CURS 1

1.5. Grupuri punctuale (clase de simetrie)

Un loc important în caracterizarea cristalografică a unui cristal îl ocupă grupurile cristalografice – grupurile punctuale, în cazul figurilor finite (formele exterioare ale cristalelor) şi grupurile spaţiale, în cazul figurilor infinite (structura reticulară).

Un cristal poate avea mai multe elemente de simetrie. Posibilităţile de existenţă simultană a elementelor de simetrie sunt limitate numai la acelea compatibile cu simetria de reţea.

Totalitatea elementelor de simetrie ale unui cristal, constituie formula de simetrie a cristalului respectiv.

Pentru deducerea posibilităţilor de combinare a elementelor de simetrie ale unui cristal şi, implicit, a formulei sale de simetrie, trebuie respectate următoarele reguli:

1. Axele de simetrie (în general A2) perpendiculare pe o axă de

ordinul „n” formează între ele ;

2. Planele de simetrie care se intersectează după o axă de ordinul

„n” formează între ele

3. Existenţa a două elemente de simetrie simple din care cel puţin unul este de ordin par implică existenţa celui de-al treilea element; se

întâlnesc astfel 3 cazuri: sau sau

;

4. Existenţa a două elemente de simetrie simple din care cel puţin unul este impar exclude posibilitatea existenţei celui de-al treilea element;

se deosebesc două cazuri: sau

5. Existenţa unui plan (în general P2) care conţine o axă de ordinul „n” implică existenţa a n plane (P2) la intersecţia cărora se află axa de

ordinul „n” ( ).

6. Existenţa unui axe (în general A2) perpendiculare pe o axă de

ordinul „n” implică existenţa a n axe perpendiculare (

).7. Cu axele de simetrie principale unice (A3, A4, A6) se pot asocia,

pe lângă planele perpendiculare (P3, P4, P6) numai elemente de ordinul 2 (axe şi/sau plane).

Regulile de mai sus sunt variabile şi se aplică şi în cazul axelor de

inversiune. În acest caz însă se iau în consideraţie elementele simple echivalente.

Conform acestor reguli s-a demonstrat că în cazul cristalelor nu sunt posibile decât 32 formule de simetrie, care corespund la 32 grupuri punctuale (clase de simetrie).

Un grup punctual cuprinde toate cristalele cu aceeaşi formulă de simetrie.

Deducerea grupurilor punctuale se face plecând de la axele de simetrie simple cărora li se adaugă, pe rând, celelalte elemente de simetrie: plan perpendicular, plane paralele, axe de ordinul doi perpendiculare, şi ultimul caz, atât plan perpendicular, cât şi plane paralele. În cazul în care se iau în consideraţie şi axele de inversiune, se obţin 7 tipuri de grupuri punctuale:

- grupuri primitive, simbolizate în sistemul internaţional prin X;- grupuri primitive de inversiune, simbolizate în sistemul

internaţional prin ;

- grupuri centrate, simbolizate în sistemul internaţional prin ;

- grupuri planare, simbolizate în sistemul internaţional prin X m;- grupuri planare de inversiune, simbolizate în sistemul

internaţional prin m;- grupuri axiale, simbolizate în sistemul internaţional prin X 2;- grupuri plan – axiale, simbolizate în sistemul internaţional prin

m.

În sistemul internaţional al grupurilor punctuale se menţionează numai elementele care conduc la apariţia simetriei, şi anume planele sau axele.

Astfel, o prismă cu baza pătrat are formula de simetrie

sau, iar în sistemul internaţional . În prima poziţie

se menţionează axa principală (A4), corespunzător axei cristalografice Z, în poziţia a doua sunt menţionate cele două axe de ordinul doi (2A2) corespunzătoare axelor cristalografice X şi Y, iar în poziţia a treia axele de ordinul doi (2A2) diagonale (la 45º).

În mod convenţional, cifra 3 din poziţia a doua din simbolul internaţional al unui grup punctual indică existenţa a patru axe de ordinul 3. În cazul în care cifra 3 ocupă prima poziţie, indică existenţa unei singure axe principale de ordinul 3.

