Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 1 - Cours et exercices de PHYSIQUE : lectricit. Ingnieur CESI Prparation aux tests de slection. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 2 - Programme de physique. A lectricit. Chapitre 1 : Les composants passifs. -Simplificationdeschmascomportantdescomposantspassifs(rsistances, condensateurs, inductances) en srie et en parallle. -Calcul de rsistance partir de la formule : LR .S= -Calcul de la capacit dun condensateur plan, par la formule : SC .e= -Calcul de la valeur dune inductance, la formule de calcul tant donne. -Units : Ohm, Farad, Henry, Joule. -Loisfondamentalesdescomposantspassifs :U=RI, dWP ,dt= P=UI, 21W CV ,2=2dI 1U L , W LI .dt 2= = Chapitre 2 : Electrocintique. -Courant et tension, puissance. -Units : ampre, volt, watt. -Gnrateur de tension et de courant ; rcepteurs. -Lois de llectrocintique :Loi de Joule, Loi dOhm, Lois de Kirchhoff (nuds et mailles), Thorme de superposition, Thorme de Millman, Rgle du diviseur de potentiel. NOTA : les thormes de Thvenin et Norton ne sont pas au programme. -Utilisation pour le calcul de tensions et de courants dans un circuit lectrique. Chapitre 3 : Rgime transitoires. -charge et dcharge dun condensateur travers une rsistance :Etablissement de lquation diffrentielle, Rsolution, Constante de temps : dfinition, dtermination graphique. -Circuit (L,C) et (R, L, C). Etude qualitative uniquement. Chapitre 4 : Rgime alternatif sinusodal -Circuit(R,L,C)srieenrgimealternatifsinusodal(tudeparlaconstructionde Fresnel et en notation complexe) Impdance, Rsonance en intensit, Bande passante, Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 3 - Facteur de qualit. -Puissance moyenne Dfinition, Facteur de puissance. B Mcanique Chapitre 5 : Statique -Forces, moments de forces, -Equations lquilibre -Notion de frottement. Chapitre 6 : Cinmatique -Vecteurs position, vitesse et acclration en coordonnes cartsiennes. -Mouvements rectilignes uniforme et uniformment acclr. Chapitre 7 : Dynamique -Notion de rfrentiel galilen -Relationfondamentaledeladynamiquepourlessystmesentranslation,dansun rfrentiel galilen. -Applications, notamment la chute libre. Chapitre 8 : Energtique -Travail, puissance, -Energie cintique de translation, -Energie potentielle de pesanteur, -Energie mcanique. -Thorme de lnergie cintique. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 4 - Rpartition des sances : Programme PFI Mars 2005. Thme 1Thme 2Thme 3 Sance 1Grandeurs et units -Grandeurs, units -quations aux dimensions Statique Sance 2Cinmatique - Mouvement rectiligne uniforme et uniformment acclr Sance 3Dynamique -Systmes en translation, -PFD, -Application la chute libre. Sance 4 nergtique -Energie cintique de translation -Travail et puissance, -Energie potentielle de pesanteur, -Energie mcanique.-Thorme de lnergie cintique. Sance 5 Sance 6Electricit -Notiondersistance,de condensateur, dinductance. Electrocintique -Loi dOhm -Rgle du diviseur de potentiel -Lois de Kirchoff -Thorme de superposition Sance 7Electrocintique -Thorme de Millman - Sance 8Rgime transitoire Etudequalitativedescircuits du 1er et du 2nd ordre en rgime transitoire (RC, LR, LC, RLC). Rgime alternatif sinusodal -Grandeurs alternatives -Circuit RLC srie ! -Diagramme de Fresnel Sance 9Rgime alternatif sinusodal - Circuit en notation complexe Sance 10Test blanc Corrig Approfondissements : partir des sujets demands par les lves. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 5 - Table des matires. 1COURS. ........................................................................................................................................................ 8 1.1LES COMPOSANTS PASSIFS. ................................................................................................................... 8 1.2ELECTROCINETIQUE............................................................................................................................ 22 1.3REGIME TRANSITOIRE. ........................................................................................................................ 29 1.4COURANT SINUSODAL........................................................................................................................ 29 2NONCES DES EXERCICES. ................................................................................................................ 39 2.1QUESTION SUR LES OISEAUX. .............................................................................................................. 39 2.2COURANT ET CHARGE. ........................................................................................................................ 39 2.3CAPACITES EQUIVALENTES. ................................................................................................................ 39 2.4QUESTIONS SUR LES CONDENSATEURS................................................................................................ 39 2.5REFLEXION SUR LES CAPACITES.......................................................................................................... 39 2.6PUISSANCE DISSIPEE DANS UNE RESISTANCE....................................................................................... 40 2.7LUMINOSITE DUNE AMPOULE. ........................................................................................................... 40 2.8RESISTANCE ET SECTION. .................................................................................................................... 40 2.9RESISTANCE ET RESISTIVITE. .............................................................................................................. 40 2.10RESISTANCE DU CUIVRE...................................................................................................................... 40 2.11RESISTANCE DU PLATINE. ................................................................................................................... 40 2.12RESISTANCE DUN TRONC DE CONE..................................................................................................... 40 2.13RESISTANCE DUN MILIEU ENTRE DEUX HEMISPHERES........................................................................ 40 2.14PUISSANCE DISSIPEE. .......................................................................................................................... 41 2.15ACCUMULATEUR. ............................................................................................................................... 41 2.16CHARGE DUN ACCUMULATEUR.......................................................................................................... 41 2.17RESISTANCE EQUIVALENTE................................................................................................................. 41 2.18REDUCTION DE LA RESISTANCE. ......................................................................................................... 41 2.19RESISTANCE EQUIVALENTE AUX BORNES DE AB. ............................................................................... 41 2.20RESISTANCE EQUIVALENTE (2). .......................................................................................................... 42 2.21RESISTANCE EQUIVALENTE A UNE ASSOCIATION EN SERIE.................................................................. 42 2.22RESISTANCE EQUIVALENTE A UNE ASSOCIATION EN DERIVATION. ...................................................... 42 2.23RESISTANCE EQUIVALENTE (3). .......................................................................................................... 42 2.24RESISTANCE EQUIVALENTE (4). .......................................................................................................... 43 2.25CALCULS DE GRANDEURS : I, U ? ........................................................................................................ 43 2.26CALCULS DE GRANDEURS : I, U ? SUITE. ............................................................................................. 43 2.27GALVANOMETRE. ............................................................................................................................... 44 2.28MESURE DUNE RESISTANCE. .............................................................................................................. 44 2.29CONDENSATEUR PLAN DIELECTRIQUE. ............................................................................................... 44 2.30CHARGE DUN CONDENSATEUR, CIRCUIT RC. ..................................................................................... 44 2.31CALCULS DES ENERGIES DE DIPOLES PASSIFS...................................................................................... 45 2.32BILAN ENERGETIQUE DE CHARGE DUN CONDENSATEUR. ................................................................... 45 2.33REPONSE DUN CIRCUIT R,L A UN ECHELON DE TENSION. ................................................................... 45 2.34ETABLISSEMENT ET RUPTURE DUN COURANT. ................................................................................... 45 2.35REPONSE DUN CIRCUIT R,L,C A UN ECHELON DE TENSION. ............................................................... 46 2.36CIRCUIT L,C PARALLELE SOUMIS A UN ECHELON DE COURANT. ......................................................... 46 2.37BAC 2004 LE DE LA REUNION, EXERCICE1: QUELQUES USAGES DES CONDENSATEURS. ................... 47 2.38ANTILLES 2005 EXERCICE N3 : SONDE THERMIQUE (4 POINTS)......................................................... 51 2.392006 ANTILLES ; EXERCICE 1 : BOBINE A INDUCTANCE REGLABLE. .................................................... 53 2.40BAC JUIN 2005 : MODELISATION D'UNE ALARME : 4 PTS..................................................................... 57 2.41POLYNESIE 2006 : EXERCICE 1 : RESISTANCE DUNE BOBINE REELLE.................................................. 59 2.42COURANT INDEPENDANT DU TEMPS. ................................................................................................... 62 2.43CIRCUIT EQUIVALENT. ........................................................................................................................ 62 2.44RESISTANCE EQUIVALENTE AUX BORNES DUN DIPOLE....................................................................... 62 2.45VALEURS ALGEBRIQUES DE I ET E. ...................................................................................................... 63 2.46APPLICATION DU THEOREME DE SUPERPOSITION. ............................................................................... 63 Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 6 - 2.47REPRESENTATION MATRICIELLE. ........................................................................................................ 63 2.48RESISTANCE EQUIVALENTE DUN MAILLAGE. ..................................................................................... 63 2.49TRANSFORMATION DE KENELLY......................................................................................................... 64 2.50VERS LE PONT DE WHEATSTONE......................................................................................................... 64 2.51LOIS DE KIRCHHOFF ET METHODE MATRICIELLE................................................................................. 64 2.52APPLICATION DES THEOREMES DE THEVENIN ET NORTON. ................................................................. 65 2.53PONT DE WHEATSTONE. ..................................................................................................................... 65 2.54COURANT CIRCULANT DANS UNE BRANCHE. ....................................................................................... 65 2.55PONT DE MANCE................................................................................................................................. 65 2.56COURANT CIRCULANT DANS UNE BRANCHE. ....................................................................................... 66 2.57CALCUL DIMPEDANCES COMPLEXES. ................................................................................................. 66 2.58CIRCUIT RLC EN SERIE. ...................................................................................................................... 66 2.59SCHEMA EQUIVALENT......................................................................................................................... 67 2.60CALCULS DE GRANDEURS EFFICACES.................................................................................................. 67 2.61VARIATION DE LA PULSATION............................................................................................................. 67 2.62OPTIMISATION DE P. ........................................................................................................................... 67 2.63QUADRATURE DE PHASE. .................................................................................................................... 67 2.64GALITE DES TENSIONS....................................................................................................................... 68 2.65PONT DE WHEATSTONE COMPLEXE..................................................................................................... 68 2.66DIFFERENTES EXPRESSIONS DE LA PUISSANCE.................................................................................... 68 2.67METHODE DES TROIS AMPEREMETRES. ............................................................................................... 69 2.68METHODE DES TROIS VOLTMETRES..................................................................................................... 69 3SOLUTIONS DES EXERCICES. ............................................................................................................ 70 3.1QUESTION SUR LES OISEAUX. .............................................................................................................. 70 3.2COURANT ET CHARGE. ........................................................................................................................ 70 3.3CAPACITES EQUIVALENTES. ................................................................................................................ 70 3.4QUESTIONS SUR LES CONDENSATEURS................................................................................................ 70 3.5REFLEXION SUR LES CAPACITES.......................................................................................................... 71 3.6PUISSANCE DISSIPEE DANS UNE RESISTANCE....................................................................................... 71 3.7LUMINOSITE DUNE AMPOULE. ........................................................................................................... 71 3.8RESISTANCE ET SECTION. .................................................................................................................... 71 3.9RESISTANCE ET RESISTIVITE. .............................................................................................................. 71 3.10RESISTANCE DU CUIVRE...................................................................................................................... 71 3.11RESISTANCE DU PLATINE. ................................................................................................................... 72 3.12RESISTANCE DUN TRONC DE CONE..................................................................................................... 72 3.13RESISTANCE DUN MILIEU ENTRE DEUX HEMISPHERES........................................................................ 72 3.14PUISSANCE DISSIPEE. .......................................................................................................................... 72 3.15ACCUMULATEUR. ............................................................................................................................... 72 3.16CHARGE DUN ACCUMULATEUR.......................................................................................................... 73 3.17RESISTANCE EQUIVALENTE................................................................................................................. 73 3.18REDUCTION DE LA RESISTANCE. ......................................................................................................... 73 3.19RESISTANCE EQUIVALENTE................................................................................................................. 73 3.20RESISTANCE EQUIVALENTE (2). .......................................................................................................... 73 3.21RESISTANCE EQUIVALENTE A UNE ASSOCIATION EN SERIE.................................................................. 74 3.22RESISTANCE EQUIVALENTE A UNE ASSOCIATION EN DERIVATION. ...................................................... 74 3.23RESISTANCE EQUIVALENTE (3). .......................................................................................................... 74 3.24RESISTANCE EQUIVALENTE (4). .......................................................................................................... 74 3.25CALCULS DE GRANDEURS : I, U ? ........................................................................................................ 75 3.26CALCUL DE GRANDEURS : I, U ? SUITE. ............................................................................................... 75 3.27GALVANOMETRE. ............................................................................................................................... 75 3.28MESURE DUNE RESISTANCE. .............................................................................................................. 75 3.29CONDENSATEUR PLAN DIELECTRIQUE. ............................................................................................... 76 3.30CHARGEMENT DUN CONDENSATEUR. ................................................................................................ 76 3.31CALCULS DES ENERGIES DE DIPOLES PASSIFS...................................................................................... 77 3.32BILAN ENERGETIQUE DE CHARGE DUN CONDENSATEUR. ................................................................... 77 3.33REPONSE DUN CIRCUIT R,L A UN ECHELON DE TENSION. ................................................................... 78 3.34ETABLISSEMENT ET RUPTURE DUN COURANT. ................................................................................... 79 3.35REPONSE DUN CIRCUIT R,L,C A UN ECHELON DE TENSION. ............................................................... 79 3.36CIRCUIT L,C PARALLELE SOUMIS A UN ECHELON DE COURANT. ......................................................... 82 Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 7 - 3.37SUJET BAC 2004 REUNION ; EXERCICE 1: QUELQUES USAGES DES CONDENSATEURS........................ 82 3.38ANTILLES 2005 : EXERCICE N3 : SONDE THERMIQUE. ....................................................................... 85 3.392006 ANTILLES ; EXERCICE 1 : BOBINE A INDUCTANCE REGLABLE. .................................................... 87 3.40BAC 2005 : MODELISATION DUNE ALARME. ...................................................................................... 91 3.412006 POLYNESIE EXERCICE N1 : RESISTANCE DUNE BOBINE REELLE ............................................... 93 3.42COURANT INDEPENDANT DU TEMPS. ................................................................................................... 95 3.43CIRCUIT EQUIVALENT. ........................................................................................................................ 95 3.44RESISTANCE EQUIVALENTE AUX BORNES DUN DIPOLE....................................................................... 96 3.45VALEURS ALGEBRIQUES DE I ET E. ...................................................................................................... 96 3.46APPLICATION DU THEOREME DE SUPERPOSITION. ............................................................................... 96 3.47REPRESENTATION MATRICIELLE. ........................................................................................................ 97 3.48RESISTANCE EQUIVALENTE DUN MAILLAGE. ..................................................................................... 97 3.49TRANSFORMATION DE KENELLY......................................................................................................... 98 3.50VERS LE PONT DE WHEATSTONE......................................................................................................... 99 3.51LOIS DE KIRCHHOFF ET METHODE MATRICIELLE................................................................................. 99 3.52APPLICATION DES THEOREMES DE THEVENIN ET NORTON. ............................................................... 100 3.53PONT DE WHEATSTONE. ................................................................................................................... 102 3.54COURANT CIRCULANT DANS UNE BRANCHE. ..................................................................................... 103 3.55PONT DE MANCE............................................................................................................................... 104 3.56COURANT CIRCULANT DANS UNE BRANCHE. ..................................................................................... 105 3.57CALCUL DIMPEDANCES COMPLEXES. ............................................................................................... 105 3.58CIRCUIT RLC EN SERIE. .................................................................................................................... 106 3.59SCHEMA EQUIVALENT....................................................................................................................... 109 3.60CALCULS DE GRANDEURS EFFICACES................................................................................................ 110 3.61VARIATION DE LA PULSATION........................................................................................................... 110 3.62OPTIMISATION DE P. ......................................................................................................................... 110 3.63QUADRATURE DE PHASE. .................................................................................................................. 111 3.64GALITE DES TENSIONS..................................................................................................................... 112 3.65PONT DE WHEATSTONE COMPLEXE................................................................................................... 113 3.66DIFFERENTES EXPRESSIONS DE LA PUISSANCE.................................................................................. 113 3.67METHODE DES TROIS AMPEREMETRES. ............................................................................................. 113 3.68METHODE DES TROIS VOLTMETRES................................................................................................... 114 Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 8 - 1Cours. 1.1Les composants passifs. 1.1.1Diple lectrocintique Onappellediplelectrocintiquetoutsystmerelil'extrieurpardeuxconducteurs uniquement.Lecomportementd'undipleestcaractrispardeuxgrandeurslectriques duales : la tension et le courant.Latensionauxbornesd'undiplereprsenteladiffrencedepotentielu(t)entrelesdeux bornes du diple. La tension s'exprime en Volt (V). DipleA BuAB= VA- VBiDipleA BuAB= VA- VBi Le courant traversant un diple correspond au dplacement de charges lectriques sous l'effet du champ lectrique induit par la diffrence de potentiel aux bornes du diple. A tout instant lecourantentrantparuneborned'undipleestgalaucourantsortantparl'autreborne. L'intensit i(t) de ce courant mesure le dbit des charges lectriques qui traversent une section de conducteur : ( )( ) dq ti t .dt= L'intensit s'exprime en Ampre (A). Le courant lectrique est une grandeur oriente. Conventionnellement le sens positif correspond au sens de dplacement des charges positives (sens contraire au dplacement des lectrons de charge ngative). On a iA(t) = iB(t) = i(t). Ilexistedeuxpossibilitspourlechoixdessensconventionnelsdelatensionetducourant. Selon que u et i sont de mme sens ou non nous avons : DipleA BuiDipleA Bui Convention Gnrateur DipleA BuiDipleA Bui Convention Rcepteur Enrgimestationnaire,indpendantdutemps,ilexisteunerelationentrel'intensiti traversantledipleetlatensionuentresesbornes.Cetterelationpeutventuellementfaire intervenirdesparamtresextrieurs(temprature,clairement,champmagntique,etc). Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 9 - Cetterelationpeutsemettresouslaformei=i(u)ouu=u(i).Lesgraphesobtenussont appels caractristiques statiques : i = i(u) : caractristique statique courant-tension du diple, u = u(i) : caractristique statique tension-courant du diple. Un diple est passif si son intensit de court-circuit et sa tension en circuit ouvert sont nulles : ses caractristiques statiques passent par l'origine. Il est dit actif dans le cas contraire. Un diple est linaire si : i(u1+u2) = i(u1)+ i(u2) ou u(i1+i2) = u(i1)+ u(i2). 1.1.2Puissance lectrique reue par un diple. Le travail li au dplacement dun lectron soumis une diffrence de potentiel dV est donn par la relation : e edW F dl eE dl e dV = = = . Pour un ensemble de charge q, on a la relation diffrentielle : qdW q dV = . Considrons un diple AB parcouru par un courant iABcirculant de A vers B. Pendant un intervalle de temps t, une charge q = iAB t "entre" en A et "sort" en B avec une nergie. ( )AB A BdW i V V dt Pdt = =et par consquent : ( )AB A BP i V V = . DanslaconventionrcepteurlaquantitP(t)=u(t)i(t)reprsentelapuissancelectrique instantane reue par le diple. Rciproquement dans la convention gnrateur elle reprsente la puissance dlivre au reste du circuit par le diple. 1.1.3Lois de Kirchhoff. Un circuit ou rseau est un ensemble de conducteurs relis entre eux et contenant en gnrale des gnrateurs, des rcepteurs et des rsistances. Un nud est un point du rseau o sont connects plus de deux conducteurs. Une branche est une portion de rseaux situe entre deux nuds. Une maille est un ensemble de branche formant un circuit ferm, qui ne passe quune fois par un nud donn. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 10 - 1.1.3.1Loi des noeuds : En tout noeud d'un circuit, et tout instant, la somme des courants qui arrivent est gale la sommedescourantsquisortent.Ils'agitd'uneconsquencedelaconservationdelacharge lectrique. (1)(2)(4)(3)i1i2i4i3A(1)(2)(4)(3)i1i2i4i3A La somme des intensits entrantes est gale celle des intensits sortantes. Sur lexemple : i1+i2 = i3+i4. Laloidesnoeudspeutencores'criresouslaformesuivante:Entoutnoeudd'unrseaula somme algbrique des courants est nulle : kk i 0 . = 1.1.3.2Loi des mailles. ABCDABCD Une maille est un circuit ferm pris dans le rseau. Si lon choisit un sens de parcours sur la maille, la somme de toutes les diffrences de potentiel est nulle lorsquun tour complet a t effectu. Ceci se traduit mathmatiquement par la relation suivante : AB AB AB ABr i e 0 . = AB vaut +1 ou -1 selon le sens du courant et la nature du diple. Pour appliquer les lois de Kirchhoff, on procde de la manire suivante :Surchaquebranche,onadopteunsenspositifdemesurepourlecourant,leplus vraisemblable,etunevaleuralgbriqueducourant.Oncritlesloisrelativesaux nuds. Oncritensuitelaloirelativeauxmaillespourlenombreconvenabledemailles indpendantes en prenant sur chaque maille un sens de parcours arbitraire. On obtient un systme dquations linaires permettant de calculer toutes les intensits algbriques inconnues. Remarque sur les lois de Kirchhoff. LemploidesloisdeKirchhoffestaisetsystmatique.Celles-ciprsententlavantagede fournir toutes les intensits dans les branches concernes. Ce dernier avantage peut, du reste, Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 11 - constituer un inconvnient : en effet, pour un rseau un peu compliqu, les calculs seront trs lourds et on risque de sencombrer dans ceux-ci dintensits non recherches et ne prsentant pas dintrt. 1.1.4Association de diples. On distingue deux types d'association de diples. Les diples peuvent tre connects en srie, ils sont alors tous traverss par la mme intensit.Ils peuvent tre connects en parallle, ils sont alors tous soumis la mme tension. 1.1.4.1Association en srie. uu1u2u3u4unuu1u2u3u4un Chaque diple est travers par la mme intensit et la tension aux bornes du diple quivalent est gale la somme des tensions partielles : ( ) ( )nkk 1u t u t .== 1.1.4.2Association en parallle. ui1i2i3iniui1i2i3ini Les diples sont soumis la mme tension. Le courant total qui traverse l'ensemble des diples est gal la somme des courants individuels : ( ) ( )nkk 1i t i t .== 1.1.5Rsistance et lois dOhm. 1.1.5.1Lois dOhm. Un diple passif est un ensemble de deux conducteurs possdant deux bornes et pour lequel il yasimplementtransformationdnergielectriqueennergiecalorifique.Onlesappelle rsistances. Lepassageducourantdansunconducteurlectriqueestproduitpardeslectronsmobiles. Ceux-ci sont soumis deux forces :Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 12 - -La force lectriqueeF eE = . -Une force de freinage F v =

