Criterii de Cedare Utilizate Pentru Pamanturi

ŞCOALA DOCTORALĂ - UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI

Criterii de cedare utilizate pentru

pământuri Modele de calcul în ingineria geotehnică

Stare

posibilă

S2 S2

S1S3

S3

Stare

imposibilă

Intersecția cu linia

stării critice

Suprafața Roscoe

Suprafața Hvorslev

Echilibru limită

C4

O4

A4

B4

q/pe

p/pe

- s2

- s1

- s3

Îndrumător ştiinţific: Doctorand:

prof. dr. ing. Anton CHIRICĂ ing. ANGHEL Alexandra

Criterii de cedare utilizate pentru pământuri ing. Anghel Alexandra

Cuprins Pagina 1 din 21

CUPRINS

Cuprinsul figurilor ..................................................................................................................... 2

1 Introducere ......................................................................................................................... 3

2 Criteriul de cedare Mohr – Coulomb ................................................................................. 4

2.1 Reprezentări grafice .................................................................................................... 4

2.2 Drum de efort .............................................................................................................. 6

3 Criteriul de cedare Drucker - Prager .................................................................................. 8

4 Criteriul de cedare Cam – Clay ........................................................................................ 10

4.1 Modelul Cam – Clay Original ................................................................................... 10

4.2 Modelul Cam – Clay Modificat ................................................................................ 13

5 Modelul de cedare Barcelona Basic (BBM) .................................................................... 15

5.1 Formularea criteriului. Efectul efortului net şi al sucţiunii ....................................... 16

5.2 Comportamentul elastic în cazul modelului BBM .................................................... 17

5.3 Comportamentul plastic în cazul modelului BBM .................................................... 18

5.4 Parametrii ce afectează curba Încărcare - Colapsibilitate ......................................... 18

6 Concluzii .......................................................................................................................... 20

Bibliografie .............................................................................................................................. 21


Cuprinsul Figurilor Pagina 2 din 21

CUPRINSUL FIGURILOR

Figură 2.1: Reprezentarea 2D a dreptei Mohr – Coulomb în coordonate (s, ) ........................ 4

Figură 2.2:Reprezentarea grafică - 3D a criteriului Mohr – Coulomb în sistemul de

coordonate (s1, s2, s3) ............................................................................................................... 5

Figură 2.3: Reprezentarea grafică - 2D a criteriului de cedare Mohr – Coulomb în sistemul de

coordonate (s1, s2) ..................................................................................................................... 5

Figură 2.4: Reprezentarea dreptei Kf ......................................................................................... 6

Figură 2.5: Reprezentarea criteriului de cedare plastică Mohr – Coulomb ............................... 7

Figură 3.1: Suprafaţa de cedare Drucker – Prager este circumscrisă suprafeţei Mohr –

Coulomb ..................................................................................................................................... 8

Figură 3.2: Suprafaţa Drucker – Prager este înscrisă suprafeţei Mohr - Coulomb .................... 9

Figură 4.1: Suprafeţele de cedare în sistemul de coordonate (p, q, ) descrise de forfecarea a

trei probe .................................................................................................................................. 10

Figură 4.2: Reprezentarea suprafeţei de cedare a modelului Cam – Clay în planul (p, q) ...... 11

Figură 4.3: Teoria stării critice pentru cazul forfecării ............................................................ 11

Figură 4.4: Rezultatele încercărilor: a)de compresiune în edometru şi b) de compresiune în

triaxial ...................................................................................................................................... 12

Figură 4.5: Suprafaţa stării critice reprezentată în sistemul de coordonate (p, q, ) ............... 14

Figură 4.6: Reprezentarea (C.S.L.) pentru delimitarea zonei critice în coordonate relative

(p/pe, q/pe) ................................................................................................................................. 14

Figură 5.1: Linia normală de consolidare izotropă funcţie de sucţiune în coordonate (e,

ln(p)) ........................................................................................................................................ 15

Figură 5.2: Linia normală de consolidare reprezentată în coordonate (e, ln(s)) ...................... 15

Figură 5.3: Conturul zonei elastice conform modelului Barcelona Basic ............................... 17


Pagina 3 din 21

1 INTRODUCERE

Pământul este un material mai complex cu o comportare non-liniară şi care adesea sub

acţiunea unei încărcari prezintă un comportament anizotropic şi dependent de timp. În

principiu comportamentul acestuia depinde de starile de încărcare, descărcare şi reîncărcare.