În paralel cu notaţia internaţională a grupurilor punctuale se mai foloseşte notaţia Schnöflies, utilizată mai ales în notarea formulelor grupurilor spaţiale în cazul structurilor. Principalele tipuri de grupuri, în

această notaţie, sunt:- grupurile ciclice – simbolizate prin litera C şi- grupurile diedrice – simbolizate prin litera D. Grupurile ciclice conţin o singură axă de simetrie, de cele mai

multe ori în poziţie verticală (corespunzătoare axei cristalografice Z), iar grupurile diedrice conţin, pe lângă axa principală, şi axe de ordinul 2 perpendiculare pe aceasta[Macaleţ, 1996]. Literele C sau D prezintă anumiţi indici. Indicii situaţi în partea dreaptă jos, corespund axei de simetrie principale. Grupurile conţinând axele de simetrie corespunzătoare octaedrului (4 3 2) şi tetraedrului (2 3) se simbolizează cu litera O şi, respectiv T, iar grupurile cu axe de inversiune se notează cu litera S. Literele v, h şi d simbolizează planele de simetrie: v - verticale, h – orizontale şi d – diagonal.

Simbolurile Schönflies conţin numai elementele minime necesare deducerii formulei de simetrie, formule determinate pe baza regulilor de asociere a elementelor de simetrie. Astfel, de exemplu, grupul punctual C6h indică un grup ciclic conţinând o axă de simetrie de ordinul 6 (A6) şi un plan orizontal, perpendicular pe el (P6), în consecinţă formula de

simetrie va fi , sau, în notaţia internaţională . De asemenea, un

grup punctual notat D4h, indică un grup diedric. Pe axa principală (A4) există un plan de simetrie perpendicular (P4). Luând în consideraţie axele de ordinul 2 perpendiculare pe axa A4 (4A2, conform regulei 6) şi centrul de simetrie (determinat de regula 3), formula de simetrie corespunzătoare

va fi sau, internaţional [Macaleţ, 1996].

1.6. Sisteme cristalografice

Se poate considera că orice cristal derivă dintr-un paralelipiped oarecare ale cărui muchii sunt egale cu parametrii (perioadele) şirurilor reticulare. Acest paralelipiped se poate raporta la un sistem de referinţă cu trei axe - X. Y şi Z (axele Miller) sau cu patru axe – X. Y, ω şi Z (axele Bravais). Axele de referinţă, numite axe cristalografice, formează între

ele unghiurile , şi ; segmentele delimitate de paralelipiped pe aceste axe se notează cu „a” pentru X, „b” pentru Y, „c” pentru Z, (şi „d” pentru ω), a, b, c (şi d) fiind parametrii paralelipipedului. Punând anumite condiţii unghiurilor şi , pe de o parte şi parametrilor a b şi c, pe de altă parte, rezultă 7 paralelipipede particulare, numite paralelipipede elementare [Macaleţ, 1989].

Formele derivate prin trunchiere, conform legii raporturilor raţionale ale parametrilor, din acelaşi paralelipiped elementar constituie un sistem cristalografic. Există astfel 7 sisteme cristalografice cărora le corespund cele 32 grupuri punctuale.

Forma unui cristal poate fi complet descrisă prin utilizarea indicilor lui Miller şi notaţia Hermann-Mauguin a grupelor de simetrie punctuale.

În figura 28 sunt reprezentate sistemele de referinţă cu 3 şi 4 axe (Miller şi respectiv, Bravais).

Figura 28. Axele de referinţă Miller (a) şi Bravais (b) [Macaleţ, 1989]

CURS 2

Convenţii şi simboluri care caracterizează operaţiile de simetrie

În cazul cristalelor pot avea loc următoarele tipuri de rotaţii: 2π/n în care n = 1, 2, 3, 4 şi 6, alte tipuri de rotaţii sunt excluse. Ca urmare apar următoarele cazuri:

Rotatie 2π/1 2π/2 2π/3 2π/4 2π/5 2π/6

Simbol pentru rotatie 1 2 3 4 5 6

Simbol pentru roto-inversie 1 (2 ≡) m 3 4 5 6

În zona gri s-a introdus şi axa de rotaţie de ordinul 5 cu toate că această operaţie nu este compatibilă cu periodicitatea reţelei, ea putând apărea în molecule sau în alte obiecte neperiodice.

Exerciţii

Un poliedru reprezentat prin formula 222 – are trei axe de simetrie de ordinul 2

perpendiculare una pe cealalată. Acest poliedru revine la forma iniţială prin oricare

din cele trei posibilitţi de rotaţie cu un unghi de 180° (= 2π/2 = π).

- un poliedru conţinând o axă de simetrie de ordinul 6 (A6) şi un plan orizontal,

perpendicular pe el (P6).

Un poliedru reprezentat prin formula - conţine o axa principală de ordinul 4

(corespunzătoare axei cristalografice Z), un plan orizontal perpendicular pe axa de

ordinul 4, 2 axe de ordinul 2 perpendiculare pe axa de ordinul 4 şi 2 axe de ordinul 2

diagonale.