,v

tant la vitesse des lectrons mobiles. Cette force est due aux diffrents chocs des lectrons sur les ions fixes du rseau cristallin du mtal. En rgime permanent, le vecteur vitesse dun lectron donn est constant et donc :eF F 0 + = , soit : ev E =

.Ladensitdecourantestjv =

,tantladensitvolumiquedechargesmobiles,donc dlectrons mobiles. Si N est le nombre dlectrons mobiles par unit de volume : = - N e, donc : j N e v =

soit : 2Nej E = .On pose : 2Ne =, conductivit lectrique du matriau, donc : jE = . Cette expression est dite forme locale de la loi dOhm. Dans le systme international, sexprime en siemens par mtre (S.m-1). 1.1.5.2Rsistance dun conducteur. ConsidronsunconducteurdextrmitsAetBparcouruparuncourantdintensitI: SI j n dS =

. Par ailleurs, VA et VB tant les potentiels du conducteur en A et B : BA BAV V E dl = . Si lon multiplie E

par un scalaire quelconque k, VA - VB est multiplie par k,j

est multipli par k, il en est de mme de I, et par suite, le rapport A BV VI est inchang. Par dfinition, on appelle rsistance du conducteur ohmique la quantit :A BV VRI= . Autrement crit :( ) ( ) u t R i t . = Le raisonnement prcdent montre que la rsistance du conducteur ne dpend que du matriau et de la gomtrie du conducteur. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 13 - La rsistance R scrit : BASE dlR E n dS=

. Le symbole dune rsistance est : R sexprime en Ohm : . sexprime en siemens par mtre : S.m-1. On utilise aussi la rsistivit du matriau dfinie par : 1 = qui sexprime en .m. 1.1.5.3Rsistance dun conducteur filiforme de section constante. Unconducteurestditfiliformelorsquesesdimensionstransversalessontfaiblesdevantsa longueur.Leslignesdechampssontalorsparalllesauxgnratricesdufil.SoitLsa longueur et soit S sa section droite : A BV VEL= et IJ ES= = do : A BV V IS L= . On en dduit : A BV V 1 L LR .I S S= = = Cette formule peut tre gnralise des conducteurs quelconques. 1.1.5.4Rsistivit. Sans entrer dans les dtails, la rsistivit est fonction du matriau, citons par exemple : Ag : = 1,6 10-8 .m. Quartz fondu : = 1016 .m. Conducteurs : 10-7 .m. Isolants : 105 .m. Semi-conducteurs : 104 .m 106 .m. La rsistivit peut dpendre de la temprature, du champ magntique extrieur, de la quantit de lumire laquelle le matriau est expos. 1.1.5.5Loi de Joule. Nous avons deux manires de lvaluer. La premire consiste utiliser lexpression de la puissance reue par un diple : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 14 - P = u i. Puisque u = Ri alors : 22u P ui Ri .R= = = Secondemthode :Revenonsauconducteurprcdentetcalculonslestravauxpendantun intervalle de temps dt o llectron se dplace de dl

des forces lectrique et de freinage : e edW F dl eE dl e dV = = = et 2fdW v dl v dt = =

.Parapplicationduthormede lnergie cintique, on a : e f cdW dW E 0 + = =soit :2e dV v dt = . LetravailfdW estperdusousformedechaleurdansleconducteur.Cettepertedechaleur constitue leffet Joule. Soit N le nombre de porteurs par unit de volume. Le travail (par unit de volume) perdu par effet Joule correspond videmment : 2fdW N dW N v dt = = . Par unit de temps, ce travail (par unit de volume) correspond une puissance (par unit de volume) dissipe sous forme de chaleur : 2dWP N vdt= = , or 2Ne = et ev E = ; donc : 22 P E P j= = . Ces relations constituent la forme locale de la loi de Joule. ConsidronsuntubedechamplmentairedairedSdelongueur dl

.LapuissancedP dissipe sous forme deffet de Joule par cet lment de volume est : dP P dS n dl =