În momentul cedării prezintă un comportament non-liniar în care efortul este depentent de

rigiditate; prezintă deformaţii plastice şi dilatanţă eterogenă. S-a observat că după aplicarea

unei încărcari, respectiv descărcarea ei, pământul prezintă deformaţii remanente. Acest

coportament nu poate fi asumat ca fiind elastic-perfect plastic confom Mohr-Coulomb. Pe de

alta parte modelul de cedare Mohr-Coulomb are suficiente avantaje care îl fac favorabil.

Suplimentar la reprezentarea comportamentului pământului sub acţiunea încărcărilor

intervine reprezentarea tridimensională a stării de cedare, ceea ce complică lucrurile şi mai

mult. De-a lungul timpului au fost formulate mai multe criterii de cedare care să explice

condiţiile în care se produce cedarea materialului sub acţiunea unei încărcări. Dintre acestea

sunt criterii de cedare care folosesc doi sau mai multi parametrii de material.

Au fost propuse numeroase modele care să reprezinte starea de eforturi – deformaţii,

respectiv starea de cedare. Fiecare dintre modele prezintă avantaje şi limitări funcţie de

domeniul de aplicare. În 1985 Chen a propus trei criterii de evaluare a modelelor matematice

folosite. Primul dintre aceste este evaluarea teoretică a modelului, ce presupune respectarea

principiilor de baza ale mecanicii continue conform cărora trebuie să asigure continuitate,

stabilitate şi unicitate. Următorul criteriu de evaluare este cel experimental, în care datele

experimentale obţinute în urma încercărilor specifice să fie potrivite pentru modelul ales,

astfel încât să se poată detremina parametrii de material în urma încercărilor standard.

Ultimul criteriu este evaluarea numerică si computaţională a modelului, referitoare la usurinţa

de implementare a acestuia.

În general, se recomandă ca modelului de cedare a pământului ales să fie evaluat astfel încât

să existe un echilibru între mecanica continuă, reprezentarea cât mai realistică a

comportamentului pământului observată prin testarea în laborator, respectiv implementarea

cât mai simplistă.


Pagina 4 din 21

2 CRITERIUL DE CEDARE MOHR – COULOMB

Teoria Mohr-Coulomb este un model matematic ce reprezintă răspunsul materialelor casante

sub acţiunea efortului de forfecare cât şi a efortului normal. În general această teorie se aplică

materialelor pentru care rezistenţa la compresiune depăşeşte rezistenţa la forfecare. În cazul

pământurilor acesta reprezintă rezistenţa la forfecare funcţie de efortul efectiv.

Legea de frecare a lui Coulomb este folosită pentru a determina combinaţiile dintre efortul de

forfecare şi efortul normal pentru care se produce ruperea. Cercul lui Mohr este utilizat

pentru determinarea planului principal corespunzător perechii de eforturi pentru care se

produce ruperea şi a unghiului de înclinare a planului.

Se poate observa că un material care cedează ţinând cont de legea de frecare a lui Coulomb

va avea deplasarea produsă în momentul cedării va face un unghi cu linia de cedare egal cu

unghiul de frecare internă al materialului. Ceea ce face să fie determinabilă rezistenţa

materialului comparând lucrul mecanic exterior produs de deplasare prin actiunea forţelor

exterioare cu lucrul mecanic produs de efortul şi deplasarea de pe linia de cedare. Conform

legii de conservare a enrgiei, suma acestora trebuie sa fie zero, ceea ce face posibilă

determinarea rezistenţa de cedare a materialului.

2.1 Reprezentări grafice

Criteriul de cedare Mohr – Coulomb este reprezentat grafic(2D) de o dreaptă denumită şi

înfăşurătoarea Mohr ce reprezintă toate perechile de valori pentru care masivul cedează.

Dreapta este obţinută prin reprezentarea pe ordonată a efortului de forfecare şi pe abscisă a

efortului normal aplicat. Ecuaţia dreptei este dată de relaţia:

tan c (2.1)

În care,

– efortul de forfecare;

– efortul normal aplicat;

– unghiul de frecare internă, reprezintă unghiul făcut de dreaptă cu orizontala;

c – coeziunea, reprezintă intersecţia dreptei cu ordonata.

s3

c

f

sf

s

Dreapta intrinsecă

Mohr-Coulomb

= s·tgf +c

f

s1

Figură 2.1: Reprezentarea 2D a dreptei Mohr – Coulomb în coordonate (s, )


Pagina 5 din 21

Reprezentarea grafică, 3D, a suprafeţei de cedare Mohr – Coulomb în sistemul de coordonate

(s1, s2, s3) va avea forma unui con cu baza hexagonală. Ecuaţiile suprafeţei au următoarea

formă:

[

] c (2.2)

[

] c (2.3)

[

] c (2.4)

s1s3

s2

- s2

- s1

- s3

Figură 2.2:Reprezentarea grafică - 3D a criteriului Mohr – Coulomb în sistemul de

coordonate (s1, s2, s3)

s1

s3

Rt

Rc

Figură 2.3: Reprezentarea grafică - 2D a criteriului de cedare Mohr – Coulomb în sistemul de

coordonate (s1, s3)


Pagina 6 din 21

2.2 Drum de efort

Revenind la reprezentarea în sistemul de coordonate (s, ), dreapta intrinsecă Coulomb

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor corespunzătoare tensiunilor tangenţiale

maxime aflate pe cercurile limită de tensiuni.