Roto-inversion 1 (2 ≡) m 3 4 5 6

Operaţia de roto-inversiune genereaza inversia cristalului?

     

Operaţia de roto-inversiune genereaza apariţia unui plan de simetrie în oglindă?

       

Inversia unui cristal este generată în mod automat de orice operaţie de roto-inversiune de ordin impar. În legătură cu simetria în oglindă (reflxia) – dacă o operaţie de roto-inversiune de ordin 2 şi 6 generează un plan în oglindă care trebuie să fie următoarea operaţie de rotoinversiune în tabel care să genereze un plan în oglindă perpendicular pe axele de roto-inversiune?

3.3.3. Lista a tuturor grupelor de simterie posibile care pot fi observate în cazul cristalelor

Prin combinarea operaţiilor de simetrie apar grupurile punctuale. Toate combinaţiile ale acestor operaţii de simtrie care au loc în cristale sunt prezentate în tabelul.

Rotatie de ordinul n

1 2 3 4 5 6

Roto-inversiune 1 (2 ≡) m 3 4 5 6

Axa de rotatie de ordinul n şi plane de reflexie paralele cu axele de rotaţie

m 2mm 3m 4mm 5m 6mm

Axa de rotatie n şi axe de rotaţie de ordinul 2 perpendiculare pe aceasta

  222 32 422 52 622

Axa de rotatie de ordinul n şi plan de simetrie de ordinul n perpendicular pe axa de rotaţie de ordinul n

  2/m (3/m ≡ 6) 4/m(5/m ≡ 10) 6/m

Axa de roto-inversiune de ordinul n şi plane paralele la axa de rotaţie de ordinul n

    3m 42m 5m 6m2

Axa de roto-inversiune de ordinul n şi plane perpendiculare şi paralele cu axa de roto-inversiune de ordinul n

  mmm   4/mmm   6/mmm

Cele mai multe dintre grupurile din table se caracterizează prin prezenţa unei singure axe de rotaţie de ordinul n (mai mare sau egal cu 2). Singurele excepţii sunt cele ale grupurilor în care apare doar o operaţie de simetrie (1, 1 and m) sau în care sunt prezente mai multe axe de simetrie de ordinul 2 (222 and mmm).

Din tabelul de mai sus lipseşte o categorie importantă de grupuri. Aceasta se referă la solidele platonice (cub, dodecaedru, icosaedru, octaedru, şi tetraedru).

Solide platonice numite şi solide regulate sau poliedre regulate sunt poliedre convexe cu feţe echivalente compuse din poligoane regulate convexe.

The Platonic solids were known to the ancient Greeks, and were described by Plato in his Timaeus

ca. 350 BC. In this work, Plato equated the tetrahedron with the "element" fire, the cube with earth, the

icosahedron with water, the octahedron with air, and the dodecahedron with the stuff of which the

constellations and heavens were made (Cromwell 1997). Predating Plato, the neolithic people of

Scotland developed the five solids a thousand years earlier. The stone models are kept in the

Ashmolean Museum in Oxford (Atiyah and Sutcliffe 2003).

Toate aceste solide platonice au aceeaşi caracteristică adică toate przintă cel puţin 4 axe de rotaţie de ordinul 3. În cub de exemplu acestea sunt localizate de-a lungul celor patru diagonale care unesc colţurile opuse. Ca urmare se poate completa tabelul de mai sus cu următoarele grupuri. În spaţiul gri se situează grupurile caracteristice simetriei de ordinul 5 care nu apar în cristalele convenţionale.

Familia cubică 23 m3 432 43m m3m

Familia icosaedrică 235 m 3 5      

Simbolurile din tabele se numesc simboluri internaţionale sau simboluri Hermann Mauguin acestea nu sunt singurile simboluri utilizate în descrierea grupurilor punctuale. Cele mai uzuale simboluri utilizate în chimie pentru a descrie simetria moleculelor se numesc simboluri Schoenflies.

Reguli referitoare la simbolurile care caracterizează grupurile punctuale

O singură axă de ordinul 2,3,4 sau 6 ocupă de regulă prima poziţie în simbolul unui grup punctual. Trei axe de rotaţie de ordinal 2 perpendiculare un ape cealaltă reprezintă un caz particular.

Dacă în plus există şi alte operaţii de simetrie perpendiculare cu axa de simetrie principală, ele ocupă locul al doilea sau chiar al treilea daca este necesar.

