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CRISTALOGRAFÍAPrimer capítulo de curso
FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDOFC UNI
Marzo 2009Lima, Perú
ARTURO TALLEDODoctor en Física
Introducción• Sólidos cristalinos (ordenados) y sólidos
amorfos (desordenados)
• Lo que actualmente se conoce como FES es básicamente la física de los cristales o sólidos cristalinos. La Física de sólidos amorfos se explica en base a los conceptos de la Física de cristales.
• Los cristales son una disposición periódica de átomos en el espacio real tridimensional (longitudes).
CRISTAL = RED + BASE
Un sólido cristalino se puede describir definiendo un conjunto ordenado de puntos y asignando a cada punto un
conjunto de (1,2, 3...n) átomos en posiciones bien definidas
Definición de red cristalina
ntesindependieelinealment
vectoressondonde 321 ,, aaa
1 1 2 2 3 3 1 2 3/ ; , ,RED P P n n n n n n a a a
Conjunto de puntos descrito por tres vectores linealmente independientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3
Vectores Primitivos y celdas primitivas
• Se dice que una terna de vectores L.I es una terna de vectores primitivos si junto con el conjunto Z define dicha red cristalina.
• El paralepípedo definido por la terna primitiva se llama celda primitiva
• La terna primitiva no es única
• Todas las celdas primitivas tienen el mismo volumen
CLASIFICACIÓN DE LAS REDES CRISTALINAS
• Se clasifican por sus propiedades de simetría
• Hay 5 tipos de redes bidimensionales
• Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)
CELDA UNITARIA
• Cada tipo de red cristalina se identifica con una celda convencional o celda unitaria, no necesariamente celda primitiva.
• Los tres vectores l.i. que definen la celda unitaria se llaman ejes cristalinos o vectores convencionales.
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red sc
a
b
c
Ejes cristalinos
a = a ib = a jc = a k
Vectores Primitivos
a1 = a
a2 = b
a3 = c
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bcc
• Ejes cristalinos
• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1 = 1/2 a (i + j - k)
• a2 = 1/2 a (- i + j + k)
• a3 = 1/2 a (i - j + k)
ab
c
a1
a2
a3
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bcc
• Ejes cristalinos
• a = a i
• b = a j
• c = a k
• Vectores Primitivos
• a1 = a’ = 1/2 a (i + j - k)
• a2 = b’ = 1/2 a (- i + j + k)
• a3 = c’ = 1/2 a (i - j + k)
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fcc
• Ejes cristalinos• a = a i• b = a j• c = a k• Vectores Primitivos• a1 = 1/2 a (i + j)• a2 = 1/2 a ( j + k)• a3 = 1/2 a ( k + i)
b
c
aa1
a3
a2
Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fcc
• Ejes cristalinos• a = a i• b = a j• c = a k• Vectores Primitivos• a1 = a’ = 1/2 a (i + j)• a2 = b’ = 1/2 a ( j + k)• a3 = c’ = 1/2 a ( k + i)
Ejercicio
• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red bcc es la mitad del volumen de la correspondiente celda unitaria
• Demostrar que el volumen de una celda primitiva de una red fcc es un cuarto del volumen de la correspondiente celda unitaria
PLANOS CRISTALINOS Un plano cristalino puede ser definido por:
• Tres puntos no colineales de una red cristalina
• los vectores que van de uno de los puntos a los otros dos.
• la normal al plano• En FES se usa una convención especial para
designar a los planos: Los índices de Miller
Índices de Miller
• Desde cualquier punto de la red no contenido en el plano se trazan los ejes cristalinos.
• Se observan las intersecciones del plano con los ejes cristalinos.
• Se invierten los coeficientes
• Se multiplican por el entero que los convierte en la terna de enteros más pequeña, (hkl) , en esa proporción
El entero por el que hay que multiplicar a los interceptos invertidos para obtener los índices de Miller es 1 si se
toma origen en el plano paralelo vecino inmediato
X
y
x
y
a
2 bO
O'
(1/2) a
b
Familias de planos paralelos
• Dado un plano cristalino (hkl) por cualquier punto de la red se puede trazar un plano paralelo.
• Un cristal puede considerarse como la superposición de una familia de planos paralelos (cualquier punto de un cristal está contenido en una familia de planos)
• Planos equivalentes por operaciones de simetría {hkl}
ALGUNOS ÍNDICES DE MILLER VÁLIDOS
• Cúbico simple • (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130)• BCC• (110), (200), (121), • (h+k+l) = entero par• FCC• (111), (200), (220)• (hkl) todos pares o todos impares
Distancia interplanar en redes ortorrómbicas
xadcos
x
y
z
d
plano (hkl)
a
dhcos
yb
dcos
zcdcos
222
1
c
l
b
k
a
hd
cúbicas redes para , 222 lkh
ad
b
dkcos
c
dlcos
Estructuras cristalinas (sc monoatómica)
• Cristal = Red + base
• Red: cúbico simple
• base: un átomo• en origen (cualquier
punto de red)• Polonio
Estructuras cristalinas (bcc monoatómica)
• Cristal = Red + base
• Red: bcc
• base: un átomo
• en origen (cualquier punto de red)
• Li, Na, K, Rb, Cs, Ba, Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu
Estructuras cristalinas (fcc monoatómica)
• Cristal = Red + base
• Red: fcc
• base: un átomo
• en origen (cualquier punto de red)
• Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag, Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar, Kr, Xe, Pb
Estructuras cristalinas (CsCl)
• Cristal = Red + base• Red: cúbico simple• base: dos átomos• Cs en origen (cualquier
punto de red)
• Cl en (1/2, 1/2, 1/2)a
• TlBr, TlI, CuPd,
CuZn (bronce beta), AgMg, LiHg, AlNi, BeCu
Estructuras Cristalinas (NaCl)
• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Cl en origen (cualquier
punto de red)
• Na en (1/2, 0, 0)a
• LiH, NaCl, KCl, PbS, AgBr, MgO, MnO, KBr.
• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• C en origen (cualquier
punto de red)• C en (1/4, 1/4, 1/4)a• C, Si, Ge, estaño gris.
Estructuras cristalinas (diamante)
Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)
• Cristal = Red + base• Red: fcc• base: dos átomos• Zn en origen (cualquier
punto de red)
• S en (1/4, 1/4, 1/4)a• ZnS, ZnSe, CuF, CuCl,
AgI.
Estructuras cristalinas (hexagonal compacta)
• Cristal = Red + base• Red: Hexagonal
simple• base: dos átomos• Uno en origen (cualquier
punto de red)• otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) c
• He, Be, Mg, Tl, Zn, Cd, Co,Y.
8
Cubic StructuresCubic Structures
The face-centred (fcc) or cubic-F lattice
This is the ABCABC.. cubicclose packed structure.
CELDA WIGNER SEITZ
• Desde cualquier punto de la red
• Se trazan segmentos a los puntos vecinos más cercanos, segundos más cercanos, y así...
• Se bisecan dichos segmentos con planos perpendiculares.
• La celda WS es el sólido más pequeño formado por las intersecciones de los planos.
OPERACIONES DE SIMETRÍA DE REDES CRISTALINAS
• Operaciones de simetría de un objeto son aquellas que lo dejan invariante.
• Cualquier rotación respecto a un eje que pasa por su centro es una operación de simetría de una esfera.
• Una operación de simetría de una red cristalina es cualquier traslación de una red cristalina por un vector:
• Otras operaciones de simetría son la inversión, reflexiones y rotaciones
332211 aaaT nnn
n/2
TEORÍA DE GRUPOS
• Grupo es un conjunto con una operación (producto) que :
• es cerrado
• es asociativo
• hay un elemento identidad
• hay un elemento inverso para cada elemento
• conmutativo = abeliano
Operaciones de simetría de un triángulo equilátero
• E, identidad
• A, B, C, rotaciones de 180 respecto a los ejes A, B y C, respectivamente
• D, rotación de 120 en sentido horario respecto a eje perpendicular por el centro del triángulo
• F, rotación de 120 en sentido antihorario respecto a eje perpendicular por el cenro del triángulo A
BC
1
2 3
Tabla de multiplicación del triángulo equilátero
E A B C D F
E E A B C D F
A A E F D C B
B B D E F A C
C C F D E B A
D D B C A F E
F F C A B E D
Operaciones de simetría de un tetraedro regular ( T )
• Identidad
• C 2x, C 2y, C 2z
• 8 rotaciones de 120 (C3) alrededor de las diagonales de un cubo.
a
b
c
d
R E D E S C R I S T A L I N A S Y G R U P O S D E S I M E T R Í A
S i s t e m a C e l d a u n i t a r i a G r u p o s N ú m e r o d eo p e r a c i o n e s d e
s i m e t r í aT r i c l í n i c o
cba C 1 ,
S 2 ( C i )12
M o n o c l í n i c o
2/
cba C 1 h
C 2
C 2 h
224
O r t o r r ó m b i c o2/
cba C 2 v
D 2 ( V )D 2 h ( V h )
448
T e t r a g o n a l
2
cba C 4
S 4
C 4 h
D 2 d
C 4 v
D 4
D 4 h
448888
1 6R o m b o e d r a l
23
2
cba C 3
S 6
C 3 v
D 3
D 3 d
3666
1 2H e x a g o n a l
3
2,
2
cba C 3 h
C 6
C 6 h
D 3 h
C 6 v
D 6
D 6 h
66
1 21 21 21 22 4
C ú b i c o
2
cba TT h
T d
OO h
1 22 42 42 44 8
Redes imposibles (Simetría de orden5 )
Un eje de simetría de orden 5 es incompatible con el concepto de red. Considere que T es el vector de
traslación de longitud más pequeño
T
T´
T´´
Nótese que T`+ T`` es de menor longitud que T
Redes imposibles (Simetría de orden 7 o mayor)
Un eje de simetría de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, es incompatible con el concepto de red.
T
T´
Supongamos que T es el vector de traslaciónMás pequeño.
7 n si , T /n)(Sen T 2 ̀ TT
Ejercicio: Estructura cristalina del grafito
altura c/2
altura c y 0
12 atomos por celda unitaria o celda primitiva