Criteriul de cedare Mohr - Coulomb mai poate fi reprezentat în sistemul de coordonate (s, t)

prin retrasarea dreptei intrinseci astfel:

[

] [

] (2.5)

s3

t=(s3-s1)/2

a s=(s3+s1)/2

Dreapta Kf

t = s·tgb +a

b

c·ctg(f)

45º

T’

b) Reprezentarea criteriului Mohr-Coulomb modificat

T

()

(s)

D.C.

s3

c s

Dreapta intrinsecă

Coulomb

= s·tgf +c

s1

f

c·ctg(f)

T

a) Reprezentarea criteriului Mohr-Coulomb

Figură 2.4: Reprezentarea dreptei Kf

Se va obţine astfel dreapta intrinsecă modificată denumită şi dreapta Kf, ce se defineşte ca

fiind locul geometric al punctelor de efort tangenţial maxim (max) pentru cercurile limită.

Ecuaţia dreptei Kf este dată de relaţia următoare:

(2.6)

în care,

- panta dreptei Kf;

a - tăietura dreptei Kf;

Între parametrii dreptei Kf şi parametrii dreptei Mohr – Coulomb există relaţii de

corespondenţă:

(2.7)

(2.8)


Pagina 7 din 21

fSC=fR

Stare imposibilă

(cedare)

S2≡ Sst

S1

S3 Stare posibilă

(stabilitate)

Stare critică

(Echilibru limită)

s tga=Mc

SSL

S1

S3

Zona

stabilă

Linia stării critice (

C.S.L.)

q

p

q=p·MC

tga’=Mc

Compresiune

Extensie

q=p·Me

Linia K0Zona

instabilă

Zona

instabilă

sII

sIII

sI

SC=s·tg

fSC

I

II

III

a) Criteriul Mohr-Coulomb în sistemul (s, )b) Criteriul Mohr-Coulomb în sistemul (p, q)

Figură 2.5: Reprezentarea criteriului de cedare plastică Mohr – Coulomb

Reprezentarea criteriului de cedare Mohr – Coulomb în coordonate (p, q) conform Figură 2.5

‚q’ este corespondentul lui ‚’, ‚p’ este corespondentul lui ‚s’, iar M al lui ‚tgf’. Având în

vedere că cedare se produce sub f constant, fără variaţii de volum (v=0) dreapta

reprezentată în sistemul de coordonate (p, q) va fii omoloaga dreptei Mohr - Coulomb.

Aceasta se numeşte linia stării critice şi împarte planul (p, q) în două domenii: domeniul de

eforturi posibile (stabilitate) şi domeniul stărilor imposibile (cedare).

Pentru găsirea expresiei coeficientului de compresiune Mc care permite delimitarea zonelor

de stabilitate/cedare se porneşte de la expresia condiţiei de cedare plastică dată de criteriul

Mohr - Coulomb:

(

)

(2.9)

Împărţind relaţia (2.10) la relaţia (2.11) şi utilizănd relaţia (2.9) se va găsi valoarea

coeficientului de compresiune Mc. Conform (2.12) pentru toate perechile de valori (q, p)

raportul (q/p), pentru care probele sunt forfecate prin compresiune datorită deviatorului (q),

după ce au fost consolidate sub tensiunea medie (p), este constant şi egal cu Mc.

(2.10)

(2.11)

(2.12)


Pagina 8 din 21

3 CRITERIUL DE CEDARE DRUCKER - PRAGER

Drucker – Prager este un model de cedare dependent de presiune, folosit pentru a determina

dacă materialul cedează în domeniul plastic sau prezintă deformaţii plastice. Acesta este o

variantă modificată a modelului von Mises, ce consideră că materialul atinge starea limită

atunci când cel de-al doilea invariant al efortului deviator, formulate de Cauchy, J2, depăşeşte

valoarea critică.

Suprafaţa de cedare Drucker – Prager reprezentată grafic 3D, în sistemul de coordonate

format din tensiunile principale, are forma unui con, iar expresia suprafeţei este dată de

relaţia (3.1).

√ A b (3.1)

în care,

– este primul invariant al stării de eforturi.

[

] – al doilea invariant al stării de eforturi din

planul deviatorului.