Dacă două tipuri de operaţii de simetrie sunt paralele cu aceeaşi direcţie ele se separă prin semnul “/”. 2/m de exemplu înseamnă că există o axă de rotaţie de ordinal doi şi un plan de reflexie parallel cu axa de rotaţie de odinul 2.

Pentru grupurile de simetrie ale poliedrelor platonice şi derivaţi ai acestora întâi se înscrie poliedrul într-un cub. Cele trei poziţii ale simbolurilor reprezintă direcţiile axelor de rotaţie, a doua poziţie este diagonalele care unesc vârfurile diametral opuse, iar în a treia poziţie se menţionează diagonalele feţelor

Exercise 3.7

Show how the octahedron and the tetrahedron can be inscribed in a cube

Simbolurile de mai sus reprezintă operaţii ale grupurilor specifice. Cu alte cuvinte fiecare grup conţine un număr finit de operaţii şi trebuie stabilite fiecare din operaţiile care sunt reprezentative pentru grupul respectiv. Numărul de elemente conţinute în grup se numeşte ordinul grupului.

Tabelul 1. Poziţia în formula grupurilor punctuale a elementelor de simetrie[Macaleţ, 1996]

SINGONIAPoziţia în formulă

I II IITRICLINICA Se foloseşte doar un singur

simbol care corespunde oricărei direcţii din cristal

MONOCLINICA O axă A2 sau normala la plan (P2), paralelă cu Y

ROMBICA Câte o axă A2 sau normale la P2 paralelă cu X Y Z

TETRAGONALA HEXAGONALA

Axa principală de simetrie, corespunde lui Z (A4, A3, A6)

Axe A2 sau normale la plane (P2) dupădirecţiile axelor cristalografice

direcţiile diagonale

CUBICA Elementele de simetrie corespunzătoare axelor cristalografice (3 A4, 3

Axele de ordinul 3(4 A3)

Elementele de simetrie diagonale (6 A2 şi/sau 6 P2)

sau 3A2)

În funcţie de tipul elementelor de simetrie prezente în cadrul unui cristal, toate cristalele se împart în 32 de grupe distincte numite clase de simetrie.

Sistemele cristalografice se clasifică în funcţie de criteriul simetriei caracteristice şi în functie de combinaţiile elementelor de simetrie în:

Categoria inferioară care conţine trei elemente şi este reprezentată de:

- sistemul triclinic, fără axe sau plane de simetrie;- sistemul monoclinic, cu o axă de simetrie de ordinul 2, un plan

de simetrie, sau atât cu o axă cât şi cu plan de simetrie;- sistemul rombic, cu mai multe elemente de ordinul 2 – axe sau

plane. Categoria medie cuprinde trei sisteme cristalografice şi este

reprezentată de:- sistemul trigonal, cu o axă de simetrie principală unică – A3 sau

;- sistemul tetragonal, cu o axă de simetrie principală unică - A4

sau ;

- sistemul hexagonal, cu o axă principală unică – A6 sau [Macaleţ, 1996].

Categoria superioară cuprinde un singur sistem – sistemul cubic – caracterizat prin existenţa a patru axe de simetrie de ordinul 3 (4A3) [Macaleţ, 1989].

În situaţiile în care este posibil, alegerea axelor cristalografice se face după axele de simetrie sau după normalele la planele de simetrie. În cazul în care nu există elemente de simetrie corespunzătoare – axe sau plane, situaţie care se întâlneşte de exemplu în cazul sistemelor triclinic şi monoclinic, axele cristalografice se aleg după muchiile paralelipipedului elementar (după şirurile reţelei cristaline).

Ţindu-se cont doar de simetria cristalelor se obţin doar şase relaţii posibile între unghiuri şi parametri, respectiv şase singonii.

Cristalele aparţinând singoniilor triclinică, monoclinică, rombică, tetragonală şi cubică se raportează la un sistem de referinţă cu trei axe cristalografice (axele Miller), iar cristalele aparţinând singoniei hexagonale la un sistem de referinţă cu patru axe (axele Bravais).

Noţiunea de singonie coincide cu noţiunea de sistem cristalografic pentru toate sistemele, exceptând cazul sistemelor trigonal şi hexagonal

care aparţin unei singure singonii – singonia hexagonală. Sistemul trigonal este considerat un sistem separat deoarece cristalele rezultă prin trunchierea unui paralelipiped particular – romboedrul – care se poate raporta şi la un sistem de referinţă cu trei axe, (X, Y şi Z), alese independent de elementele de simetrie, paralele cu muchiile romboedrului elementar[Macaleţ, 1989].