, n

tantlevecteurunitairedelanormaledS,dl

tantunvecteurlmentairecomptsur une ligne de champ, soit : 2dP E dS n dlE n dS E dl (dI)( dV) = = = . Par intgration sur L et S, on obtient : ( )( )2A B 2A BV VP I V V RI .R= = =On retrouve le mme rsultat quavec la premire mthode. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 15 - LnergiedissipesousformedeffetJouledansleconducteuresttelleque :dW=Pdt pendant un temps infinitsimal dt : dW = R I2 dt. Le courant tant suppos dintensit constante, pendant un temps fini : 2 W R I . = 1.1.5.6Association de rsistances. 1.1.5.6.1Groupement en srie : Considrons 3 rsistances R1, R2, R3 montes en srie. . Dans ces conditions, les rsistances sont traverses par le mme courant. On peut crirelaloidOhmauxbornesdechaque rsistance :A B C DIR1R2R3A B C DIR1R2R3 ( )A C 1C D 2 A B 1 2 3D B 3V V R IV V R I V V R R R I RI,V V R I = = = + + =` =)enappelantRlarsistancequivalente qui place entre A et B, soumise la mme diffrence de potentiel, est traverse par le mme courant. On en dduit :1 2 3R R R R = + +et on gnralise aisment : srie ii R R = 1.1.5.6.2Groupement en parallle : Considrons3rsistancesR1,R2,R3montesen parallle.Danscesconditions,lesrsistancessont soumiseslammediffrencedepotentielmais sonttraversespardescourantsdintensits diffrentes.PremireMthode :Lespuissancesdissipespar effet Joule dans chacune des rsistances sont donc : ( ) ( ) ( )2 2 2A B A B A B1 2 31 2 3V V V V V VP , P , PR R R = = = ,IR1R2R3I1I2I3A BIR1R2R3I1I2I3A B La puissance totale dissipe par le groupement sera donc : ( )( )22A BA B1 2 3V V1 1 1P V V ,R R R R | |= + + = |\ par identification :1 2 31 1 1 1R R R R= + +do lon gnralise : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 16 - i// i1 1.R R= Deuximemthode :SoitI1,I2etI3lesintensitstraversantlesdiffrentesrsistancesetI lintensit totale : I = I1 + I2 + I3. Or VA VB = R1 I1 = R2 I2 = R3I3 = R I, soit : A B A B A B A B1 2 31 2 3V V V V V V V VI ; I ; I ; I .R R R R = = = =On a donc :( )A B A B A B A B1 2 3 A B1 2 2 1 2 3V V V V V V 1 1 1 V VI I I I V V .R R R R R R R| | = + + = + + = + + = |\ i// i1 1.R R= 1.1.6Sources de tension et de courant. 1.1.6.1Sources de tensions idales et relles. Un gnrateur de tension idal dlivre une tension indpendante du courant dbit : VA-VB = e = cte " i. Cette tension est la forme lectromotrice (f.e.m) du gnrateur. e+-iABe+-iAB uieuie u = e. La rsistance interne d'un gnrateur de tension idal est nulle, ce qui n'est gnralement pas le cas pour un gnrateur rel. Un gnrateur rel est modlis par un gnrateur idal en srie avecsarsistanceinterne.Enconventiongnrateur,lacaractristiquestatiquetension-courantdugnrateurdetensionreldevient:u=e ri.Larsistanceinterneinduitune chute de tension. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 17 - e+-iABure+-iABur uieu = e - riuieu = e - ri 1.1.6.2Sources de courant idales et relles. Ungnrateurdecourantidaldbiteuncourantdontl'intensitestindpendantedela tension aux bornes du gnrateur : i = iS = cte. La rsistance interne d'une source de courant idale est infinie. Pour un gnrateur rel on tient compte de sa rsistance interne, en le modlisant par une source idale de courant en parallle avec sa rsistance interne r. En convention gnrateur, la caractristique statique courant-tension du gnrateur de courant rel est donc :Sui i .r= iSABuiSABu Source idale de courant. uii = iSuii = iS iSABuriSABur Source relle de courant. uiSui ir= uiSui ir= Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 18 - 1.1.7Le condensateur. 1.1.7.1Dfinition. Uncondensateurestundiplequiemmagasineunechargelectriqueqproportionnellela tension qui lui est applique : q(t) = C u(t) = C (VA(t)- VB(t)). La charge q est porte par larmature A. Symbole dun condensateur : uA Bq -qiuA Bq -qi Le coefficient de proportionnalit C est appel capacit du condensateur. L'unit est le Farad not F. 1.1.7.2Capacit dun condensateur. LacapacitCduncondensateurdpenddesaforme,desacomposition.Danslecas classique , il est compos de deux plaques conductrices disposes face face, spares par un isolant (dilectrique). Si les deux plaques sont planes de surface S, distante de d et spares par un dilectrique de permittivit relative r, alors la capacit est donne par lexpression : 0 rSC .d= 0 est la permittivit du vide et est donne par lexpression : 9019 10SI.4= r dpend du dilectrique. DilectriquePermittivit relative Alumine4.5 8.5 Air1 Mica6 9 Verre5 12 Plastique2 5 Cramique15 30000 1.1.7.3Puissance et nergie dun condensateur. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 19 - D'autrepartlavariationparunitdetempsdelachargeqestgalel'intensitducourant traversant le condensateur : ( )( ) ( ) dq t du ti t C .dt dt= = Lachargeetdonclatensiond'uncondensateurnepeuventpasvarierdemanireinfiniment rapide.Lachargeetlatensiond'uncondensateursontdonctoujoursdesfonctionscontinues parrapportautemps.Cettecaractristiqueestutilepourladterminationdeconditions initiales. La puissance instantane reue par un condensateur peut s'crire : ( ) ( ) ( )( )22d u t 1p t u t i t C .2 dt= = Lnergie reue par le condensateur pendant un intervalle de temps t scrit : ( ) ( ) ( ) ( )( )t 220q t 1 1 1W p x dx Cu t q t u t .2 2 2 C= = = = 1.1.7.4Groupements de condensateurs. Lorsquon dispose de plusieurs conducteurs, on peut les grouper de diffrentes faons : -Soit en srie ; -Soit en parallle. 1.1.7.4.1Le groupement en srie : Danscetypedegroupement,larmatureinternedelundescondensateursestrelie larmatureexternedusuivant.Pourtroiscondensateurs,parexemple,enappelantencoreA lesarmaturesinternesetBlesarmaturesexternes.SoientC1,C2,C3lescapacitsdes condensateurs. Supposons ces condensateurs initialement non chargs et cherchons la capacit du condensateur quivalent ce groupement. M NA1A2A3B1B2B3C1C2C3Q1-Q1Q2-Q2Q3-Q3+ -M NA1A2A3B1B2B3C1C2C3Q1-Q1Q2-Q2Q3-Q3+ - Etablissons entre M et N une diffrence de potentiel VM-VN, C1 prend une charge Q1, C2 une charge Q2 et C3 une charge Q3. Lensembletantinitialementneutre,lachargedechacundesconducteursentoursde pointills sur la figure ci-dessus reste nulle (sinon, il y aurait dplacement de charges). Donc : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 20 - -Q1 + Q2 = 0, -Q2 + Q3 = 0, do Q1 = Q2 = Q3. Exprimons la diffrence de potentiel entre M et N : 3 1 2M N 11 2 3 1 2 3Q Q Q 1 1 1V V QC C C C C C| | = + + = + + |\ . Lecondensateurquivalentseratelque,placentreMetN,soumisladiffrencede potentielVM-VN,ilprendralachargeQ1.Donc,siCestlacapacitdececondensateur quivalent : 1 2 31 1 1 1C C C C= + + . Plus gnralement, pour un nombre quelconque de condensateur associs en srie :isrie i1 1.C C= 1.1.7.4.2Le groupement en parallle : Danscetypedegroupement, touteslesarmaturesinternessont reliesensemble,demmeque touteslesarmaturesexternes. Pourtroiscondensateurs,par exemple,onauraunschma commeceluidelafigureci-contre. Cettefois,chaquecondensateur estsoumislammediffrence de potentiel VM-VN. Si Q1, Q2, Q3 sontleschargesdes condensateurs, on a donc : MNA1A2A3B1B2B3C1C2C3+-MNA1A2A3B1B2B3C1C2C3+- 3 1 2M N1 2 3Q Q QV V .C C C = = =La charge totale prise par le groupement est la somme des charges prises par chacun des condensateurs, donc : Q = Q1 + Q2 + Q3., soit Q = (C1 + C2 + C3) (VM-VN). Lecondensateur quivalent aura une capacit C telle que lorsquil est soumis la diffrence de potentiel VM-VN, il prenne la charge Q : Q = C (VM-VN). Par identification, on obtient : C = C1 + C2 + C3. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 21 - Plus gnralement, pour un nombre quelconque de condensateurs en parallle :// iiC C . = 1.1.8Linductance. La tension aux bornes dune bobine est donne par lexpression : diu L .dt= Linductance sexprime en Henry, H. Lintensittraversantunebobinenepeutpasvarierdemanireinstantane.L'intensitdans unebobineestdoncunefonctioncontinuedutemps.Cettecaractristiqueestutilepourla dtermination de conditions initiales. La puissance reue par la sefl est donne par lexpression : ( ) ( ) ( )( )22d i t 1p t u t i t L .2 dt= = En intgrant sur un intervalle de temps t, on obtient lnergie accumule dans une self : ( ) ( )t201W p x dx Li t .2= = 1.1.8.1Associations de bobines. 1.1.8.1.1Association en srie. iL1L2L3Lnu1u2u3unuiL1L2L3Lnu1u2u3unu Chaque self est parcourue par le mme courant dintensit i et est soumise une tension uk :( )( )k kdi tu t Ldt= La tension aux bornes de lensemble est gale la somme des tensions partielles, donc : ( )( ) di tu t Ldt= ( ) ( )( ) ( )n n nk k kk 1 k 1 k 1di t di tu t u t LL L L .dt dt= = == = = = Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 22 - En srie, linductance quivalente est gale la somme des inductances. 1.1.8.1.2Association en parallle. iL1L2L3Lnui1i2i3iniL1L2L3Lnui1i2i3in Chaque self est soumise la mme tension : ( )( )kkdi tu t L .dt= ( ) ( )nkk 1i t i t== implique : ( ) ( ) ( ) ( )n n nkk 1 k 1 k 1 k kdi t u t di t u t 1 1.dt L dt L L L= = == = = = Enparallle,linductancequivalenteestgalelinversedelasommedesinversesdes inductances. 1.2Electrocintique. 1.2.1Thorme de superposition. 1.2.1.1Principe. Les lois de Kirchhoff conduisent des quations linaires vis--vis des intensits et des forces lectromotrices et contre-lectromotrices. Lorsquontientcompte,danslesquations,delaloideKirchhoffrelativeauxmailles,des quationsrelativesauxnuds,onobtientunsystmedenquationslinairesninconnues (les n intensits indpendantes). Ce systme peut scrire sous la forme matricielle : (R) (I) = (E) (I)reprsentelamatricedesintensitsalgbriquesinconnues,(E)reprsentelamatricedes forceslectromotricesetcontre-lectromotrices(aveclaconditiondalgbrisation),(R) reprsente la matrice de toutes les rsistances. Il est bien vident que lon peut crire :(G) (E) = (I) (G) tant la matrice des conductances, avec videmment (G) (R) = (1). 1.2.1.2Thorme. Considronsunrseaudonndonttouteslesrsistancessontfixes(ycompriscellesdes gnrateurs et des rcepteurs) : la matrice des conductances (G) est parfaitement connues. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 23 - Imaginons alors que lon applique ce rseau un systme de forces lectromotrices et contre-lectromotrices caractrises par la matrice (E1). Il stablit un rgime de courants permanents caractris par la matrice (I1) telle que : (G) (E1) = (I1). Remplaonscesystmeparunautresystmedeforceslectromotricesetcontre-lectromotricescaractrisparlamatrice(E2).Ilstablitunrgimedecourantspermanents caractris par la matrice (I2) telle que : (G) (E2) = (I2). Supposonsmaintenantlesdeuxsystmesdeforceslectromotricesetcontre-lectromotrices de manire obtenir un systme caractris par la matrice (E1 + E2). Il stablit un rgime de courants permanents caractris par la matrice (I) telle que : (I) = (G) (E1 + E2). Du fait de la linarit : (I) = (G) (E1) + (G) (E2) donc (I) = (I1) + (I2) nonc du thorme :Lorsque,dansunrseaudeconducteurs,onsuperposeplusieurssystmesdeforces lectromotricesetcontre-lectromotrices,lintensitducourantdanschaquebrancheestla somme des intensits dans cette branche dues chacun des systmes agissant seul. 1.2.2Courants fictifs de mailles. Le principe est le suivant : on imagine que chacune des mailles dun rseau est parcourue par un courant qui est prcisment le courant fictif de maille. Ces courant fictifs parcourent tous des mailles forcment indpendantes. Une fois connus les courants fictifs de mailles, on peut dterminer les courants rels circulant dans les branches. On introduit la reprsentation matricielle sur un exercice : Exercice : Reprsentation matricielle. Pour introduire la reprsentation matricielle, nous allons utiliser un rseau simple permettant de bien mettre en vidence les courants de mailles. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 24 - Onaicitroismaillesindpendantes.Nousnoteronsj1,j2,j3les courantsfictifsdemaille,parcouranttouteslesmaillesdansle mmesens(senstrigonomtriquedirectousensrtrograde,cela importepeu).OncritmaintenantlaloideKirchhoffpourchaque maille : -maille (1) :( ) ( )5 1 2 2 1 3 1 1 1R j j R j j r j e 0 + + + =-maille (2) :( ) ( )3 2 4 2 3 5 2 1R j R j j R j j 0 + + =-maille (3) :( ) ( )2 3 1 4 3 2 3R j j R j j Rj e 0 + + =e,Re1,r1R2R3R4R5j1j2j3e,Re1,r1R2R3R4R5j1j2j3 Cela sarrange sous la forme matricielle :1 2 5 5 2 1 15 3 4 5 4 22 4 2 4 3r R R R R j eR R R R R j 0R R R R R j e+ + | || | | | | || + + = | || | || + +\ \ \ Oncalculeensuitelesintensitsfictivesj1,j2etj3.Cecitantfait, on introduit les courants rels tels que : I = j3, I1 = j1, I2 = -j1 + j3, I3 = j1 j2. e,Re1,r1R2R3R4R5II1I2I3e,Re1,r1R2R3R4R5II1I2I3 Lavantage de la mthode est certain lorsque lon a un rseau trs complexe. Lcriture de la matriceestimmdiate.Parinversion,onpeutendduirelamatricedescourantsfictifsde maille et, par suite, dterminer les seuls courants fictifs intressant pour ce que lon cherche. On en dduit alors les courants de branches. 1.2.3Thorme de Millman :Considrons le circuit suivant : Pour chacune des branches nous pouvons crire : 1 0 1 12 0 2 23 0 3 3V V R iV V R iV V R i = = = Soit encore : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 25 - 1 0112 0223 033V ViRV ViRV ViR === En sommant ces relations il vient : 1 0 2 0 3 01 2 31 2 3V V V V V Vi i iR R R + + = + + . Or nous avons : i1 + i2 + i3 = 0, donc : 3 1 201 2 3 1 2 3V V V 1 1 1VR R R R R R| |+ + = + + |\ ou 3 1 21 2 301 2 3V V VR R RV1 1 1R R R+ +=+ + Ce rsultat se gnralise un nombre quelconque de branches : kk kk k k0kkk kVG VRV .1GR= = La tension au nud est la moyenne des tensions aux bornes de tous les diples pondre par les conductances respectives. 1.2.4Thorme de Thvenin (hors programme). LethormedeThveninpermetdemodliserdesportionsdecircuitafindecalculerles intensits dans des branches dtermines. Considrons un diple actif jouant globalement le rle de gnrateur et relions ce diple actif un diple quelconque (actif ou passif). dipleactifdiplequelconqueABIdipleactifdiplequelconqueABI SoitU=VAVBladiffrencedepotentielaux bornesdudipleetsoitIlintensitducourant dbitparledipleactifdanslediple quelconque. 1]DbranchonslediplequelconqueetbranchonsauxbornesdeAetBdudipleactifun gnrateurparfait,cest--diredpourvudersistanceinternedontlaforcelectromotricee est prcisment la diffrence de potentiel VA VB. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 26 - dipleactifABIedipleactifABIe Le diple actif se prsente alors de la manire suivante : Lintensit I dbite est videmment inchange par rapport au cas prcdent.Onaainsitransformledipleactifenrseauferm par le gnrateur de force lectromotrice e. La branche AeB nest rien dautre quune branche de ce rseau. Les lois de Kirchhoff tant linaires en I et e : i iiI G e Ge = +, i iiG etantrelatiftouteslesautresbranchesdurseaucomportantventuellementdes forces lectromotrices et contre-lectromotrices. 2]Considronsmaintenantledipleactifencircuitouvert.Le courant dbit est nul, I = 0. LadiffrencedepotentielauxbornesdeAetBdevientU0et lexpression ci-dessus de I subsiste en faisant e = U0 et I = 0 : dipleactifABdipleactifAB i i 0iG e GU 0 + =. On en dduit : 0I Ge GU = , soit puisque e = VA VB :I = G (VA VB) - G U0. 3] Supprimons maintenant toutes les forces lectromotrices du gnrateur mais en gardant les sources (on dit quon teint les sources) et appliquons aux bornes de A et de B le gnrateur de force lectromotrice e. Il dbite un courant I tel que : ieI 'R= ,Ritantlarsistancequivalentedudipleactifvuede A et B. femsupprimesABIefemsupprimesABIe Or, lexpression prcdente de I, i iiI G e Ge = +, subsiste (en faisant e1 = = en = 0) :I = Ge, et compte tenu des sens des intensits, I = -I, do : -I = Ge et : ieGeR= , soit i1GR= . En reportant dans I = G (VA VB) - G U0, il vient : ( )0A Bi iU 1I V VR R= + , soit : ( )A B 0 iV V U R I . = Cette relation traduit le thorme de Thvenin. Un diple actif est quivalent, vu de ses deux bornes, un gnrateur de tension dont la force lectromotrice est la diffrence de potentiel aux bornes du diple encircuit ouvert et dont la Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 27 - rsistanceinterneestlarsistancequivalente,vuedesdeuxbornesdudiplelorsquelona enlev toutes les forces lectromotrices et en gardant les rsistances. ABRiU0ABRiU0 Ce gnrateur quivalent est dit gnrateur de Thvenin. Il faut bien remarquer quil sagit dune modlisation du diple actif : on remplace ainsi un circuit complexe tudier par un circuit qui lui est quivalent, mais seulement vu des bornes A et B du diple. 1.2.4.1Mthodologie : 1) Supprimer le diple AB. 2) Dterminer la tension aux bornes du diple AB, U0. 3)DterminerlimpdancequivalentevuedepuislesbornesABlorsquetouteslessources sont teintes, Ri 4) Remplacer le circuit par le schma quivalent ci-dessus. 1.2.5Thorme de Norton (hors programme). Ce thorme donne une autre modlisation dun diple actif. ABRiU0I0ABRiU0I0 Schmatisonsnouveauledipleactifparungnrateurde Thveninetcourt-circuitonslesbornesAetB.Ledipleest travers par un courant dintensit I0 : 00iUIR= . La relation( )A B 0 iV V U R I = devient : ( )A B0iV VI I .R= Cette relation traduit le thorme de Norton : Undipleactifestquivalent,vudesesdeuxbornes,ungnrateurdecourantdontle courant principal est le courant de court-circuit du diple et dont la rsistance interne monte enparallleestlarsistancequivalentevuededeuxbornesdudiplelorsquonaenlev toutes les forces lectromotrices, cette rsistance dtournant un courant ( )A BiV VR. A BI0Ri( )A BiV VRA BI0Ri( )A BiV VR Ce gnrateur quivalent est dit gnrateur de Norton. Il faut remarquer quil sagit l encore dune modlisation du diple actif, au demeurant parfaitement quivalente la prcdente. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 28 - 1.2.5.1Mthodologie : 1) Court-circuitez le diple AB. 2) Dterminer le courant de court-circuit circulant dans AB, I0. 3)DterminerlimpdancequivalentevuedepuislesbornesABlorsquetouteslessources sont teintes, Ri 4) Remplacer le circuit par le schma quivalent ci-dessus. 1.2.5.2Exemples dapplication des thormes de Thvenin et de Norton :Proposonsnousdecalculeraumoyendes thormesdeThveninetdeNortonlintensit traversant le diple (e1,r1). Pourcela,ilnousfautmodliserlediple A1e2B1. e1e2r1r2A1B1Re1e2r1r2A1B1R Modlisation de Thvenin : - Calcul de U0 : 222eiR r=+.VA VB = R i2, or VA VB nest rien dautre que U0 : 202e RUR r=+. e2r2A1B1Ri2e2r2A1B1Ri2 - Dtermination de Ri :VudeAetB,lediple,lorsquonasupprime2,serduitRetr2montesenparallle donc :2i2RrR .R r=+ Le circuit tudi est donc quivalent au suivant : Par consquent :0 11i 1U eiR r=+ ou ( )( )212 1 22122 1 212e Ree R e R rR riRrRr r R rrR r ++= =+ +++,RiU0e1r1i1RiU0e1r1i1 soit : ( )( )2 1 1 211 2 1 2R e e e ri .R r r r r =+ + Modlisation de Norton : Dtermination de I0 : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 29 - 20 2 202i 22e RU R r eI .RrR rR r+= = =+ Le circuit tudi est donc quivalent au suivant :ABI0Rie1r1i1ABI0Rie1r1i1 VA VB = e1 + r1 i1. Par ailleurs, daprs le thorme de Norton : ( )A B1 0iV VI IR= soit : 2 1 1 11222e e r IIRrrR r+= +, soit :( ) ( )1 2 1 2212 2 2r R r e R reI 1Rr r Rr| | + ++ = |\ , on en dduit : ( )( )2 1 1 211 2 1 2R e e e rI .R r r r r =+ + 1.3Rgime transitoire. 1.3.1Charge et dcharge dun condensateur travers une rsistance. Voir la partie exercice. 1.3.2Circuit (L,C) Voir la partie exercice. 1.3.3Circuit (R,L,C) Voir la partie exercice. 1.4Courant sinusodal. 1.4.1Rappels sur les fonctions sinusodales. Soit une fonction dedans: f(t) = F cos (t + ) avec F rel positif. -Calculons la valeur absolue de la fonction : |f(t)| = |F| |cos (t + )| or |cos (t + )| 1 do lon dduit que |f(t)| |F| = F. F est la valeur maximale de la fonction f(t). -t + est la phase instantane. - est la pulsation propre de la fonction, elle sexprime en rad.s-1. -On sait que la fonction cosinus est 2-priodique donc :cos (t + ) = cos (t + + 2) = cos ((t+T) + ) => T = 2 et 2 1T .f= = T, la priode, sexprime en seconde, s, et f, la frquence, en Hertz, Hz. (Ne pas confondre f et f(t), lune est une frquence et lautre est la fonction introduite). Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 30 - Afindebiencomprendrelanotiondephase,ontracelafonctioncos(2t)etlafonction cos(2t + /2) : Le dphasage correspond une avance ou un retard dune courbe lune par rapport lautre. 0.2 0.4 0.6 0.8 1t-1-0.50.51Dphasage entre Cos @ 2 tD et Cos @2 t+