A şi B – sunt constante ale materialului determinate experimental.

Constantele A şi B se pot exprima funcţie de parametrii rezistenţei la forfecare ai materialului

f şi c. Având în vedere faptul că modelul Drucker – Prager este o versiune modificată a

modelului Mohr – Coulomb, ecuaţiile (3.2) şi (3.3) reprezintă expresiile celor doi parametrii

dacă suprafaţa Drucker – Prager este circumscrisă suprafeţei Mohr – Coulomb (Figură 3.1).

Dacă ne găsim în cazul de faţă însemnă că materialul este supus unei stări de compresiune,

specific pământurilor.

√ ; (3.2)

√ ; (3.3)

- s3

- s2

- s1

Suprafața de cedare

Drucker – Prager


Mohr – Coulomb

Figură 3.1: Suprafaţa de cedare Drucker – Prager este circumscrisă suprafeţei Mohr –

Coulomb


Pagina 9 din 21

Dacă materialul este solicitat la întindere (mai puţin specific pământurilor) suprafaţa de

cedare Drucker – Prager este inscrisă suprafeţei Mohr – Coulomb. În acest caz expresiile

pentru constantele A şi B vor avea următoarele forme:

√ ; (3.4)

√ ; (3.5)

- s3

- s2

- s1


Drucker – Prager


Mohr – Coulomb

Figură 3.2: Suprafaţa Drucker – Prager este înscrisă suprafeţei Mohr - Coulomb


Pagina 10 din 21

4 CRITERIUL DE CEDARE CAM – CLAY

Modelul Cam – Clay a apărut în anii ‘90 şi a fost propus pentru pământurile argiloase normal

consolidate sau supraconsolidate. Există două variante ale modelului una propusă de Roscoe

et al. în 1965 denumit, modelul Cam – Clay Original, iar în 1967 Burland a propus modelul

Cam – Clay Modificat. Versiunea modificată a modelului a fost generalizată pentru starea de

eforturi generală de către Roscoe şi Burland (1968). Este un model specific pământurilor

saturate, caracterizate de principiul efortului efectiv.

4.1 Modelul Cam – Clay Original

Modelul Cam – Clay original sau modelul stării critice presupune că toate pământurile vor

ceda după o suprafaţă unică de cedare în sistemul de coordonate (q, p’, e) delimitată de linia

stării critice. Spre deosebire de modelul Mohr – Coulomb ce defineşte starea de cedare

funcţie de eforturile tangenţiale din masivul de pământ, acest model se bazează atât pe

variaţiile de volum cât şi pe variaţia stării de eforturi.

Astfel, modelul Cam – Clay consideră că pământul cedează pentru o anumită stare de

tensiuni, dar şi pentru o anumită stare de îndesare caracterizată de indicele porilor. Deci, la

aceeasi stare de încărcăre pot exista multe stări de îndesare pentru care pământul să nu

cedeze, dacă porozităţiile se află sub linia critică de cedare.

Pentru a aprecia starea de eforturi a unui masiv de pământ din interiorul semispaţiului aflat la

o anumită adâncime şi supus unei anumite stări iniţiale de eforturi, trebuie să se stabilească

suprafaţa critică de cedare. Suprafaţa critică în planul (p, q) este reprezentată de dreaptă şi de

elipsă.

q’

p’ p’

1

23

1

2

3

B1

B2

B3

A1

A2

A3

A1 A2 A3

B1

B2

B3

Linia de consolidare

normală (LCN)

Proiecția curbei de stare

critică (LSC)

Proiecția curbei de stare

critică (C.S.L.)

Încercări nedrenate pe trei probe normal consolidate

Figură 4.1: Suprafeţele de cedare în sistemul de coordonate (p, q, ) descrise de forfecarea a

trei probe

Conform Figură 4.2 pentru toate combinaţiile de valori (p, q) aflate în zona posibilă pământul

are un răspuns elastic (punctul S1). Toate perechile de eforturi aflate deasupra suprafeţei

iniţiale de curgere se găsesc în zona de comportare plastică a materialului (punctul S3).

Punctele aflate pe suprafaţa iniţială de cedare semnifică începerea fenomenului de rupere

caracterizat de valorile de vârf ce se continuă cu valorile reziduale.


Pagina 11 din 21

q

p

pc’ p’

Suprafața initială

de curgere

Stare imposibilă

(zona de comportare

plastică)

Linia stării criticeq f=

M c· p

S1

S2

S3

S4

Stare posibilă

(zona de comportare

elastică)

Suprafețe de

curgere cu f=ct

Figură 4.2: Reprezentarea suprafeţei de cedare a modelului Cam – Clay în planul (p, q)

Suprafaţa de cedare reprezentată în sistemul de coordonate (p, q) are următoarea formă,

descrisă de ecuaţia (4.1).