Principalele sisteme cristalografice sunt:- sistemul triclinic;- sistemul monoclinic;- sistemul rombic;- sistemul tetragonal;- sistemul cubic;- sistemul trigonal;- sistemul hexagonal.

1.6.1. Sistemul triclinic

Paralelipipedul elementar este o formă pinacoidală (delimitată de trei feluri de feţe paralele şi egale două câte două) cu constantele cristalografice:

- are doar centru de simetrie - formula de simetrie este C sau (în notaţia internaţională); axele cristalografice se aleg paralel cu trei muchii concurente într-un colţ, în aşa fel încât a < b < c (figura 29). Conţine două grupuri punctuale: primitiv (asimetric) – A1 şi primitiv de inversiune (Ai

1).

Figura 29. Poliedrul caracteristic sistemului triclinic [Macaleţ, 1989]

Formele sistemului triclinic sunt acele forme care conţin cel mai redus număr de elemente de simetrie. Ele au doar centru de simetrie din această cauză sistemul triclinic se mai numeşte asimetric.

Formele simple ale sistemului triclinic sunt reprezentate de

elemente din clasa holoedrică (acea clasă care conţine formele cristalografice care se obţin prin modificarea tuturor elementelor geometrice – colţuri sau muchii – de acelaşi fel) cum ar fi de exemplu pinacoizii triclinici (pinax = masă, tablă; eidos = figură, infăţişare) este o formă simplă deschisă centrată constituită din 2 feţe echivalente, paralele simetrice în raport cu un centru de simetrie) cu diverse poziţii: bazali, laterali, transversali, şi din clasa asimetrică de pedioni (de diverse poziţii (pedionul (pedion = şes, câmpie, plan) este o formă simplă deschisă constituită dintr-o singură faţă care nu se mai repetă în cristal)).

a) b) c)

Figura 31. Pinacoizi: a) bazal; b) lateral; c) verticali [Popa, 1965]

Figura 32. Pedioni: a) bazal superior; b) bazal inferior; c) lateral [Popa, 1965]

Formele compuse ale sistemului triclinic sunt reprezentate de pinacoid bazal + pinacoid vertical + pinacoid lateral (figurile 33a, b, c).

a) b) c)Figura 33. a) Pinacoid bazal + vertical + lateral; b) Pinacoid bazal + vertical +

lateral; c) maclă polisintetică [Popa, 1965]

Exemple de minerale care cristalizează în sistemul triclinic:- distenul – silicat de aluminiu (nezosilicat) Al2[SiO4]O - rodonitul - silicat de mangan (MnSiO3)- albit - silicat de aluminiu şi sodiu (Na[Si3AlO8)- anortit - aluminosilicat de calciu (Ca[Si2Al2O8])

1.6.2. Sistemul monoclinic

Forma fundamentală a acestui sistem este prisma monoclinică sau prisma rombică cu baza înclinată (clinorombică).

Cristalele care aparţin sistemului monoclinic prezintă trei axe cristalografice neegale. Axele cristalografice X şi Y sunt înclinate una faţă de cealaltă cu un unghi oblic, iar axele Z sunt perpendiculare pe axele X şi Y. Axele cristalografice Y se mai numesc şi axe „orto”. Axa X se numeşte „clino” (clinodiagonală) [Macaleţ, 1996].

Constantele cristalografice caracteristice acestui sistem sunt:

α = β = 90º; γ > 90º

a) b) c)Figura 34. a) suprafaţa desfăşurată a unui sistem monoclinic, b) unitatea

elementară şi c) axele cristalografice ale sistemului monoclinic

Elementele geometrice caracteristice prismei monoclinice sunt:- 6 feţe (2 bazale rombice de pinacoid + 4 laterale paralelograme de prismă);- 12 muchii (8 bazale egale + 4 laterale egale);- 8 colţuri (4 ascuţite + 4 obtuze).

Elementele de simetrie sunt: - o axă (A2)- 1 plan (P)- 1 centru (C); în consecinţă formula de simetrie este A2PC.

CURS 3

Formele simple ale sistemului monoclinic sunt:- pinacoizii bazali, laterali, - domele (din greacă domos = acoperiş) este acea formă simplă

deschisă formată din 2 feţe echivalente care se întretaie după o muchie, fiind simetrice faţă de un plan): verticală, oblică.

a) b) c) d)

Figura 35. a) Pinacoid bazal, b) pinacoid lateral, c) domă verticală, d) domă oblică [Popa, 1965]

Prin modificări făcute asupra muchiilor şi colţurilor prismei monoclinice se obţin diferite forme derivate simple şi compuse. Principalele forme derivate simple sunt:

- bipiramida monoclinică, - ortopinacoidul, - clinopinacoidul, - clinodomul, - hemiortodomul.