2 D -Valeur moyenne dune fonction sinusodale :( ) ( ) ( ) ( )T TT00 01 1 Ff t f tdT Fcos tdT sin tT T T( = = + = + , ( ) ( )Ff t sin T sin 0T( = + = et donc :( ) f t 0 = , la valeur moyenne dune fonction sinusodale est nulle. 0.5 1 1.5 2t-1-0.50.51f H tL F f H t L sur deux priode T -Valeur efficace dune fonction sinusodale : ( ) ( ) ( ) ( )T T T 2 22 2 20 0 01 F Ff t f tdT cos tdT 1 cos 2 tdTT T 2T= = + = + + , ( ) ( )2 22F Ff t T 0 .2T 2= + =On dfinit la valeur efficace :( )2effFF f t .2= =Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 31 - 0.2 0.4 0.6 0.8 1t0.20.40.60.81f2 H tL

F2f2H t L sur une priode T 1.4.2Rappels sur les nombres complexes. 1.4.2.1Dfinition :L'ensemble des nombres complexes est l'ensemble des nombres qui s'crivent a + jb avec a et bappartenantetj=-1,munidesoprationsd'additionetdemultiplicationayantles mmes proprits que celle de. 1.4.2.2Nombre j. Nous avons un nouvel ensemble de nombres qui est compos de deux termes d'une somme : celuiquin'estpasmultipliparlesymbolejetceluiquiestmultipliparlesymbolej,qu'il existe des oprations sur ces nombres, que ces oprations ont les proprits des oprations sur R mais que j est un symbole spcial, quand on le multiplie par lui-mme on a : j = -1. C'est donc ce nombre qui caractrise les nombres complexes. Dans le cas o b = 0 on a : a + 0i=a.Cequinousfaitdirequel'ensembledesnombresrelsestinclusdanslesnombres complexes ou que les nombres complexes sont une extension des nombres rels. 1.4.2.3Partie relle, partie imaginaire Dans z = a + jb : a est appel partie relle de z qui est note Re(z), b est appel partie imaginaire de z qui est note Im(z).

Si Re(z) = 0 alors z est un imaginaire pur. Si Im(z) = 0 alors z est un rel. 1.4.2.4Module d'un nombre complexe Dfinition : Le module d'un nombre complexe est le nombre rel positif ou nul tel que : |z| = a + b

Proprits : |z| = 0 ssi z = 0, le module est nul si et seulement si le nombre complexe est nul. |z.z'| = |z|.|z'|. Le module d'un produit est gal au produit des modules. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 32 - |z + z'| |z| + |z'|. Comme le module est une distance, au mme titre que la valeur absolue des relsdontilestl'quivalentpourlescomplexes,il"obit"l'ingalittriangulaire.C'estce qu'indique cette proprit. 1.4.2.5Conjugaison complexe Il y a deux nombres dont le carr est -1 : i et -i, et ce n'est que de manire arbitraire que nous avons choisi i et non pas -i, il n'empche que toutes les proprits vraies pour i le sont pour -i, d'o l'importance du nombre complexe a - ib. Ce nombre s'appelle conjugu de z et se note z . Si z = a + ib alorsz = a - ib Laconjugaisoncomplexeesttrsimportante,cartouteslespropritsquezpossde, z les possde aussi.

1.4.2.6Notations des nombres complexes Considrons le repre orthonorm (O, i , j

). De part la dfinition des nombres complexes que nous avons donne, nous pouvons reprer, sur l'axe des abscisses, la partie relle et, sur l'axe des ordonnes, la partie imaginaire de chaque nombre complexe. Nous pouvons donc faire correspondre tout nombre complexe le vecteur :( ) ( ) W Re z i Im z j = +

Si z = a + jb, alors nous avonsOM ai bj = +

. Le point M est unique, on lappelle image de z.