( )

(4.1)

unde,

– presiunea efectivă medie de preconsolidare;

s’

Linia de cedare D.C.

Stare

imposibilă

Stare

posibilă

( )f tanφ

'

1

sc

scsc

s

-=

scφ

uA

Pz -='

zs

Încercarea de forfecare directă

q

p

Linia stării critice

(C.S.L.)

Stare

imposibilă

Stare

posibilă

'f

f

p

M

q

=c

u3

I

3

2p 3

'

3

'

1' -=

=ss

Mc

'

f

f

p

qM =c

Încercarea de forfecare triaxială

()

sc

z

f

s

tan'

f

=

Figură 4.3: Teoria stării critice pentru cazul forfecării


Pagina 12 din 21

a) Încercarea de compresiune în edometru

Linia consolidării

normale (L.C.N.)

e

'

zσStare

posibilă

Stare

imposibilă

q

p’Stare

posibilă

Stare

imposibilă

Linia consolidării

normale (L.C.N.)

Linia decomprimare /

recomprimare

b) Încercarea de compresiune în triaxial

Figură 4.4: Rezultatele încercărilor: a)de compresiune în edometru şi b) de compresiune în

triaxial

Diferenţa esenţială între criteriul de cedare plastică Mohr - Coulomb, exprimat funcţie de

tensiunile medii, şi criteriul Cam - Clay constă în faptul că în primul caz pentru toate

perechile de valori (p,q) care determină punctele S1, situate sub (CSL) pământul ar avea un

răspuns elastic, pe când, în al doilea caz domeniul de poziţionare al punctelor S1 este limitat

de segmentul de elipsă.

Originea sistemului de coordonate (, ln(p)) se consideră pentru o presiune convenţională

medie de consolidare izotropă (p 1,00 kPa), astfel încât ln(1) 0.

În aceste condiţii ecuaţia liniei stării critice în sistemul de coordonate (p, e≡) are următoarea

formă:

(4.2)

(4.3)

Pentru linia de consolidare normală ecuaţia (4.3) are următoarea formă:

(4.4)

în care,

- este indicele porilor sau volumul specific pentru presiunea convenţională

p p’ 100 [kN/m2], egală cu presiunea atmosferică.

Valoarea se poate determina şi analitic:

(

)

(4.5)

în care,

- presiunea medie sub care proba a fost izotropic consolidată;

- presiunea izotropă sub care s-a făcut descărcarea atingând porozitatea corespunzătoare

( ).


Pagina 13 din 21

4.2 Modelul Cam – Clay Modificat

Deoarece modelul iniţial dădea deformaţii prea mari a apărut o variantă modificată a acestuia.

Acest model arată faptul că ideea creşterii nelimitate a rezistenţei la forfecare, prin creşterea

tensiunii normale nu este valabilă.

Domeniul stărilor posibile este limitat, pentru o probă consolidată la presiunea izotropă ‚p0’

de linia stării critice [ ] şi de segmentul de elipsă delimitat de punctele p0 şi MSL,

stările imposibile plasându-se în afara acestui domeniu.

q

p

p0

Urma suprafeței de

curgere F(p, q)=0

Linia stării critice

(C.S.L.)

Stare posibilă

MSL

1

Mc

Modelul Cam – Clay

Modelul Cam – Clay

modificat

Stare imposibilă

Parametrii Hvorslev (g, h) se obţin prin reprezentarea rezultatelor încercărilor de consolidare

în triaxial în coordonate relative şi împărţind la presiunea echivalentă se obţine proiecţia

suprafeţei Hvorslev descrisă de ecuaţia (4.6).

⁄ (

⁄ ) (4.6)

Presiunea echivalentă, pe, este presiunea izotropă sub acţiunea căreia proba din triaxial capătă

aceeaşi porozitate ca proba supusă acţiunii combinate a deviatorului, q, şi a presiunii, p.

Presiunea echivalentă a unei acţiunii (pi, qi) se determină din curba normală de consolidare cu

ajutorul relaţiei (4.7).

[ ] (4.7)

în care,

- este volumul specific sub acţiunea (p, q); - volumul iniţial;

Ţinând cont de relaţiile anterioare pentru coordonatele liniei stării critice rezultă:

[( ) ] (4.8)

în care,

- ecuaţia liniei stării critice;


Pagina 14 din 21

Rezultă ecuaţia suprafeţei Hvorslev astfel:

[ ] (4.9)

S1

Linia de consolidare

normală (N.C.L.)