Bipiramida monoclinică se obţine prin înlocuirea muchiilor bazale ale prismei cu câte o faţă triunghiulară.

Figura 37. Bipiramidă monoclinică [Popa, 1965]

Ortopinacoidul - înlocuirea muchiilor laterale care se opun unghiurilor ascuţite cu câte o faţă. Deoarece feţele sunt paralele ortodiagonalei forma care se obţine se numeşte pinacoid.

Clinopinacoidul - înlocuirea muchiilor laterale care se opun

unghiurilor obtuze cu câte o faţă dreptunghiulară. Denumirea acestuia provine de la faptul că feţele sunt paralele cu clinodiagonala (axa X).

Clinodomul - înlocuirea colţurilor obtuze de la capetele ortodiagonalei cu câte o faţă triunghiulară.

Hemiortodomul - modificări făcute pe colţurile clinodiagonalei. Hemiortodomul este alcătuit dintr-o faţă sus şi alta jos. Deoarece colţurile nu sunt egale nu se obţine un dom întreg.

Formele compuse derivate de la prisma monoclinică sunt: - prismă verticală cu pinacoid lateral, - pinacoid bazal cu pinacoid lateral, - pinacoizi laterali + prismă verticală.

a) b) c)Figura 36. a) Prismă verticală cu pinacoid lateral; b) pinacoid bazal cu

pinacoid lateral; c) pinacoizi laterali + prismă verticală [Popa, 1965]

Cele mai importante minerale care cristalizează în sistemul monoclinic sunt: - realgarul - sulfura de arsen (AsS),- auripigmentul - sulfura de arsen (As2S3) - covelina - sulfura de cupru (CuS) - sulful - titanitul - nezosilicat de titaniu şi calciu CaTiSiO5 - gipsul - sulfatul de calciu hidratat (CaSO4

.2H2O) - muscovitul - hidroxoaluminosilicat de potasiu (KAl2[Si3AlO10]2(OH)2).

1.6.3. Sistemul rombic (ortorombic)

Paralelipipedul elementar este o formă pinacoidală, care satisface condiţiile:

Formula de simetrie este .

Cele trei axe de ordinul doi (neechivalente) se situează pe direcţia axelor X, Y şi Z astfel încât (figura 38). Cele trei axe sunt perpendiculare între ele. Conţine trei grupuri punctuale: 222, 2mm,

Figura 38.Unitatea elementară şi axele de simetrie caracteristice sistemului rombic [Macaleţ, 1989]

Prin modificări făcute pe muchii şi pe colţuri, din forma fundamentală a sistemului rombic se pot obţine două feluri de forme derivate.

Modificările făcute pe muchii conduc la următoarele forme derivate:- bipiramida rombică;- brachipinacoidul;- macropinacoidul;- brachidonul;- macrodomul.

Bipiramida rombică - prin tăierea muchiilor bazale şi înlocuirea lor prin câte o faţă sub formă de triunghi isoscel. Ea prezintă 8 feţe triunghiuri isoscele, 12 muchi, dintre care 4 bazice mai scurte şi 8 laterale mai lungi, 6 colţuri: 4 bazice mai scurte şi 2 mai lungi (figura 39).

Figura 39. Bipiramida rombică

Brachipinacoidul - prin tăierea muchiilor laterale care se opun unghiurilor ascuţite şi prin înlocuirea lor prin câte o faţă dreptunghiulară. Denumirea de brachipinacoid provine de la faptul că feţele merg paralel cu diagonala scurtă a feţei bazale.

Macropinacoidul -prin tăierea muchiilor laterale care se opun unghiurilor obtuze şi prin înlocuirea lor prin câte o faţă dreptunghiulară. Denumirea de macropinacoid provine de la faptul că feţele sunt paralele cu diagonala cea mare a feţei bazale.

a b Figura 40. a) pinacoid lateral; b) pinacoid bazal [Popa, 1965]

Modificările făcute pe colţurile prismei rombice conduc la obţinerea a 2 feluri de forme derivate. Numărul acestora este datorat faptului că prisma rombică prezintă 2 feluri de colţuri.

