenergiaintern aasistemului, pentruafolosinotat iiconsacratevomnotaW0cuU. AtunciS= kBN ln V+3N2kB ln U+ kB ln 3N2(2m)3N2+ const (4.100)Cumnumaruldeparticuledinsistemesteconstantseobt ineSU=1TCAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 201SU=3kBN21U=1T(4.101)sauU=32kBNT (4.102)Aceasta reprezinta ecuat ia calorica de stare a gazului ideal. DeoareceSV=pTsederiveaz arelat ia4.100 sirezulta:pT=SV=kBNVpV= NkBTAceastareprezintaecuat iatermicadestareagazuluiideal.Sepoatecalcula sicapacitateacaloricalavolumconstant. Rezulta:CV=

UT

V=32NkBPROBLEMA4.26 Sa se studieze cuajutorul distribut iei cano-niceunsistemformatdinNparticulecont inute nvolumul V carenuinteract ioneaza ntreele(gazmonoatomicideal)SOLUTIESealegcavariabilecanonicecoordonatelecartezienealeparticulelorprecum sicomponenteleimpulsuluifiecareiparticule.q3i2= xiq3i1= yiq3i= zisiCAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 202P3i2= pxiP3i1= pyiP3i= pziHamiltonianulsistemuluieste:H=3Ni=1P2i2m(4.103)Atuncifunct iadepartit ieeste:Z=

...

eN

i=1P2i2mkBTdq1dq2...dq3NdP1dP2...dP3N(4.104)sau:Z=

3Ni=1

eP2i2mkBTdPi

Ni=1

Vdq3i2dq3i1dq3i

(4.105)deoarececomponenteleimpulsuluifiecareiparticulepotluavaloridelala+. Fiecareparticulapoatesasemistedoar ninteriorulvolu-muluiV.Atunci:

Vdq3i2dq3i1dq3i= V (4.106)Z= VN3Ni=1

eP2i2mkBTdPi(4.107)Deoarece:

e12ax2dx =

2a(4.108)atunci:CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 203

ep2i2mkBTdpi=

2mkBT (4.109)iar4.107devine:Z= VN(2mkBT)3N2(4.110)Seobt ineenergialibera:F= kBT ln Z= kBT ln

VN(2mkBT)3N/2

F= kBTN ln V+3N2ln (2mkBT)

(4.111)sideaicientropia, energiainterna, capacitateacaloricaspecicasipre-siunea:S=FT= N ln V+3N2ln (2mkBT)

+3NkB2(4.112)U= F+ TS=3NkBT2CV=

UT

V=3N2kBp = FV=kBTNVSeregasesteteoreticlegeagazeloridealepV= kBNTsiproprietateaspecificaacestuia: energiaintern adepindenumaideT.PROBLEMA4.27 Unsistemareunspectrudeenergienedege-neratdeformal= l undel = 0, 1, 2, . . . , n 1 (4.113)Sasestudiezeproprietat iletermodinamicealeunuiastfeldesistem.CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 204SOLUTIEFunct iadepartit ieasistemuluiesteZ=n1l=0exp(l) =1 en1 e(4.114)unde= 1/kBT.Energialiberaasistemuluieste:F= kBT ln 1 en1 e(4.115)Energiaintern aseobt inet inandcontdefaptulcaenergial= lserealizeazacuprobabilitateaP(l) =1Zel(4.116)Atunci:U=1Zn1l=0l exp(l) (4.117)Pentru a calcula suma de mai sus se va deriva relat ia 4.114. Se obt inen1l=0l exp(l) =nen1 e e(1 en)(1 e)2(4.118)AtunciU= nen1 en e1 e

(4.119)U= 1e1 nen1

(4.120)Capacitateacaloricalavolumconstanteste:CV=UT=2kBT2n2en(en1)2+e(e1)2

(4.121)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 205PROBLEMA4.28 Sa se studieze cu ajutorul distribut iei canoniceunsistemformatdinNoscilatoriclasiciindependent i.SOLUTIEDeoarece oscilatorii sunt independent i funct ia de partit ie Za sistemu-luiZdepindedefunct iadepartit ieZiaunuisinguroscilatorastfel:Z= (Zi)N(4.122)PentruacalculapeZiseconsiderahamiltonianulunuisinguroscila-tor:Hi=12mp2i+12m2x2i(4.123)AtunciZi=

e[12mp2i+12m2x2i]dpidxi, (4.124)unde= 1/kBT.Zi=

em22x2idxi

e2mp2idpi(4.125)Zi=

2m212

2m12=2=2kBT(4.126)Rezulta:Z= (Zi)N=

2kBT

N(4.127)Energialiberaeste:F= kBT ln Z= kBTN ln 2kBT(4.128)iarentropiaeste:S= FT= kBN ln 2kBT+ kBN (4.129)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 206Energiainternaeste:U= F+ TS= NkBT (4.130)iarcapacitateacaloricaasistemuluieste:C=UT= kBN (4.131)PROBLEMA4.29 Unsistemfizic este format dinNoscilatoriarmoniciindependent i siareunspectrudeenergiedatdeexpresia:n=