A1

A2

A3

A4

B1

B2

B3

B4

C1

C2

C3

C4

p

q

=1+e

Suprafața Roscoe

O1

O2

O3

O4

Suprafața Hvorslev

Curba stării critice

(C.S.L.)

Cedare prin

întindere

S2

S3

Figură 4.5: Suprafaţa stării critice reprezentată în sistemul de coordonate (p, q, )

În mod similar suprafaţa Roscoe, delimitează în sistemul de coordonate (p, q) stările posibile

şi imposibile de tensiuni, respectiv zonele de echilibru, de echilibru limită sau de cedare în

spaţiu 3D (Figură 4.5) şi în plan (Figură 4.6)

Stare

posibilă

S2 S2

S1S3

S3

Stare

imposibilă

Intersecția cu linia

stării critice

Suprafața Roscoe

Suprafața Hvorslev

Echilibru limită

C4

O4

A4

B4

q/pe

p/pe

Figură 4.6: Reprezentarea (C.S.L.) pentru delimitarea zonei critice în coordonate relative

(p/pe, q/pe)

În concluzie, starea în care se află un punct din interiorul semiplanului sau din corpul unui

masiv de pământ se poate stabili prin poziţiile punctelor (Si), prin coordonatele sale relative

sau în coordonate normale în sistemul (p, q, ). Astfel, în interiorul domeniului, sub linia

critică, se găsesc valorile pentru care masivul se află în echilibru (S1); deasupra liniei critice

sunt valorile pentru care masivul cedează (S3), iar pe linia critică sunt toate valorile pentru

care masivul se găseşte în starea de echilibru limită (S2).


Pagina 15 din 21

5 MODELUL DE CEDARE BARCELONA BASIC (BBM)

Acest model reprezintă o extensie a modelului Cam – Clay Modificat şi a devenit foarte

popular în aplicaţiile ce folosesc metoda elementului finit pentru pământurile nesaturate.

Pământurile parţial saturate pot fi încărcate mecanic sau hidraulic prin mai multe metode,

adâugându-se chiar mai multe cicluri de încărcare/descărcare.

Modelul a fost propus în 1990 de Alonso et al. pentru studiul comportamentului pământurilor

nesaturate. Este un model de comportare elasto – plastic în care materialul se consideră că are

o comportare izotropică.

După cum am spus modelul este o extensie a modelului Cam – Clay Modificat la care s-a

adăugat efectul sucţiunii asupra rezistenţei la forfecare şi a rezistenţei la compresiune. Dacă

pământul este complet saturat modelul coincide cu varianta de la care s-a plecat. Modelul

foloseşte efortul net ‚s*’ şi sucţiunea ‚s’, ca fiind variabile independente. Reprezentarea

grafică a modelului va fi în sistemul de coordonate (p, q, s).

Linia normală de consolidare (N.C.L.) va fi reprezentată, de asemenea, funcţie de sucţiune. În

urma reprezentărilor grafice în cele două sisteme de coordonate (e, ln(p)) şi (e, ln(s)) se obţin

două pante ale liniei normale de consolidare. În Figură 5.1 se poate observa linia normală de

consolidare reprezentată la o valoare fixă a sucţiunii şi care are panta , iar în Figură 5.2 este

reprezentată N.C.L. ţinând cont de valoarea sucţiunii, având panta s. Presiunea maximă la

care a fost supusă proba la o valoare fixă a sucţiunii se găseşte pe linia de consolidare

normală şi se numeşte presiunea de preconsolidare, pp. Iar sucţiunea maximă la care a fost

supusă proba în trecut se numeşte sucţiunea specifică presiunii de preconsolidare, so.

p

e

pp

eB

eC

eA A

B

C’

N.C.L. pentru s > 0

A’

C

0

k

ppop o

N.C.L. pentru s = 0

(N.C.L.) luând în

considerare sucțiunea

lns

e

s0

eC

eA

si

A

B

C

eB

s

ks

Figură 5.1: Linia normală de consolidare

izotropă funcţie de sucţiune în coordonate

(e, ln(p))

Figură 5.2: Linia normală de consolidare

reprezentată în coordonate (e, ln(s))

În modelul Barcelona Basic panta liniei normale de consolidare, şi presiunea de

preconsolidare, pp, sunt exprimate funcţie de ppo şi o atunci când pământul este saturat

complet.

[

]

(5.1)

- (5.2)

în care,


Pagina 16 din 21

– este presiunea de referinţa;

– indicele de compresiune, adică rigiditatea solului la cea mai mare valoare a sucţiunii;

– factorul de control al creşterii rigidităţii odată cu valoarea sucţiunii.

