CRISTALOGRAFAPrimer captulo de curso

FSICA DEL ESTADO SLIDOFC UNI

Marzo 2014Lima, Per

ARTURO TALLEDODoctor en Fsica

IntroduccinSlidos cristalinos (ordenados) y slidos amorfos (desordenados)Lo que actualmente se conoce como FES es bsicamente la fsica de los cristales o slidos cristalinos. La Fsica de slidos amorfos se explica en base a los conceptos de la Fsica de cristales.Los cristales son una disposicin peridica de tomos en el espacio real tridimensional (longitudes).

CRISTAL = RED + BASEUn slido cristalino se puede describir definiendo un conjunto ordenado de puntos y asignando a cada punto un conjunto de (1,2, 3...n) tomos en posiciones bien definidas

Definicin de red cristalinaConjunto de puntos descrito por tres vectores linealmente independientes y todo el conjunto de ternas de enteros Z3

Vectores Primitivos y celdas primitivasSe dice que una terna de vectores L.I es una terna de vectores primitivos si junto con el conjunto Z define dicha red cristalina.El paraleppedo definido por la terna primitiva se llama celda primitivaLa terna primitiva no es nicaTodas las celdas primitivas tienen el mismo volumen

Red cristalina y vectores primitivos

La terna (dupla) primitiva no es nica

Diferentes celdas primitivas de una red. Todas tienen igual rea (volumen)

CLASIFICACIN DE LAS REDES CRISTALINASSe clasifican por sus propiedades de simetra

Hay 5 tipos de redes bidimensionales

Hay 14 tipos de redes 3D (redes de Bravais)

CELDA UNITARIACada tipo de red cristalina se identifica con una celda convencional o celda unitaria, no necesariamente celda primitiva.

Los tres vectores l.i. que definen la celda unitaria se llaman ejes cristalinos o vectores convencionales.

Redes BidimensionalesOblicua

Rectangular

Rectangular centrada

Cuadrada

Hexagonal

Redes de Bravais 3D (1)

Redes de Bravais 3D (2)

Redes de Bravais 3D (3)

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red scEjes cristalinos

a = a ib = a jc = a k

Vectores Primitivos

a1 = a

a2 = b

a3 = c

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bccEjes cristalinosa = a ib = a jc = a kVectores Primitivos

a1 = 1/2 a (i + j - k)a2 = 1/2 a (- i + j + k)a3 = 1/2 a (i - j + k)

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red bccEjes cristalinosa = a ib = a jc = a kVectores Primitivosa1 = a = 1/2 a (i + j - k)a2 = b = 1/2 a (- i + j + k)a3 = c = 1/2 a (i - j + k)

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fccEjes cristalinosa = a ib = a jc = a kVectores Primitivosa1 = 1/2 a (i + j)a2 = 1/2 a ( j + k) a3 = 1/2 a ( k + i)

Vectores primitivos y ejes cristalinos en una red fccEjes cristalinosa = a ib = a jc = a kVectores Primitivosa1 = a = 1/2 a (i + j)a2 = b = 1/2 a ( j + k) a3 = c = 1/2 a ( k + i)

EjercicioDemostrar que el volumen de una celda primitiva de una red bcc es la mitad del volumen de la correspondiente celda unitariaDemostrar que el volumen de una celda primitiva de una red fcc es un cuarto del volumen de la correspondiente celda unitaria

El volumen de una celda primitiva es la cuarta parte de una celda unitaria fcc

El volumen de una celda primitiva es la mitad de una celda unitaria bcc

PLANOS CRISTALINOS Un plano cristalino puede ser definido por:

Tres puntos no colineales de una red cristalina los vectores que van de uno de los puntos a los otros dos.la normal al planoEn FES se usa una convencin especial para designar a los planos: Los ndices de Miller

ndices de MillerDesde cualquier punto de la red no contenido en el plano se trazan los ejes cristalinos.Se observan las intersecciones del plano con los ejes cristalinos.Se invierten los coeficientesSe multiplican por el entero que los convierte en la terna de enteros ms pequea, (hkl) , en esa proporcin

ndices de Miller

El entero por el que hay que multiplicar a los interceptos invertidos para obtener los ndices de Miller es 1 si se toma origen en el plano paralelo vecino inmediato

Algunos planos cristalinos de redes cbicas

Familias de planos paralelosDado un plano cristalino (hkl) por cualquier punto de la red se puede trazar un plano paralelo. Un cristal puede considerarse como la superposicin de una familia de planos paralelos (cualquier punto de un cristal est contenido en una familia de planos)Planos equivalentes por operaciones de simetra {hkl}

Algunos planos en redes cbicas

ALGUNOS NDICES DE MILLER VLIDOSCbico simple (100), (110), (111), (120), (121), (221), (130)BCC(110), (200), (121), (h+k+l) = entero parFCC(111), (200), (220)(hkl) todos pares o todos impares

Distancia interplanar en redes ortorrmbicas

Estructuras cristalinas (sc monoatmica)Cristal = Red + base

Red: cbico simplebase: un tomoen origen (cualquier punto de red)Polonio

Estructuras cristalinas (bcc monoatmica)