Prin înlocuirea colţurilor cu câte o faţă triunghiulară se obţin o pereche de feţe cu formă de acoperiş de casă numită domă.

a bFigura 41. a) domă transversală; b) domă longitudinală [Popa, 1965]

Brachidomul este forma derivată simplă a sistemului rombic care se obţine prin înlocuirea colţurilor ascuţite cu câte o faţă triunghiulară, iar macrodomul se obţine prin înlocuirea colţurilor obtuze cu câte o faţă triunghiulară. Cele mai des întâlnite forme compuse derivate de la sistemul rombic sunt:

- pinacoid bazal + pinacoid lateral + prismă + domă (figura 42a);- prismă verticală + dipiramidă (figura 42b);- brachidome (figura 42c);- două piramide (figura 42d).

a) b) c) d)Figura 42. Forme compuse ale sistemului rombic: a) pinacoid bazal + pinacoid

lateral + prismă + domă; b) primă verticală + dipiramidă; c) brachidome; d) două piramide

Forma compusă prezentată în figura 42a este caracteristică:

- staurolitului (hidroxialuminosilicat de fier (Fe2Al9Si4O22(OH)2)), - cea din figura 42b topazului (fluoro(hidroxi)silicat de aluminiu (A12[SiO4](OH,F)2)), - cea din figura 42c baritinei (BaSO4), - iar cea din figura 42d sulfului.

1.6.4. Sistemul tetragonal (pătratic)

În sistemul izometric toate cele 3 axe de simetrie au aceeaşi lungime şi sunt situate la acelaşi unghi unele faţă de celelalte. În sistemul tetragonal există aceeaşi relaţie între unghiuri, dar variază lungimea axelor verticale, permiţând acestora să fie mai scurte sau mai lungi faţă de celelalte două. Această axă verticală se notează cu litera c, ea având semnele + sau - în funcţie de orientarea axelor [Macaleţ, 1996].

Paralelipipedul elementar este prisma tetragonală, care satisface condiţiile:

Formula de simetrie este .

Axa A4 - pe direcţia lui c (axa Z), iar două axe de ordinul doi echivalente (2A2 sau 2A’2) pe direcţia axelor a(x) şi b(y). Există aşadar două posibilităţi (privind axele a şi b) de aşezare a cristalului, rezultând două specii (specia 1-a şi specia 2-a) – figura 43. Conţine şapte grupuri

punctuale: 2 m, 4 2 2 şi

Figura 43. Speciile caracteristice sistemului tetragonal [Macaleţ, 1989]

În cazul prismei tetragonale există 3 forme deschise ale acesteia care se referă la:

- prisma de ordinul 1;- prisma de ordinul 2;

- prisma ditetragonală [Macaleţ, 1996].

Prisma de ordinul 1 este o formă având 4 feţe care sunt paralele axelor c şi fiecare faţă se intersectează cu axele a şi b la aceeaşi distanţă. Axele cristalografice unesc mijloacele muchiilor laterale.

Prisma de ordinul doi este identică cu prisma de ordinul 1. Ea se obţine prin rotirea prismei de ordinul 1 în jurul axei c astfel că feţele în acest caz sunt paralele cu una dintre axele a fiind astfel perpendiculară pe cealaltă axă a.

Al treilea tip de prismă este prisma ditetragonală Ea se poate uşor confunda cu forma care rezultă prin combinarea prismei de ordinul întâi cu prisma de ordinul 2, în special în cazul în care cele două forme se dezvoltă egal.

Figura 45. Prismă ditetragonală

Prisma ditetragonală {210} este asemănătoare cu formele prismelor care se combină.

O altă formă a sistemului tetragonal o reprezintă dipiramida. Există trei tipuri de dipiramide care corespund celor trei tipuri de prisme descrise anterior. Numele dipiramidei provine de la forma apropiată ale cărui plane intersectează toate cele trei axe.

Dipiramida pătratică sau tetragonală derivă de la prisma pătratică prin tăierea muchiilor de la baza prismei sau a colţurilor prismei şi înlocuirea acestora prin câte o faţă sub formă de triunghi isoscel. Dipiramida pătratică de ordinul 1 se obţine din prisma de ordinul 1 (figura 46a), iar din piramida pătratică de ordinul 2 derivă dipiramida pătratică de ordinul al doilea (figura 46b).

a) b)

Figura 46. Dipiramidă pătratică de tip 1 (a) şi 2 (b)

Bisfenoidul este o formă simplă derivată din prisma pătratică obţinută prin suprimarea la prisma pătratică a 2 colţuri sus, 2 jos alternativ şi înlocuirea acestora cu 4 feţe sub formă de triunghiuri isoscele (figura 47). Bisfenoidul mai poate deriva şi de la dipiramida pătratică prin suprimarea a 2 feţe sus, 2 feţe jos în mod alternativ (figura 47).