Se poate observa că pentru cazul pământului saturat valoarea sucţiunii este zero, = o, iar

pp= ppo. Odată cu creşterea valorii sucţiunii indicele de compresibilitate scade, de unde

rezultă că o creştere monotonică a compresibilităţii pământului funcţie de sucţiune este

asociată cu o descreştere a presiunii de preconsolidare. Astfel, reprezentând sucţiunea funcţie

de presiunea de preconsolidare va rezulta curba de Încărcare – Colapsibilitate. (Loading

Collapse). Aceasta este de fapt curba de curgere ce separă domeniul elastic de domeniul

elasto-plastic.

5.1 Formularea criteriului. Efectul efortului net şi al sucţiunii

Se consideră că pământul are un comportament elastic atunci când este încărcat – descărcat

izotropic. Indicele porilor se poate determina conform ecuaţiei (5.3) care este folosită de

modelul Cam-Clay pentru răspunsul elastic al pământului, iar modificările de volum conform

ecuaţiei (5.4).

(5.3)

(5.4)

în care,

– este indicele de încărcare-descărcare, se consideră independent de valoarea sucţiunii;

Pentru primul ciclu de încărcare cu aplicare a sucţiunii, indicele porilor şi modificările de

volum se vor afla astfel:

(5.5)

(5.6)

în care,

– indicele de compresiune plastică ce ia în considerare sucţiunea;

– presiunea atmosferică. Este utilizată în ecuaţia (5.5) pentru a evita problemele de

calcul atunci când se consideră pământul ca fiind saturat.

În Figură 5.2 sucţiunea ajunge în punctul C datorită creşterii umidităţii ceea ce corespunde

unui răspuns elastic al pământului în momentul după descărcare. Această valoare a sucţiunii

este denumită „sucţiunea de descărcare”, iar deformaţia elastică ce ia în considerare sucţiunea

în timpul etapelor de încărcare-descărcare este:

-

(5.7)

Etapele de încărcare-descărcare izotropă cu aplicare a sucţiunii includ doi parametri ce iau in

consideraţie sucţiunea: indicele de încărcare-descărcare, ks, şi indicele de compresibilitate, s.

Sucţiunea specifică presiunii de preconsolidare, so este importantă pentru a determina limita


Pagina 17 din 21

zonei de comportare elastică atunci când sucţiunea creşte. Deci, zona elastică este

determinată de curba de curgere denumită Curba de creştere a sucţiunii (Suction Increase) şi

este reprezentată în sistemul de coordonate (s, p*).

s

p*

ppo

s0

Curba de Încărcare-

Colapsibilitate ( dominant)

Curba de creştere a sucțiunii

(s dominant)

k - factorul

de influență

ks

- fa

ctoru

l

de influență

Zona de

comportare

elastică

Figură 5.3: Conturul zonei elastice conform modelului Barcelona Basic

Pentru cazul general de încărcare-descărcare izotropă modificarea indicelui porilor raportată

la efortul net şi sucţiune, este pur elastică. Implicit şi modificările de volum, după cum

urmează:

(5.8)

(5.9)

în care,

, iar

Deformaţia volumică totală şi componenta ei plastică, pentru cazul general de încărcare

iniţială cu aplicarea efortului şi a sucţiunii au următoarea formulare:

(5.10)

( )

( )

(5.11)

în care,

şi

5.2 Comportamentul elastic în cazul modelului BBM

Contribuţia efortului net asupra curbei de încărcare – descărcare, dar şi ţinând cont de efectul

sucţiunii, este arătată de ecuaţia :

(

) (5.12)

în care,


Pagina 18 din 21

– viteza principală de deformaţie elastică;

- efortul net principal;

pentru j = 1, 2, 3;

;

– reprezintă contribuţia sucţiunii asupra vitezei de deformaţie la încărcare –

descărcare (uscare – umezire);

5.3 Comportamentul plastic în cazul modelului BBM

Pentru formularea deformaţiei plastice trebuie să se ia în considerare funcţia de curgere, dar

şi potenţialul plastic. Pentru modelul de faţă sunt folosite două funcţii de curgere, una este

denumită curba de Încărcare – Colapsibilitate şi reprezintă compresiunea plastică datorată

creşterii efortului p* sau q, dau prin scăderea valorii sucţiunii. Forma generalizată a funcţiei

este:

( ) ( ) (5.13)

în care,

M – este panta liniei stării critice;

– reflectă extensia suprafeţei de curgere pe zona de tensiune cauzată de coeziunea

aparentă;

– este o constantă direct proporţională cu sucţiunea; în care este unghiul de

frecare internă, iar este unghiul de frecare internă ţinând cont de sucţiune.