Cristal = Red + baseRed: bccbase: un tomoen origen (cualquier punto de red)Li, Na, K, Rb, Cs, Ba, Ta, W, Nb, Mo, Fe, Eu

Estructuras cristalinas (fcc monoatmica)Cristal = Red + baseRed: fccbase: un tomoen origen (cualquier punto de red)Ca, Sr, Ni, Cu, Al, Ag, Au, Pd, Pt, Ir, Ne, Ar, Kr, Xe, Pb

Estructuras cristalinas (CsCl)Cristal = Red + baseRed: cbico simplebase: dos tomosCs en origen (cualquier punto de red)Cl en (1/2, 1/2, 1/2)aTlBr, TlI, CuPd, CuZn (bronce beta), AgMg, LiHg, AlNi, BeCu

Estructuras cristalinas (CsCl)

Perovskita

Estructuras Cristalinas (NaCl)Cristal = Red + baseRed: fccbase: dos tomosCl en origen (cualquier punto de red)Na en (1/2, 0, 0)aLiH, NaCl, KCl, PbS, AgBr, MgO, MnO, KBr.

Estructuras Cristalinas (NaCl)

Estructuras Cristalinas (NaCl)

Cristal = Red + baseRed: fccbase: dos tomosC en origen (cualquier punto de red)C en (1/4, 1/4, 1/4)aC, Si, Ge, estao gris.

Estructuras cristalinas (diamante)

Estructuras cristalinas (diamante)

Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)Cristal = Red + baseRed: fccbase: dos tomosZn en origen (cualquier punto de red)S en (1/4, 1/4, 1/4)aZnS, ZnSe, CuF, CuCl, AgI.

Estructuras cristalinas (Blenda, ZnS)

Estructuras cristalinas (hexagonal compacta)Cristal = Red + baseRed: Hexagonal simplebase: dos tomosUno en origen (cualquier punto de red)otro en (2/3) a + 1/3 b + (1/2) cHe, Be, Mg, Tl, Zn, Cd, Co,Y.

Factor de empaquetamiento de una estructura fcc monoatmica

Encontrar la relacin c/a en una estructura hcp ideal

CELDA WIGNER SEITZDesde cualquier punto de la redSe trazan segmentos a los puntos vecinos ms cercanos, segundos ms cercanos, y as...Se bisecan dichos segmentos con planos perpendiculares.La celda WS es el slido ms pequeo formado por las intersecciones de los planos.

Construccin de una celda WS

Una red cristalina como una superposicin de celdas WS (Hay una celda WS por punto de red)

Celda Wigner Seitz

Celda Wigner-Seitz de una red cuadrada

Celda Wigner-Seitz de una red cbica cuerpo centrado (octaedro truncado)

Celda Wigner-Seitz de una red cbica cara centrada (dodecaedro regular)

Imperfecciones de un cristalEfectos de superficieImpurezasVacanciasfracturas

OPERACIONES DE SIMETRA DE REDES CRISTALINASOperaciones de simetra de un objeto son aquellas que lo dejan invariante. Cualquier rotacin respecto a un eje que pasa por su centro es una operacin de simetra de una esfera.Una operacin de simetra de una red cristalina es cualquier traslacin de una red cristalina por un vector:

Otras operaciones de simetra son la inversin, reflexiones y rotaciones ; n = 1, 2, 3, 4, 6.

TEORA DE GRUPOSGrupo es un conjunto con una operacin (producto) que :es cerradoes asociativohay un elemento identidadhay un elemento inverso para cada elementoconmutativo = abeliano

Operaciones de simetra de un tringulo equilteroE, identidadA, B, C, rotaciones de 180 respecto a los ejes A, B y C, respectivamenteD, rotacin de 120 en sentido horario respecto a eje perpendicular por el centro del tringuloF, rotacin de 120 en sentido antihorario respecto a eje perpendicular por el cenro del tringulo

Tabla de multiplicacin del tringulo equiltero

Operaciones de simetra de un tetraedro regular ( T )Identidad

C2x, C2y, C2z

8 rotaciones de 120 (C3) alrededor de las diagonales de un cubo.

Algunos grupos de simetra

Redes imposibles (Simetra de orden5 ) Un eje de simetra de orden 5 es incompatible con el concepto de red.Considere que T es el vector de traslacin de longitud ms pequeo TTTNtese que T`+ T`` es de menor longitud que T

Redes imposibles (Simetra de orden 7 o mayor)Un eje de simetra de orden n, donde n es 7 o mayor que 7, es incompatible con el concepto de red.TTSupongamos que T es el vector de traslacinMs pequeo.

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

Ejercicio: Estructura cristalina del grafito

esfera negra altura c/2 esfera roja altura 0 y c4 tomos por celda unitariaA1 : (0,0,0)A2: 1/3 a +1/3 bA3: 2/3 a +2/3 b +1/2 cA4: (0,0,c/2)

*