Figura 47. Bisfenoidul [Popa, 1965]

Formele compuse ale sistemului pătratic sunt:- prismă specia 1 cu dipiramidă specia 1 (situaţie întâlnită în

cazul zirconului – figura 48 [Zhang, 2004]);

Figura 48. Prismă specia 1 + dipiramidă specia 1 (zircon)[Popa, 1965]

- prismă specia 2 cu dipiramidă specia 1 (situaţie întâlnită în cazul zirconului – figura 49);

Figura 49. Prismă specia 2 + dipiramidă specia 1 (zircon) [Popa, 1965]

- prismă specia 1 şi 2 cu dipiramidă specia 1 şi a 2 a (situaţie întâlnită în cazul casiteritului (dioxidul de staniu (SnO2)) – figura 50);

Figura 50. Prismă specia 1 şi specia a 2 a + dipiramidă specia 1 şi specia 2 (casiterit) [Maldener, 2001]

- pinacoid bazal cu prismă specia 1 şi 2 şi dipiramidă specia 1 (în cazul vezuvianului (silicat natural hidratat de calciu si aluminiu) – figura 51).

Figura 51. Pinacoid bazal + prismă specia 1 şi specia 2 + dipiramidă specia 1 (vezuvian)[Popa, 1965]

1.6.5. Sistemul cubic

Paralelipipedul elementar este cubul care respectă următoarele condiţii:

Este sistemul cu simetria cea mai ridicată (izometric).

a) b) c)Figura 52. a) suprafaţa desfăşurată a unui sistem cubic, b) unitatea

elementară şi c) axele cristalografice ale sistemului cubic

Elementele geometrice, de simetrie şi formula de simetrie ale cubului sunt:- elemente geometrice: 6 feţe (pătrate egale) 12 muchii egale

8 colţuri egale- elemente de simetrie: 13 axe (3A4 + 4A3 + 6A2) 9 plane (3π + 6P) 1 centru - formula de simetrie 3A44A36A23π6PC [Macaleţ, 1996].

Planele principale şi secundare de simetrie ale cubului sunt prezentate în figura 53 (a şi b).

a) b)

Figura 53. a) plane principale de simetrie la cub; b) plane secundare de simetrie la cub [Popa, 1965]

Formele derivate simple şi compuse ale cubului se obţin prin modificări aduse diferitelor elemente geometrice. Formele simple sunt formate din acelaşi fel de feţe, iar cele compuse din feţe diferite.

Modificările pot fi făcute atât colţurilor, cât şi muchiilor. Modificările făcute colţurilor cubului conduc la obţinerea de:

- octaedru, - octaedru piramidat (triakisoctaedru), - trigondodecaedru şi - hexakisoactaedrul [Macaleţ, 1996].

Octaedrul se obţine prin înlocuirea celor 8 colţurile ale unui cub cu câte o faţă sub forma unui triunghi echilateral. Octaedrul are 8 feţe egale, triunghiuri echilaterale, 6 colţuri şi 12 muchii egale. Magnetitul şi fluorita cristalizează sub formă octaedrică (figura 54a).

a) b) c) Figura 54. a) octaedru; b) octaedru piramidal; c) trapezoedru

Triakisoctaedrul (octaedrul piramidal) (figura 54b) rezultă prin înlocuirea colţurilor cubului cu 3 feţe triunghiulare. Are forma unui octaedru pe ale cărui feţe se află câte o piramidă cu trei feţe egale, triunghiuri isoscele. În acest caz numărul feţelor este 24. Muchiile triakisoctaedrului sunt de două tipuri: 12 mai lungi caracteristice octaedrului şi 24 mai scurte ale piramidelor. La fel ca şi muchiile şi colţurile sunt de două tipuri: 6 caracteristice octaedrului şi 8 ale piramidelor (figura 54b).

Trapezoedrul se obţine prin tăierea colţurilor cubului şi înlocuirea acestora cu 3 feţe trapezoidale. El prezintă 24 de feţe sub formă de trapez (figura 54c).

Prin înlocuirea celor 8 colţuri ale unui cub cu câte 6 feţe de forma unor triunghiuri scalene (oarecare) se obţine hexakisoctaedrul (figura 55a). Hesakis-octaedrul are 48 de feţe. Sub formă de hexakisoctaedru cristalizează diamantul.