Ideea modelului BB este că rezistenţa la forfecare creşte liniar cu sucţiunea, ceea ce înseamnă

că aceasta tinde către valori mari dacă sucţiunea tinde către valori mari. Rezultă că pentru

valori ale sucţiunii care tind către zero modelul se reduce la Cam-Clay Modificat. Comparativ

cu acesta modelul BB are o lege non-asociată de flux pentru f1, aceasta fiind definită astfel:

(5.14)

în care,

– reprezintă viteza de deformaţie plastică asociată curgerii în cazul curbei de Încărcare

– Colapsibilitate;

– este un coeficient de multiplicare plastică;

– este funcţia de potenţial plastică, fiind utilizată în conjuncţie cu funcţia f1.

( ) ( ) (5.15)

5.4 Parametrii ce afectează curba Încărcare - Colapsibilitate

Parametrul b cuprins între valorile 0.01 – 0.03kPa-1

, arată rata de creştere a presiunii de

consolidare cu sucţiunea. Forma curbei de curgere este influenţată de parametrul ∞. Raportul

∞/ o este cuprins între 0.2 – 0.7, iar pentru orice variaţie a lui ∞ se poate observa

modificările ale curbei de răspuns elastic. Această parte de răspuns elastic al materialului este


Pagina 19 din 21

de asemenea influenţată de presiunea de referinţă, pc. Acest parametru este folosit în raport cu

ppo, astfel încât pentru valori mai mari decât 1 ale raportului ppo/pc, presiunea de

preconsolidare creşte cu sucţiunea. Dacă valoarea raportului devine 0, curba este o linie

dreaptă, ceea ce însemnă că presiunea de presocnsolidare nu mai este înfluenţată de sucţiune.

Pentru valori mai mici decât 1 ale raportului presiunea de preconsolidare descreşte cu

sucţiunea.


Pagina 20 din 21

6 CONCLUZII

Modele de cedare descrise în lucrarea de faţă au fiecare avantaje, dezavantaje, dar mai ales

limitări. Important este ca modelul ales sa stimuleze cât mai bine comportamentul real al

pământului. De aceea este important ca înaintea alegeri unui model de cedare să se

În cazul modelului de cedare Mohr- Coulomb lucrurile sunt mai simple, deoarece foloseşte

doi parametri de bază caracteristici pământurilor, şi anume, unghiul de frecare internă f şi

coeziunea c.

Pentru cele modelel de cedare lucrurile sunt mai complexe, deoarece acestea au nevoie de

date obţinute din încercări experimentale.

Natura terenului, nivelul apei subterane, indici fizici, condiţiile climatice, sunt factori

importanţi ce trebuiesc luaţi în considerare la alegerea unui model de calcul.


Bibliografie Pagina 21 din 21

BIBLIOGRAFIE

[1]Abed, A.– Numerical modeling of Expansive Soil Behavior, Institut fur Geotechnik der

Universitat Stuttgart, Stuttgart, Germania, 2008

[2] Alonso EE, Gens A, Josa A. – A constitutive model for partially saturated soil,

Géotechnique 1990;40(3):405–30.

[3] Charles, W.W.Ng, Menzies, B. – Advanced unsaturated soil mechanics and

engineering, Taylor & Francis Group, London, 2007

[4] Cela, L.J.J., - Analysis of reinforced concret structures subjected to dynamic loads with

viscoplastic Drucker – Prager model, Applied Mathematical Modelling 22 (1998) 495±515

[5] Manjriker, G. – The Foundation Engineering Handbook, Taylor & Francis Group,

London, 2006

[6] Fredlund, D.G., Rahardjo H. – Soil mechanics for unsaturated soils, John Wiley & Sons,

Inc., USA, 1993

[7] Lu, N., Likos, W.J. – Unsaturated Soil Mechanics, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey,

Copyright 2004

[8] Pedroso, D.M, Farias, M.M., - Extended Barcelona Basic Model for soil under cyclic

loadings, Computers and Geotechnics 38 (2011) 731-740,

[9] Schanz, T. – Teoretical and numerical unsaturated soil mechanics, Springer, Verlag

Berlin Heidelberg, 2007

[10] Stanciu, A., Lungu, I. – Fu daţii – Fizica şi meca ica pămâ tu ui, Editura Tehnică,

Bucureşti, 2006

[11] http://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%E2%80%93Coulomb_theory

[12] http://en.wikipedia.org/wiki/Drucker%E2%80%93Prager_yield_criterion

[13] http://en.wikipedia.org/wiki/Cam-clay_yield_surface

http://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%E2%80%93Coulomb_theory

http://en.wikipedia.org/wiki/Drucker%E2%80%93Prager_yield_criterion

http://en.wikipedia.org/wiki/Cam-clay_yield_surface

Documents

Criterii de Cedare Utilizate Pentru Pamanturi