Dans un tel plan, on a OM = a + b, d'aprs le thorme de Pythagore, ce qui reste cohrent avec la notion de module. On peut donc identifier les points du plan, muni d'un tel repre, l'ensemble des nombres complexes. C'est le plan complexe.Le point A de la figure ci-dessous a pour coordonnes (1 ; 0) et le point B (0 ; i). L'axe (OA) est l'axe des rels et l'axe (OB) celui des imaginaires purs. On dira axe des rels et axe des imaginaires. ABMOi

j

ABMOi

j

A chaque point M du plan complexe, on peut associer le couple unique :(OM; ( )OA, OM

(2)),c'estdirelecoupledistance dupointl'origineetl'angleorient,modulo2, form entre l'axe des abscisses (rels) et OM

. Dansleplancomplexe,soitMunpointd'affixez, l'angle ( )OA, OM

(2) est appel argument de z. On le note : arg (z). Soit z un nombre complexe, z = a + ib. Notons r le module de z et son argument. On a : a = r.cos et b = r.sin d'o z = r.cos + ir.sin Et nous pouvons crire : z = r(cos + i.sin) qui est la notation trigonomtrique de z. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 33 - L'additionn'aaucunintrttrefaiteaveclanotationtrigonomtrique,aucontraireelle compliqueleschoses.Parcontre,lamultiplicationdesnombrescomplexescritssousla forme trigonomtrique possde certains avantages. Soit z = r(cos+ i.sin) et z' = r'(cos'+ i.sin'), on a : zz' = r(cos+ i.sin) r'(cos'+ i.sin') = rr'( cos. cos' + cos. i.sin' + i.sin cos' - sin sin') = rr'( cos. cos' - sin sin' + i.(cos sin' + cos'sin))