n +12

h n = 0, 1, 2 . . . (4.132)Sasestudiezeproprietat iletermodinamicealeacestuisistem.SOLUTIEDeoarece oscilatorii sunt independent i se calculeaza funct ia de partit iepentruunsinguroscilator.Z0=n=0e(n+12)h(4.133)unde= 1/kBT. Seobt ine:Z0= e h2n=0enh=e h21 eh(4.134)Pentru ntregsistemulfunct iadepartit ieeste:Z= (Z0)N=eN h2(1 eh)N(4.135)iarenergialibera:F= kBT ln Z= kBT lneN h2(1 eh)N(4.136)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 207F= N h2+ kBT ln

1 eh

(4.137)Entropiaeste:S= FT= NkB ln

1 eh

+1T

N h1 eheh

(4.138)S= N hT (eh1) kB ln

1 eh

(4.139)iarenergiainterna:U= F+ TS= N12 h + heh1

(4.140)Capacitateacaloricaeste:Cp= Cv=UT= NkB( h)2eh(eh1)2(4.141)PROBLEMA4.30 Candoparticulacuspinul12esteplasatancampul magnetic B, nivelul energetic al acestuia se despican doua niveleBsi B,undeestemomentulmagneticalparticuleirespective.SepresupunecaunastfeldesistemcareconstadinNparticuleestement inutntr-uncampmagneticBlatemperaturaT. Sasegaseasc aenergiaintern a,entropia sicapacitateacaloricaasistemului.SOLUTIEFunct iadepartit iepentruoparticulaeste:Zi= eB+ eB= 2ch

BkBT

(4.142)Deoarece spinii particulelor sunt independent i funct ia de partit ie esteegalacuputereaaN-aafunct ieidepartit iepentruosinguraparticula.AtunciZ= ZNi= 2Nch

BkBT

N(4.143)CAPITOLUL4. FIZICASTATISTICA 208Energialiberaeste:F= NkBT ln2ch

BkBT

(4.144)iarentropiasistemuluieste:S=

FT

= NkB ln2ch

BkBT

BNTth

BkBT

(4.145)Energiainternaasistemuluieste:U= F+ TS= NBth

BkBT

(4.146)PROBLEMA4.31 Sa se arate ca densitatea de polarizare Pa unuigaz constand din Nmolecule biatomice ce au un moment dipolar p, estedatade:P=NVcth

pEkBT

kBTpE

p (4.147)undeV estevolumul gazului, iarEesteintensitateacampului electric.SasedemonstrezecadacapE RSOLUTIESeconsideraunconturcircularcucentrul peaxacilindrului ntr-unplanparalel cuplacilecondensatorului. Aplicandlegealui Amp`ereseobt ine:

C

Bd

l = 00 S

Etd

S (5.122)a)Dacar < Rrezulta:B=1200rdEdt(5.123)DeoareceE=q0A=q00A sin tCAPITOLUL5. CAMPULELECTROMAGNETIC 247undeA = R2esteariaarmaturilorcondensatorului,atunci:dEdt=q00A cos t (5.124)Atuncirelat ia5.123devine:B=0rq02R2cos t (5.125)a)Dacar > Rdinrelat ia5.122seobt ine:B=00R22rdEdt(5.126)Astfelt in andcontderelat ia5.124rezulta:B=0q0 cos t2r(5.127)Bibliografie[1] V. V. Batygin, I. N. Toptygin ProblemsinElectrodynamics , Aca-demicPress,LondonandNewYork,1964[2] CorneliaMotocFizica,EdituraAll.Bucuresti1994[3] IonM. Popescu Fizica, Editura didacticasi Pedagogic a, Bu-curesti,1982[4] IonM. Popescu, GabrielaCone, GheorgheStanciuProblemere-zolvatedezica,Edituradidactica siPedagocgica,Bucuresti,1993[5] H. GoldsteinClassical Mechanics, Addison-WesleyPublishingCo.Mass.1980[6] G. L.Kotkin, V. G. SerboCollectionof Problems inClassicalMechanics,PergamonPress,1971[7] L. D. Landau, E. M. LifsitzFizicastatistica, EdituraTehnica,Bucuresti1998[8] RyogoKuboThermodynamics, NorthHollandPublishingCom-pany,Amsterdam,1968[9] Ryogo Kubo Statistical Mechanics , North Holland Publising Com-pany,Amsterdam,1965248