D'aprs les formules de trigonomtrie(sinus et cosinus d'une somme), nous avons : zz' = rr'(cos (+') + i.sin (+')) Onenconclutque:pourmultiplierdeuxnombrescomplexes,critssouslaforme trigonomtrique,ilfautmultiplierleursmodulesetadditionnerleursarguments.Cecinest pas sans rappeler les proprits des exponentielles. L'argument d'un nombre complexe se comporte comme un exposant. On conviendra de noter z = r(cos + i.sin) ainsi : z = r.ei. C'est la notation exponentielle. Dans ce cas le conjugu de z s'crit :z = r.e-i. Cette notation a un gros avantage, elle permet de calculer rapidement les produits, de plus elle donne le module et l'argument du nombre. 1.4.2.7Notation complexe. toutegrandeursinusodaledamplitudeaetdephaseinstantanet+,onfait correspondre un nombre complexe dfini par : y(t) = a cos (t + )( )( ) jty t a e += Ici, nous faisons le choix de la convention jt et non loppose jt. Le choix de lune ou de lautredpenddelutilisateuretdelamatireconsidre.Enlectricit,onutilise gnralement la convention jt. En thorie de la propagation, on utilise souvent jt. Si lon drive et intgre y(t) : ( )( )( )( )( )( )j tj tdy t ja e jy t ,dt1 1y tdt a ey t .j j + += = = = Ainsi la drive est remplace par une multiplication par : j, djdt . Lintgration est remplace par la multiplication par : 1j, 1dtj=. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 34 - 1.4.3Impdance complexe dun diple linaire. 1.4.3.1Dfinition : Considrons un diple linaire AB : Choisissons u(t) = U cos t et i(t) = I cos (t + ). Dans ces conditions,( ) ( )( ) j t j tu t U e , i t I e . + = =La relation linaire entre( ) u tet( ) i test : A Bi(t)uABA Bi(t)uAB ( ) ( )u t zi t= zest limpdance complexe, elle dpend de . Ainsi j ju Uz e Z ei I = = =o-Le module Z = | z | est limpdance. Elle sexprime en Ohms. -Largument est le dphasage de u par rapport i. Pour chaque diple, on crit la relation courant-tension que lon compare ( ) ( ) u t zi t = . 1.4.3.2Rsistance :u = R i ( ) ( ) u t Ri t = compare( ) ( ) u t zi t = donne : jz R Z e= = ,do lon dduit : R R Z R, 0 . = =1.4.3.3Condensateur parfait : ( )q 1u i t dtC C= =( ) ( ) ( )1u t i t zi tjC= = donne : 1zjC= do lon dduit : C C1Z ,.C 2= = 1.4.3.4Inductance idale :diu Ldt= ( ) ( ) ( ) u t jL i t zi t = =donne :z jL = do lon dduit :L L Z L ,.2= = Si lon reprsente les impdances complexes dans le plan complexe, on a : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 35 - RRL L1/C 1/C 1.4.4Association dimpdances complexes. 1.4.4.1Associations en srie. 1z2z3z4znzuu1u2u3u4un1z2z3z4znzuu1u2u3u4un En srie, les tension sajoutent : u = u1 + u2 + u3 + u4 + + un ce qui donne : ( )1 2 3 4 n 1 2 3 4 nu u u u u ... u z z z z ... z i z i = + + + + + = + + + + + = etparconsquence, limpdance quivalente est :srie 1 2 3 4 nz z z z z ... z . = + + + + + 1.4.4.2Association en parallle. Enparallle,latensionauxbornesdechaqueimpdanceestconstante, lintensit totale est la somme des intensits dans chaque branche :1 2 3 n1 2 3 nu u u u ui i i i ... i ...z z z z z= + + + + = + + + + =do lon dduit : // 1 2 3 n1 1 1 1 1... .z z z z z= + + + + 1z2z3z4znzu1z2z3z4znzu 1.4.5Puissance. 1.4.5.1Puissance instantane. Soit un diple dimpdance z ; linstant t, la puissance consomme, en convention rcepteur, est :p(t) = u(t) i(t), Si u(t) = U cos t et i(t) = I cos(t + ), la puissance est gale : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 36 - p(t) = u(t) i(t) = UI cos t cos(t + ), ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )2p(t) UI cos t cos t cos sin t sin ,p(t) UIcos t cos cos t sin t sin ,1p(t) UI 1 cos 2 t cos sin 2 t sin ,21p(t) UI cos cos 2 t .2= = = + = + + 1.4.5.2Puissance moyenne ou active. Si lon fait la moyenne de lexpression temporelle de la puissance, on obtient, sachant que la valeur moyenne de la fonction cosinus est nulle sur une priode : eff eff1P p(t) UI cos U I cos .2= = = P est la puissance active. eff effU I est la puissance apparente. cos est le facteur de puissance. Exercice : Autre expression de la puissance active. Montrer que la puissance active aux bornes dun diple dimpdance z r jx = + est 2effP r I = . Solution : j tu U e=et ( ) j ti I e +=sont lis paru z i = . On a donc : ( ) ( )eff effU z I U z Iu z i0 arg z arg z = = = = + = etrcosz = . On en dduit : 2 2eff eff eff effrP U I cos z I r Iz= = = . Il est important de connatre cette dernire relation. 1.4.5.3Thorme de Boucherot. Considronslatension j tu U e= etlintensitducourant ( ) j ti I e += .Onintroduitla puissance complexe : *uip2= . ( )( )*-j t j t -jui 1 1 1p U eI e UIe UI cos jsin2 2 2 2 + = = = = soit : eff eff eff eff rp U I cos jU I sin P jP . = = + On retrouve : Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 37 - La puissance active eff effP U I cos = et on introduit la puissance ractive :r eff effP U I sin = . Elle sexprime en VAR, Volt Ampre Ractif. Considronsalorslesimpdancescomplexeskz k=1n,montesensrie(lemme raisonnementpeuttretenuavecuncircuitenparallle).Ellessonttraversesparlemme courant i . Soient kvles diffrences de potentiel complexe aux bornes de chaque impdance. On a videmment aux bornes de lensemble :kkv v =soit * *kkvi v i = . Donc,kp , k = 1 n, tant les puissances complexes dissipes dans chaque impdance : kkp p = , k = 1 n. Pourdesimpdancesensrie,lespuissancescomplexessajoutentparconsquent.En identifiant partie relle et partie imaginaire, il vient :kkr r,kkP PP P==, Orlespuissancesactivessontpositivesounulles.Lespuissancesractivessontpositives, ngatives ou nulles. On exprime les rsultats ci-dessus par le thorme de Boucherot : La puissanceactive consomme dans un rseau aliment en courant sinusodal est gale la somme des puissances actives consommes par les appareils du rseau ; la puissance ractive est gale la somme algbrique des puissances ractives. On retiendra donc que : u = U cos t et i = I cos (t+ ) Pactive = P = U I cos . Practive = Q = U I sin . Papparente = S = U I = 2 2 2 2active ractiveP Q P P + = + Cas des diples :Rsistance R : = 0 donc cos = 1 et sin = 0 Pactive = P = U I. Practive = Q = U I sin = 0. Papparente = S = U I = 2 2 2 2active ractiveP Q P P + = + = P. Capacit C : z = 1/jC = -j/C do = -/2 donc cos = 0 et sin = -1. Pactive = P = 0. Practive = Q = U I sin = -UC. Papparente = S = U I = 2 2 2 2active ractiveP Q P P + = + = |Q|. Inductance L : z = jL do = /2 donc cos = 0 et sin = 1. Pactive = P = 0. Practive = Q = U I sin = = U/L. Papparente = S = U I = 2 2 2 2active ractiveP Q P P + = + = Q. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 38 - 1.4.6CircuitRLC,rsonanceenintensit,bandepassante,facteurde qualit. Voir lexercice sur le circuit RLC. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 39 - 2noncs des exercices. 2.1Question sur les oiseaux. Pourquoi les oiseaux ne prennent-ils pas de chocs lectriques sur les gros fils? 2.2Courant et charge. Un fil transporte un courant de 2 A. Combien dlectrons passent par le fil en 1 s ? La charge lmentaire dun lectron est de e = 1.6 10-19 C. 2.3Capacits quivalentes. Apartirdecondensateursdecapacits1F,constitueruneportiondecircuitdecapacit quivalente gale 3 F, 0,5 F. 2.4Questions sur les condensateurs. 1) Vrai ou faux ? a. La tension aux bornes dun condensateur double quand sa charge double. b. La tension aux bornes dun condensateur est gale au produit de sa charge par sa capacit. c. Deux condensateurs de mme capacit ont toujours la mme charge. d. Lnergie emmagasine dans un condensateur est proportionnelle la tension ces bornes. e.Sousunetensiondonne,uncondensateuremmagasinedautantplusdnergiequesa capacit est grande. f. La constante de temps dune association RC en srie double quand la capacit double. 2) Dterminer la charge dun condensateur de capacit 220 nF charg sous une tension de 10 V. 3) Dterminer lnergie emmagasine dans un condensateur de capacit 0,40 mFcharg sous une tension de 10 V. 4)Lnergie emmagasine dans un condensateur de capacit de 30 Fest de 1,5 mJ. Quelle est sa charge ? Quelle est la tension ses bornes ? 5) On charge un condensateur de capacit 1,0 mF initialement dcharg avec un gnrateur de courant constant dlivrant une intensit de 4,0 mA. Quelle est lnergie emmagasine dans le condensateur au bout de t = 0,50 s ? 2.5Rflexion sur les capacits. Un condensateur de capacit C est soumis une diffrence de potentiel VA- VB. 1) Quelle est lexpression de la charge qA de larmature A du condensateur ? 2) Quelle est lexpression de la charge qB de larmature B du condensateur ? 3) Quelle est lexpression de la charge du condensateur ? 4) Quelle est lexpression de son nergie lectrostatique ? Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 40 - 2.6Puissance dissipe dans une rsistance. Auxbornesdungnrateurdeforcelectromotriceeetdersistanceinterner,onbranche unersistancevariableR.DterminerlavaleurdeRpourlaquellelapuissanceperduepar effet Joule dans celle-ci est maximale. 2.7Luminosit dune ampoule. La luminosit dune ampoule augmente avec lintensit du courant qui la traverse. Pourrduirelaluminositduneampoule,doit-onbrancherensrieouenparallleune rsistance auxiliaire ? 2.8Rsistance et section. UnfildelongueurLetdesectionSaunersistancede5. Quelle est la rsistance d'un fil de mme longueur mais de section S/2 ? 2.9Rsistance et rsistivit. On donne les conductivits suivantes : Cu = 58 106 S.m, Al = 35 106 S.m, Ag = 61 106 S.m. Quelle est la rsistance dun cble de cuivre de 1 m de long et de diamtre 1,8 mm ? Quelledoittrelediamtreduncble,demmelongueuretdemmersistance,en aluminium ? Quelle doit tre la longueur dun cble, de mme section et de mme rsistance, en argent ? 2.10 Rsistance du cuivre. Un fil de cuivre a un diamtre 0.9 mm et une longueur de 20 m. La rsistivit du cuivre est : 1.7 10-8 .m. Quelle est sa rsistance ? Quelle est la rsistance d'un fil de cuivre de section 4 mm2 et de longueur 100 m? 2.11 Rsistance du platine. Unfildeplatinedelongueur80cmdoitavoirunersistancede1.Quelledoittreson diamtre ? La rsistivit du platine est de : 1.1 10-7 .m. 2.12 Rsistance dun tronc de cne. Calculer la rsistance dun conducteur tronconique de rayons a et b et de hauteur h. 2.13 Rsistance dun milieu entre deux hmisphres. Calculerlarsistancedunmilieucomprisentre deuxhmisphresconcentriquesderayonsR1et R2. R1R2R1R2 Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 41 - 2.14 Puissance dissipe. Le courant passant par une rsistance de 50 est de 2 A. Quelle est la puissance dissipe en chaleur ? 2.15 Accumulateur. Un accumulateur de 12 V dune voiture a une capacit de 80 A.h (il peut dbiter 80 A pendant 1 h). Quelle est lnergie emmagasine dans laccumulateur ? Leslampesduvhiculencessiteunepuissancede60W,combiendetempslaccumulateur peut-il les maintenir allumes quand le moteur (et donc son gnrateur) ne tourne pas ? 2.16 Charge dun accumulateur. Quelle doit tre la diffrence de potentiel de la source de tension pour que lon puisse charger un accumulateur de f.e.m 6 V et de rsistance r = 0.1 raison de 10 A ? 2.17 Rsistance quivalente. Onconsidrelecircuitdelafigureci-contre dans lequel K1 et K2 sont deux interrupteurs. Calculerlarsistancequiestenparallle avec la rsistance de 36 , entre les points A et B, dans les cas suivants : 1) K1 et K2 sont ferms ; 2) K1 et K2 sont ouverts ; 3) K1 est ouvert et K2 est ferm ; 4) K1 est ferm et K2 est ouvert.K1 K224 48 36 120 72 K1 K224 48 36 120 72 2.18 Rduction de la rsistance. Un circuit a une rsistance de 50 . Comment peut-on la ramener 20 ? 2.19 Rsistance quivalente aux bornes de AB. Dterminer la rsistance quivalente : A BDRCR RRA BDRCR RR Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 42 - 2.20 Rsistance quivalente (2). Soitleschmaci-contre.Calculez la rsistance quivalente entre A et C. 2.21 Rsistance quivalente une association en srie. Onassocieensriedeuxrsistancesl'unede330etl'autrede470.L'ensembleest aliment par un gnrateur dlivrant une diffrence de potentiel de 24 V. Calculer :1.La rsistance quivalente l'association. 2.L'intensit du courant dans le circuit. 3.La ddp aux bornes de chaque rsistance. 4.La puissance dissipe par effet joule dans chaque rsistance. 2.22 Rsistance quivalente une association en drivation. On associe en parallle cinq rsistances identiques 100 - 1W Calculer : 1.La rsistance quivalente du montage. 2.L'intensit maximale du courant admissible par une rsistance. 3.L'intensit maximale du courant admissible par le montage. 4.La ddp maximale applicable aux bornes du montage. 5.La puissance maximale admissible par le montage. 2.23 Rsistance quivalente (3). Onraliselecircuitci-contreoR1 =47,R2 =33etR3 =82.Onappliqueentreles bornes A et B une tension UAB=12 V.1. Quelle est l'intensit I1 du courant traversant R1 ?2. Quelle est l'intensit I2 du courant traversant R2? En dduire la tension aux bornes de la rsistance R3.3.Calculerlavaleurdel'intensitIducourantdanslabrancheprincipale. En dduire la valeur de la rsistance quivalente R du circuit.4. Retrouver la valeur de R en utilisant les lois d'association des conducteurs ohmiques. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 43 - 2.24 Rsistance quivalente (4). CalculerRABlarsistancequivalentel'ensemblede rsistancessuivant,sachantqueR1=2k, R2= 500,R3= 4,7 k, R4= 2,2 , R5 = 7 k. A BR1R2R4R5R3A BR1R2R4R5R3 2.25 Calculs de grandeurs : i, u ? Dterminer dans chaque cas ci-dessous la grandeur suivies dun ? . 1 R = 5 e = 10 Vu = 20 VA Bi = ?R = 5 e = 10 Vu = 20 VA BR = 5 e = 10 Vu = 20 VA Bi = ? 2 R = 5 3 A u ?ABi = 1 AR = 5 3 A u ?ABi = 1 A 3 R = 1 e = 1 Vu = 0 VA Bi = ?R = 1 e = 1 Vu = 0 VA Bi = ? 4 R = 2 e = 5 Vu = ? VA Bi = 1 AR = 2 e = 5 Vu = ? VA Bi = 1 A 5 R = 12 e = 2 Vu = 15 VA Bi = ?R = 12 e = 2 Vu = 15 VA Bi = ? 6 R = ? e = 4 Vu = 12 VA Bi = 0,8 AR = ? e = 4 Vu = 12 VA Bi = 0,8 A 7 R = 20 e = -5 Vu = ? VA Bi = 2 AR = 20 e = -5 Vu = ? VA Bi = 2 A 8 R = 25 e = ? Vu = 15 VA Bi = -3 AR = 25 e = ? Vu = 15 VA Bi = -3 A 2.26 Calculs de grandeurs : i, u ? Suite. Dterminer dans chaque cas ci-dessous la grandeur suivies dun ? . Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 44 - 1 R = 2 u = 3 V = 2 Ai = ? AR = 2 u = 3 V = 2 Ai = ? A 2 R = 1 u = ? V = 1 Ai = 0 AR = 1 u = ? V = 1 Ai = 0 A 3 R = ? u = 10 V = -1 Ai = 1 AR = ? u = 10 V = -1 Ai = 1 A 4 2 3 A 20 Vi = ? A2 3 A 20 Vi = ? A 5 10 ? A 10 Vi = 2,5 A10 ? A 10 Vi = 2,5 A 6 1 1 A u ? V0 A1 1 A u ? V0 A 2.27 Galvanomtre. Un galvanomtre qui mesure des courants de 0 1 mA a une rsistance de 40 . Comment ce galvanomtre peut-il tre utilis pour mesurer des courants de 0 1 A ? Le mme galvanomtre doit tre utilis pour mesurer des diffrences de potentiel de 0 1 V. Comment peut-on raliser cela ? 2.28 Mesure dune rsistance. Unvoltmtredersistance1kestbranchauxbornesdunersistanceetlensembleest montensrieavecunampremtre.Quandunediffrencedepotentielestapplique,le voltmtre indique 40 V et lampremtre 0,05 A. Quelle est la valeur de la rsistance ? 2.29 Condensateur plan dilectrique. Lescaractristiquesd'uncondensateursontlessuivantes:C=0,12F,paisseurdu dilectriquee = 0,2 mm ; permittivit relative del'isolant :r = 5 ; tension de service : Us= 100 V. 0= 8,84 10-12 F/m. Calculer : - La surface des armatures. - La charge du condensateur soumis la tension de service. - L'nergie emmagasine dans ces conditions. Lecondensateurtantcharg,onl'isole,puisonl'associeenparallleuncondensateurde capacit C1= 0,15 F initialement dcharg. Calculer : - La charge totale de l'ensemble form par les deux condensateurs. - La tension commune aux deux condensateurs en rgime permanent. - L'nergie emmagasine par le montage. 2.30 Charge dun condensateur, circuit RC. Un condensateur de capacit C = 500 F, initialement dcharg, est charg sous une tension constante E = 10 V, travers une rsistance R = 1 k. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 45 - 1)Reprsenterlvolutiondelatensionetdelintensitauxbornesducondensateuren fonction du temps. On fera apparatre un temps caractristique.2) Au bout de combien de temps la tension uC aux bornes du condensateur sera-t-elle de 9 V ? 2.31 Calculs des nergies de diples passifs. Dmontrerlesexpressionsdnergiesemmagasinesetrayonnesauxbornesdune rsistance, dun condensateur et dune bobine. 2.32 Bilan nergtique de charge dun condensateur. On considre un circuit compos dun condensateur initialement non charg, dune source de tensioncontinuedefemE,dunersistanceRetduninterrupteurKinitialementouvert.A linstant t = 0, linterrupteur est ferm. 1)Reprsenterlvolutiondelatensionaucoursdutempsauxbornesdelafem.Comment appelle-t-on la reprsentation ? 2) La rponse du circuit que nous allons tudier est la tension v(t) aux bornes du condensateur ou lintensit i(t) traversant le circuit. Donner lquation diffrentielle en fonction de la charge du condensateur q. Intgrer lquation diffrentielle partir des conditions initiales. Introduisez une constante dont vous prciserez la dimension. 2)Rponseentension.Endduirelvolutiontemporelledev(t).Tracerlacourbe reprsentant lvolution de la tension v(t). 3) Rponse en courant. En dduire lvolution temporelle de i(t). 4) Bilan nergtique. Calculez lnergie fournie par le gnrateur entre les instants 0 et t1 >0. Calculez lnergie dissipe sous forme de chaleur dans R. Calculez lnergie emmagasine dans le condensateur C. Conclure. 2.33 Rponse dun circuit R,L un chelon de tension. Considrons un circuit contenant en srie un gnrateur de tension de fem E, une rsistance R, une inductance L et un interrupteur initialement ouvert et ferm t = 0. 1) Quelle est lquation diffrentielle vrifie par i ? 2)Intgrercettequationentenantcomptedesconditionsinitiales.Onintroduiraune constante de temps. 3) Tracer lallure de i(t). 4)Bilandnergie.Vrifierquelnergiepourlegnrateurestintgralementredistribue dans la rsistance R et dans linductance L. 2.34 Etablissement et rupture dun courant. 1)Alinstantt=0,onfermeuninterrupteurplacprsdela source de tension E. Dterminer les courants i1 et i2. 2)Auboutduntempstrslong,onouvrelinterrupteurK. Calculer le courant circulant dans la bobine ainsi que la ddp aux bornesdeR ;montrerquependantunlapsdetempscourt,la ddppeuttretrssuprieureEsilesparamtressontbien choisis. ERrLi1i2ERrLi1i2 Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 46 - 2.35 Rponse dun circuit R,L,C un chelon de tension. Considrons un circuit contenant en srie un gnrateur de tension de fem E, une rsistance R, uneinductanceL,uncondensateurdecapacitCetuninterrupteurinitialementouvertet ferm t = 0. 1)Ecrirelquationdiffrentiellevrifieparlatensionvauxbornesducondensateur.On introduit deux constantes : 201LC= et 2L.R =2) Trouver une solution particulire lquation diffrentielle. 3) En supposant une solution exponentielle lquation, trouvez une quation caractristique du second degr. 4) Cas du discriminant strictement positif.Quelle condition doit vrifier la rsistance R pour que le discriminant soit positif ? Donner la solution gnrale de lquation diffrentielle vrifie par v. Tracer lallure de v(t). Comment nomme-t-on ce rgime ? 5) Cas du discriminant nul. QuelleconditiondoitvrifierlarsistanceRpourquelediscriminantsoitnul ?Comment nomme-t-on cette rsistance ? Donner la solution gnrale de v(t). Tracer lallure de v(t). Quelle diffrence observez vous ? Comment nomme-t-on ce rgime ? 6) Cas du discriminant ngatif. Dterminer la solution gnrale de v(t). Tracer lallure de v(t). Quel type de rgime observe-t-on ? Introduire et valuer la pseudo-priode. 2.36 Circuit L,C parallle soumis un chelon de courant. OnconsidreuncircuitcomprenantungnrateurdecourantdintensitI,enparallleune bobinedinductanceLetuncondensateurdecapacitC.Lecondensateurestinitialement dcharg. On note v(t) la tension aux bornes de condensateur. A t = 0, le circuit est ferm. Dterminer les intensits dans chaque branche ainsi que la tension v(t). Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 47 - 2.37 BAC 2004 le de la Runion, Exercice1: Quelques usages des condensateurs. 2.37.1 Gnration dimpulsions: le stimulateur cardiaque Notre cur se contracteplus de 100 000 fois par jour.Il bat 24 h sur 24 pendant toute notre vie, entre 60 et 80 fois par minute, grce un stimulateur naturel: le nud sinusal. Lorsquecelui-cineremplitpluscorrectementsonrle,lachirurgiepermetaujourd'hui dimplanterdanslacagethoraciqueunstimulateurcardiaqueartificiel(appelaussi pacemaker) qui va forcer le muscle cardiaque battre rgulirement en lui envoyant de petites impulsions lectriques par l'intermdiaire de sondes. Lebotierdecelui-ciestdepetitetaille:5cmdelargeet6mmd'paisseur.Samasseest d'environ 30 g. Cepacemakerestenfaitungnrateurdimpulsions ;il peuttremodlisparlecircuitlectriqueendrivation, ci-contre,quicomprenduncondensateurdecapacitC= 470nF,unconducteurohmiquedersistanceR,une pile spciale et un transistor qui joue le rle dinterrupteur, K. La pile qui apparat dans ce dispositif peut tre modlise parlassociationensried'unersistancer(icitrsfaible voirengligeable)etd'ungnrateurdetensionidalde force lectromotrice E. Quand l'interrupteur est en position (1) le condensateur se chargedefaonquasi-instantane.Puis,quand linterrupteurbasculeenposition(2),lecondensateurse dchargelentementtraversleconducteurohmiquede rsistanceR,leve,jusqu'unevaleurlimiteulimite= eE avec In e = 1 o In reprsente le logarithme nprien. Acetinstant,lecircuitdedclenchementenvoieune impulsion lectrique vers les sondes qui la transmettent au cur : on obtient alors un battement ! Cette dernire opration termine, linterrupteur bascule connecteurs des sondes pilespciale longue dure circuit lectronique vers le circuit de dclenchement 1.1.1.1 pile spciale r E C BA i 1 K 2 u C u R R Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 48 - nouveauenposition(1)etlecondensateursecharge, etc LatensionuCauxbornesducondensateuraalorsaucoursdutempsl'allureindiquesurla courbe 1 , reprsente sur l'annexe 1 remettre avec la copie. 2.37.1.1 Charge du condensateur 2.37.1.1.1 Quandl'interrupteurestenposition(1),ilsechargedefaonquasi instantane. Pourquoi ce phnomne est-il trs rapide ? 2.37.1.1.2 Pour obtenir l'enregistrement de lvolution temporelle de la tension uC, on utilise un ordinateur muni dune interface dacquisition de donnes et dun logiciel de saisie. Reproduire le schma 1 et indiquer o doivent tre branches la masse M de linterface et la voie YA dacquisition pour tudier les variations de la tension uC aux bornes du condensateur. 2.37.1.1.3 Surlacourbe1,colorierla(oules)portion(s)quicorrespondentla tension uC lors de la charge du condensateur. Justifier votre choix. 2.37.1.1.4 Onconsidrequelecondensateurestcompltementcharg.Quelleest la valeur de I'intensit du courant qui circulealors dans le circuit ?La force lectromotrice E est la valeur de la tension aux bornes de la pile lorsqu'elle ne dbite pas de courant. A partir de l'enregistrement uC = f (t), donner la valeur de E. 2.37.1.2Dcharge du condensateur 2.37.1.2.1 En respectant les conventions dorientations du schma du circuit : prciser le signe de lintensit i du courant lors de la dcharge ; crire la relation entre lintensit i du courant et la tension uR ; crire la relation entre la charge q de larmature A du condensateur et la tension uC ; crire la relation entre l'intensit i et la charge q; crire la relation entre les tensions uR et uC lors de la dcharge. 2.37.1.2.2 En dduire que lors de la dcharge, lquation diffrentielle vrifie par la tension uC est de la forme : CCu 1u 0ddt + =2.37.1.2.3 Donnerl'expressionlittraledelaconstantedetemps.Montrerque cette grandeur a la mme unit qu'une dure.2.37.1.2.4 Dterminergraphiquementlavaleurdeparlamthodedesonchoix qui apparatra sur lafigure de l'annexe rendre avec la copie. 2.37.1.2.5En dduire la valeur de R. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 49 - 2.37.1.3Lien entre la dcharge du condensateur et les battements du cur2.37.1.3.1Al'instantt1,lecircuitdedclenchementgnreuneimpulsionlectrique;le condensateur nest pas compltement dcharg. Quelle est lexpression littrale de la tension uC aux bornes du condensateur, cet instant ? Graphiquementlavaleurdecettetensionest2,1V.Est-ceenaccordaveclavaleurdeE obtenue la question I.1.d ? 2.37.1.3.2Sachantqu'unesolutiongnraledelquationdiffrentielleprcdemment tablie est de la forme: uC(t) = E. t- e , montrez que t1 = . 2.37.1.3.3Endduireladuretquidoitsparerdeuximpulsionslectriques conscutives. 2.37.1.3.4Quel est alors le nombre de battements du cur par minute ? 2.37.2Stockage d'nergie: le flash lectronique L'nergie libre en un temps trs bref par I'clair d'un flash est au pralable stocke dans un condensateur de grande capacit, charg par quatre piles en srie quivalentes un gnrateur de f.e.m. U = 6 V. Elles contiennent une nergie totale E = 18 kJ, lorsquelles sont neuves.Onadmettraquepourunfonctionnementoptimal,lamoitidecettenergieesttransfrable au condensateur. Au-del, les piles doivent tre changes. Lemoded'emploiduflashMinolta5400HSindique,pourunealimentationparquatrepiles alcalinesde type AA : Autonomie (en nombre d'clairs)Tempsderechargeaprsunclairen secondes100 35000,2 11 L'autonomie indique le nombre d'clairs possibles avant de changer de piles. Laduredelclairpeuttrelimiteparuncircuitlectronique,cequiexpliqueles fourchettes de donnes. Lesindicationsengrascorrespondentdesclairsd'intensitlumineuseetdedure maximales, rsultant de la dcharge complte du condensateur. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 50 - 2.37.2.1Enutilisantlesdonnesdumoded'emploi,calculerlavaleurdel'nergie libre par un clair d'intensit lumineuse et de dure maximales. 2.37.2.2EndduirelacapacitCducondensateurquiatchargsouslatension constante U = 6 V. 2.37.2.3En utilisant les donnesdu mode d'emploi, donner un ordre degrandeurde la constante de temps du circuit de charge. 2.37.2.4En dduire l'ordre de grandeur de la rsistance travers laquelle s'est charg le condensateur. 2.37.3Oscillations lectriques: le dtecteur de fraude La photo ci-contre montre un circuit lectrique coll sous l'tiquette du botier d'un logiciel. CestunoscillateurlectriquedutypeLC,dontlapriodeproprevautT0=2LC. Dmontrer la relation prcdente. Si le botier est tomb par mgarde dans un sac du client au lieu de passer par la caisse du magasin,cecircuitvaseretrouverentrelesportiquesdescuritlasortie.Cesportiques contiennentdesbobinesmettantenpermanenceuneonderadiodefaibleintensitmaisde haute frquence N = 10 MHz, exactement gale la frquence propre du petit oscillateur. Dans ces conditions, le circuit capte lnergie mise, se met osciller, et met son tour une ondequivientperturberlondedesportiques.Ladtectiondecetteperturbationdclenche une alarme. Question:l'inductancedelabobinevautL=0,5H.EndduirelacapacitCdu condensateur. Figure 1 : Courbe 1. Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 51 - 2.38 Antilles 2005Exercice n3 : Sonde thermique (4 points) On peut constituer une sonde thermique laide dun diple (R,C) srie. On ralise le circuit suivant : Le condensateur a une capacit C = 1,0 F Leconducteurohmiqueestunethermistance :lavaleurRdesarsistancedpenddela temprature. On le place dans une enceinte dont la temprature interne est note . Un systme dacquisition permet denregistrer lvolution au cours du temps de la tension uC aux bornes du condensateur. 1. talonnage de la sonde Protocole exprimental : On souhaite tracer la courbe de lvolution de la valeur de la rsistance de la thermistance en fonction de la temprature. On ralise le protocole suivant : Le condensateur est initialement dcharg et les interrupteurs K1 et K2 sont ouverts. t = 0, onfermeK1etonenregistrelvolutiondelatensionuCjusqulafindelachargedu condensateur.Ensuite,onouvreK1etonfermeK2 :lecondensateursedcharge compltement. On ouvre enfin K2. On modifie la temprature de lenceinte et onrecommence le protocole prcdent. On opre pour plusieurs valeurs de temprature et on obtient le graphique suivant : + E = 4,0 V K1 Enceinte la temprature Systme d'acquisition uRR uCK2 C Prparation aux tests de slection de la formation Ingnieur CESI Physique Stphane Victori. stephanevictori@yahoo.fr- 52 - laide des rsultats exprimentaux, tudions la charge du condensateur. 1.1.tablirlarelationentrelatensionEauxbornesdugnrateur,latensionuRauxbornes du conducteur ohmique et la tension uC aux bornes du condensateur. 1.2.Dterminer lquation diffrentielle vrifie par la tension uC pendant la phase de charge. 1.3.La solution analytique de cette quation est de la forme : uC = A + B) /(RC te 1.3.1. En tenant compte des conditions finales de la charge, dterminer A. 1.3.2. En tenant compte des conditions initiales de la charge, dterminer B. 1.3.3. Dduire lexpression de uC. 1.4.On donne lexpression de la constante de temps du diple (R, C) : = RC. 1.4.1. Vrifier par analyse dimensionnelle lhomognit de cette formule. 1.4.2. Dterminer la valeur 1 de la constante de temps, relative la temprature 1 = 20C, partir du graphique. Expliquer l